Асимтотические ряды для многочленов ортогональных относительно комплексного аналитического веса и приложения к полиномиальным всплескам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Роберт Флюсович

• Хабибуллин, Роберт Флюсович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Роберт Флюсович

Введение

1 Асимптотические ряды для полиномов ортогональных относительно комплексного переменного веса

1.1 Введение.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Основные определения и обозначения.

1.1.3 Формулировка основного результата.

1.1.4 Краткий обзор метода.

1.2 Метод матричной задачи Римана-Гильберта для получения сильной асимптотики ортогональных многочленов.

1.2.1 Матричная задача Римана-Гильберта для ортогональных полиномов.

1.2.2 ' Равновесная мера и функция Сеге.

1.2.3 Первое преобразование Y —+ Т: нормировка матричной задачи.

1.2.4 Второе преобразование Т —► 5: факторизация матрицы скачка и "раскрытие линзы".

1.2.5 Анализ краевой задачи для S.

1.2.6 Постановка вспомогательной краевой задачи в окрестности концевых точек носителя Д.

1.2.7 Решение краевой задачи в окрестности концевой точки с помощью функций Айри.

1.2.8 Заключительное преобразование 5 —» R.

1.2.9 Рекуррентные соотношения для г*.

1.3 Асимптотика ортогональных полиномов относительно веса hn

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимтотические ряды для многочленов ортогональных относительно комплексного аналитического веса и приложения к полиномиальным всплескам»

2.2 Асимптотика фрейм коэффициентов для функции с разрывными производными .63 г

2.2.1 Случай Латера.64

2.2.2 Случай Эрмита.71

2.3 Локализация сингулярностей.73

2.4 Численные эксперименты .75

3 Базис Шаудера минимальной степени с обобщенной Чебышевской ортогональностью 76

3.1 Постановка задачи и основные понятия.76

3.2 Основные идеи построения ортогональных базисов минимальной степени.77

3.3 Определение базиса.79

3.4 Оценка констант Лебега.82

Введение

Теория ортогональных многочленов - глубоко исследованная и имеющая широкие приложения область анализа Одной из ключевых проблем данной теории является задача об асимптотическим поведении при возрастании номера п последовательности ортогональных многочленов Для исследования асимптотических свойств ортогональных полиномов применяются различные методы и приемы (см классическую монографию Сеге [23]) Например, свойства, так называемых, классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля - Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала Метод Дарбу основан на производящих функциях Наиболее универсальным является метод Сеге, который применяется в самых общих случаях Базовыми результатами по асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов являются работы Лапласа, Гейне, Дарбу, Стилтьеса, Сеге, Фейера, Перрона, Планшереля, Ротаха

Современная теория асимптотики многочленов ортогональных относительно комплексного переменного веса была развита Гончаром и Рахмановым (см , например, [1]) В настоящее время эта теория переживает бурный расцвет, являясь не только мощнейшим инструментом в анализе и математической физике, но и находя применения от теории чисел до случайных матричных ансамблей и асимптотической комбинаторике (см , например, доклад Дейфта на Международном конгрессе математиков в Берлине [12]) Комплексные методы исследования сильных асимптотик ортогональных многочленов основаны на краевых задачах для аналитических функций (задачах Римана-Гильберта) Этот подход появился впервые в работах Дж Наттолла в связи с изучением сильных асимптотик многочленов Эрмита-Паде (см обзорную статью [3], а также [4]) В работе С П Суетина [5] подход Наттолла был развит для многочленов, определяемых соотношениями ортогональности на объединении конечного числа S-симметричных дуг в С где Шр есть корень из многочлена с нулями в концевых точках {с3} дуг, составляющих ^ с весовой функцией вида

Pn(z) = zn+ , v = 0, ,п-1 (1) h h =—— на F, ЛеЯ(П), 0 в fl,

2)

Как было замечено Итсом, Фокасом и Китаевым в [6], скалярное краевое соотношение, использованное Наттоллом и Суетиным, может быть переформулировано в виде краевой задачи Римана-Гильберта для матрично-значных функций Дейфтом и соавторами в работах [7]-[11] был предложен метод решения таких матричных краевых задач Этот метод или, как мы будем называть его в дальнейшем, метод перевала Дейфта/Джоу для решения краевых задач Римана-Гильберта для ортогональных полиномов позволяет находить сильную асимптотику для широкого класса ортогональных многочленов, более того, делает возможным получать асимптотические ряды по степеням ~ во всей комплексной плоскости при п —> оо Ранее, в перечисленных работах, были получены сильные асимптотики для полиномов ортогональных на Ш относительно переменных весов е~пУ(х\ где V является действительной, аналитической и имеющая достаточный рост в бесконечности, а также для полиномов ортогональных на Ш относительно не переменных весов е-®^, где <Э - многочлен четной степени и с положительным старшим коэффициентом или €}{х) = к\х\@ с к, /3 > 0 Результаты полученные этими авторами, существенно улучшали прежние асимптотические формулы и были использованы для решения вопроса об универсальности в теории случайных матриц

Аптекаревым в [2], в связи с задачами о скорости аппроксимации аналитических функций рациональными, были рассмотрены полиномы ортогональные на комплексных кривых относительно переменного веса вида /гп(х) = с аналитической функцией <3 и с \\1гп — ЛооИя = о( 1) и для этих полиномов был получен главный член сильной асимптотики (то есть коэффициент при независимом от п члене асимптотического ряда) Глава 1 диссертации посвящена изучению асимптотических свойств полиномов ад = + }"„ [ Рп№К(г)сЬ = 0, и = 0, ,п-1, (3)

JF ортогональных на комплексной кривой Р относительно переменного веса вида где С^-,, з = 0,1 - голоморфные в некоторой области П з> Р функции Основным результатом этой главы является Теорема 1, в которой получен асимптотический ряд по степеням ^ для полиномов, определяемых в (3) Как было замечено в [2], для процедуры применения метода перевала Дейфта/Джоу, который будет использоваться для доказательства этой теоремы, ключевым моментом является выбор дуги интегрирования Положение дуги интегрирования в свою очередь вытекает из нахождения Э-симметричного носителя экстремальной меры А, обеспечивающей равновесие логарифмического потенциала Уи{г) во внешнем поле / = 2о) (определения логарифмического потенциала, равновесной меры и Э-свойства вводятся в пункте 112 главы 1) Поэтому, условия, используемые в Теореме 1, будут выражены в терминах теории потенциала Наряду, с классическим для теории комплексного потенциала, условием 5— симметрии <2о) € £>, будут наложены условия связности на дугу Д- носителя равновесной меры А, положительности А во внутренних точках Д, а также концевыми условиями на

Д для А' г) ={(г-а)(г-Ъ))1/2к(г), при И 6 Н(Оа и Оь), геОаиОь

В этих условиях, доказывается (см Теорему 1), что начиная с некоторого номера N многочлены Рп имеют равномерное по г из компактов в С \ Д асимптотическое разложение по степеням А вида определения Сп, <рп, /3 вводятся в пункте 112 главы 1) Функции Щ ана-литичны в С \ Д и могут быть явно вычислены по рекуррентным краевым соотношениям В приложении к главе 1 (пункт 14 3) вычисляется Щ В качестве примеров, в заключении к первой главе, иллюстрируется как Теорема 1 может быть использована для получения асимптотических рядов для полиномов Бесселя degBn(x) < п, Вп(х) ф 0, ортогональных на замкнутой аналитической дуге 7, содержащую внутри точку 0, т е

I Вп(х)хке*йх = 0, к = О, ,п- 1, (5)

2т у7 а также полиномов Лагера, определяемых нами точной формулой ь^Ё (;!:)« (в) к=0 4 7

Во многих приложениях, ортогональные полиномы являются естественным средством для построения различных ортогональных систем В последние два десятилетия бурно развивается новый аппарат обработки сигналов -вейвлеты (всплески) Отправной точкой лавинообразного развития вейвлет-ной теории принято считать работы Добеши [15], [16] С развитием новых методов в теории всплесков, например, применением кратномасштабного анализа, а также с развитием теории ортогональных многочленов, стало возможным построение и детальное изучение новых конструкций, полезных в практических областях Во многих приложениях, таких как, сжатие изображений и сигналов, анализе временных рядов, антенных технологиях и т д необходимо локализовывать сингулярности функций различных порядков Оказывается, полиномиальные вейвлеты рассмотренные Фишером и Пре-стином [21], а также более общие конструкции - полиномиальные фреймы, (рамки), по некоторым соображениям подходят для этих целей больше, чем стандартные вейвлеты Для полиномов {рк} ортогональных относительно веса из и для треугольной матрицы С? = {дкг}к=о 11=1,2, > аналог ядра Кристоффеля-Дарбу будет иметь вид I

К1{в,х,Ь) =^2дк1Рк{х)Рк^) к=О

Интерес будет представлять следующий объект (фрейм элементы) к = 1, , т, 0,1, ,

Уп,кт{х) =Хк,шК2ы{0[ 1],х,хк,т){и{хк<т)) 1/2, (7) где {Хк т} - нули полинома рт, а Л km, - символы Кристоффеля При определенных условиях на матрицу G, с помощью квадратурной формулы Гаусса, можно показать, что для функций из верно представление

2 ОО 771 f = ar{f)Pr + Yh v W(Xk m)T2N,k m(G, /)Ф„ fc m, Г=0 71=1 fc= 1 где ofc(/) = / fpkwdt, k = 0,1, , и

GJ) = J /(i)Xi(<?,i,a:fem)a/(i)di (8)

В частности, Машкар и Престин в своей работе [22] доказали, что полиномиальные фреймы построенные по полиномам Якоби способны локализотзывать сингулярности любых порядков для функций заданных на конечном интервале Во второй главе диссертации будут рассмотрены функции определенные на бесконечных интервалы (0,со), (—со, со) и полиномиальные фреймы построенные по полиномам Лагера и Эрмита на них соответственно Веря за основу обшую конструкцию для полиномиальных рамок (7) , исследуются локализационные свойства рамок, построенных по полиномам Лагера и Эрмита и показывается как они могут быть использованы для обнаружения и локализации сингулярностей всех порядков Для этого получены асимптотические представления для рамочных коэффициентов (8) в окрестности сингулярностей (Теорема 3 и Теорема 4 соответственно)

Теория вейвлетов и ортогональных многочленов тесно связаны еще с одним объектом представляющим интерес на протяжении многих лет, а именно с базисом Шаудера, то есть системой функций {tfik}kLо Для которой выполнено п

V/ е С[-1,1] Э > {ttfcJgLo II/- 5>*Ы1ооо при га^оо fc=0

Хорошо известно, что ряд Фурье непрерывной функции, в общем случае, не сходиться в sup норме (норме пространства С[— 1,1]) При исследовании полиномиальных базисов, важным условием сходимости ряда оказывается условие на рост степени полиномов например, Фабер в [38] доказал, что любая система из тригонометрических полиномов {íM ¡j, 6 JV} вместе с условием deg tfí < p,¡2 не может быть базисом Шаудера Естественным образом возникает вопрос о минимальной степени полиномов образующих базис Шаудера Этот вопрос был полностью решен Приваловым в его двух работах [28], [29] С одной стороны, он показал, что для любого базиса ц £ Ш} в Сгл- существует е > 0 такое, что для достаточно больших fj, выполнено deg t^ > (1 + е)ц/2 С другой стороны, он установил, что для любого е > 0 существует базис Шаудера удовлетворяющий deg< (1 + е)м/2 Базис из полиномов с таким условием на степени называется оптимальным В работе [30] Ульянов поставил вопрос о минимальном росте степени полиномов с дополнительным условием ортогональности с весом ш Лоренц и Саакян в [31] дали окончательный ответ для тригонометрического случая и, как оказалось, дополнительное условие на базис - быть ортогональным, не влияет на рост степени

Скопина М в работах [32], [33] решила проблему в случае когда ш = 1 В работах [26], [27], [34] авторами предложена конструкция, которая дает базис в пространстве 1,1] с произвольной функцией ш, а при и> равному одному из классических Чебышевских весов образует базис Шаудера В главе 3 данной работы, исследуется конструкция полиномиального базиса {Рц}, построенного по полиномам ортогональным относительно обобщенного Чебышевского веса, т е весовой функции вида и(х) = , X е [-1,1], "о е Я(5), шо(±1) Ф 0, (9)

VI — х где 5 - некоторая область содержащая [—1,1] Из Леммы 15 следует, что основным условием для того, чтобы ортонормированная система образовывала базисом Шаудера является равномерная ограниченность по п констант Лебега п

Ьп = вир || У)||Ь1 «б[-111 м=0

Вместо явных формул для полиномов Чебышева используемых в [26], [27], [34] для оценки констант Лебега для полиномов ортогональных относительно веса (9) приходиться использовать их равномерные асимптотические представления (см [35]) В Леммах 18 и 19 главы 3 доказана равномерная ограниченность по п констант Лебега , а тем самым (см Теорема 7) предъявлен базис Шаудера оптимальной степени с дополнительным условием обобщенной Чебышевской ортогональности

Благодарность. В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Аптекареву А И за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе Работа над диссертацией (глава 2 и 3) велась в рамках проекта Российско-Франко-Германских университетских обменов в г Любек (Германия) Автор выражает глубокую благодарность научному ссъруководителю профессору Престину Ю за обсуждение постановок задач, постоянное внимание и помощь в работе

Поддержка. Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Проектом Российско-Франко-Германских университетских обменов, программой поддержки ведущих научных школ РФ (грант К" НШ-1551 2003 1), Отделением математических наук РАН (программа N° 1) и фондами ИНТАС (грант К0 03-516637) и РФФИ (грант № 05-01-00522)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Роберт Флюсович, 2005 год

1. Гончар А И , Рахманов Е А Равновесные распределения и скорость рациональной аппроксимации аналитических функций, Матем сб 134 (1987), по 3, 306-352

2. Аптекарев А И , Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций,Матем сб 193 (2002), no 1, 3-72

3. Nuttall J , Asymptotics of diagonal Hermite-Pade polynomials, J Approx Theory 42 (1984), no 4, 299-386

4. Nuttall J , Pade polynomial asymptotics from a singular integral equation, Constr Aprox 6 (1990), 157-166

5. Суетин С П , О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций, Матем сб 191 (2000), по 9, 81-114

6. Fokas, А , Its, А , Kitaev, А , The isomonodromy approach to matrix models m 2D quantum gravity, Comun Math Phys 147(1992), 395-430

7. Deiffc, P , Orthogonal polynomials and random matrices a Riemann-Hilbert approach, Reprint of the 1998 original, Amer Math Soc , Providence, RI, 2000

8. Deift, P , Kriecherbauer, T , T-R McLaughlin, К, New results on the equalibrium mesure ior logarithnic potentials m the presence of an external field J Approx Thry , 95(1998), 388-475

9. Deift, P , Kriecherbauer, T , T-R McLaughlin, К , Venakides, S , and Zhou, X Asymptotics for polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights Int Math Res Notes 16(1997), 759-782

10. Deift, P , Kriecherbauer, T , T-R McLaughlin, К , Venakides, S , and Zhou, X Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights Comm Pure Appl Math , Vol LII, Ц91-1552 (1999)

11. Deift P , Kriecherbauer T , McLaughlin К T -R , Venakides S , Zhou X , Uniform asymptotics for orthogonal polynomials, Doc , Math , J DMV, Extra Vol ICM Berlin 3 1998, 491-501

12. Bieber P , Its A , Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials, Riemann-Hilbert problem, and universality m the matrix model, Ann Math (2) 150

13. Гахов Ф Д , Краевые задачи, ГИФМЛ, М Д963

14. Daubechies I, Orthogonal bases of compactly supported wavelets, Comm Pure and Appl Math 41, 1989, 909-996

15. Daubechies I, Ten Lectures on Wavelets, SIAM/GMBS-NSF Regional Conf Series m Appl Math Vol 61, 1992

16. Абрамович M , Стигап И , Справочник по специальным функциям, Наука, М Д979

17. Y Meyer, "Wavelets, vibrations, and scahngs", CRM Monograph Series, Amer Math Soc , Providence, RI, 1997

18. К S Eckhoff, On a high order numerical method for functions with singularities, Math Comp 67 (1998), 1063-1087

19. S U Pillai, "Array signal processing", Springer Verlag, New York, 1989

20. В Fischer, J Prestm, Wavelets based on orthogonal polynomials, Math Comp 66 (1997), 1593-1618

21. H N Mhaskar, J Prestm, Polynomial frames for the detection of singularities, m Wavelet Analysis and Multiresolution Methods, (Ed Tian-Xiao He) Marcel Decker, 2000, 273-298

22. G Szego, "Orthogonal polynomials", 4th edition, American Mathematical Society, Providence, 1975

23. W J Olver, "Asymptotics and Special functions", А К Peters, Wellesley, MA, 1997, originally published by Academic Press, New York, 1974

24. N Temme, "An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics", John Wiley & Sons, Inc , 1996

25. Girgensohn, R, Prestm, J, Lebesgue constants for an orthogonal polynomial Schauder basis, J Comp Anal Appl (2) 2000, 159-175

26. Girgensohn, R , Lebesgue constants for an orthogonal polynomial Schauder basis, submitted to Appl Comp Harm Anal

27. Привалов А А, О росте степени полиномиальных базисов и аппроксимаций тригонометрических проекций, Мат Заметки 42(1987), 207214 English translation m Math notes 48(1990), 1017-1024

28. Khabiboulline R , Polynomials Schauder bases with generalized Chebyshev orthogonality, East Journal of Approximation, Volume 9, Number 4, 2003, 443-458