Математическое моделирование взаимосвязанных нестационарных процессов тепломассообмена в многослойных конструкциях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Трофимов, Павел Александрович

• Трофимов, Павел Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Трофимов, Павел Александрович

Оглавление

Введение

Список обозначений

Глава 1 Значение композитов. Обзор основных работ по исследованию

диффузии в слоистых телах

§1.1 Композиционные материалы

§ 1.2 Диффузия в многослойных конструкциях (при нестационарных режимах)

1.2.1 Аналитические методы решения

1.2.2 Приближенные аналитические методы

1.2.3 Численные методы решения

§1.3 Постановка обобщенной математической модели тепломассообмена

Глава 2 Аналитическое решение задач диффузии для слоистых тел

§2.1 Постановка математической модели тепломассообмена в

многослойных конструкциях

§2.1 Аналитическое решение моделей диффузии

2.1.1 Интегральные преобразования

2.1.2 Нахождение обратного преобразования Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале

2.1.3 Задача диффузии для полого цилиндра

2.1.4 Расчет температурного поля цилиндрического тела на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Бесселя

§2.2 Аналитическое решение задач диффузии для многослойных конструкций

2.2.1 Общая постановка

2.2.2 Стационарная задача

2.2.3 Ядро интегрального преобразования

2.2.4 Формула обращения

2.2.5 Образ оператора Лапласа

2.2.6 Нестационарная задача

2.2.7 Взаимосвязанный тепломассообмен в многослойных конструкциях

§2.3 Интерпретация аналитических решений

Глава 3 Численное решение задач диффузии для слоистых тел

§3.1. Метод конечных разностей для трех этапов производства. Дискретизация уравнения

3.1.1 Аппроксимация производных

3.1.2 Постановка численного метода решения математической задачи

3.1.3 Случай сплошного цилиндра

3.1.4 Случай сплошного и полого цилиндров для неявной схемы

3.1.5 Граничные условия

§3.2 Метод прогонки

3.2.1 Суть метода. Алгоритм для ЭВМ

3.2.2 Метод конечных разностей для многослойных цилиндрических областей

3.2.3 Уравнение диффузии с внутренними источниками

§3.3 Взаимосвязанный тепломассообмен для многослойных цилиндрических областях. Обобщение. Выводы

Глава 4 Методика решения задач

Заключение

Литература

Приложение А. Программа для аналитического решения

Приложение Б. Метод прогонки. Листинг программы

Приложение В. Температурное поле для трехлойной конструкции

Приложение Г. Динамика отверждения связующего 5-2116

Приложение Д. Акт о внедрении в производство

3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимосвязанных нестационарных процессов тепломассообмена в многослойных конструкциях»

Введение

Работа посвящена изучению взаимосвязанных процессов тепло- и массообмена в слоистых телах при нестационарных режимах применительно к изготовлению многослойных композитов, а также исследованию диффузионных процессов для многослойных конструкций (МК) с учетом полимеризационных превращений.

Актуальность работы. Композиционные материалы (КМ) представляют собой сплошной неоднородный материал, состоящий из двух или более составляющих. Среди составляющих выделяют армирующие элементы, придающие необходимые механические свойства, и связующее (матрицу), соединяющее армирующий материал. КМ представляют собой систему, которая обладает всеми свойствами компонентов в нее входящих или даже превосходящих ее.

Применение КМ в различных областях обусловлено их высокими показателями на удельную прочность, жесткость, легкость, износостойкость и др. В частности, в авиационной промышленности применение композитов (лонжероны лопастей вертолетов и ветроэнов, детали корпусов, целые корпуса) позволяет создавать более легкие и надежные аппараты и устройства. Однако, в связи с возрастающими требованиями к характеристикам композитов становятся актуальными детальные исследования физико-химических процессов, происходящих при их изготовлении, для выработки рекомендаций по повышению качества производимых деталей.

Несмотря на многовековую историю использования многослойных композиционных материалов (бетон, булат и др.) создание математических моделей, описывающих композиты, до сих пор остается трудной задачей. Сложности связаны с необходимостью учета различных теплофизических свойств слоев изделия, нестационарным многоэтапным режимом

изготовления и, для некоторых изделий, явлениями полимеризации связующего, склеивающего слои.

В данной работе предметом исследования были выбраны полые полимерные многослойные КМ, изготавливаемые в нагревательных установках - пресс-формах (ПФ).

Для получения высококачественного продукта необходимо соблюдать оптимальные режимы для ПФ. Но во многих случаях регулировка технологических условий на производстве осуществляется вручную, что требует от оператора, обслуживающего ПФ, высокой квалификации и опыта. Сложности связаны с тем, что физико-химические процессы, происходящие в связующем, могут иметь экзотермический характер, перегрев связующего может привести к его деструкции, следствием недостаточной температуры будет низкая степень полимеризации. Понимание внутренних процессов, происходящих при изготовлении композитов, является необходимым условием получения качественного материала.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке математических моделей взаимосвязанных тепломассообменных процессов в многослойных конструкциях с полимеризационными эффектами и получении решения краевых задач аналитическими и численными методами.

Основные задачи исследования:

1. Разработать математические модели тепломассообмена в цилиндрических МК с учетом полимеризационных эффектов.

2. Найти аналитические решения поставленных краевых задач.

3. Построить конечно-разностные схемы и алгоритмы, основанные на них, для расчета диффузионных полей в МК.

4. Создать программы, реализующие полученные алгоритмы на ПК, и

выполнить расчеты пространственно-временных распределений

температурных полей.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе

5

математических моделей разработаны численные программы расчета температурных полей изделия для каждого этапа производства. Аналитически и численно решены задачи с учетом перекрестных эффектов для каждого этапа производства полимерных МК. С помощью численных методов также осуществлены расчеты пространственно-временных зависимостей тепловых полей в многослойных конструкциях с конкретными теплофизическими свойствами и изучен вклад различных факторов, определяющих температурные поля в таких условиях. Созданы рекомендации по изготовлению МК из композиционных материалов, основанные на решении полученных моделей тепломассообмена, учитывающие влияние полимеризации при формовании полимерных МК.

Научная новизна исследования состоит в том, что в отличие от большинства работ, посвященных исследованию многослойных конструкций, рассматриваются взаимосвязанные процессы тепломассообмена в МК. Впервые получены аналитические и численные решения этих задач применительно к производству полимерных цилиндрических МК с учетом эффектов при полимеризации связующего.

Достоверность результатов, полученных в ходе исследований, определяется тем, что в основу положены уравнения тепло- и массообмена, полученные на основе проверенных законов сохранения, а также сопоставлениями результатов теоретических и экспериментальных исследований других авторов.

На защиту выносятся:

1. Обобщение аналитического метода конечных интегральных преобразований для решения краевых диффузионных задач с дополнительными источниками в МК.

2. Аналитические решения методом конечных интегральных преобразований краевых задач взаимосвязанного тепломассообмена с

перекрестными эффектами в МК для каждого этапа производства.

6

3. Модификация метода прогонки в цилиндрической системе координат для решения диффузионных задач в МК с межслоевыми граничными условиями.

4. Численные решения методом конечных разностей линейных и нелинейных краевых задач для МК с условиями сопряжения.

5. Алгоритмы метода прогонки для каждого этапа производства МК, включая случай полимеризации.

6. Программы для расчета теплообменных полей.

Апробация диссертационного исследования. Материалы исследования обсуждались на научных и учебно-методических семинарах и занятиях кафедры математического анализа ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет», а также в форме докладов на конференциях: «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2008), «Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика» (Оренбург, 2010), «Наука и образование: исследования молодых ученых» (Оренбург, 2010 и 2011 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 5 статей в журналах, одобренных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертационных исследований.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования были использованы при разработке оптимальной установки электрического обеспечения ООО «Спецэлектромонтаж» для производства композиционных материалов. В результате был составлен акт о внедрении в производство с годовым экономическим эффектом в сумме 2 237 тыс. рублей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, четырех приложений.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, выбор цели и задач исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В первой главе описывается история появления КМ, их совершенствование с древнейших времен до наших дней, проведена их классификация. Для полимерных КМ детально разобран процесс их становления, история развития. Рассмотрены физико-химические особенности их производства. Описаны различные матрицы композитов.

Рассматривается принцип действия термореактивных связующих. Так для эпоксидных смол, молекулы которых содержат не менее одной

глицидиловой ~с№ сн2 и/или эпоксидной -"с-функциональных

групп, под действием специальных веществ отвердителей происходит раскрытие, так называемого, «эпоксидного» цикла и связывание структур. Далее рассматриваются различные способы формования изделий.

Также в первой главе проведен обзор отечественных и зарубежных источников по исследуемой проблематике. Заслуживает внимания метод конечных интегральных преобразований, разработанный Н.С. Кошляковым и др. [77]. Свое развитие он получил в работах Э.М. Карташова (см., например, [69]) и других ученых. В работах E.H. Туголукова [110], [111] метод конечных интегральных преобразований был обобщен на случай многослойных систем. Для приближенных аналитических решений большой вклад сделан A.A. Кудиновым и его учениками.

Во второй главе поставлены математические модели тепломассообменных процессов, происходящий в многослойных конструкциях при изготовлении композитов для каждого режима изготовления КМ.

С помощью метода конечных интегральных преобразований поставленные модели решены для каждого этапа производства многослойных композитов. Для этого построены ядра интегрального преобразования, формула обращения, найдены формулы для коэффициентов функций, разложенных в ряд Фурье-Бесселя.

В третьей главе полученные модели технологического процесса были исследованы численными методами. Для решения был выбран метод конечных разностей, сочетающий в себе относительную простоту реализации для рассматриваемой задачи и достаточную точность решения для тел классической формы.

Используя неявную схему, где для сетки к - шаг по времени, г - шаг по радиусу, общее уравнение диффузии в цилиндрической системе координат срит=\/г(Л(и)гиг)г было переписано в виде Д£/,*;'+С,и£ где

г<+05=1/2(г(+1+г(), где Л (£/*♦'). Полученная система

решалась с помощью метода прогонки с учетом особенностей на границах слоев (условия сопряжения), а также учета нелинейности коэффициента диффузии.

В четвертой главе рассматривается методика решения задач тепломассообмена на практике. С помощью созданных расчетных программ строятся графики отражающие динамику развития тепломассобменных процессов. Делаются соответствующие выводы.

В заключении приведены основные результаты диссертации:

1. Поставлены математические модели тепломассообмена цилиндрических МК с учетом полимеризации связующего.

2. Методом конечных интегральных преобразований получено решение краевых задач для всех трех этапов производства.

—Дг+1

^ Здесь

ф рс

3. Разработаны конечно-разностные схемы и соответствующие алгоритмы для метода прогонки.

4. Выполнены расчеты на ПК пространственно-временных температурных распределений.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования были использованы при разработке оптимальной установки электрического обеспечения ООО «Спецэлектромонтаж» для производства композиционных материалов. В результате был составлен акт о внедрении в производство с годовым экономическим эффектом в сумме 2 237 тыс. рублей.

Диссертация содержит 156 страниц машинописного текста, список литературы содержит 116 ссылок.

Список обозначений

Лц - коэффициент теплопроводности, Вт/(К м);

Лт — коэффициент теплопроводности, Вт/(°М м);

а] - коэффициент температуропроводности, м2/с;

а2т — коэффициент массопроводности, м2/с;

<7 - тепловой поток на границе слоя, Вт/м ;

л

ач - коэффициент теплоотдачи, Вт/(К м );

Л

ат - коэффициент массоотдачи, Вт/(°М м ); г,ф,г — координаты цилиндрической системы; Ь - удельная теплота фазового перехода, Дж/(К кг); х - время, с;

с9 - удельная теплоемкость, Дж/(К кг);

ст - удельная массоемкость, Дж/(° М кг);

Т - температура слоя, °С;

к - индекс временного слоя;

} - номер слоя многослойной конструкции;

в - потенциал массообмена, ° М;

о

р - плотность препрега, пропитанного связующим, кг/м ;

/ - толщина слоя, м;

е - коэффициент фазового перехода;

6 - термоградиентный коэффициент;

Ъ - коэффициент полимеризации;

Г - поверхность тела.

Глава 1 Значение композитов. Обзор основных работ по исследованию диффузии в слоистых телах

§ 1.1 Композиционные материалы

В первобытной истории человечества, на основе археологических данных, выделяют несколько эпох металла, характеризуемых ведущими ролями изделий из меди, бронзы и железа - медный век, бронзовый век и железный век. В наше время стремительно возрастает значение изделий из композиционных материалов (КМ). Проведя определенную параллель, можно утверждать, что приходит время КМ, условно назовем его «веком композитов».

За последние десятилетия бурное развитие и распространение техники привело к повышению требований для узлов оборудования и различных устройств. Таким образом, классические материалы, сделанные из металлов и их сплавов, уже не везде могут удовлетворить текущие потребности, связанные, например, с высоким модулем упругости, биологической совместимостью, инертностью, электрической стойкостью, небольшой плотностью и другими характеристиками. Решением этих проблем может стать изготовление деталей из КМ, свойства которых варьируются в зависимости от требований к конечному продукту.

КМ представляют собой основу-матриир (полимерную, металлическую, углеродную или др.), армированную наполнителями из специальных волокон или нитевидных кристаллов, которые распределены в изделии в порядке для достижения требуемых свойств. Если быть точным, КМ - искусственно созданный однородный материал, состоящий из двух или более компонентов с четкой границей раздела между ними.

Тем не менее, нельзя сказать, что структура КМ представляет собой совершенно новый материал. Еще в 5-4 тысячелетии до н.э., особенно в

безлесных районах, были распространены саманные постройки. Саман, дешевый и огнестойкий, вероятно, является одним из первых КМ, освоенных человеком. Следующий пример, папье-маше, пропитанные клеем кусочки ткани или бумаги. Этим способом делались оболочки египетских мумий и, после переоткрытия этой забытой технологии в XVIII веке, даже элементы мебели. Впрочем, современные мебельные плиты ДСтП также представляют собой КМ, в которых матрица из смол заполнена стружками. Невозможно представить себе строительство без использования другого КМ -железобетона, в котором сочетаются бетон и железные арматуры. Наконец, в военном деле современные виды брони так же являются композитами (кевларовые бронежилеты и др.).

В силу того, что КМ являются постоянно совершенствующимися материалами, практически невозможно дать их подробную классификацию. Тем не менее, насколько возможно, дадим общую картину, постепенно сужаясь к исследуемому объекту.

Выделяют два больших класса КМ. Во-первых, это материалы с металлической матрицей, чаще всего алюминиевой, магниевой, никелевой или их сплавов. Булат - один из древнейших материалов этого типа. Он представляет собой склейку мягким железом (матрица) слоев высокоуглеродистой стали (наполнитель-усилитель). Во-вторых, это материалы с неметаллической матрицей. В них для матрицы вместо металлов используются керамические, углеродные либо полимерные материалы. Остановимся на полимерных композиционных материалах (ПМК).

Полимерные композиционные материалы

Предпосылками появления ПКМ стали полимеры, которые

превосходили связующие смолы природного происхождения, но не обладали

достаточной надежностью для строительных приложений. Такие пластики

как винил, полистирол, полиэстер были получены в начале двадцатого века.

В 1932 году сотрудник компании Corning Glass Дэйл Клейст (Dale Kleist),

13

случайно направив струю сжатого воздуха в поток расплавленного стекла, получает первое стеклянное волокно. А в 1936 году компания Corning Glass совместно с Owens-Illinois (в 1938 г. объединенные в Owens Coming) выпускает первое серийное стекловолокно - «фибергласе» (запатентовано как «Fiberglas», одна «s»!). В сочетании с полимерным связующим стекловолокна определили крепкую и легкую структуру, стеклопластики. Этот стало рождением новой отрасли - индустрии полимеров. Компания Douglass Aircraft первой применила материал, армированный фиберглассом, отказавшись от дорогостоящего литья металла, и избавилась от недостатков неармированных пластиков [6].

Вторая мировая война катализировала внедрение лабораторных образцов в промышленное производство. Причин этому, как минимум, две. Военная авиация нуждалась в легких и надежных материалах, и, кроме того, было замечено, что стеклопластики невидимы в радиодиапазоне, поэтому они стали использоваться для сокрытия радиооборудования.

После войны производство ПКМ набирает обороты для мирных нужд.

В 1946 г. появляются массовые композитные корпусы лодок (первые

попытки предпринимались в 1937 г. Р. Грином (R. Green) из Owens Corning,

увенчавшись успешным прототипом в 1942 г). В то же самое время Брандт

Голдсуорти (Brandt Goldsworthy), позднее изобретатель пултрузии (см. ниже

«Технологии изготовления ПКМ»), разрабатывает производственные

процессы для новых продуктов, включая фиберглассовые доски для

серфинга, которые произвели революцию в этом виде спорта. Первые

фиберглассовые трубы выпускаются в 1948 г. Армированные полимерные

кольца используются в Манхэттенском ядерном проекте (США, 40-е гг).

Stout Engineering Lab. в 1946 г. выпускает в единственном экземпляре Stout

Scarab - первый прототип автомобиля с текстолитовым кузовом. В 1953 г. с

конвейера General Motors сходит «композиционный» серийный автомобиль

Chevrolet Corvette. Позднее радиочастотная невидимость в сочетании с

14

высокой производительностью материалов были использованы при разработке самолетов типа «Стеле» (F-117A Stealth) и бомбардировщика В-2 (Bomber). В 1986 г. в Германии строится первый автодорожный мост с использованием канатов из ПКМ, позже появляются композитные мосты в Аберфелди, Шотландия (Aberfeldy, 1992), в Маккинливилле, Западная Виржиния, США (McKinleyville, WV, 1996) и множестве других мест.

Начиная с 60-х гг прошлого века с изобретением углеродных (1961), борных (1965) и кевларовых (DuPont Company, 1971) волокон, ПКМ становятся новым материалом, способным заменить металл. Осваиваются новые области, среди которых возобновляемые источники энергии (турбины ветроэнов, карбоновые рамы и др.).

На сегодняшний день, по данным института композитов SPI (SPI Composites Institute) крупнейшими потребителями КМ являются транспорт (31%), строительство (19,7%), флот (12,4%), электронное/электрическое оборудование (9,9%), потребители (5,8%) и другие пользователи, в том числе 0,8% авиационная и аэрокосмическая промышленности [6]. Поэтому ПКМ сегодня - это огромный перечень различных видов материалов, включающий в себя продукты с различными наполнителями: газообразными (пенопласты), жидкими (капсулированные лекарства), из смеси полимеров (для улучшения свойств) и твердыми наполнителями. Последние, в свою очередь, разветвляются на дисперсные (резины), пластинчатые и волокнистые. Волокнистые и пластинчатые наполнители применяются чаще всего в качестве усилителей композитных конструкций.

В зависимости от вида усилителя выделяют стеклопластики,

углепластики и боропластикщ соответственно со стеклянными, углеродными

и борными волокнами. Каждый из этих ПКМ имеет особые полезные

свойства. Отметим, что стеклопластики прочны, легки, являются

диэлектриками, углепластики имеют меньшую плотность по сравнению со

стеклопластиками, хорошо проводят электричество, очень крепки,

15

боропласты обладают высокими механическими свойствами (особенно на сжатие), но дорогостоящи.

Выделяют также полимеры, наполненные порошками. Эти добавки используются для снижения стоимости материала и придания ему специфических свойств. Известно, что первый наполненный полимер бакелит, созданный в 1905 г. американцем бельгийского происхождения Лео Бакеландом (Leo Н. Baekeland), как отверждение синтезированной им фенолформальдегидной смолы с пресс-порошком, уже в 1916 г. использовался для серийного производства рычага переключения скоростей передач в автомобиле «Роллс-Ройс». Отметим, что бакелит называют первым ПКМ, официально он был представлен Бакеландом на встрече Американского химического общества (American Chemical Society) 5 февраля в 1909 г. В 20-х гт прошлого века была разработана методика получения текстолитов - слоистых пластиков, армированных тканями. Одним из первых их применений были покрытия кухонных столов. Многослойные полимерные КМ (МПКМ) стали логичным развитием слоистых пластиков.

Матрицы в полимерных композиционных материалах

Очевидно, что матрица в КМ выполняет функцию передачи и

распределения напряжений между наполнителями, обеспечивает материал

пластичными свойствами, придает ему монолитность, герметичность,

влагостойкость и проч. Существуют несколько основных типов полимерных

матриц. В стоматологии для пломбирования зубов, например, используются

матрицы светового и химического отверждения. Но в целом наибольшее

распространение получили термореактивные синтетические связующие

(эпоксидная, полиэфирная, фенолформальдегидная и др. смолы) и

термопластичные полимеры (полистирол, полиэтилен и др.). Если

последние уже являются полимерными веществами, то связующие переходят

в полимерное состояние, формируя реактопласт, непосредственно в

процессе изготовления ПКМ, это сокращает производственную цепочку

16

(получение полимера и его использование осуществляется за одну операцию). Реактопласты в отличие от термопластов имеют развитую пространственную структуру и не могут существовать в вязко-текучем состоянии. Таким образом, в случае реактопластов матрица представляет собой сетчатый полимер (СП).

Особенности строения СП отражены в их многочисленных названиях: трехмерные, сшитые, полимеры с поперечными связями, полимерная сетка. Причиной тому образование сложной топологической системы, формирующей единую пространственную сетку. Подобное строение приводит к феноменальным результатам, объем самого полимера может представлять собой одну молекулу, а молярная масса обычно превышает 109 г/моль! Эти результаты обеспечены химическими, физическими и топологическими узлами сшивки (ветвления).

В термореактивных связующих большинство узлов сшивки образовано

химическими связями, так же как и в сшитом полистироле, резинах на основе

натуральных и искусственных каучуков и проч. Такие полимеры обычно

нерастворимы и неплавки и при повышении температуры не переходят в

вязкотекучее состояние. Последний факт необходимо учитывать в процессах

изготовления ПКМ, иначе перегрев конструкции может привести к

деструкции материала. Физические же узлы характерны для таких веществ

как желатин, крахмал, многих разветвленных полимеров, содержащих

полярные группы. Эти узлы обусловлены электростатическими, ван-дер-

ваальсовыми и водородными связями. Вполне понятно, что в силу низкой

прочности этих связей данные вещества способны переходить в вязкотекучее

состояние, быть частично или полностью растворимыми. И, наконец,

топологические узлы, которые образуют циклы, связанные друг с другом как

звенья цепи. Это приводит к связыванию сеток различной химической

природы. В предельном случае получаются взаимопроникающие

полимерные сетки. Они характерны, например, при совместном получении

17

сеток полиуретана и полиакрилата, ненасыщенного полиэфира и полиуретанового форполимера и др.

Другой, уже количественной, характеристикой узлов сшивки является концентрация. По концентрации узлов выделяют редкосшитые (резины) и густосшитые (частосшитые) СП. Учитывая объект исследования, добавим, что обычно густосшитые СП находятся в стеклообразном состоянии в силу повышения времени отклика из-за увеличения концентрации узлов в процессе изготовления (т.е. замедляются процессы релаксации). На производстве чаще всего СП получают отверждением связующего в результате термического воздействия.

Термореактивные связующие

Рассмотрим принцип действия термореактивных связующих. Отверждение этих веществ (синтез полимера) происходит при высоких температурах. Это происходит по одному из следующих сценариев: (гомо)полимеризация (получение полимера без выделения низкомолекулярных соединений) либо поликонденсация (с образованием побочных продуктов), также выделяют сополимеризацию (полимеризация двух или более активных веществ). Объяснение основных закономерностей, происходящих при получении полимеров, дадим в терминах химии полимеров.

Итак, отверждение представляет собой необратимое превращение

жидких мономеров и/или олигомеров в твердые неплавкие и нерастворимые

сетчатые полимеры [116]. Поясним, что мономерами называют

низкомолекулярные соединения, способные к реакциям с образованием

полимеров, а олигомерами являются члены гомологических рядов, молекулы

которых по размеру находятся в промежутке между мономерами и

высокомолекулярными соединениями. Процесс отверждения осуществляется

взаимодействием функциональных групп либо самих отверждающихся

мономеров и/или олигомеров, либо этих веществ со специальными

18

отвердителями, молекулы которых попадают в структуру сетчатых полимеров.

Отвердителями называют полифункциональные соединения, вызывающие отверждение олигомеров. Благодаря их функциональным группам «сшиваются» молекулы связующих. Так для эпоксидных смол,

молекулы которых содержат не менее одной глицидиловой "снг" сн2 и/или

эпоксидной --с—с< функциональных групп, под действием отвердителей происходит раскрытие, так называемого, «эпоксидного» цикла и связывание структур. (Раскрытие цикла в группах обеспечивается ярко выраженным полярным характером связи С-О).

Учет химических взаимодействий органических веществ является сложной многофакторной задачей. Ведь действие отвердителей зависит от целого ряда параметров: от функциональных групп в активных веществах, катализаторов, ингибиторов (реагентов, замедляющих отверждение), примесей, армирующих включений, технологических условий изготовления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трофимов, Павел Александрович, 2013 год

Литература

1. Abdul Azeez, M.F., Vakakis, A.F. Axisymmetric transient solutions of the heat diffusion problem in layered composite media, Int. J. Heat Mass Transfer 43 (2000) 3883-3895.

2. Aviles-Ranios, C., Haji-Sheikh, A., Beck, J.V. Exact solution of heat conduction in composites and application to inverse problems, ASME J. Heat Transfer 120 (1998), pp. 592-599.

3. Aviles-Ramos, C., Harris, K.T., Haji-Sheikh, A. A hybrid root finder, in: B. Bertram, C. Constanda, A. Struthers (Eds.), Integral Methods in Science and Engineering, Chapman & Hall/CRC Press, London, UK, 2000, pp. 41-450.

4. Baker-Jarvis J., Inguva R. Heat conduction in layered composite materials, Journal of Applied Physics 57 (1985) 1569-1573.

5. Baumeister J.K., Hammil T.D. Hyperbolic heat-conduction equation a solution for the semi-infinite body problem, Journal of Heat Transfer Vol. 91(1969) 543-548.

6. Brent, A. Strong/Brigham Young University HISTORY OF COMPOSITE MATERIALS -OPPORTUNITIES AND NECESSITIES

7. Bulavin, P. E., Kascheev, V. M. «Solution of the Non-Homogeneous Heat Conduction Equation for Multilayered Bodies», Int. Chem. Eng., 1, 1965, pp. 112-115.

8. Carslaw, H.S., Jaeger, J.C. Conduction of Heat in Solids, second ed., Oxford University Press, London, 1959.

9. Cole, K.D., McGahan, W.A. Theory of multilayers heated by laser absorption, J. Heat Transfer-Trans. ASME 115 (1993) 767-771.

10. de Monte, F. Transient heat conduction in one-dimensional composite slab. A «natural» analytical approach, Int. J. Heat Mass Transfer 43 (2000) 36073616.

11. de Monte, F. «Unsteady heat Conduction in Two-Dimensional Two Slab-Shaped Regions. Exact Closed-Form Solution and Results», Int. J. Heat Mass Transfer, 46, 8,2003, pp. 1455-1469.

12. de Monte, F. An analytic approach to the unsteady heat conduction processes in one-dimensional composite media International Journal of Heat and Mass Transfer 45 (2002) 1333-1343.

13. Feng, Z.G., Michaelides, E.E. The use of modified Green's functions in unsteady heat transfer, Int. J. Heat Mass Transfer 40 (12) (1997) 2997-3002.

14. Haji-Sheikh, A., Beck, J. V. «Green's Function Partitioning in Galerkin-Base Integral Solution of the Diffusion Equation», ASME J. Heat Transfer, 112,1990, pp. 28-34.

15. Haji-Sheikh, A., and Beck, J. V. «Temperature Solution in MultiDimensional Multi-Layer Bodies», Int. J. Heat Mass Transfer, 45 9, pp. 18651877.

16. Haji-Sheikh, A., Mashena, M. Integral solution of diffusion equation-part IP general solution, J. Heat Transfer (Trans. ASME) 109 (1987) 551-556.

17. Handbook of Polymer Blends and Composites, T.l A.K. Kulshreshtha, Cornelia Vasile iSmithers Rapra Publishing, 2002

18. Heidemann W., Mandel H., Hahne E. Computer aided determination of closed form solutions for linear transient heat conduction problems in inhomogeneous bodies, in: L.C. Wrobel, C.A. Brebbia, A.J. Nowak (Eds.), Advanced Computational Methods in Heat Transfer III, Computational Mechanics Publications, Southampton, Boston, 1994, pp. 19-26

19. Huang, S. C., Chang, Y. P. «Heat Conduction in Unsteady, Periodic and Steady States in Laminated Composites», ASME J. Heat Transfer, 102, 1980, pp. 742-748.

20. Krevelen, Dirk Willem, Klaas Te Nijenhuis Properties of Polymers:

Their Correlation With Chemical Structure; Their Numerical Estimation and

Prediction from Additive Group Contributions Elsevier

131

21. Li, J., Cheng, P., Peterson, G. P., Xu, J. Z. Rapid transient heat conduction in multilayer materials with pulsed heating boundary. Numerical Heat Transfer, Part A, 47: 633-652, 2005

22. Ling Yan, Haj¡-Sheikh A., Beck J.V. Thermal characteristics of two-layered bodies with embedded thin-film heat source, ASME J. Electron. Packaging 115(1993)276-283.

23. Lu, X., Tervola, P., Viljanen, M. A new analytical method to solve heat equation for multi-dimensional composite slab, J. Phys. A: Math. Gen. 38 (2005) 2873-2890.

24. Lu, X., Tervola, P., Viljanen, M. «Transient Analytical Solution to Heat Conduction in Composite Circular Cylinder», Int. J. Heat Mass Transfer, 49, 2006, pp. 341-348.

25. Lu, X., Tervola, P., Viljanen, M. Transient analytical solution to heat conduction in multi-dimensional composite cylinder slab, Int. J. Heat MassTransfer 49 (2006) 1107-1114.

26. Lu, X., Viljanen, M. An analytical method to solve heat conduction in layered spheres with time-dependent boundary conditions, Phys. Lett. A 351 (2006) 274-282.

27. McGahan, W.A., Cole, K.D. Solutions of the heat conduction equation in multilayers for photothermal deflection experiments, J. Appl. Phys. 72 (1992) 1362-1373.

28. Mikhailov, M.D., Ozisik, M.N. Transient conduction in a three-dimensional composite slab, Int. J. Heat Mass Transfer 29 (1986) 340-342.

29. Mikhailov, M. D., Ozisik, M. N., and Vulchanov, N. L. «Diffusion in Composite Layers With Automatic Solution of the Eigenvalue Problem», Int. J. Heat Mass Transfer, 26 8,1983, pp. 1131-1141.

30. Mulholland, G. P., Cobble, M. H. «Diffusion Through Composite Media», Int. J. Heat Mass Transfer, 15,1972, pp. 147-160.

31. Milosevic, N.D., Raynaud, M. Analytical solution of transient heat conduction in a two-layer anisotropic cylindrical slab excited superficially by a short laser pulse International Journal of Heat and Mass Transfer 47 (2004) 16271641

32. Ozisik, M.N. Heat Conduction, second ed., Wiley, New York, 1993.

33. Ozisik, M.N., Vick, B. Propagation and reflection of thermal waves in a finite medium, International Journal of Heat and Mass Transfer 27 (1984) 18451854

34. Padovan, J. Generalized Sturm-Liouville procedure for composite domain anisotropic transient heat conduction problems, AIAA J. 12 (1974) 11581160.

35. Prashant K. Jain, Suneet Singh, Rizwan-uddin Analytical Solution to Transient Asymmetric Heat Conduction in a Multilayer Annulus, J. Heat Transfer 131 (2009)011304.

36. Prashant K. Jaina, Suneet Singh, Rizwan-uddin An exact analytical solution for two-dimensional, unsteady, multilayer heat conduction in spherical coordinates International Journal of Heat and Mass Transfer 53 (2010) 2133-2142

37. Salt, H. Transient conduction in a two-dimensional composite slab - I. Theoretical development of temperature modes, Int. J. Heat Mass Transfer 26 (1983) 1611-1616.

38. Salt, H. Transient conduction in two-dimensional composite slab - II. Physical interpretation of temperature modes, Int. J. Heat Mass Transfer 26 (1983) 1617-1623.

39. Siegel, R. «Transient Thermal Analysis of Parallel Translucent Layers by Using Green's Functions», J. Thermophys. Heat Transfer, 13, 1, 1999 pp. 1017.

40. Singh, S., Jain, P. K., and Rizwan-uddin «Analytical Solution to Transient Heat Conduction in Polar Coordinates With Multiple Layers in Radial

Direction», Int. J. Therm. Sci., 47, pp. 261-273. Int. J. Therm. Sci. 47 (2008) 261273.

41. Tittle, C.W. Boundary value problems in composite media quasiorthogonal functions, J. Appl. Phys. 36 (1965) 1486-1488.

42. Turhan, D., Celep, Z., Zain-Edden, I.K. Transient wave propagation in layered media conducting heat. Journal of sound and Vibration (1991) 144(2), 247261.

43. Vodicka, V. Warmeleitung in geschichteten kugel- und zylinderkorpern, Schweiz. Arch. 10 (1950) 297-304.

44. Vodicka, V. Einendimensionale warmeleitung in geschichteten korpern, Math. Nachr. 14 (1955) 47-55.

45. Yeh, F.-B. «Prediction of the Transient and Steady Temperature Distributions in a Two-Layer Composite Slab in Contact With a Plasma: Exact Closed-Form Solutions», J. Phys. D: Appl. Phys., 40, pp. 3633-3643.

46. Yener, Y., and Ozisik, M. N. «On the Solution of Unsteady Heat Conduction in Multi-Region Finite Media With Time-Dependent Heat Transfer Coefficient», Proceedings of the Fifth International Heat Transfer Conference, JSME, Tokyo, Japan, Sep. 3-7, pp. 188-192.

47. Yuzhi Sun, Indrek S. Wichman On transient heat conduction in a one-dimensional composite slab International Journal of Heat and Mass Transfer 47 (2004) 1555-1559

48. Акимов А.И., Мурзагулов И.Р., Саратов C.A., Трофимов П.А.

Испытания на межслоевой сдвиг композиционных материалов // Проблемы устойчивости биоресурсов: теория и практика : материалы 3-й международной научно-практической конференции. - Оренбург: Изд. центр ОГАУ, 2010.-С. 433-437

49. Акимов, И.А., Саратов, С.А., Аносов, А.А., Трофимов,

П.А. Решение сопряженной задачи тепломассообмена методом интегральных

преобразований // Инженерная физика. - М., 2009. - №4. - С. 7-8

134

50. Антимонов, М.С. Численно-аналитические методы решения задач теплопроводности на основе ортогональных методов взвешенных невязок. Дисс. Ульяновск, 2008

51. Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции [Текст]: учеб. пособие для втузов / В.Я. Арсенин. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

52. Беляев, Н.М., Рядно, A.A. Методы теории теплопроводности. В 2 ч. Ч. 1. - М.: Высшая школа. 1982.

53. Беляев, Н.М., Рядно, A.A. Методы теории теплопроводности. В 2 ч. Ч. 2. - М.: Высшая школа. 1982.

54. Беляев, Н.М., Рядно, A.A. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая школа, 1975. 327 с.

55. Булавин, П.Е., Кащеев, В.М. Решение неоднородного уравнения теплопроводности для многослойных тел. // Инженерно-физический журнал, 1964. 7. №9. С. 71-77.

56. Бурд, В.Ш. Методы сведения распределеных систем к сосредоточенным Вестник научно-технического развития №2, 2007 г.

57. Вайнберг, А.М. Математическое моделирование процессов переноса. Решение нелинейных краевых задач. М.-Иерусалим: 2009. 210 с.

58. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций [Текст]: В 2 ч. Ч. 1. / Г.Н. Ватсон; пер. с англ. B.C. Бермана - М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. - 799 с.

59. Видин, Ю.В. Исследование теплопроводности многослойных тел при нелинейных граничных условиях // Автореф. дис. д-ра техн. наук. М.: 1970.43 с.

60. Власов, В.В. Применение функций Грина к решению инженерных задач теплофизики. М.: Изд-во МИХМ, 1972.439 с.

61. Власова, Е.А., Зарубин, B.C., Кувыркин, Г.Н. Приближенные

методы математической физики. - М.: Изд. МГТУ им. Баумана, 2001.

135

62. Галлагер, Р Метод конечных элементов. Основы. 1984

63. Грачева, JI.H., Тюков Н.И. Исследование причин вариабельности механических свойств лонжерона лопасти вертолета из стеклопластика. Вестник УГАТУ. Т.10, №1(26). Уфа: УГАТУ, 2008, с. 60-63.

64. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление [Текст] / В.А. Диткин, А.П. Прудников - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961 - 523 с.

65. Дульнев, Г.Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена,

1990

66. Дунаев A.B., Макаренко И.В. «Применение термического анализа для технологического моделирования процессов отверждения крупных композиционных изделий»

67. Дытнерский, Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии. В 2 ч. М.: Химия, 1995.

68. Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - 2-е изд. - М.: Высшая школа, 1985. — 480 с.

69. Карташов, Э.М. Расчеты температурных полей в твердых телах на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Ханкеля. Обзор. Ч. II // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1993. № 3. С. 106-125.

70. Коган, М.Г. Нестационарная теплопроводность в слоистых телах // Журнал технической физики, 1957,27. №3. С. 522-531.

71. Коздоба, JI.A. Принципы эквивалентности в теории теплопроводности // Тепломассообмен УЛ. Т. 7. Минск: Ин-т тепло- и массообмена АН БССР, 1984. С. 34-39.

72. Козлов, В.Н., Трофимов, П.А., Акимов, А.И. Моделирование прогрева промышленной установки используемой при изготовлении лонжеронов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - СПб, 2011. - №3(129). - С. 57-60

73. Козлов, В.Н. Трофимов, П. А., Акимов, А.И. Обратное преобразование Ханкеля для смешанной краевой задачи на конечном интервале // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (116). - С. 71-77.

74. Колесников А.Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта. - Докл. АН СССР, 1952. Т.32, №6 с. 889-891

75. Кондюрин, A.B., Комар, JI.A., Свистков, А.Л. Моделирование кинетики реакции отверждения композиционного материала на основе эпоксидного связующего. Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 16, №4, с. 597-611.

76. Коновалов, В.И., Кудра, Т., Гатапова, Н.Ц. Современные вопросы теории переноса при сушке. Вестник ТГТУ. 2008. Т. 14. №3

77. Кошляков, Н.С., Глинер, Э.Б., Смирнов, М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высш. школа, 1970. -712 с.

78. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики, 1936

79. Кудинов, A.A. Исследование нестационарного температурного поля в составном неоднородном цилиндре вариационным методом Канторовича // Теплофизика и оптимизация тепловых процессов. Куйбышев: КуАИ, 1983. С. 36-47.

80. Кудинов, A.A. Математическое моделирование теплового и термонапряженного состояний элементов конструкций теплогенерирующих установок. Дисс. док. тех. наук. Казань, 1999.

81. Кудинов, A.A. Разработка приближенных методов расчета и определение теплового и термонапряженного состояний однородных и составных элементов конструкций: Дис. Канд. техн. наук. Куйбышев: КПтИ, 1983.20 с.

82. Кудинов, A.A., Кудинов, В.А. Теплообмен в многослойных конструкциях. Инженерные методы. Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 1992.136 с.

83. Кудинов, A.A., Кудинов, В.А. Теплообмен и термоупругость в многослойных конструкциях. Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 1999. 180 с.

84. Кудинов, В.А., Карташов, Э.М., Калашников, В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учеб. пособие для вузов. -М.: Высш. шк., 2005. 430 с.

85. Лыков, A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

699с.

86. Лыков, A.B., Михайлов, Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

87. Лыков, A.B., Михайлов, Ю.А. Теория энергии и вещества. Минск: Изд. Академии наук БССР, 1959. 332 с.

88. Меерович, И.Г. Температурное поле в многослойных системах с переменными физическими свойствами // Инженерно-физический журнал, 1967. 12. № 4. С. 484-490.

89. Мучник, Г.Ф., Рубашов, И.Б. Методы теории теплообмена. Ч. I. Теплопроводность. М.: Высшая школа, 1970. 284 с.

90. Назаренко, С.А. Математическое моделирование теплопроводности с использованием ортогональных методов взвешенных невязок и дополнительных граничных условий. Дисс. канд. ф.-м. наук, 156 с. Ульяновск, 2008.

91. Нерсесова, З.А. Изменение льдистости грунтов в зависимости от температуры // Докл. АН СССР, 1950. Т.75, №6, с. 845-846

92. Павлов, А.Р. Математическое моделирование процессов

тепломассопереноса и температурных деформаций в строительных

материалах при фазовых переходах. - Новосибирск: Наука, 2001. - 176 с.

138

93. Пат. 2170746 Российская Федерация, МПК 7 C08J3/24, В29С35/02, C08L63/04C08J5/24, В29С43/20. Способ отверждения композиционного материала / Вербицкая H.A.; заявитель и патентообладатель: Сарат. гос. техн. ун-т. - № 99116580/04; заявл. 27.07.1999; опубл. 20.07.2001.

94. «Переработка пластмасс» под ред. А.Д. Паниматченко, изд. Профессия, СПб, 2005

95. Росляков, А. Д. Методы обеспечения эксплуатационных характеристик теплонапряжённых элементов тепловых двигателей на основе моделирования нестационарной теплопроводности. Дисс. док. тех. наук. Самара, 2005.

96. Самарский, A.A., Вабищев, П.Н. Вычислительные теплопередача. Изд. 2-е. — М.: Книжный дом «Либроком», 2009. — 784 с.

97. Самарский, A.A. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1971.

98. Самылкин А.М. Технология постоянных магнитов из магнитопластов на основе эпоксидного порошкового связующего. Автореф. канд. тех. наук. Саратов, 2008.

99. Саратов, С.А., Трофимов, П.А. Математическое моделирование тепломассообмена и термоупругости в пористой среде // Вестник ОПТУ, №2(58) Оренбург, Изд-во ОГПУ, 2011 с. 5-8

100. Сафонов, A.A., Щеглов Б.А. Математическое моделирование процесса полимеризации при изготовлении полимерных композиционных материалов. Проблемы машиностроения и надежности машин. №6, 2011, с. 55-60.

101. Слесаренко, А. П. Развитие алгебро-логического метода и его приложения к многомерным нелинейным задачам теплообмена для однородных и композитных сред Дисс. докт.наук, Харьков, 1983.

102. Снеддон, И. Преобразование Фурье [Текст] / Иан Снеддон; перевод с англ. А.Н. Матвеева; под ред. Ю.Л. Рабиновича; [примеч. А.Н. Матвеева]. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. - 688 с.

103. Трантер, К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Изд. технико-теор. лит-ры, 1956.

104. Толстов, Г.П. Ряды Фурье [Текст] / Г.П. Толстов - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1960 - 392 с.

105. Трофимов, П.А., Акимов, А.И. Расчет температурного поля цилиндрического тела на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Бесселя // Вестник ОГУ. - Оренбург, 2011. - №17/декабрь. - С.366-368

106. Трофимов, П.А., Акимов, А.И. О некоторых свойствах интегрального преобразования Ханкеля для смешанной краевой задачи в конечных пределах // Вестник ОГПУ. - Оренбург, 2011. - №2(58). - С. 8-12

107. Трофимов, П.А. Изготовление композиционных материалов для летательных аппаратов // Вестник ОГПУ. - Оренбург, 2011. - №3(59). - С. 17-20

108. Трофимов, П.А. Особенности выделения связующих материалов в многослойных конструкциях // Известия ЮФУ. Технические науки. -Таганрог, 2012. -№1 январь. - С. 48-52

109. Трофимов, П.А., Акимов, А.И., Мироненко, Ю.А. Математические модели надежности технических объектов // Вестник ОПТУ. - Оренбург, 2011. - №4(60). - С. 4-7

110. Туголуков, E.H. Математическое моделирование термонагруженных процессов и аппаратов многоассортиментных химических производств. Дисс. док. тех. наук. Тамбов, 2004.

111. Туголуков, E.H. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований при автоматизированном проектировании технологического оборудования химической

промышленности: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та. 2006. 116 с.

112. Тюков, Н.И., Даутов, А.И., Грачева, Л.Н., Нигматуллин, И.К.

Прогнозирование теплового состояния автоклава при выпаривании связующего. Вестник УГАТУ. Т.10, №1(26). Уфа: УГАТУ, 2008, с. 118-121.

113. Цой, П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассо-переноса. М.: Энергия, 1971. 382 с.

114. Цой, П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энергоатомиздат, 1984. 414 с.

115. Эккерт, Э.Р. Теория тепло- и массопереноса [Текст] / Э.Р. Эккерт, P.M. Дрейк; пер. с англ. под ред. А.Н. Лыкова. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961.-682 с.

116. Энциклопедия полимеров, т. 2. под ред. Кабанова В.А. М., 1974

Приложение А. Программа для аналитического решения

Листинг программы в MathCad для аналитического решения

задачи диффузии полого цилиндра

а := 02 верхний предел интегрирования R1 b 0.Í нижний предел интегрирования R0 lambda := 240 теплопроводность, Вт/(м*Ю Сго := 896 удельная теплоемкость, Дж/(кг*К) Ro := 2700 плотность, кг/мЗ

lambda — 5 „,

at ;=--at = 9.921 х 10 температурзпроводность, м2/с

Сго • Ro

alfa := 30 теплоотдача, Вт/(м2*К)

ТаиМах := 100 время изменяется до 100 с.(-1.7 мин.) alfa - а

lambda = 0.025 Критерий Био

Ts := 20 температура среды ТО := 50 внешняя температура

H1(0S2> J0(z} + Y0(z) • i функция Ханкеля первого рода нулевого порядка

тт -1

G0(z) :=-- Hl(0,z) функция Бесселя третьего рода нулевого порядка

функция-ядро интегрального преобразования L0(ks,r) J0(ks • г) - G0{ks) - J(^ks) • G0(ks • г)ерхний предел а равен 2, е не используем

потому что = 1)

™я (V1-C гЧ - d т «w производная функции-ядра по DrfLO(ks,г)-Щк5,г) радиусу (г обобщенная перем.)

Найдем корни трансцендентной функции для радиуса равного h/a Trans(ks,r) := Bio - LO£ks,r) + ШЩк5,г)

(доказано что эта функция принимает только действительные значения и имеет только действительные корни, но, учитывая что оперируем трансцендентными функциями и вычисления ведутся приближенно будем, где это необходимо, откидывать мнимую часть)

Вычислим первые десять положительных корней функции, построив график модуля Trans

С ЪЛ

Trans! ks.— I

-6 -4 -2 0 2 4

( f Ъ\ \

ks := 4 Га1Л = roots Trans: fcs.— Lks Valft = 3.577

0 V К ) 0

ks := 10 Val. •= root: Trans: ks, —Lks I Val, = 9.599

ААЛЛ, 1 , I , ¡ 1

\

J

( f tA ks := 16 VaЦ = rooti Trans; ks, - Lks f Val., = 15.815

tí Trans; ks. — Lks

Ч V 'a; J

f b< ^ ks := 22 Val, := rootl Transf fcs,- (,ks Val, « 22.068

I Uj j J

f

ч

ks := 2S Val, = root; Transi ks,—\ksl Val. = 23.334

^ 4 V V J 4

ks := 34 Val- « rootÍTransíks.-Yks I Val. = 34.60-!

t.*.*.*., i > f * í

Г

ks 40 Val, := root! Trans! ks,-1 ,ksl Val, = 40.S82

лллл, <$ ^ ^ aj '

ks;= 47 Val? := root; Trans! ks,-j,ksj Val7 = 47.16

ks = 53 Vale .= root; Transi ks,- Lks Val0 = 53.439

^ s V. i. a j J s

Г b^ ^

ks := 59 Val0 := rootJ Transí ks.- ,ks Valfl - 59.719 ^ 9 lia;;9

i := 0.. 9

вектор наших значений

Val. = i

0

0 3.577

1 9.599

2 15.815

3 22.068

4 28.334

5 34.607

6 40.882

7 47.16

8 53.439

9 59.719

Найдем образ единицы для начального условия Опе(\Ц) Опе(кз) := ( х - Щкзд) ск

|Ъ

а Опе(\'а1.|

0

0 -0.078

1 -0.011

2 -3.994-10-3

3 -2.055'Ю-З

4 -1.245-10-3

5 -8.354-10-^

б -5.981-10-4

7 -4.498*10-4

8 -3.501-10-4

9 -2.805-10-4

НАХОЖДЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ

-.2 М-Г

1 = 0

Опе{'\'аЬ} • |Ч'а1.р ■ е

а2 Ь (' 1Л

+ Вю — • Ю: \га1.,- >

_ а ^

— {ЛгаЦ

,2 а^-

1 - е

V I 1 ъ})

Л

•ЩГа!-,- '

+ Вю*

1'

а/

т

Тешрегашга(г Дай) := ТО - 2 • а" ■ (ТО - Тб) • Э<г Дай) усеченный ряд { (г Дай) := Е.е(Тетр«атга(г Дай))

Тетрегатга(а ДаиМах) = 50 Тетрегашга(Ь ДаиМах) = 48.034

Приложение Б. Метод прогонки. Листинг программы Листинг реализации алгоритма в программе Ма1ЬСа(1

4

ф(г)f начальное условие

симметрия граничные 1|'2(1,{) :» 1 условия

а 1 температуропроводность

Расстояние

L := 1 толщина, радиус цилиндра (расстояние г)

100 число отрезков разбиения (по расстоянию г)

1 о..Х номера узлов сетки по расстоянию г (всего N+1 узел)

Ь > — Ь - 0.01 элементарный шаг по расстоянию г X

г > Ь дискретный аналог независимой переменной расстояния г

Время

Т^:- ПО конечное время (в сек )

М50 количество временных отрезков

к 0..М номера временных узлов сетки (всего М+1 узел)

т > X т » 2.4 элементарный шаг по времени_

ВЫЧИСЛЕНИЯ

Temp. := tn 0

Temperature :»

инициализация переменной для временного хранения температуры

for i s 0.. N

Heat.

• Temp.

for fc e 1..M m tn + т

A0<-0

r0' V

4ат

л

h*

-A0+Bc+1 • —Tempjj

h

4

Temp0

сохранение начальных значений в искомую функцию

for ie 1..N- 1

A

a-T!ri+ri-l!

i ^ 2 A^" не нужно вычиспятьд.к.

2h "ri * вместо последнего

. . уравнения действует

В <- а у граничное условие

i т

2'hT-r-i

С. А. + В. + I 1 t 1

F- *--Temp^

В. 1

«j <--

1 с.-а. ,А-1 1-1 1

A ß. . - F. 1 l-l 1

¡3. <--

1 С.-а. ,А. 1 l-l t

Temp^-i|'2{L;tn)

for i е N - 1.. О Tempt су Temp.+ Ii

for i s 0.. N Heat j. Temp-

Heat

Приложение В. Температурное поле для трехлойной

конструкции

Программа для полого многослойного цилиндра

Дан полый цилиндр его радиус 0.10 м,

ф{г} 20 начальное условие

у радиус отверстия

0.10 - (0.005 + 0.012 + 0.008) - 0.0?2 СМ

граничные

г условия каждый слой трехслойного цилиндра

ч'2(Кл,1) .= — + имеет переменную теплопроводность.

Время

которая зависит температуры (следовательно не выносится за знак производной)

4500 конечное время (в сек.} = 75 минут М :=• 75 количество временных отрезков (один раз в минуту)

к := 0.. М номера временных узлов сетки (всего М+1 узел) I

Дт := — Дт = 60

элементарный шаг по времени

Расстояние

КС := 1 толщина, радиус цилиндра (расстояние г)

Ш) := - (0.003 + 0.012 + 0.005) = 0.972 внутренний радиус

N := 28 число отрезков разбиения (по расстоянию г)

Л/АЛ

1 := 0..Х номера узлов сетки по расстоянию г (всего N+1 узел)

Ю* - Ш>

Ъ. :=--Ь = 1 х 10 " элементарный шаг по расстоянию г

N

. ОД • " 1,

1 ~ дискретный аналог независимой переменной расстояния г

XI := 039 стеклоткань

Х2 := 0.7 углегкань

X. := 1

XI И (1 £ 0) л (1 < 5) V- (1 > 20} л ({< X) XI + Х2

* (1= 8) V (¿= 20)

г

Х2 (1 > 8) л <1 < 20)

общая теплопроводность

р1 1626 р2 := 1450

Ш IUII1Lrt.lt>

р1 * (I > 0} Л (1 < Я) V (1 > 20) Л (1 < X) р1 + р2

£ (£« 8) V (1= 20)

общая плотность

р2 Я (1 > 8) л <4 < 20)

Тешр^ := ф|г)

дискретным аналог начального распределения температуры (начальное условие) для момента к=0,

в процессе вычисления температуры будет использоваться для хранения предыдущего температурного поля (назовем - предыдущее время)

инициализация переменной для временного хранения температуры

с1. := 1

900 * | Тетр. > 20} л (Тетр{ < 75) 970 £ (Тетр. > 75| л (Тетр{ < 150} 1020 Я ) Тетр1 > 150)

с2г=

980 * (Тетр. > 20) л | Тетр1 < 75) 1060 ^ (Тетр. 2 75) л (Тетр{ < 150) 1120 £ (Тетр. > 150)

сопс1. :=

I

с1. к" (1 > 0) л (1 < 3) V (1 > 20) л (1 < X) с2- ^ (1 > Я) л (1 < 20)

с1. + с2. I г

И (»■ 8) V (¿= 20)

общая теплопроводность

г. == 1

0.985

0.986

0.987

0.988

0.989

0.99

0.991

0.992

0.993

0.994

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

ВЫЧИСЛЕНИЯ

Temperature :=

for is 0..X Hea^ q «- Temp.

for ke 1..M

A^O

4ХЛТ

Bo-l-

h cond0 p0

C0t"A0+B0+1 F0 <- Temp0

B0 c0

ч F°

for ie 1..N- 1

Х.-Лт(г. + r

A.

t_lf

1-h'-r-cond-p. t i *i

+ ri>

2

2-h~-r.-cond.-p. i l "i

t + B l l

Temp.

C. *- A. + В + 1 i l l

t *i for ie 1.. 7

B.

Ci" <Vl A

V

С.-a ,-A i t-i

X2

s Х2+{1-а7}-Х1 for i e 9.. 19

B.

ct- -l

С -a ,-A l l-l l

A.-a. . - F. 1 1-1 1

r _ ~ . л "i-1 "i

20

XI