Матричные методы обработки нечеткой информации в информационных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Гревцев, Олег Игоревич

• Гревцев, Олег Игоревич
• кандидат технических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гревцев, Олег Игоревич

Список основных обозначений.

Введение.

1. Особенности оптимизации решения многокритериальных задач.

1.1. Структурный метод решения многокритериальных задач

1.2. Представление многокритериальной задачи как задачи ранжирования и распознавания.

1.3. Анализ задачи ранжирования при отсутствии эталона.

Выводы по разделу

2. Обзор и сравнительный анализ методов решения многокритериальных задач при нечеткой исходной информации.

2.1. Способы построения функции принадлежности.

2.2. Сравнительный анализ косвенных методов построения функции принадлежности.

2.3. Сравнительный анализ методов оптимизации решения многокритериальных задач.

Выводы по разделу 2.

3. Математическое обоснование матричного метода обработки нечеткой исходной информации.

3.1. Матричный метод построения функции принадлежности

3.2. Учет согласованности и коррекция экспертных оценок.

3.3. Решение многокритериальной задачи ранжирования матричным методом при нечеткой исходной информации.

3.4. Решение задачи классификации матричным методом при нечеткой исходной информации.

3.5. Решение матричным методом многокритериальных многоуровневых задач, представленных в иерархической форме. Определение общей согласованности субъективных оценок важностей.

Выводы по разделу 3.

4. Практическое применение матричного метода для решения многокритериальных задач при нечеткой исходной информации.

4.1. Решение задачи оптимизации доставки личного состава сводного отряда СУВДТ по сигналу тревоги.

4.2. Решение многоуровневой задачи по охране объектов матричным методом.

Выводы по разделу 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Матричные методы обработки нечеткой информации в информационных системах»

Изучение и внедрение новых достижений науки и техники, совершенствование технологии, снабжения и сбыта, контроль за количеством и качеством выпускаемой продукции, финансирование и кредитование и многие другие проблемы входят в сферу деятельности руководителя современного производства, В подобных ситуациях, характеризующихся множеством факторов и взаимных связей, объективные трудности принятия правильного решения могут привести к нерациональному использованию ресурсов, несогласованности работы отдельных звеньев системы управления, к снижению экономического роста производства. В связи с этим математический анализ исследования операций для принятия решений приобретает важнейшее значение в науке и практике управления.

Проблема принятия решений в условиях нечеткой исходной информации составляет в настоящее время одно из важнейших направлений исследования методов решения многокритериальных задач. Выбор наилучшего варианта в нечетких многокритериальных задачах усложняется отсутствием формализованной связи между объектами и их признаками, а также недостаточной объективной информацией о количественных значениях исходных данных, часто носящих только качественные оценки. Вследствие этого, недостаток объективной информации восполняется субъективной оценкой характеристик, данной экспертом на основе его опыта, знаний, интуиции. Оценка эксперта всегда связана с неопределенностью в силу своей субъективности, что в дальнейшем будет влиять на нечеткость выбранного решения.

В работе рассматриваются многокритериальные задачи, где неопределенность в выборе наилучшего решения имеет следующие особенности: отсутствуют статистические данные, позволяющие обосновать количественные соотношения между различными критериями (признаками); на момент принятия решения отсутствует информация, позволяющая объективно оценить возможные последствия выбора того или иного варианта решений. Вероятностный подход к решению многокритериальных задач, имеющих неопределенность статистической природы, в данной постановке является непригодным. Подобные задачи относятся к новому классу задач принятия решения, образовавшемуся на стыке многокритериальное™ и нечетких множеств. В диссертационной работе предлагается новый подход к проблеме принятия решений при нечеткой исходной информации путем использования элементов теории нечетких множеств, разработанной Л. Заде. [4]

Для решения нечетких многокритериальных задач автором разработан матричный метод, в котором были применены элементы теории нечетких множеств. Ввиду отсутствия количественных оценок признаков в качестве исходной информации предлагается использовать экспертные оценки относительных парных сравнений функций принадлежности признаков. Учитывая участие эксперта в решении задач, метод определяет меру согласованности экспертных оценок.

Получение обобщенной оценки сравниваемых объектов как значения функции принадлежности нечеткому множеству допустимых решений позволило использовать предлагаемый в работе матричный метод для решения задач распознавания при наличии ц классов и т объектов, характеризующихся п признаками. Отнесение объекта к определенному классу, т.е. его распознавание, производится на основе сравнения значений его функций принадлежности разным классам. Наибольшее значение функции принадлежности однозначно определит класс объекта.

Целью работы является анализ оптимизации решения многокритериальных задач при нечеткой исходной информации на основе экспертных оценок, разработка метода, позволяющего находить из множества допустимых решений наилучшее при нечеткой исходной информации, а также построение на основе этого метода алгоритма, с помощью которого можно получить обобщенную оценку, зависящую от важности признака объекта и степени важности объекта относительно каждого признака.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработаны матричные методы, в которых были применены элементы теории нечетких множеств, что позволило выразить качественные характеристики факторов значениями функций принадлежности нечетким множествам;

- на основе матричных методов разработан алгоритм обработки нечетких исходных данных в информационных системах при решении многокритериальных задач;

- разработан матричный метод для решения нечетких задач ранжирования т объектов, характеризующихся п признаками;

- разработан матричный метод для решения задач распознавания при наличии к классов и т объектов, характеризующихся п признаками при нечеткой исходной информации в условиях наличия эталонов классов и при их отсутствии;

- разработан матричный метод для решения многоуровневых нечетких многокритериальных задач;

- проведен сравнительный анализ методов решения нечетких многокритериальных задач на основе полученных численных результатов решения практических задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод решения задач распознавания при нечеткой исходной информации при наличии к классов и т объектов, характеризующихся п признаками;

2. Метод решения задач классификации объектов в случае отсутствия эталонов классов при нечеткой исходной информации о классах и объектах;

3. Разработанный алгоритм обработки нечетких исходных данных в информационных системах при решении многокритериальных задач;

4. Решение практических задач оптимизации в различных экстремальных ситуациях;

5. Анализ результатов решения практических задач после применения способа коррекции данных.

Результаты работ в этой области докладывались и были опубликованы на международной, всесоюзных и республиканских научно-технических конференциях и семинарах: Всесоюзном научно-техническом совещании «Программное обеспечение новой информационной технологии» (Калинин, 1989 г.), региональных семинарах «Методы использования искусственного интеллекта в автоматизированных системах» (Самара, 1989, 1990 г.), Всесоюзной школе-семинаре «Комбинаторно-статистические методы анализа и обработки информации, экспертное оценивание» (Одесса, 1990 г.), Всесоюзном научно-техническом семинаре «Программное обеспечение новых информационных технологий» (Тверь, 1991 г.), материалы исследований были напечатаны в сборниках № 6, № 9 СГТУ, серия Физико-математические науки (Самара, 1998, 2000 г.), докладывались и были опубликованы на конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1999 г.), международной конференции «Математическое моделирование -2001 г.»(Самара, 2001 г.).

На основе проведенных исследований разработан алгоритм и составлена программа, применение которой позволило оптимизировать решение практических задач, стоящих перед ОВД.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, библиографического списка и приложения. Диссертация изложена на 153 страницах, содержит 15 рисунков, 37 таблиц и библиографический список из 116 наименований. В первом разделе проводится анализ решения многокритериальной задачи, как задачи выбора наилучшего варианта из множества альтернатив. Сформулированы особенности представления нечеткой многокритериальной задачи в виде иерархий, отмечены преимущества такого подхода, рассмотрено представление задачи распознавания объектов системы как частного случая многокритериальных задач выбора оптимального варианта.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Гревцев, Олег Игоревич

Основные выводы и результаты работы

1. Введение понятия нечетких множеств и соответствующих им функций принадлежности сняло трудности количественного выражения нече г» заданных исходных данных.

2. Использование элементов теории нечетких множеств обеспечивает шкалирование даже в тех случаях, когда отсутствуют результаты физических измерений или количественных оценок признаков.

3. Структура предметной области при решении многокритериальных задач с нечетко заданными исходными данными представляется в виде сложной информационной системы, состоящей из нескольких взаимозависимых уровней признаков. Для учета зависимости признаков между собой и влияния каждого признака на конечную цель при выборе альтернатив предлагается матричный метод определения функций принадлежности объектов множеству допустимых решений.

4. Иерархическое представление предметной области при обработке исходных данных дает возможность более полно использовать информацию о структуре системы и взаимосвязи ее признаков на различных уровнях, обеспечивая определение степени влияния признаков первого уровня на объекты следующего уровня.

5. Функции принадлежности объектов любого £ уровня иерархии определяются как элементы матрицы, полученной в результате умножения "слева" матриц^ функций принадлежности объектов 5 уровня нечетким множествам каждого признака предыдущего 5 - 1 уровня, начиная с £ = 1 и принимая уровень £ = 0 за цель.

6. Использование матричного метода в задачах распознавания, диагностики и ранжирования позволяет определять ранги сравниваемых элементов при отсутствии эталонов на основании полученных экспертных суждений.

7. Субъективные экспертные оценки отношений степе г * и важности признаков или объектов могут привести к внутренней несогласованности отношений важностей элементов. Примененный в матричном методе способ определения оценки согласованности позволяет выявить противоречия в экспертных оценках на промежуточных этапах решения задачи, чю дает возможность пересмотреть первоначальные суждения с тем, чтобы г мультат общей согласованности системы соответствовал принятым ограничения

8. Матричный метод определения функций принадлежности признаков применим при малых и больших количествах признаков, соизмеримых и несоизмеримых между собой.

9. Матричный метод определения функций принадлежности признаков использован для решения практических задач органов внутренних дел, « связанных с необходимостью доставки максимального числа сотрудников за минимальное время к месту сбора в случае возникновения экстремальных ситуаций при захвате заложников, нападении на объекты, террористических актах, пожаре и т.п.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан, исследован и использован на практике матричный метод обработки информации при нечетких исходных данных.

Впервые разработана математическая модель решения нечетко заданных многокритериальных задач, позволяющая построить алгоритмы:

1) ранжирования объектов при многокритериальном представлении предметной области с нечетко заданной исходной информацией;

2) классификации объектов при условии нечеткого задания исходной информации как в случае наличия эталонов каждого класса, так и при их отсутствии;

3) решения практических многокритериальных задач оптимизации на основе матричного метода, которые позволяют корректировать значения относительной важности признаков и объектов в результате пересмотра экспертных суждений, вызванных изменениями, происшедшими в предметной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гревцев, Олег Игоревич, 2001 год

1. Айзерман М.А., Алескерев Ф.Т. Выбор вариантов: Основы теории. М.: Наука, 1990. 240 с.

2. Айзерман М.А., Малишевский A.B. Проблемы логического обоснования в общей теории выбора: Примеры анализа рациональности механизмов выбора. Препринт. М.: ИПУ, 1982. 72 с.

3. Айзерман М.А., Малишевский A.B. Проблемы логического обоснования в общей теории выбора: Уровни и критерии классической рациональности выбора. Препринт. М.: ИПУ, 1982. 79 с.

4. Беллман Р., Заде JI. Принятие решений в расплывчатых условиях. //Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 172-215.

5. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980. 263 с.

6. Березовский Б. А., Барышников Ю .М. Многокритериальная оптимизация. М.: Наука, 1989. 226 с.

7. Березовский Б.А., Гнедин A.B. Задача наилучшего выбора. М.: Наука, 1984. 196 с.

8. Блищун А.Ф., Шапиро Д.И. Принятие решений на основе лингвистического представления ситуационных данных и критериев. //Известияг

9. АНСССР. Техническая кибернетика. 1981. № 5. С. 212-217.

10. Блюмин С.Л., Божков А.И. Практическая методика решение некотор задач классификации и снижения размерности. //Заводская лаборатория. 1994 60. №3. С. 49-55.

11. Бондаренко М.И. и др. Построение согласованных решений в многокритериальных задачах оптимизации больших систем. //Доклад АН (Россия). 1994. 335. № 6. С. 719-724.

12. Борисов А.Н., Алексеев A.B., Меркурьева Г.В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.

13. Борисов А.Н., Крумберг O.A., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Рига: Зинатне, 1990. 184 с.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Пер. с нем. М.: Наука, 1981.720 с.

15. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов. М.: Наука, 1974. 415 с.

16. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 551 с.

17. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методологии. М.: Наука, 1980. 208 с.

18. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. ML: Физматгиз, 1964. 564 с.

19. Воронин Ю.А. Начало теории сходства. Новосибирск.: Наука. Сибирское отделение, 1991. 128 с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.

21. Ганшин Г.С. Методы оптимизации и решения уравнений. М.: Наука,1987.

22. Гилл Ф. и др. Практическая оптимизация /Ф.Гилл, У. Мюррей, М. Райт. /Под ред. A.A. Петрова. Пер. с англ. В.Ю. Лебедева М.: Мир, 1985. 509 с.

23. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.383 с.

24. Глотов В.А., Павельев В.В. Векторная стратификация. М.: Наука, 1984. 94 с.

25. Глотов В.А., Павельев В.В. Экспертные методы определения весовых коэффициентов. //Автоматика и телемеханика. 1976. № 12. С. 95-107.

26. Горелик A.JL, Гуревич И.Б., Скрипкин В.А. Современное состояние проблемы распознавания: Некоторые аспекты. М.: Радио и связь, 1985 ¡60 с.

27. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1989.232 с.

28. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Некоторые вопросы построения систем распознавания. М.: Советское радио, 1974. 224 с.

29. Горелик В.А., Пуличева Е.А. Экстремальные задачи с неявно заданными целевыми функциями и ограничениями. //Моделирование, оптимизация и декомпозиция процессов /Ран.ВЧ. М., 1994. С. 30-46, 82.

30. Гороховик В.В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. Минск: Навука 1 тэхшка, 1990. 228 с.

31. Гревцев О.И. Выбор оптимального решения многокритериальных задач. //Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. межвуз. науч.-техн. конф. Самара: СамГТУ, 1999. 4.2. С. 31-33.

32. Гревцев О.И. Динамическая оценка ситуаций. //Методы искусственного интеллекта в информационных системах: Сб. научн. тр. Куйбышев: КПтИ, 1989. С. 75-81.

33. Гревцев О.И. Модель интеллектуальной оболочки. //Программное обеспечение новых информационных технологий: Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического семинара. Тверь, 1991.

34. Гревцев О.И. Нахождение оптимального решения многокритериальных задач. //Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия "Физико-математические науки". Самара, 1998. Вып. 6. С. 135-136.

35. Гревцев О.И. Решение задачи прогноза в системе поддержки принятия решений. //Методы использования искусственного интеллекта в автоматизированных системах: Сб. научн. тр. Куйбышев: КПтИ, 1990. С. 29-36

36. Гревцев О.И., Кисельников А.Е., Малкин Б.Е. Модель представление знаний в системах принятия решений. //Программное обеспечение нов*' информационной технологии: Тезисы докладов Всесоюзного научно технического совещания. Калинин, 1989. С. 102-103.

37. Гревцев О.И. Матричный метод классификации объектов при нечеткой исходной информации. //Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия "Физико-математические науки". Самара, 2000. Вып. 9. С. 197-200.

38. Гревцев О.И. Методы обработки нечеткой информации при решении многокритериальных задач. // Математическое моделирование 2001 г: Тезисы докладов международной конференции. Самара: СГАУ, 2001. 4с.

39. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1963.

40. Данилов В.И. Структура бинарных правил агрегирования предпочтений //Экономика и математические методы. 1984. Т.20. Вып.5. С. 882-893.

41. Еремин И.И., Мазуров В.Д. Вопросы оптимизации и распознавания образов. Свердловск: ИММ УНЦ АНСССР, 1979. 64 с.

42. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981. 341 с.

43. Емеличев В.А., Кравцов М.К. О комбинаторных задачах векторной оптимизации. //Дискретная математика. 1995. 7. № 7. С. 3-18.

44. Емельянов C.B., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985. 31с.

45. Емельянов C.B., Напельбаум Э.Л. Методы исследования сложных систем. //Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1977. Т. 8.

46. Енюков И.С. Методы, алгоритмы, программы многомерного статистического анализа: Пакет ППСА. М.: Финансы и статистика, 1986. 232 с.

47. Жамбю М. Иерархический кластер анализ и соответствия. М.: Финансы и статистика, 1988. 342 с.

48. Жиглявский A.A., Жилиискас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука, 1991. 247 с.

49. Жуковский В.И. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: МНИИ ПУ, 1990. 112 с.

50. Жуковин В.Е. Нечеткие многокритериальные модели принятия решений. Тбилиси: АНГССР институт кибернетики, 1988. 72 с.

51. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Многокритериальные задачи управления в условиях неопределенности. Тбилиси: АН Грузии, 1991. 128 с.

52. Заде J1.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 168 с.

53. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблемы неопределенности в задачах принятия решений. Киев: Наукова думка, 1990. 132 с.

54. Катулев А.Н., Махно В.Н. Современный синтез критериев в задачах принятия решений. М.: Радио и связь, 1992. 120 с.

55. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. /Под ред. В.И. Благо датских. Пер. с англ. Ю.С.Ледяева М.: Наука, 1988. 280 с.

56. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: Предпочтения и замещения. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Пер. с англ. М.: Наука, 1974. 832 с.

58. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. М.: Энергия, 1979. Т. 2. 584 с.

59. Лапко A.B. Непараметрические методы классификации и их применение. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма, 1993. 143 с.

60. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987. 144 с.

61. Ларичев О.И. и др. Выявление экспертных знаний. /А.И. Мечитов, Е.М. Машкович, Е.М. Фурелис. М.: Наука, 1989. 128 с.

62. Леман Э.Л. Теория точечного оценивания. Пер. с англ. Ю.В. Прохорова. М.: Наука, 1991. 443 с.

63. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. M.: Мир, 1991.568 с.

64. Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. / Т.М. Виноградская, A.A. Рубчинский, В.Б. Соколов. М.: Наука, 1982. 328 с.

65. Математический практикум. /Под ред. Т.Н. Положего М.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1960. 512 с.

66. Метода оценки достоверности экспертных суждений. //Техническая кибернетика. 1990. № 11. С. 19-26.

67. Милевский М.В. Задача векторной оптимизации с нечеткими коэффициентами важности: Труды моек, энерг. ин-та. 1990. № 650. С.42-47.

68. Мурылев В.М. О выборе единственного решения задачи многокритериальной оптимизации. /Ленинградский политехнический институт. Ленинград, 1991. 12 с. Деп. в ВИНИТИ. 19.03.91. № 1179. В. 91.

69. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. 232 с.

70. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990. 206 с.

71. Найтингейл М. Формальное определение ценности признаков. //Статистические измерения качественных характеристик. М. : Статистика, 1972. С. 155-166.

72. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. /Под ред. Д.А. Поспелова М.: Наука, 1986. 396 с.

73. Ope О. Теория графов. М.: Наука, 1980. 336 с,

74. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. 206 с.

75. Подиновский В.В. Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978. С. 48-82.

76. Подиновский В.В. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Советское радио, 1975. 192 с.

77. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

78. Попов Э.В. Экспертные системы: Решение неформализованных задач в диалоге с ЭВМ. М.: Наука, 1987. 288 с.

79. Распознавание. Классификация. Прогноз. Математические методы и их применение. М.: Наука, 1988. Вып.1. 281 с.

80. Распознавание. Классификация. Прогноз. Математические методы и их применение. М.: Наука, 1989. Вып.2. 275 с.

81. Розен В.В. Цель оптимальность решение. Математические модели принятия решений. М.: Мир, 1982. 168с.

82. Саати Т. Математические модели принятия решения. М.: Радио и связь, 1977. 304 с.

83. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. 315 с.

84. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. М.: Радио и связь, 1991.224 с.

85. Себестиан Г.С. Процессы принятия решений при распознавании образов. Киев: Техника, 1965. 151 с.

86. Свами М., Тхуласпраман К. Графы, сети и алгоритмы. М.Мир, 1984.454 с.

87. Севастьянов П.В., Туманов Н.В. Многокритериальная идентификация и оптимизация технологических процессов. Минск:Наука и техника, 1990. 224 с.

88. Сергиенко И.В., Конситицкая М.Ф. Применение понятий размытой математики для формализации и решения комбинаторных оптимизационных задач. //Кибернетика и системный анализ. 1995. № 2. С. 158-163.

89. Системный анализ и структуры управления./ Под общей редакцией В.Г. Шорина. М.: Знание, 1975. 304с.

90. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М,: Наука, 1981. 112 с.

91. Торгерсон У.С. Многомерное шкалирование. Теория и метод. //Статистическое измерение качественных характеристик. М.: Статистика, 1972. С. 95-118.

92. Трауб Дж., Вожьяняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983. 382 с.

93. Трухаев Р.И. Инфлюентный анализ и принятие решений. М.: Наука, 1984. 235 с.

94. Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981. 258 с.

95. Ту Дж., Гансалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978.416 с.

96. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963. 734 с.

97. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.352 с.

98. Шоломов JI.A. Применение логических методов в задачах последовательного выбора. Препринт ВНИИСИ. М., 1980. 57 с.

99. Шоломов JI.A. Логические методы исследования дискретных моделей выбора. М.: Наука, 1989. 288 с.

100. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971. 254 с.

101. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления п приложения. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. 504 с.

102. Щеглов А.Ю. Метод многокритериальной оптимизации сложных систем с экспертным заданием гипотетически идеального вектора качеств;* //Известие вузов. Приборостроение. 1994. 37. № 5,6. С. 23-25.

103. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука, 1989. 317 с.

104. Bellman R., Zaden L. Management Science. 1970. Vol. 17. P. 141-164.

105. Chu A., Kalaba R., Springarn R. //J. of Optimization theory and applications. 1979. Vol. 27. № 4. P. 531-538.

106. Zaden L.A. Fuzzy orderings. Inf. Sci., 1971. P. 177-200.

107. Saaty T.L. How to make o discussion: the analytic hierarchy process. //Eur. J. Oper. Res., 1990. 48. № 1 P. 9-26.

108. Yager R. //Int. J. ManMach. Stud. 1979. Vol. 9. № 4. P. 375-382.

109. Gennert Mihael A., Yuille Alan L. Determining the optimal Weights in multiple objective function optimization //2nd Ind. Cont. Comput. Vision, Tampa, Fla, Dec. 5-8, 1988. Washington (D.C.), 1988. P.87-89.

110. Goertzel B., Global optimization by multilevel search //J. Optimiz. theory and appl. 1992. 75. № 2. P. 423-432.

111. Ivanchev Dimiter, Kydros Dimitris. Multicriterial optimum path problems //Yugos. V. Oper: Res. 1995. 5. № 1. P. 79-93.

112. Jendo S. Multiobjective optimization //Struct, optimiz. Vol. 2. New York, London, 1990. P. 311-341.

113. Jurce M. Optimization and decision making under multicriterial conditions by means of tur ry LP models //Syst. Anol. Modell Simul. 1990. 7 № 9. P. 721-724.

114. Loots F.A. The French and the American schod in multi-criteria decision analysis //Rech. oper. 1990. 24. № 3. P. 263-285.

115. Matarazzo Benedetto. Mappac as compromise between outran king methods and MAUT //Fur. J. Oper. Res. 1991. 54. № 1. P. 48-65.

116. Rosinger Elemer E. Beyond preterence information based multiple criteria decision making //Eur. J. Oper. Res. 1991. 53. № 2. P. 217-227.