Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Исаков, Виктор Александрович

• Исаков, Виктор Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Исаков, Виктор Александрович

Оглавление

Введение

1 Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики

1.1 Постановка задачи

1.2 Линеаризация уравнений газовой динамики

1.2.1 Решение линеаризованной системы уравнений

1.3 Построение разностной схемы

1.4 Аппроксимация интегральных потоков

1.4.1 Линейная реконструкция опорных функций системы

1.4.2 Выбор фона и определение фоновых значений опорных функций системы

1.4.3 Расслоение (разбиение) опорных функций системы

1.4.4 Аппроксимация интегральных потоков

1.4.5 Вычисление компоненты интегральной добавки потока

1.5 Результаты численных расчётов

1.5.1 Расчёт задачи с гладким начальным профилем скорости

1.5.2 Расчёт задач с разрывными начальными данными

1.5.2.1 Задача об ударной трубе

1.5.2.2 Задача о распаде разрыва с сильным перепадом давления

1.5.3 Сравнение квазиакустической схемы со схемами годунов-ского типа второго порядка точности

1.5.4 Влияние количества горизонтальных слоёв разбиения на качество численного решения

1.5.5 Зависимость качества численного решения от числа Куранта

2 Обобщение алгоритма на случай двух пространственных измерений

2.1 Постановка задачи

2.2 Линеаризация двумерных уравнений Эйлера газовой динамики

2.3 Построение разностной схемы

2.4 Аппроксимация интегральных потоков

2.4.1 Линейная реконструкция опорных функций системы

2.4.2 Замена линейной функции суперпозицией вертикальных столбцов

2.4.3 Определение фоновых подобластей и фоновых значений опорных функций системы

2.4.4 Разбиение вертикальных столбцов на блоки малых возмущений

2.4.5 Аппроксимация интегральных потоков

2.4.6 Вычисление компоненты интегральной добавки потока

2.5 Результаты численных расчётов

2.5.1 Сравнение результатов расчётов с горизонтальным и вертикальным разбиением опорных функций системы

2.5.2 Расчёт цилиндрического взрыва

3 Применение квазиакустической схемы к решению прикладной задачи

3.1 Обобщение алгоритма на случай трёх пространственных измерений

3.1.1 Построение разностной схемы

3.1.2 Аппроксимация интегральных потоков

3.1.2.1 Линейная реконструкция опорных функций системы

3.1.2.2 Замена линейной функции суперпозицией „вертикальных столбцов"

3.1.2.3 Определение фоновых подобластей и фоновых значений опорных функций

3.1.2.4 Разбиение „вертикальных столбцов" на блоки малых возмущений

3.1.2.5 Аппроксимация интегральных потоков

3.1.2.6 Вычисление компоненты интегральной добавки потока

3.1.3 Результаты расчётов

3.2 Применение квазиакустической схемы к решению прикладной задачи

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Математическое моделирование взаимодействия газовых

струй с экраном-отбойником

3.2.2.1 Картина течения во внутренней и внешней областях экрана-отбойника

3.2.2.2 Давление газовых струй на стенки экрана-отбойника

3.2.2.3 Параллельная версия алгоритма

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики»

Введение

Актуальность темы

Уравнения газовой динамики составляют основу многих математических моделей, применяемых для решения задач в таких областях науки и техники, как аэродинамика летательных аппаратов, астрофизика, прогноз погоды, проектирование магнитогидродинамических генераторов электрической энергии, теория реактивных двигателей, управляемый термоядерный синтез и многие другие. Поэтому одним из важных вопросов является разработка эффективных методов решения этих уравнений. В силу нелинейного характера уравнений газовой динамики фактически единственным универсальным и эффективным способом решения этих уравнений являются численные методы, основанные на использовании быстродействующих ЭВМ.

На сегодняшний день существует большое количество численных методов решения уравнений газовой динамики. Их число продолжает расти, пополняясь всё новыми разработками. С одной стороны, это свидетельствует о важности численного решения уравнений газовой динамики в различных приложениях, а с другой, такое обилие методов численного решения говорит о том, что пока не существует универсального метода, удовлетворяющего всем предъявляемым к нему требованиям. Обзор наиболее распространённых методов численного решения уравнений газовой динамики представлен в работах [45],[41],[39].

Уравнения газовой динамики (уравнения Эйлера) представляют собой нелинейную систему уравнений гиперболического типа, одной из характерных осо-

беппостей которых является возможность возникновения и распространения разрывных решений. При этом разрывы могут появляться даже в случае гладких начальных данных [45].

Во времена, когда производительность ЭВМ была сравнительно небольшой, для расчёта разрывных решений газовой динамики применялись методы, основанные на явном выделении разрывов [30, 1, 17, 41]. Явное выделение разрывов обеспечивало возможность использования небольшого числа сеточных узлов для получения приемлемой точности численного решения и позволяло даже на слабой вычислительной базе решать достаточно сложные классы задач. Методы данного направления показали свою эффективность при расчёте непрерывных, достаточно гладких решений. Однако методы с выделением разрывов зачастую требовали знания априорной информации об особенностях решения, что приводило к усложнению расчётного алгоритма.

С ростом вычислительных мощностей широкое распространение получили методы сквозного счёта (однородные разностные схемы) [51, 47], которые при расчёте разрывных решений не требуют явного выделения разрывов. Исторически схемы сквозного счёта первого порядка точности сильно „размазывали" разрывы (например, схема Лакса-Фридрихса [74, 66],КИР [64]). В тоже время такие схемы позволяли сохранить монотонность профиля решения. Среди схем сквозного счёта первого порядка точности широкое распространение получил метод, предложенный С.К. Годуновым [15, 16]. В классическом методе Годунова для получения решения па новом временном слое применяется кусочно-постоянная реконструкция решения в пределах ячейки расчётной сетки на текущем временном слое и используется точное решение задачи о распаде разрыва (задачи Римана).

Для повышения точности численного решения стали применять схемы сквозного счёта, обладающие вторым порядком аппроксимации в областях гладкости решения (например, схема Лакса-Веидроффа [76], МакКормака [79]). Такие схемы позволили уменьшить область „размазывания" разрывов. Однако

при проведении расчётов в областях, характеризующихся сильным перепадом значений сеточных величин, схемы приводили к появлению осцилляций [48, 44], не имеющих физического характера, а являющихся следствием разностной схемы. Это часто приводило к невозможности проведения адекватного вычислительного эксперимента. Для борьбы с нефизичсскими осцилляциями в разностные схемы с порядком аппроксимации выше первого стали вводить искусственную вязкость [96, 40, 46, 43], которая представляет собой дополнительные члены в разностных уравнениях, имеющие вид формальных аппроксимаций вязких и других диссипативных процессов с коэффициентами, стремящимися к нулю при измельчении сетки. Также применялись линейные и нелинейные фильтры высокочастотных осцилляций [71, 35].

Таким образом, возникла проблема, как повысить порядок точности схемы и при этом обеспечить монотонность численного решения при наличии слабых и сильных разрывов. В работах С.К. Годунова [15, 16[ показано, что не существует линейных монотонных разностных схем выше первого порядка точности (теорема С.К. Годунова). Выходом из противоречия меж/1у получением монотонного решения и повышением порядка аппроксимации стало появление нелинейных разностных схем. К таким нелинейным монотонным схемам относятся гибридные схемы, которые могут локально менять свои свойства (например, порядок аппроксимации). В частности, гибридные схемы позволяют применять схемы с повышенным порядком аппроксимации в областях гладкости решения, а в узлах, в которых решение имеет разрывы, использовать монотонные разностные схемы первого порядка точности. В работе Р.П. Федоренко [58] предложена первая гибридная схема для линейного уравнения переноса, в которой переключение между базовыми схемами первого и второго порядка точности происходит на основе анализа отношения второй конечной разности решения к её первой разиости. Гольдин, Калиткин, Шишова [25] построили несколько гибридных схем для линейного и квазилинейного уравнений переноса, применив гладкое переключение между схемами первого и второго порядков. В их

подходе коэффициент переключения между базовыми схемаим зависел от градиента решения. Harten и Zwas [71, 72] предложили первые гибридные схемы для гиперболической системы уравнений общего вида. Так в работе [72] использовалась комбинация схемы Лакса-Фридрихса [74] первого порядка точности и схемы Лакса-Вендроффа второго порядка точности [75, 76]. Краткий обзор подходов к созданию первых гибридных разностных схем может быть найден в работах [36, 37].

Одним из методов, который позволяет повысить разрешающую способность схемы при воспроизведении разрывных решений, является метод введения антидиффузии. Впервые идея использования антидиффузионных добавок была предложена в работе Бориса и Бука [61]. Разработанный ими метод получил название FCT (Flux Corrected Transport) метод, который относится к двух шаговым методам типа предиктор-корректор. На шаге предиктор вносится диффузия. Для вычисления решения на данном шаге применяется монотонная схема первого порядка точности, которая гарантирует отсутствие нефизических осцилляций в решении. На шаге корректор вводится антидиффузия. Антидиффузионные потоки определяются как разности между потоками схемы второго порядка и потоком базовой схемы первого порядка точности. При этом антидиффузия ограничивается таким образом, чтобы в решении не появлялись новые локальные экстремумы, а также не возрастали (не уменьшались) значения уже имеющихся к этому моменту локальных максимумов (минимумов). Недостаток FCT метода состоит в том, что в нём делается попытка добиться монотонности физических величин (например, скорости и давления), которые, вообще говоря, не обязаны быть монотонными [8].

Дальнейшее развитие идей, заложенных в работах Бориса-Бука, привело к созданию TVD (Total Variation Diminishing) схем. В работах [67, 68] Харте-ном для численного решения квазилинейного уравнения переноса предложен класс нелинейных разностных схем, получены условия, которыми должны обладать коэффициенты, чтобы схема удовлетворяла условию TVD, которое со-

стоит в отсутствии возникновения новых экстремумов и не усилении значений уже имеющихся экстремумов. В выражения для вычисления потоков вносится специальный параметр, зависящий от значений сеточной функции. Значения параметра выбираются таким образом, чтобы искомое решение удовлетворяло условию ТУТ). Такой подход к построению разностных схем позволяет получить второй и выше порядок аппроксимации па гладких участках решения и избавиться от нефизических осцилляций в окрестности больших градиентов решения. Простая структура параметра потока обеспечивает экономичность ТУБ схем.

Для того, чтобы численное решение удовлетворяло условию ТУБ, в настоящее время развита и широко применяется процедура кусочно-линейной (кусочно-полиномиальной) реконструкции сеточных функций. При этом наклоны кусочно-линейных распределений сеточных функций для удовлетворения условию ТУБ в пределах ячеек расчётной сетки ограничиваются специальными ограничителями, которые получили название лимитеры (Нт^егв). Среди первых работ в данном направлении следует отметить работы В.П. Колгана [34, 35]. В схеме Колгана [34] для повышения порядка точности классического метода С.К. Годунова [15] решению задачи о распаде разрыва предшествует этап кусочно-линейной реконструкции сеточных величин. Для подготовки начальных данных для задачи о распаде разрыва применяется процедура интерполяции (или экстраполяции) сеточных величии на текущем временном слое в граничные точки ячеек расчётной сетки, которая основана на принципе минимальных значений производных [34]. Применение принципа минимальных значений производных позволяет обеспечить монотонность решения. Построенная в работе [34] разностная схема аппроксимирует нестационарные решения со вторым порядком точности по координатному направлению и с первым порядком точности по временному направлению. Схема Колгана сохраняет монотонность решения и способствует уменьшению размазывания контактных разрывов и слабых скачков уплотнения, а также позволяет достичь большей точности в

областях гладкости решения.

Позднее Брам Ван Лир опубликовал серию работ [93, 94, 95[, в которых предложил получившую в дальнейшем широкое распространение схему MUSCL (Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws). Схема MUSCL, также как и схема Колгана [34], использует кусочно-линейную реконструкцию сеточных величин и обладает вторым порядком точности. Однако, в отличие от схемы Колгана, построение схемы MUSCL [95] для уравнений газовой динамики проводится в лагранжевых переменных, а отдельным этапом реализуется пересчёт полученного решения на эйлерову сетку. Для обеспечения монотонности решения применяются более сложные, чем в схеме Колгана, алгоритмы монотонизации [94], которые основаны на применении лимитерных функций, ограничивающих наклон линейных восполнений сеточных величин для борьбы с нефизическими осцилляциями. На сегодняшний день известно большое количество лимитерных функций, которые обладают различными свойствами и выбираются в зависимости от специфики конкретно решаемой задачи. Обзор наиболее распространённых лимитеров можно найти в работах [89, 97, 73, 90].

Использование кусочно-параболической реконструкции сеточных величин позволяет повысить порядок точности схемы до третьего по пространственной переменной. Среди методов данного направления широкое распространение получили PPM (Piecewise Parabolic Method) метод [63], метод Чакраварти-Ошера [62].

Среди методов, использующих реконструкцию сеточных величин, можно также отметить ENO метод (Essentially Non-Oscillatory), основанный на автоматическом анализе гладкости решения [70]. Процедура автоматического анализа гладкости решения состоит в определении ячеек сетки, в которых находятся разрывы сеточной функции, разрывы её первой производной (слабые разрывы) и разрывы производных более высокого порядка в соответствии с требуемым порядком аппроксимации. В зависимости от локального уровня гладкости, для реконструкции сеточных величин применяются интерполяционные многочле-

ны Ыыотона соответствующего порядка, степень которого определяет порядок аппроксимации. Это приводит к тому, что в методе ENO для интерполяции значений сеточных величин в ячейках расчётной сетки используется несколько шаблонов и среди них выбирается тот, на котором решение является наиболее гладким. Дальнейшее развитие метод ENO получил в работах [87, 88].

Дальнейшим развитием метода ENO стало появление WENO (Weighted ENO) метода [78]. В данном методе вместо реконструкции значения сеточной величины, полученного на одном шаблоне, применяется выпуклая линейная комбинация значений, полученных на всех возможных шаблонах. При этом весовые коэффициенты в линейной комбинации подбираются в зависимости от гладкости решения на каждом шаблоне. Схема WENO действует аналогично схеме ENO возле разрывов. Преимущество WENO метода перед ENO состоит в плавном переходе с одного разностного шаблона на другой и возможности добиться на гладких участках решения максимального порядка аппроксимации, допускаемого шаблоном.

Интенсивное развитие TVD-алгоритмов привело к значительному повышению качества получаемых численных решений по сравнению с классическими разностными схемами фиксированного порядка точности и дало основание ввести понятие схемы высокого разрешения (High Resolution Schemes). Рассмотренные выше схемы относятся к схемам высокого разрешения. Схемы высокого разрешения обладают следующими важными свойствами: являются монотонными в смысле принадлежности к классу TVD схем, обладают вторым или выше порядком точности по пространственной переменной на гладких участках решения, позволяют повысить точность решения в окрестности ударных волн и контактных разрывов (количество точек сетки, на которое „размазывается" разрыв, меньше по сравнению со схемами первого порядка точности), а также удовлетворяют свойству неубывания энтропии [80], которое состоит в невозможности возникновения нефизических решений, например, ударных волн разряжения [3]. К схемам высокого разрешения можно отнести схемы

UNO [70], AUSM [77], WAF [90], а также разработанные K.B. Вязниковым, В.Ф. Тишкиным и А.П. Фаворским „квазимонотонные схемы" [9, 10, 11, 12].

Одно из современных направлений развития численных методов для решения систем квазилинейных гиперболических уравнений и задач с доминирующим сеточным переносом является схема „КАБАРЕ" [24]. Начало данному направлению было положено в работах A.A. Самарского и В.М. Головизии-на [18, 19, 20, 21]. Схема „КАБАРЕ" , по существу, представляет собой новый подход к аппроксимации конвективных потоков в задачах с доминирующим переносом. Класс таких задач достаточно широк и включает в себя ударно-волновые процессы, аэроакустику, внешнюю и внутреннюю аэродинамику, вихревые и турбулентные течения при больших числах Релея и другие. Схема также показала свою эффективность при моделировании течений в лагранжевых и смешанных лагранжево-эйлеровых переменных.

Наряду с монотонностью, важным свойством разностной схемы является требование консервативности, которое состоит в выполнении дискретных аналогов законов сохранения. Применительно к уравнениям газовой динамики это законы сохранения массы, импульса и энергии. В основе построения консервативных схем лежит аппроксимация дивергентных уравнений, записанных в интегральной форме.

На важность требования консервативности схемы первыми в начале 50-х годов XX века обратили внимание А.Н. Тихонов и A.A. Самарский [50]. Известно [50, 48], что схемы, не обладающие свойством консервативности, могут давать решения весьма далёкие от истинного (например, ударные волны, движущиеся с неправильными скоростями). Для построения консервативных схем Тихоновым и Самарским был предложен иптегро-интерполяционный метод [47], сущность которого состоит в том, что разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для ячеек расчётной сетки. При этом на сетке вводится определённая интерполяция искомого решения и коэффициентов уравнения, изменяя которую можно

получить различные разностные схемы.

Обобщение интегро-интерполяционного метода на нерегулярные расчётные сетки привело к появлению метода конечных объёмов (finite volume method), который получил широкое распространение для построения консервативных разностных схем уравнений газовой динамики. Суть метода состоит в том, что область интегрирования разбивается на множество конечных объёмов. Объёмные интегралы, возникающие при интегрировании уравнений по конечному объёму, выражают соответствующие законы сохранения по конечному объёму и заменяются конечными суммами. При этом предполагается, что сеточные величины, определённые в центре конечного объёма, представляют собой средние интегральные значения соответствующих непрерывно распределённых величии по этому объёму.

В зависимости от способа вычисления потоков получаются различные варианты метода конечного объёма [13, 29J. Большое количество существующих методов вычисления потоков на границах ячеек расчётной сетки опираются на идеи метода Годунова [15, 16]. Среди них широкое распространение получили методы, основанные на приближенном решении задачи о распаде разрыва. К таким методам можно отнести методы Роу [84[, Ошера [82, 83], Хартена-Лакса-Ван Лира [69[.Так подход Роу основан на построении специального вида матрицы, представляющей собой аналог якобиана применительно к задаче о распаде разрыва. На матрицу налагается ряд условий, при которых метод становится консервативным, а также обеспечивается необходимая гладкость аппроксимации вектора потока. Особенность метода состоит в том, что при построении решения задачи о распаде разрыва используются только разрывы. Метод Роу позволяет точно описывать соотношения на одиночных разрывах и скорости их перемещения. Метод обладает небольшой схемной диссипацией, что обеспечивает достаточно точное разрешение ударных волн и контактных разрывов. Недостаток схемы Роу состоит в том, что она допускает существование нефизичной ударной волны разряжения в звуковой точке. Данный недостаток устраняется

за счёт введения в схему дополнительной вязкости и модификации собственных значений в окрестности звуковой точки. Метод Ошера также основан на приближенном решении задачи о распаде произвольного разрыва, однако в отличие от метода Роу, использует при построении решений этой задачи только волны сжатия и разряжения. Это приводит к тому, что ударные волны заменяются римановыми волнами сжатия.

При построении консервативных разностных схем газовой динамики нередко возникают ситуации, когда в схеме выполняется закон сохранения полной энергии, но нарушен баланс отдельных её видов. Это может привести к серьезному искажению газодинамических функций системы (например, внутренней энергии).

Дальнейшее развитие принципа консервативности привело к созданию полностью консервативных разностных схем [48, 42]. Полностью консервативные схемы для уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных характеризуются тем, что в них выполняются не только разностные аналоги основных законов сохранения, но также и дополнительные соотношения, выражающие баланс отдельных видов энергии [48]. Такие схемы показали свою эффективность на реальных сетках с шагами конечной величины в задачах, решение которых представляется функциями, быстро изменяющимися во времени и пространстве.

Для построения полностью консервативных разностных схем в лагранжевых переменных A.A. Самарским, В.М. Головизниным, А.П. Фаворским в конце 70-х годов XX века был предложен вариационно-разностный подход [38, 22, 23, 52, 49].Основная идея данного подхода состоит в замене непрерывной среды дискретной и применении к ней (дискретной среде) принципа наименьшего действия по Гамельтону, считая независимыми переменными координаты узлов сетки. Построенные с помощью вариационного подхода разностные схемы являются полностью консервативными схемам и не обладают схемной диссипацией энергии.

Помимо рассмотренных выше подходов для численного решения уравнений газовой динамики применяется метод частиц [7]. Среди разновидностей данного метода можно отметить метод свободных точек [26], метод частиц в ячейках Харлоу (PIC method: Particle-In-Cell) [59], метод крупных частиц [5],[б], метод гладких частиц [81], а также кинетически согласованные разностные схемы [28, 27, 60, 4] и др.

В работах [53, 54] описывается предложенный А.П. Фаворским новый алгоритм решения линейного и простейшего квазилинейного уравнения переноса. В основе алгоритма лежит кусочио-липейная реконструкция численного решения, опирающаяся на характеристические свойства уравнений переноса. Для случая линейного уравнения переноса проведено достаточно подробное исследование предлагаемой методики. Показано, что построенная на основе данной методики явная, консервативная, однородная разностная схема обладает вторым порядком аппроксимации в областях гладкости решения и позволяет обеспечить монотонность решения без использования искусственных регуляризаторов.

Обобщению предлагаемой методики для решения квазилинейных уравнений Эйлера газовой динамики в одномерном, двумерном и трёхмерном случаях посвящена диссертационная работа.

Цель и задачи исследования

Целью данной работы является

1. разработка нового алгоритма, являющегося развитием методики [53, 54], для решения уравнений газовой динамики в случае одного, двух и трёх пространственных измерений.

2. применение разработанной квазиакустической схемы к решению прикладной задачи о взаимодействии газовых струй, истекающих из двигателей самолёта, с отражающим экраном-отбойником.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. разработан алгоритм решения уравнений газовой динамики в одномерном случае;

2. проведено обобщение алгоритма на случай двух и трёх пространственных измерений;

3. проведена верификация разработанной квазиакустической схемы на одномерных, двумерных и трёхмерных модельных задачах;

4. проведено сравнение численного решения, полученного с помощью квазиакустической схемы, с решениями, полученными по известным схемам второго порядка точности;

5. разработан параллельный алгоритм, с использованием которого проведено математическое моделирование прикладной задачи о взаимодействии газовых струй, истекающих из двигателей самолёта с отражающим экраном-отбойником на суперкомпьютере IBM eServer pSeries 690 (Regatta).

Научная новизна и практическая ценность

Научная новизна и практическая ценность работы заключаются в следующем:

1. разработанная квазиакустическая схема на гладких участках решения соответствует по качеству схемам второго порядка точности, позволяет обеспечить монотонность решения без использования искусственных регуля-ризаторов, физически корректно передаёт профили разрывов, правильно воспроизводит звуковую точку и поведение решения в её окрестности;

2. результаты численного моделирования прикладной задачи, проведённые с помощью разработанной квазиакустической схемы, близки к результатам,

полученным с помощью натурных экспериментов.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов математического моделирования гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с данными, полученными в ходе модельных и натурных экспериментов.

Положения, выносимые на защиту

1. алгоритм для решения уравнений газовой динамики в одномерном случае;

2. обобщение предлагаемого алгоритма на случай двух и трёх пространственных измерений;

3. результаты численного моделирования задачи о взаимодействии газовых струй, истекающих из двигателей самолёта, с отражающим экраном - отбойником.

Методы исследования

Расчёты одномерных, двумерных и трёхмерных тестовых и модельных задач проводились с помощью разработанного компьютерного кода. В качестве основного метода исследования прикладной задачи использовался вычислительный эксперимент.

Апробация работы

Основные результаты исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. научной конференции „Тихоновские чтения" (г. Москва, 2009);

2. международной молодёжной конференции-школе „Современные проблемы прикладной математики и информатики" (МРАМС8'2012)(г. Дубна, 22 - 27 августа 2012);

3. ХХ-ой международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных „Ломоносов - 2013" , секция „Вычислительная математика и информатика" (г. Москва, 9-12 апреля 2013);

4. научной конференции „Ломоносовские чтения" (г. Москва, 24 апреля 2013);

5. научно-исследовательском семинаре в Институте прикладной математике им. М.В. Келдыша РАН под руководством В.Т. Жукова (г. Москва, февраль 2013).

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 9 печатных работах: 5 статей [53, 54, 2, 31, 14| в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 4 тезиса докладов [32, 33, 55, 56].

Личный вклад соискателя

Всс исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Весь заимствованный материал обозначен в работе соответствующими ссылками.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 127 страницах текста, содержит 80 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 97 наименование.

Работа выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 годы.

Глава 1

Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исаков, Виктор Александрович, 2013 год

Литература

[1] Алалыкин Г.В., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Д.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М: Наука, 1970. 112 с.

[2] Абакумов М.В., Галанина A.M., Исаков В.А., Тюрина H.H., Фаворский А.П., Хруленко A.B. Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47, № 8. С. 1092 - 1098.

[3| Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Рогожкин Д.В. Ударные волны разрежения в численных решениях задач газовой динамики //Матем. моделирование. 2008. Т. 20, № 1. С. 48 - 60.

[4| Абалакин И.В., Четверушкин В.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений // Матем. моделирование. 1996. Т. 8, № 8. С. 17 - 36.

[5] Велоцерковский О.М., Попов Ф.Д., Толстых А.И., Фомин В.Н., Холодов А. С. Численное решение некоторых задач газовой динамики // ЖВМиМФ. 1970. Т. 10, № 2. С. 401 - 416.

[6] Велоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с.

[7] Богомолов C.B., Кузнецов К.В. Метод частиц для системы уравнений газовой динамики // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, № 7. С. 93 - 100.

[8] Бондаренко Ю.А., Башу ров В. В., Янилкип Ю.В. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газодинамики. Обзор зарубежной литературы. 2003. 53 с. Препр. Всероссийский НИИ экс-перим. физики № 88.

[9] Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики. 1987. 24 с. Препр. Инст. прикл. матем. АН СССР № 175.

[10] Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Численные примеры квазимонотонных схем газовой динамики. 1988. 26 с. Препр. Инст. прикл. матем. АН СССР № 121.

[11] Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Математ. моделирование. 1989. Т.1, №5. С. 95 - 120.

[12] Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Машков М.Ю. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности. 1987. 27 с. Препр. Инст. прикл. матем. АН СССР № 36.

[13] Галанин М.П., Грищенко Е.В., Савенков Е.Б., Токарева С.А. Применение RKDG метода для численного решения задач газовой динамики // Матем. моделирование. 2008. Т. 20, № 11. С. 55 - 66. (Препринт ИПМ; № 52).

[14] Галанина A.M., Исаков В.А., Тюрина H.H., Фаворский А.П. Конструктивный подход к численному решению квазилинейных уравнений переноса // Математ. моделирование. 2013. Т. 25, № 8. С. 80 - 88.

[15] Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сборник. 1959. Т. 47(89), № 3. С. 271 - 306.

[16] Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчёт обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМиМФ. 1961. Т. 1, № 6. С. 1020 - 1050.

[17] Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

[18] Головизнин В.М., Карабасов С.А. Нелинейная коррекция схемы «Кабаре» // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, № 12. С. 107 - 123.

[19] Головизнин В.М., Карабасов С.А., Кобрииский И.М. Балансно-характеристические схемы с разделёнными консервативными и потоковыми переменными // Матем. моделирование. 2003. Т. 15, № 9. С. 29 -48.

[20] Головизнин В.М., Самарский A.A. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 86 - 100.

[21] Головизнин В.М., Самарский A.A. Некоторые свойства разностной схемы Кабаре // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 101 - 116.

[22] Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Об аппроксимации вариационно-разностных уравнений гидродинамики. 1977. Препр. Инст. прикл. матем. АН СССР № 34.

[23] Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационнй подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике. // Доклад АН СССР. 1977. Т. 235, № 6. С. 1285 - 1288.

[24] Головизнин В.М., Зайцев М.А., Карабасов С.А., Короткий И.А. Новые ал-

горитмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов. М.: Изд-во Московского университета, 2013. 472 с.

[25] Голъдин В. Я., Калиткии H. Н., Шишова Т. В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений // ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 938 - 944.

[26] Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, № 4. С. 680 - 688.

[27] Елизарова Т. Г. О классе кинетически согласованных разностных схем газовой динамики // ЖВМиМФ. 1987. Т. 27, № 11. С. 1748 - 1752.

|28] Елизарова Т.Г., Чегпверушкии Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчёта газодинамических течений // ЖВМиМФ. 1985. Т. 25, № 10. С. 1526 - 1533.

[29] Елизарова Т. Г., Жериков А. В., Калачииская И. С. Численное решение квазигидродинамических уравнений на неструктурированных треугольных сетках // КИиМ. 2009. Т. 1, № 2. С. 181 - 188.

[30] Жуков А.И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. Тр. МИАН СССР. 1960, № 58. С. 4 - 149.

[31] Исаков В. А., Фаворский А.П. Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики в случае двух пространственных измерений // Ма-тем. моделирование. 2012. Т. 24, № 12. С. 55 - 59.

[32] Исаков В.А. Решение уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных с использованием сплайн-функций // Сборник тезисов лучших дипломных работ факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. 2010. С. 34 - 36.

[33] Исаков В. А. Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики // Сборник тезисов XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных „Ломоносов - 2013" .Москва. МГУ имени М.В. Ломоносова. Ф-т ВМК. 9-12 апреля 2013. Секция „Численные методы и математическое моделирование" . С. 134 - 135.

[34] Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчёта разрывных решений газовой динамики // Учёные записки ЦАГИ. 1972. Т. 3, № 6. С. 68 - 72.

[35] Колган В. П. Конечно-разностная схема для расчета разрывных решений нестационарной газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1975. Т. 6, № 1. С. 9 - 14.

[36] Копченое В. И., Крайко А. Н. Построение монотонной конечно-разностной схемы второго порядка аппроксимации для уравнений гиперболического типа. 1980. 42 с. Научно-техн. отчет ЦИАМ им. П. И. Баранова № 9108.

[37] Копченое В. И., Крайко А. Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // ЖВМиМФ. 1983. Т. 23, № 4. С. 848 - 859.

[38] Коршия Т.К., Тишкин В.Ф., Самарский A.A., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Вариационно-операторные разностные схемы для уравнений математической физики. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1983. 144 с.

[39] Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физмат-лит, 2001. 607 с.

[40] Куропатенко В. Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений гидродинамики // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. 1962. Т. 28, № 3. С. 75 - 83.

[41] Магомедов K.M., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. 290 с.

[42] Maotcopoea О.С., Попов Ю.П. О полностью консервативных схемах для двумерных уравнений газовой динамики // Дифф. уравнения. 1979. Т. 15, № 7. С. 1318 - 1331.

[43[ Мухин С.И., Попов С.Б., Попов Ю.П. О разностных схемах с искусственной дисперсией // ЖВМиМФ. 1983. Т. 23, № 6. С. 1355 - 1369.

[44] Рихтмайер Р., Мортоп К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 418 с.

[45] Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложений к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.

[46] Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

[47] Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

[48| Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Изд. 4-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. 424 с.

[49] Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск: РАН ИММ, 1996. 273 с.

[50] Тихонов А.Н., Самарский A.A. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 3. С. 97 - 105.

[51] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об однородных разностных схемах // ЖВМиМФ. 1961. Т. 1, № 1. с. 5 - 64.

[52] Фаворский А.П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики. // Дифф. уравнения. 1980. Т. XXVI, № 7. С. 1317 - 1327.

[53] Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина H.H., Галаиипа A.M., Исаков В.А. Численное моделирование распространения акустических импульсов в гемодинамике // Дифф. уравнения. 2009. Т. 45, № 8. С. 1179 - 1187.

[54] Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина H.H., Галанина A.M., Исаков

B.А. Численное моделирование распространения гемодинамических импульсов // Матем. моделирование. 2009. Т. 21, № 12. С. 21 - 34.

[55] Фаворский А.П., Галанина A.M., Исаков В.А. Конструктивный подход к численному решению квазилинейных уравнений переноса // Тезисы международной молодёжной конференции-школы „Современные проблемы прикладной математики и информатики". г. Дубна. 22 - 27 августа 2012.

C. 34.

[56] Фаворский А.П., Исаков В.А. Кваз и акустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики // Сборник тезисов конференции „Ломоносовские чтения" 2013.Москва. МГУ имени М.В. Ломоносова. Ф-т ВМК. 24 апреля 2013. Секция XI. С. 87 - 88.

[57] Фадеев В.А., Шарапов В.И., Ермолаев И.К. Математическое моделирование и экспериментальная обработка методов снижения загазованности приземного слоя атмосферы в районе аэропорта // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2012. № 7. С. 16 - 20.

[58] Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений // ЖВМиМФ. 1962. Т. 2, № 6. С. 1122 - 1128.

[59] Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. 316 с.

[60] Четверушкин В.Н. Кинетически согласованные разностные схемы для задач газовой динамики. М.: Наука, 1998. 280 с.

[61] Boris J. P., Book D. L. Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works // Journal of Computational Physics. 1973. Vol. 11, 1. Pp. 38 - 69.

[62] Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high-accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA Paper. № 85-0363. 1985. Pp. 1 - 11.

[63] Colella P., Woodward P.R. The piccewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulation // Journal of Computational Physics. 1984. Vol. 54, № 1. Pp. 174 - 201.

[64] Courant R., Isacson E., Rees M. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Commun. Pure and Appl. Math. 1952. Vol. 5, № 5. Pp. 243 - 254.

[65] Einfeldt B. On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1988. Vol. 25, № 2. Pp. 294 - 318.

[66] Friedrichs K. 0. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Commun. Pure and Appl. Math. 1954. Vol. 7, № 2. Pp. 345 - 392.

[67] Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 49, № 3. Pp. 357 - 393.

[68] Haiien A. On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1984. Vol. 21, № 1. Pp. 1 -23.

[69] Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Review. 1983. Vol. 25, № 1. Pp. 35 - 61.

[70] Harten A., Osher S. Uniformally high-order accurate essentially non-oscillatory

scheme // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1987. Vol. 24, № 2. Pp. 279 -309.

[71] Harten A., Zwas G. Switched numerical Shuman filters for shock calculations // Jouranl Engrg. Math. 1972. Vol. 6, № 2. Pp. 207 - 216.

[72] Harten A., Zwas G. Self-adjusting hybrid schemes for shock computations // Journal of Computational Physics. 1972. Vol. 9, № 3. Pp. 568 - 583.

[73j Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows. The fundamentals of computational fluid dynamics, second ed. - John Wiley and Sons, Ltd, 2007.

[74] Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations // Commun. Pure and Appl. Math. 1954. Vol. 7, № 1. Pp. 159 -193.

[75] Lax P. D., Wendroff B. Systems of conservation laws // Commun. Pure and Appl. Math. 1960. Vol. 13, № 2. Pp. 217 - 237.

[76] Lax P.D., Wendroff B. Difference schemes for hperbolic equations with high order of accuracy // Commun. Pure and Appl. Math. 1964. Vol. 17. Pp. 381 -398.

[77] Liou M.S., Steffen C.J. A new flux splitting scheme // Journal of of Computational Physics. 1993. Vol. 107, № 1. Pp. 23 - 29.

[78] Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // Journal of Computational Physics. 1994. Vol. 115, Pp. 200 - 2012.

[79] MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper. 1969. № 69-354. Pp. 69 - 354.

[80] Majda A., Osher S. Numerical viscosity and the entropy condition // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1979. Vol. 32. Pp. 797

- 838.

[81] Monaghan J. J., Gingold R.A. Shock simulation by particle method SPH // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 52, № 2. Pp. 374 - 389.

[82] Osher S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic systems of conservation laws. North Holland Mathematical Studies. 1981. Vol. 47. Pp. 179 - 205.

[83] Osher S. Riemann solvers, the entropy conditions and difference approximations 11 SIAM Journal of Numerical Analysis. 1984. Vol. 21, № 2. Pp. 217 - 235.

[84] Roe P. L. Approximate Riemann solvers parameter vectors and divergence schemes // Journal of Computational Physics. 1981. Vol. 43, № 2. Pp. 357

- 372.

[85] Roe P.L. Characteristic-based schemes for the Euler equations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. Vol. 18. Pp. 337 - 365.

[86] Sod G.A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 1978. Vol. 27. Pp. 1 - 31.

[87] Shu C. W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I // Journal of Computational Physics. 1988. Vol. 77, № 2. Pp. 439 - 471.

[88] Shu C. W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II // Journal of Computational Physics. 1989. Vol. 83, № 1. Pp. 32 - 78.

[89] Sweby P. К. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1984. Vol. 21, № 5. Pp. 995 - 1011.

[90] Того Eleuterio F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin: Springer, 1999. 645 p.

[91] Того Eleuterio F. NUMERICA, a library of source codes for teaching, research and applications. Numeritec limited, 1999.

[92] Того Eleuterio F., Spruce M., Speares W. Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver. Shock Waves. 1994. Vol. 4. Pp. 25 - 34.

[93] Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow // Journal of Computational Physics. 1977. Vol. 23, № 2. Pp. 263 - 275.

[94] Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. IV. A new approach to numerical convection // Journal of Computational Physics. 1977. Vol. 23, № 2. Pp. 276 - 299.

[95] Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method // Journal of Computational Physics. 1979. Vol. 32, № 1. Pp. 101 - 136.

[96] von Neumann J., Richtmyer R. D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21, № 3. Pp. 232 - 237. [Сокр. рус. пер.: Нэйман Дж., Рихтмейер Р. Метод численного расчета гидродинамических скачков. Механика. 1951. № 1 (5). с. 27 - 30.]

[97] Yee Н.С. A class of high-resolution explicit and implicit shock-capturing method // von Karman Institute Lecture Series 1989-04 (NASA TM-101088).

1989.