Исследование структурных свойств операторов прикладного гармонического анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Беспалов, Михаил Сергеевич

• Беспалов, Михаил Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Беспалов, Михаил Сергеевич

Введение

1 Система Уолша

1.1 Функции Радемахера и Уолша.

1.2 Групповое свойство функций Уолша.

1.3 Дискретные функции Уолша.

1.4 Ядро Дирихле.

1.5 Константы Лебега.

1.6 Перестановки системы Уолша.

1.7 Обобщение систем Уолша.

2 Преобразование Уолша

2.1 Преобразование Уолша в Ь.

2.2 Обобщенное ядро Дирихле.

2.3 Интегрирование в двоичном анализе.

2.4 Преобразование Уолша в Ь2.

3 Дискретное преобразование Уолша

3.1 Основные виды ДПУ.

3.2 Новое тензорное произведение матриц.

3.3 Линейные перестановки матриц ДПУ.

3.4 Генерирование матриц ДПУ.

3.5 Базис собственных подпространств.

3.6 Быстрый алгоритм дискретного преобразования Уолша.

3.7 Фрейм Парсеваля для дискретного преобразования Уолша.

3.8 Спектральное разложение несимметричных И^-матриц.

4 Дискретное преобразование Фурье

4.1 Спектральное разложение оператора ДПФ.

4.2 Быстрое преобразование Фурье.

4.3 Вычисление точных тригонометрических сумм с помощью ДПФ

5 Система Крестенсона-Леви

5.1 Ряд Фурье по системе Крестенсона-Леви.

5.2 Преобразование Крестенсона-Леви

5.3 Дискретное преобразование Крестенсона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование структурных свойств операторов прикладного гармонического анализа»

Совершенствование вычислительной техники и разработка новых методов цифровой обработки информации в качестве приоритетного направления прикладных математических исследований выделяет прикладной гармонический анализ. Уточним разделы математики, относящиеся к прикладному гармоническому анализу.

Одним из основных разделов теории функций служит классический гармонический анализ, включающий тригонометрические ряды Фурье в действительной и комплексной форме и преобразование Фурье. Наиболее полное изложение теории рядов Фурье приведено в книгах Бари [9] и Зигмунда [41], а преобразований Фурье в книге Титчмарша [98].

В последнее время широкое распространение получил двоичный гармонический анализ [24, 141], в рамках которого изучаются ряды Фурье по системе Уолша (введенной в [149]) и преобразования Уолша (введенные в [123]). Естественным обощением двоичного служит р-ичный гармонический анализ, где изучают ряды Фурье по системе, которую одни авторы [28] называют системой Крестенсона-Леви, а другие [40, 97] Виленкина-Крестенсона. Следующим обобщением системы Крестенсона-Леви служат мультипликативные системы функций, предложенные Виленкиным [15] как система характеров на группе и введенные Прайсом [138] в виде системы функций. Более подробно Виленкин описал этот класс функций в "Дополнении" к книге [44]. Континуальный аналог этой системы (введенный в терминах групп Виленкиным [16]) принято называть [28] мультипликативное преобразование Фурье. Отдельными авторами рассматривались дальнейшие обобщения как рядов (о чем подробнее в [1]), так и интегральных преобразований (в [37] рассмотрены А-мультипликативные преобразования). В рамках гармонического анализа на абелевых группах [140] и абстрактного гармонического анализа [107] все эти системы и преобразования могут быть рассмотрены как основные частные случаи. Свойство мультипликативности как множества аргументов, так и множества функций, позволяет рассматривать их в виде взаимно двойственных систем характеров в рамках теории двойственности Понтрягина [82], более просто изложенной в [76]. Данные объекты можно отнести к непрерывной составляющей прикладного гармонического анализа.

В технических приложениях широкое распространение нашло [40, 42] друroe направление исследований, оформившееся в виде дискретного гармонического анализа. Дискретным аналогом аппарата классического анализа Фурье служит дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое составляет основу учебных курсов по цифровой обработке сигналов [6, 29, 86, 91]. Оно также широко применяется в комбинаторике [104] и теории кодирования [80]. В двоичном гармоническом анализе аналогом ДПФ служит [6, 97] дискретное преобразование Уолша (ДПУ), а в р-ичном гармоническом анализе - дискретное преобразование Крестенсона-Леви (ДПКЛ). Аналогично строится дискретное мультипликативное преобразование [28, 38], не нашедшее широкого практического применения. Все перечисленные объекты исследований разместим в следующей таблице.

Ряд Фурье (по тригонометрической системе в экспоненциальном виде) Преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье

Система Уолша (в нумерации Пэли, Уолша, Ка-чмажа и др.) Преобразование Уолша Дискретное преобразование Уолша (в нумерациях Пэли, Адамара, Уолша и ДР-)

Система Крестенсона-Леви Преобразование Крестенсона-Леви Дискретное преобразование Крестенсона (Крестенсона-Леви, Крестенсона-Кронекера)

Система Виленкина (мультипликативная система функций или система Прайса) Мультипликативное преобразование Фурье Дискретное мультипликативное преобразование Фурье

Предложенную классификацию рассмотрим в другом порядке. В анализе Фурье на основе тригонометрических функций есть три объекта исследования: ряд Фурье, преобразование Фурье и ДПФ. В двоичном анализе Фурье существуют три объекта исследования: ряд Фурье по системе Уолша, преобразование Уолша и ДПУ; в р-ичном анализе Фурье следующие три объекта исследования: ряд Фурье по системе Крестенсона-Леви, преобразование Крестенсона-Леви (которое как отдельный объект пока не изучалось) и ДПКЛ; а относительно переменного основания систем счисления следующие три объекта исследования: ряд Фурье по мультипликативной системе функций (системе Прайса [1] или Виленкина [141]), мультипликативное преобразование Фурье и дискретное мультипликативное преобразование Фурье (ДМПФ).

Классический гармонический анализ, включающий ряды и преобразования Фурье, занимает особое место в математике. Остальные клетки приведенной таблицы составляют основные разделы прикладного гармонического анализа.

При внешнем сходстве (интегрального) преобразования Фурье и дискретного преобразования Фурье, эти объекты существенно различаются. Другая ситуация наблюдается в двоичном гармоническом анализе. Преобразование Уолша финитной (двоично-) ступенчатой функции совпадает с ДПУ (в нумерации Пэли) от вектора с тем же набором значений. Аналогично преобразование Крестенсона-Леви финитной ступенчатой функции совпадает с ДПКЛ, а мультипликативное преобразование Фурье финитной ступенчатой функции совпадает с ДМПФ. Более того, ДПФ есть простейший частный случай ДПКЛ и ДМПФ, и поэтому может быть представлено как мультипликативное преобразование Фурье финитной ступенчатой функции (но отнюдь не как преобразование Фурье функции какого-либо класса). Есть много подобных примеров тесной связи трех разделов двоичного (и соответственно р-ичного) гармонического анализа.

В рамках прикладного гармонического анализа ряд по системе Уолша (а также по системе Крестенсона-Леви и по мультипликативной системе) изучается не как объект теории функций, а как объект близкий ДПУ (соответственно ДПКЛ или ДМПФ) или аппарат теории приближений. То есть рассматриваются задачи прикладного характера, ориентированные на прикладников и понятные им.

В последнее время проявляется заинтересованность представителей прикладных дисциплин в появлениии учебного пособия по прикладному гармоническому анализу. Разделы дискретного гармонического анализа представлены в учебной литературе [30, 65, 85, 90, 91, 93]. К ним можно добавить и книгу [97], где дан более общий подход к разделам дискретного гармонического анализа. В [171] сделана попытка представить все разделы прикладного гармонического анализа в одном учебном пособии.

Здесь уместно сделать замечание по поводу принятой в технической литературе [6, 40, 97, 102] терминологии. В технической литературе преобразование Уолша, введенное [123] в 1950 г. Файном, и мультипликативное преобразование Фурье не встречаются (согласно ссылке на обзоры [40, 61] прикладных результатов).

Поэтому слово "дискретное "для следующих операторов дискретного гармонического анализа - дискретное преобразование Уолша, дискретное преобразование Крестенсона-Леви (или Виленкина-Крестенсона), дискретное преобразование Ха-ара - в технической литературе опускают. Для дискретного преобразования Фурье подобной вольности не позволяется, так как соответствующее интегральное преобразование хорошо известно. При этом пропадает указание на общность структуры и сфер применения этих операторов дискретного анализа. Кроме этого основного примера неточной терминологии в технической литературе есть множество других, как отмеченных в [40, с. 260], так и не указанных, терминологических расхождений.

Центральное место в прикладном гармоническом анализе занимает двоичный гармонический анализ и система Уолша. Система функций Уолша рассматривалась в трех традиционных нумерациях: Пэли, Уолша и Качмажа. Нумерация, предложенная в 1932г. Пэли, [135] через систему функций Радемахера [139], считается основной. Большинство математических результатов для системы Уолша, приведенных в обзорах [1, 7, 28, 141], относится к нумерации Пэли. Функции Уолша вводились [149], по-видимому, как упрощенный аналог тригонометрической системы. Хотя в энциклопедии [73] указано, что Баррет применял функции Уолша еще в 1900 г. Нумерация Качмажа, которую можно рассматривать как попытку найти нумерацию системы функций Уолша наиболее близкую к нумерации Ада-мара для дискретных функций Уолша, появилась в работе [110]. Качмаж получил [130] систему функций Уолша (в нумерации Пэли) в виде линейных комбинаций функций Хаара. Системы Уолша в нумерациях Уолша и Качмажа являются главными перестановками системы Уолша-Пэли. Систему Уолша-Качмажа изучали JI.A. Балашов, В.А. Скворцов, A.A. Шнейдер и другие [8, 142, 111]. Системе Уолша в нумерации Уолша после [149] посвящены лишь [116, 54], в которых рассматривалась единственность системы с указанными свойствами. Классификация перестановок систем Уолша предложена Ф. Шиппом [109], где доказано, что системы Уолша трех традиционных нумераций являются системами сходимости. Глобальные перестановки системы Уолша, обеспечивающие расходимость ряда Фурье, рассматривал C.B. Бочкарев [12, 13]. Но такие перестановки не допускают реализацию на ЭВМ и потому не рассматриваются в прикладном гармоническом анализе. В данной работе существенное место отводится линейным перестановкам, предложенным [109] Ф. Шиппом, применение которых позволяет очень широкий класс конструкций рассматривать как обобщение системы Уолша-Пэли.

Часто аппарат функционального анализа используется для решения задач вычислительной математики, что отмечается даже в названиях учебников [47, 53]. В данной работе наоборот, методы вычислительной математики применены для получения оценок для фундаментальных понятий теории функций, таких как константы Лебега и нормы ядер Дирихле.

Для системы Уолша-Пэли формулы и точные оценки для констант Лебега предложил [122] Файн. В случае других нумераций системы Уолша упоминались [7] лишь оценки Шнейдера [111] для констант Лебега системы Уолша-Качмажа, записанные в непривычных символах. В книге [141] приведена оценка констант Лебега в терминах вариации числа.

Многие результаты теории рядов Уолша в нумерации Пэли обобщаются [1, 28, 141] на мультипликативные системы, преобразования Уолша и мультипликативные преобразования Фурье. В книгах [1, 28] приводятся результаты для мультипликативных преобразований Фурье, не выделяя преобразование Уолша. Изложение основ преобразований Уолша приведено в книгах [24, 141, 171].

Для дискретных преобразований Уолша также имеется три традиционных нумерации: Пэли, Уолша и Адамара. Дискретное преобразование Уолша есть линейное преобразование, заданное соответствующей матрицей, в 2п-мерном пространстве. Строки этих матриц и есть дискретные функции Уолша. В математике принято дискретные функции Уолша в нумерациях Пэли или Уолша определять в виде вектора, координаты которого получены как значения соответствующей функции Уолша на очередных интервалах длины 2~п. В технической литературе [6, 40, 97, 102] для дискретных функций Уолша применяются много различных названий, хотя это один и тот же набор векторов (дискретных функций) в разных нумерациях. В данной работе приведено, не зависящее от соответствующих матриц и нумераций, определение основного объекта исследования, каким являются дискретные функции Уолша.

Библиография, частично приведенная в монографии [40], о применениях дискретных преобразований Уолша этих трех нумераций обширна. В книге [97] поставлена задача построения и описания других дискретных преобразований Уолша, обладающих столь же хорошими (как и три традиционные) свойствами, и общая классификация всех возможных дискретных преобразований Уолша.

Повышенный интерес к дискретным преобразованиям Фурье и Уолша обусловлен также наличием [11] быстрых алгоритмов их реализации. Быстрые алгоритмы основаны на методе факторизации матриц, который предложил Гуд [126] для кро-некеровой степени. Кули и Тьюки [121] перестроили этот алгоритм для дискретных преобразований Фурье порядка 2". Структурные особенности соответствующих матриц позволили [11, 63, 79] построить много других быстрых алгоритмов реализации.

Приведенные в таблице разделы прикладного гармонического анализа можно дополнить интегральными и дискретными операторами, составляющими основу теории всплесков [32, 77].

В теории всплесков в качестве основного наглядного примера системы функций, иллюстрирующей кратно-масштабный анализ, предлагается [4, 78] система Хаара. В свою очередь система Хаара непосредственно связана [28, 141] с системой Уолша. Дискретные преобразования Хаара являются одним из основных операторов в прикладной математике. Однако система Хаара не является мультипликативной системой и поэтому не вкладывается в приведенную в таблице схему.

Результаты относящиеся к последней строчке приведенной таблицы менее востребованы в прикладных исследованиях, а потому лишь кратко рассмотрены в заключении.

Целью диссертационной работы является:

1. Детальная разработка элементов теории и фундаментальных понятий прикладного гармонического анализа, которая позволит подготовить учебное пособие по прикладному гармоническому анализу.

2. Исследование ядер Дирихле и констант Лебега для рядов по системе Уолша различных нумераций, для их обобщений и для преобразований Уолша.

3. Изучение возможностей применения двоичного гармонического анализа в вычислительной математике; в частности, при вычислении интегралов.

4- Разработка новых подходов к построению и описанию дискретных преобразований Уолша и дискретных функций Уолша.

5. Исследование возможных нумераций дискретных преобразований Уолша, методов их генерирования и их структуры.

6. Спектральный анализ операторов дискретного гармонического анализа.

7. Анализ применения дискретного преобразования Фурье для вычисления точных тригонометрических сумм.

8. Перенос результатов, полученных в двоичном гармоническом анализе, на систему Крестенсона-Леви.

9. Анализ и разработка быстрых алгоритмов реализации преобразований дискретного гармонического анализа.

Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Ссылки на формулы и формулировки, к которым относятся определения, утверждения, предложения, леммы, следствия и теоремы, нумераются по каждому виду формулировки отдельно и по главам двойным номером. Первая цифра номера указывает главу, а вторая - номер формулировки в указанной главе.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Беспалов, Михаил Сергеевич

Заключение

Во введении было отмечено, что к разделам прикладного гармонического анализа относятся также разделы последней строки приведенной во введении таблицы. Условно три клетки последней строки этой таблицы можно объединить названием гармонический анализ в смешанных кодах.

В случае р-ичного гармонического анализа фиксировалось число р, которое определяет основание рассматриваемой системы счисления. Это основание одно и то же для каждого разряда р-ичного кода рассматриваемых чисел. В случае мультипликативных систем функций в непрерывном и дискретном случае вместо фиксированного р берется последовательность {рп} натуральных чисел и рассматриваются смешанные коды чисел, где каждое рп отвечает за свой разряд числа. Подробнее рассмотрено в [28, 36, 38, 138, 141, 154, 166, 158, 171].

Вместо еще одной главы, в которую по аналогии с главой пять можно было бы собрать обобщение результатов первых трех глав, приведем еще раз краткий обзор результатов. При этом будем указывать возможность переноса результата на случай, гармонического анализа в смешанных кодах, что для случая дискретных преобразований проделано также в статье [161].

Теорема о явном виде модуля ядра Дирихле (теоремы 1.1 и 5.1) переносится на случай системы Виленкина. Если в теореме 5.1 было фиксированное понятие маршрута, зависящее от выбранного основания р, то здесь отличие в формулировке соответствующей теоремы лишь в том, что для каждого уровня (или разряда системы счисления) выбирается свой вид маршрута. Теорема об оценке норм ядер Дирихле (теоремы 1.2 и 5.2) в аналогичном виде могут быть сформулированы и для системы Виленкина. Встречающиеся в формулировке величины а и А в случае системы Уолша почти оптимальны, а в различных конкретных случаях системы Крестенсона-Леви возможно получение близких к оптимальному значений этих величин. Разработанный аппарат и написанные компьютерные программы позволяют продолжать исследования в данном направлении. В случае же системы Виленкина ожидать сколь либо близких к оптимальным оценок для величин а и А не приходится ввиду очевидного различия результатов для различных оснований системы р. Аналогичное замечание можно сделать и для констант Лебега.

В двоичном и р-ичном гармоническом анализе важную роль играют линейные перестановки, которые в общем случае не являются регулярными. В случае системы Виленкина линейные перстановки не могут быть столь глобальными. Поэтому теорема о перестановках (теоремы 1.4 и 5.3) для системы Виленкина справедлива лишь для регулярных линейных и регулярных кусочно-линейных перестановок (точнее для несколько более широкого класса перестановок, о чем сказано в [156]).

Основы теории мультипликативных преобразований Фурье были разработаны в [202]. В частности, теорема 5.4 есть частный случай аналогичной теоремы для мультипликативного преобразования Фурье. При переносе теорем 5.5 и 5.7 на случай мультипликативного преобразования Фурье получаются более громоздкие формулировки и доказательства, частично приведение в [158]. Аналог теоремы 5.6 также получается без уточнения величин а и А.

Основной причиной краткого описания данных разделов лишь в заключении работы служит то, что в практических приложениях дискретное мультипликативное преобразование Фурье до настоящего времени оставалось не востребованным. Возможно, что это связано с более громоздким описанием конструкции и отсутствием разработанных быстрых алгоритмов ее реализации. Предложенный в работе способ определения дискретных функций Уолша (определение 1.2) и дискретных функций Крестенсона (определение 5.2) допускают обобщение в виде определения дискретных функций Виленкина (дискретных мультипликативных функций) как кронекерово произведение дискретных экспоненциальных функций с разными основаниями. Но это определение будет громоздким, так как вынуждены фиксировать порядок выбранных оснований. Аналогично можно построить два основных вида дискретных мультипликативных преобразований Фурье, одно из которых соответствует ранее изучаемому случаю [28, 36, 37, 38, 171, 178, 192]. Этот основной случай аналогичен дискретному преобразованию Уолша в нумерации Пэли и дискретному преобразованию Кронекера-Леви. По аналогии матрица дискретного мультипликативного преобразования Фурье стандартной нумерации определяется как новое (3.12) тензорное произведение матриц дискретного преобразования Фурье различных порядков. Это определение соответствует определению ДМПФ, предложенному в работах A.B. Ефимова и его учеников. Другая возможная основная нумерация, которая ранее не рассматривалась, получается по аналогии с ДПУ в нумерации Адамара и с дискретным преобразованием Крестенсона-Кронекера как кронекерово произведение матриц дискретного преобразования Фурье различных порядков. Эти две основные нумерации можно изучать параллельно. Леммы о факторизации (утверждение 3.6 и предложение 3.6) позволяют построить быстрые алгоритмы, аналогичные представленным в утверждении 5.6 и предложении 5.6. Для практических применений именно этот случай и представляет большой интерес. На практике часто размер реального сигнала отличается от выбранного порядка матрицы применяемого ортогонального преобразования. Это неудобство принято преодолевать добавлением нулевых координат на границе сигнала. Для этого проводятся теоретические исследования по анализу реальных спектральных характеристик и искаженных в результате применения данного приема. Более простой прием - замена традиционного ортогонального преобразования вида ДПФ, ДПУ или ДПК на дискретное мультипликативное преобразование Фурье с подбором набора оснований, соответствующему размеру реального сигнала - пока в прикладных расчетах, по-видимому, не применялся. Другое важное преимущество конструкции дискретного мультипликативного преобразования Фурье по сравнению с ДПФ и ДПК состоит в.том, что начальные числа набора оснований {рп} можно взять равными 2, что позволяет начальные шаги быстрого алгоритма проводить по схеме ДПУ. При этом вместо комплексных умножений на комплексный корень из единицы, приходится применять умножение на ±1, что значительно сокращает объем вычислений.4 Тем более, что, как правило, исходный сигнал является действительным, и нет большой необходимости сразу переходить в комплексную область. Подобные, несколько усложненные, но важные для практических применений, конструкции в математических журналах естественно не вызывают интереса, а в технических журналах, как правило, игнорируются при отсутствии решаемой конкретной прикладной задачи.

Продолжим анализ возможности переноса результатов на случай дискретного мультипликативного преобразования Фурье. Различие оснований для каждой позиции не позволяет сконструировать аналоги теорем 5.9 и 5.10. Аналог теоремы 5.11 формулируется и доказывается почти без изменения (см. также [158, 190]). Довольно громоздкий вид теорем 5.12 и 5.13 демонстрирует нереальность переноса их на случай ДМПФ. Существенная часть всей работы связана с перестановками функций системы. Для матриц ДМПФ глобальные перестановки просто невозможны. Одна из основных конструкций, связанная с генерированием матриц перестановок, в данном случае тоже не проходит. Изучение только регулярных перестановок матриц ДМПФ при отсутствии метода генерирования нельзя считать актуальным. Поэтому аналог теоремы 5.15 вряд ли стоит искать.

При исследовании в диссертационной работе многих проблем прикладного гармонического анализа активно использовался метод компьютерного моделирования и анализа. Составлены программы расчета значений модуля (по участкам) и норм ядер Дирихле по системе Уолша и по системе Крестенсона-Леви с основанием 3, в которых также предусмотрено построение графиков норм ядер Дирихле и огибающих кривых из теорем 1.2 и 5.2. Отдельно составлена программа решения сформулированной в параграфе 1.4 экстремальной задачи, результаты которой применены при построении огибающих кривых предыдущей программы. Составлена программа демонстрирующая возможность применения описанного метода двоичного интегрирования. Составлена программа вычисления точных тригонометрических сумм по формуле теоремы 4.2. Быстрые алгоритмы ДПУ для нумераций Адамара, Пэли и Уолша, представленные в предложениях 3.18, 3.19, 3.20, реализованы в виде программы для ЭВМ. Также реализован метод генерирования матриц ДПУ различных перестановок (ТУ-матриц) и проведена для них компьютерная классификация. Отдельные результаты этой классификации приведены в данной рукописи.

Перечисленные программы для ЭВМ не включены в данную рукопись диссертации из-за значительного объема рукописи и не теоретической направленности этих результатов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Беспалов, Михаил Сергеевич, 2011 год

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. - Баку : Элм, 1981. - 180 с.

2. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд.ин.лит., 1963. - 360 с.

3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004. - 640 с.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1998. Т. 166, № И. 1145-1170.

5. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

6. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональгые преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. - 248 с.

7. Балашов Л.А., Рубинштейн А.И. Ряды по системе Уолша и их обобщения// Итоги науки. Математический анализ. 1970. М.: ВИНИТИ, 1971. 147-202.

8. Балашов Л.А. О рядах по системе Уолша с монотонными коэффициентами // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, №1. 25-30.

9. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М. : Физматгиз, 1961. - 936 с.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1969. - 368 с.

11. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир. 1989. - 448 с.

12. Бочкарев C.B. Перестановки рядов Фурье-Уолша // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43, № 5. 1025-1041.

13. Бочкарев C.B. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам // УМН. 2004. Т. 59 (355), № 1. 103-124.

14. Бочкарев C.B. О некоторых свойствах матриц Уолша // Докл. расш. зас. семинара ин-та прик. мат. им. И.Н.Векуа. Тбилиси. 1988. Т. 3, № 2. 15-18.

15. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1947. Т. 11. 363-400.

16. Виленкин Н.Я. К теории интегралов Фурье на топологических группах // Матем. сборник. 1952. Т.ЗО (72). 233-244.

17. Виленкин Н.Я. Дополнения. //В книге Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. 457-507.

18. Виленкин Н.Я., Зотиков C.B. О скрещенном произведении функций // Матем. заметки. 1973. Т. 13, №3. 469-480.

19. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. - 168 с.

20. Гантмахер Ф.М. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

21. Гапошкин В.Ф. Лакунарные ряды и независимые функции // УМН. 1966. Т. 21, № 6(132). 13-81.

22. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 322 с.

23. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. - 476 с.

24. Голубов Б.И. Элементы двоичного анализа. М.: МГУП, 2005. - 204 с. (М.: URSS/ЛКИ, 2007.)

25. Голубов, Б. И. Асимптотика Х^-норм продифференцированных сумм Фурье функций ограниченной вариации // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. № 2. 399-421.

26. Голубов, Б. И. О модифицированном сильном двоичном интеграле и производной // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 4. 37-60.

27. Голубов Б. И. Модифицированный двоичный интеграл и производная дробного порядка на R+ // Функц. анализ и его приложения. 2005. Т. 39, N2 2. 64-70.

28. Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уол-ша: Теория и применения. М.: Наука, 1987. - 344 с. - (Изд. второе. М.: URSS/ЛКИ, 2007.)

29. Гольд В., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. - 322 с.

30. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1977, гл.14. - 518-550.

31. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 584 с.

32. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М. - Ижевск: НИЦ РХД, 2004. -464 с.

33. Ефимов A.B. Математический анализ (специальные разделы). В 2 ч. Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высш. шк., 1980. — 279 с.

34. Ефимов, A.B. О некоторых аппроксимативных свойствах периодических мультипликативных ортонормированных систем // Матем. сб. 1966. Т. 69, № 3. 354-370.

35. Ефимов A.B. О верхних гранях коэффициентов Фурье-Уолша // Мат. заметки. 1969. Т. 6, № 6. 725-730.

36. Ефимов A.B., Каракулин А.Ф. О континуальном аналоге периодических мультипликативных ортонормированных систем // ДАН СССР. 1974. Т. 218, № 2. 268-271.

37. Ефимов A.B., Поспелов A.C., Умняшкин C.B. Некоторые свойства мультипликативных систем, используемые в цифровой обработке сигналов // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. 137-182.

38. Ефимов A.B., Золотарева С.Ю. Мультипликативный интеграл Фурье и его дискретные аналоги // Analysis Mathematica. 1979. V. 5. 179-199.

39. Зайцев Г.В., Зиновьев В.А., Семаков Н.В. Быстрое корреляционное декодирование блочных кодов // Кодирование и передача дискретных сообщений в системах связи. М.: Наука, 1976. 74-85.

40. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применения в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. - 496 с.

41. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. М.: Мир, 1965. - 616 с.

42. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. Под ред. В.Н. Малоземова. СПб.: СПбГУ, 2009. 584 с.

43. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. - 294 с.

44. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. - 508 с.

45. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. - 550 с.

46. Кашин B.C., Куликова Т.Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Матем. заметки, 2002. Т. 72, № 6. 941-945.

47. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 448 с.

48. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1968. - 496 с.

49. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. / Под ред. К.А. Рыбникова М.: Наука, 1982. - 368 с.

50. Конягин C.B. О подпоследовательности частных сумм Фурье-Уолша // Матем. заметки. 1993. Т. 54, № 4. 69-75.

51. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Физматлит, 1960. - 472 с.

52. Лабунец В.Г. Алгебраическая теория сигналов и систем (цифровая обработка сигналов). Красноярск: Изд. Красноярского ун-та. 1984. - 244 с.

53. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Фмзматлит, 2005. - 296 с.

54. Левизов C.B. Некоторые свойства системы Уолша // Матем. заметки. 1980. Т. 27, № 5. 715-720.

55. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 3. 88-102.

56. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения, подобных ортогональным // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, № 5. 187-206.

57. Лукашенко Т.П. О фреймах и жестких фреймах // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Матер. Ворон, зимней матем. школы, Воронеж: ВГУ, 2007. 138-139.

58. Лукомский С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к L°° //Матем. заметки. 2001. Т. 70, № 6. 882-889.

59. Лукомский С.Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. Т. 180, № 7. 937-945.

60. Лукомский С.Ф. Об абсолютной сходимости кратных рядов Уолша // Известия ВУЗов. Математика. 1988. В. 4. 34-36.

61. Логинов В.П. Функции Уолша и области их применения (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. 1973. Т. 4. 73-101.

62. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

63. Макклеллан Дж.Г., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь, 1983. - 264 с.

64. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. - 671 с.

65. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. В 3-х ч. СПб.: НИИММ, 2003. - 100+100+88 с.

66. Малоземов В.Н. Линейная алгебра без определителей. Квадратичная функция. СПб.: Изд. СПб. ун-та, 1997. - 80 с.

67. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретными преобразованиями Виленкина-Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, № 1. 111-157.

68. Малоземов В.H., Певный А.Б. Равноугольные жесткие фреймы // Проблемы матем. анализа. 2009. Вып. 39. 3-25.

69. Малоземов В.Н., Просеков О.В. Перестановки и кронекерово произведение матриц // Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. СПб.: СПбГУ. 2009. 12-19.

70. Малоземов В.Н., Просеков О.В. Факторизация Кули-Тьюки матрицы Фурье // Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. СПб.: СПбГУ. 2009. 20-29.

71. Малоземов В.Н., Третьяков А.А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестн. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1, 1999. В. 1. 16-21.

72. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

73. Математическая энциклопедия. В 5 т. М.: Советская энциклопедия, 1984.

74. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М.: Наука, 1986. - 176 с.

75. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. - 570 с.

76. Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп. М.: Мир, 1980. - 104 с.

77. Новиков И.Я., Протасов В. Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. - 616 с.

78. Новиков, И.Я., Стечкин C.B. Основы теории всплесков // УМН. 1998. Т. 53, № 6. (324). 53-128.

79. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свертки. М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

80. Питерсон У., Уэлдон Д. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1964. -596 с.

81. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. 4.1. М.: Наука, 1978. -392 с.

82. Понтрягин JI.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.

83. Поспелов A.C. О собственных функциях мультипликативных преобразований Фурье // Применение функционального анализа в теории приближений.

84. Калинин: КГУ, 1987. С. 83-90.

85. Поспелов A.C. О собственных функциях р-адического и дискретного преобразования Фурье // Матем. моделир. 1990. Т. 2. 120-131.

86. Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем. Под ред. Ю.М. Смирнова. М.: Высшая школа, 1984. - 359 с.

87. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978. 848 с.

88. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональноиу анализу. М.: Мир, 1979. - 588 с.

89. Рубинштейн А.И. Равенство Парсеваля для функций, определенных на нульмерной группе // УМН. 1974. Т. 35, № 4. 207-208.

90. Рубинштейн А.И. О модулях непрерывности функций, определенных на нульмерной группе // Матем. заметки. 1978. Т. 23; № 3. 379-388.

91. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика (основания информатики). Ростов-на-Д.: Феникс, 2002. - 512 с.

92. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003. - 606 с.

93. Скворцов В.А. О скорости стремления к нулю коэффициентов! нуль-рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41, № 3. 703-716.

94. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. Л.: ЛГУ. 1986. - 272 с.

95. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. - 288 с.

96. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 332 с.

97. Таркаев B.B. О ядрах Дирихле и константах Лебега систем Прайса // Деп. в ВИНИТИ. М.: 1988. № 2763-В88. 24 с.

98. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

99. Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Ком. книга, 2005. - 480 с.

100. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сб. 1964. Т. 63, № 3. 356-391.

101. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье // Матем. сб. 1967. Т. 72 (114). 193-225.

102. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностранная литература, 1948.

103. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными сигналами. М.: Связь, 1975. - 272 с.

104. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО, 2002. - 128 с.

105. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. - 424 с.

106. Холщевникова H.H. О структуре замкнутых множеств единственности для системы Уолша // Тр. МИ АН. 1997. Т. 219. 400-409.

107. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 656 с.

108. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т.1. М.: Наука, 1975; Т.2. - М.: Мир, 1975. 656+904 с.

109. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. - 413 с.

110. Шипп Ф. О некоторых перестановках рядов по системе Уолша. // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 2. 193-201.

111. Шнейдер A.A. О рядах по функциям Валыпа с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1948. Т. 12. 179-192.

112. Шнейдер A.A. О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша // Матем. сб. 1954. Т. 34, № 3. 441-472.

113. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. В 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1985. - 264 с.

114. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979. - 312 с.

115. Balan R., Casazza P.G., Heil С., Landau Z. Deficits and Excesses of Frames // Adv. in Сотр. Math. 2003. V. 18. 93-116.

116. Bois P. Determination des valeurs propres des matrices de Walsh, Hadamard et Walsh-Fourier // Rev.CETHEDEC. 1973. V.37. 65-71.

117. Byrnes J.S., Swick D.A. Instant Walsh functions // SIAM Rev., 1970, V. 12, № 1, 131.

118. Casazza P.G. Modern tools for Weyl-Heisenberg (Gabor) frame theory // Adv. in Imaging and Electron Physics. 2000. V. 115. 1-127.

119. Casazza P.G., Kovacevic J. Uniform tight frames with erasures // Adv. Comput. Math. 2003. V. 18. № 2-4. 387-430.

120. Chrestenson H.E. A class of generalized Walsh functions // Pacific. J. Math., 1955, V. 5, № 1, 17-32.

121. Christensen O. Introduction to frames and Riesz bases. Cambridge: MA, Birkhauser, 2002. 468 p.

122. Cooley J.W., Tukey J.W. An Algorithm for the Machine calculation of Complex Fourier Series // Math. Comput. 1965. V. 19, № 90. 297-301.

123. Fine N.J. On the Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65, № 3. 372-414.

124. Fine N.J. The generalized Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 69. 66-77.

125. Gibbs J.E. Walsh spectrometry a from of spectral analysis well suited to binary digital computation. Teddington: Nat. Phys. Lab., 1967. - 24 p.

126. Golubov B.I. On some properties of fractional dyadic derivative and integral // Analysis Math., 2006. V. 32, N 3. 173-205.

127. Good I.J. The interaction algorithm and practical Fourier analysis// J. Royal Stat. Soc. Ser.B. 1958. V. 20. 361-372.

128. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910, V. 69, 331-371.

129. Hadamard J. Resolution d'une question relative aux determinants.// Bull. Sci. Math., Ser.2. 1893. Part 1. V. 17. 240-246.

130. Johnson J., Johnson R.W., Rodriguez D., Tolimieri R. A methodology for designing, modifying and implementing Fourier transform algorithms on various architectures // Circuits, Systems and Signal Processing. 1990. V. 9, № 4. 449500.

131. Kaczmarz S. Uber ein Orthogonalsystem // Compt. Rend, du I Congr. de math, des pays slaves. Warszava. 1929. 189-192.

132. Levy P. Sur une generalisation des fonctions orthogonales de M. Rademacher // Comment, math. helv. 1944. V. 16. 146-152.

133. Lukomskii S.F. On a U-set for multiple Walsh series // Analysis Mathematica. 1992. V. 18, № 2. 127-138.

134. McClellan J.H., Parks T.W. Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation // IEEE Trans. Audio Electroacoust. 1972. V. 20, № 1. 66-74.

135. Pal J. The eigenfunctions of the Walsh-Fourier transform // Proc. Int. Conf. Approximation and Functions Spaces. Gdansk, 1979, 553-557.

136. Paley R.E.A.C. A Remarkable Series of Orthogonal Functions. I, II // Proc. Lond. Math. Soc. 1932. V. 34. 241-279.

137. Paley R.E.A.C. On Orthogonal Matrices // J. Math. Phys. 1933. V. 12. 311-320.

138. Price J.J. Certain group of orthonormal step functions // Canada J. Math. 1957. V. 9. 413-425.

139. Rademacher H. Einige Satze über Reihen von allgemeinen Orthogonal funktionen. // Math. Annalen. 1922. V. 87. 112-138.

140. Rudin W. Fourier analysis on groups. New York: John Wiley and Sons, 1967. - 438 p.

141. Schipp F., Wade W.R., Simon P., Pal J. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest: Acad. Kiado, 1990. - 560 p.

142. Skvortsov V.A. On Fourier series with respect to the Walsh Kaczmarz system // Analysis Mathematica. 1981. V. 7, № 2. 141-150.

143. Stampli G. Sums of projections // Duke Math. J. 1964. V. 31, № 3. 455-461.

144. Temperton C. Self-sorting mixed-radix Fast Fourier Transform //J. Comput. Phys. 1983. V. 52. № 1. 1-23.

145. Wagner H.J. On dyadic calculus for functions defined on R+ // Proc. Symp. Theory and applications of Walsh functions. 1975. Hatfield Polytec. 101-129.

146. Wagner H.J. Ein Difïeretial- and Integralkalkul in der Walsh-Fourer Analysis mit Anwendungen. Westdeutscher Verlag: Koln-Opladen, 1974.

147. Wagstaff S.S. Ramanujan's paper on Berneulli numbers //J. Indian Math. Soc. 1981. V. 45. 49-65.

148. Walsh J.L. A closed set of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. V. 45. 5-24.

149. Watari C. On generalized Walsh-Fourier series // Tohoku Math.J. 1958. V. 10, № 3. 211-241.

150. Watson G.N. //Phil. Mag. (3). 1916. V. 31. 111-118.

151. Watson G.N. Ramanujan's notebooks// J.London Math.Soc. 1931. V.6. 137-153.

152. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. V. 218. 311-320.

153. Беспалов M.С. О коэффициентах Фурье и приближении функций рядами по периодической мультипликативной системе // Матем. заметки. 1984. Т. 36, № 3. 329-340.

154. Беспалов М.С. Представление для сумм четных отрицательных степеней синусов в равноотстоящих узлах // Известия ВУЗов. Сер. Матем. 1996. Т. 8(441). 6-12.

155. Беспалов М.С. Перестановки систем Уолша, сохраняющие константы Лебега // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 1. 36-48.

156. Беспалов М.С. Явный вид ядра Дирихле для рядов и преобразований Уолша // Матем. сборник. 2005. Т. 196, № 7. 3-26.

157. Беспалов М.С. Операторы мультипликативного преобразования Фурье // Известия ВУЗов. Сер. Матем. 2006. Т. 526, № 3. 9-23.

158. Беспалов М.С. Новая нумерация матриц Уолша // Проблемы передачи информации. 2009. Т. 45, № 4. 43-53.

159. Беспалов М.С. Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 3. 60-79.

160. Беспалов М.С. Дискретное преобразование Крестенсона // Проблемы передачи информации. 2010. Т.46, № 4. 91-115.

161. Bespalov M.S. On Fine's results for Lebesque constants on the Walsh system, Journal of Mathematical sciences, 126:5 (2004), 1407-1418.

162. Беспалов М.С. Алгоритмы вычислений, основанные на представлении Шура // Современная математика и ее приложения. Труды Межд. конф. по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль 2004, Т. 38,

163. Ч. 3, Тбилиси: Ин-т кибернетики Академии наук Грузии, 2006. 28-36. Bespalov M.S. Computational algorithms based on the Shur representation, Journal of Mathem. sciences, 147:1 (2007), 6416-6424.

164. Беспалов M.C. О верхних гранях пачек ряда Фурье-Уолша // Деп. в ВИНИТИ. № 8718-В87. 9 с.

165. Беспалов М.С. Оценка пачек ряда Фурье и коэффициентов Фурье для системы Прайса // Деп. в ВИНИТИ. № 1190-В93. 14 с.

166. Беспалов М.С. Способ построения дискретного преобразования Фурье // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 21-26 августа 2000. Тез. докл. Владимир. 2000. 113-115.

167. Беспалов М.С. Спектральное разложение оператора дискретного преобразования Фурье // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию "DHA &; CAGD". Избр. доклады. 2 октября 2010 г. 10 с. http://www.dha.spb.ru/

168. Беспалов М.С. Бесконечные матрицы с финитными столбцами // Труды Владимирского государственного ун-та. Вып. 7. Физико-математические основы индустрии наносистем и материалов. Владимир: ВлГУ. 2010. 26-31.

169. Беспалов М.С. Математические методы в информатике и вычислительной технике. В 2-х ч. Ч. 1. Элементы функционального анализа и алгебры. -Владимир: ВлГУ, 2006. 92 с.

170. Беспалов М.С. Математические методы в информатике и вычислительной технике. В 2-х ч. Ч. 2. Введение в прикладной гармонический анализ. Владимир: ВлГУ, 2007. - 244 с.

171. Bespalov M.S. Tight frame of co-rank one // Сб. Wavelets and Splines, St.Petersburg Univ.Press, St.Petersburg, 2003. 12-14.

172. Беспалов M.C. Оценка пачек ряда Фурье по мультипликативной системе // Первая Всероссийская школа по основаниям математики и теории функций. Саратов: СГПИ. 1989. 102.

173. Беспалов М.С. Мультипликативные преобразования Фурье в LP // Рук. деп. в ВИНИТИ, № 100-82. 21 с.

174. Беспалов М.С. Об операторах мультипликативных преобразований Фурье // Рук. деп. в ВИНИТИ, № 5826-83. 27 с.

175. Беспалов М.С. Мультипликативные преобразования Фурье // Теория функций и приближений. Тр. Саратовск. зимней шк., ч. 2. Саратов: СГУ. 1983. 39-42.

176. Беспалов М.С. О некоторых применениях мультипликативных систем функций // Теория функций и приближений. Тр. 2-й Саратовск. зимней шк. 24янв.-5февр. 1984г., ч. 2. Саратов: СГУ. 1986. 42-45.

177. Беспалов М.С. О свойствах оператора мультипликативного преобразования Фурье // Теория функций и приближений. Тр. 3-й Саратовск. зимней шк. 27янв.-7февр. 1986г., ч.2. Саратов: СГУ. 1988. 3-6.г

178. Беспалов М.С. Ядра Дирихле и константы Лебега для системы Крестенсона-Леви // Современные проблемы теории функций и их приближения. Тезисыfдокл. 8-й Саратовск. зимней шк. ЗОянв.-бфевр. 1996г. Саратов: СГУ. 1996. 17-18.

179. Беспалов М.С. Константы Лебега для перестановок системы Уолша // Алгебра и анализ. Матер, конф. поев. 100-летию Б.М. Гагаева. Казань. 1997.33.34.f

180. Беспалов M.С. Мажоранта ядра Дирихле для системы Прайса // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 1997. 18.

181. Беспалов М.С. О сходимости рядов по системе Крестенсона // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 9-й Саратовск. зимней шк. 26 янв.-1 февр. 1998г. Саратов: СГУ. 1997. 24.

182. Беспалов М.С. Константы Лебега двойных рядов Уолша // Теория функций и ее приложения. Смежные вопросы. Матер, шк.-конф. поев. 130-летию Д.Ф. Егорова. Казань: КМО. 1999. 41-42.

183. Беспалов М.С., Беспалова А.Г. Двойственность пространств последовательностей над конечным полем // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 10-й Саратовск. зимней шк. Саратов: СГУ. 2000. 18-19.

184. Беспалов М.С. Преобразование Фурье с ядром в виде скрещенного произведения // X Междунар. конф. "Математика.'Экономика. Образование". II междунар. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тез. докл. Ростов н/Д., 2002. 14.

185. Беспалов М.С. Ядро Дирихле для системы Крестенсона-Леви как динамическая система // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 1-6 июля 2002. Тез. докл. Владимир. 2002. 35-36.

186. Беспалов М.С. Анализ простейшего разностного уравнения // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 2003. 35-36.

187. Беспалов М.С. Ядра Дирихле-Уолша // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 12-й Саратовск. зимней шк. Саратов: Изд. гос.УНЦ "Колледж". 2004. 22-23.

188. Беспалов М.С. Применение спектрального разложения оператора кручения // Современные методы теории краевых задач. Матер. Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж. ВГУ. 2004. 31-32.

189. Беспалов М.С. Обработка и кодирование сигналов с помощью функций Уол-ша // Междун. научно-техн. конф. "Новые методологии проектирования изделий микроэлектроники: Владимир. 10-11 декабря 2004. Владимир: ВлГУ. 2004. 195-197.

190. Беспалов М.С. Применение обобщений функций Уолша для обработки визуальной информации // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Матер, конф. Воронеж, Воронежская гос. академия. 2005. 28.

191. Беспалов М.С. Базис собственных векторов ДПУ // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т.10. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, УНИПРЕСС. 2005. 20-21.

192. Беспалов М.С. Интегрирование в двоичном анализе // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 10-15 июля 2006. Тез.докл. Владимир. ВлГУ. 2006. 41-42.

193. Беспалов М.С. Матричное представление двоичного анализа Фурье // XIII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование". III междунар. симпоз. "Ряды Фурье и их приложения". Тез.докл. Ростов н/Д., ООО "ЦВВР", 2005. 10-11.

194. Беспалов М.С. Фреймы Парсеваля и дискретное преобразование Уолша // International conference "Differential Equations and Related Topics"dedic. to Ivan G. Petrovskii. Book of abstracts. Moscow, May 21-26, 2007. 34-35.

195. Беспалов М.С. Дискретное преобразование Уолша как степень для нового произведения матриц // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 14-й Саратовск. зимней школы поев, памяти ПЛ. Ульянова. Саратов. 2008. 13.

196. Беспалов М.С. Новая нумерация матриц Уолша // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Матер, конф. Воронежской зимн. ма-тем. шк. Воронеж: ВГУ. 2009. 22-23.

197. Беспалов М.С. Изоморфные структуры двоичного анализа // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 2007. 29-30.

198. Беспалов М.С. Исследование аппроксимативных свойств обобщенных мультипликативных систем функций в метриках 1?. // Диссерт. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Саратов. 1983. 94 с.

199. Беспалов М.С. Спектр унитарных операторов гармонического анализа // Тез. докл. Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль 2008. Владимир: ВлГУ. 2008. 41-43.