Интегрирование уравнения Дирака во внешнем гравитационном поле, допускающем некоммутативную группу движений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Клишевич, Владимир Владимирович

• Клишевич, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клишевич, Владимир Владимирович

Введемте .♦.—

Глава 1. Уравнение Дирака » римановом пространстве —.

1.1. Основные понятия теории симметрии. — .$

1.2. Уравнение Лираж» в ршшкжм пространстве , —.II

1.3. Методы решения уравнения Дирака

1.4. Алгоритмрешениядоставленной задачи

Глава 2, Спиворвые поля нп рямановом многообразии

2.1. Векторное шие Яно .—

2.2. Тензорное ноне Ят-Кхшпнт& ».

2.3. Сшшориыесяшсетрки в плоском пространстве. —

2.4. Стшжзрше симметрии в пространстве-де Склера

Глава 3. Алгебра. симметрии ураввенжя Дираюа в римановом пространстве с грушюй дашжштй.—.

3.1. Килтгаговы симметрии. Четырехмерная группа движений.

3.2. Спинорнме симметрия. Четырехмерна» группа движений

3.3. Килликговы шоюфп. Пятимерная группа, движений

3.4. Сямиорные симметрии. Нятямери&а крупна движений

3.5. О существовании второго оператора Дирака в риманоиом пространстве . —. —. —.

3.6. Выводы ко третьей шве.

Глава 4. Интегрирование уравнения Дирака в рхшашшом пространстве с груняой м»тжжж& —. — . —.

4,1. Интегрирование уравнения .Дирака в ркмановом пространстве с четырехмерной группой движений —.». ^

4.2. Интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве с ияти-шрной группой движений

4.3. Некоммутативное интегрирование уравнения Клейна-Фока.

4.4. Решение уравнений Эйнштейна и типы Петрова

4.5. Одна точно решаемая модель.

4.6. Выводы но четвертой главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрирование уравнения Дирака во внешнем гравитационном поле, допускающем некоммутативную группу движений»

Задача получения точных решений уравнений математической физики была, по-видимому, одной из центральных задач на »сем историческом пути развития науки. Точные решения уравнений многих физических моделей служат образцом и отправной точкой дня других более реалистических конкеидай, а также для сравнения результатов с численными расчетами. Так, в случае квантовой электродинамики знание точных решений уравнений КлейнагФока и Дирака с классическим внешним полем позволяет эффективно исследовать пронесен, происходящие в сильных электромагнитных нолях, когда не работают стандартные методы теории возмущений. Такие ситуации возникают яри изучении излучения мощных лазеров, в физике пульсаров и черных дыр, а также в космологии при исследовании ранних стадий эволюции Вселенной [80Ц87Ц224).

Вопросы получения точною решения физического уравнения напрямую связаны с но* нятием интегрируемости уравнения, Настоящая диссертация посвящена вопросам интегрирования одного из основных уравнений теоретической физики - уравнения Дирака в римановом пространстве.

Изучение уравнения Дирака в искривленном пространстве следует, непосредственно, после его изучения в пространстве плоском. Введение в рассмотрение гравитационного поля существенно меняет поведение частицы и приводит к появлению новых эффектов, которые не существуют в »лоском пространстве. Интерес к кривым пространствам появился сравнительно недавно, интенсивные исследования в области квантовой теории ноля в искривленном пространстве начались после открытия Хокингом процесса теплового излучения черных дыр [66],[221],[222]. Параллельно вот уже несколько десятков лет не прекращается работа над созданием единой теории физических взаимодействий и предпринимаются попытки включить в общую схему гравитацию. Так проведенный в работе [210] учет гравитационного взаимодействия приводит к устранению расходимостей КЭД в однодетлевом приближении и снятию известных трудностей с "нуль-зарядом* и аномальными особенностями функций Грина ("духами"). Однако последовательный учет гравитации приводит к значительным математическим трудностям. Физические уравнения становятся, как правило, яеинтегрируемыми и вопросы, связанные с изучением решений этих уравнений, остаются неисследованными.

Традиционно тачные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. Этот метод развивался длительное время и к настоящему моменту представляет собой более или менее законченную теорию. Так на сегщняшний момент времени доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [234] - [237]. Для уравнения Дирака в общем случае известны только необходимые условия о разделении переменных [240]. При некоторых ограничениях на метрику нростраиствагвремени необходимые и достаточные условия разделения неременных в уравнении Дирака получены Андрушкевичем И.Б. и Шишкиным Г.В.[4&], однако авторы ограничились лишь случаем диагональных метрик и в полном объеме вопрос не рассматривали. Только после работы Шаповалова A.B. и Широкова И.В. [22?]» доказавших теорему о некоммутативной интегрируемости системы линейных дифференциальных уравнений, на свет появились необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнения Дирака.

Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные решения в работах Багрова В.Г., Обухова В.В., Шаповалова В.Н., Шаповалова A.B., для обшей ориентации см/работы [4})[5Ц49],[5&]>[240] и цитированную там литературу. Отметим также значительный вклад американских математике» Каянинса, Миллера, Рудигера и других [25]>[2бЗ,[Зв]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных точных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы ншых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или рнмановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мер** исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получения точных решений в данном уравнении методами, отличными от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовал теория ноля при учете »оправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить.

В последнее время был разработан новый метод получения точных решений, получивший название метода некоммутативного интегрирования. Данный метод является аналогом метода точного интегрирования конечномерных гамильтоновых систем и позволяет получать точные решения дифференциальных уравнений, не допускающих полное разделение переменных. Первые результаты были получены в работах Шаповалова A.B. и Широкова И.В., цикл работ [204],[229]. В работе [227] результаты были проанализированы более подробно и указаны необходимые и достаточные условия интегрируемости системы линейных дифференциальных уравнений. В той же статье проинтегрировано уравнение Клейна-Фока в римановом пространстве нештеккелева типа, то есть пространства, не допускающею полного разделения переменных в этом уравнении. Затем в 1996 г, вышла Дирака в ргтановом пространстве штеккелева типа, не допускающего полного разделеведения классификации римановых лростршств с точки зрения нахождения в них точного решения в уравнении Дирака методом некоммутативного интегрирования,

В связи с вышесказанным основной целью настоящей диссертации является: 3) выделение метрик римановых прострадств, в которых нельзя провести процедуру разделения тивного интегрирования; 2) во всех этих римановых пространствах проведение процедуры интегрирования уравнения Дирака и Кяейна-Фсжа в некоммутативном смысле, а в тех случаях, где это возможно, также и методам разделения переметных. Решение задачи дано для класса прс^траиств, допускающих четырех-и пятямерные группы дпижавий. Диссертация объемом 142 страниц** печатного текста состоят ш введения, четырех глав, заключения, 6 таблиц, 5 приложений и списка цитируемой литератур* » 254 найме

В первой главе кратко рассматриваются общие вопросы теории симметрии дифференциальных уравнений, осуждается уравнение Дирака в рнмяодвом пространства и еш

Киляюиювые (яоренцевы) симметрии строятся по векторному коню Кшшшга, стшориые симметрии строятся по сшнорньш полям, к которым относятся поет Яда я Яно-Киялинга. Рассмотрены методы разделения переменных в уравнении Дирак*я метод некоммутативного интегрирования. Сформулирован алгоритм решения поставленной задачи.

Во второй главе для сгашоряых полей получены необходимые алгебраические условия существования на произвольном римановом шюгоо^жшя и данные условия применяются к компактным и симметрическим пространствам, а также к пространствам с материей

ВЧРЬ«*» WtttM. Ort) .»К.'ЫМШ Ш at JW- * Ьл MA IIMIJIIMOL ji IMJI ■: НИ II |Ц|Ж ^ II II й I'll !■■ II ■ ['■'frl» llHi afrri»« frVllll rrfc UlaOllML-b W4|A C^MMHilWIIJii Hi |i lib] ja&VM W Jb виде сплошной среды, о плоском пространстве и пространстве де инттера спинорные доля вычислены в явном виде, по ним построены соответствующие спинорные операторы и доказано, что эти операторы совпадают (эквивалентны). .

В третьей главе на основе классификации римановых пространств по группам движений изучена структура алгебры киллинговых и слинорных симметрий уравнения Дирака для пространств, дрпусхааоэдих четырех и пятимерные группы движений, и выделены все пространства, в которых нельзя провести стандартную процедуру разделения переменнш в уравнении Диража, но алогебра симметрии удовлетворяет условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости. В этой же главе рассмотрен вопрос о существовании в римановом пространстве второго оператора Дирака н выделен класс пространств, в которых возникают подобные явления. В тех пространствах, где возникает второй оператор Дирака) состояние частицы в некотором смысле вырождено, я введена дополнительна« величина, являющаяся аналогом четности. Здесь же доказана эквивалентность между стандартам н вторым операторам Дирака. Доя пространств с пятимерной группой движений найдены все пространства, допускающие второй оператор Дирака,

В четвертой главе для всех рассмотренных пространств из третьей главы проведена процедура некоммутативного интегрирования уравнения Дирака, и впервые найдены ре-дуцирукицне уравнения в обычных производных. Аналогичная процедура проведена для уравнения КяейнагФока. Указаны все пространства, в которых существует решение уравнений Эйнштейна, определен их тип Петрова. В конце главы приведен пример нештеккеле-ва пространства, в котором методом некоммутативного интегрирования и с помощью второго оператора Дирака построено точное решение исходного уравнения Дирака, В этом же пространстве методом некоммутативного интегрирования найдено точное решение уравнения Клейна-Фока.

В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие:

1. Нахождение алгебраических условий существования сшшорных полей на произвольном римановом многообразии; нахождение с помощью агебраичесхих условий сшшорных полей в четырехмерных симметрических пространствах и пространствах с материей в виде сплошной среды, а также в четырехмерных пространствах с четырех-и пятимерной группой движений;

2. Выделение всех четырехмерных пространств с четырех-и пятимерной группой движений, в которых нельзя провести стандартную процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, но алгебра симметрии уравнения Дирака удовлетворяет условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости;

3. Для всех пространств из пункта 2 проведение процедуры некоммутативного интегрирования уравнения Дирака и КяейнагФока;

4. Выделение класса риманотлх пространств, в которых существует второй оператор Дирака.

Всего выявлено 5 римановых пространств с пятимерной группой движений и 12 пространств с четырехмерной группой движений, для которых выполнены пункты 2,3. Для

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Клишевич, Владимир Владимирович

4.6 Выводы по четвертой главе

В 14 (из 36) римановых пространствах с четырехмерной группой движений и 7 (из 39) римановых пространствах с пятимерной группой движений уравнение Дирака проннтегриршано методом некоммутативного интегрирования. Во всех этих пространствах (за исключением двух ~ (32.7) и (32.9)) метод разделения переменных использовать не удается» т.к. не выполняется необходимое условие разделения переменных - в общем случае отсутствует тройка шммутирующих операторов первого порядка. В пространствах (32.3),(32.4)>(32.7)>(32.8),(32.9)и (32.10) интегрирование уравнения Дирака проводится методом разделения переменных, однако в метриках (32.3),(32.4),(32.8) и (32.10) это возможно только при некоторых дополнительных ограничениях на функции, входящие в метрический тензор. Все пространства, за исключением четырех (32.31),(32.34),(33.45) и (33.46), являются штеккелевьши, типа (2,п'). Однако штеккелевость пространства, как мы видим из этих многочисленных примеров, не является критерием разделения переменных в уравнении Дирака. Очень интересны примеры, в которых базис решений может быть найден двумя способами сразу: и методом разделения переменных и методом некоммутативного интегрирования. Значение различных базисов решений для одного и того же уравнения в полной мере должно быть раскрыто при постановке граничной задачи для уравнения Дирака. Аналогичные замечания следует сделать для уравнения Клейна-Фока.

Ш1,Л1и Ч^ШИС

Выяснение интегрируемости уравнения Дирака в заданном пространстве дает важную информацию о построении точного решение. Автор не отрицает, что сам факт нахождения точного решения может встретить значительные трудности. Однако предпочтение следует все-таки отдавать пространствам, в которых установлен факт интегрируемости. Все физически важные для приложений пространства обладают этим фактом. I это не случайно. Интегрируемость уравнения в том или ином смысле отражает наличие нетривиальной внутренней структуры данного пространства, что может быть использована для различных физических приложений.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации: 1) Найдены необходимые алгебраические условия существования свинориых нолей на риманоаом многообразии пршзвольн<й размерности и сигнатуры; с помощью данных условий впервые изучен вопрос о существовании сшшорных полей в компактных, симметрических пространствах и пространствах с материей; 2) Для римаиовых пространств с четырех~и пятимерной труппой движений вычислены компоненты спиноряых полей, изучена структура алгебры симметрии уравнения Дирака; указаны тождества в алгебре симметрии уравнения Дирака; 3) Среди римаиовых пространств с четырех-и пятимерной группой движений выделены

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клишевич, Владимир Владимирович, 1999 год

1. Alvaress О. Theory of strings with boundaries. Fluctuations, topology and qyantum geometry. J.Nud.Phys, 1983, N216, p.125.

2. Alvarez O., Singer I., Zumino B. Gravitational anomalies and the family's index theorem. J.Math.Phys, 1984, N96, p.409.

3. Bagrov V.G. and Obttchov V.V. New method of integration for the Dirac equation on curved space-time. J.Math.Phys, 1992, v.33, N6, p.2279-2289.

4. Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevkh A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces. Class.Quantura Grav., 1990, N7, p.517-631.

5. Bagrov V.Q., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac. equation in StacM spaces: II. External gauge fields. 01«,Quantum Grav., 1991, N8, p.163-173.

6. Benenti S. Lecture Notes in .Mathematics, Berlin: Springer, 1980. .

7. Benn I.M., Chariton P. Dirac symmetry operator«? from conform»! Killing-Yano tensors.1999.

8. Carter B. Hamilton-J aeobi and Scbrodinger separable solution of Einstein's equation. J.Math.Phys, 1968, N10, p.280-310.

9. Carter B. Global structure of the Kerr family of gravitational fields. Phys.Rev., 1968, N174, p. 1559.

10. Carter B. Killing tensor quantum numbers and conserved currents in curved space. Phye.Eev., 1977, D16, p.3396-3414.

11. Carter B. and McLenaghan E.G. Generated total angular momentum operator for the Dirac equation in curved spactHtime. Phys.Rev,, 1979, Dl9, p.1093-1097,

12. Cbandrasekhar S. The solution of Dirac's equation in Kerr geometry. Proc. Roy. Soe. London, 1976, v.349, p.571-575.

13. Belong R.P. Killing tensors and Hamilton-Jacobi equations. Minnesota, 1992.

14. Dieta W. and Rudiger R. Space times admitting Killing - Yano tensors. I. Proc.Roy.Soc.London, 1981, A375, p.361.

15. Diet:« W. and Rudiger R. Space times admitting Killing - Yano tenzors. II. Proc. Roy.Soc.London, 1981, A381, p.315.

16. Egnchi T., Gilkey P.B. and Hanson A.J. Gravitation, gange theories and differentialgeometry. Phys,Reports, 1980, N66, p.213.1.. Espomto G. Dirac operator and Spectral Geometry, hep-th/9704016, 1997.

17. Espoaito G, Dirac operator and eigenvalues in Riemaimian geometry. SISSA, 1994.

18. Palomir H. Global boundary conditions for the Dirac operator, physics/9705013, 1997.

19. Frieda«. 3D. and Windey P. Supersymmetrie derivation of the Atiyah ~ Singer index and the cbiral anomaly. .T.Hnd.Phys, 1984, N235, p.395.

20. Greenberg M.J. Lectures on Algebraic Topology. Benjamin, 1967.

21. Hannibal L., Ossactzky C. Dirac Theory in Space-Time without Torsion, 1999, PACS 04.20.

22. Hawking S.W. and Pope G.N. Generalized spin structures in quantum gravity. J.Phys.Lett, 1978, N73, p.42.

23. J-W van Holten, A.Waldron, K.Peeters An index theorem for non-standard Diracoperators, hep-th/9901163, 1999.

24. Kalniws E,> Miller W.Jr., Williams G. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables. J.Math.Phys, 1986, v.27, N7, p.1893-1899.

25. Kainins E.G. Separation of variables for Riemannian spaces of constant curvature. New1. York: Longman, 1986.

26. Kainins E.G., Miller W.Jr. Lie theory and the wave equation in space-time 1, The Loxents group. J.Math.Phys, 1977» v. 18, N1, p,!M6.

27. Kahiins E.G., Miller W.Jr. Lie theory and the wave equation in space-time 2. The group $0(4.0). J.Math.Phye, 1978, v,9, N1, p.12-33.

28. Kalnins E.G., Miller W.Jr. tie theory and the wave equation in space-time 3. Semisnbgroup. J.Math.Phye, 1977, v. 18, N2, p.271-280.

29. Kalnins E.G., Miller W.Jr. Lie theory and the wave equation in space-time 4. The KleinGordon equation the Poincare group. J.Math.Phye, 1978, v. 19, N6, p. 1233-1246.

30. Kalmus E.G., Miller W.Jr. Lie theory and the wave equation in space-time 5. R-separable solutions of the wave equation фи~&зФ 0- J.Math.Phye, 1978, v. 19, N6, p.1247-1257.

31. McLenaghan E.G. and Spindel Ph. Phys.Rev, 1979, D 20, p.409.

32. Nash C., Sen C. Topology and Geometry for Physicists. Academic Press, 1983.

33. Nurowski P., Prsanowski M. A four dimenrional example of licci flat metric admitting almost-kähler non-kähler structure. 1998, p.1-8.

34. Penrose R. Ann. NY Acad. Sei. 224,125, 1973.

35. Radiger R, Separable systems for the Dirac equation in curved space-time. J.Math.Phye, 1984, N25, p.649.

36. Seiberg N. and Witten E. Spin structures in string theory. J.Nud.Phys, 1986, N276,p.272.

37. Skyrme T.H.R. Kinks and the Dirac equation. J.Math.Phye., 1971, N12, p.1735-1742.

38. Varaksin G.L., Klishevich V. V. Integration of Dirac's equation with a group of motion in Riemannian spaces. Quantum field theory and gravity. Second International Conference, Russia, Tomsk, 1997, p.305-308.

39. Villalba V.M. Exact solutions to the Dirac equation in the presence of an exact gravitational plane wave. J.Phys.Lett, 1989, N45, p. 197-199.

40. Wen X.G. and Witten E. Electric and magnetic charges in superstring models. J.NuciPhys, 1985, N261, p.651.

41. Witten E. Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geo, 1982, N17, p.661-692.

42. Адаме Дж. Лекции no группам Ли. М.: Наука, 1979.

43. Алексеев Г.А., Хлебников В.И. Формализм Ныомен»-Пенроуза и «то применение в общей теории относительности. ЭЧАЯ, 1978, т.9, стр.790-1070.

44. Андрушкевич Й.Е., Шишкин Г.В. О критерии разделимости переменных в уравнении Дирака в гравитационных полях. ТМФ, 19S7, т.70, N2, стр.289-302.

45. Арнольд В.Й. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

46. Аронсон Э.Б., Малкнн Й.А., Манько В.И. Динамические симметрии в квантовойтеории. ЭЧАЯ, 1974, N6, стр.122-132.

47. Ахиезер А.Й., Верестедкий В В. Квантовая этктрсщннамнка, М.; Наука, 1969.

48. Багров В.Г., Гнтман Д.М., Задорожный В.Н., Сухомлив Н.В., Шаповалов В Н. Новые точные решения уравнения Дирака. Известия вузов. Физика, 1978, N2, стр. 13-23.

49. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов A.B. Полное разделение переменных в свободном уравнении ГамильтонагЯкоби. ТМФ, 1993, т.97, N2, стр.250269.

50. Багров В.Г., Мешкав А.Г., Шаповалов В.Н., Шаповалов A.B. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона. Известия вузов. Физика, 1973, N11, стр.66-72.

51. Багрю В.Г., Обухов В.В. Проблема полного разделения переменных в квадриро-ванном уравнении Дирака. Известия вузов. Математика., 1994, N2, стр. 11-14.

52. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов A.B. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движений. Постановка задачи и набор типа (2.1). Известия вузов. Физика., 1983, N1, стр.6-10.

53. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов A.B. Штеккелевы пространства отектраваку-ума с двухпараметрнческой абелевой группой движений. Набор типа (2.0). Известия вузов. Физика., 1983, N3, стр. 115-120.

54. Багров В.Г., Обухов В.В., Шаповалов A.B. Специальные штеккелевы пространства энектровакуума. Известия вузов. Физика, 1983, N12, стр. 104-106.

55. Багров В.Г., Обухе® В.В., Шаповалов A.B. Поля тяготения в проблеме Вадья, допускающие разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Известия вузов. Физика, 1986, N10, стр.5-10.

56. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов А.В,, Широков И.В. Подалгебры алгебры конформной группы с нетривиальным центром. Известия вузов. Физика, 1990, N5, стр,45-48.

57. Багра» В.Г.,Гмтман Д.М./ГерновИ.М.Далилав В.Р.,Шаповалов В.Н Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосибирск: Наука, 1982.

58. Багров В.Г.,Самосоиов Б.Ф.,Шаповалов А.В.,Широков И.В. Тождества на решениях волнового уравнения в обертывающей алгебре конформной группы. ТМФ, 1990, т 83, М, стр,14-22,

59. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М.: Мир, 1980.

60. Березанскнй Ю.М. Разложение но собственным функциям самосопряженных операг торов. Киев: Наукова думка, 1965,

61. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1966,

62. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующммн переменными, М.: МГУ, 1983.

63. Берестецкий В.Б., Лифшиц Б.М., Пит&евский Л.П. Квантовая электродинамика. Мл Наука, 1989, т.1¥,

64. Берке У. Пространство-время, геометрия, космология. М.: Мир, 1986.

65. Биррел Н, Денис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени, М.: Мир, 1984.

66. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

67. Бояахов А.А., Ляхоюский В.Д. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.; ЛГУ, 1983,

68. Бринк Л., Эино М. Принципы теории струн. М.: Мир, 1991.

69. Бьёркен Дж,Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. М.: Наука, 1978. т.1,2.

70. Вайяберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности. М.: Мир, 1975.

71. Вараксии О.Л., Клишевич В.В. Интегрирование уравнения Дирака в римаиовом пространстве с пятимерной группой движений. Известии вуэов. Физика. 1997. N8. е,24-28.

72. Вараксии О Л., Фирстов ВВ., Шаповалов А.В., Широков Й.В. Классификация F-алгебр и некоммутативное интегрирование уравнений Клейна- Гордоиа вримаяовыхпространствах. Известия вузюв. Физика, 1993» N1, стр.45-50.

73. Вараксии О.Л., Широков Н.В. Интегрирование уравнения Дирака, не допускающего полное разделение переменных в штеккелевых пространствах. Известия вузов. Физика., 1996, N1 , стр.31-37.

74. ВеЙль Г. Теория групп и квантовая механика М.; Наука, 1986, стр. 1-495.

75. Владимиров С.А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. М.: Атомиздат, 1979.

76. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоиздат, 1982.

77. Волович И.В., Загребиов В.А., Фролов В.Н. Квантовая теория поля в асимптотически плоском пространстве - времени. ЭЧАЯ, 1979, т.9, стр.147.

78. Вялыдев А.Н, Дискретное пространство-время. М.: Наука, 1965.

79. Гальцов Д.В. Частицы и ноля в окрестности черных дыр. М.: МГУ, 1986.

80. Гельфанд Й.М., Яглом A.M. Общие релятивистски инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца. ЖЭТФ, 1948, т. 18, N8, стр.703-733.

81. Гитмаи Д.М., Тютии Й.В. Каноническое квантование нолей со связями. Мл Наука, 1986.

82. Годунов O.K. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.

83. Голдстейн Г. Классическая шкалика. М.: Наука, 1975.

84. Грановский Я.Й., Жедаиов А.С., Луценко Й.М. Квадратичные алгебры и динамическая симметрия уравнения Шредингера. ЖЭТФ, 1991, т.99, N2, стр.369-377.

85. Грановский Я.И., Жеданов A.C., Луценко М.М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве 1. Осциллятор. ТМФ, 1902, т.91, N2, стр.207-216.

86. Гриб A. A., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вакуумные квантовые аффекты в сильных полях. Мл Энергоатомиздат, 1988.

87. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. М.: Мир, 1990, т. 1,2.

88. Громол Д., Клит«нберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971,

89. Денисов В.И., Логунов A.A. Новая теория пространства^времени и тяготения. ВЧАЯ, 1982, т. 13, стр.757.

90. Денисов В.И., Логунов A.A., Мествирншвили М.А. Полевая теория гравитации и новые представления о пространстве-времени. ЭЧАЯ, 1979, т. 12, стр.5.

91. Джеффрис Г., Свирлс В. Методы математической физики. Выпуск 3. М.: Мир, 1970.

92. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.; Наука, 1979.

93. Дирак П. К созданию квантовой теории поля. М,: Наука, 1990.

94. Дрокин A.A., Шаповалов A.B., Широков И.В. Редукция и некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений. Известия вузов. Физика, 1993, N11, стр.114-117.

95. Дубровин В.А., Новике» С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия, Методы и приложения. М.: Наука, 1979.

96. Желнороюич В. А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике. М. : Наука, 1982,

97. Желобеиш Д.Ф., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983.

98. Захаров В.Е., Маяаков C.B., Новиков С.Н., Нитаевский Л.П. Теория солнтоно». Метод Обратной задачи. М.: Наука, 1980.

99. Зельдович Я.В., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971.

100. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.

101. Зельмаие® A.JI., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности. М.: Наука, 1989.

102. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.г Наука, 1983.

103. Иваницкая 0.0. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории

104. Минск: Наука и техника, 1979.

105. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая -теория поля. М.: Мир, 1984. т. 1,2.106. Йост Р. Обедаятеория квантованных полей. М.: Мир, 1967.

106. Карасев М.В., Масло» В,П. Нелинейные скобки Яуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

107. Картам 9, Интегральные инварианты. ЙЛ: Гостехиздат, 1Í40.

108. Картан Э. Теория спиноров. М.: ЙЛ, 1947.

109. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

110. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

111. Клишевич В. В. К вопросу о выборе спиновой связности при изучении уравнения Дирака в риманошм пространстве. Вестник Омского университета. Физика. 1998. N4. с. 19-21.

112. Клишевич В В. Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака вришщовом пространстве. Вестник Омского университета. Физика. 1999. N3. с,53-55.

113. Клишевич В.В. Об интегрировании уравнения Дирака в одном римановом пространстве. Труды 10 Сибирской Геометрической конференции, г.Томск, 1998, с. 2734.

114. Клишевич В.В. Спинорные симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве м Ситтера. Труды Ш Сибирской Геометрической конференции, г.Томек, 1998 г., с.35-41.

115. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.11?. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике. УМН, 1983, т.38, N1, стр.3-37.

116. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анаг лиза, М,: Наука, 1989.

117. Кононельченко В.Г. Группы симметрии в квантовой теоршиоля. ЭЧАЯ, 197?, т.8, стр.135,

118. Консшельченко В.Г,, Мохначев В.Г. К групповому анализу дифференциальных уравнений. ЯФ, 1979, т.ЗО, N2, стр.559-567.

119. Конопяева H.H., Попов В.Н. Калибровочные ноля. Мл Атомиздат, 1980.

120. Кострикин А,И., Мания Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Паука, 1985.

121. Крамер Д., Штефани X,, Хердьт Э , Мак-Каялуш М. Точные решения уравнения Эйнштейна. Мл Энергоатомиздат, 1982.

122. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, М.-Лл ГИТТЛ, 195. т. 1,2.

123. Ландау Л.Д., Лившиц Б.М. Механика, Мл Наука, 1988, т.1.

124. Ландау Л.Д., Лнфшиц Е.М. Теория поля. Мл Наука, 1988, т.Н.

125. Ландау Л.Д., Лифшиц K.M. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Мл Наука, 1989, т.Ш.

126. Левитан Б.М,, Саргсян U.C. Операторы Штурма Лиувилля м Дирака. М.; Наука,1988.

127. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Точные решения для цилиндрически-симметричных конфигураций каяибрсаючных полей. ЭЧАЯ, 1981, т. 12, стр.125.

128. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Вопросы теории представлений полупростых груш Ли. ЭЧАЯ, 1976, т.7, стр.55.

129. Лезнов А.Н., Савельев М.В., Федосеев И.А. Точно решаемые квантовомехаяические и двумерные квштовополевые системы. ЭЧАЯ, 1985, т. 16, N1, стр.183.

130. Малкин Ж,А., Манько В.Н. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. Мл Наука, 1979.

131. Манин Ю. Калибровочные поля и комплексная геометрия. Мл Наука, 1984.

132. Марченко В, А. Спектральная теория оператора Штурма Лиувшшя. Киев: Наукова Думка» 1977.

133. Масло® В.Н. Асимптотические метода и теория возмущений. Мл Наука, 1988.

134. Меллер К. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975.

135. Мешков А.Г. Симметрия скалярных полей -1. ТМФ, 1982, т.51, N1, стр.57-61.

136. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. т. 1,2,3,

137. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

138. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

139. Милиор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.

140. Милиор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир,1972.

141. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относительности. М.: Наука, 1969.

142. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.:1. МГУ, 1980.

143. Мозер Ю. Лекции о хамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

144. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, I960, т. 1,2.

145. Мостепаненко A.M. Пространство-время и физическое познание. М.: Атомиздат, 1975.

146. Мэтыоз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М,: Атомиздат, 1972.

147. Ваммарк М.А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.

148. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

149. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

150. Никитин А.Г. Обобщенные тензоры Киллинга произвольного ранта и порядка.

151. УМН, 1991, т.43( N6, стр.786-795.

152. Никитин А.Г., Сегеда Ю.Н., Фущич В.И. О дополнительной инвариантности уравнений Кеммера Дэффина и Рариты - Швингера. ТМФ, 1976, т.29, N1, стр.82-94.

153. Обухов В.В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна. Известия вузов. Физика, 1977, N2, стр.73-77.

154. Обухов В.В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна. Известия вузов. Физика, 1977, N5, стр. 148-150.

155. Овсянников J1.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1993.

156. Овсянников Л.В. Группы и инвариантные относительно группы решения дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1966.

157. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений, Новосибирск, 1966.

158. Окунь Л.Б. Лептоиы и кварки. M.t Наука, 1990, стр. 1-345.

159. Окунь Л.В. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 1988, стр. 1-272.

160. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. M.t Мир, 1989.

161. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции, М.: Наука, 1990.

162. Осиновский М.Е., Тесяенко O.A. Глобальный анализ вакуумных пространств третьего типа, допускающих двумерную коммутативную группу изометрий. 83С40, 1971, стр.111-119»

163. Иавяенко Ю.Г. Гамильтоновы методы в электродинамике и квантовой Мл МГУ, 1985.

164. Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991, стр. 1-324.

165. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.

166. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство время. Два-с л шкурное исчисление. Мл Мир, 1987.

167. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Спинорные ж твиешриые методы. М.; Мир, 1988.

168. Перкинс Д. Внешние в физику высоких энергий. М.: Энергоатомиздат, 1991.

169. Петров А.З, Пространства Эйнштейна. М.: Наука, 1961.

170. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1966.

171. Петров А.З., Кайгородш В.Р., Абдуллнн В.Н. Классификация нолей тяготения общего вида но группам движений. I. Известия вузов. Математика, 1959, N6, стр.118130.

172. Петров А.З., Кайгородов В.Р., Абдуляин В.Н. Классификация нолей тяготения общего вида по группам движений. П. Известия вузов. Математика, 1960, N4.

173. Петров А.З., Кайгородов В.Р., Абдуллин В.Н. Классификация нолей тяготения общею вида по грушам движений. Ill Известия вузов. Математика, 1960, N4.

174. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

175. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.; Мир, 1983.

176. Понтрягин Л.О. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

177. Постников М.М. Лекции по геометрии. Аналитическая геометрия. Семестр I. М.: Наука, 1986.

178. Постников М.М. Лекции по геометрии. Линейная алгебра. Семестр 11. М.: Наука,1986.

179. Постников М.М. Лекции по геометрии. Гладкие многообразия. Семестр III. М.: Наука, 1987.

180. Постников М.М. Лекции по геометрии. Дифференциальная геометрия. Семестр IV. M.i Наука, 1988.

181. Постников М.М. Лекции по геометрии. Группы и алгебры Ли. Семестр V. М.: Наука,1982.

182. Пресли Э., Сигал Г. Группы петель. Мл Мир, 1990.

183. Пуанкаре А. Избранные труды. Новые методы в небесной механике, Мл Наука, 1971, т. 1,2. .

184. Райдер Л. Квантовая теория поля. Мл Мир, 1987.

185. Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс. Мл Мир, 1984

186. Рашевский П.К. Рнманова геометрия и тензорный анализ. Мл Наука, 1967.

187. Рид М., Саймон Б. Методы современной магматической физики. Мл Мир, 1982. т. 1,2,3,4.

188. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Мл Мир, 1982.

189. Родичев 1.1, Теория тяготения в ортогональном репере. Мл Наука, 1974.

190. Сигая Й.Е. Математические проблемы релятивистской физики. Мл Мир, 1968.

191. Синг Д. Общая теория относительности. Мл. ИЛ, 1963.

192. Склянин Б.К. Об одной алгебре, порождаемой квадратичными соотношениями. УМН, 1985, т.40, N2, стр.214-220.

193. Славиов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. Мл Наука, 1978.

194. Смирнов В,А., Толешиникш Г.К., Шондяи Ю.Г. Ассоциативные алгебры обобщенных функций н их применение в квантовой механике. ЭЧАЯ, 1983, т. 14, N6, стр.1030.

195. Стериберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. Мл Мир, 1970.

196. Толшн Р. Относительность, термодинамика, космология. Мл Наука, 1974.

197. Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике. Мл Энергоатомиздат, 1985.

198. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. Мл Мир, 1989,

199. Фаддеев Л.Д. Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна. УФН, 1982, т. 133,стр.435.

200. Фаддеев Л.Д., Якубовский O.A. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: ЛГУ» 1980.

201. Федосеев В.Г., Шаповалов A.B., Широков И.В. О некоммутативном интегрировании уравнения Дирака в римаиовом пространстве с группой движений. Известия вузов. Физика, 1991, N9, стр.43-46.

202. Фейнман Р. Теория фундаментальных процессов, M.t Наука, 1978.

203. Филиппов А.Т. Нетривиальные решения нелинейных задач теории поля. ЭЧАЯ, 1980, т. 11, N3, стр.735.

204. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Гостехиздат, 1955.

205. Фоменко А.Т. Сжмллектическая геометрия. Методы и приложения. М.: МГУ, 1988.

206. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия я топология. Дополнительные главы. М.: МГУ, 1983.

207. Фомин Н.И. Некоторые вопросы квантовой электродинамики на малых рассяояниях. ЭЧАЯ, 1976, т.7, N3, стр.687-725.

208. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969.

209. Фушич ВЖ О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения. ТМФ, 1971, т.7, N1, стр.3-12.

210. Фувдич В.И., Никитин А.Г. О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака. ЭЧАЯ, 1983, т.14, N1, стр.5.

211. Фушич В.Ж., Никитин А.Г. Уравнения движения для частиц произвольного спина, инвариантные относительно группы Галилея. ЭЧАЯ, 1981, т. 12, стр. 1157.

212. Фущич В.И., Никитин А.Г. Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина. ЭЧАЯ, 1978, т.9, стр.501.

213. ФущичВ.Й., Ншоттин А.Г. Симметрия уравнений Максвелла. Киев; Наукова думка, 1083.

214. Футт В.И., Штеаень В.М., Серов 1.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных ураш!ений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1982.

215. Харт Н. Геометрическое квантование в действии. М,: Мир, 1985,

216. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметричные пространства. М. г Мир,1964.

217. Хокинт С., йзраэль В. Общая теория относительности. I. Вводный обзор. УФН, 1981, т. 133, стр.139.

218. Хокинг С., Эллмс Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир» 1977.

219. Хокинг С.У. Йространственн^временная нена//Геометрическне щк в физике/ п/р Ю.й. Манина. М.: Мир, 1983, стр.47.

220. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрецингера (с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии). М.: Мир, 1990.

221. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. М.: Мир, 1986. т. 1,2.

222. Черников H.A., Шавохина Н.С. Квантование спинорного поля в сферическом мире.

223. ТМФ, 1973, т. 16, N1, стр. 77-89.

224. Шаповалов A.B., Широков ЕВ. Об алгебре симметрии линейного дифференциального уравнения. ТМФ, 1992, N1, стр.3-12.

225. Шаповалов A.B., Ширшов Я,В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений. ТМФ, 1995, т. 104, N2, стр. 195-213.

226. Шаповалов A.B., Широко© И.В, Представления алгебр Ли и проблема некоммута

227. Фшика, 1991, N4, стр.95-Ш.

228. Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование уравнений Клейна Гордона и Дирака в ркмановых пространствах с группой движений. Известия вузов. Физика, 1991, N5, стр.33-38.

229. Шаповалов В.Н. Пространства Шгеккеля. Сибирский математический журнал, 1979, т.20, N5, стр. 1117-1130.

230. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока. Известия вузов. Физика., 1975, N6, стр.57-63.

231. Шаповалов В.Н. Вычисление алгебры симметрии уравнения Дирака. Известия вузов. Физика., 1988, N4, стр. 146-148.

232. Шаповалов В.Н. К групповым свойствам линейных уравнений. Известия вузов. Физика., 1968, N6, стр.75-80.

233. Шаповалов В.Н. Симметрия дифференциальных уравнений. Известия вузов. Физика, 1997, N6, стр.57-70.

234. Шаповалов В.Н. Симметрия » разделение переменных » линейном дифференциальном уравнении второго порядка 1. вузов. Физика, 1978, N5, стр. 116* 122.

235. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка 2. Известия вузов. Физика, 1978, N6, стр. 7-10.

236. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1980, т. 16, N10, стр.1864-1874.

237. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби 1,2. Известия вузов. Физика, 1978, N9, стр. 18-27,

238. Шаповалов В.Н., Экле Г.Г. Полные наборы н интегрирование линейной системы первого порядка 1,2. Известия вузов. Физика, 1974, N2, стр.83-92.

239. Шаповалов В.НМ Экяе Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака. Элиста: Калмыцкий университет, 1972.

240. Шварц A.C. Квантовая теория поля и топология. Мл Наука, 1989.

241. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М.: ИЛ, 1963.

242. Швиигер Ю. Частицы. Источники. Поля. М.: Мир, 1976. т.1,2.

243. Широков А.П. Об одном свойстве ковариантно постоянных аффиноров. ДАН, 1955. т. 102. N3, стр.461-464.-142

244. Широков И.В. Релятивистские скалярные уравнения для частицы с нроизвольным спиши. Известия вузо». Физика, 1992, N6, стр.39-44.

245. Широков H.A. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановмх пространствах. Изв. Казанск, физ.-матем. об-ва, 1925, т.сер.2. N25,

246. Шнфф Л. Квантовая механика. М.; ИЛ, 1959.

247. Шутд Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир, 1984.

248. Эйзенхарг Л.П, Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947.

249. Эйзенх&рт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948.

250. Эйнштейн А. Собрание сочинений. М,: Наука, 1966. т.1,2.

251. Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака. Известия вузов. Физика., 1972, N2, стр. 84-89.

252. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. М.; ИЛ, 1957.254. n/р Тредера Проблемы физики: классика и современность. М.: Мир, 1982.