Математическое моделирование внутренней динамики ДНК тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.02, доктор физико-математических наук в форме науч. докл. Якушевич, Людмила Владимировна

• Якушевич, Людмила Владимировна
• доктор физико-математических наук в форме науч. докл.
• 1998

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование внутренней динамики ДНК»

Вопрос о взаимосвязиктуры и функции биологических объектов является центральным вопросом молекулярной биологии

СТРУКТУРА <—> ФУНКЦИЯ.

На протяжении многих лет. шаг за шагом, по мере того как открывались все новые и новые структуры исследовалась проблема: каким образом та или иная структура, то есть организованная в пространстве система атомов, выполняет вполне определенную биологическую функцию? История науки содержит много ярких примеров решения задач в этой области. Один из них - гениальная гипотеза Уотсона и Крика, предложивших модель двойной спирали и давших простое и логичное объяснение процесса репликации.

В последние годы традиционная схема: структура - функция, существенно изменилась, и прежде всего вследствие появления нового важного элемента - динамики. Так у исследователей, занимающихся структурой биомолекул, сложилось довольно ясное представление о том. что найденные структуры биомолекул не являются жесткими, статичными. Напротив, биологические молекулы, как оказалось, обладают значительной внутренней подвижностью, и ярким примером этому является открытие различных конформационных состояний молекулы ДНК (А-. В-. Э-. ¿-ДНК). Более того выяснилось, что функциональные свойства ДНК существенно зависят от того в какой (например, в А или В) конформации находится тот или иной фрагмент ДНК. Таким образом, благодаря этому и многим другим примерам выяснилось, что в первоначальной двух компонентной схеме (структура -функция), появился третий достаточно важный элемент: динамика

СТРУКТУРА <—> ДИНАМИКА <—> ФУНКЦИЯ.

Этот динамический аспект проблемы, воспринимаемый сначала многими исследователями как небольшое уточнение или дополнение к общей схеме взаимосвязи структуры и функции биологических объектов, тю мере накопления новых фактов стал, достойным отдельного тщательного изучения.

Безусловно наиболее эффективными методами изучения внутренней чодвижности или динамики биологических молекул являются : кспериментальные методы, такие как метод водородно-тритиевого дшена. методы ИК и Раман спектроскопии, метод микроволнового поглощения, метод рассеяния нейтронов. С помощью этих методов были сследованы разнообразные внутренние движения в белках и нуклеиновых кислотах и получены первые представления о характере общей картины внутренней подвижности. В сочетании с биохимическими методами они позволили исследовать влияние внутренней подвижности на функцию биомолекул.

Однако, экспериментальному подходу- присущ ряд ограничений. Прежде всего это большая трудоемкость и значительная стоимость экспериментальных исследований. Этот подход не обладает поэтому достаточной гибкостью, так что любая попытка что-либо изменить, например, внешние условия или структуру образца, что так необходимо в исследованиях механизмов влияния динамики на функцию, требует проведения новых дорогостоящих экспериментов. Между тем выяснение механизмов влияния этих изменений на функционирование биологических объектов или вопрос о том. каким образом структурные изменения, произошедшие в одной части молекул, могут вызывать структурные перестройки в другой -'все это остро стоящие проблемы биологии. Именно эти задачи и рассматриваются в данной работе.

Эффективным в этом плане представляется другой подход, в котором сначала строится математическая модель, имитирующая внутреннюю динамику биомолекулы, а затем эта модель используется для изучения динамических механизмов функционирования. Толчком к проведению описанных ниже исследований послужила работа, выполненная Инглэндером с соавторами (Englander. Kallenbach. Heeger. Knmiliansl. Litwin. 1980. P.N.A.S. 77. 7222). в которой впервые для исследования внутренней динамики ДНК был использован строгий математический подход, основанный на гамильтоновом формализме, обычно широко применяемом в теоретической и математической фи зике. Второй важной особенностью работы является то. что при моделировании внутренней подвижности ДНК авторы не ограничились моделированием движений, характеризующихся только малыми амплитудами отклонений от положений равновесия (гармоническое или линейное приближение). Напротив, авторы модели впервые включили в рассмотрение движения большой амплитуды (ангармоническое или нелинейное приближение), представляющие наибольший интерес в функциональном отношении. Работа состояла из двух частей: экспериментальной и теоретической. В экспериментальной части методом водородно-тритиевого обмена была показана принципиальная возможность образования в ДНК открытых состояний, определяемых как мобильные локальные области (длиной от одной до нескольких пар оснований), внутри которых водородные связи разорваны (рис. 1). Образование таких открытых состояний связано с значительными угловыми отклонениями оснований от положений равновесия. Это означает, что для описания такой динамической системы на языке математики необходимо использовать ангармоническое приближение. Это обстоятельство было учтено при построении модельного гамильтониана и при получении динамических уравнений и а б

Рис. I. 'Закрытое (а) и открытое (б) состояния двойной цепи ДНК. их решений. В результате было показано, что нелинейные волновые решения синус-уравнения Гордона являются теми математическими образами, которые могут имитировать открытые состояния ДНК. Здесь функция

Работа Инглэндера и соавторов вызвала широкий отклик среди научной общественности. Она привлекла внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Теоретики увидели в ней новую возможность исследовать биологический объект методами математики. Экспериментаторы увидели в работе Инглэндера новые неиспользованные ранее возможности объяснения своих результатов, которые не поддавались интерпретации в рамках известных ранее подходов. В результате, появилось множество публикаций, посвященных этому направлению исследований, первые обзоры (Scott. 1985. Comments Mol. Cell. Biol. 3. 5; Zhou. Zhang. 1992. Pliys. Scripta 43. 347: Yakushevich. 1993. Quart. Rev. Biophvs. 26. 201: Gaeta. Reiss. Peyrard. Dauxois. 1994. Rev. Nuovo Cimento 17.1) и монография (Yakushevich Nonlinear phy sics of DNA. John Wiley & Sons. Chichester. New York. Brisbane. Toronto. London. 1998). Математическое моделирование внутренней динамики ДНК стало одной из веду щих тем международных конференций.

С физической точки зрения, ценность результата, полученного Инглэндером и соавторами, заключается в том. что впервые в этой работе ДНК рассматривалась как нелинейная динамическая система, и следовательно, она превратилась в объект, который может быть достаточно эффективно исследован методами теоретической и математической физики. фи-

I)

Существует еще одна причина, которая определила выбор ДНК как объекта исследований. ДНК как молекула, обладающая определенным генетическим кодом, потенциально представляет собой наиболее интересный и благодарный объект для изучения возможной связи между динамикой и функцией.

Пользуясь случаем, хочу выразить благодарность С. Г. Камзоловой за постоянный интерес к работе и ее поддержку.

2. Структура и шпампка ДНК.

2.1. Некоторые сведения о стру ктуре ДНК. На микрофотографиях молекула ДНК выглядит как длинная эластичная нить. Согласно общепринятой модели, предложенной Уотсоном и Криком, такая нить, обладает, однако, довольно сложной внутренней структурой, образованной двумя полинуклеотидными цепями. слабо взаимодействующими друг с другом и свернутыми в двойную спираль.

Химическая формула полину клеотидной цепи представлена на рис.2. Она состоит из двух частей: регулярной части и нерегулярной части. Регулярная часть состоит из двух групп: Сахаров и фосфатов. периодически повторяющихся вдоль цепи. Нерегулярная часть состоит из азотистых оснований, присоединенных к сахарам. В ДНК встречаются четыре вида оснований: аденин (А), тимин (Т). гуанин (в) и цитозин (С). Располагаясь вдоль цепи они образуют последовательность, уникальную для каждого живого организма.

Слабое взаимодействие между двумя полинуклеотидными цепочками осуществляется через водородные связи между основаниями, принадлежащими различным цепочкам. Основания, связанные водородными связями, образуют так называемые пары оснований, причем возможны только два вида пар оснований: А-Т и С-С (рис. 3).

Две полинуклеотидные цепочки свернуты в двойную спираль со следующими параметрами: радиус спирали составляет 10 А. шаг спирали или расстояние межу ближайшими парами оснований - 3.4 А. о=р-он сноА

0снование

М ■<? н

О-Р-ОН сн2/°ч

I/ \рснование ?н

0=Р-ОН

Рис. 2. ПопинуклеотиОная цепь ДНК.

Описаннро выше структуру ДНК называют В-конформацией ДНК. Существуют и другие стабильные конформации ДНК: а например А-. О- и г-конформации. Они отличаются от В-конформации параметрами спирали, а в случае Ъ-спирали и направлением вращения спирали. Ь

Рис. 3. Пары оснований ДНК: ЛТ (а) и ОС (б).

2.2. Общая картина внутренней подвижности ДНК. Классификация движений Динамика молекулы ДНК. обладающей такой сложной внутренней структурой, характеризуется разнообразием и сложностью. Наиболее полное представление об этом дают таблицы, составленные по материалам многочисленных экспериментальных исследований и теоретических оценок. Одна из таких таблиц представлена ниже. В ней собрана информация об основных видах внутренних движений в ДНК. их основных характеристиках и методах исследования этих движений. Из таблицы I видно, что общая картина внутренней подвижность довольно пестра и разнообразна. Здесь встречаются движения отдельных атомов, небольших атомных групп, целых фрагментов двойной спирали. Среди движений могут быть быстрые и медленные, движения малой амплиту ды и движения большой амплиту ды, простые движения, такие как небольшие смещения атомов или атомных групп, и сложные движения, такие как локальное расплетание двойной спирали или переход некоторого локального участка ДНК в другое конформационное состояние. В отличие от других таблиц в таблице, представленной здесь, использован определенный порядок перечисления видов внутренних движений в ДНК. различные виды внутренних движений разнесены по различным временным диапазонам. Такая классификация движений позволяет легка ориентироваться в сложной картине внутренней подвижности. Так если нас интересуют вопросы взаимосвязи внутренней динамики и функционирования, можно ожидать, что наибольшее влияние на функциональные процессы оказывают движения с характерными временами, сравнимыми с временами этих N

Н-С N Н

Ы-Нх /А С

I II с с \\ / \

N I ннн

•о с \ / с-с / \\ н-ы с-н \ / с-ы // \ о н* р

Н-С

N С // \ / \ / С N

V /с\ /Я/Н н н / / • ■ -н-ы-с-с и н N С-н \ / С —N // \ О н*

N I

Н*

N N Н Н

Таблица I. Классификация экспериментальных и теоретических данных по внутренней подвижности ДНК

Временные диапазоны Основные типы внутренних движений и их амплитуды Энергия активации; источники энергии Экспериментальные методы изучения движений Теоретические методы изучения движений пикосекун-дный колебания атомов с амплитудами Аа 10'1 А Е=0,6 ккал/мол; источник: внешний тепловой резервуар ЯМР, Раман-спектроскропия, рентгеновская спектроскопия гармонический анализ, решеточная модель, методы молекулярной динамики наносекун-дный изгибные и вращательные движения двойной цепи: ограниченные движения и колебания малых групп атомов: Сахаров, фосфатов и оснований (А=5+7 А) Е=2-ю ккал/моль; источник: столкновения с " горячими"' молекулами раствора Раман-спектроскропия, ЯМР, ЭПР. флюоресценция гармонический анализ, методы молекулярной динамики, модель эластичного стержня микроее-кундный изгибные движения; локальное скручивание и раскручивание двойной спирали; раскрытие пар оснований Е=5+20 ккал/моль; источники: изменение РН; изменение температуры; действие денатурирующих агентов оптическая анизотропия, реакция с формальдегидом, водородный обмен, ЯМР, ЭПР, методы конформационной механики, топологические модели миллисе-кундный диссоциация двойной спирали; изменение суперскрученности; вращение молекулы как целого Е= 10+50 ккал/моль; источники: взаимодействие с белками и другими лигандами реакция с формальдегидом, водородный обмен, ЯМР, квазиупругое рассеяние света, гидродинамические методы секундный изомеризация, деление бактерий, движения с амплитудами А=2+3 гаи: процессов. В этом отношении представляет наибольший интерес наносекундный диапазон. В соответствии с таблицей для этого диапазона характерны ограниченные движения и колебания таких атомных групп как сахара, основания, фосфаты, а также вращательные и изгнбные движения двойной спирали. Для активации этих движений необходима энергия порядка нескольких ккал/моль и они характеризуются частою! 1 порядка нескольких см"' . Кроме того, наносекундный диапазон граничит с микросекундным диапазоном, для которого характерны движения, связанные с образованием открытых состояний и с расплетанием двойной спирали. Таким образом, можно ожидать, что наиболее интересные с точки зрения математики события будут разыгрываться на границе этих двух диапазонов, где амплитуды характерных для наносекундного диапазона движений достаточно велики и оказывается возможным зарождение новых типов движений. характерных уже для микросеку ндного диапазона.

2.3. Принципы математическою моделировании внутреннем динамики ДНК. Подход к описанию внутренней динамики ДНК. основанный на составлении таблиц, хотя и дает общее представление о характере внутренней подвижности молекулы. . Зладаст тем не менее рядом ограничений, и главное из них - он не дает возможности исследовать механизмы влияния внутренней подвижности на функциональные свойства ДНК. Таку ю возможность даст дру гой подход -подход, основанный на математическом моделировании внутренней подвижности молекулы ДНК.

Каковы принципы такого моделирования?

1. Прежде всего для построения математической модели необходимо иметь представление об обшей картине внутренней подвижности ДНК. Таким образом составление таблиц и классификация внутренних движений является первым и важным условием корректного построения математической модели.

2.Ввиду сложности моделируемой системы представляется бессмысленным пытаться описать все возможные движения в ДНК с одинаковой степенью точности. Такая попытка привела бы к огромному числу связанных уравнений. Решить таку ю задачу или проанализировать ее практически невозможно или потребовалось бы существенно уменьшить длину моделируемого фрагмента ДНК. что исключило бы возможность исследовать задачи. связанные с передачей конформационных изменений вдоль ДНК. Более реальный путь заключается в построении приближенных моделей. Для его осуществления достаточно отобрать небольшое число наиболее значимых в функциональном отношении движений (доминант). Такой отбор является вторым важным элементом алгоритма построения модели.

3.Третий элемент алгоритма заключается в построении модельного гамильтониана и уравнений движения. Для истории развития исследований динамики ДНК характерен несколько необычный способ получения уравнений движения, включающий как промежуточный этап поиск подходящего механического аналога, то есть хорошо щученной в механике модельной системы с аналогичным набором структурных элементов, движений и в заимодействий. Ярким примером этому является модель Инглэндера и соавторов (Engländer. Kallenbach. Heeger. Krumhansl. Lihvin. 1980. P.N.A.S. 77. 7222). Для построения модельного гамильтониана и уравнений движения они использовали аналогию между движениями и взаимодействиями в ДНК и в цепочке маятников. Такая цепочка, в свою очередь, хорошо известна в физике как модель нелинейной динамической системы и часто использовалась для демонстрации в лекционных к\рсах как аналог синус-уравнения Гордона (Scott. 1969. Am. J. Phys. 37. 52). Таким образом удалось получить доказательство того, что в первом приближении внутренняя динамика молекулы ДНК вполне адекватно описывается синус-уравнением Гордона.

4.Четвертый этап алгоритма представляет собой чисто математическую проблему - это поиск решений соответствующих уравнений.

5.Наконец пятый этап возвращает нас снова к биологической проблеме. Он заключается в интерпретации найденных решений.

2.4. Иерархия моделей. Подход к моделированию внутренней динамики ДНК. основанный на использовании приближенных моделей привел к появлению множества самых разных моделей даже внутри временного интервала, ограниченного наносекундным диапазоном. Это модели континуальные (Barkley. Ziiiim. 1979. 70. 2991: Chou. Miggiora. Мао. 1989. 56. 295) и дискретные (Allison. Schurr. 1979. 41, 35: Robinson. Forgaes. Dalton. Frisch. 1980. 73. 4688: Eyester. Prohofsky. 1974. Biopolymers. 13. 2505. 2527). спиральные (Lindsay. Powell. 1983. Structure and Dynamics: Nucleic Acids and Proteins, eds. Clemcnti and Sarma. N.Y. Adenine Press, p. 24): Gaeta. 1990. Pin s. Lett. A-143. 227) и игнорирующие спиральную структуру молекулы (Englander et al. 1980. P.N.A.S. 77. 7222: Yakushevich. 1989. Phys. Lett. A-136. 413). имитирующие движение каждого или почти каждого атома фрагмента ДНК (Levitt. 1983. Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 47. 251: Tidor. Irikura. Brooks. Karplus. 1983. J. Bioniol. Struct. Dyn. 1. 231: Singh. Weiner. Kollman. 1985. P.N.A.S. 82. 755; Seibel. Singh. Kollman. 1985. 82. 6537) и имитирующие движения только основных субъединиц (Saxena. Van Zandt. Schroll. 1984. Chein. Phys. Lett. 164. 82). однородные модели (Yomosa. 1984. Phys. Rev. A-30. 474: Homma. Takeno. 1984. Prog. Theor Phys . 73. 679: Volkov. уровни иерархии модели

1989. J. Theor. Biol. 143. 485: Fedyanin. Lisy. 1986. Studia biophys. 116. 65: Zhang. 1987. Pliys. Rev. A-35. 886) и учитывающие наличие последовательности оснований (Yakushevich. 1987. Studia biophys. 121. 201; Salerno. 1991. Pins. Rev. A-44. 5292). И хотя эти модели описывают один и тот же объект, те не менее в математическом отношении они зачастую существенно отличаются друг от друга как по количеству используемых дифференциальных уравнений, так и по вид} уравнений. Причины отличий довольно очевидны. Одна из них заключается в использовании различной степени точности . описания вну тренней подвижности молекулы ДНК. вторая - в использовании различных критериев отбора наиболее важных в функциональном отношении движений. Однако понимание причин все же не могло устранить ощущение некоторого хаоса в "мире" динамических моделей.

Нам удалось систематизировать основные динамические модели ДНК и показать, что существует определенный порядок или иерархия среди этих моделей. Для этого мы выстроили динамические модели в ряд в порядке возрастания их сложности. Первым членом этого ряда стала простейшая модель ДНК - модель эластичного стержня. Последним членом такого ряда стала самая точная и самая сложная модель ДНК - модель, имитирующая движения каждого атома ДНК.

Чтобы упростить описание остальных моделей, мы разбили этот ряд на пять областей, назвали их уровнями иерархии и ограничились рассмотрением только основных представителей каждого уровня (рис. 4). 1) Первый уровень иерархии. Основным представителем этого уровня является модель эластичного стержня с круговым сечением (рис. 4). Дискретным

Рис. 4. Иерархия динамических моделей ДНК. аналогом данной модели является цепочка связанных друг с другом дисков (или бусинок), причем каждому диску соответствует одна нуклеотидная пара. Динамика модели эластичного стержня хорошо изучена в физике. Известно, что она характеризуется тремя типами внутренних движений: продольными смещениями (stretching), вращательными или торсионными движениями (twisting) и поперечными смещениями (bending). Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие эти движения, имеют следующий вид putt = Yu„; i

SpyM = -Вугиг; где u(z,t).

Решениями уравнений (2) являются обычные плоские волны u = u0 exp[i(qz-Wjt)]; p = фо exp[i(qz-w2t)]; (3) у = у0 exp|i(qz-w3t)]; с частотами, зависящими от волнового вектора простым соотношениям

Wx = (Y/p)l/2q;

W2 = (C/i)1/2q; w3 = (B/pS),/2q\ согласно следующим

Скорости полученных выше продольных, торсионных и изгибных волн легко вычисляются дифференцированием формул (4) по переменной с|

Vl = dwt/dq = (Y/p)"2; v2 = aw2/dq = (C/i)1/2; (5) v, = 9w3/aq = (4B/pS),/2q; а спектр колебаний ДНК. вычисленный в рамках этой простой модели состоит только из трех (аку стических) ветвей, продольной, поперечной и изгибной.

2) Второй уровень иерархии. В моделях второго уровни учитывается дополнительная информация о структу ре и движениях в молеку ле ДНК. В частности, учитывается то. что молекула ДНК состоит из двух полинуклеотидных цепочек, и поэтому ее можно смоделировать при помощи двух эластичных стержней, слабо взаимодействующих между собой и свернутых в двойную спираль (рис. 4). Дискретный аналог такой системы представляет собой две цепочки дисков, связанных дру г с другом продольными и поперечными пружинками, причем жесткость продольных пружинок много больше жесткости поперечных пружинок. Такая модель описывается удвоенным количеством у равнений типа (2) с дополнительными слагаемыми, имитирующими слабые поперечные взаимодействия между цепочками. В качестве примера приведем два из шести у равнений движения

I= К(Ф„+1">- 2ф„(1)+ Ф>,<») - кЯ2(фпП)- ф„(2>);

6)

1ф,<2> = К(ф„+1(2)- 2ф„<2)+ ф,ь1<2>) - к112(фп<2)- ф„<").

Эти уравнения описывают торсионную подвижность дисков. Здесь ф„"'(z.t)- у гловое смещение n-го диска i-й цепи (i=1.2); I и R - момент инерции и радиус дисков; а - расстояние между соседними дисками в каждой из цепочек; К и к - жесткости продольных и поперечных пружинок. Переходя в (6) к непрерывному пределу , получим уравнения для соответствующей контину альной модели

1ф%== Ка2ф% - kRV'>-ф<2>);

1ф(2 «- Ка2ф(2)гг - кК2(ф(2)- ф(").

Отметим, что уравнения (7) записаны в линейном приближении. Кроме того для простоты в них опущены слагаемые, ответственные за взаимодействия торсионных движений с другими (изгибными и продольными) движениями, и не учтена спиральность структуры ДНК. Решениями уравнений (7) являются обычные плоские волны ф„0)ехр|!(Чг

В) ф(2)(М) = фпа,ехрЩчг - \у,2,1)1; с частотами, зависящими от волнового вектора q в соответствии с формулами

0)(ч) = (Ка2/1),/2ч;

9)

W(2)(q) = (2kR2+Ka2q,),/-/l^,^

Таким образом спектр торсионных колебаний ДНК, рассчитанный в рамках этой простой модели, состоит из двух ветвей: акустической и оптической.

3) Третий уровень иерархии. В моделях третьего уровня иерархии учитывается тот факт, что каждая из цепочек состоит из трех субъединиц: Сахаров, фосфатов и оснований (рис. 4). При этом предполагается, что связи между отдельными су бъединицами слабые и мягкие, а связи между атомами внутри субъединиц прочные и жесткие.

Легко посчитать число уравнений, необходимых для описания такой модели. Действительно, если предположить, что каждая субъединица имеет шесть степеней свободы, затем умножить это число на количество субъединиц в нуклеотиде. равное трем, и на число цепей в ДНК. равное двум, то в результате получим число уравнений, равное 36. Если к этому добавить еще и возможность существования двух конформашюнных состояний Сахаров: С'-эндо и С'-экзо. то общее число уравнений увеличиться до 38.

Такое большое число уравнений делает задачу трудно разрешимой. Однако она может быть существенно упрощена, если ограничиться моделированием не всех, а только наиболее важных в функциональном отношении движений. Примером такого подхода может служить работа Волкова и Косевича (Уо1ко\. КойелтсЬ. 1991. ). Вгото1, 5(гис1. Оуи. 8. 1069). где для описания низкочастотной динамики ДНК авторы сочли необходимым использовать только восемь уравнений, описывающих поперечные смещения нуклсотидов (Хт. У'"), торсионные движения нуклеозидов (9"') и внутринуклеозидные смещения (р"1). связанные с

12 изменением конформации Сахаров. Еще один пример мы находим в работе Крумхансла и Алекзандср (Krunihansl. Alexander. 1983. Struct иге and Dynamics: Nucleic Acids and Proteins, eds. Cleinenti. Sarnva. N.Y. Adenine Press, p. 61). где для описания A-B переходов в ДНК авторы ограничились использованием лишь шести уравнений. Два из них , описывают продольные смещения нуклеотидных групп (Z'n). два других -изменения конформационных состояний Сахаров (Р("). а еще два -вращательные движения оснований (У), (i— 1 -2).

4-5) Модели четвертого и пятого уровней иерархии. Четвертый уровень иерархии образует группа решеточных моделей ДНК (рис. 4). Поэтому для конструирования соответствующих моделей достаточно написать уравнения движения только для атомов, составляющих решеточную ячейку. Если учесть, что каждый атом имеет три степени свободы, а число атомов в ячейке достигает нескольких десятков, то становится очевидным, что число уравнений резко возрастет по сравнению с предыдущим примером, и задача становится еще более трудоемкой. Тем не менее задачи такого типа удается решать в линейном (гармоническом) приближении и получать сложные спектры ДНК. содержащие множество ветвей (Powell, Edwards. Genzel el al. 1987. Phys. Rev. A-35. 3929: Girirajan. Young. Prohofsky. 1989. Biopolymers 28. 1841).

Модели пятого уровня завершают описание иерархии. Они максимально точно передают структуру и движения в ДНК. Очевидно, однако, что сложность их математического моделирования на порядок выше, и такое моделирование возможно только с использованием мощных компьютеров и при существенном ограничении длины моделируемого фрагмента ДНК.

Каким образом построенная выше иерархия может быть использована исследователями? Ответ на этот вопрос дает следующий простой пример. Предположим, что мы занимаемся проблемой белок-нуклеинового узнавания. Предположим также, что в? сложном процессе белок-нуклеинового узнавания нас интересует стадия, связанная с локальным расплетанием двойной спирали ДНК. Какая из математических моделей наиболее пригодна для изучения данного вопроса? Начнем с моделей первого уровня. Очевидно, что они не годятся, так как не учитывают наличия двух цепей в ДНК. и. следовательно, не могут моделировать процесс расплетания. Модели второго уровня иерархии лучше подходят, и соответствующая система из шести уравнений вполне может быть использована для изучения процесса расплетания, но только в первом приближении. В том случае, если мы хотим сделать математическое описание процесса более точным, прийдется перейти к использованию моделей третьего уровня иерархии и т. д. Таким образом, используя выстроенную выше систематик}, можно довольно быстро подобрать адекватное математическое описание процесса. Справедливо также и обратное: встретившись с той или иной моделью динамики ДНК. можно легко оценить, к какому уровню иерархии она относится, и. следовательно, определить ее возможности и ограничения.

3. Моделирование внутренних движении большой амплитуды.

3.1. Некоторые сведения об основных математических моделях.

Для моделирования движений большой амплитуды мы не можем использовать линейное (гармоническое) приближение, поскольку оно справедливо лишь при условии малых амплитуд. Поэтому в этом случае мы вынуждены перейти к использованию нелинейных (ангармонических) моделей. Опишем кратко основные из них.

1) Математические модели первого уровня иерархии. В общем случае математические у равнения, описывающие внутренние движения большой амплиту ды, должны иметь вид putt = Yu„+ нелинейные слагаемые + слагаемые, взаимодействия между различными типами движений: фи = Сфн+ нелинейные слагаемые + слагаемые, взаимодействия между различными типами движений:

Spy« =-Ву7ггг + нелинейные слагаемые + слагаемые, взаимодействия между различными типами движений.

Однако, в таком общем виде Математическая задача еще никем не рассматривалась. В той или иной степени рассматривались только отдельные частные случаи задачи (10). Так Муто и соавторы (Mulo. Scott. Christiansen. 1989. J. Phys. 50. C3-217) исследовали только первое из трех уравнений, показав что оно имеет вид известного в нелинейной математике у равнения Буссинеска. Ичикава и соавторы (Ichikawa. Konno. Wadati. 1981. J. Phys. Soc. 50. 1799) исследовали третье из уравнений (10). В обоих случаях слагаемые, ответственные за взаимодействия между различными типами движений, были огту щены.

2) Математические модели второго уровня иерархии. В общем случае для описания моделей второго уровня, мы должны были бы рассмотреть систему уравнений, аналогичную (10). но уже состоящу ю не из трех, а из шести у равнений. На практике, однако, исследователи часто рассматривают различные типы внутренних движений, присущие моделям второго уровня, как независимые. Так в серии работ (Yomosa. 1984. Phys. Rev. Á-30. 474: Homilía. Takeno. 1984. Prog. Tlieor. Phy s. 72. описывающие описывающие (10) описывающие

679; Fedyanin. Lisy. 1986. 116. 65: Zhang. 1987. Phys.Rev. A-35. 886) рассматривались только два уравнения, имитирующие вращательные движения дисков. В работах Пеирарда и Бишопа (Peyrard. Bishop. J 989. 62. 2755: 1990. in: Nonlinear Coherent Structures. Springer. Berlin. 1990. p.29) рассматривались два уравнения, имитирующие поперечные смещения дисков. Можно назвать, тем не менее работы, в которых авторы пытались рассмотреть четыре из шести уравнений. Это работа Хрисгиансена и соавторов (Christiansen. Lomdahl. Mulo. 1990. Nonlinearity. 4. 477). в которой исследовались продольные и поперечные смешения дисков, а также учитывалось взаимодействия между ними. К работам такого типа можно отнести работу Жанга (Zhang, i 989. Phys. Rev. A-40. 2148) и работу Ксяо с соавторами (Xiao. Lin. Zhang. 1987. J. Phys. A-20. 2425). В обоих работах рассматривались продольные и у гловые смещения дисков, а также у читывались взаимодействия между ними.

3) Математические модели третьего и более высоких уровней иерархии. Математическое описание нелинейных моделей третьего и более высоких уровней иерархии на порядок сложнее предыдущего слу чая. Рассмотрение общей математической задачи поэтому практически невозможно, и обычно исследователи ограничиваются выделением лишь небольшого количества доминантных движений и для них пишут соответствующие математические уравнения. Среди таких моделей отметим прежде всего модель Крумхансла и Алекзандер (Krumhansl. Alexander. 1984. in: Structure and Dy namics: Nucleic Acids and Proteins, eds. Clementi. Sarina. N.Y. Adenine Press, p. 61). в которой авторы ограничились рассмотрением шести у равнений для движений, играющих ключевую роль в процессе перехода ДНК из А- в В-конформацню. Это продольные смещения нуклеотидных групп, изменения конформации Сахаров и поперечные смещения нуклеозидов в обоих цепочках. Дру гим ярким примером может служить работа Жанга и Олсон (Zhang. Olson. 1984. in: Nonlinearity Cond. Matter. Proc. 6 Annu. Conf. Los Alamos. NM. 5-9 May. Springer. Berlin, p. 265). в которой для изу чения B-Z переходов в ДНК была использована модель, состоящая лишь из четырех у равнений.

3.2. Нелинейные модели торсионной динамики ДНК

Многие биологические процессы, протекающие на молекулярном уровне и в которые вовлечена ДНК. сопровождаются локальным раскрытием пар оснований. Важную роль в раскрытии пар играют вращательные движения оснований, характеризующиеся большой амплитудой. Поэтому нелинейные модели торсионной динамики ДНК занимают особое место среди других нелинейных моделей. Мы разработали одну из таких моделей, и ее можно было бы классифицировать с одной стороны как модель второго у ровня иерархии.

15 и с другой стороны как некоторою модификацию известной ранее модели Инглэндера.

1) Модель Пнглэндёра (Engländer et ai, 1980, P.N.A.S., 77, 7222). Эта модель представляет особенный интерес с точки зрения истории исследований внутренней динамики ДНК. так как это первая нелинейная модель, предложенная для имитации внутренних движений большой амплитуды в ДНК. Авторы модели исследовали динамику открытых состояний ДНК. Полагая, что основной вклад в разрыв водородных связей и образование открытых состояний вносят вращательные колебания оснований вокруг сахаро-фосфатных цепочек. Инглэндер и соавторы попытались получить математическое уравнение, имитирующее эти колебания. Как отмечалось выше, этим уравнением оказалось синус-уравнение Гордона. То обстоятельство, что искомое уравнение ока залось нелинейным можно было ожидать, поскольку в при решении задачи об образовании открытых состояний нельзя было ограничиться линейным (гармоническим) приближением, справедливым лишь для малых амплитуд угловых отклонений оснований. Такие малые отклонения не смогли бы привести к разрыву водородных связей и к образованию открытых состояний.

Как было получено модельное уравнение? Метод получения уравнения основывался на аналогии между двумя казалось бы далекими друг от друга динамическими системами: молекулой ДНК и механической системой, состоящей из цепочки связанных маятников. Чтобы убедиться, что такая аналогия существует, достаточно сравнить основные структурные элементы, движения и поля в одной из цепочек ДНК и в цепочке маятников. Действительно, роль вращающихся маятников в ДНК играют основания, присоединенные к сахарам,- роль горизонтальной цепочки - сахаро-фосфатная цепочка, роль внешнего гравитационного поля - поле, наводимое второй нитью ДНК. слабо взаимодействующей с первой через водородные связи между основаниями.

Динамика цепочки маятников хорошо изучена и и звестно, что она достаточно адекватно описывается нелинейным уравнением

1ф„ = К(

12) и переписать уравнение (11) в виде

1фн - Ка2ф„ + mgh sin ф = 0;

13) где а - расстояние между соседними маятниками. Учитывая описанную выше аналогию, можно с достаточной степенью надежности утверждать, что динамика вращательных колебаний оснований ДНК будет описываться аналогичным уравнением, но с параметрами, характерными для ДНК

1офа - К0 a2фи + V0 sin ф = 0;

14) где lo - момент инерции основания. К0 - коэффициент жесткости сахаро-фосфатной цепочки, V<, sin ф - сила, действующая между основаниями внутри пар. а - расстояние между ближайшими вдоль цепи парами оснований.

Уравнение (14) имеет форму уравнения синус-Гордона и одно из его решений (кинк) ф(М) = 4 arctg{exp(y^/d)};

15) изображено на рис. 5а. Здесь у = 11-(1у"/Кс>а2)]"1;2; = V - скорость распространения нелинейной волны (кинка); с! = (К^д'А^о)1

Качественная картина, соответствующая этому решению приведена на рис. 56. Две сахаро-фосфатные цепочки ДНК изображены здесь двумя длинными линиями, а основания -множеством коротких линий. Решению (15) соответствует локальная область с разорванными парами оснований.

2) ' Модификация модели Пнглэндера. Описанная выше модель Инглэндера обладает, однако, одним

ТТЛ

7тгт V

1LLL

Рис. 5. Решение синус-уравнения Гордона в виде кинка (а) и качественная картинка, отвечающая этому решению (б). ' 17 существенным недостатком - она учитывает подвижность оснований только одной из двух цепочек ДНК. Вторая цепочка играет лишь пассивную роль некоторого среднего поля. В действительности обе цепочки равноценны в динамическом отношении, и это должно быть отражено в улучшенном варианте модели. Чтобы учесть подвижность оснований в обеих цепочках предлагались различные подходы (Yoinosa. 1984. Phvs. Rev. А-30. 474; Fedyanin. Gochev, Lisy. 1986, Stud, biophys. 1986. 116. 65: Zhang. 1987. Phys. Rev. A-35. 886). Мы предложили рассмотреть модель второго уровня иерархии, состоящую из двух эластичных стержней, слабо взаимодействующих дру г с другом (рис. 4). Дискретным аналогом такой модели является двойная цепочка дисков, связанных дру г с другом продольными и поперечными пружинками. В общем случае гамильтониан такой системы состоит из трех слагаемых н = т + V(1)+ V(2); (16) где Т - кинетическая энергия вращательных колебаний. V(I) и V(2) -потенциальные энергии продольных и поперечных пружинок, соответственно. Формулы, определяющие эти слагаемые имеют следу ющий вид

Т = X 1ф2М1/2; n

V = 2 K(

V = Z k(Aln)2/2; i = 1,2; п = 1,2,.N; i.n где

1ф1,11 = К(ф1,п+1 + Ф1 - 2ф,,„) - к(Д1п/1„) {(2R- + Rio) sin ф,,п --К25т(ф1,„ + ф2Л)}; (18)

1ф2.п = К(ф2.„+, + ф2,„-1 - 2ф:,п) - к(Л1„/1„) [(2R2 + RI«) sin ф2,„ -- R2 5Н1(ф2.п + ф1.„)}; где 1п= 1ц+ Д1П. В континуальном пределе они принимают вид 1ф1 = Кя2ф1„ - k(AI„/ln){(2R2 + Rio) sin ф, - R2 sin(

19)

1ф2 = Ка2ф„ - k(Al„/ln){(2R2 + RS«) sin ф2 - R2 8»1(ф2 + фО].

Сложная система и? двух нелинейных уравнений (19) может быть значительно упрощена, если предположить, что радиус дисков много больше величины 10 lo«R; (20) что вполне согласуется со структурой ДНК. Тогда уравнения (19) можно упростить, приведя математическую модель к окончательном) виду

Ка2ф1к - kR2[2 sin ф, - $т(ф!+ ф2)];

21)

Ка2фн - kR2[2 sin ф! - sin^2+ ФО].

4. Решение нелинейных дифференциальных уравнений, имитирующих внутреннюю динамику ДНК.

4.1. Метод Херемана. Уравнения (21) поддаются аналитическому решению с помощью прямого алгебраического метода, предложенного Хереманом и соавторами (Hereman W. Korpel A. Banerjee P.P. 1985. Wave motion. 7. 283: Hereman W. Banerjee P.P. Korpel el ai. 1986. J Phy s. A: Math. Gen. 19. 607: Hereman W. Takaoka M. 1990. J. Phys. A: Math. Gen. 23. 4805) и модифицированного нами с учетом особенностей

1ф, = 1Ф2 = системы (21). В основе метода лежит предположение о том. что решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть построены в виде разложений в бесконечные ряды по экспонентам с действительными показателями, причем показателями экспонент являются решения соответствующих линеаризованных уравнений. Коэффициенты разложений определяются из реку ррентных соотношений, а полученные бесконечные ряды суммируются, что позволяет получить точные решения исходных уравнений в замкнутой форме.

Обычно метод применяется для у равнений, нелинейная часть которых содержит только полиномиальные слагаемые. Уравнения (21) не удовлетворяют этому требованию, так как содержат слагаемые, пропорциональные функциям sin фь sin ф: и sin(9i+(p;). Мы преодолели эту трудность, разложив эти фу нкции в ряды sin ф] = Ф1 - ф!3/3!; sin ф2 = ф2 - ф2Э/3!;

22) sin (ф! + ф2) = (ф, + ф2) - (ф! + ф2)э/3!.

Такой шаг приводит, однако, к бесконечному числу слагаемых в исследуемых нелинейных уравнениях. Мы продолжили тем не менее вычисления и обнаружили, что это затруднение преодолимо и на последнем этапе вычислений все разложения суммируются, давая тем самым возможность получить окончательные результаты в замкнутой форме.

Основные моменты алгоритма вычислений следующие: ОРазложим трансцендентные слагаемые уравнений (21) в ряды (19).

2)Г1ерейдем в систему координат ^ = z-vt. движущуюся с некоторой постоянной скоростью v. Тогда исходные дифференциальные у равнения в частных производных преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения.

3)Представим решения этих уравнений в виде разложений по экспоненциальным функциям g(^)=exp(-q^) ф! = Z ang"; ф2 = I bng"; (23) n=i n=i причем величина q выбирается таким образом, чтобы экспоненциальная функция g(^) являлась решением линейной части уравнений (21).

4) Подставим экспоненциальную функцию g(^) в линейные у равнения и найдем возможные значения q.

5)Подставим разложения (2.3) с соответствующими значениями величины q в нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения и получим рекуррентные соотношения для коэффициентов разложений (23).

6)Найдем коэффициенты разложений из рекуррентных соотношений, подставим их в разложения (23) и суммируем результат.

Действуя таким образом нам удалось получить точное решение уравнений (21)

Ф, = -ф2 = 4 аг(^{ехр (24) для действительного и положительного значения q. равного

Ч=[2/(1-у2)]1Я;У2<1. (25)

Графическое изображение этого решения приведено на рис. 6а . а на рис. 66 представлена качественная картинка, соответствующая этому решению. Таким образом, полученное решение соответствует локальной деформации (локальному раскрытию пар оснований), движущейся вдоль молекулы ДНК со скоростью V. а Рис. б. Частное решение уравнений (21) (а) и качественная картинка, соответствующая этому решению.

II 411III

11МК„,1Чу1[ИМ ' /1 \

4.2. Метод Ньютона. Этот метод широко используется в теории нелинейных уравнений. Мы применили его для качественного анализа возможных классов решений уравнений (21). Ограничив поиски возможных решений решениями в виде бегу щих волн ф, = ф^г-уО; ф2 = ф2(г-уО; мы переписали уравнения (21) виде d2,/d^2 = -ЭУ(ф„ф2)/Эф(; i = 1,2; (28) описывающие движение механической частицы под действием потенциала

У(ф,,ф2) = а[1 - со8(ф! + ф2)1 - 2a(l - cos фО - 2а(1 - cos ф2); (29) причем переменная \ играет тогда роль "времени", а ф1 и ф? - роль "координат" частицы.

Для корректной постановки задачи уравнения (28) необходимо дополнить граничными условиями. Обычно их находят из условия, согласно котором} плотность энергии нелинейной волны должна быть локализована в пространстве. Для задачи (28) это приводит к требованию

0; dф,/d^ 0; (30)

У(ф„ф2)->0; (31) при ^ —> ± оо. Обозначив точки максимумов потенциальной функции V парами координат {gn(1), gn(2'} и используя условие (28) находим ф1 gn(1); Фг -> gm(2); (32) при —» ± Соотношения (30) и (32) полностью определяют граничные условия задачи.

Мы нашли два класса частных решений задачи (25) с граничными условиями (30) и (32). используя метод траекторий. Эти два класса решений определяются соотношениями ф! = ф2±2л;п; п = 0,1,2,. (33) ф! =-ф2 ± 2тст; т = 0,1,2,.

22

В случае (33). исходные уравнения (27) преобразуются в двойное синус-уравнение Гордона. В случае (34) - в обычное синус-уравнение Гордона. Оба уравнения хорошо изучены и их решения являются частными решениями нашей задачи.

5. Разработка методов, позволяющих улучшим» моделирование внутренней динамики ДНК

5.1. Учет дпееннанин н внешних воздействии. Описанные выше модели можно отнести к классу так называемых идеальных систем. В реальных системах необходимо учесть эффекты диссипации и влияние внешних воздействий. Эти два фактора у чтены нами путем введения дополнительных слагаемых в исходные уравнения движения. Так для случая модели Инглэндера оказалось достаточным ввести в леву ю часть у равнения (14) слагаемое

Рфс? (35) у читывающее процессы внутреннего трения, и в левую часть - слагаемое to); (36) описывающее действие внешних сил. Здесь f > - сила. Р - вязкость.

Предположив, что дополнительные слагаемые малы, мы исследовали описываемые ими эффекты Методом теории возму щений. Так для слу чая, постоянного внешнего воздействия f0= const; (37) удалось показать, что влияние такого внешнего воздействия и эффекты диссипации приведу т к изменению Скорости распространения нелинейной волны на величину

Av = (foKd/4 - (Jyd)t; (38) где t - Y(t-vz).

Таким образом, в процессе распространения нелинейной волны бу дут наблюдаться два эффекта: ускорение вследствие постоянной подкачки (fii=-|f!,|) и замедление вследствие эффектов внутреннего трения. Такое поведение нелинейной волны напоминает поведение обычных частиц, изучаемых в классической механике и статистической физике. Это вывод оказался очень важным и дал нам возможность найти приближенный метод построения статистики нелинейных волн в ДНК.

5.2. Учет неоднородности ДНК. Все описанные выше математические модели, никак не учитывают неоднородность внутренней структуры ДНК. связанную с наличием последовательности оснований, которая является уникальной для каждого живого организма. А это свойство имеет круциальное значение в исследованиях взаимосвязи динамики и функции ДНК. С привлечением компьютерной техники учет такой последовательности стал вполне возможен (Salerno. 1991. Pliys.Rev. А-86. 5292). Однако, в рамках аналитических исследований эту задачу удается решить .лишь для случая неоднородности, имеющей форму блоков с преимущественным содержанием пар А-Т или G-C.

Чтобы перейти от однородной задачи (14) к неоднородной, достаточно предположить, что коэффициенты уравнения (14) являются функциями переменной z. Для случая блока с преиму щественным содержанием G-C пар на фоне остальной части молекулы, преимущественно содержащей А-Т пары, достаточно заменить постоянный коэффициент Vo на функцию V<) (z) и записать уравнение в виде

10ф« - Кофи + V0 sirup + X.(z) situp = 0. (39)

Здесь функция A,(z)={V(,(z) - V,,} промоделирована при помощи функций Хевисайда

X(z) = Xfl[0(z-a„)-0(z+a„)]. (41))

Если предположить, что дополнительное слагаемое

X(z) sin ф; (41) появившееся вследствие учета неоднородности, мало, то решение задачи может быть найдено методом теории возмущений. Используя этот метод, мы рассчитали изменение скорости вследствие неоднородности

Ау = -(М2/4у) иЬИ - а,/у)/с1] - + а0/у))/с1]; (42) а также нашли Минимальное значение скорости нелинейной волны, которая необходима для того, чтобы преодолеть энергетический барьер (А, ,>()). связанный с наличием в-С блока, и продолжить движение v2„,i„ = (2Ка2/1)(ДЕ/Ео);

43) здесь ДЕ - высота барьера. Е о - энергия покоя солитона.

5.3. Учет спиральности. Наиболее последовательно учет спиральности в нелинейных математических моделях проводился в работах Гаеты (Gaeta. 1990. Plus. Lett. А-143. 227). Подход Гаеты основан на том факте, что определенные структурные элементы ДНК. далекие в неспиральных моделях, становятся вследствие спиральности близкими соседями. Учет этого факта приводит к дополнительному слагаемому в модельном гамильтониане системы, и в конце концов - к перенормировке коэффициентов динамических уравнений. Мы разработали другой подход к решению проблемы: опустив как менее значимый, эффект перенормировки, мы учли, однако, спиральную геометрию ДНК в расчетах спектров рассеяния света и нейтронов, то есть именно там. где эффект спиральности дает наиболее ощутимые качественные результаты.

5.4. Учет статистики нелинейных волн н решение задачи рассешнш. В том случае, когда в ДНК возбуждается не одна а несколько нелинейных волн, возникает задача об ансамбле нелинейных волн и о статистике солитонов в ДНК. Проблема статистики возникает и при решении задач рассеяния света или медленных нейтронов на ДНК. Действительно, решение задачи рассеяния обычно сводится к вычислению динамического форм-фактора рассеяния S(q.\v) как функции волнового вектора q и частоты \v. где q = к' - к", w = (Е" -Е")/1), к' и к" волновые векторы падающей и рассеянной частицы. Е' и Е"" энергии этих частиц (Е" = l)k"72m. Е"" = f)k""72ni). Соответственно Наибольший интерес для изучения динамики представляет вычисление динамического форм-фактора неупругого когерентного рассеяния, который в общем случае имеет вид

SKor 'Hev"p(q,w) = (47cr>N) 7dt exp(-iwt)

44)

X X . n,n'jj'

Из этой формулы видно, что исходная задача сводится практически к вычислению корреляционной фу нкции <• • •>. что в свою очередь является одной из центральных проблем статистики.

Для проведения вычислений корреляционных функций мы предложили простой подход, основанный на сходстве в динамическом поведении нелинейных возбуждений и обычных материальных частиц. В ляком подходе ансамбль нелинейных возбуждений (солитонов) заменяется ансамблем обычных материальных частиц. Мы предположили, что число таких частиц невелико, что дало нам возможность воспользоваться простейшей статистической моделью -моделью идеального газа.

Расчеты проводились для различных моделей: для модели Инглэндера. для у лишенного варианта этой модели, разработанной нами и учитывающего с одинаковой значимостью подвижность оснований в ДНК. и для модели, учитывающего спиральность структуры ДНК. Результаты расчетов позволили получить аналитическую зависимость основных характеристик центрального пика рассеяния (таких как интенсивность и ширина линии) от волнового вектора q и от температу ры Т. а также предсказать наличие расщепления центрального пика в спектре рассеяния, обусловленного эффектом спиральности. Как показывают расчеты величина этого расщепления имеет порядок

2л/5а г 0,37а"1. (45)

Такая величина расщепления вполне доступна для измерений, проводимых в экспериментах по рассеянию нейтронов, получаемых на современных источниках нейтронов.

6. Применение результатов математического моделирования дли объяснении динамических механизмов функционирования ДНК.

6.1. Эффекты дальнодействия. В последние годы математические модели ДНК начали применяться для изучения механизмов функционирования ДНК. Ярким примером этому могут служить работы Салерно (Salerno. Phvs. Rev. А-44. 5292. 1991; Salerno Plus. Lett. A-167. 43. 1992: Salerno. Kivshar. Pliys. Lett. 1994. A-193, 263: in: Nonlinear Excitations in Biomolecules. Springer. Berlin. 1995. p. 147). в которых нелинейная математическая модель ДНК была применена для решения задачи о направлении процесса транскрипции. Мы применили построенные выше модели для качественного объяснения эффектов дальнодействия и механизмов регу ляции транскрипции.

Начиная с 70-х годов во многих лабораториях мира, в том числе и в Институ те биофизики клетки РАН. получены экспериментальные данные, свидетельствующие о существовании эффектов дальнодействия в ДНК (Kolata. 1977. Science. 198. 41: Hogan et al. 47. 263: Wells et al. 1977.

CRC Crit. Rev. Biochem. 4. 305: Kamzolova et al. 1973. ДАН СССР. 208. 245: Pohl et al. P.N.A.S. USA 69. 3805. 1972). Суть этих эффектов объясняет простейшая схема, представленная на рис. 7. Здесь изображен достаточно длинный фрагмент ДНК с двумя специфическими сайтами (Si и S2), и две белковые молекулы (Pi и Р:). Многочисленные эксперименты показывают, что взаимодействие молекулы Р, с сайтом Si может оказывать влияние и менять характер взаимодействия молекулы Р: с сайтом S;, причем расстояние между сайтами Si и S; может быть довольно большим, порядка сотен и даже тысячи пар оснований. Именно поэтому эти эффекты и были на званы эффектами дальнодействия.

Существует несколько альтернативных объяснений механизмов дальнодействия (Ptashne. 1986. Nature 322. 697: Wang. Giever. 1988. Science. 240. 300: Adzuma. Miznuchi. 1989. Cell. Рис. 7. Схематическое 57■ 41 > Ha Рис 8 показаны основные из изображение ДНК с них В пеРВ0Й модели предполагается. выделенными сайтами (Sh SJ что молекула ДНК может изогнуться и и двух белковых молекул (Г,. образовать петлю. При этом сайты S, и S: р ^ оказываются близкими соседями и естественным образом влияют друг на друга. Во второй модели предполагается, что после свя зывания молекулы Pi с сайтом S], эта молеку ла может скользить вдоль ДНК и таким образом достичь окрестности сайта S:. В третьей модели предполагается, что взаимодействие молекулы Р, с сайтом Si облегчает связывание соседнего

Рис. 8. Модели дальнодействия „ в ДНК: (а) модель, а объясняющая эффект дальнодействия образованием петли: (б) модель скольжения; (в) модель последовательного б связывания и (г) модель, основанная на возможности распространения в ДНК в конформационных волн. сайта q некоторой другой г белковой молекулой, причем это связывание облегчает связывание следующего за ним сайта с еще одной белковой молеку лой и так далее. В конце концов процесс последовательного связывания достигнет окрестности сайта S;. В четвертой модели предполагается, что связывание молекулы Р| с сайтом Si приведет к локальному изменению конформации в окрестности этого сайта и это локальное изменение начнет распространяться вдоль ДНК. Достигнув сайта S; оно приведет к изменению конформационного состояния этого сайта, что в свою очередь приведет к изменению коэффициента связывания сайта S; с молеку лой Р;.

Эта четвертая предложенная биологами модель хорошо соответствует предсказанной выше теоретически возможности распространения в ДНК локальных конформационных возмущений или воли, являющихся решениями нелинейных .математических моделей (14). (21).

6.2. Регуляция транскрипции н механизм координации работы генов. Модель, основанная на возможности распространения в ДНК нелинейных конформационных возмущений, позволяет найти новый подход к решению проблемы регу ляции процесса транскрипции.

Простейшая схема процесса транскрипции (синтеза РНК), известного как сложный многостадийный процесс. происходящий в многокомпонентной системе, обычно включает три основные стадии: инициацию, элонгацию и терминацию. На первой стадии специальных фермент (РНК-полимераза) связывается с промоторной областью молекулы ДНК. После того, как РНК-полимераза займет правильную позицию и обра зует несколько фосфодиэфирных связей начинается вторая стадия процесса. На этой стадии небольшой фрагмент (субъединица а ) отделяется от РНК-полимеразы. а остальная часть РНК-полимеразы движется вдоль ДНК и удлиняет шаг за шагом молекулу РНК. В третьей стадии процесс заканчивается и РНК-полимераза отделяется от молеку лы ДНК. Существует специальная область в молекуле ДНК (терминатор), которая дает сигнал "стоп" процессу транскрипции. Учитывая эту схему, мы предложили для изучения вопроса о возможной роли нелинейных конформационных волн в регуляции транскрипции использовать существенно неоднородную модель ДНК. изображенную на рис. 9 . Модель содержит основные функциональные области (блоки) необходимые для синтеза ДНК и его регуляции: промоторную область. Р. кодирующую область. С, несколько регуляторных областей. R], Rv и терминаторную область. Т.

Чтобы исследовать, какую роль могут играть нелинейные конформационные волны в процессе транскрипции, мы проанализировали последовательно все три стадии процесса. На первой стадии РНК-полимераза связывается с промотором Р. Экспериментальные исследования этой стадии свидетельствуют о том. что связывание РНК-полимеразы с промотором сопровождается значительной изменением конформации участка связывания, которое может передаваться по двойной цепи ДНК (Pribnow. 1979. in: Biolog. Regulation and Development.

28

1. Gene Expression. Goldberger. éd. Plenum. N. Y., p. 279: von Hoppel. 1979. in: Biolog. Regulation and Development. 1. Gene Expression. Goldberger. éd. Plenum. N. Y., p.279: Scienbenlist. 1980. Nature 239. 167. Cell. 20. 269: Sluyser. 1983. T.l.B.S. 8. 236). В рамках математических моделей ДНК. рассмотренных выше, эти факты можно трактовать как возбуждение и распространение в ДНК нелинейной конформационной волны.

Прохождение такой волны через кодирующую область, изменит конформацию этой области. (Saucier. Wang. 1972. Nature. 239. 167:

Kaim.olova. 1982. Stud, biophys. 87. 175). что приведет к изменению матричных свойств ДНК. а это в свою очередь приведет к изменению скорости синтеза на стадии элонгации.

Рис. 9. Схематическое изображение фрагмента ДИК. Р, .С и Т -промотор, кодирующая область и терминатор i-го гена, соответственно; R¡ R? и R¡ - регуляторные области i-го гена; R¡ ', R: ' и т. д. соответствующие области i + 1-го гена; S - конформационное возмущение, движущееся вдоль ДНК

После прохождения С области конформационная волна достигнет терминаторной области, которая разделяет два гена. Согласно многочисленным экспериментальным данным терминаторная область зачастую имеет сильно неоднородную Структуру. На рис. 9. к примеру, терминаторная область изображена в виде креста. Прохождение волны через такую область может привести к двум результатам: волна может полностью поглотиться или преодолеть этот барьер, но с измененными профилем и скоростью. Первый результат можно трактовать как тсрминацию. а второй как сигнал о начале процесса транскрипции во втором гене.

Распространение конформационных волн через регуляторные области Ri'. R;' (или Ri. R;. R3 ) может также сопровождаться изменением конформации этих областей и. следовательно, изменением констант связывания регуляторных белков с этими областями. Последнее, как известно имеет кру циальное значение для регуляции функциональной активности ДНК.

Эти качественные результаты получены в основном лишь для транскрипционного процесса, протекающего в пределах только одного гена. Можно предположить, однако, что нелинейные конформационные волны, движущиеся вдоль ДНК. могут служить моделью координации работы нескольких генов.

7. Заключение

Таким образом центральной проблемой, которую удалось решить в данной работе, является задача о построении нелинейной математической модели, имитирующей вращательные движения оснований в ДНК. Особенностью этой модели является ее способность описывать движения большой амплиту ды.

Для корректного построения этой модели была собрана, систематизирована и проанализирована информация об основных видах внутренних движений в ДНК и их характеристиках, таких как энергии активации, скорости, амплитуды, характерные времена. Были разработаны основные принципы построения динамических моделей ДНК. и построена иерархия динамических моделей ДНК.

Для построенной нелинейной математической модели были найдены решения в виде конформационных локальных возмущений, которые соответствуют найденным в эксперименте по водородно-тритиевому обмену открытым состояниям ДНК.

Полученные результаты были применены для решения целого ряда задач динамики ДНК. таких как задача об учете эффектов неоднородности ДНК. связанной с наличием последовательности оснований, задача об учете эффектов диссипации и влиянии внешних полей, задача об учете эффектов, связанных со спиральным характером структуры ДНК. задача о статистике локальных конформационных возмущений в ДНК. Среди других решенных в работе задач выделяются следующие две задачи: задача о рассеянии на ДНК и задача о механизмах дальнодействия в ДНК. При решении первой задачи удалось получить формулу для динамического форм-фактора рассеяния и тем самым предсказать результаты буду щих экспериментов по рассеянию медленных нейтронов и света на конформационных локальных возму щениях в ДНК. Во второй задаче удалось дать разумное математическое объяснение одному из возможных механизмов дальнодействия в ДНК.

8. Выводы.

1. Собрана и систематизирована информация об основных видах внутренней подвижности молеку лы ДНК. На ее основе проведена классификация основных внутренних движений в ДНК. Построена иерархия динамических моделей ДНК.

2. Разработаны принципы математического моделирования внутренней подвижности молекулы ДНК. Построены нелинейные

30 дифференциальные уравнения. моделирующие внутренние движения больших амплитуд в ДНК. Разработан метод решения таких уравнений и получены их решения.

3. Найдены новые подходы, позволившие улучшить математическое описание внутренней подвижности ДНК. На их основе решены задачи о моделировании внутренней динамики молекулы ДНК с учетом эффектов диссипации, внешних воздействий, неоднородности и спиральности структуры ДНК.

4. Разработанные математические модели использованы для решения задач рассеяния на ДНК. для объяснение механизмов дальнодействия в ДНК и механизмов регу ляции транскрипции.

Список основных публикаций по теме диссертации:

1. Fedyanin V.K. Yakushevich L.V. (1984) Scattering of neutrons and light by DNA solilons. Studia biophys. 103. N3. 171-178.

2. Полозов P.В. Якушевич Jl.В. (1985) Нелинейные возбуждения в ДНК и экспрессия генов. Препринт НЦБИ АН СССР. Пушино.

3. Полозов Р.В. Якушевич JIB. (1987) Теоретический анализ характерных движений ДНК. В сб.: Межмолекулярные взаимодействия и конформации молекул, ред. Петропавлов Н.Н. Зоркий П.М. Пущино. НЦБИ. стр. 186-191."

4. Yakushevich L.V. (1987) The effect of damping, external fields and inhomogeneity on the nonlinear dy namics of biopolymers. Studia biophys. 121. N3.201-207. " ' '

5. Егоренков А.И. Нечаев M.B. Полозов P.B. Якушевич JI.B. (1988) Изучение конформационной подвижности азотистых оснований во фрагментах В-формы ДНК. ВИНИТИ N1349-B88.

6. Polozov R.V. Yakushevich L.V. (1988) Nonlinear waves in DNA and regulation of transcription. J.Theor.Biol. 130. N4, 423-430.

7. Yakushevich L.V. (1989) Nonlinear DNA dynamics: a new model. Phys.Letters A-136. N7-8. 413-417.

8. Якушевич JI.B. (1989) Динамика ДНК (обзор). Молекулярная биология 23. N3. 652-662.

9. Yakushevich L.V. (1990) Nonlinear models of DNA dynamics. In: Solilon and Applications. eds.V.G.Makliankov. V.K. Fedyanin. O.K.Pashaev. World Scientific, Singapore e.a. pp. 316-321.

10. Якушевич JI.В. (1990) Методы теоретической фишки в исследованиях свойств биополимеров (монография). НЦБИ АН СССР. Пущино. fYakushevich L.V. (1996) Methods of theoretical physics and their applications to biopolymer science. Nova Science Publishers. New York],

11. Yakushevich L.V. (1990) On the experimental basis of the nonlinear model оГ the internal DNA dynamics. Proc.SPlE 1403. 507-508.

12. Yakushevich L.V. (1991) Nonlinear models in biopolymer theory. In: "Excited Polaron States in Condensed Media", ed. Lakhno V. D. Manchester University Press. Manchester and New York. pp. 147-155.

13. Yakushevich L.V. (1991) Investigation of a system of nonlinear equations simulating DNA torsional dynamics. Sludia biophys. 140. N2. 163170.

14. Yakushevich L.V. (1992) Non-linear DNA dynamics and problems of gene regulation. Nanobiologv 1. N3, 343-350.

15. Yakushevich L.V. (1993) Hierarchy of nonlinear dynamics models of DNA. In: Future Directions of Nonlinear Dynamics in Physical and Biological Systems, eds. Christiansen P.L. Eilbeck J.C. Permentier R.D. Plenum Publishing Co. New York."pp. 485-488.

16. Yakushevich L.V. (1993) Nonlinear dynamics of biopolymers: theoretical models, experimental data. Q.Rev.Biophys. 26. N1. 201-223.

17. Yakushevich L.V. (1994) Nonlinear DNA dynamics: hierarchy of,the models. Phvs.D-79. N1. 77-86.

18. Yakushevich L.V. (1994) Elastic models of the internal DNA dynamics: linear and nonlinear approaches. In: Polaron and Applications, ed. Laklmo V.D. John Wiley and Sons. New York e.a. pp.479-496.

19. Якушевич Л.В. (1995) Иерархия динамических моделей ДНК. Журнал фичич. химии 69. N1. 180-185.

20. Якушевич Л.В. (1995) Теоретические модели внутренней динамики ДНК и их использование для интерпретации низкочастотных

32 спектров. Модель упругого стержня. В сборнике: Физико-химия биополимеров. Синтез. свойства и применение. Тверской госу дарственный у ниверситет. Тверь, стр. 53-66.

21. Якушевич JI.B. (1995) Точное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, моделирующих торсионную динамику ДНК. Жу рнал физической химии. 69.N8. 1415-1418.

22. Якушевич Л.В. (1995) Нелинейные дифференциальные уравнения, моделирующие торсионную динамику ДНК. и их решение методом Херемана. Изв. АН. Сер. Физич. 59. N8, 189-193.

23. Yakushevich L.V. (1996) Nonlinear Mathematical models in biopolymer science. In: Perspectives of polarons. eds. Clutev G.N. Lakhno V.D. World Scientific. Singapore / New Jersey / London / Hong Kong. pp. 94-143.

24. Якушевич JI.B. (1996) Моделирование нелинейной динамики ДНК. Известия высших учебных заведений. Проблемы нелинейной динамики. 4. N3. 107-111.

25. Якушевич JI.B. (1997) Нелинейная математическая модель ДНК и ее применение в расчетах рассеяния нейтронов. В сборнике: Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах., под ред. Миронова В.А. Уваровой J1.B. Семенова Ф.В., Наумович Т В. Тверской государственный технический университет, Тверь, стр. 275-279.

26. Kamzolova S.G. Kamzalov S.S. Ivanova N N. Yakushevich L.V. (1997) Conformational analysis of DNA-RNA polymerase complexes. In: Spectroscopy of Biologycal Molecules: Modern Trends. Klmver Academic Publishers. Dortrecht / Boston / London, pp. 369-370.

27. Yakushevich L.V. (1998) Nonlinear physics of DNA (монография). Wiley. Chichester / New York / Brisbane / Toronto / Singapore.

Материалы диссертации были доложены на IV Всесоюзном Совещании "Математические методы для исследования полимеров и биополимеров" (Пущино, 1985). Симпозиуме "Физико-химические свойства биополимеров в растворе и клетках" (Пущино. 1985). Всесоюзных Симпозиумах по межмолекулярному взаимодействию и конформациям молекул (Пущино. 1986. 1994. 1997). Международных

33 конференциях "Солитоны и приложения" (Рига 1986: Дубна. 1989). Третьей Международной конференции по лазерной спектроскопии и диагностике живых объектов (Москва. 1990). Всесоюзной конференции по теоретической органической химии (Волгоград, 1990). Между народном семинаре по когерентным явлениям в биомолекулярных системах (Тусон. США. 1991). Международном семинаре "Полярон и приложения" (Пущино. 1992). Международной конференции "Будущие направления развития нелинейной динамики в физике и биологии" (Лингби. Дания. 1992). Международном семинаре "Нелинейные возбуждения в биомолекулах" (Лезуш. Франция. 1994). Международных конференциях "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, у правления в конденсированных и дру гих средах" (Тверь. 1994. 1996). Между народной конференции "Критерии самоорганизации в физических, химических и биологических системах" (Суздаль. 1995). Между народных конференциях "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино. 1995: Дубна. 1996; Пу щино 1997). Между народной конференции "Солитоны и когерентные стру ктуры в физике и биологии" (Лингби. Дания. 1997).

Научное издание

Автореферат Якушевич Л.В.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ДИНАМИКИ ДНК

Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции ОК-005-93; том 2; 953000 — книги и брошюры.

15.01.98 г. 3. 7832Р. Т. 100 экз. Усл.печ.л. 2,0.

Отпечатано с оригинала-макета в Отделе научно-технической информации Пущинского научного центра РАН. 142292 г. Пущино Московской обл., проспект Науки, 3. ОНТИ ПНЦ РАН.