Алгоритмы принятия решений в многокритериальных технико-экономических задачах оптимизации и ранжирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Кантор, Ольга Геннадиевна

• Кантор, Ольга Геннадиевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кантор, Ольга Геннадиевна

Содержание Стр.

Введение

Глава 1. Многокритериальные технико-экономические задачи оптимизации и ранжирования: постановка и методы реше- д ния

1.1. Многокритериальность технико-экономических задач

9

оптимизации и ранжирования

1.2. Решение многокритериальных задач

1.2.1. Постановка многокритериальных задач

1.2.2. Классификация методов формализации параметров

16

риска и неопределенности

1.2.3. Методы решения многокритериальных задач

1.2.4. Решение многокритериальных задач с помощью построения ЛПТ -последовательностей

1.3. Постановка задачи ранжирования объектов 33 Глава 2. Предлагаемый метод решения многокритериальных задач

37

оптимизации и ранжирования

2.1. Нечеткие модели 3

2.1.1. Краткие сведения из теории нечетких множеств и нечеткой логики.

2.1.2. Методы получения и анализа решений при использовании нечетких моделей

2.2. Обоснование и описание предлагаемого подхода к решению многокритериальных задач оптимизации и ран- ^ жирования

2.2.1. Обоснование предлагаемого подхода

2.2.2. Описание предлагаемого подхода к решению многокритериальных задач оптимизации и ранжирования

29

37

41

Глава 3. Использование предлагаемых алгоритмов для решения

технико-экономических задач 3.1. Оценка инвестиционной привлекательности отраслей

(на примере отраслей Республики Башкортостан)

3.2. Оценка инвестиционной способности предприятия

З.З.. Оценка инвестиционных проектов

3.4. Оптимизация процентной и кредитной политики банка

3.5. Экономические проблемы проектирования рациональ-

113

ной разработки нефтяной залежи

3.6. Определение очередности проведения капитального ре-

123

монта нефтяных скважин

3.7. Определение очередности проведения капитального ре-

126

монта участков нефтепроводов Заключение

Библиография 13

Приложение 1. Таблица числителей

Приложение 2. Решение задачи (2.10)-(2.16)

Приложение 3. Данные для решения задач: оценки инвестиционного проекта и оптимизации процентной и кредитной политики банка Приложение 4. Данные для решения задач: оценки инвестиционного проекта и оптимизации процентной и кредитной политики банка (продолжение) Приложение 5. Оптимизация параметров при оценке инвестици-

152

онного проекта

Приложение 6. Решение задачи (3.36)-(3.45)

Приложение 7. Решение задачи (3.36)-(3.44)

Приложение 8. Решение задачи (3.36)-(3.43), (3.45)

Приложение 9. Текст программы для решения задачи оптимиза-

ции процентной и кредитной политики банка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы принятия решений в многокритериальных технико-экономических задачах оптимизации и ранжирования»

Введение

В современных условиях развития экономики нестабильность, инфляционные процессы и несбалансированность повышают рискованность инвестиций и создают определенные трудности в формировании долгосрочной производственной программы; это в свою очередь требует тщательного анализа и перспективного планирования. В то же время, ни одна программа не способна в долгосрочном аспекте предусмотреть все тенденции и изменения экономической ситуации, следовательно, при ее составлении необходимо разработать альтернативные варианты, учесть возможность адаптивного изменения данных вариантов, а также необходимо уметь сравнивать альтернативные варианты между собой (другими словами необходимо определять приоритеты для альтернативных вариантов).

В ситуации неустойчивости развивающихся финансовых рынков, изменения законодательства, нестабильных процентных ставок и пр., -процесс принятия решений становиться очень сложным. На практике решения нередко принимаются на интуитивной основе, что не всегда позволяет достичь желаемого результата.

Проблемами многокритериальной оптимизации занимались многие известные ученые: Гермейер Ю.Б., Горелик В.А., Подиновский В.В., Ногин В.Д., Соболь И.М. и другие. При разработке различных методов принятия решений в многокритериальных технико-экономических задачах оптимизации используется разнообразный математический аппарат [91]. Широкое распространение получили методы математического программирования [19, 55, 90], теории вероятностей [44], теории игр [21, 54, 67, 69, 76, 77]. Вместе с тем, в условиях переходной экономики для принятия технико-экономических решений требуется разработка математических методов их обоснования, более адекватно отражающих реальную ситуацию. Все это определяет актуальность темы диссертационной работы.

В рамках указанного направления принятие грамотных решений в многокритериальных технико-экономических задачах требует совершен-

ства теоретических, методических и практических вопросов формализации и компьютерной реализации математических методов обоснования данных решений, что явилось предметом исследования.

Объектами исследования явились финансовые и производственные системы Республики Башкортостан.

Цель работы - разработка алгоритмов для решения многокритериальных технико-экономических задач оптимизации и ранжирования.

Для реализации поставленной цели в диссертации решались следующие задачи:

1) формализация технико-экономических задач;

2) разработка методов решения многокритериальных задач оптимизации и ранжирования;

3) реализация разработанных математических методов при решении технико-экономических задач.

Теоретической и методологической основой исследования явились системный подход, положения общей теории систем, математической статистики, векторной оптимизации, теории вероятностей и нечетких множеств, интерактивного программирования.

При разработке проблемы использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблеме принятия инвестиционных решений, законодательные и другие нормативно-правовые акты Российской Федерации и Республики Башкортостан, данные из материалов Башкирского республиканского управления статистики, налоговых инспекций, собственные исследования автора, а также статистические и фактические данные, опубликованные в отечественных и зарубежных монографиях и периодических изданиях.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1) предложены метод построения функций принадлежностей, используемых при постановке задачи нечеткого математического программирования (НМЛ), и способ построения монотонной агрегирующей функции, необходимой для ее решения;

2) доказаны необходимое и достаточное условия принадлежности точки из области допустимых значений задачи НМЛ множеству Парето в случае использования монотонных агрегирующих функций при решении задачи НМЛ предлагаемым в настоящей работе методом;

3) разработаны алгоритмы решения многокритериальных задач оптимизации и ранжирования на основе использования аппарата теории нечетких множеств, методов интерактивного программирования, ЛПТ-последовательностей, осуществлена их компьютерная реализация;

4) предложена формализация задач: определения инвестиционной привлекательности отраслей, оценки инвестиционной способности предприятия, оценки инвестиционных: проектов, оптимизации процентной и кредитной политики банка, проектирования рациональной разработки нефтяной залежи, определения очередности проведения капитального ремонта нефтяных скважин и участков нефтепроводов - как задач НМЛ.

Практическая значимость работы заключается в том, что на основе теоретических, методических и практических рекомендаций,' разработанных автором в диссертации, можно решать технико-экономические задачи оптимизации и ранжирования, возникающие на практике. Теоретические положения работы являются основой для решения многокритериальных задач оптимизации и ранжирования. Так, предлагаемая в настоящей работе методика решения задач ранжирования объектов используется в практике обоснования инвестиционных решений в банковских системах и при проведении финансового анализа приватизируемых предприятий Республики Башкортостан, что подтверждается справкой о внедрении результатов исследования.

Апробация работы.

Основные положения диссертации докладывались

1) на Четвертой Всероссийской Школе-Коллоквиуме по стохастическим методам (секция "Применение вероятностных методов в решении экономических и технических задач отраслей топливно-энергетического комплекса") в г. Уфе;

2) на межвузовской научной конференции "На пути к рынку" в г. Уфе;

3) на международной конференции 1998 Annual Conference: "Risk Analysis: Opening the Process" (Париж);

4) на научно-практической конференции "Научно-технический и научно-образовательный комплексы региона: проблемы и перспективы развития" от 19-20 ноября 1998 года, проводимой Государственным комитетом РБ по наук, высшему образованию и среднему профессиональному образованию, Академией наук РБ и Уфимским государственным авиационным техническим университетом.

Публикации.

Основное содержание диссертации отражено в 11 опубликованных работах общим объемом 2 пл., в том числе автора 1 пл.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложений.

В первой главе представлена постановка многокритериальных задач оптимизации и ранжирования, осуществлен анализ существующих методов их решения.

Во второй главе представлен обзор методов постановки и анализа решения задачи НМЛ и задачи получения решения при заданном отношении предпочтения, основанных на теории нечетких множеств, а также представлено описание и обоснование предлагаемых алгоритмов для решения многокритериальных технико-экономических задач оптимизации и ранжирования.

В третьей главе осуществлены математическая постановка и решение следующих задач: определение инвестиционной привлекательности отраслей, оценка инвестиционной способности предприятия, оценка инвестиционных проектов, оптимизация процентной и кредитной политики банка, проектирование рациональной разработки нефтяной залежи, опре-

деление очередности проведения капитального ремонта нефтяных скважин и участков нефтепроводов - как задач НМЛ.

В заключении представлены основные выводы й результаты проведенных исследований.

В приложениях приводятся исходные данные, используемые для построения моделей и проведения расчетов, результаты практической реализации предлагаемых методов, текст программы, написанной на языке Turbo Pascal 5.5.

Автор выражает глубокую благодарность д.т.н. Хасанову М.М. за внимание к работе.

1. Многокритериальные технико-экономические задачи оптимизации и ранжирования: постановка и методы решения

1.1. Многокритериалъность технико-экономических задач оптимизации и ранжирования

В диссертационной работе формализованы задачи, возникающие в процессе инвестиционной деятельности, с которой в той или иной степени % связаны все предприятия и банки. Степень ответственности за принятие какого-либо инвестиционного проекта, а, следовательно, и глубина его разработки, в рамках того или иного направления различна. Так, например, если речь идет о замещении имеющихся производственных мощностей, решение может быть принято достаточно безболезненно, поскольку руководство предприятия представляет, в каком объеме и с какими характеристиками необходимы новые основные средства. Задача осложняется, если речь идет об инвестициях, связанных с расширением основной деятельности, поскольку в этом случае необходимо учесть целый ряд новых факторов: возможность изменения положения фирмы на рынке товаров, доступность дополнительных объемов материальных, трудовых и финансовых ресурсов, возможность освоения новых рынков и др.

Нередко решения должны приниматься в условиях, когда имеется ряд альтернативных или взаимно независимых проектов. В этом случае необходимо сделать выбор одного или нескольких проектов, основываясь на нескольких критериях. Очевидно, что таких критериев может быть несколько, а вероятность того, что какой-либо один проект будет предпочтительнее других по всем критериям, как правило, очень незначительна. Другими словами, принимая инвестиционные решения, приходится иметь дело с многокритериальными задачами.

В сфере инвестиционного кредитования одними из наиболее важных являются следующие задачи:

1) оценка инвестиционной привлекательности отраслей экономик

2) оценка инвестиционной привлекательности предприятий;

3) оценка инвестиционных проектов;

4) определение величины кредитных ресурсов, которую банк спо бен направить на инвестирование.

В результате решения задачи оценки инвестиционной привлекапи ности отраслей экономики определяются приоритетные отрасли для ш стирования, исходя из оценки общеэкономической ситуации, рынков с та продукции и экспортного потенциала, обеспеченности отрасли со менными технологиями и оборудованием, квалифицированной раб< силой и других параметров отрасли. Таким образом, задача оценки и стиционной привлекательности отраслей экономики является задачей рядочения (ранжирования) объектов (отраслей экономики) по задан набору признаков.

При решении задачи оценки инвестиционной способности пра ятий рекомендуется проводить:

1) во-первых, расчет показателей, всесторонне отражающих ф совое состояние предприятия, т.е. проводить:

• оценку имущественного состояния компании;

• оценку финансовой устойчивости компании;

• оценку платежеспособности компании;

• оценку прибыльности и рентабельности деятельности компаг

• оценку деловой активности компании;

2) во-вторых, расчет обобщающего показателя финансового < ния предприятия, по значению которого предприятия можно будет с вать между собой.

При решении задачи оценки инвестиционной способности п] ятий проводят анализ финансовой отчетности предприятий, т.е. уст ь вают взаимосвязи между различными показателями их произволе >й и финансовой деятельности. Эта задача также заключается в упоря, ш объектов (предприятий) по набору признаков.

Оценка инвестиционных проектов является особенно важным этапом в современных условиях экономики, т.к. является одним из путей обеспечения гарантий возврата вложенных средств. Анализ теории и практики финансового и организационно-экономического обеспечения проектируемых и создаваемых производственных систем показал:

в настоящее время в качестве исходных данных (при разработке бизнес-планов, оценке инвестиционных проектов) показатели функционирования аналогичных производств, в результате анализа которых получают характеристики эффективности принимаемых решений, слабо отражающие специфику создаваемого производства;

. выбор проектируемой системы на основе показателей, рассчитанных по указанным исходным данным, где основным критерием служит критерий минимума затрат, - приводит к созданию "дешевых" систем с низким уровнем надежности и высокой ценой эксплуатации.

Поэтому мы считаем, что целесообразно задачу оценки инвестиционных проектов формулировать как многокритериальную оптимизационную задачу.

В современных условиях развития экономики кредит помогает нормальному кругообороту фондов в процессе расширенного воспроизводства. На всех этапах развития экономики банки занимались поисками наиболее эффективных форм организации кредитных отношений с предприятиями, методов банковского воздействия на их хозяйственно-финансовую деятельность, т.к. предоставление кредита без должного экономического обоснования, недостаточный учет экономических методов управления, формальный подход к организации экономической работы могут привести к весьма существенным денежным потерям. Контроль за работой кредитуемых банком предприятий необходим как для заемщиков, так и для самого банка, т.к. в этом случае можно учесть условия возвратного движения кредита, соблюдение сроков его погашения и др., что дает банку большую уверенность в своевременном возврате заемщиком полученных кредитов, а заемщикам позволяет грамотно распоряжаться кредитами. Очевидно, что

желание банка получить максимально возможную прибыль от вложения средств противоречит аналогичному желанию заемщика. Поэтому задачу оптимизации процентной и кредитной политики банка целесообразно формализовать как двухкритериальную оптимизационную задачу, учитывающую интересы инвестора.

Изучив некоторые задачи, возникающие в нефтедобывающей отрасли и в сфере трубопроводного транспорта, мы также пришли к выводу, что при их решении необходимо учитывать не один, а несколько критериев, которые могут противоречить друг другу. Поэтому математическую постановку таких задач следует осуществлять в рамках многокритериальных задач оптимизации и ранжирования.

При проектировании рациональной разработки нефтяной залежи в случае стандартного налогообложения и обычной стандартной технологии извлечения запасов нефти разработка нефтяных пластов пониженной, низкой и ультранизкой производительности оказывается инвестором экономически нерентабельной. При этом большие потенциальные возможности инновационных систем и технологий в значительной мере расходуются на компенсацию экономической нерентабельности, т.е. на возмещение потенциальных убытков, не принося инвесторам никакой прибыли. Как выход из тупиковой ситуации по пластам пониженной производительности стали применять соглашение о разделе продукции между государством и инвестором, которое позволяет по соглашению сторон изменять доли чистой прибыли для государства и инвестора. Авторы работы [68] показали, что, применяя соглашение о разделе продукции между государством и инвестором, можно значительно увеличить доход, как инвестора, так и государства, ищересы которых очевидно являются противоположными.

В ходе определения оптимального плана размещения скважин возникает необходимость сравнения между собой всех возможных планов. В работе [68] выбор оптимального плана осуществлялся на основании субъективных оценок авторов. Мы считаем, что к проблеме выбора оптимального плана размещения скважин на нефтяной залежи следует подойл г

13 •

позиций решения задач ранжирования объектов по набору критериев (в

данной задаче в качестве таких критериев целесообразно рассмотреть дисконтированную чистую прибыль инвестора, экономический эффект государства и отношение дисконтированной прибыли к дисконтированным затратам инвестора, позволяющее лучше оценить соотношение доходов и расходов инвестора в условиях инфляции). При таком подходе, возможно осуществить выбор не только оптимального плана размещения скважин на нефтяной залежи, но и определить оптимальную (в смысле достижения компромисса между интересами государства и инвестора) долю государства при заключении соглашения о разделе продукции.

Одной из часто возникающих практических задач является задача определения очередности проведения капитального ремонта нефтяных скважин. При проведении капитального ремонта нефтяных скважин невозможно производить ремонт всех скважин одновременно. Кроме того, очевидным является желание отремонтировать в первую очередь те скважины, которые могут приносить большую прибыль, и тех, которые будут наиболее рентабельными. Поэтому задачу определения очередности проведения капитального ремонта нефтяных скважин целесообразно рассматривать с позиций максимизации двух упомянутых критериев (прибыли и рентабельности). Иногда критериев может быть и больше (например, для заказчика может являться необходимым и критерий минимизации затрат на осуществление капитального ремонта). Очевидно также, что эти критерии могут противоречить друг другу. Поэтому постановку и решение таких задач целесообразно осуществлять в рамках многокритериальных задач ранжирования.

При определении очередмости проведения капитального ремонта участков нефтепроводов также необходимо учитывать несколько критериев. Наиболее важными являются, критерии, учитывающие экологические последствия возможных аварий и техническое состояние трубопровода. Определять очередность проведения капитального ремонта участков нефтепроводов по одному из этих критериев было бы неправильно. Дей-

ствительно, не вызывает сомнения тот факт, что аварии на различных участках трубопровода (подводный переход, или переход через овраг, например) приводят к различным экономическим последствиям (потери нефти, экологический ущерб, ресурсы вложенные в ликвидацию последствий аварий и т.п.). В тоже время учитывать лишь экологический риск нельзя, т.к. отказ в работе некоторых участков нефтепроводов может и не приводить к существенному экологическому ущербу, но может привести к большим экономическим потерям. Как правило, подобные задачи на практике решаются с помощью экспертных оценок, однако в случае большого числа '.объектов решение принимать сложно. Поэтому, мы считаем, что постановку и решение таких задач также целесообразно осуществлять в рамках многокритериальных задач ранжирования, что может существенно облегчить процесс принятия решения.

1.2. Решение многокритериальных задач

1.2.1. Постановка многокритериальных задач

Когда лицо, принимающее решения, (ЛПР) должно выбрать какое-то одно из альтернативных действий, оно обычно стремиться выбрать "наилучшее" из них. Так в простейшем случае, когда изначально задана единственная целевая функция /, значение которой f(x) для данного допустимого действия хе! представляет его полезность, задача ЛПР сводится лишь к определению оптимальных элементов х, т.е. таких элементов хе X, для которых значение f(x) будет "наилучшим" с точки зрения поставленной задачи.

Ранее уже отмечалось, что на практике приходиться иметь дело с многокритериальными задачами. Очевидно, что в общем случае трудно выразить обобщенную оценку каждого действия F(x) с учетом всех его последствий, так как эти последствия часто противоречат друг другу. Тем не менее, с каждым действием х е X можно связать последователъкоел>

чисел (х), /2 (х),. -., (х), которая достаточно полно для практических целей представляет всю информацию, содержащуюся в Е{х). Каждое число /к{х) можно интерпретировать как специальный показатель - оценку последствий Р{х) на основании некоторого критерия Г ^. При таком подходе целевая функция заменяется на К целевых функций или же рассматривается как К -мерный вектор (именно поэтому задачи выбора оптимальных альтернатив, доставляющих "наилучшее" значение целевой функции, называют многокритериальными задачами или же задачами векторной оптимизации). В этом случае вместо полного упорядочивания альтернатив хе X, как правило, удается лишь частично их упорядочить. Таким образом, возникает задача автоматизации выбора оптимальных альтернатив, призванная помочь ЛПР.

Пусть X = ,..., хп} - вектор переменных модели (в качестве переменных модели рассматриваются параметры исходной системы); параметры системы взаимосвязаны и на них наложены некоторые ограничения: С(х)<В, где С{х) - это множество функций gi{x),i - 1...М , а В - вектор-столбец чисел ,/ = 1...М, причем g¡{x)<b¡,i-\...M .

Функционирование системы определяется набором целевых характеристик, зависящих от параметров этой системы:

р{х) = {/к(х\к = \...к} .

Отсюда следует задача оптимизации: выбрать из множества допустимых значений такие параметры системы, чтобы показатели ее функционирования (целевые характеристики) находились в области оптимальных значений (для определенности были бы максимальны), то есть

Я(х)->тахД = \...К, (1.1)

в{Х)<В,Х> 0. (1.2)

Сложность задачи (1.1)-(1.2) обусловлена ее многокритериальным характером, и основная проблема заключается в выборе принципа оптимальности.

Задачу (1.1)-(1.2) будем рассматривать для случая, когда точки оптимума Х°, полученные при решении задачи по каждому критерию отдельно, не совпадают (при совпадении решение тривиально). Тогда решением задачи (1.1)-(1.2) может быть только какое-то компромиссное решение, удовлетворяющее в том или ином смысле всем компонентам векторного критерия F(X).

Говорят, что в задаче (1.1)-(1.2) точка Xo, удовлетворяющая уело_ i

виям (1.2), оптимальна по Парето, если не существует другой точки X ,

'-для которой fk [х ]> fe (х° ^\/к = 1.. .К, и хотя бы для одного из критериев выполнялось строгое неравенство.

Множество таких точек называется множеством Парето. Их также называют множеством неулучшаемых точек, так как ни для одной из них нельзя найти другой такой точки, чтобы улучшался один из критериев, а остальные при этом не ухудшались.

1.2.2. Классификация методов формализации параметров риска

и неопределенности

Как уже ранее отмечалось, практически любая технико-экономическая задача является по своей сути многокритериальной. Более того, в таких задачах присутствуют элементы риска и неопределенности, обусловленные рядом причин.

Как экономическая категория риск представляет собой событие, которое может произойти, или не произойти. Риском можно управлять, то есть, использовать различные меры, позволяющие в определенной степени прогнозировать наступление рискового события и/или применять методы снижения степени риска, но не учитывать его нельзя. С точки зрения математики риск в экономических задачах характеризует вероятность наступления того или иного неблагоприятного события, т.е. риск является случайной величиной. В более простых и хорошо изученных ситуациях риск

можно задавать некоторой функцией, если известен закон, с помощью которого наступление рискового события можно оценить. Если же такой за-

ГЛ/\ТТ ттттлттлттт ТТА ттптх^палтатт ггл ггаг\ ЛЛ/ А ТТ ГТТ< ТУ Л»ТПТ>Т1/%гТ<ТТТТ£кЛТ/'ТГ\Г ТТЛТТ

лип кюг\<х~\сиюп^поо^лк/и, и^р^лидл 1 IV V1 а 1 пч/1 дап"

ных, накопленных ранее, для того, чтобы получить прогнозируемое значение наступления рискового события. Например, одним из основных принципов теории инвестиционного портфеля Уильяма Шарпа и Гарри Марковича является то, что риск инвестиций в определенный тип ценных бумаг определяется вероятностью отклонения прибыли от ожидаемого значения. Прогнозируемое значение прибыли предлагается определять на основе обработки статистических данных о динамике прибыли от инвестиций в эти бумаги в прошлом, т.е. предлагается рассматривать риск как среднеквадра-тическое отклонение от ожидаемой прибыли.

Неопределенность также является неотъемлемой частью практически любой технико-экономической задачи. В отличие от риска неопределенность не всегда удается охарактеризовать вероятностными и статистическими методами. Например, в задаче определения оптимального бизнес-плана валовой объем продаж является неопределенным параметром, т.к. изначально известно только то, этот параметр ограничен снизу минимально допустимой величиной, а сверху - максимально возможной и принимать он может любые значения из заданного диапазона. Существуют и другие формы неопределенности, о которых более подробно сказано ниже. Для анализа неопределенных ситуаций не практике, как правило, прибегают к экспертным оценкам, т.к. математический аппарат анализа неопределенности не нашел достаточного применения в экономике.

Выводы: Для решения многокритериальных задач с параметрами риска и неопределенности на практике, как правило, используются методы, которые основаны либо на экспертных оценках (когда решения принимаются на основании мнения одного или целой группы экспертов), либо на статистических данных (когда будущее поведение определяется на основании предыдущих наблюдений). Однако эти методы позволяют достаточно эффективно решать задачи лишь с небольшим числом критериев и

неопределенностью, носящей вероятностный характер. В более сложных задачах, на наш взгляд, требуется использование специальных математических методов. Это обусловлено следующим:

• во-первых, полагаться только на экспертные оценки, которые по своей сути являются субъективными, при решении задач с большим числом критериев нельзя ввиду того, что это может привести к большим погрешностям в результатах;

• во-вторых, существуют такие ситуации, когда неопределенным факторам нельзя приписать вероятностный характер (например, при

{

•осуществлении принципиально нового инвестиционного проекта, которому нет аналогов, оценить риск с помощью вероятностных методов не представляется возможным, так как нет данных, в соответствии с которыми можно было бы проводить оценку).

В математике разработаны методы формализации многокритериальных задач и задач с неопределенными параметрами. Чтобы воспользоваться этими методами для решения экономических задач, в дальнейшем мы будем рассматривать риск в экономических задачах как неопределенный параметр, допускающий либо стохастический, либо статистический способ интерпретации [79]. Эти способы интерпретации риска являются традиционными для экономических задач и базируются они на аппарате теории вероятности и математической статистики.

Любую задачу поиска оптимального решения с учетом неопределенных факторов можно записать в виде:

/к(Х,г)^тах,к = 1...К, (1.3)

в(Х,г)<В,Х> 0. (1.4)

где X = {х|,..., хп} - вектор входных переменных, г - вектор неопределенных факторов, (X, г) -» тах, к = 1... К - выходные показатели, С(Х,г)< В,Х > 0 - ограничения на допустимые значения входных переменных.

Решить задачу (1.3)-(1.4) непосредственно с помощью ЭВМ нельзя, т.к. в такой постановке задачи присутствуют неопределенные факторы.

tt£> тт/-\г>опп£Л ттт ттгч Фпл^х/атла алх mro/^T'DTJrTt (лл ггоо таттш/ХЛ мотах/готт^гттала тт/-ч..

V^JiW^UUaiWIlJliVj l^yw j VI V/l JJJ,VV JLJUXXXW JL W Allj'lU 1V1U X V1V1U JL XX J.VV1VJ IV AX\_/ —

становку задачи, а для этого необходимо каким-либо образом формализовать неопределенные факторы. Для этого важно знать типы и формы описания неопределенных параметров z:

1) Стохастическое описание. Такая форма описания используется, в тех случаях, когда факторам неопределенности z = (zj,z2,...) можно приписать вероятностный, случайный характер. Случайные факторы z

' г .

формализованы, если задан их закон распределения. Наиболее подробно исследован в научно-технической литературе случай нормального распределения co(z)e N(m(z),D(z)), которое полностью определяется вектором математического ожидания M(z) и ковариационной матрицей D(z). Некоторые специалисты рассматривают ситуацию, когда известна плотность вероятности, как детерминированную, ввиду того, что плотность вероятности является исчерпывающей характеристикой случайных величин.

2) Статистическое описание. Эту форму описания риска и неопределенности применяют, когда модель объекта определяется по результатам выборочных экспериментов в условиях действия случайных помех и ошибок. Эта форма тесно связана с предыдущей, но принципиально отличается от нее тем, что в условиях ограниченного эксперимента удается получить лишь выборочные оценки параметров плотности распределения или ее моментов. Таким образом, вместо истинных значений моментов

M(z) и D(z) получают параметры M(z) и f)(z), точность которых определяется числом опытов, помехами, методом оценивания и т.д. Достоверность статистических выводов на основе полученных оценок существенно зависит от вида постулируемых законов распределения и чувствительна к нарушению исходных допущений. В результате возникает ситуация статистической неопределенности.

3) Интервальное описание. Во многих прикладных задачах чаек нет оснований или недостаточно информации для того, чтобы расе л а гм

вать факторы неопределенности как случайные (например, когда нельзя даже гипотетически предположить возможность многократного проведе-

V „ » „ П,« п^^чм-т г ЛТТГГ1Л ГГ1-1 ПАЛ ТТЛ ТП га1 Ж » Я ^ЛТ ЛТ /*ЛПЛ Т"Г"*^ Т * ТТЙТ!^» Я /Л Т ТТТ/Ч» К ТТ С1ГТ /ЛТ>П ГТТ Г ТТПТ ГТТ

МИЛ па Ш/Ч'.иС'Д^ ШУМ П^ПОIV!ХХПIV! ДС/ПЧ/ЮПП ^^^

тенных или неуправляемых факторов). Это приводит к необходимости учета неопределенности, когда относительно факторов г ничего неизвестно, кроме того, что они ограничены. В этом случае факторы г задают в интервальной форме, то есть, задают диапазон возможных значений переменных или зависимостей, например в виде < г^ < г*, где и - соответственно нижняя и верхняя границы неопределенного г -го фактора (параметра). Приведенное неравенство означает, что параметр может

принимать любое значение из интервала

- +

и ему нельзя приписать

никакой вероятностной меры.

4) Нечеткое описание. Такая форма описания неопределенности используется, когда информация о параметрах модели и требованиях к исследуемому объекту задается экспертом на естественном языке, то есть, в "нечетких", с точки зрения математики, терминах типа "много больше", "около", "приблизительно" и пр. Во всех этих случаях задается неточное значение параметра, а некоторое множество его возможных значений, характеризующихся уровнем компетенции эксперта. Для описания факторов в данной ситуации используют методы теории нечетких множеств, основной характеристикой которых является функция принадлежности параметра г к известному множеству А, удовлетворяющая условию

После формализации факторов неопределенности одним из вышеуказанных способов, возникает детерминированная задача оптимизации: /к(х)^тах,к = 1...К, (1-5)

6(Х)<В,Х> 0. (1-6)

где векторный критерий оптимизации и ограни-

чения на допустимые значения входных переменных Ст(х}< В, X >0 не

зависят от неопределенных факторов. Со способами решения подобных задач можно подробно ознакомиться в [28, 43, 73].

Наличие неопределенных факторов само по себе может приводить к увеличению числа критериев в решаемой задаче. При отсутствии фактической информации о вероятности значений неопределенных факторов для выбора решений наиболее часто применяются:

- . критерий Вальда - в случае крайне пессимистического отношения к возможным результатам выбора решений;

о критерий Севиджа - в случае желания избежать при выборе решения большого риска;

. критерий Гурвица, позволяющий учесть любую степень оптимизма по отношению к возможным результатам;

. критерий Лапласа - когда при отсутствии каких-либо дополнительных соображений относительно вероятностей для значений неопределенного фактора все возможные значения рассматриваемого неопределенного фактора считаются равновероятными.

Чаще всего заранее неизвестно, каким из указанных критериев необходимо воспользоваться для решения оптимизационной задачи. В этом случае компромиссное решение необходимо принимать путем совокупного применения всех перечисленных критериев, что и приводит к увеличению общего количества критериев решаемой задачи.

1.2.3. Методы решения многокритериальных задач

Обычно методы решения векторных задач оптимизации построены таким образом, чтобы выйти на одну из оптимальных точек по Парето, учитывая важность (приоритет) того или иного критерия. При разработке этих методов решения возникают проблемы эвристического характера, связанные с выбором принципа оптимальности. Перечислим основные из них:

"22

1) нормализация критериев;

обычно локальные критерии /^(х) имеют различный физический смысл и размерность. Операция соразмерения масштабов локальных критериев называется нормализацией;

2) выбор принципа оптимальности;

принцип оптимальности - это основная проблема векторной оптимизации, дающая ответ на главный вопрос - в каком смысле оптимальное решение превосходит другие решения. Если не стоит проблема нормализации критериев, то выбор принципа оптимальности ставится на первое ме-'с го;

3) приоритет критериев;

из постановки задачи следует, что локальные критерии /¿(Х) имеют различную степень важности при решении задачи. Это следует учитывать при выборе принципа оптимальности, отдавая предпочтение более важным критериям;

4) вычисление оптимума;

в настоящее время существует достаточное число алгоритмов решения задач векторной оптимизации. Однако их применение может быть проблематичным при незначительном изменении формализации поставленной задачи.

Решение данных проблем реализуется в нескольких направлениях, описание которых представлено в работе [1]:

1) методы, основанные на свертывании критериев в единый;

2) методы, основанные на наложении ограничений на критерии;

3) методы целевого программирования;

4) методы, основанные на отыскании компромиссных решений;

5) методы, в основе которых лежат человеко-машинные процедуры принятия решений.

Рассмотрим более подробно каждое из этих направлений.

23 '

Методы, основанные на свертывании критериев в единый

Кажется очевидным, что решение векторной задачи оптимизации можно получить, используя адитивность векторного критерия. В свое время еще Парето обратил на это внимание и ввел понятие весовых коэффициентов. То есть вводится вектор весовых коэффициентов критериев а = = 1...К} , характеризующий относительную важность соответ-

ствующих критериев /к{х). Весовые коэффициенты обычно удовлетворит

ряют равенству ак -1...К, т.е. предполагается, что весо-

к~?1

ч

вые коэффициенты неотрицательны. Теперь, если ввести в рассмотрение функцию вида

Н*)- Ъч -.Ш): (1-7)

к=\

то вместо многокритериальной задачи (1)-(2) можно перейти к рассмотрению однокритериальной задачи

/^(х)->тах, (1.8)

в(х)<в,х> 0, (1.9)

где функция Р{х) определяется из (1.7). Задача (1.8)-(1.9) является классической однокритериальной задачей математического программирования. Основным достоинством свертки (1.7) является то, что с ней связаны необходимые и достаточные условия оптимальности по Парето.

Теорема {достаточноеусловие оптимальности по Парето) [54]. В выпуклой задаче математического программирования (1.1)-(1.2)

точка Х° е £, где £ - допустимая область значения переменных, оптимальна по Парето, если существует вектор весовых коэффициентов

а0 = \хк° >0,к = \...к} , для К0Т0Р0Г0 выполняется соотноше-

к=1

ние

\

2>* ■/*(*)• (1.10)

к=1

Теорема {необходимое условие оптимальности по Парето) [54]. Если в выпуклой задаче математического программирования (1.1)-

(1.2) точка Х° , где 5'- допустимая область значения переменных, оптимальна по Парето, то существует вектор весовых коэффициентов

к

а° =

> 0,к - ,...*} , = 1, для которого выполняется соотноше-

к=\

ние г

^тах ^ак/к{х°)= Т,а°к -/к{х°) ■ (1.11)

— 1 1с — 1

ак =1 к=1

Однако, аддитивная свертка имеет ряд недостатков, которые подробно освещены в работе [12]. Приведем лишь два основных довода:

во-первых, полученное решение, оптимальное в смысле единого суммарного критерия (1.7), может характеризоваться низкими значениями по ряду частных критериев /¿(Лг), в сбязи с чел*, будех абси^юшо неприемлемым;

во вторых, далеко не всегда можно задать веса критериев (часто бывает известна лишь сопоставимая важность критериев, а иногда вообще нет никакой информации об их важности).

В некоторых работах предлагается использовать свертки мультипли-

к к рк

кативного вида F = шах \\ак ' /к (х) или ^ = тах Т\1ак ' /к(х)] > гДе

к=1 к=1

к

а - {ак > 0,к - 1...К) и =1. Однако, такие виды сверток не нашли

к=1

широкого применения. И по сей день не существует универсального вида свертки критериев.

Методы, основанные на наложении ограничений на критерии

Это направление методов включает два раздела:

на критерии /д (Х) накладывается определенный уровень в соответствии с требованиями ЛПР, а затем ищется оптимум по обобщенному критерию F{x);

метод последовательных уступок, метод ведущего критерия.

Суть метода последовательных уступок (в соответствии с [85]) заключается в следующем. Проводится анализ относительной важности

компонент критериев, после чего критерии fk{x) располагаются и нуме-

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Кантор, Ольга Геннадиевна

Заключение

1. Осуществлена формализация технико-экономических задач как многокритериальных задач оптимизации и ранжирования.

2. Предложен подход к решению многокритериальных задач оптимизации и ранжирования, основанный на представлении этих задач как задач НМЛ. Предложен способ построения функций принадлежностей, используемых при постановке задачи НМЛ, и способ построения монотонной агрегирующей функции, необходимой для нахождения решения сформулированной задачи НМЛ. Доказаны необходимое и достаточное условия принадлежности точки из области допустимых значений задачи НМЛ множеству Парето при решении данной задачи предлагаемым в настоящей работе методом.

3. Сформулированы методические рекомендации для решения многокритериальных задач оптимизации и ранжирования; осуществлена компьютерная реализация предлагаемых подходов.

4. Предлагаемый способ ранжирования объектов по набору признаков использован при решении задачи оценки инвестиционной привлекательности отраслей (на примере отраслей РБ). Тем самым показаны достоинства использования разработанного метода при решении задач упорядочения объектов по набору признаков, возникающих в ходе инвестиционной деятельности.

5. На основе предлагаемого способа ранжирования объектов по набору признаков предложена методика проведения анализа инвестиционной способности предприятия, которая позволяет на базе основных показателей финансового состояния предприятия рассчитывать обобщающие показатели.

6. Осуществлена постановка задачи оценки инвестиционных проектов как многокритериальной задачи с нечеткими исходными параметрами. Предлагаемая в настоящей работе методика решения таких задач позволяет провести эффективную оценку инвестиционного проекта и выбрать оптимальные параметры для его осуществления, что, в конечном итоге, позволяет усовершенствовать организационно-экономическое и финансовое прогнозирование на стадии проектирования и обеспечить надежное и эффективное функционирование на этапе осуществления инвестиционных проектов.

7. Осуществлена математическая постановка задачи оптимизации процентной и кредитной политики банка, как двухкритериальной оптимизационной задачи, в которой учтены интересы, как самого банка, так и предприятия-заемщика. Анализ результатов решения показал, что при таком подходе к решению (в отличие от традиционного подхода, в котором учитываются интересы либо только банка, либо только предприятия-заемщика) достигается разумный компромисс между интересами банка и предприятия-заемщика, обеспечиваются системность и комплексность принимаемых решений.

8. Показано, что задачу определения оптимального плана при проектировании рациональной разработки нефтяной залежи целесообразно формулировать как многокритериальную задачу ранжирования объектов по набору признаков, в которой учтены интересы, как государства, так и инвестора. Это позволит не только определить оптимальное количество скважин на нефтяной залежи, но и оптимальное соотношение долей государства и инвестора в соглашении о разделе продукции.

9. Предлагаемый метод ранжирования объектов по набору признаков был применен для решения задач определения очередности проведения капитального ремонта скважин месторождения Южный Балык и определения очередности проведения капитального ремонта участков нефтепроводов. Это позволило достичь компромисса между несколькими критериями (в первом случае - между желаниями выбрать наиболее прибыльную и наиболее рентабельную скважину, а во втором - между желаниями выбрать наиболее опасный участок нефтепровода с позиций технического и экологического рисков), а также автоматизировать процесс принятия решения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кантор, Ольга Геннадиевна, 1999 год

Библиография

1. Аганбегян А.Г., Гранберг А.Г. Экономико математический анализ межотраслевого баланса СССР. М.: Мысль,1968. 165с.

2. Атаис М., Фаиб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764с.

3. Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1996. 192с.

4. Батищев Д.И., Шапошников Д.Е. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений. Н. Новгород: ИПФ, 1994. 86с.

5. Бахтизин Р.Н., Кантор О.Г., Набиев P.P. Оценка техногенного риска как многокритериальная задача управления объектами магистральных трубопроводов. // Экономика переходного периода: опыт проблемы, пути становления. Межвузовский сборник научных трудов. Уфа: Изд-во Фонда содействия развитию научных исследований, 1998. С. 200-204.

6. Бахтизин Р.Н., Кантор О.Г., Хасанов М.М. Решение многокритериальных экономических задач в нечетких условиях (на примере нефтегазового комплекса). // Проблемы нефтегазового комплекса в условиях становления рыночных отношений. - Сборник научных статей. - Уфа: Изд-во Фонда содействия развитию научных исследований, 1997. С. 42-51.

7. Бахтизин Р.Н., Кантор О.Г.. Родионова J1.H. Управление затратами при проектировании систем. // Обозрение прикладной и промышленной математики, том 4, вып. 3. - ТВП - Москва, 1997. - С. 322323.

8. Бахтизин Р.Н., Родионова JI.H., Кантор О.Г. Классификация методов формализации экономических задач с учетом риска и неопределенности. // Экономика переходного периода: опыт проблемы, пути становления. Межвузовский сборник научных трудов. Уфа: Изд-во Фонда содействия развитию научных исследований, 1998. С. 44-50.

9. Бахтизин Р.В., Родионова Л.Н., Кантор О.Г. Оценка инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности. // Четвертая Всероссийская Школа-Коллоквиум по стохастическим методам. Секция "Применение вероятностных методов в решении экономических и технических задач отраслей топливно-энергетического комплекса". Тезисы докладов. Уфа: Изд-во Фонда содействия развитию научных исследований, 1997. С. 3-5.

10. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 400с.

И. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962. 234с.

12. Бенайюн Р., Ларичев О.И., Ж.Де Монгольфье, Терни Ж. Линейное программирование с многими критериями. Метод ограничений.// АиТ. 1971. № 8. С.108-115.

13. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: ИФМЛ, 1961. 126с.

14. Блекуэл Д., Гирник М.А. Теория игр и статистические решения. Пер. с англ. М: ИЛ, 1958. 374с.

15. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408с.

16. Болтянский В.Г., Гашкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. К теории оптимальных процессов.// Доклад АН СССР. 1956. Т .110 №1. С.7-10.

17. Борисов А.Н. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. Рига: Знание, 1982. 138с.

18. Вальд А. Последний анализ. Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1960. 328с.

19. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552с.

20. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 551с.

21. Вентцель Е.С. Элементы теории игр. М.: Физматгиз, 1961. 67с.

22. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. 256с.

23. Вилкас Э.И., Майлишас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981. 89с.

24. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. 230с.

25. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 496с.

26. Воробьев H.H. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. 160с.

27. Вощинин А.П. Статистические модели и методы оптимизации в условиях неопределенности.// Вопросы кибернетики: планирование эксперимента и оптимизация в системах управления. Под ред. А.П. Вощинин, Т.К. Круга. Научный совет по комплексной проблеме «Киберентика» АН СССР, 1981. С.34-41.

28. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. М.: Изд-во МЖ, София: Техника, 1989. 224с.

29. Вучков И., Бояджева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. 142с.

30. Выделение множества предпочтительных решений в задачах оптимизации в условиях неопределенности.// Тр. МЭИ. 1982. Вып. 594.

31. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Мн.: Изд-во БГУ, 1981. 350с.

32. Гермейер Ю.Б. Ведение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1972. 384с.

33. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 328с.

34. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. М.: Радио и связь, 1991. 288с.

35. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986. 288с.

36. Грешилов A.A. Как принять решение в реальных условиях. М.: Радио и связь, 1991. 320с.

37. Давыдов Э.Г. Исследование операций. М.: Высшая школа, 1990. 328с.

38. Дегтярев Ю.И. Исследование операций: Учебник для вузов по специальности АСУ. М.: Высшая школа, 1986. 320с.

39. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. М.: Наука, 1989. 175с.

40. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368с.

41. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1986, Кн.1. 1987, Кн. 2. 435с.

42. Дюбин Г.И., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981. 336с.

43. Емельянов C.B., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985. 32с.

44. Ермолаев Ю.М. О динамических задачах принятия решений в условиях неопределенности.// Применение математических методов в экспериментальных исследованиях и планировании. Киев: Институт кибернетики АН УССР, 1969. №3. С. 27-30.

45. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. - В сб.: «Математика сегодня».- М.: Знание, 1974. С.5-49.

46. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к понятию приближенного решения. М.: Мир, 1976. 166с.

47. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Киев: Высшая школа, 1988. 549с.

48. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах принятия решений. Киев: Наук, думка, 1990. 132с.

49. Иванченко В., Фокин Ю. Фонд амортизации: вопросы формирования и использования. //Экономист. -1997. - №3. С.28-35.

50 Кантор О.Г. Многокритериальность экономических задач: проблемы и методы решения. // Материалы межвузовской научной конференции "На пути к рынку": тезисы докладов. Уфа: Изд-во УГ-НТУ, 1998. С. 102-103.

51. Кантор О.Г., Родионова Л.Н., Чераева Е.В. Оценка финансового состояния предприятий. // Четвертая Всероссийская Школа-Коллоквиум по стохастическим методам. Секция "Применение вероятностных методов в решении экономических и технических задач отраслей топливно-энергетического комплекса". Тезисы докладов. Уфа: Изд-во Фонда содействия развитию научных исследований, 1997. С. 6-8.

52. Кантор О.Г.. Родионова Л.Н.. Чераева Е.В. Рейтинг инвестиционной привлекательности предприятий. // Экономика предприятий и их объединений в переходный период. Сборник научных трудов. -СПб.: Санкт-Петербургский университет экономики и финансов, 1997. С.25-28.

53. Кантор О.Г., Родионова J1.H., Чераева Е.В. Управление затратами при проектировании производственных систем. // Экономика перехода к рынку. Сборник научных трудов. - СПб.: Санкт-Петербургский университет экономики и финансов, 1997. С. 17-19.

54. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. 838с.

55. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1989.256с.

56. Касаткин Г. Рынок акций нефтегазовых компаний. //Экономическая газета. - 1995. - № 2. С.9.

57. Катульев А.Н., Михно В Н., Виленчик JI.C. Современный синтез критериев в задачах принятия решений. М.: радио и связь, 1992. 119с.

58. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1984. 560с.

59. Ковалев В.В. Финансовый анализ. М.: Финансы и статистика, 1997. 512с.

60. Кононенко А.Ф., Горелов М.А. Информационные аспекты принятия решений в условиях конфликта. М.: ВЦ РАН, 1994. 42с.

61. Кононенко А.Ф., Халезов А.Д., Чумаков В.В.

Принятие решений в условиях неопределенности. М.: ВЦ АН СССР, 1991. 196с.

62. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.232с.

63. Краткий статистический ежегодник за 1994 г. Водянов А., Губина И., Рубченко М., Шмаров А. Переоценка ценностей: хозяйственный аспект./Эксперт. - 1996. -№ 6. С.49.

64. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392с.

65. Ларичев О.И., Поляков О.И. Человеко-машинные процедуры принятия решений многокритериальных задач математического программирования: (Обзор)// Экономика и мат. методы. 1980. Вып. 1. Т. 16. С.127-145.

66. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574с.

67. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: ИЛ, 1961. 642с.

68. Лысенко В.Д. Экономические проблемы проектирования рациональной разработки нефтяной залежи. // Нефтяное хозяйство. -1998. -№9. С. 25-29.

69. Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука, 1982. 78с.

70. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М.: Физматгиз, 1960. 420с.

71. Марков A.A. Об одном вопросе Менделеева. Избранные труды. М.: ОГИЗ, 1948. 341с.

72. Масютин С.А. Умеем ли мы оценивать финансовую устойчивость предприятий.//Экономика и организация производства. - 1997. - № 5. С.105-109.

73. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986. 141с.

74. Михалевич B.C. Некоторые вопросы исследования операций. Киев: ИК, 1976. Юс

75. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528с.

76. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352с.

77. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985. 199с.

78. Нейман Дж., Моргинштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708с.

79. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения./ Под редакцией Р. Ягера. М.: Радио и связь, 1986. 407с.

80. Новикова Н.М. Дискретные и непрерывные задачи оптимизации: основные сведения по теории и методам решения. М.: ВЦ РАН, 1996. 63с.

81. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений/ А.Н. Борисов и др. М.: Радио и связь, 1989. 193с.

82. О'Брайен Дж., Шривастова С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами (FAST). Пер. с англ. М.: «Дело ЛТД», 1995. 208с.

83. Ольхова Р.Г., Сахарова М.О., Соколинская Н.Э. Банк и контроль. М.: Финансы и статистика, 1991. 204с.

84. Орловский С.А. Об одной задаче принятия решений в нечетко определенной обстановке. - В сб.: «Проблемы прикладной математики». - Иркутск, 1996. С. 31-38.

85. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. 206с.

86. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Сов. радио, 1975. 305с.

87. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254с.

88. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384с.

89. Растригин Л.А., Эйдук Я.Ю. Адаптивные методы многокритериальной оптимизации// АиТ. 1985. № 1. С.5-25.

90. Родионова Л.Н., Кравцов М.В., Кантор О.Г. Оценка инвестиционной привлекательности отраслей на примере Республики Башкортостан. //Проблемы нефтегазового комплекса в условиях становления рыночных отношений. - Сборник научных статей. - Уфа: Изд-во Фонда содействия развитию научных исследований, 1997. С. 5661.

91

92,

93

94

95.

96

97,

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

Саати Т. Математические методы исследования операций. М.: Воениздат, 1963. 420с.

Саульев В.К. Основные особенности и тенденции современной прикладной математики. М.: Наука, 1972. 32с. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 127с. Соболь И.М. О распределении точек в кубе и сетках интегрирования. Усп. матем. наук, 1966, 21. № 5. С.271-272. Соболь И.М. О методе рядов Хаара в теории многомерных квадратур. В сб.: Международный конгресс математиков: Тезисы научн. сообщ. М.. 1966, вып. 14. С.48

Соболь И.М. О распределении точек в кубе и приближенном вычислении интегралов. ЖВМиМФ, 1967, 7. № 4. С.784-802. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 241с.

Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. 110с. Сотиров Г.Р. Оптимизация при неопределенности.// Оптимизация н апроизводствени системи. Под ред. И. Попчев. София: Техника, 1986. 172с.

Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. 325с.

Тимохов А.В., Подиновский В.В. Введение в методы оптимизации. М.: Изд. МГУ, 1989. 70с.

Трауб Дж. Фр. Информация, неопределенность, сложность. М.: 183с.

Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. М.: Наука, 1981. 250с.

Философов Л. Как оценить предприятие?//Реформа. - 1992. - № 10 Шеремет А.Д., Сайфуллин Р.С. Методика финансового анализа. М.: Инфра-М, 1995. 56с.

Юдин. Д.Б. Экстремальные модели в экономике. М.: Экономика, 1979. 287с.

Bellman R.E., Zadeh Т.А. Decision making in a fuzzy environment// Management Sci. 1970. Vol. 17, № 1. P. 265-273. Gale D., Kuhn H.W., Tucker A.W. Tinear programming and theory of game // Activity Analysis of Production / Ed. T.C. Koopmans. N.Y.:Willey, 1951. P. 317-329.

Haimes Y.Y., Hall W.A. Multiobjectives in water resource analysis: the surrogate worth trade-off method // Water Resour. Res. 1974. Vol. 10. P. 114-125.

Vira Ch., Haimes Y.Y. Multiobjective Decision Making: Theory and Methodology. N.Y.: Norsh-Holland, 1983. 168p. Bakhtizin R.N., Kantor O.G., Rodionova L.N. Project Analysis in Conditions of Risk and Uncertainty. Material of 1998 Annual Conference: "Risk Analysis: Opening the Process". (Paris) P. 46-48.