Стационарные и мобильные дискретные бризеры в модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Фахретдинов Марат Ирекович

• Фахретдинов Марат Ирекович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Фахретдинов Марат Ирекович

ВВЕДЕНИЕ

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ

В МОЛЕКУЛЕ ДНК

1.1. Структура и функции молекулы ДНК

1.2. Математические модели нелинейной динамики молекулы ДНК

1.2.1. Модели, описывающие вращательные движения оснований

1.2.2. Модели, описывающие сдвиговые движения оснований. Модель ДНК Пейрара-Бишопа и её модификации

1.3. Дискретные и мобильные бризеры

1.3.1. Стационарные дискретные бризеры

1.3.2. Мобильные дискретные бризеры

1.3.3. Дискретные бризеры в моделях динамики ДНК

1.4.Выводы по главе

2. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ БРИЗЕРОВ

2.1.Методика нахождения и исследования дискретных бризеров

2.1.1. Численный метод нахождения дискретных бризеров

2.1.2. Устойчивость дискретных бризеров

2.2. Методы нахождения мобильных бризеров

2.3. Описание программного комплекса для моделирования дискретных бризеров

2.3.1. Описание программы «Моделирование дискретных бризеров в модели ДНК Пейрара-Бишопа»

2.3.2. Описание программы «Моделирование мобильных дискретных бризеров в модели ДНК Пейрара-Бишопа»

2.4. Выводы по главе

3. ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ И МУЛЬТИБРИЗЕРЫ

3.1. Стационарные дискретные бризеры и мультибризеры в модели ДНК Пейрара-Бишопа

3.1.1. Односайтовые дискретные бризеры

3.1.2. Мультибризеры

3.2. Исследование устойчивости дискретных бризеров

3.2.1. Исследование устойчивости односайтовых и двухсайтовых дискретных бризеров

3.2.2. Исследование устойчивости трёхсайтовых дискретных бризеров

3.3. Энергия и амплитуда дискретных бризеров

3.4. Выводы по главе

4. МОБИЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ БРИЗЕРЫ

4.1. Приближенные мобильные бризеры

4.1.1. Получение приближенных мобильных бризеров

4.1.2. Взаимодействие мобильных бризеров

4.2. (р/д) - резонансные численно точные мобильные бризеры

4.2.1. Метод расчёта ЧТМБ

4.2.2. Нахождение начального приближения к ЧТМБ

4.2.3. Нахождение численно точных МБ

4.2.4. Устойчивость ЧТМБ

4.3. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стационарные и мобильные дискретные бризеры в модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время большое внимание исследователей привлекают локализованные возбуждения солитонного типа, играющие решающую роль в самых разных процессах. Одним из наиболее интересных объектов такого рода, интенсивно изучающихся в последнее время, являются дискретные бризеры.

Дискретные бризеры - это локализованные в пространстве и периодические по времени колебания нелинейных дискретных решёток осцилляторов [1]. Особый интерес к изучению дискретных бризеров обусловлен тем, что они не являются редкими объектами в дискретных системах. Единственным условием существования дискретных бризеров в системе является ограниченность фононного спектра и нелинейность дискретной решётки. У односайтовых дискретных бризеров максимальную амплитуду колебаний имеет одна частица -центр дискретного бризера, амплитуда колебаний остальных частиц по мере удаления от центра уменьшается экспоненциально. Соответственно у двухсайтовых, трёхсайтовых и.т.д. дискретных бризеров (мультибризеров) максимальную амплитуду колебаний имеют две, три, и.т.д. частицы [1].

В континуальных нелинейных системах движущиеся солитонные волны возникают благодаря балансу нелинейности и дисперсии. В них присутствует континуальная трансляционная инвариантность, то есть локализованное решение континуальной нелинейной системы может быть произвольно сдвинуто вдоль пространственной переменной. Дискретные системы не обладают этим свойством, их решения не могут быть произвольно сдвинуты вдоль решётки, а могут занимать только определённые положения в решётке, согласно минимумам периодической потенциальной энергии, называемой энергией Пайерлса-Набарро. Тем не менее, в численных экспериментах часто находили дискретные бризеры, передвигающиеся на значительные расстояния без существенных изменений формы и энергии бризера. Их назвали мобильными бризерами. При движении от сайта к сайту они теряют энергию, так как вынуждены преодолевать энергетический барьер потенциала Пайерлса-Набарро.

Одним из физических объектов, в которых возможны бризеры, является молекула дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). Интерес к её нелинейной динамике обусловлен не только её важным значением для жизненных процессов, но и перспективами применения ДНК в будущих устройствах молекулярной электроники [2]. Как известно, в процессе функционирования ДНК на начальных стадиях репликации и транскрипции образуются так называемые «открытые состояния», характеризуемые локальным разрывом водородных связей комплементарных пар оснований. Большое количество экспериментов показывает также, что в соответствующих экспериментальных условиях молекулы ДНК способны проводить электрический ток. Учитывая относительную гибкость и большое число внутренних степеней свободы ДНК, можно ожидать, что колебательные моды будут оказывать сильное влияние на движение заряда путём модификации электронных пар. Для теоретического описания упомянутых конформационных переходов в молекуле ДНК были предложены разные модели. Одной из наиболее распространённых является модель Пейрара-Бишопа [3] и её многочисленные модификации. Решения этой модели в виде стационарных дискретных бризеров используются для описания локализации энергии, а в виде мобильных бризеров - для описания переноса энергии.

Характерной особенностью существующих работ по дискретным бризерам в молекуле ДНК является использование модификаций классической модели Пейрара-Бишопа, исследование только односайтовых дискретных бризеров и отсутствие сопоставления модельных (безразмерных) значений параметров с реальными параметрами молекулы ДНК. Кроме того, представляет интерес исследование различных характеристик мобильных бризеров и получение решений уравнений движения в виде численно точных мобильных бризеров.

Целью данной работы является теоретическое исследование стационарных дискретных бризеров и мобильных бризеров в модели ДНК Пейрара-Бишопа. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи: 1. Разработать программный комплекс для моделирования дискретных бризеров и мобильных бризеров в модели молекулы ДНК Пейрара-Бишопа.

2. Исследовать конформационные возмущения молекулы ДНК в виде стационарных дискретных бризеров и мультибризеров на основе модели ДНК Пейрара-Бишопа.

3. Исследовать динамику конформационных возмущений в модели молекулы ДНК Пейрара-Бишопа в виде мобильных бризеров.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В рассматриваемой модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК могут существовать локализованные возбуждённые состояния в виде стационарных односайтовых, двухсайтовых и трёхсайтовых дискретных бризеров

2. Результаты исследования устойчивости и зависимости характеристик решений в виде стационарных дискретных бризеров от параметров модели.

3. Результаты исследования динамики и взаимодействия приближенных мобильных бризеров в рассматриваемой модели.

4. Способ получения начальных приближений к методу Ньютона поиска (р/д)-резонансных численно точных мобильных бризеров.

5. Существование в модели ДНК Пейрара-Бишопа (р/д)-резонансных численно точных мобильных бризеров.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые найдены решения уравнений движения модели молекулы ДНК Пейрара-Бишопа в виде двухсайтовых и трёхсайтовых дискретных бризеров и проведено исследование их устойчивости.

2. Предложен метод, который позволяет находить приближения к методу Ньютона поиска (р/д)-резонансных численно точных мобильных бризеров с различными скоростями из допустимого моделью интервала.

3. Впервые получены решения уравнений движения модели ДНК Пейрара-Бишопа в виде (р/д)-резонансных численно точных мобильных бризеров.

Методы исследования. Задачи, поставленные в работе, решались с помощью методов математического моделирования и численного решения систем нелинейных уравнений и систем нелинейных дифференциальных уравнений. Основные результаты в диссертации получены путём компьютерного

эксперимента. В основе численного метода лежит нахождение периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационное исследование носит фундаментальный характер. Результаты, представленные в диссертации, будут интересны для специалистов в области теоретической физики, физики конденсированного состояния, биофизики, материаловедении и нелинейной динамики дискретных систем различной природы. Методы расчёта характеристик дискретных бризеров могут быть использованы при исследовании квазиодномерных структур различных типов.

Достоверность результатов и выводов, полученных в диссертации, обусловлена использованием новейших методов численного моделирования и теоретической физики, а также подтверждается сравнением полученных результатов с ранее известными теоретическими и экспериментальными работами.

Апробация работы. Основные результаты, приведённые в работе, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, семинарах и школах-семинарах: Международная конференция «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», 2007 - г. Махачкала; Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании», 2008 - г. Уфа; Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных «Фундаментальная математика и её применение в естествознании», 2009, 2010, 2011 - г. Уфа; Международная междисциплинарная научная конференция с элементами научной школы для молодёжи Седьмые Курдюмовские чтения «Синергетика в естественных науках», 2011 - г. Тверь; Всероссийская молодёжная конференция «Актуальные проблемы нано- и микроэлектроники», 2012 - г. Уфа; Двадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», 2013 - г. Пущино; Международная междисциплинарная научная конференция Девятые

Курдюмовские чтения «Синергетика в общественных и естественных науках», 2013 - г. Тверь; International Workshop "Discrete Breathers in Crystals", 2015 - Ufa.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 4 -в материалах и трудах конференций, получены 2 свидетельства об официальной регистрации программного продукта.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка работ автора, списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 110 страниц основного машинописного текста, в том числе 72 рисунка и список литературы из 110 наименований.

Основное содержание работы

Первая глава посвящена обзору работ по теме диссертации. Рассматриваются основные представления о дискретных бризерах и мобильных бризерах. Кратко представлен обзор известных моделей нелинейной динамики молекулы ДНК. Приведено описание исследуемой модели ДНК Пейрара-Бишопа.

Во второй главе рассмотрены методы исследования дискретных бризеров и мобильных бризеров в модели Пейрара-Бишопа молекулы ДНК и дано описание комплекса программ, разработанного для численного нахождения решений уравнений движения модели в виде дискретных бризеров и мобильных бризеров.

Третья глава посвящена исследованию дискретных бризеров и мультибризеров на примере модели молекулы ДНК Пейрара-Бишопа. Рассмотрены как стационарные дискретные бризеры так и мультибризеры. Изучены их свойства и устойчивость по отношению к малым возмущениям.

В четвёртой главе проведено исследование мобильных бризеров на примере модели молекулы ДНК Пейрара-Бишопа. Рассмотрены приближенные мобильные бризеры и (p/q) - резонансные мобильные дискретные бризеры.

ГЛАВА 1

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ

В МОЛЕКУЛЕ ДНК

1.1 Структура и функции молекулы ДНК

Молекула дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) представляет собой две линейные полимерные цепочки, связанные в двойную спираль. Каждая полимерная цепочка состоит из простых мономеров, называемых нуклеотидами. Нуклеотид состоит из сахаров, фосфатной группы и азотистого основания. Сахара и фосфаты регулярно повторяются вдоль молекулы ДНК, формируя регулярную часть молекулы ДНК - сахарофосфатный остов (см. рисунок 1.1).

Молекула фосфата

Молекула сахара-дезоксирибозы

Слабые связи между основаниями

"Спинной хребет» ДНК -

-цепь из сохаров-

и фосфатов

Рисунок 1.1 - Структура молекулы ДНК

Нерегулярная часть образована азотистыми основаниями, которые в ДНК бывают 4 типов и делятся на две категории - пурины: аденин (А) и гуанин (О) и пиримидины: тимин (Т) и цитозин (С) (см. рисунок 1.2). Последовательность оснований образует первичную структуру молекулы ДНК.

Рисунок 1.2 - Азотистые основания ДНК

Две нити ДНК связаны в двойную спираль вокруг общей оси и антипараллельны друг другу (одиночные нити ДНК имеют направления, называемые 5'-концом и 3'-концом). Пары оснований одной цепи удерживаются друг над другом стекинг-взаимодействием и образуют стопку оснований. Азотистые основания скрыты внутри двойной спирали ДНК и связаны слабыми водородными связями в пары оснований по принципу комплементарности: аденин с тимином (АТ), а гуанин с цитозином (ОС). Пара АТ содержит две водородные связи, а ОС - три. Последовательность нуклеотидов уникальна для каждого организма и является определяющим фактором для функционирования молекулы ДНК. Объединение двух полинуклеотидных цепочек с помощью стекинг-взаимодействия и водородных связей называется вторичной структурой

ДНК (см. рисунок 1.3). Криком [4].

Впервые она была расшифрована в 1953 г. Уотсоном и

Рисунок 1.3 - Вторичная структура молекулы ДНК

В зависимости от температуры и параметров окружающей среды молекула ДНК может принимать различные пространственные конформационные формы, которые делятся на три основных семейства А-, В- и 2-семейство, отличающиеся своими параметрами: числом пар оснований на виток спирали, наклоном пары к оси ДНК, расстоянием между нуклеотидами в комплементарных цепочках, направлением закручивания спиралей и другими [5] (см. рисунок 1.4). Нативной (природной) формой ДНК является В-форма, характеризующаяся следующими параметрами: 10 пар нуклеотидов на виток спирали, наклон пары к оси спирали 90 градусов, диаметр спирали 20 А, расстояние между соседними нуклеотидами 3,4 А.

Рисунок 1.4 - А-, I- и 5-формы ДНК

В природных условиях двойная спираль ДНК, как правило, находится под действием внешнего напряжения и принимает форму третичных структур. Наиболее известной формой такой структуры является суперспираль, которая получается соединением 3' и 5 '-концов молекулы ДНК под внешним напряжением (см. рисунок 1.5).

Ковалентные связи сахарофосфатного остова ДНК очень прочные, поэтому одиночную цепь ДНК трудно разорвать. В отличие от этого водородные связи, соединяющие две нити ДНК, слабые и поэтому цепочки ДНК легко разделяются под действием высокой температуры и ферментов. Разрыв водородных связей в ДНК под действием температуры называется денатурацией или плавлением ДНК. Температура плавления ДНК лежит в интервале 70-112 С в зависимости от распределения ОС и АТ пар в молекуле. Молекулы ДНК с высоким содержанием ОС пар имеют более высокую температуру плавления. При низких температурах в молекуле ДНК образуются локальные денатурированные участки, которые с увеличением температуры сливаются и две цепочки ДНК полностью разделяются

Рисунок 1.5 - Суперспираль молекулы ДНК

(см. рисунок 1.6). Данные участки называются пузырьками денатурации (denaturation bubble) или просто пузырьками («bubbles»).

Temperature

Рисунок 1.6 - Процесс денатурации ДНК [6]

Основания ДНК, которые были внутри двойной спирали ДНК, при этом оказываются снаружи, доступными для взаимодействия с белками, поэтому данное состояние называется ещё открытым состоянием ДНК. Открытое состояние играет важную роль в самых разных процессах функционирования ДНК [7] и в частности в процессе экспрессии гена.

Экспрессия гена

Клетки всех живых существ на земле построены из протеинов -полимерных белковых молекул, составленных из аминокислот 20 типов, различающихся по строению и функциям. Последовательность нуклеотидов двойной спирали ДНК делится на функциональные области, называемые генами, каждый из которых содержит всю информацию для производства определённого протеина. Три последовательных основания гена называются триплетом или кодоном, а саму последовательность оснований ДНК часто называют кодирующей последовательностью или генетическим кодом. Триплеты определяют тип синтезируемой аминокислоты. Процесс производства белка из кодирующей последовательности ДНК называется экспрессией гена.

Экспрессия гена делится на два этапа: этап считывания генетической информации с ДНК на матричную РНК - транскрипцию и этап производства белков по считанной кодовой последовательности - трансляцию (цепь РНК отличается от одноцепочечной ДНК заменой основания тимин на урацил).

Транскрипция делится на несколько этапов. Первый этап это инициация транскрипции, начало синтеза комплементарной нити РНК. Фермент РНК-полимераза распознает начальный участок гена ДНК под названием промотор, связывается с ним с помощью вспомогательных белков, называемых транскрипционным фактором, и формирует комплекс инициации. Следующий этап - это формирование открытого комплекса. При этом небольшой фрагмент ДНК расплетается и начинается синтез комплементарной РНК. На этом этапе формируется транскрипционный пузырёк (transcription bubble) область открытого состояния ДНК размером порядка 15-20 оснований. На этапе элонгации транскрипции транскрипционный пузырёк и РНК-полимераза продвигаются вдоль гена ДНК, считывая кодирующую последовательность и синтезируя комплементарную РНК (см. рисунок 1.7). Завершается процесс синтеза РНК, когда РНК-полимераза узнает специфическую последовательность нуклеотидов ДНК, называемую терминатором, служащую сигналом к завершению транскрипции - терминации транскрипции.

У- конец молекулы РНК

\

Рисунок 1.7 - Элонгация транскрипции

Процесс транскрипции может происходить одновременно в нескольких участках цепи ДНК (см. рисунок 1.8). Множество экспериментальных данных показывают, что связывание фермента с молекулой ДНК на одном участке оказывает влияние на связывание фермента с ДНК на другом участке. Одно из объяснений этого эффекта основано на прохождении конформационного возмущения от одного участка к другому [2].

Из представленного краткого обзора следует, что функционирование молекулы ДНК сопровождается образованием открытого состояния. Для теоретического описания последнего предложено множество математических моделей, некоторые из которых рассмотрены в следующих разделах.

'.................Матричная цепь ДНК

.................Комплементарная цепь ДНК

- Цепь РНК

С РНК-полимераза

Рисунок 1.8 - Процесс транскрипции ДНК

1.2 Математические модели нелинейной динамики молекулы ДНК

Существует множество разных моделей, описывающих нелинейную динамику ДНК. В зависимости от задач, стоявших перед разработчиками этих моделей, они отличаются той или иной степенью подробности. Одна из классификаций таких моделей приведена в монографии Якушевич [2]. Согласно этим моделям, образование открытого состояния может быть описано либо вращениями азотистых оснований вокруг сахарофосфатного остова, либо поперечными сдвигами оснований в направлении, перпендикулярном оси

молекулы ДНК. Существуют также модели, учитывающие как вращательные, так и сдвиговые движения оснований. Ниже представлен краткий обзор этих моделей.

1.2.1 Модели, описывающие вращательные движения оснований

История создания математических моделей динамики ДНК начинается с работы Инглендера с соавторами в 1980 г. [8]. Они провели ряд экспериментов по водородно-тритиевому обмену и получили неожиданно большое время жизни раскрытых пар оснований по сравнению с теорией «спираль-клубок». Авторы интерпретировали этот результат существованием в ДНК открытых состояний размером порядка 10 пар оснований, которые могут передвигаться вдоль цепи ДНК. Инглендер предложил математическую модель ДНК, основанную на простой механической аналогии между двойной цепью ДНК и цепочкой связанных маятников (механическая модель Скотта [9]). Роль маятников в этой модели играют основания ДНК, присоединённые к сахарофосфатному остову. Каждый маятник может вращаться только в плоскости перпендикулярной остову ДНК, а сам остов (цепочка ДНК) моделируется горизонтальной цепочкой. Поле, наводимое второй цепочкой ДНК, играет роль гравитационного поля, действующего на маятники. Динамика п-го маятника в такой системе описывается уравнением:

1—Г2П = к(Фп+1 - 2Фп + Ф„-1) - mghsiщ, Ж

где I - момент инерции п-го маятника, фп - угол поворота п-го маятника, К -коэффициент крутильной жёсткости горизонтальной цепочки (остова), т, И -масса и длина маятников, g - гравитационная постоянная. Если перейти в этом уравнении к безразмерному виду и использовать континуальное приближение

2п ^2, Фп(О^ф(2,Т), где 2 = т/Ка2г,Т = ^/I)1'

? - безразмерные

параметры, то получится известное уравнение синус-Гордона:

Ж ф Ж ф

-тг =-Б1Пф.

ЖТ

Оно имеет решение в виде нелинейной волны - кинка (рисунок 1.9 а):

Ф = 4аг^

ехр

л/Т^2

ЧЛ/ Т - V У

которое можно интерпретировать как открытое состояние, движущееся вдоль цепочки ДНК (см. рисунок 1.9 б). Недостатком модели Инглендера являлся учёт движения только одной цепи ДНК, хотя при открытии оснований, по-видимому, задействованы обе полинуклеотидные цепочки ДНК.

Рисунок 1.9 - Решение уравнения синус-Гордона в виде кинка а) б) открытое состояние, соответствующее этому решению

Модель динамики ДНК Инглендера дала начало дальнейшему развитию математических моделей ДНК, в которых открытое состояние моделировалось поворотом оснований вдоль оси остова молекулы. Йомоса предложил более реалистичную модель ДНК [10] - модель плоских оснований-ротаторов. Гамильтониан этой модели имеет вид:

Н = Х{Т1(ф2д + ФП,2) + А - С0^фп ,1)) + 41 - Мф„2 )) +

п 2

+ 5(1 - С08(ф„т )с08(ф„,2 ))+ ^ - С08(ф„Т - ф„_1Д )]+ ^ - С08(ф„,2 - ф„_12 )}

где фп1, ф„ 2 - углы поворотов первого и второго основания соответственно,

первый член описывает кинетическую энергию вращательного движения оснований п-го нуклеотида вокруг оси спирали, I - момент инерции оснований, второй, третий и четвёртый описывают водородные связи между основаниями, а

пятый и шестой - стекинг-взаимодействие и энергию кручения в первой и второй цепочке соответственно. В континуальном приближении автором были получены четыре типа решения уравнений движения модели в виде п-кинков и п-антикинков, описывающих поворот оснований на угол п, и 2п-кинков и 2п-антикинков, описывающих поворот оснований на 2п.

Такено и Хомма [11, 12] на основе модели Йомосы рассмотрели дискретную версию модели плоских ротаторов ДНК, которая является обобщением широко известной модели Френкеля-Конторовой [13, 14]. Они показали, что кроме топологических солитонов, описывающих повороты оснований, которые получены в континуальном приближении, в ДНК возможны довольно большие флуктуации углов закручивания между соседними парами оснований, поэтому при изучении динамики ДНК необходимо учитывать эффекты дискретности.

Чжан [15] усовершенствовал модель плоских ротаторов Йомосы, включив в гамильтониан члены, учитывающие диполь-дипольное взаимодействие между основаниями. Он получил решения уравнений движения модели в виде 2п-кинков и сравнимое по порядку величины с экспериментом значение разницы энтальпии между открытым и закрытым состояниями ДНК.

Одной из наиболее совершенных моделей ДНК, рассматривающих открытое состояние как результат вращения пар оснований, является модель ДНК, предложенная Л.В. Якушевич в 1989 году [16]. Она рассматривает ДНК как две цепочки дисков, связанные между собой продольными и поперечными пружинками, где роль дисков играют основания ДНК, а пружинок -взаимодействия между основаниями. Гамильтониан такой системы имеет вид:

Н = Е(1 ^Д + 12 Ф 2,2 ]+ 1 [к1 (фп+1,1 -Фп,1)2 + К 2 (фп+1,2 -Фп,2 )2 ]+ 1 К^п )2 } ,

п 2 2 2

где первый член - кинетическая энергия вращательных колебаний дисков, 11, 12 -моменты инерции дисков первой и второй цепочки соответственно, второй член -потенциальная энергия продольных пружинок жёсткости К1 и К2 для первой и второй цепочки соответственно, третий член - потенциальная энергия поперечных пружинок жёсткости к, Д/п - растяжение п-й поперечной пружинки

из-за вращения дисков, фт 2 - угловые смещения дисков. В континуальном приближении Якушевич получила следующие уравнения динамики модели:

1тф1 - к1а 2 ф^ + кЯ 2 [2 Бт(ф1)- Б1п(ф1 +ф2 )] = 0, 12ф2 - К2а2ф2гг + кЯ2 [2Бт(ф2 )- Б1п(ф1 +ф2 )]= 0, где Я - радиус дисков, а - расстояние между соседними дисками одной цепи (а ~ 3,4 А). Общее решение полученных уравнений движения до сих пор не найдено. В работе были найдены решения уравнений движения в нескольких частных случаях а) ф1 = - ф2 - решение в виде кинк-антикинка уравнения синус-Гордона, б) ф1 = ф2 - решение в виде кинк-антикинка уравнения двойного синус-Гордона. Оба решения описывают открытое состояние, двигающееся вдоль молекулы ДНК.

На основе моделей Йомосы и Якушевич в дальнейшем появилось огромное число моделей, главной особенностью которых было использование вращательных движений оснований для описания открытых состояний ДНК. По первым буквам фамилии их создателей они были названы Y-моделями.

В работе Гаеты [17, 18] была учтена спиральность структуры ДНК. Для этого в гамильтониан Якушевич был добавлен дополнительный член, который учитывает гармоническое взаимодействие между п-м нуклеотидом первой цепочки и (п+И)-м нуклеотидом второй (И = 4). Это привело к появлению в уравнениях движения дополнительного линейного по ф слагаемого и перенормировке коэффициентов. Влияние окружающей среды на ДНК в виде эффектов диссипации и внешних полей было рассмотрено в работе [19]. Были получены уравнения движения с дополнительными слагаемыми, отвечающими за диссипацию и внешнее воздействие. В рамках теории возмущений были получены решения этих уравнений в виде кинков и исследована зависимость параметров кинков от действия диссипации и внешних полей. В работе Якушевич, Савина и Маневича [20] было представлено обобщение модели Якушевич, учитывающее разницу масс оснований внутри пар и различие расстояний между центрами масс оснований. Авторы численными методами

получили решения уравнений динамики модели в виде кинков, исследовали их динамику и взаимодействие в однородной, неоднородной и термализованной цепочке ДНК. Результаты компьютерного моделирования показали высокую устойчивость полученных решений, что может свидетельствовать о возможности использования топологических солитонов для объяснения функционирования ДНК.

Влияние последовательности оснований на динамику кинков в Y-моделях изучалось в работах [21-24]. Для этого, в разных работах, в дискретных уравнениях движения константы, характеризующие стекинг-взаимодействия, водородные связи между основаниями и параметры оснований, такие как масса, момент инерции и.т.д. предполагались зависящими от типа основания. Предполагалось, что динамика кинка будет зависеть от биологически активных областей ДНК, таких как промотор, терминатор и позволит объяснить процессы транскрипции [25-27]. Как оказалось, движение кинка сильно зависит от конкретной последовательности, однако существование непосредственной связи между динамикой кинков и биологическим функционированием ДНК до сих пор остаётся под вопросом [28, 29].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фахретдинов Марат Ирекович, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Flach, S. Discrete breathers - Advances in theory and applications / S. Flach,

A. V. Gorbach // Physics Reports. - 2008. - Vol. 467. - № 1-3. - P. 1-116.

2. Якушевич, Л. В. Нелинейная физика ДНК / Л. В. Якушевич; М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2007. - 252 с.

3. Peyrard, M. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation / M. Peyrard, A. R. Bishop // Physical Review Letters. - 1989. - Vol. 62. - № 23. -P. 2755-2758.

4. Watson, J. D. Molecular Structure of Nucleic Acids: A Structure for Deoxyribose Nucleic Acid / J. D. Watson, F. H. C. Crick // Nature. - 1953. - Vol. 171. - № 4356. -P. 737-738.

5. Зенгер, В. М. Принципы структурной организации нуклеиновых кислот /

B. М. Зенгер. М: Мир, 1987. - 584 с.

6. Peyrard, M. Nonlinear dynamics and statistical physics of DNA / M. Peyrard // Nonlinearity. - 2004. - Vol. 17. - № 2. - P. 1-40.

7. Шигаев, А. С. Теоретические и экспериментальные исследования открытых состояний ДНК / А. С. Шигаев, О. А. Пономарёв, В. Д. Лахно // Матем. биология и биоинформ. - 2013. - Т. 8.- № 2. - С. 553-664.

8. Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitations / S. W. Englander [et al.] // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. - 1980. - Vol. 77. - № 12. - P. 7222-7226.

9. Scott, A. C. A Nonlinear Klein-Gordon Equation / A. C. Scott // American Journal of Physics. - 1969. - Vol. 37. - P. 52-61.

10. Yomosa, S. Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices / S. Yomosa // Physical Review A. - 1983. - Vol. 27. - № 4. - P. 2120-2125.

11. Takeno, S. Topological Solitons and Modulated Structure of Bases in DNA Double Helices A Dynamic Plane Base-Rotator Model / S. Takeno, S. Homma // Progress of Theoretical Physics. - 1983. - Vol. 70. - № 1. - P. 308-311.

12. Homma, S. A Coupled Base-Rotator Model for Structure and Dynamics of DNA Local Fluctuations in Helical Twist Angles and Topological Solitons / S. Homma, S. Takeno // Progress of Theoretical Physics. - 1984. - Vol. 72. - № 4. - P. 679-693.

13. Конторова, Т. А. К теории пластической деформации и двойникования / Т. А. Конторова, Я. И Френкель // ЖЭТФ. 1938. - Т. 8. - № 1. - С. 89-95

14. Браун, О. М. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения / О. М. Браун, Ю. С. Кившарь. - М. : Физматлит, 2008. - 519 с.

15. Zhang, C. T. Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices / C. T. Zhang // Physical Review A. - 1987. - Vol. 35. - № 2. - P. 886-891.

16. Yakushevich, L. V. Nonlinear DNA dynamics: A new model / L. V. Yakushevich // Physics Letters A. - 1989. - Vol. 136. - № 7-8. - P. 413-417.

17. Gaeta, G. On a model of DNA torsion dynamics / G. Gaeta // Physics Letters A. -1990. - Vol. 143. - № 4-5. - P. 227-232.

18. Gaeta, G. Solitons in planar and helicoidal Yakushevich model of DNA dynamics / G. Gaeta // Physics Letters A. - 1992. - Vol. 168. - № 5-6. - P. 383-390.

19. Yakushevich, L. V. The effects of damping, external field and inhomogeneity on the nonlinear dynamics of biopolymers / L. V. Yakushevich // Stud. Biophys. - 1987. -Vol. 121. - P. 201-207.

20. Yakushevich, L. V. Nonlinear dynamics of topological solitons in DNA / L. V. Yakushevich, A. V. Savin, L. I. Manevitch // Physical Review E. - 2002. -Vol. 66. - № 1. - P. 016614.

21. Salerno, M. Discrete model for DNA-promoter dynamics / M. Salerno // Physical Review A. - 1991. - Vol. 44. - № 8. - P. 5292-5297.

22. Salerno, M. Dynamical properties of DNA promoters / M. Salerno // Physics Letters A. - 1992. - Vol. 167. - № 1. - P. 49-53.

23. Salerno, M. DNA promoters and nonlinear dynamics / M. Salerno, Y. S. Kivshar // Physics Letters A. - 1994. - Vol. 193. - № 3. - P. 263-266.

24. Domínguez-Adame, F. Soliton pinning by long-range order in aperiodic systems / F. Domínguez-Adame, A. Sánchez, Y. S. Kivshar // Physical Review E. - 1995. -Vol. 52. - № 3. - P. 2183-2186.

25. Lennholm, E. Revisiting Salerno's sine-Gordon model of DNA: active regions and robustness / E. Lennholm, M. Hornquist // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2003. -Vol. 177. - № 1-4. - P. 233-241.

26. Cuenda, S. Nonlinear excitations in DNA: Aperiodic models versus actual genome sequences / S. Cuenda, A. Sánchez // Physical Review E. - 2004. - Vol. 70. - № 5. -P. 051903.

27. Cuenda, S. Disorder and fluctuations in nonlinear excitations in dna / S. Cuenda, A. Sánchez // Fluctuation and Noise Letters. - 2004. - Vol. 04. - № 03. - P. 491-504.

28. Cuenda, S. Does the dynamics of sine-Gordon solitons predict active regions of DNA? / S. Cuenda, A. Sánchez, N. R. Quintero // Physica D: Nonlinear Phenomena. -2006. - Vol. 223. - № 2. - P. 214-221.

29. Bashford, J. D. Salerno's Model of DNA Re-Analysed: Could Breather Solitons have Biological Significance? / J. D. Bashford // Journal of Biological Physics. - 2006.

- Vol. 32. - № 1. - P. 27-47.

30. Resonant and localized breathing modes in terminal regions of the DNA double helix. / B. F. Putnam [et al.] // Biophysical Journal. - 1981. - Vol. 35. - № 2. - P. 271287.

31. Prohofsky, E. W. Solitons hiding in DNA and their possible significance in RNA transcription / E. W. Prohofsky // Physical Review A. - 1988. - Vol. 38. - № 3. -P. 1538-1541.

32. Remoissenet, M. Low-amplitude breather and envelope solitons in quasi-one-dimensional physical models / M. Remoissenet // Physical Review B. - 1986. - Vol. 33.

- № 4. - P. 2386-2392.

33. Dauxois, T. Dynamics of breather modes in a nonlinear "helicoidal" model of DNA / T. Dauxois // Physics Letters A. - 1991. - Vol. 159. - № 8. - P. 390-395.

34. Dauxois, T. Dynamics and thermodynamics of a nonlinear model for DNA denaturation / T. Dauxois, M. Peyrard, A. R. Bishop // Physical Review E. - 1993. -Vol. 47. - № 1. - P. 684-695.

35. Biomolecular dynamics of DNA: statistical mechanics and dynamical models / M. Peyrard [et al.] // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1993. - Vol. 68. - № 1. -P. 104-115.

36. Dauxois, T. Entropy-driven DNA denaturation / T. Dauxois, M. Peyrard, A. R. Bishop // Physical Review E. - 1993. - Vol. 47. - № 1. - P. 44-47.

37. Weber, G. Sharp DNA denaturation due to solvent interaction / G. Weber // Europhysics Letters (EPL). - 2006. - Vol. 73. - № 5. - P. 806-811.

38. Peyrard, M. Experimental and theoretical studies of sequence effects on the fluctuation and melting of short DNA molecules / M. Peyrard, S. Cuesta-Lopez,

D. Angelov // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2009. - Vol. 21. - № 3. -P. 034103.

39. Tapia-Rojo, R. Thermal and mechanical properties of a DNA model with solvation barrier / R. Tapia-Rojo, J. J. Mazo, F. Falo // Physical Review E. - 2010. - Vol. 82. -№ 3. - P. 031916.

40. Zoli, M. Thermodynamics of twisted DNA with solvent interaction / M. Zoli // The Journal of Chemical Physics. - 2011. - Vol. 135. - № 11. - P. 115101.

41. Zoli, M. Twist versus nonlinear stacking in short DNA molecules / M. Zoli // Journal of Theoretical Biology. - 2014. - Vol. 354. - P. 95-104.

42. Techera, M. Nonlinear model of the DNA molecule / M. Techera, L. L. Daemen,

E. W. Prohofsky // Physical Review A. - 1989. - Vol. 40. - № 11. - P. 6636-6642.

43. Techera, M. Analysis of a nonlinear model for the DNA double helix: Energy transfer in an inhomogeneous chain / M. Techera, L. L. Daemen, E. W. Prohofsky // Physical Review A. - 1990. - Vol. 42. - № 2. - P. 1008-1011.

44. Hisakado, M. Inhomogenious Model for DNA Dynamics / M. Hisakado, M. Wadati // Journal of the Physical Society of Japan. - 1995. - Vol. 64. - № 4. - P. 1098-1103.

45. Hisakado, M. Dynamics of Breather Modes in a Nonlinear Model of DNA with Discontinuity / M. Hisakado, M. Wadati // Journal of the Physical Society of Japan. -1995. - Vol. 64. - № 6. - P. 1910-1916.

46. Hisakado, M. Breather trapping mechanism in piecewise homogeneous DNA / M. Hisakado // Physics Letters A. - 1997. - Vol. 227. - № 1-2. - P. 87-93.

47. Ting, J. J.-L. Effective breather trapping mechanism for DNA transcription / J. J.-L. Ting, M. Peyrard // Physical Review E. - 1996. - Vol. 53. - № 1. - P. 1011-1020.

48. Ting, J. J.-L. DNA Transcription Mechanism with a Moving Enzyme / J. J.-L. Ting // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 1997. - Vol. 07. - № 05. - P. 11251132.

49. Zhravkovic, S. The Impact of Viscosity on the DNA Dynamics / S. Zhravkovic, M. V. Sataric // Physica Scripta. - 2001. - Vol. 64. - № 6. - P. 612-619.

50. Zdravkovic, S. Nonlinear Dynamics of DNA Chain - Peyard-Bishop-Dauxois Model / S. Zdravkovic, J. A. Tuszynski, M. V. Sataric // Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. - 2005. - Vol. 2. - № 2. - P. 263-271.

51. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. - Гос. изд-во Физико-Математической лит-ры, 1958. - 418 с.

52. Dynamics of DNA bubble in viscous medium / A. Sulaiman [et al.] // AIP Conference Proceedings INTERNATIONAL CONFERENCE ON PHYSICS AND ITS APPLICATIONS: (ICPAP 2011). - AIP Publishing, 2012. - Vol. 1454. - P. 298-301.

53. Barbi, M. Helicoidal model for DNA opening / M. Barbi, S. Cocco, M. Peyrard // Physics Letters A. - 1999. - Vol. 253. - № 5-6. - P. 358-369.

54. A Twist Opening Model for DNA / M. Barbi [et al.] // Journal of Biological Physics. - 1999. - Vol. 24. - № 2-4. - P. 97-114.

55. Cocco, S. Vector nonlinear Klein-Gordon lattices: General derivation of small amplitude envelope soliton solutions / S. Cocco, M. Barbi, M. Peyrard // Physics Letters A. - 1999. - Vol. 253. - № 3-4. - P. 161-167.

56. Campa, A. Bubble propagation in a helicoidal molecular chain / A. Campa // Physical Review E. - 2001. - Vol. 63. - № 2. - P. 021901.

57. Sievers, A. J. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals / A. J. Sievers, S. Takeno // Physical Review Letters. - 1988. - Vol. 61. - № 8. - P. 970-973.

58. Page, J. B. Asymptotic solutions for localized vibrational modes in strongly anharmonic periodic systems / J. B. Page // Physical Review B. - 1990. - Vol. 41. -№ 11. - P. 7835-7838.

59. Campbell D. K.,Chaos/XAOC. Soviet-American perspectives on nonlinear science. / D. K. Campbell // Chaos/XAOC. Soviet-American perspectives on nonlinear science., by Campbell, D. K.. American Institute of Physics, New York, NY (USA), 1990, 512 p., ISBN 0-88318-778-7,. - 1990. - Vol. -1.

60. Flach, S. Localized excitations in a discrete Klein-Gordon system / S. Flach,

C. R. Willis // Physics Letters A. - 1993. - Vol. 181. - № 3. - P. 232-238.

61. Flach, S. Integrability and localized excitations in nonlinear discrete systems / S. Flach, C. R. Willis, E. Olbrich // Physical Review E. - 1994. - Vol. 49. - № 1. -P. 836-850.

62. Flach, S. Conditions on the existence of localized excitations in nonlinear discrete systems / S. Flach // Physical Review E. - 1994. - Vol. 50. - № 4. - P. 3134-3142.

63. Breatherlike impurity modes in discrete nonlinear lattices / D. Hennig [et al.] // Physical Review E. - 1995. - Vol. 52. - № 5. - P. 4628-4631.

64. Cai, D. Spatially localized, temporally quasiperiodic, discrete nonlinear excitations /

D. Cai, A. R. Bishop, N. Granbech-Jensen // Physical Review E. - 1995. - Vol. 52. -№ 6. - P. 5784-5787.

65. MacKay, R. S. Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators / R. S. MacKay, S. Aubry // Nonlinearity. -1994. - Vol. 7. - № 6. - P. 1623-1643.

66. Marín J. L. Breathers in nonlinear lattices: numerical calculation from the anticontinuous limit / J. L. Marín, S. Aubry // Nonlinearity. - 1996. - Vol. 9. - № 6. -P. 1501-1528.

67. Sato, M. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet / M. Sato, A. J. Sievers // Nature. - 2004. - Vol. 432. - № 7016. -P. 486-488.

68. Trías, E. Discrete Breathers in Nonlinear Lattices: Experimental Detection in a Josephson Array / E. Trías, J. J. Mazo, T. P. Orlando // Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 84. - № 4. - P. 741-744.

69. Observation of Breathers in Josephson Ladders / P. Binder [et al.] // Physical Review Letters. - 2000. - Vol. 84. - № 4. - P. 745-748.

70. Discrete Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays / H. S. Eisenberg [et al.] // Physical Review Letters. - 1998. - Vol. 81. - № 16. - P. 3383-3386.

71. Observation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic lattices / J. W. Fleischer [et al.] // Nature. - 2003. - Vol. 422. - № 6928. -P. 147-150.

72. Bright Bose-Einstein Gap Solitons of Atoms with Repulsive Interaction / B. Eiermann [et al.] // Physical Review Letters. - 2004. - Vol. 92. - № 23. - P. 230401.

73. Хадеева, Л. З. Дискретные бризеры в деформированном графене / Л. З. Хадеева, С. В. Дмитриев, Ю. С. Кившарь // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Т. 94. - № 7. - С. 580-584.

74. Discrete breathers in hydrogenated graphene / B. Liu [et al.] // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2013. - Vol. 46. - № 30. - P. 305302.

75. Properties of discrete breathers in graphane from ab initio simulations / G. M. Chechin [et al.] // Physical Review B. - 2014. - Vol. 90. - № 4. - P. 045432.

76. Burlakov, V. M. Computer simulation of intrinsic localized modes in one-dimensional and two-dimensional anharmonic lattices / V. M. Burlakov, S. A. Kiselev, V. N. Pyrkov // Physical Review B. - 1990. - Vol. 42. - № 8. - P. 4921-4927.

77. Hori, K. Moving Self-Localized Modes for the Displacement Field in a One-Dimensional Lattice System with Quartic Anharmonicity / K. Hori, S. Takeno // Journal of the Physical Society of Japan. - 1992. - Vol. 61. - № 7. - P. 2186-2189.

78. Sandusky, K. W. Stability and motion of intrinsic localized modes in nonlinear periodic lattices / K. W. Sandusky, J. B. Page, K. E. Schmidt // Physical Review B. -1992. - Vol. 46. - № 10. - P. 6161-6168.

79. Aubry, S. Mobility and reactivity of discrete breathers: Localization in Nonlinear Lattices / S. Aubry, T. Cretegny // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1998. -Vol. 119. - № 1-2. - P. 34-46.

80. Flach, S. Moving discrete breathers? / S. Flach, K. Kladko // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1999. - Vol. 127. - № 1-2. - P. 61-72.

81. Ablowitz, M. J. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis / M. J. Ablowitz, J. F. Ladik // Journal of Mathematical Physics. - 1976. - Vol. 17. -№ 6. - P. 1011-1018.

82. Gomez-Gardenes, J. Mobile localization in nonlinear Schrodinger lattices / J. Gomez-Gardenes, F. Falo, L. M. Floria // Physics Letters A. - 2004. - Vol. 332. -№ 3-4. - P. 213-219.

83. Yoshimura, K. Moving discrete breathers in nonlinear lattice: Resonance and stability: Special Issue on Localization of Wave Motion / K. Yoshimura, Y. Doi // Wave Motion. - 2007. - Vol. 45. - № 1-2. - P. 83-99.

84. Forinash, K. Local modes and localization in a multicomponent nonlinear lattice / K. Forinash, T. Cretegny, M. Peyrard // Physical Review E. - 1997. - Vol. 55. - № 4. -P. 4740-4756.

85. Models for Energy and Charge Transport and Storage in Biomolecules / S. F. Mingaleev [et al.] // Journal of Biological Physics. - 1999. - Vol. 25. - № 1. -P. 41-63.

86. Numerical study of breathers in a bent chain of oscillators with long-range interaction / J. F. R. Archilla [et al.] // Journal of Physics A: Mathematical and General.

- 2001. - Vol. 34. - № 33. - P. 6363-6373.

87. Archilla, J. F. R. Interplay of nonlinearity and geometry in a DNA-related, KleinGordon model with long-range dipole-dipole interaction / J. F. R. Archilla, P. L. Christiansen, Y. B. Gaididei // Physical Review E. - 2001. - Vol. 65. - № 1. -P. 016609.

88. Moving breathers in a DNA model with competing short- and long-range dispersive interactions / J. Cuevas [et al.] // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2002. - Vol. 163.

- № 1-2. - P. 106-126.

89. Moving breathers in a bent DNA model / J. Cuevas [et al.] // Physics Letters A. -2002. - Vol. 299. - № 2-3. - P. 221-225.

90. Moving breathers in bent dna with realistic parameters / J. Cuevas [et al.] // Modern Physics Letters B. - 2004. - Vol. 18. - № 25. - P. 1319-1326.

91. Breather trapping and breather transmission in a DNA model with an interface / A. Alvarez [et al.] // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. - 2006. - Vol. 51. - № 1. - P. 119-130.

92. Slade, G. G. Stability of breathers in simple mechanical models for DNA / G. G. Slade, E. D. Filho, J. R. Ruggiero // Journal of Physics: Conference Series. -2010. - Vol. 246. - P. 012039.

93. Peyrard, M. Nonlinear Analysis of the Dynamics of DNA Breathing / M. Peyrard, S. Cuesta-Lopez, G. James // Journal of Biological Physics. - 2009. - Vol. 35. - № 1. -P. 73-89.

94. James, G. Continuation of discrete breathers from infinity in a nonlinear model for DNA breathing / G. James, A. Levitt, C. Ferreira // Applicable Analysis. - 2010. -Vol. 89. - № 9. - P. 1447-1465.

95. Feigenbaum cascade of discrete breathers in a model of DNA / P. Maniadis [et al.] // Physical Review E. - 2011. - Vol. 83. - № 1. - P. 011904.

96. Лахно, В. Д. Возбуждение бабблов и бризеров в ДНК и их взаимодействие с носителями заряда / В. Д. Лахно, А. П. Четвериков // Математическая биология и биоинформатика. - 2014. - Т. 9. - №. 1. - С. 4-19.

97. Agarwal, J. Breather solutions of a nonlinear DNA model including a longitudinal degree of freedom / J. Agarwal, D. Hennig // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 2003. - Vol. 323. - P. 519-533.

98. Hennig, D. Multi-Site H-Bridge Breathers in a DNA-shaped Double Strand / D. Hennig, J. F. R. Archilla // Physica Scripta. - 2004. - Vol. 69. - № 2. - P. 150-160.

99. Hennig, D. Formation and propagation of oscillating bubbles in DNA initiated by structural distortions / D. Hennig // The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems. - 2013. - Vol. 37. - № 3. - P. 391-397.

100. Hennig, D. Nonlinear charge transport mechanism in periodic and disordered DNA / D. Hennig, J. F. R. Archilla, J. Agarwal // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2003. -Vol. 180. - № 3-4. - P. 256-272.

101. Charge Transport in Poly(dG)-Poly(dC) and Poly(dA)-Poly(dT) DNA Polymers / D. Hennig [et al.] // Journal of Biological Physics. - 2004. - Vol. 30. - № 3. - P. 227238.

102. Ковалева, H. A. Низкочастотные колебания двойной спирали ДНК / Н. А. Ковалева, Л. И. Маневич, А. И. Мусиенко, А. В. Савин // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. 2009. - Т. 51. №7. - С. 1174-1188.

103. Холодниок, М. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. М.: Мир, 1991. - 368 с.

104. Chen, D. Breather Mobility in Discrete ф4 Nonlinear Lattices / D. Chen, S. Aubry, G. P. Tsironis // Physical Review Letters. - 1996. - Vol. 77. - № 23. - P. 4776-4779.

105. Cretegny, T. Spatially inhomogeneous time-periodic propagating waves in anharmonic systems / T. Cretegny, S. Aubry // Physical Review B. - 1997. - Vol. 55. -№ 18. - P. 11929-11932.

106. Aubry, S. Breathers in nonlinear lattices: Existence, linear stability and quantization: Lattice Dynamics / S. Aubry // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1997. - Vol. 103. - № 1-4. - P. 201-250.

107. Cuevas, J. Discrete soliton collisions in a waveguide array with saturable nonlinearity / J. Cuevas, J. C. Eilbeck // Physics Letters A. - 2006. - Vol. 358. - № 1. -P. 15-20.

108. Zdravkovic, S. Stacking Interaction in DNA Molecule / S. Zdravkovic, M. V. Sataric // Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. - 2010. -Vol. 7. - № 10. - P. 2031-2035.

109. Лобзенко, И. П. Численное моделирование движущихся дискретных бризеров в моноатомных цепочках / И. П. Лобзенко, Г. М. Чечин // Вестник Нижегородского государственного университета. - 2013.- №4. - С. 67-69.

110. Голуб, Д. Матричные вычисления / Д. Голуб, Ч. Ван Лоун. М.: Мир, 1999. 548 с.