Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Магазев, Алексей Анатольевич

• Магазев, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Магазев, Алексей Анатольевич

Введение

1 Функции Казимира и группы Ли с неполуотделимым пространством орбит

1 Орбиты коприсоединенного представления. Структура орбит

2 К-орбиты и дикие группы Ли.

3 К-орбиты, однородные пространства и ^"-алгебры инвариантных функций.

2 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах

4 Метрики на однородных пространствах.

5 Свойства геодезических потоков для центральных метрик

6 Построение канонического преобразования.

7 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах

7.1 Интегрирование геодезических потоков с G-инвари-антными метриками.

7.2 Интегрирование геодезических потоков с центральными метриками.

7.3 Геодезические потоки на однородных пространствах с биинвариантными метриками.

8 Классификация четырехмерных однородных G-пространств с интегрируемыми геодезическими потоками.

3 Гамильтоновы системы в вариациях и интегрирование уравнения Якоби на однородных пространствах

10 Гамильтоновы системы в вариациях.

11 Геодезические потоки и уравнение Якоби на римановых многообразиях

12 Расширенные геодезические потоки на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками

13 Интегрирование геодезического потока и уравнения Якоби на плоскости Лобачевского.

4 Интегрирование квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками

14 Квантовые уравнения на однородных пространствах с центральными метриками

15 Редукция квантовых уравнений на однородных пространствах

16 Интегрирование квантовых уравнений и вычисление функций Грина на однородных пространствах с центральными метриками.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах»

Несмотря на впечатляющие достижения в области построения объединенной теории фундаментальных сил Природы, современная физическая наука на сегодняшний день не имеет полной и удовлетворительной теоретической картины, способной единым образом описывать все существующие виды взаимодействий. Как известно, наибольшие сложности связаны с проблемой построения логически замкнутой теории квантовой гравитации, что объясняется существенной нелинейностью классических уравнения гравитационного поля, полученных в рамках общей теории относительности. В течение достаточно длительного периода времени предпринимались многочисленные усилия в этом направлении, но непротиворечивой схемы квантования гравитационного поля и удовлетворительного включения гравитации в другие виды взаимодействий до сих пор не существует. Тем не менее, отсутствие на сегодняшний день полной и логически законченной квантовой теории гравитации не лишает возможности исследовать влияние гравитационного поля на отдельные квантово-полевые эффекты в рамках так называемой квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени.

Математически задача исследования квантово-полевых эффектов в искривленном пространстве-времени представляет собой некоторое приближение к пока не созданной квантовой теории гравитации, при котором гравитационное поле рассматривается как классическая фоновая метрика пространства-времени, а материальные поля представляют собой стандартные квантованные объекты (однопетлевое приближение) [1-4]. Исходя из подобной постановки задачи, уже на первоначальном этапе можно выделить круг особо важных и актуальных вопросов, без разрешения которых немыслимо успешное развитие данного формализма. В частности, к подобным вопросам можно отнести построение методов вычисления вакуумного тензора энергии-импульса, а также разработку методов перенормировки для устранения формальных бесконечностей в пространствах с нетривиальной топологией [5-10]. Кроме этого, одной из основных задач квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени является задача аналитического исследования различных эффектов самодействия и взаимодействия полей негравитационной природы, что в конечном итоге сводится к построению так называемой матрицы рассеяния (5-матрицы) [11-14].

Решение любой из вышеперечисленных задач, а также ряда других актуальных проблем квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени в конечном итоге связано с необходимостью точного интегрирования квантовых релятивистских уравнений, описывающих поведение квантованных полей различной природы. Исключительную роль при этом играют классы точно интегрируемых уравнений, так как с помощью точных решений удается получить достаточно строгие и детальные теоретические результаты.

Отличительной особенностью точно интегрируемых дифференциальных уравнений является наличие различного рода симметрий. В частности отметим тот факт, что все имеющиеся на сегодняшний день важные теоретические результаты в теории квантованных полей в искривленных пространствах получены лишь в рамках простейших космологических моделей, большинство из которых относятся к типу однородных изотропных пространств с достаточно богатыми группами симметрий [15-17]. Выбор подобных моделей, как правило, обусловлен наличием возможности получения точных аналитических решений соответствующих классических и квантовых уравнений, а также стремлением проиллюстрировать лишь определенные аспекты теории.

Так, например, большинство популярных на сегодняшний день космологических моделей сводятся к типу однородных изотропных пространств Робертсона-Уокера [1]. Метрика пространства Робертсона-Уокера является наиболее простым обобщением метрики пространства Минковского, что дает возможность использовать вычислительные методы обычной квантовой теории поля в плоском пространстве. Несмотря на это, уже на примерах этой простейшей модели было продемонстрировано существование некоторых нетривиальных квантовых эффектов, не имеющих места в плоском пространстве-времени [18-21]. Кроме пространств Робертсона-Уокера, особое внимание специалистов также привлекает пространство де Сит-тера [22-28], которое является единственным искривленным пространством с максимальной группой движений. Оно обладает той же степенью симметрии, что и пространство Минковского (10-параметрическая группа £>0(1,4)), что также весьма облегчает различные аналитические расчеты.

Вышеуказанные модельные примеры, а также ряд анизотропных космологических моделей [29], использующихся в современной квантовой теории поля и общей теории относительности, тем не менее носят довольно ограниченный модельно-зависимый характер. Как было уже замечено, подобные пространства обладают значительной степенью симметрии, что дает возможность сравнительно легко осуществлять процедуру интегрирования квантовых и классических уравнений. Однако с другой стороны, наличие богатой группы симметрий устанавливает довольно жесткие ограничения на свойства самой модели. Поэтому в настоящее время в качестве одной из актуальных проблем квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени выступает проблема рассмотрения класса римано-вых пространств, обладающих небольшим числом симметрий (либо не имеющие их вовсе), в которых тем не менее возможно осуществление аналитически точного интегрирования соответствующих уравнений. В частности, особый интерес представляют классы моделей, имеющих скрытые (неявные) симметрии, то есть симметрии, не сводящиеся к группам движений римановых пространств.

В настоящей работе в качестве наиболее естественного обобщения традиционных моделей квантовой теории поля и общей теории относительности рассматривается класс однородных пространств с двумя естественными типами римановых структур — инвариантными метриками, определяющими действие группы на однородном пространстве как преобразование, сохраняющее данную метрику, и так называемыми центральными метриками или метриками субмерсии [30,31], обладающими неявными симметриями. Отметим, что класс центральных метрик на однородных пространствах является гораздо более широким, чем класс инвариантных метрик, в частности, можно утверждать, что центральная риманова метрика локально существует на любом однородном пространстве (для инвариантных метрик в общем случае это не верно). В настоящей работе будет показано, что несмотря на более общий характер центральных метрик, наличие скрытых симметрий в ряде случаев все же допускает осуществление точного интегрирования соответствующих уравнений на этих многообразиях.

Построение точных решений фундаментальных уравнений математической физики, и в частности, нахождение условий, при которых построение подобных решений возможно, является основной задачей теории точного интегрирования дифференциальных уравнений. Разработка этого направления тесным образом связана с теорией симметрий, главной задачей которой является изучение определенных алгебраических свойств рассматриваемых уравнений [32-39]. Одним из наиболее популярных методов интегрирования дифференциальных уравнений является метод разделения переменных, использующий коммутативные алгебры операторов симметрии [40-42]. Тем не менее, довольно часто встречаются уравнения не допускающие решение указанным методом, поэтому все большую актуальность представляют альтернативные способы точного интегрирования, выходящие за рамки метода разделения переменных.

Одним из наиболее перспективных в настоящее время методов нахождения точных решений дифференциальных уравнений является относительно недавно разработанный метод некоммутативного интегрирования [43-45]. Используя в полной мере некоммутативные симметрии исходного уравнения, данный метод не только является удобной альтернативой метода разделения переменных, но и кроме того позволяет решать класс задач, неинтегрируемых традиционными способами.

Основной задачей, которую мы будем решать в настоящей работе, является построение методов точного интегрирования геодезических потоков и соответствующих релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. При этом, по аналогии с методом некоммутативного интегрирования, для построения решений будут привлечены все симметрии исходной задачи. Кроме того, в работе также будут получены необходимые и достаточные условия интегрируемости указанных уравнений, что является полезными при выборе конкретных теоретических моделей, допускающих точное аналитическое описание.

Диссертация объемом 109 страниц машинописного текста состоит из введения, четырех глав, 16 параграфов, заключения, приложения и списка цитируемой литературы из 102 наименований.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Магазев, Алексей Анатольевич

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построены все инварианты коприсоединенного представления (функции Казимира) вещественных групп Ли размерности меньше шести. На основе полученных результатов выделены две дикие группы Ли с неполуотделимым пространством орбит коприсоединенного представления.

2. Рассмотрен класс неинвариантных римановых метрик на однородных пространствах (так называемые центральные метрики или метрики субмерсии), геодезические потоки которых допускают скрытые интегралы движения. Показано, что геодезические на однородных пространствах центральных метрик можно интерпретировать как проекции геодезических соответствующих левоинвариантных метрик на группах Ли.

3. Предложен алгоритм интегрирования в квадратурах геодезических потоков на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками. Разобраны два нетривиальных примера интегрирования геодезических потоков на однородных пространствах с пятимерными группами преобразований. Приведена классификация четырехмерных однородных пространств с группами преобразований размерности меньше шести, которые допускают интегрирование в квадратурах рассматриваемых геодезических потоков.

4. Показано, что на произвольном римановом многообразии уравнение геодезических и уравнение Якоби можно рассматривать как расширенный геодезический поток на касательном расслоении данного многообразия, снабженном римановой структурой специального вида. Доказано, что условие интегрируемости уравнения Якоби эквивалентно условию интегрируемости в квадратурах исходного геодезического потока. Построен алгоритм интегрирования в квадратурах уравнений Якоби на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками.

5. Предложен алгоритм точного интегрирования квантовых уравнений на искривленных римановых пространствах с центральными метриками. Доказано, что условия интегрируемости данных уравнений эквивалентно условию интегрируемости соответствующих геодезических потоков.

Я хочу выразить искреннюю благодарность своему учителю, профессору Широкову И. В. за его всестороннюю помощь и поддержку в моей научной работе, без чего написание настоящей диссертации вряд ли стало бы возможным. Также мне хотелось бы поблагодарить своих старших товарищей и коллег Барановского С.П. и Михеева В.В. за совместное плодотворное обсуждение результатов настоящей работы.

Отдельное спасибо моим родителям, которые всячески поддерживали и вдохновляли меня во всех начинаниях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Магазев, Алексей Анатольевич, 2004 год

1. Биррелл Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. —М.: Мир, 1984. — 356 с.

2. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях. —М.: Энергоатомиздат, 1988. — 288 с.

3. Галъцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. М.: Изд-во Московского университета, 1986. — 288 с.

4. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. —М.: Наука, 1986. — 328 с.

5. Жук А., Клейнерт X. Эффект Казимира при ненулевой температуре в закрытой Вселенной Фридмана // Теор. и мат. физ. 1996. Т. 109. № 2. С. 307-321.

6. Carroll М. Sean. The Cosmological Constant j j arXiv: astro-ph/00004075 (1999).

7. Bordag M., Mohideen U., Mostepanenko V.M. New Developments in the Cazimir Effect // arXiv: quant-ph/0106045 (2001).

8. Saharian A.A. On the energy-momentum tensor for a scalar field on manifolds with boundaries. arXiv // hep-th/0308108 (2003).

9. Horton G., Dewdney C. A relativistically covariant version of Bohm's quantum field theory for the scalar field // arXiv: quant-ph/0407089 (2004).

10. Tywoniuk К., Ravndal F. Scalar Field Fluctuations between Parallel Plates // arXiv: quant-ph/0408163 (2004).

11. Бухбиндер И.Л., Гитпман Д.М. Метод расчета вероятностей квантовых процессов во внешних гравитационных полях I. // Известия вузов. Физика. 1979. №. 3. С. 90-95.

12. Бухбиндер И.Л., Гитман Д.М. Метод расчета вероятностей квантовых процессов во внешних гравитационных полях II. // Известия вузов. Физика. 1979. №. 4. С. 55-61.

13. Бухбиндер И.Л., Гитман Д.М., Фрадкин Е.С. Квантовая электродинамика в искривленном пространстве-времени. // Квантовая теория поля с нестабильным вакуумом. — М.: Наука, 1990, С.33-73

14. Buhbinder I.L., Odintsov S.D., Shapiro I.L. Effective Action in Quantum Gravity. — Bristol and Philadelphia: IOP Publishing Ltd, 1992. 414 p.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. — 504 с.

16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986. — 759 с.

17. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974. 520 с.

18. Lotze К. Н. Pair creation by a photon and time-reversed process in a Robertson-Walker Universes with time-symmetric expansion. // Nuclear Physics B. 1989. V. 312. P. 673-676.

19. Lotze К. H. Emission of a Photon by a Electron in Robertson-Walker Universes. // Classical and Quantum Gravity. 1988. V. 5. P. 595-604.

20. Бухбиндер И.Л., Царегородцев Л.И. О функциях Грина спинорного поля в конформно-плоском пространстве-времени. // Известия вузов. Физика. 1985. Ж 4. С. 35-40.

21. Бухбиндер И. JI., Царегородцев Л. И. Излучение фотона электроном в радиационно-доминированной Вселенной. // Известия вузов. Физика. 1986. Ж 9. С. 96-100.

22. Spradlin М., Strominger A., Volovich A. Les Houches Lectures on de Sitter Space // arXiv: hep-th/0110007 (2001).

23. Tsaregorodtsev L.I., Medvedev N.N. Spectrum of Radiation of a Classical Electron Moving in the de Sitter Spacetime // Gravitation & Cosmology. 1998. V. 4. № 3. P. 234-238.

24. Царегородцев Л. И. О рождении электрон-позитронной пары и фотона из вакуума в пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 1998. № 10. С.85-89.

25. Рыбаков В. А., Сибиряков С.М. Распад ложного вакуума в пространстве де Ситтера // Теор. и мат. физ. 1999. Т. 120. № 3. С. 451-473.

26. Полъшин С.А. Общие когерентные состояния для массивных бесспиновых полей в пространстве де Ситтера // Теор. и мат. физ. 1999. Т. 121. № 2. С. 258-263.

27. Bousso R., Maloney A., Strominger A. Conformal Vacua and Entropy in de Sitter Space // arXiv: hep-th/0112218 (2001).

28. Miao L. Matrix Model for de Sitter // arXiv: hep-th/0106184 (2001).

29. Болгоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980. 341 с.

30. Болсинов А.В., Йованович Б. Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 7. С. 21-40.

31. Магазев А.А., Широков И.В. Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах. Случай дикой группы Ли // Теор. и мат. физ. 2003. Т. 136. № 3. С. 365-379.

32. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

33. Овсянников JI.B. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1962. — 240 с.

34. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники. Серия "Общая механика". Т. 2. ВИНИТИ. 1975. С. 5-52.

35. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

36. Владимиров С.А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. М.: Атомиздат, 1979. — 167 с.

37. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Н.: ИО НФМИ, 1998. 632 с.

38. Никитин А.Г., Фущич В.И. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990. 400 с.

39. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. — 319 с.

40. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. — 342 с.

41. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Известия вузов. Физика. 1978. № 5. С. 116-132.

42. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. XVI. № 10. С. 1864-1874.

43. Широков И. В. Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений: Дисс. док. физ.-мат. наук. Томск. 1994. 250 с.

44. Шаповалов А.В., Широков И.В. Неккомутативное интегрирование линейных дифференциальнхых уравнений // Теор. и мат. физ. 1995. Т. 104. № 2. С. 195-213.

45. Шаповалов А.В., Широков И.В. Метод неккомутативного интегрирования линейных дифференциальнхых уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция // Теор. и мат. физ. 1996. Т. 106. № 1. С. 3-14.

46. Широков И.В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // Теор. и мат. физ. 2001. Т. 126. № 3. С. 393-408.

47. Бишоп Р.Л., Криттенден Р. Дж. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967. 335 с.

48. Громол Д.,. Клингенберг- В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971. 343 с.

49. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том II. М.: Наука, 1981. 416 с.

50. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

51. Аносов Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стеклова. М., 1967.

52. Casetti L. Riemannian theory of Hamiltonian chaos and Lyapunov exponents I j arXiv: chao-dyn/9609010 (1996).

53. Магазев А.А., Широков И.В. Гамильтоновы системы в вариациях и интегрируемость уравнения Якоби // Математические структуры и моделирование. 2004, вып. 14. стр. 98-107.

54. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. — 344 с.

55. Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли j j Успехи математических наук. 1962. Т. 17, №. 4. С. 57-110.

56. Кириллов А.А. Метод орбит в теории унитарных представлений групп Ли // Функц. анализ и его прилож. 1968. Т. 2. № 2. С. 40-55.

57. Kostant В. Quantization and Unitary Representations. I. Prequantization. In: Lectures in Modern Analysis and Applications, III. Ed. С. T. Taam. Berlin: Springer-Verlag, 1970. P. 87-208.

58. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с.

59. Фоменко А. Т. Сиплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: МГУ, 1988. 413 с.

60. Ballesteros A., Ragnisco О. A systematic constructions of completely integrable Hamiltonians from coalgebras // arXiv: math-ph/9802008 (1998).

61. Mukhanov V., Wipf A. On the symmetries of Hamiltonian systems // Int. J. Mod. Phys. A10. (1995). P. 579-610.

62. Трофимов В. В. Канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления тензорных расширений групп Ли // Успехи математических наук. 1994. Т. 49. вып. 1. С. 229-231.

63. Берзин Д. В. Инварианты коприсоединенного представления алгебр Ли некоторого специального вида // Успехи математических наук. 1996. Т. 51. вып. 1. С. 141-143.

64. Rawnslay J. Compact Coadjoins Orbits // arXiv: math-RT/0306336 (2003).

65. Боярский А.В., Скрыпник Т.В. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления евклидовых групп // Успехи математических наук. 2000. Т. 55, вып. 3. С. 169-171.

66. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. К-орбиты, тождества и классификация четырехмерных однородных пространств с группой преобразований Пуанкаре и де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2000. № И. С. 72-78.

67. Магазев А.А. Функции Казимира групп Ли с неполуотделимым пространством орбит // Известия вузов. Физика. 2003, N. 9, стр. 56-63.

68. Auslander A., Kostant В. Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), P.629-695.

69. Patera J., Sharp R. Т., Wintemitz P and Zassenhaus H. Invariants of real low dimension Lie algebras // J. Math. Phys. 1976. N. 17. P. 986.

70. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шаповалов А.В., Широков И.В. Тождества на решениях волнового уравнения в обертывающей алгебре конформной группы // Теор. и мат. физ. 1990. Т. 83. № 1. С. 14-22.

71. Широков И.В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Препринт. Омск: ОмГУ, 1998, 120 с.

72. Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и коизотроп-ные симплектические действия // Успехи математических наук. 2001, Т. 56. вып. 1. С. 3-62.

73. Мищенко А. С. Интегралы геодезических потоков на группах Ли // Функц. анализ и его приложения. 1970. Т. 4. № 3. С. 319-361.

74. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике j j Успехи математических наук. 1983. Т. 38, № 1. С. 3-67.

75. Магазев А.А. Интегрируемые геодезические потоки на однородных ри-мановых пространствах // Тезисы докладов. XVI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2004". Казань: КГУ, 2004. С. 43.

76. Adler М., Moerbeke van P. The algebraic integrability of geodesic flow on 50(4). // Invent. Math. 1982. V. 67. P. 297-331.

77. Adler M., Moerbeke van P. Geodesic flow on SO(4) and intersection of quadrics. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1984. V. 81. P. 4613-4616.

78. Haine L. The algebraic completely integrability of geodesic flow on SO(n) 11 Comm. Math. Phys. 1984. V. 94. N. 2. P. 271-287.

79. Браилов А.В. Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на компактных симметрических пространствах // Изв. акад. наук СССР. сер. Матем. 1986. Т. 50. № 2. С. 661-674.

80. Браилов А.В. Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера и приложения // Докл. акад. наук СССР. сер. Матем. 1983. Т. 268. С. 1043-1046.

81. Bolsinov А. V., Jovanovic В. Non-commutative integrability, moment map and geodesic flows // arXiv: math-ph/0109031 (2001).

82. Bolsinov A. V., Jovanovic B. Integrable geodesic flows on Riemannian manifolds: Constructions and Obstructions // arXiv: math-ph/0307015 (2003).

83. Jovanovic B. On the integrability of geodesic flows of submersion metrics // arXiv: math-ph/0204048 (2003).

84. Timm A. Integrable geodesic flows on homogeneous spaces // Ergod. Th. & Dynam. Sys. 1981. V. 1. P. 495-517.

85. Chandrashekar D., Schiff J. Sypersymmetric integrable systems from geodesic flows on superconformal groups j j arXiv: nlin.SI/0008017 (2000).

86. Fedorov Y., Jovanovic B. Nonholonomic LR systems as Generalized Chaplygin systems with an Invariant Measure and Geodesic Flows on Homogeneous Spaces // arXiv: math-ph/0307016 (2003).

87. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002, 238 с.

88. Карасев М.В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. — 368 с.

89. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983. 360 с.

90. Широков И. В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // Теор. и мат. физ. 2000, Т. 123. № 3. С. 407423.

91. Микитюк И. В. Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами // Ма-тем. сборник. 1986. Т. 129. № 4. С. 514-634.

92. Микитюк И. В. Однородные пространства с интегрируемыми G-инвариантными гамильтоновыми потоками // Изв. акад. наук СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47. № 6. С. 1248-1262.

93. Широков И. В. Построение алгебр Ли дифференциальных операторов первого порядка // Известия вузов. Физика. 1997. № 6. С. 25-32.

94. Bagrov V.G., Gitman D.M. Exact solutions of relativistic wave equations // Dordecht, Boston, London.: Kluwer Academic Press. 1990.

95. Багров В. Г. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. — 143 с.

96. Шаповалов А.В., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Известия вузов. Физика. 1991. Т. 34. № 5. С. 33-38.

97. Тагиров Э.А. Квантовая механика в римановом пространстве: сравнение разных подходов к квантованию геодезического движения // Теор. и мат. физ. 2003. Т. 136, № 2. С. 209-230.

98. Bagrov V.G., Baldiotti М.С., Gitman D.M., Shirokov I. V. New Solutions of Relativistic Wave Equations in Magnetic Fields and Longitudinal Fields // Journal of Mathematical Physics. 2002. V. 43. N. 5. P. 2284-2305.

99. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Квантовые гамильто-новы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр ассиметричес-кого волчка // Теор. и ма. физ. 2001. Т. 129. № 1. С. 3-13.

100. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Интегрирование уравнений Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли // Известия вузов. Физика. 2002. № 10. С. 4-10.

101. Магазев А.А. Причинная функция Грина на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками j j Математические структуры и моделирование. 2003, вып. 12. стр. 120-129.

102. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физ.-мат. лит-ра, 2000. — 400 с.

103. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Наука. 1961. — 423 с.

104. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Известия вузов. Математика. 1963. № 3. С.99 106.