Метод изображений в теории дифракционного и переходного излучения на сферических проводящих мишенях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Ларикова Эльвира Александровна

• Ларикова Эльвира Александровна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Ларикова Эльвира Александровна

Введение

Глава 1. Дифракционное излучение заряженной частицы на

идеально проводящей сфере

1.1. Метод изображений в описании дифракционного излучения

1.2. Дифракционное излучение на идеально проводящей сфере

1.3. Условия применимости результатов

1.4. Дифракционное излучение на цепочке сфер

1.5. Поляризация ДИ на проводящей сфере

Выводы

Глава 2. Переходное излучение на проводящей сфере

2.1. Метод изображений в описании переходного излучения

2.2. Низкочастотная асимптотика

2.3. ПИ частицы, пролетающей через центр сферы

2.4. Высокочастотная асимптотика

2.5. Случай релятивистской налетающей частицы

Выводы

Глава 3. Излучение заряженной частицы на полусферическом

выступе в проводящей плоскости

3.1. Дифракционное излучение заряженной частицы на полусферическом выступе в проводящей плоскости

3.2. ДИ на цепочке полусферических выступов

3.3. Поляризация ДИ на полусферическом выступе

3.4. Переходное излучение заряженной частицы на полусферическом выступе в проводящей плоскости

Выводы

Глава 4. Рассеяние электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре в борновском приближении

4.1. Описание рассеянной волны методом функции Грина

4.2. Борновское приближение и рассеяние на диэлектрическом цилиндре

Выводы

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод изображений в теории дифракционного и переходного излучения на сферических проводящих мишенях»

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Излучение электромагнитных волн при пересечении движущейся заряженной частицей границы раздела двух сред с различными электромагнитными свойствами (или, в более общем случае, при движении в неоднородной среде) носит название переходного излучения (ПИ). Это явление было предсказано в работе В.Л. Гинзбурга и И.М. Франка в 1945 году [1, 2]. На протяжении последующих лет интерес к этому явлению неуклонно возрастал, что обусловлено не только его красотой, но и многообразием практических применений, связанных с детектированием частиц и мониторингом пучков. Теоретические и экспериментальные исследования переходного излучения ведутся во многих институтах и лабораториях по всему миру (см. монографии и обзоры [3-17] и ссылки в них). При этом, в теории переходного излучения первоначально рассматривалось излучение на мишенях простейшей конфигурации, таких как плоскопараллельные пластинки, когда поля излучения могли быть найдены точно [3, 6-8], в остальных же случаях рассмотрение излучения сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Вместе с тем, было установлено, что спектрально-угловая плотность переходного излучения существенно зависит от геометрических характеристик мишени [18-22], что может быть использовано для диагностики структуры мишени. Это делает актуальным поиск методов расчета характеристик переходного излучения на мишенях сложной геометрии.

В случае, когда заряженная частица движется вблизи пространственной неоднородности, не пересекая границы раздела, возникающее излучение носит название дифракционного (ДИ) [3, 23-27] (предсказано

И.М. Франком в [28]), а в случае периодической неоднородности — излучения Смита-Парселла [29-37]. Эти эффекты широко используются для генерации излучения, в диапазоне от терагерц [38] до мягкого рентгена [39], а также для невозмугцаюгцей диагностики пучков, что обусловливает актуальность расчета характеристик излучения на мишенях различной геометрии.

К проблеме описания излучения заряженных частиц на мишенях сложной геометрии непосредственно примыкает задача о рассеянии электромагнитного излучения на таких мишенях, которая также нуждается в развитии простых и экономных методов решения. Действительно, даже в случае мишеней с высокой степенью симметрии (таких, как шары и цилиндры) точные решения имеют, как правило, громоздкий вид бесконечных рядов (см., например, [40, 41]), что затрудняет их интерпретацию. В случае же мишеней более сложной геометрии точные аналитические решения отсутствуют, что делает задачу поиска приближенных решений еще более актуальной. Этим проблемам посвящена настоящая диссертационная работа.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование характеристик излучения, возникающего при взаимодействии равномерно движущейся заряженной частицы с проводящей сферой и с полусферическим выступом в проводящей плоскости, а также исследование рассеяния излучения на диэлектрическом цилиндре.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1) развитие подхода к описанию дифракционного и переходного излучения на сферических и полусферических проводящих мишенях, основанного на методе изображений;

-62) вывод формул, описывающих спектрально-угловую плотность и поляризацию излучения, исследование пределов их применимости;

3) разработка комплекса программ, позволяющего численно находить характеристики излучения и наглядно представлять полученные результаты;

4) развитие подхода к описанию рассеяния электромагнитного излучения на диэлектрической мишени произвольной формы, аналогичного борновскому приближению в квантовомеханической теории рассеяния частиц.

Научная новизна работы. Впервые излучение заряженной частицы на сфере описано на основе метода изображений вне рамок дипольного приближения. Ранее излучение на сфере описывалось либо в рамках дипольного приближения, либо в специальном случае пролета через центр сферы, либо в случае малого отличия диэлектрической проницаемости вещества мишени от единицы. Впервые предложен способ определения компонент двумерного прицельного параметра пролетающей частицы по отношению к сфере с помощью одного детектора, чувствительного к поляризации излучения. Впервые рассмотрено дифракционное и переходное излучение на полусферическом выступе в проводящей плоскости.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием хорошо апробированных методов классической электродинамики и математической физики, а также согласием полученных результатов с известными результатами в тех предельных случаях, исследование которых проводилось ранее другими авторами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации расширяют представление о характере дифракционного и

переходного излучения на мишенях сложной геометрии. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке новых методов регистрации заряженных частиц и неразрушаюгцего мониторинга пучков частиц, а также при разработке источников излучения в терагерцовом и инфракрасном диапазонах электромагнитного спектра, необходимых во многих областях физики и техники.

Работа поддержана в рамках государственного задания вузам М1.6894.2017/БЧ Минобрнауки РФ.

Апробация результатов работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 2016-2018 гг.), на Международной конференции «Явления каналирования заряженных и нейтральных частиц» (Chargée! & Neutral Particles Channeling Penomena, Channeling-2016, Сирмионе — Десензано дель Гарда, Италия, 2016), на Международном симпозиуме «Излучение релятивистских электронов в периодических структурах» (Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures, RREPS-17, Гамбург, Германия, 2017), и опубликованы в 7 печатных работах, в их числе четыре статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ и две — в зарубежных изданиях, индексируемых базами данных Web of Science и Scopus.

Личный вклад соискателя. Соискателем (1) выполнен вывод формул, описывающих спектрально-угловую плотность и поляризацию излучения в рассматриваемых случаях, исследованы их предельные случаи и определена область применимости результатов, (2) разработан пакет программ, вычисляющих характеристики излучения, выполнены численные расчеты характеристик излучения.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Метод изображений позволяет описать дифракционное и переходное

излучение нерелятивистской частицы на проводящей сфере, а также полусферическом выступе в проводящей плоскости вне рамок диполь-ного приближения.

2. Регистрация поляризации дифракционного излучения на сфере позволяет диагностировать азимут траектории частицы в поперечной плоскости относительно центра сферы.

3. Полученные результаты справедливы в длинноволновой области электромагнитного спектра (включая инфракрасную), а также в части видимой области (не доходя до области межзонных переходов и вдали от плазмонных резонансов).

4. Азимутальный характер рассеяния электромагнитной волны, наклонно падающей на бесконечный однородный цилиндр, может быть интерпретирован в терминах черенковского излучения, генерируемого смещающимися вдоль цилиндра со сверхсветовой скоростью возмущениями, создаваемыми в цилиндре падающей волной. Установлена аналогия с коническим эффектом в излучении Смита-Парселла и некоторыми другими явлениями.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации (включая рисунки и список литературы) составляет 99 страниц. Диссертация содержит 32 рисунка и список литературы — 90 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследования, ставятся цели работы, формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе обосновывается подход к описанию переходного и дифракционного излучения, основанный на методе изображений, и выводятся формулы, описывающие дифракционное излучение на проводящей сфере.

В рамках макроскопического подхода, излучение равномерно движущейся частицы обусловлено условиями, налагаемыми на решения уравнений Максвелла на границе мишени. Оказывается [3], что удовлетворить граничным условиям можно, лишь прибавив к полю, создаваемому в двух средах пролетающей частицей, решение свободных уравнений Максвелла, которое и представляет собой поле излучения. Поэтому задача об излучении на мишени сколько-нибудь сложной геометрии, нежели плоскопараллельная пластинка, сопряжена со значительными вычислительными трудностями.

Одним из способов удовлетворить граничным условиям на границе вакуума и идеального проводника является известный в электростатике метод изображений [42-44]. В этом методе влияние проводящей поверхности на распределение электрического поля в пространстве имитируется введением, наряду с реальным точечным зарядом, одного или нескольких фиктивных зарядов («изображений» реального заряда). В частности, распределение электрического поля точечного заряда в присутствии заземленной сферы будет таким же (вне сферы), как поле двух точечных зарядов, реального и фиктивного (расположенного внутри сферы, рис. 1.1). Тогда при равномерном движении реального заряда движение фиктивного заряда будет ускоренным, что и приведет к возникновению излучения. Спектрально-угловая плотность излучения произвольно движущегося заряда описывается известной формулой (см. например, [9, 45, 46])

(!£ _ 1 |Ь ,2 т

|к Х А| '

где

/то

в(г) ехр{г(ш£ - кг(£))} <, (2)

-то

^ — частота излученной волны, к — ее волновой вектор, |к| = ш/е, с — скорость света в вакууме, б, г(£) и у(£) — величина, траектория и скорость фиктивного заряда. Несмотря на то, что интегрирование в формуле (2) легко может быть выполнено численно, представляет интерес получение приближенных асимптотических формул для спектрально-угловой плотности излучения, позволяющих в ряде случаев дать наглядную интерпретацию полученным результатам. Однако, в случае низких частот,

ш < с/Я (3)

(что соответствует длинам волн Л ^ 2пЯ), упрощения под знаком интеграла позволяют выполнить интегрирование аналитически, что приводит к следующей формуле для спектрально-углового распределения:

= ^ 1(1 - 81112 0 С08'2 К2 шь + (4)

+ 8Ш2 в ' 42

0 к

^ { ш Л , ( ш ^ п 2

О и, М -ь) +2-ЬКо( -ь

где б0 и у0 — заряд и скорость налетающей частицы, вир — углы излучения в сферической системе координат, Ко (ж) и К^ж) — модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда). Данное приближение обладает высокой точностью в той области частот, где интенсивность излучения существенна, как можно видеть из сравнения спектров излучения, рассчитанных с помощью формулы (4) и численно (рис. 1.3).

В разделе 1.3 обсуждаются условия применимости использованного подхода и полученных результатов. Показано, что необходимое для использования метода изображений приближение идеального проводника будет справедливо для металлов в радиочастотной и инфракрасной области. В

видимой области развиваемый подход может быть справедлив только вдали от резонансных частот плазменных колебаний.

С другой стороны, применимость метода изображений ограничена нерелятивистскими скоростями налетающих частиц. Показано, что некоторую оценку характеристик дифракционного излучения релятивистской частицы можно получить лишь для случая предельно близкого пролета такой частицы мимо сферы.

В разделе 1.4 рассмотрено излучение частицы, движущейся параллельно оси периодической цепочке сфер (излучение Смита-Парселла), получена формула, описывающая спектрально-угловую плотность излучения в этом случае. Пример спектра излучения на цепочке представлен на рис. 1.8-1.10.

В разделе 1.5 найдена поляризация дифракционного излучения на сфере в зависимости от направления излучения. Установлено, что излучение полностью поляризовано, в общем случае — эллиптически. Продемонстрирована возможность использования зависимости степени круговой поляризации от направления излучения для мониторинга азимута траектории налетающей частицы относительно центра сферы в плоскости, перпендикулярной скорости частицы в лабораторной системе координат с помощью единственного детектора излучения, чувствительного к поляризации (рис. 1.14).

Во второй главе с помощью метода изображений исследуется переходное излучение частицы на сфере. Показано, что интерференция вкладов в излучение реального заряда и его «изображения» приводит к сильной зависимости интенсивности излучения от прицельного параметра траектории частиц, частоты и направления излучения (рис. 2.2).

В разделах 2.2 2.4 получены приближенные формулы, описывающие

ПИ на сфере в предельных случаях низких (3) и высоких,

- > VoY/R (5)

(где 7 = (1 — Vo/c2)-1/2 — лоренц-фактор налетающей частицы), частот, соответственно. Показано, что в последнем случае полученные в разделе 2.4 формулы применимы и к описанию излучения релятивистской частицы (раздел 2.5).

В третьей главе развитый в двух предыдущих главах подход распространяется на задачу об излучении частицы, равномерно движущейся параллельно идеально проводящей плоскости с полусферическим выступом. В этом случае для удовлетворения граничных условий на поверхности проводника требуется введение трех фиктивных зарядов (рис. 3.1). Исследуется дифракционное и переходное излучение, возникающее в такой ситуации.

В разделе 8.1 показано, что в низкочастотном пределе (3) спектрально-угловая плотность ДИ на полусферическом выступе описывается формулой

18 16е0Я6ш6 г 4 п 2

0 —~ а

\ ч>0 ,

(6)

= 0082а 0- — о*20сое2 V)

где а — азимут траектории в плоскости (ж,у) (см. рис. 3.1, внизу), Ь = у^ЬХ+Ь2. В разделе 3.2 полученные результаты применены к задаче об излучении Смита-Парселла на цепочке полусферических выступов.

В разделе 8.8 исследована поляризация ДИ на полусферическом выступе. Показано, что в пределе (3) излучение линейно поляризовано в плоскости, содержащей направление излучения и ось симметрии выступа на плоскости.

В разделе 3.4 исследовано ПИ на полусферическом выступе. Показано, что сложный характер интерференции вкладов в излучение от четырех зарядов (реального и трех фиктивных) приводит к еще более сложным за-

висимостям интенсивности ПИ от различных параметров, чем в случае ПИ на сфере (рис. 3.7). В высокочастотном пределе (5) развиваемый подход распространен на случай релятивистской частицы.

В четвертой главе развитый в [47, 48] подход к приближенному описанию излучения равномерно движущейся частицы на неоднородностях среды, основанный на методе функции Грина, адаптируется к задаче о рассеянии электромагнитной волны на мишенях произвольной конфигурации. На основе данного подхода получена приближенная формула, описывающая рассеяние электромагнитной волны на диэлектрической мишени, аналогичная формуле Борна в квантовомеханической теории рассеяния частиц и справедливая в случае, когда отличие диэлектрической проницаемости вещества мишени от единицы можно рассматривать как малое возмущение.

В разделе 4-2 данная формула применена к задаче о рассеянии плоской электромагнитной волны при наклонном падении на длинный однородный диэлектрический цилиндр. Показано, что рассеяние в этом случае происходит в направлениях образующих конуса, ось которого совпадает с осью цилиндра, а угол полураствора равен углу падения волны на цилиндр. Дана интерпретация такого характера рассеяния на основе аналогии с черепковским механизмом излучения частицы, скорость которой превышает фазовую скорость света в среде [4, 49-52]. Установлена аналогия с другими подобными «коническими эффектами», возникающими в различных физических задачах [49-51, 53-56]. В пределе бесконечно тонкой нити величина сечения рассеяния согласуется с результатами [57], полученными другим методом. Учет конечности толщины цилиндра приводит к появлению существенной азимутальной асимметрии рассеяния (рис. 4.1).

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [58-64].

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю В.В. Сыгценко за всестороннюю помощь и поддержку.

Глава 1.

Дифракционное излучение заряженной частицы на идеально проводящей сфере

Равномерно движущаяся частица может порождать излучение электромагнитных волн либо в однородной среде, если выполняется условие черепковского излучения, либо при взаимодействии с неоднородностями среды. В последнем случае принято разделять переходное излучение (ПИ), возникающее при пересечении движущейся частицей двух сред, и дифракционное излучение (ДИ), отвечающее случаю движения частицы вблизи пространственно локализованной неоднородности среды (мишени) без пересечения её границы. С микроскопической точки зрения, излучение порождается нестационарными токами, индуцированными в мишени полем пролетающей частицы. В макроскопическом подходе излучение обусловлено условиями, налагаемыми на решения уравнений Максвелла на границе мишени. Оказывается, что удовлетворить граничным условиям можно, лишь прибавив к полю, создаваемому в двух средах пролетающей частицей, решение свободных уравнений Максвелла, которое и представляет собой поле излучения (см. [3]). Поэтому задача об излучении на мишени сколько-нибудь сложной геометрии сопряжена со значительными вычислительными трудностями.

Излучение, возникающее на сферических мишенях (проводящих либо диэлектрических), рассматривалось во многих работах (см., например, [6573]). Однако результаты этих работ либо касались лишь некоторых частных случаев, например, таких как пролет частицы через центр сферы [19], либо решение в них представлялось в громоздкой форме бесконечного ряда, затрудняющей его анализ и интерпретацию, либо авторы ограничивались в

описании возникающего излучения дипольным приближением [68, 71-73]. В настоящей главе мы построим описание дифракционного излучения на идеально проводящей сфере и полусферическом выступе, основанное на известном в электростатике методе изображений.

1.1. Метод изображений в описании дифракционного излучения

Одним из способов удовлетворить граничным условиям на границе вакуума и идеального проводника является известный в электростатике метод изображений (см., например, [42-44]). В этом методе влияние проводящей поверхности на распределение электрического поля в пространстве имитируется введением, наряду с реальным точечным зарядом, одного или нескольких фиктивных зарядов («изображений» реального заряда). В частности, распределение электрического поля точечного заряда в присутствии заземленной сферы будет таким же (вне сферы), как поле двух точечных зарядов, реального и фиктивного (расположенного внутри сферы, рис. 1.1 (а)). При этом реальный заряд е0 и фиктивный заряд

Я

е = —ео Я (1.1.1)

го

должны располагаться па одной прямой с центром сферы радиуса Я, где г0 — расстояние от реального заряда до центра сферы, а расстояние от фиктивного заряда до центра сферы составляет г = Я2/т0.

Рассмотрим ситуацию, когда реальный заряд движется прямолинейно и равномерно со скоростью у0 под некоторым прицельным параметром Ь мимо центра сферы. Введем систему координат, в которой начало координат совпадает с центром сферы, ось г направлена вдоль скорости налетающей частицы у0, а ось ж лежит в плоскости, содержащей траекторию налетающей частицы и центр сферы (рис. 1.1 (б)).

(а)

z

Рис. 1.1. (а) Точечный заряд вблизи заземленной проводящей сферы и его «изображение». (б) К описанию .111 при движении заряженной частицы вблизи проводящей сферы.

В этом случае фиктивный заряд будет лежать в плоскости (ж, г); величина и координаты фиктивного заряда будут определяться соотношениями

/ \ Я , . Я2Ь . Я2^

ф) = —е0ТЬ^Г^Р, ж(') = , ^ = • №

Компоненты скорости фиктивного заряда будут равны

_ (ж _ 2Я2Ь^ _ (г _ Я2^0(Ь2 — п ,

^ = С = — (Ь2 + )2, ^ = ( = (Ь2 + • ( ]

Мы видим, что движение фиктивного заряда будет ускоренным, что и приведет к возникновению излучения. Спектрально-угловая плотность излучения точечного заряда, движущегося по заданной траектории, описывается известной формулой (см. например, [45, 46]

(Е 1 Т|2 (л л

4п2с II' 4 7

где ^ — частота излученной волны, к — ее волновой вектор, |к| = ы/с, с — скорость света в вакууме,

/то

е(£) у(г) е^-кг(^ (И (1.1.5)

-то

(величина I пропорциаональна амплитуде расходящейся волны векторного потенциала поля излучения [45]). В случае изолированной сферы требуется введение ещё одного фиктивного заряда, — е(£), расположенного в центре сферы. Как легко видеть из (1.1.5), такой покоящийся заряд не дает вклада в излучение.

Этот подход может быть применен и в более сложных случаях ПИ на проводящей сфере (глава 2), а также ДИ и ПИ на полусферическом выступе в проводящей плоскости (глава 3). Следует отметить, что именно метод изображений был использован в пионерской работе [1, 2], предсказавшей явление ПИ на проводящей плоскости. В задаче о ПИ на проводящей

сфере метод изображений был впервые предложен в заметке [72], однако использованное автором дипольное приближение не приводит к правильному результату. В работе [73] метод изображений был использован в описании ДИ равномерно движущейся частицы на проводящей сфере, но также в ди-польном приближении, что приводит к завышенному результату (см. ниже, рис. 1.3).

1.2. Дифракционное излучение на идеально проводящей сфере

Подставляя в (1.1.5) выражения (1.1.2) для величины, координат и компонент скорости фиктивного заряда, получим

X

exp < i

— 00

Шt —

Ix = 2eobR3v^x

kxR2 b kz R2v0t b2 + v0t2 - b2 + v212

tdt

(b2 + v02t2)5/2

(1.2.1)

■>00

X

exp < i

Шt —

Iz = -eoR3voX

kxR2 b kz R2v0t

(1.2.2)

b2 + v0t2 b2 + v212

(b2 - v¡212) dt (b2 + v02t2)5/2

Интегрирование в (1.2.1), (1.2.2) может быть легко выполнено численно, и после подстановки в (1.1.4) мы получим спектрально-угловую плотность излучения

d

Ш

dudQ 4п 2c3

{ (1 - sin2 в cos2 if) | Ix |2 + sin2 в | Iz | ^ ,

(1.2.3)

где в и f — углы, определяющие направление излучения в сферической системе координат (kx = k sin в cos f kz = k cos в).

Характеризующая спектрально-угловую плотность излучения безразмерная величина

4n2c dS

e0 dudQ

оо

о о

2

Ф

е

Рис. 1.2. Угловая зависимость интенсивности ДИ на сфере при = 0,1с Ь = Я + 0 и Яш/^о = 2,34 в виде графика функции углов излучения (вверху) и в виде диаграммы направленности (внизу) |60|,

представлена на рис. 1.2 в виде трехмерного графика функции углов излучения в и а также в виде диаграммы направленности, для скользящего пролета частицы мимо сферы (Ь ^ Я + 0, при котором интенсивность ДИ максимальна во всей области частот) и Яш/у0 = 2,34 (такой выбор обусловлен тем, что максимум спектра ДИ на сфере приходится на величину шЬ/у0 ~ 2,34 (см. ниже, рис. 1.3) и Ь = Я в данном случае). В дальнейшем мы всегда будем изображать в виде диаграммы направленности именно безразмерную величину (4п2с/е^)(й8/(ш(Ю).

Существенное упрощение формул (1.2.1), (1.2.2) может быть достигнуто, если пренебречь третьим слагаемым в показателе экспоненты по сравнению с первым, что справедливо для любых частот в нерелятивистском случае, ^ с, а также и вторым слагаемым в показателе экспоненты, что справедливо для низких частот излучения

Действительно, первое слагаемое в показателе экспоненты, шЬ^ стремится к пулю при £ ^ 0, в то время как второе слагаемое стремится к отличной от нуля константе. Эта константа должна быть много меньше единицы всюду, особенно там, где |ш£| ^ 1. Поэтому самое сильное ограничение будет возникать при £ = 0, откуда и вытекает требование (1.2.4) или, в терминах длины волны Л = 2пс/ш7

Таким образом, справедливость данного приближения будет ограничена областью малых частот или больших длин волн, Л ^ Я. С учётом сделанных приближений и чётности подынтегральных функций величина 1Х становится чисто мнимой, а 1г — чисто вещественной. Интегралы, остающиеся в (1.2.1), (1.2.2) после сделанных упрощений, вычисляются аналитически, в

ш < сЬ/Я2.

(1.2.4)

Л > 2пЯ2/Ь.

(1.2.5)

1 2 3 4 5 6 7 8

Яо; / У0

9 10

0

Рис. 1.3. Спектральная плотность ДИ на сфере при Ь = Я + 0 у0 = 0,1с, вычисленная но аналитической формуле (1.2.9) (сплошная кривая) и с помощью численного интегрирования в (1.2.1), (1.2.2) (кружки). Штриховая кривая соответствует дшюлыюму результату (1.2.11) |73|.

результате чего находим

,2

3¿воЯ3кЛ -Ь з уо \уо ,

I - -4еоЯ3— 3 Уо

К |Ь| + ^0 к | Ь 0 V Уо ) 2-Ь 1 V vо ,

(1.2.6)

(1.2.7)

где Ко (ж) и К\(х) — модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда) [74 76]. Спектрально-угловая плотность ДИ в этом случае описывается формулой

ео 16Я6-

6 ,6

—

= -ет \ (1 - в1п2 в 0082 р) К2 ( -Ь) +

(ШЫ 4п2с 9с2^о \ ' 1 V Уо 1

+ в1п2 в (

Уо

2-Ь

КЛ -Ь +2-ЬКо -Ь

\Уо ) Уо \Уо ,

(1.2.8)

Интегрирование спектрально-угловой плотности излучения по углам

2

2

дает нам спектр ДИ, представленный на рис. 1.3 и описываемый формулой

6£ _ е2 128пЯ6^6

^ "4^ 27с2^о Х ( ]

2 / Ш 7 \ / Í Ш Л „ Ш 7 ^ { Ш ^ п2

2 1 ^ 1 ' 0 А КЛ —b + 2~ ЬКЛ — b

х< к2 ( -ь) +

v0 / \2wb

V0 / vo \vo у На рис. 1.3 мы видим хорошее согласие приближенного аналитического и численного результатов. Особо подчеркнем, что низкочастотная (длинноволновая) область (1.2.4), (1.2.5), в которой справедлива полученная нами приближенная асимптотическая формула (1.2.8), фактически охватывает (с учетом нерелятивистского характера движения частицы) всю ту часть спектра, в которой интенсивность излучения составляет заметную величину.

Интересно сравнить наш результат с результатом работы [73], авторы которой также использовали метод изображений, однако для нахождения спектрально-угловой плотности использовали дипольное приближение: вторую производную по времени от дипольного момента системы, состоящей из реального и фиктивного зарядов, они подставляли в стандартные формулы теории излучения [77]. Их результат для спектрально-угловой плотности излучения имеет вид

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ларикова Эльвира Александровна, 2019 год

Список литературы

1. Frank, I. Radiation of a unifirmly moving electron due to its transition from one medium into another [Текст] / I. Frank, V. Ginzburg // J. Phys. l'SSR. - 1945. - V. 9, No. 5. - P. 353-362.

2. Гинзбург, В. Л. Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую [Текст] / В. Л. Гинзбург, И. М. Франк // ЖЭТФ. — 1946. — Т. 16, вып. 1. _ с. 15-28.

3. Тер-Микаелян, М. Л. Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях [Текст] / М. Л. Тер-Микаелян. - Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1969. - 457 с.

4. Гинзбург, В. Л. Теоретическая физика и астрофизика [Текст] / В. Л. Гинзбург. — М.: Наука, 1975. — 415 с.

5. Ионизационные эффекты и переходное излучение релятивистских заряженных частиц [Текст]. — М.: Наука, 1982. — 208 с. (Труды ФИАН СССР; Т. 140).

6. Гарибян, Г. М. Рентгеновское переходное излучение [Текст] / Г. М. Гарибян, Ян Ши. — Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1983. — 320 с.

7. Гинзбург, В. Л. Переходное излучение и переходное рассеяние (некоторые вопросы теории) [Текст] / В. Л. Гинзбург, В. Н. Цытович. - М.: Наука, 1984. - 360 с.

8. Рязанов М. И. Электродинамика конденсированного вещества [Текст] / М. И. Рязанов. - М.: Наука, 1984. - 304 с.

9. Базылев, В. А. Излучение быстрых частиц в веществе и во внешних полях [Текст] / В. А. Базылев, И. К. Жеваго - М.: Наука, 1987. - 267 с.

10. Rullhusen, P. Novel Radiation Sources Using Relativistic Electrons [Текст] / P. Rullhusen, X. Artru, P. Dhez. — Singapore: World Scientific, 1998. — 370 p.

11. Тер-Микаеляп, M. Л. Электромагнитные процессы при высоких энергиях в аморфных и неоднородных средах [Текст] / М. Л. Тер-Микаелян // УФН. - 2003. - Т. 173, № 12. - С. 1265-1286.

12. Денисов, С. П. Переходное излучение: научное значение и практическое применение в физике высоких энергий [Текст] / С. П. Денисов // уфН. _ 2007. - Т. 177, № 4. - С. 394-396.

13. Болотовский, Б. М.Особенности поля переходного излучения [Текст] / Б. М. Болотовский, А. В. Серов // УФН. - 2009. - Т. 179, № 5. - С. 517-524.

14. Shul'ga, N. F. On transition radiation by relativistic electron [Текст] / N. F. Shul'ga, S. V. Trofymenko, V. V. Syshchenko //II Nuovo Cimento. _ 2011. - V. 34 C, No. 4. - P. 327-334.

15. Potylitsyn, A. P. Electromagnetic Radiation of Electrons in Periodic Structures (Springer Tracts in Modern Physics. Volume 243) [Текст] / A. P. Potylitsyn. — Berlin Heidelberg: Springer, 2011. — 213 p.

16. Малышевский, В. С. Переходное излучение многозарядных ионов [Текст] / В. С. Малышевский, Г. В. Фомин, И. А. Иванова // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2016. — Т. 149, Вып. 2. - С. 243-250.

17. Малышевский, В. С. Можно ли измерить электромагнитное излучение внезапно стартующего заряда? [Текст] / В. С. Малышевский // УФН. _ 2017. - Т. 187, № 12. - С. 1393-1400.

18. Shul'ga, N. F. Ои transition infrared radiation by relativistic electrons in a thin layer of matter [Текст] / N. F. Shul'ga, S. N. Dobrovol'sky, V. G. Syshchenko // Nucl. Instrum. Methods B. - 1998. - V. 145. - P. 180-184.

19. Шульга, H. Ф. О влиянии формы мишени на переходное излучение релятивистских электронов [Текст] / Н. Ф. Шульга, С. Н. Добровольский, В. В. Сыщенко // Изв. ВУЗов. Физика. — 2001. — Т. 44, № 3. — С. 105-107.

20. Shul'ga, N. F. Transition radiation of fast charged particles on a fiberlike target, thin plates and atomic strings [Текст] / N. F. Shul'ga, V. V. Syshchenko // Nucl. Instrum. Methods B. - 2003. - V. 201. -P. 78-83.

21. Шульга, И. Ф. О переходном излучении релятивистских заряженных частиц на цепочках атомов кристалла [Текст] / И. Ф. Шульга, В. В. Сыщенко // ЯФ. - 2003. - Т. 66, № 2. - С. 425-428.

22. Shul'ga, N. F. Transition radiation of high energy particles on fiber-like targets [Текст] / N. F. Shul'ga, V. V. Syshchenko // Phys. Lett. A. — 2003. - V. 313. - P. 307-311.

23. Болотовский, Б. M. Дифракционное излучение [Текст] / Б. М. Боло-товский, Г. В. Воскресенский // УФН. — 1966. — Т. 88, вып. 2. — С. 209-251.

-9024. Болотовский, Б. M. Дифракция и дифракционное излучение [Текст] / Б. М. Болотовский, Е. А. Галстьян // УФН. — 2000. — Т. 170, № 8. — С. 809-830.

25. Потылицын, А. П. Резонансное дифракционное излучение ультрарелятивистских частиц [Текст] / А. П. Потылицын, M. Н. Стриханов // Известия ВУЗов. Физика. — 2002. — Т. 45, № 9. — С. 65-72.

26. Потылицын, А. П. Дифракционное излучение релятивистских частиц [Текст] / А. П. Потылицын, М. И. Рязанов, M. Н. Стриханов, А. А. Тищенко. — Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2008. — 347 с.

27. Potylitsyn, А. P. Diffraction Radiation from Relativistic Particles (Springer Tracts in Modern Physics. Volume 239) [Текст] / A. P. Potylitsyn, M. I. Ryazanov, M. N. Strikhanov, A. A. Tishchenko. — Berlin Heidelberg: Springer, 2010. — 277 p.

28. Франк, И. M. Эффект Доплера в преломляющей среде [Текст] / И. М. Франк // Изв. АН СССР. Сер. Физ. - 1942. - Т. 6, № 1/2. _ с. 3.

29. Smith, S. J. Visible Light from Localized Surface Charges Moving across a Grating [Текст] / S. J. Smith, E. M. Purcell // Phys. Rev. — 1953. — у 92. _ p. 1069-1070.

30. Potylitsyn, A. P. Smith-Purcell effect as resonant diffraction radiation [Текст] / A. P. Potylitsyn // Nucl. Instrum. Methods B. - 1998. - V. 145, No. 1-2. - P. 60-66.

31. Potylitsyn, A. P. Resonant diffraction radiation and Smith-Purcell effect

[Текст] / А. P. Potylitsyn // Pliys. Lett. А. - 1998. - V. 238. - P. 112-116.

32. Potylitsyn, A. P. Resonant diffraction radiation from an ultrarelativistic particle moving close to a tilted grating [Текст] / A. P. Potylitsyn, P. V. Karataev, G. A. Naumenko // Phys. Rev. E. - 2000. - V. 61, Iss. 6. - P. 7039-7045.

33. Karlovets, D. V. Comparison of Smith-Purcell radiation models and criteria for their verification [Текст] / D. V. Karlovets, A. P. Potylitsyn // Phys. Rev. ST Accel. Beams. - 2006. - V. 9, Iss. 8. - P. 080701.

34. Ryazanov, M. I. Local field effect in diffraction radiation from a periodical system of dielectric spheres [Текст] / M. I. Ryazanov, M. N. Strikhanov, A. A. Tishchenko // Nucl. Instrum. Methods B. - 2008. - V. 266. - P. 3811-3815.

35. Shul'ga, N. F. Transition radiation on semi-infinite plate and Smith-Purcell effect [Текст] / N. F. Shul'ga, V. V. Syshchenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2010. - V. 236. - P. 012010.

36. Сыщенко, В. В. Излучение на полубесконечной пластинке и эффект Смита-Парселла в рентгеновской области [Текст] / В. В. Сыщенко, И. Ф. Шульга // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2011. — № 4. — С. 94-97.

37. Sergeeva, D. Yu. Microscopic theory of Smith-Purcell radiation from 2D photonic crystal [Текст] / D. Yu. Sergeeva, A. A. Tishchenko, M. N. Strikhanov // Nucl. Instrum. Methods B. - 2017. - V. 402. -P. 206-211.

38. Korbly, S. E. Observation of Frequency-Locked Coherent Terahertz Smith-Purcell Radiation [Текст] / S. E. Korbly, A. E. Kesar, J. R. Sirigiri, R. J. Temkin // Phys.Rev. Lett. - 2005. - V. 94, Iss. 5. - P. 054803.

39. Moran, M. J. X-ray generation by the Smith-Purcell effect [Текст] / M. J. Moran // Phys. Rev. Lett. - 1992. - V. 69, Iss. 17. - P. 2523 2526.

40. Bohren, C. F. Absorption and Scattering of Light by Small Particles [Текст] / С. F. Bohren, D. R. Huffman. - New York: Wiley, 1983. -530 p.

41. Kerker, M. The scattering of light and other electromagnetic radiation [Текст] / M. Kerker. — New York: Academic Press, 1969. — 666 p.

42. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1992. - 664 с.

43. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М.: Наука, 1977. — 736 с.

44. Джексон, Дж. Классическая электродинамика [Текст] / Дж. Джексон. - М.: Мир, 1965. - 702 с.

45. Аббасов, И. И. Высокочастотная асимптотика спектра излучения движущихся заряженных частиц в классической электродинамике [Текст] / И. И. Аббасов, Б. М. Болотовский, В. А. Давыдов // УФН. _ 1986. _ т. 149. - С. 709-722.

46. Ахиезер, А. И. Электродинамика высоких энергий в веществе [Текст] / А. И. Ахиезер, Н. Ф. Шульга. - М.: Наука, 1993. - 344 с.

47. Сыщенко, В. В. Об эйкональном приближении в теории переходного излучения [Текст] / В. В. Сыщенко, Н. Ф. Шульга // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2007. — ..V" 4. - С. 49-55.

48. Шульга, Н. Ф. Метод эквивалентных фотонов и эйкональное приближение в теории переходного излучения (статья). [Текст] / Н. Ф. Шульга, В. В. Сыщенко, С. Н. Шульга // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2010. _ ^ 4. - С. 76-78.

49. Болотовский, Б. М. Эффект Вавилова-Черенкова и эффект Доплера при движении источников со скоростью больше скорости света в вакууме [Текст] / Б. М. Болотовский, В. Л. Гинзбург // УФН. — 1972. - Т. 106, вып. 4. - С. 577-592.

50. Болотовский, Б. М. Эффект Вавилова-Черенкова и эффект Доплера при движении источников со скоростью больше скорости света в вакууме [Текст] / Б. М. Болотовский, В. Л. Гинзбург / / Эйнштейновский сборник, 1972. — М.: Наука, 1974. — С. 212-236.

51. Гинзбург, В. Л. О сверхсветовых источниках излучения [Текст] / В. Л. Гинзбург // Гинзбург, В. Л. О теории относительности: сб. статей / В. Л. Гинзбург. - М.: Наука, 1979. - 240 с. - С. 212-236.

52. Гинзбург, В. Л. Излучение равномерно движущихся источников (эффект Вавилова-Черенкова, переходное излучение и некоторые другие явления) [Текст] / В. Л. Гинзбург // УФН. — 1996. — Т. 166, ..V" 10. - С. 1033-1042.

53. Sergeeva, D. Y. Conical diffraction effect in optical and x-ray Smith-Purcell

radiation [Текст] / D. Y. Sergeeva, A. A. Tishchenko, M. N. Strikhanov // Phys. Rev. ST Accel. Beams. - 2015. - V. 18, Iss. 5. - P. 052801.

54. Naumenko, G. A. First experimental observation of conical effect in Smith-Purcell radiation [Текст] / G. A. Naumenko, A. P. Potylitsyn, D. Yu. Sergeeva, A. A. Tishchenko, M. N. Strikhanov, V. V. Bleko // Письма в ЖЭТФ. - 2017. - Т. 105, № 9. - С. 531-532.

55. Naumenko, G. A. First experimental observation of conical effect in Smith-Purcell radiation [Текст] / G. A. Naumenko, A. P. Potylitsyn, D. Yu. Sergeeva, A. A. Tishchenko, M. N. Strikhanov, V. V. Bleko // JETP Lett. - 2017. - V. 105, Iss. 9. - P. 553-560.

56. Давыдов, В. А. Переходное рассеяние на заряженной нити и эксперименты по его наблюдению [Текст] / В. А. Давыдов, Ю. В. Коробкин, И. В. Романов // ЖЭТФ. - 1994. - Т. 105, № 6. - С. 1566-1573.

57. Kerker, М. Light Scattering from Infinite Cylinders. The Dielectric-Needle Limit [Текст] / M. Kerker, D. D. Cooke, J. M. Carlin // Journal of the Optical Society of America. - 1970. - V. 60., No. 9. - P. 1236-1239.

58. Shul'ga, N. F. Radiation of non-relativistic particle on a conducting sphere and a string of spheres [Текст] / N. F. Shul'ga, V. V. Syshchenko, E. A. La-rikova // Nucl. Instrum. Methods B. - 2017. - V. 402. - P. 167-172.

59. Syshchenko, V. V. Diffraction and Smith-Purcell radiation on the hemispherical bulges in a metal plate [Текст] / V. V. Syshchenko, E. A. Lariko-va, Yu. P. Gladkih // Journal of Instrumentation. — 2017. — V. 12. — P. C12057.

60. Сыщенко, В. В. Диффракционное излучение нерелятивистской заряженной частицы на идеально проводящей сфере [Текст] /

В. В. Сын [.он ко. Э. А. Ларикова / / Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика. — 2013. — № 26 (169). — Вып. 33. — С. 51-56.

61. Сыщенко, В. В. Метод отражений в описании излучения заряженной частицы на идеально проводящей сфере [Текст] / В. В. Сыщенко, Э. А. Ларикова // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика. - 2014. - № 19 (190). - Вып. 36. - С. 163-170.

62. Сыщенко, В. В. Рассеяние электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре в борновском приближении [Текст] / В. В. Сыщенко, Э. А. Ларикова // Научные ведомости БелГУ, Серия: Математика. Физика. - 2015. - № 5 (202). - Вып. 38. - С. 118-125.

63. Сыщенко, В. В. Асимптотические формулы в теории дифракционного и переходного излучения на проводящей сфере [Текст] / В. В. Сыщенко, Э. А. Ларикова // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2019. — № 4. — С. 100-107. Перевод: Syshchenko, V. V. Asymptotic Formulas in the Theory of Diffraction and Transition Radiation on a Conducting Sphere [Текст] / V. V. Syshchenko, E. A. Larikova // Journal of Surface Investigation: X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques. - 2019. - V. 13. - No. 2. - P. 359-365.

64. Сыщенко, В. В. Поляризация дифракционного излучения на проводящей сфере и полусферическом выступе в проводящей плоскости [Текст] / В. В. Сыщенко, Э. А. Ларикова // Тезисы докладов XLVIII международной Тулиновской конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами / Под ред. проф. М.И. Панасюка. — М.: «КДУ», «Университетская книга», 2018. — 206 с. — С. 109.

65. Garcia de Abajo, F. J. Relativistic energy loss and induced photon emission in the interaction of a dielectric sphere with an external electron beam

[Текст] / F. J. Garcia de Abajo // Pliys. Rev. B. - 1999. - V. 59, Iss. 4. - P. 3095-3107.

66. Garcia de Abajo, F. J. Smith-Purcell radiation emission in aligned nanoparticles [Текст] / F. J. Garcia de Abajo // Phys. Rev. E. — 2000. — V. 61, Iss. 5. - P. 5743-5752.

67. Afanasiev, G. N. Vavilov-Cherenkov and transition radiations on the dielectric and metallic spheres [Текст] / G. N. Afanasiev, V. G. Kartavenko, Yu. P. Stepanovsky //J. Math. Phys. - 2003. - V. 44, Iss. 9. - P. 4026-4056.

68. Lekomtsev, К. V. Smith-Purcell radiation from a chain of spheres [Текст] / К. V. Lekomtsev, M. N. Strikhanov, A. A. Tishchenko // Journal of Physics: Conference Series. - 2010. - V. 236. - P. 012023.

69. Каликинский, И. И. Переходное и дифракционное излучение заряда на идеально проводящем шаре [Текст] / И. И. Каликинский // ЖТФ. _ 2012. - Т. 82, Вып. 4. - С. 6-12.

70. Arzumanyan, S. R. Radiation from a Charged Particle Flying Through a Dielectric Ball [Текст] / S. R. Arzumanyan // Journal of Physics: Conference Series. - 2012. - V. 357. - P. 012008.

71. Astapenko, V. A. Polarization bremsstrahlung of fast electrons on metal nanospheres in a dielectric matrix in view of plasmon interference effects [Текст] / V. A. Astapenko , S. V. Sakhno, Yu. A. Krotov // Journal of Physics: Conference Series. - 2016. - V. 732. - P. 012025.

72. Аскарьян, Г. А. Об излучении ускоренно движущегося электрического изображения равномерно движущегося заряда [Текст] / Г. А. Аскарьян // ЖЭТФ. - 1955. - Т. 29. - С. 388.

73. Аматуни, А. Ц. Излучения, возникающие при пролете заряженных частиц над системой металлических шаров или цилиндров [Текст] / А. Ц. Аматуни, А. И. Оганесян // Изв. Акад. Ар. ССР. — 1961. — Т. XIV, № 5. - С. 99-107.

74. Янке, Е. Специальные функции [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. - М.: Наука, 1977. - 344 с.

75. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.

76. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами [Текст] / М. Абрамовиц и И. Стиган (ред.). — М.: Наука, 1979. - 832 с.

77. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1988. — 512 с.

78. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела [Текст] / Ч. Киттель. — М.: Наука, 1978. - 792 с.

79. Памятных, Е. А. Основы электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных полях [Текст] / Е. А. Памятных, Е. А. Туров. — М.: Наука. Физматлит, 2000. — 240 с.

80. Liz-Marán, L. M. Tailoring surface plasmons through the morphology and assembly of metal nanoparticles [Текст] / L. M. Liz-Marán // Langmuir. _ 2006. - V. 22, Iss. 1. - P. 32-41.

81. Балыкин В. И. Плазмонный нанолазер: современное состояние и перспективы [Текст] / В. И. Балыкин // УФН. — 2018. — Т. 188, № 9. - С. 935-963.

82. Olmon, R. L. Optical dielectric function of gold [Текст] / R. L. Olmon, B. Slovick, T. W. Johnson et al. // Phys. Rev. B. - 2012. - V. 86, Iss. 23. - P. 235147.

83. Yang, H. U. Optical dielectric function of silver [Текст] / H. U. Yang, J. D'Archangel, M. L. Sundheimer et al. // Phys. Rev. B. — 2015. — V. 91, Iss. 23. - P. 235137.

84. Левич, В. Г. Курс теоретической физики. Том 1 [Текст] / В. Г. Левич. - М.: Наука, 1969. - 912 с.

85. Потылицын, А. П. Поляризованные фотонные пучки высокой энергии [Текст] / А. П. Потылицын. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 121 с.

86. Прямиков, А. Д. Возбуждение циклических волн Зоммерфельда и аномалии Вуда при скользящем падении плоской волны на диэлектрический цилиндр [Текст] / А. Д. Прямиков, А. С. Бирюков // УФН. - 2013. - Т. 138, №8. - С. 863-873.

87. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Наука, 1989. - 768 с.

88. Шульга, Н. Ф. Рассеяние электромагнитного поля быстрой частицы на нитевидной мишени [Текст] / Н. Ф. Шульга, В. В. Сыщенко, Н. В. Соболева // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2009. — № 11. — С. 83-88.

89. Shul'ga, N. F. Electromagnetic wave scattering on a dielectric fiber and a system of parallel fibers [Текст] / N. F. Shul'ga, V. V. Syshchenko // Problems of Atomic Science and Technology, Series: Nuclear Physics Investigations (63). - 2014. - No. 5 (93). - P. 115-119.

Шульга, Н. Ф. Рассеяние электромагнитной волны на материальной нити и системе параллельных нитей [Текст] / Н. Ф. Шульга, В. В. Сыгценко // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. — 2015. — № 12. — С. 63-67.