Метод двумерных систем сравнения в качественной теории конкретных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Белых, Владимир Николаевич

• Белых, Владимир Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Белых, Владимир Николаевич

Введение

§ O.I. Общая характеристика работы

§ 0.2. Обзор литературы

§ 0.3. 1фаткое содержание диссертации

Глава I. Метод двумерных систем сравнения

§ 1.0. Введение

§1.1. Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании неавтономных систем второго порядка .•••.

§ 1.2. Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании автономных и неавтономных многомерных систем

§ 1.3. Семейства вырожденных двумерных систем как системы сравнения

§ 1.4. Метод двумерных систем сравнения при качественном исследовании дискретных динамических систем ЮО

Глава II. Критерии существования сложных структур траекторий конкретных динамических систем

§ 2.0. Введение

§ 2.1. Гомоклинические структуры неавтономных систем второго порядка

§ 2.2. Бифуркации гомоклинических траекторий неавтономного кусочно-линейного уравнения второго

ИЗ ИЗ порядка . . .И

§ 2.3. Гомоклинические траектории многомерной системы с медленно меняющейся переменной

§ 2.4. Странный аттрактор двумерного разрывного отображения

Глава III. Качественное исследование конкретных автономных и неавтономных дифференциальных уравнений на цилиндре.

§ 3.0. Введение.

§ 3.1. Качественное исследование динамической системы на цилиндре.

§ 3.2. Качественные структуры для уравнения сверхпроводящего джозефсоновского контакта в автономном режиме

§ 3.3. Качественные структуры для уравнения сверхпроводящего джозефсоновского контакта в неавтономном режиме

Глава 1У. Качественные структуры и бифуркации конкретных систем дифференциальных уравнений порядка три и выше.

§ 4.0. Введение.

§ 4.1. Качественные структуры, порождаемые системой уравнений фазовой синхронизации в трехмерном фазовом пространстве

§ 4.2. Качественное исследование многомерной фазовой системы.

§ 4.3. Бифуркации сепаратрис седла системы Лоренца

Глава У. Качественное исследование конкретных разностных уравнений (точечных отображений).

§ 5.0. Введение

§ 5.1. Качественное исследование отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации

§ 5.2. Бифуркации траекторий конкретного отображения окружности.

§ 5.3. Качественное исследование разностных уравнений динамики цифровых систем фазовой синхронизации

§ 5.4. Исследование функционально-разностных уравнений статистической динамики цифровых систем фазовой синхронизации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод двумерных систем сравнения в качественной теории конкретных динамических систем»

§ 0.1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В работе рассматриваются проблемы, возникающие в двух важных направлениях: качественная теория кошфетных многомерных динамических систем и нелинейная динамика систем синхронизации с автоподстройкой фазы колебаний и со сверхпроводящими джозефооновскими контактами. Актуальность развития качественной теории конкретных многомерных систем - задачи, отнесенной А.А.Андроновым к числу основных математических проблем теории нелинейных колебаний еще полвека назад, сильно возросла в последние годы, когда благодаря качественным методам стало возможным объяснение сложных нелинейных явлений, возникающих в различных областях естествознания. Актуальность задачи нелинейной динамики рассматриваемых систем синхронизации связана, во-первых, с их широким распространением в современной радиоэлектронике и, во-вторых, с тем, что уравнения, описывающие эти системы, встречаются в целом ряде других важных задач нелинейной теории колебаний.

Цель работы состоит в разработке метода двумерных систем сравнения для исследования глобального поведения траекторий и бифуркаций многомерных динамических систем, в создании критериев существования сложных структур с гомокпиническими кривыми и в развитии бифуркационной теории непрерывных, дискретных и цифровых систем фазовой синхронизации и систем со сверхпроводящими джозефсоновскими контактами.

Общие методы исследования. В работе широко используются методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем, развитые в работах А.Пуанкаре, А.UЛяпунова, Д.Биркгофа, А.А.Андронова, Л.С.Понтрягина, Е.А.Леонтович, А.Г.Майера, Н.Н. Баутина, Э.Хопфа, С.Смейла, Д.В.Аносова, В. 11.Алексеева, В.И.Арнольда, Б.И.Неймарка, В.А.Плисса, Я.Г.Синая, Л.П.Шильникова, А.Н.Шарковского и др. При исследовании частных видов уравнений используются первый и второй методы Ляпунова, методы систем сравнения, усреднения, малого параметра при старшей производной, интегральных многообразий, точечных отображений, критерии глобальной устойчивости и дихотомии, принципы кольца и тора и др. При исследовании дискретных систем синхронизации используется бифуркационная теория кольца и теория эндоморфизмов. При исследовании цифровых систем используется теория отображений перекладывания отрезков.

Новые научные результаты. В диссертации впервые получены следующие результаты:

- разработан метод двумерных систем сравнения для исследования нескольких классов многомерных динамических систем, позволяющий определять глобальное поведение траекторий и бифуркации интегральных многообразий, петель сепаратрис и гомоклиничес-ких траекторий;

- предложены критерии существования I) грубых гомоклинических траекторий системы с мэдленно вращающейся фазой; 2) сохраняющейся гомоклинической структуры периодически неавтономной системы второго порядка; 3) странного аттрактора разрывного отобрадения плоскости;

- определены качественные структуры и бифуркации I) гладких, кусочно-гладких и разрывных автономных и неавтономных систем на цилиндре; 2) многомерных систем с цилиндрическим фазовым пространством; 3) гладких, кусочно-гладких и разрывных отображений цилиндра и 01фужн0сти; 4) системы Лоренца;

- для перечисленных систем

1) доказано существование а) поверхностей коразмерности I, соответствзгщих бифуркациям периодических и гомоклинических траекторий, петель сепаратрис еедловых состояний равновесия; б) недостижимых бифуркационных пленок и бесконечных последовательностей бифуркаций; в) нетривиальных предельных множеств со счетным числом периодических движений;

2) получены достаточные условия существования различных глобальных качественных структур, а при некоторых ограничениях для систем размерности п г 2 даны разбиения цилиндрического фазового пространства на траектории и пространства параметров на области, соответствующие различным качественным структурам;

3) определены условия существования и отсутствия периодических и гомоклинических траекторий;

4) даны оценки расположения бифуркационных множеств в пространстве параметров и расположения интегральных многообразий в фазовом пространстве;

5) установлены существование нормированных инвариантных мер разрывных отображений оедужности и цилиндра и их связь с

К ним относятся предположения, которые редко удается избежать даже в двумерном случае, например, о рассмотрении циклов по rrtod2, об однозначности бифуркационных поверхностей и т.п. вероятностными мерами для соответствующих статистических процессов.

Практическое значение работы» Несколько научно-исследовательских разработок, выполненных на основе результатов диссертации, внедрены на предприятиях с общин экономическим эффектом более 250 тыс. руб.

Результаты работы могут использоваться при расчете непрерывных, дискретных и цифровых систем фазовой синхронизации и систем со сверхпроводящими джозефооновскими контактами, распространенных в современных радиоэлектронных устройствах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981); Всесоюзном симпозиуме с международным участием "Синергетика«83й (Пущино, 1983); Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (бверд-ловск, Рязань, 1971, Самарканд, 1973, Рязань, 1976); I, П, Ш Научно-технических семинарах по системам фазовой синхронизации (Горький, 1973, 1975, 1977); I, П Всесоюзных конференциях по проблемам повышения эффективности и качества систем синхронизации (Горький, 1979, Каунас, 1982); I Всесоюзной конференции -"Теория и техника сложных сигналов" (Минск, 1979);симпозиуме "Помехоустойчивость и эффективность радиотехнических систем" (Москва, 1978); Всесоюзном семинаре "Автостохастические явления и системы" (Горький, 1980); П Всесоюзной школе по методу функций Ляпунова и его приложениям (Иркутск, 1982); итоговых научных конференциях Горьковского госуниверситета (Горький, 1972 -1983), семинарах Московского, Ленинградского, Горьковского, Датского технического университетов и института математики АН ЗрССР.

Основные результаты диссертации были опубликованы в книгах [13, 41, 62] , статьях [45, 46, 48, 53, 61, 66, 68, 39, 54, 55, 57, 69, 70] и получили дальнейшее развитие в работах [40, 44, 49, 51, 52, 56, 58, 59, 63, 64 ] .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, объединяющих 18 параграфов и Приложения. Диссертация занимает 338 страниц машинописного текста, 48 рисунков. Список литературы с 227 наименованиями содержит 22 страницы, приложение - II страниц.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Белых, Владимир Николаевич, 1983 год

1. Андронов А.А. Собрание трудов, Изд. АН СССР, 1956.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Тэория колебаний. -2-е изд. М.: Физматгиз, 1959.

3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г.1.. Качественная теория динамических систем второго порядка.-М.: Наука, 1966; 2). Теория бифуркации динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

4. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы. ДАН СССР, 1937, 14, J 5, с. 247 - 250.

5. Андронова-Леонтович Е.А., Белюстина Л.Н. Теория бифуркаций динамических систем второго порядка и ее применение к исследованию нелинейных задач теории колебаний, Тр. Межд. симпозиума по нелин. колебаниям, т. П. Киев, 1963.

6. Аносов Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара. -НДВШ. Сер. физ.-мат. науки, 1959, 3k I.

7. Аносов Д.В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. -Матем. сб., I960, т. 50, Л 3, 299 с.

8. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной едивизны. Труды математического института им. Стеклова АН СССР. М.: Наука, 1967, т. 90.

9. Алексеев В.М. I). Квазислучайные динамические системы. I. Квазислучайные диффеоморфизмы. Матем. сб., 1968, т. 76,118, с. 72 134; 2). Символическая динамика. В кн.: Одиннадцатая летняя матем. школа. Киев: Наукова думка, 1976.

10. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1971, 239 с.

11. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

12. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд. АН СССР, 1963, - 140 с.

13. Акимов В.Н., Белюстина Л.Н., Белых В.Н. и др. Системы фазовой синхронизации, под ред. В.В.Шахгильдяна, Л.Н.Белюс-тиной. м.: Радио и связь, 1982, гл. 3, 10, 288 с.

14. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Об особых множествах систем Морса-Смейла. Труды ММО, 1973, т. 28, с. 181 214.

15. Афраймович B.C., Шильников Л.П. О малых периодических возмущениях автономных систем. Доклады АН СССР, 1974, т. 24, J 4, с. 739 - 742.

16. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем. ПММ. 1977, т. 41, вып. 4, с. 618 - 627.

17. Афраймович B.C. Принцип кольца и квазиаттракторы. IX Меж-дунар. конференция по нелин. колебаниям, Тезисы докладов, Киев, АН УССР, 1981, с. 42.

18. Александров В.В., Ермоленко В.Н. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка. Вестник МГУ. Сер. математика,механика, 1972, вып. 5, с. 102 109.

19. Бакаев D.H. Построение рабочих зон систем автоматического регулирования фазы. Изв. АН СССР ОТН. "Энергетика и автоматика", I960, Jg 2, с. 132 - 136.

20. Бакаев Ю.Н. Синхронизирующие свойства фазовой автоматической подстройки частоты третьего порядка. Радиотехника и электроника, 1965, т. 10, Л 6, с. 1083 - 1087.

21. Бакаев Ю.Н., Гуж А.А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эффекта Доплера. Радиотехника и электроника, 1965: 10, £ I, с. 175 - 196.

22. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

23. Барбашин Е.А., Серебрякова B.C. О круговых движениях связанных маятников. Изв. ВУЗ. Математика, 1961, т. 23, М 4.

24. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969, 299 с.

25. Барковский Ю.С., Левин Г.М. О предельном канторовом множесТ' ве. УМН. 1980, т. 39, вып. 2, с. 201 - 202.

26. Баталова З.С. О движениях ротора под влиянием внешней гармонической силы. Инж. журнал, МТТ, 1967, т. 66, Зв 2.

27. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости. М.,-Л.: Гостехиздат, 1949.

28. Баутин Н.Н. Качественное исследование одного уравнения теории фазовой автоподстройки частоты. -ПММ. 1970, т. 34, вып. 5, с. 850 860.

29. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

30. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

31. Белюстина Л.Н. Малые периодические возмущения грубой автономной системы. Доклады АН СССР, 1963, т. 148, & 2, с. 251 255.

32. Белюстина Л.Н. Исследование нелинейной системы фазовой автоподстройки частоты. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1959, т. 2, & 2, с. 277 - 291.

33. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. О режимах работы системы ФАЛ с малой инерционностью в цепи управления при действии аддитивной гармонической помехи. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1972, т. 15, & II, с. 1637 - 1643.

34. Белюстина Л.Н., Белых В.Н., Шалфеев В.Д. О захвате в. системе ФАЛ при действии аддитивной гармонической помехи. Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика. Межвуз. сб., вып. I, ГГУ, Горький, 1973, с. 94 - 101.

35. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре. Дифференциальные уравнения.1973, т. 9, & 3, с. 403 415.

36. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. 0 глобальной структуре разбиения цилиндрического фазового пространства одной неавтономной системы. Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, $ 4,с 595 608.

37. Белюстина Л.Н., Белых В.Н., Максаков В.П. и др. Исследование цифровой системы фазовой автоподстройки частоты, в кн.: Методы помехоустойчивого приема ЧМ и ФМ сигналов. М.: Советское радио, 1976, с. 220 - 228.

38. Белых В.Н., Белюстина Л.Н., Кивелева К.Г., Максаков В.П., Некоркин В.И., Фрайман Л.А. В кн.: Фазовая синхронизация. М.: Связь, 1975, гл. 5-7, 16, 20.

39. Белых В.Н. О периодических решениях динамической системы второго порядка с непрерывными, кусочно-гладкими правыми частями, ч. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1968, т. II, & II, с. 1760 1762.

40. Белых В.Н., Шалфеев В.Д. Исследование динамики системы ФАЛ с нелинейным фильтром. Радиотехника и электроника, 1969, т. 14, & И, с. 1967 - 1976.

41. Белых В.Н., Белых Т.Г. Исследование динамики астатической системы ФАЛ в режиме непрерывного поиска по частоте. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1970, т. 13, J& II, с. 1677 - 1683.

42. Белых В.Н. Об уравнениях системы ФАЛ с нелинейной цепью управления. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1971, т. 14, JS II, с. 1749 - 1758; Об оценках областей устойчивости системы ФАЛс нелинейной цепью управления. Там же, с. 1759 - 1765.

43. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации. Тезисы докл. на Ш Всес. конф. по кач. теории дифф.уравн. и ее применением. Самарканд. 1973.

44. Белых В.Н. О качественном исследовании неавтономного уравнения второго порядка. -Дифференц. уравнения. 1975, т. II, * 10, с. 1738 1753.

45. Белых В.Н. Рождение грубой двоякоасимптотической траектории в системе с медленно меняющейся переменной. Дифференц. уравнения, 1975, т. II, J II, с. 2083 - 2085.

46. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественное исследование системы трех дифференциальных уравнений из теории фазовой синхронизации. ПММ. 1975, Т. 39, £ 4, с. 642 - 649.

47. Белых В.Н., Некоркин В.И. Способы определения бифуркаций в конкретных динамических системах. Всес. конф. по кач. теории дифф. уравн., Тезисы докладов, Рязань, 1976.

48. Белых В.Н., Максаков В.П. Динамика простейшей дискретной системы фазовой синхронизации. Радиотехника и электроника,1976, т. 21, Л 10, с. 2155 2163.

49. Белых В.Н., Максаков В.П. Динамика цифровых систем фазовой синхронизации первого и второго порядка. Динамика систем, межвуз. сб., 1976, Горький, ГГУ, вып. II, с. 130 - 143.

50. Белых В.Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследовании. -Динамика систем, межвуз. сб., ГГУ, 1976, Горький, вып. II, с. 23 3 2.

51. Белых В.Н., Чертков D.C. 0 сложных структурах неавтономной периодической кусочно-линейной системы на цилиндре. ПММ.1977, т. 41, вып. I, с. 173 178.

52. Белых B.H., Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего порядка. ПММ. 1978, т. 42, вып. 5, с. 808 - 819.

53. Белых В.Н., Некоркин В.И. Динамика системы ФАЛ третьего порядка. Динамика систем. Межвуз. сб., 1978, Горький» ГГУ, вып. 15, с. 143 - 151.

54. Белых В.Н. 0 моделях, методах и исследовании непрерывных и дискретных систем фазовой синхронизации. НТОРЭС им. А.С. Попова, Всесоюзн. конф. "Проблемы повышения эффективности и качества систем синхронизации". Тезисы докл. Москва - Горький, 1979.

55. Белых В.Н. О моделях цифровых систем фазовой синхронизации. -Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, Л II, с. 2244 2253.

56. Белых В.Н., Максаков В.П. Исследование системы ЦФС методами точечных отображений и дискретных марковских цепей. Приложение к книге: "Цифровые системы фазовой синхронизации" под ред. М.И.Кодзишского. - М.: Сов. радио, 1980, с. 184 -205.

57. Белых В.Н. Качественные методы теории нелинейных колебанийсосредоточенных систем. Учебное пособие. Горький, ГГУ, 1980, с. 99.

58. Belykh V.N., Christensen О. Statistical Dynamics for Binary Quantized First and Second Order Digital Phase -Locked Loops. Electronics Institute, Technical University of Denmark, 1980, 39 p.

59. Белых B.H., Максаков В.П. Статистическая динамика цифровой системы фазовой синхронизации с фильтром случайного блужде-ния. Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, J6 I, с. 100 -107.

60. Белых В.Н. О качественных структурах и бифуркациях некоторых конкретных динамических систем. IX Международная конференция по нелинейным колебаниям, тезисы докладов. Киев: ИМ АН УССР, 1981, с. 54 - 55.

61. Белых В.Н., Некоркин В.И. О режимах работы многомерных взаимосвязанных систем фазовой синхронизации. Всесоюзн. научн. техн. конференция "Проблемы повышения эффективн. и качества систем синхронизации", Тезисы докладов. М.: Радио и связь, 1982.

62. Белых В.Н. Метод двумерных систем сравнения в теории непрерывных и дискретных систем фазовой синхронизации. Там же.

63. Белых В.Н., Лебедева Л.В. Исследование одного отображения окружности. ПММ. 1982, т. 46, вып. 5, с. 771 - 776.

64. Белых В.Н., Максаков В.П. Качественное исследование разрывного отображения цилиндра из теории фазовой синхронизации. -Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. сб., Горький: ГГУ, 1982, с. 135 149.

65. Белых В.Н. О бифуркации сепаратрис седла системы Лоренца. Дифференц. уравнения. 1984, т. 20, № 10, с. 1966 1974.

66. Белых В.Н. О качественных структурах и бифуркациях некоторых конкретных динамических систем. В кн.: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям, т. 2, Качественные методы. Киев: Наукова Думка, 1984, с. 45 - 48.

67. Белых В.Н. Качественное исследование автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений из теории фазовой автоподстройки частоты. Дис. канд. физ.-мат. наук. - Горький: 1971. - 186 с.

68. Беляков Л.А. 0 бифуркационном множестве в*системе с гомоклинической кривой седла. Математические заметки. 1980, т. 28, № 6, с. 911 - 922.

69. Биркгоф Г.Д. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

70. Елехман И.И. Синхронизация .динамических систем. М.: Наука, 1971, 894 с.77^ Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, М., 1963.

71. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1969.

72. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980, 320 с.

73. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца. В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с. 212 - 226.

74. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теориюнелинейных колебаний. М.: Наука, 1976, 384 с.

75. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.

76. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974.

77. Витерби Э.Д. Принципы когерентной связи. М.: Сов. радио, 1970, 392 с.

78. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд. МГУ, 1971.

79. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблудаемость. -М.: Наука, 1979, 336 с.

80. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости. Автоматика и телемеханика, 1982, £ 5, с. 5 - 28.

81. Гавршгов Н.К., Шильников Л.П. 0 трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. I - Матем. сб., 1973, т. 88, & 8, с. 475 - 492,П Матем. сб., 1973, т. 90, £ I, с. 139 - 156.

82. Гаврилов Н.К. Об П мерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой. - Докл. АН СССР. 1973, т. 212, £ 2, с. 276 - 279.

83. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978, 400 с.

84. Гихман Й.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977, 568 с.

85. Гладкие динамические системы а) в кн.: Девятая летняя математическая школа. Киев: изд. АН УССР, 1972; б) перевод с англ. под ред Д.В.Аносова. - М.: Мир, 1977.

86. Геращенко Е.И., Густомесов В.А. Анализ релейной дискретнойсистемы на фазовой плоскости. Дифференциальные уравнения. 1970, Т. б, & 9, с. 1587 - 1598.

87. Губарь н.а. Исследование одной кусочно-линейной динамической системы с тремя параметрами. ПММ, 1961, 25, Л б, с. I0II 1023.

88. Гупта С. Фазовая автоподстройка частоты. ТЙИЭР. 1975, т. 63, Л 2, с. 50 - 66.

89. Гуртовник А.С., Коган В.П., Неймарк Ю.И. Тороидальные инвариантные многообразия и резонансы в дискретных динамических системах. УМ1. 1975, т. 27, Л 2, с. 167 - 182.

90. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967, 472 с.

91. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений". Минск: Наука и техника, 1972.

92. Ефремова Л.С., Рахманкулов Р.Г. Теоремы сосуществования периодических орбит эндоморфизмов окружности. Дифференц. и интегр. уравнения. Межвуз. сб., - Горький: изд. ГГУ, 1980, вып. 4, с. 116 - 118.

93. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979, 400 с.

94. Заславский Г.М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. М.: Наука, 1970.

95. Заславский Г.М., Рачко Х.Р. Особенности перехода к турбулентному движению. 1ЭТФ, 1979, т. 76, вып. 6, с. 2052 -2064.

96. Капранов М.В. Полоса захвата при фазовой автоподстройке частоты. Радиотехника, 1956, II, Л 12, 37 с.

97. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. -М., Л.: ОНТИ, 1936.

98. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980, 383 с.

99. Корякин Ю.А., Леонов Г.А. Определение полосы захвата в системах импульсно-фазовой автоподстройки частоты. Радиотехника, 1977, т. 32, & б, с. 65 - 72.

100. Корякин Ю.А., Леонов Г.А., Райтман Ф. Частотные методы исследования дискретных фазовых систем управления. В кн.: Тезисы докладов I Международной конференции молодых ученых по проблемам проектирования дискретных систем. Минск, 1977, с. 284 - 286.

101. Корякин Ю.А. Некоторые вопросы динамики дискретных фазовых систем. Автореферат канд. диссертации. Ленинград: ЛГУ, 1977, 17 с.

102. Косякин А.А., Сандлер Е.А. Эргодические свойства одного класса кусочно-гладких преобразований отрезка. Изв. ВУЗ. Математика, 1972, % 3, 32 с.

103. Красносельский М.А. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

104. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

105. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов D.C. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970, 351 с.

106. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

107. Кулешов В.Н., Морозов Л.А. Исследование импульсной системы ФАПЧ. Радиотехника и электроника, 1963, т. 8, & 8, с. 1334 - 1344.

108. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управленияс частотно- и широтно-импульсной модуляцией.-Киев: Техника, 1970, 340 с.

109. Левин А.Ю. Об устойчивости решения уравнений второго порядка. ДАН СССР, 1961, т. 141, & 6.

110. Леонов Г.А. Об устойчивости фазовых систем. Сибирский матем. журнал, 1974, т. 15, J I, с. 49 - 60.

111. Леонов Г.А. Об ограниченности траекторий фазовых систем. -Сибирский матем. журнал, 1974, т. 15, & 3, с. 687 692.

112. Леонов Г.А. Устойчивость и колебания фазовых систем. Сибирский матем. журнал, 1975, т. 16, & 5, с. 1031 - 1052.

113. Леонов Г.А. Второй метод в теории фазовой синхронизации. -ПММ, 1976, т. 40, вып. 2, с. 238 244.

114. Леонов Г.А., Райтман Ф., Чшиева Т.А. Частотная форма метода сравнения Белых-Некоркина. Депонир. рукопись, ВИНИТИ, М 4015 - 81 "Деп", 1981, с. 27 (Редколлегия журнала "Вестник ЛГУ", серия математика, механика, астрономия. Ленинград, 1980).

115. Леонов Г.А. Об устойчивости в целом нелинейных систем в критическом случае двух нулевых корней. ПММ, 1981, т. 45, вып. 4, с. 752 - 755.

116. Лерман Л.М. О неавтономных динамических системах типа Мор• са-Смейла. Успехи матем. наук, 1975, т. 30, вып. 5, 195 с.

117. Лерман Л.М., Шильников Л.П. О классификации грубых неавтономных динамических систем 2-го порядка с конечным числом ячеек. ДАН СССР, 1973, т. 209, & 3, с. 544 - 547.

118. Лицдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. -М.: Сов. радио, 1978, 598 с.

119. Лихарев К.К., Ульрих Б.Т. Системы с джозефооновскими контактами. Москва: Изд. МГУ, 1978, 447 с.

120. Лукьянов В.И. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы "седло-узла".-Дифференц. уравнения, 1982,т. 18, £ 9, с. 1493 1506.

121. Лукьянов В.И. Принцип кольца в задаче о периодических возмущениях автономных систем с петлей- сепаратрисы "седло-узла". Депонир. рукопись, ВИНИТИ, £ 3573 - 79 "Деп.", 1979, (PS "Математика", 1980, I 2, Б 192).

122. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

123. Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность. -Ученые записи Горьковского госуниверситета, 1939, вып. 12, 215 с.

124. Марсден Дж, Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 368 с.

125. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.

126. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.И. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: изд. Наука, СО АН" СССР, 1980, 481 с.

127. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях. Тр. ММО, 1963, т. 12, с. 4 - 52.

128. Миллионщиков В.М. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1971, т. 7,$ 3, с. 387 390.

129. Минц P.M. Исследование траекторий системы трех дифференциальных уравнений в бесконечности. В кн.: "Памяти Александра Александровича Андронова", Изд. АН СССР, М.: 1955.

130. Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах. Киев: Изд. АН УССР, 1955.

131. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973.

132. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969.

133. Морозов А.Д. О кусочно-гладких системах, содержащих гомок-линические 1фивые. Тр. У Международной конфер. по нелин. колебаниям. Киев: АН УССР, 1969, т. 2.

134. Морозов А.Д., Шильников Л.П. К математической теории синхронизации колебаний. Докл. АН СССР, 1975, т. 223, Je 6,с. 1340 1343.

135. Морозов А.Д. Уравнения маятникового типа и резонансы. -Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвуз. сб., Горький, ГГУ, 1980, с. 3 -16.

136. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, части I, П, Ш, Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1958,т. I, ДО I, 2, 5 6.

137. Неймарк Ю.И. Метод усреднения с точки зрения метода точечных отображений. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1963, т. 6, $ 5.

138. Неймарк Ю.И. Структура движений динамической системы в окрестности гомоклинической едивой. В кн.: Пятая летняя матем. школа, Киев: АН УССР, 1968, с. 400 435.

139. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972, 472 с.

140. HefpapK Ю.И. Динамические системы и процессы управления. -М.: Наука, 1978, 336 с.

141. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциалышх уравнений. М.: Гостехиздат, 1950.

142. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, J.975, 304 с.

143. Оселедец В.И. О спектре эргодических автоморфизмов. -Докл. АН СССР, 1966, т. 168, & 5, с. 1009.

144. Петровская Н.В., Юдович В.И. Гомоклинные петли системы Зальцмана-Лоренца. Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. сб., Горький, ГГУ, 1980, с. 73 - 83.

145. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964, 272 с.

146. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964, 367 с.

147. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977, 304 с.

148. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамиль-тоновым. ЕЭ1Ф, 1934, т. 4, вып. 8.

149. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974.

150. Понтрягин Л.С., Авдронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем. ЕЭТ®, 1933, т. 3, & 3, 165 с.

151. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ОГИЗ, 1947.

152. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность. УФН, 1978, т. 125, вып. I, с. 123 - 168.

153. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974, 320 с.

154. Рощин Н.В. Опасные границы устойчивости в модели Лоренца.ПММ, 1978, т. 42, вып. 5, с. 950 952.

155. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: Механика в ССОР за 50 лет, т. I, Общая и прикладная механика, М.: Наука, 1968.

156. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложение в динамике реакторов. -М.: Атомиздат, 1980, 192 с.

157. Савельев В.П. Классификация связных компонент множества неуправляемости одномерного движения. I, П. Динамика систем, Межвуз. сб., Горький, ГГУ, 1975, вып. 5, с. 118 -144.

158. Сарымсаков Т.А. Основы теории процессов Маркова. М.: ГИТТЛ, 1954, 208 с.

159. Сафонов В.М. О влиянии формы пилообразной характеристики фазового детектора на полосу захвата ФАП. Радиотехника, 1969, т. 24, Л 6, с. 76.

160. Сафонов В.М. Фазовая автоподстройка частоты с фильтрами второго порядка. Научн. докл. высш. школы. Радиотехника и электроника, 1958, J 4, с. 114 - 128.

161. Сенниковский Я.Н. К вопросу о гладких отображениях окружности со счетным множеством периодических точек. Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. сб., Горький: ГГУ, 1978, с. 79 - 92.

162. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем. В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с. 192 - 211.

163. Синай Я.Г. О законе универсальности Фейгенбаума, в кн.: Нелинеййые волны. Стохастичность и турбулентность, Горький: ШФ АН СССР, с. 24 28.

164. Свирепев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978, 352 с.

165. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977, 368 с.

166. Скрябин Б.Н. Качественное исследование одного уравнения теории фазовой автоподстройки частоты. ПММ, 1969, т. 33, вып. 2, с. 340 - 344.

167. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы. УМН, 1970, т. 25, Я I, с. 113 - 185.

168. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИГТЛ, 1953.

169. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1952.

170. Странные аттракторы. Сборник статей, перевод с ангд. подред. Я.Г .Синая и Л.П .Шильникова. М.: Мир, 1981, 253 с.

171. Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980.

172. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980, 232 с.

173. I) Фазовая синхронизация. М.: Связь, 1975. 2) Системы фазовой синхронизации. - М.: Радио и связь, 1982, под ред. Шахгильдяна В.В., Белистиной Л.Н. 3) Цифровые системы фазовой синхронизации. - М.: Сов. радио, 1980, под ред. 1од-зишского М.И.

174. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. -М.: Мир, 1964, т. I; 1967, т. 2.

175. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

176. Хасьшшский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969, 368 с.

177. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973, 416 с.

178. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, М.-Л.: 1950.

179. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964, 480 с.

180. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965.

181. Чириков Б.В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Учебное пособие. Новосибирск, изд. НГУ, 1978, 78 с.

182. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях. Изв. ВУЗ. Радиофизика, 1969, т. 12, J& 7, с. 1037 - 1051.

183. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя. УМЕ, 1964, т. 16, & I, с. 61 - 72.

184. Шарковский А.Н. 0 проблеме изоморфизма динамических систем. В кн.: Труды У Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев: АН УССР, 1970, т. 2, с. 541 545.

185. Шарковский А.Н. Колебания типа релаксационных и турбулентных: дифференциально-разностные модели. IX Международная конф. по нелин. колебаниям. Тезисы докладов,-Киев: АН УССР, 1981, с. 363 365.

186. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972, 447 с.

187. Шахгильдян В.В. и др. Системы фазовой автоподстройки с элементами дискретизации. М.: Связь, 1979, 22% с.

188. Шахтарин Б.И. Исследование кусочно-линейной системы ФАП. -Радиотехника и электроника, 1969, т. 14, вып. 8, 1415 с.

189. Шахтарин Б.И. Исследование нелинейной системы третьего порядка приближенными методами. Техническая кибернетика, 1978, £ 3, с. 176 - 185.

190. Шахтарин Б.И., Архангельский В.А. Динамические характеристики дискретных систем автоматического фазирования. Радиотехника и электроника, 1977, т. 22, & 5, 978 с.

191. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа. Матем. сб., 1967, т. 74, & 3, с. 378 - 397.

192. Шильников Л.П. К работам А.Г.Майера о центральных движениях. Матем. заметки, 1969, т. 5, вып. 3.

193. Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движениях из особых траекторий. Матем. сб., 61 (104),4, 1963, с. 443 466.

194. Шильников Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса. Докл. АН СССР, 1967, т. 172,$ I, с. 54 57.

195. Шильников Л.П. О рождении периодического движения из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же. ДАН СССР, J I, 1966.

196. Шильников Л.П. О рождении периодического движения из траектории двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло. Матем. сб., т. 77, J 3, 1968.

197. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. Матем. сб., 1970, т. 81 (123), В I, с. 92 103.

198. Шильников Л .П. Теория бифуркаций динамических систем с го-моклиническими кривыми Пуанкаре. УП Internat. Xonf. fur Nichtlineare Schwingungen, Bd. 1-2, Akad. - Verlag, Berlin, 1977, S. 279-293.

199. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Дополнение П в кн.: Марсден Ди., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

200. Якобсон М.В. О гладких отображениях окружности. Матем. сб., 1971, т. 85 (127), с. 163 - 185.

201. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости. -Главы П и Ш в кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. Под ред. Нелепина Р.А. М.: Наука, 1975.

202. A.Baratoff, J.A.Blackburn, B.B.Schwartz, Phys. Rev. Lett. 25, p.1096 (1970), Erratum, 1738 (1970).

203. Collet P., Eckmann J.—P. Iterated maps on the intervale &s dynamical systems. Progress in Physics, ed.Birkhausen, 1980.

204. Falko C.M., J. Appl. Phys., v. 45, N 9, 1974, p. 4134-4133.

205. Giger A., Zs. f. angewandte Math, und Phys., 7, 1956, p. 121.

206. Meyer Energy function for Morse-Smale systems, Amer. S. Math., 90, N 1968, p.1031-1040.

207. Schlup W.A. J Phys. C, 7, 736 (1974)•

208. Shimizu T., Morioka N., On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymptotic one in a simple model, Phys. Lett., 76A, N.3,4-, 1980, p.201-204.

209. Smale S., Morse inequalities for a dynamical system, Bulletin of the Amerr. Math. Soc., 66, n 1, 1960, p.43-49.

210. Stewart W.C. J Appl. Phys., 4-5, 4-52 (1974).

211. Newhouse S., Diffeomorphism with infinitely many sinks, Topology, 12, 1974, p. 9-18.

212. Newhouse S., the abundance of wild hyperbilic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms, Publ. Math* IHES, 50, 1979, 101-151.

213. Newhouse S», J.Palis, Bifurcations of Morse-Smale dynamical Systems, Proc. Intern. Sympos. Dynamical Systems, Salvador, Brazil, 1973, p.303-366.

214. Simo С., On the Eenon-Pomean attractor, preprint, 1978, Barselona, Spain.

215. L.A.Bunimovieh, Some new advances in physical applications of the ergodic theory in "Ergodic Theory and Related lopics" (ed. by H.Michel) Akademie Verlag, Berlin, 1982, p.27-53.

216. Leonov G., Tschschijowa, Reitmann V. Eina Freguenzva-riante der Vergleichsmethode von Belych-Nekorkin in der Theorie der Phasensynchronisation. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universitat Dresden. - 1982, Bd. 32, Heft 1, S.51-59.