Математическое моделирование процессов фильтрации в трещиноватых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Томин, Павел Юрьевич

• Томин, Павел Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Томин, Павел Юрьевич

Введение.

Глава 1. Описание моделей и основные уравнения.

1.1. Основные понятия и уравнения теории фильтрации в пористых средах.

1.2. Модели трещиноватых сред.

1.3. Модель скважин.

Глава 2. Некоторые вопросы трещиноватости в межскважинном пространстве.

2.1. Трещиноватость,' выявляемая по результатам электроразведки.

2.2. Трещиноватость, выявляемая по результатам трассерных исследований.

2.3. Выводы.

Глава 3. Построение модели эквивалентной среды — single porosity.

3.1. Осреднение абсолютной проницаемости.

3.2. Особенности многофазного случая.

3.3. О понятии representative elementary volume.

3.4. Исследование функций относительных фазовых проницаемостей для анизотропных сред.8 О

Глава 4. Расчеты с использованием модели single porosity.

4.1. Некоторые вопросы расчетов с использованием неявной аппроксимации по времени.

4.2. Описание трещин, связанных со скважинами.

4.3. Верификация разностной схемы.

4.4. Расчеты моделей реальных месторождений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов фильтрации в трещиноватых средах»

Теория фильтрации жидкостей и газов в пористых средах относится к механике сплошных сред — разделу механики, посвященному движению газообразных, жидких и твёрдых деформируемых тел. В механике сплошных сред рассматривают движения таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно, пренебрегая их молекулярным строением. Данное упрощение даёт возможность применения в механике сплошных сред хорошо разработанного для функций многих переменных аппарата высшей математики. Минимально возможный объем тела, который позволяет исследовать его свойства, называется [2] представительным объёмом или физически малым объёмом.

Рассматриваемые в теории фильтрации среды характеризуются сложным и нерегулярным строением порового пространства, что не позволяет описать движение жидкостей и газов в них обычными методами гидродинамики, то есть путем решения уравнений движения вязкой жидкости для области, представляющей собой совокупность пор. Вместо этого в теории фильтрации применяется [2, 3, 4, 8] общий подход механики сплошных сред, обозначенный выше, и конструируется усредненная модель. При этом свойства среды выражаются через свойства составляющих элементов и являются эффективными характеристиками представительных объемов.

Критерий применимости данного подхода следующий: размеры рассматриваемых объемов достаточно велики по сравнению с размерами пор, так что в любом элементе содержится достаточно большое их число. Кроме того, элементы системы жидкость-пористая среда, предполагаемые бесконечно малыми, все же достаточно велики по сравнению с размерами пор и зерен [2].

Уравнения механики сплошных сред — эго уравнения сохранения массы, импульса и энергии, дополненные уравнениями состояния. При движении жидкостей и газов в пористой среде уравнение сохранения импульса сводится к формуле закона фильтрации. Уравнение энергии существенно лишь в тех случаях, когда нельзя пренебрегать изменением температуры. Рассмотрение тепловых задач выходит за рамки данной работы, основное внимание в которой уделено моделированию изотермических процессов двухфазной фильтрации слабосжимаемых флюидов.

Математическое моделирование процессов фильтрации жидкостей и газов в пористых средах всегда представляло большой интерес [3, 4, 5]. С точки зрения подземной гидродинамики [2, 6, 7, 8, 9] это связано, прежде всего, со сложностью проведения лабораторного эксперимента, повторяющего реальные физические условия.

Значительный интерес вызывает исследование, в том числе математическое моделирование, процессов фильтрации в средах с наличием трещин — узких протяженных каналов высокой проводимости. Развитая трещиноватость как естественного, так и техногенного характера присуща многим типам коллекторов [10]. Несмотря на то обстоятельство, что трещины занимают небольшой относительный объем, за счет высокой проводимости их влияние на добычу углеводородов может быть определяющим [11, 12]. Месторождения с наличием трещиноватости содержат более 20% мировых запасов нефти и газа [13], однако разработка таких месторождений сопряжена с рядом трудностей и часто бывает неэффективной. Например [14], месторождение Circle Ridge в США разрабатывается уже в течение 50 лет, при этом коэффициент извлечения нефти составляет лишь 15%. Аналогичная ситуация наблюдается на Талинской площади Красноленинского месторождения [15] — большая часть месторождения разбурена тысячами скважин, однако добыто менее 10% начальных запасов, при этом в течение последних 20 лет наблюдается высокая завод-ненность резервуара. Дополнительно, в связи с высоким спросом на углеводородное сырье в процесс разработки включаются месторождения с низкими пористостью и проницаемостью, а также, например, карбонатные коллекторы, склонные к образованию трещин. В первом случае образование трещин идет вследствие так называемого гидроразрыва пласта, являющегося одним из основных методов повышения нефтеотдачи [16]. Во втором случае из-за хрупкости породы трещины могут образовываться естественным образом в процессе разработки месторождения [15].

Для исследования влияния трещиноватости на добычу углеводородов, которое обычно [15, 27, 33] заключается в быстром прорыве воды к скважинам и неоднородности фронта вытеснения, в настоящей работе рассмотрены квазиреальные задачи с особенностями структуры среды межскважинного пространства, подробнее изложенные в [34, 35]. Такая трещиноватость может быть выявлена, например, при помощи электроразведки [22, 23] или путем проведения трассерных исследований [24]. Как будет специально показано в главе 2, возможны ситуации, как негативного влияния трещиноватости, снижающего нефтеотдачу, так и позитивного, когда извлечение нефти возрастает. Проведенное моделирование с учетом разделения воды на типы: пластовую и закачанную, показало, что зоны трещиноватости заметно изменяют направления потоков флюида. Все это дополнительно подтверждает необходимость корректного учета трещиноватости и актуальность разработки специальных математических методов ее моделирования.

Отметим наконец, что исследование фильтрационных процессов в средах с нарушениями в виде трещин имеет более широкое значение: задачи многофазной многокомпонентной фильтрации в таких средах возникают, например, при моделировании процессов в ядерных реакторах, а также в исследовании распространения загрязнений при захоронении отходов [17].

Разделяют чисто трещиноватые и трсщиновато-пористые среды [2]. Первые из них представляют собой блоки, между которыми имеются трещины, причем сами блоки непроницаемы и не обмениваются жидкостью с трещинами. В трещиновато-пористой среде блоки представляют собой куски обычной пористой среды, обладающей пористостью и проницаемостью. В обоих случаях объем трещин пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом, занятым твердым скелетом и пустотами, в большинстве случаев он мал и по сравнению с общим объемом пустот, в который входят объемы порового пространства поровых блоков и самих трещин.

Фильтрация в чисто трещиноватых средах происходит качественно так же, как в обычных пористых [2], с некоторыми количественными отклонениями: в частности, усреднение в данном случае ведется не по размерам пор, а по размерам блоков. При этом существенную роль играет недавно введенное в научный обиход понятие — связность трещин — поскольку чисто трещиноватая среда будет проницаема только тогда, когда система трещин является связной. Далее основное внимание уделяется трещиновато-пористым средам.

В последние годы заметно возросло качество информации, получаемой при помощи трехмерных сейсмических исследований, методов скважинного каротажа, кросс-скважинной электроразведки и ряда других [18]. Кроме того, недропользователи, столкнувшиеся с проблемами разработки сложных коллекторов, осознали необходимость их более детального изучения. Новые данные, дополненные результатами многолетних натурных наблюдений обнажений и теоретического анализа свойств трещиноватых сред [18—20], позволяют построить модели месторождений качественно нового уровня.

Обработка результатов сейсмических исследований является [21] основным инструментом получения информации о геометрии крупных разломов и протяженных трещин. Дополнительно, путем анализа кривизны горизонтов, можно [18,21] оценить плотность распределения трещин субсейсмического масштаба, имеющих размеры меньше разрешающей способности сейсмических наблюдений. Поскольку более мелкие трещины, как правило [18,21], расположены преимущественно параллельно или перпендикулярно более крупным трещинам и разломам, информация о геометрии последних позволяет сделать определенные предположения об ориентации первых. Анализ керна, скважинные измерения, например, при помощи пластовых микросканеров (ГМГ), позволяют получить локальные свойства трещиноватости, такие как направление или расстояние между трещинами [18]. Наблюдение обнажений в районе залежи позволяет определить тип трещиноватости, ее симметрию, а также получить количественные характеристики: ориентацию, длины трещин и расстояние между ними [18]. Достаточно большое количество информации при анализе обнажений позволяет получить функции распределения основных параметров трещиноватости [19,20]. Обработка данных электроразведки позволяет оценить как геометрию трещин, так и их проницаемость [22, 23]. Также информацию о направлении, проводимости и связности системы трещин на месторождениях с закачкой воды или газа можно получить при помощи трассерных исследований [24]. В дополнение к вышеуказанным методам привлекаются также петрофизический и литолого-фациальный анализы [21]: принадлежность пласта к определенной фации позволяет оценить плотность трещин и расстояние между ними.

Однако необходимо понимать, что детальность получаемых данных, а также указанные выше особенности трещиноватых сред, безусловно, приводят к трудностям моделирования процессов фильтрации при наличии трещин.

В середине прошлого века в работах [25, 26] была предложена модель двойной пористости и двойной проницаемости, в которой среда представляется в виде двух сообщающихся между собой континуумов, причем система трещин предполагается связной. Необходимо отметить, что при использовании в численных расчетах модели двойной среды происходит удвоение числа неизвестных, что может оказаться критичным для рассмотрения сложных многофазных многокомпонентных неизотермических течений с учетом химических реакций. В работе [27] для учета субсейсмических трещин, характерное расстояние между которыми достаточно велико — порядка 10 м, а протяженность порядка 102 м, была построена модель single porosity, описывающая свойства среды в рамках единого континуума, при этом как абсолютная, так и относительные фазовые проницаемости имели скалярный характер, а для описания этапа быстрого продвижения воды по трещинам последние обладали специфическим видом (рис. 1).

Ъ й

JT ^ I Ьо

PSEUDO CURVES normalized water saturation

Рис. 1. Построение эффективных относительных фазовых проницаемостей в [27].

Такое приближение оказалось разумным, и авторам удалось уловить в расчетах с помощью этой модели особенности заводнения пилотного участка одного из крупнейших месторождений Ближнего Востока. Следует отметить, что размеры субсейсмических трещин, а также то обстоятельство, что, как правило [21, 27, 28], на этапе расчета фильтрационных течений геометрия трещин считается заданной, позволяют говорить о детерминированном распределении особенностей в виде трещин в некоторой среде, эффективные фильтрационные параметры которой требуется определить.

Из практики известно, что во многих случаях среда обладает анизотропией, причем примером объекта, проявляющего значительные анизотропные свойства, является именно трещиноватая среда. Анализ возникающего в связи с этим обстоятельством вопроса об учитывающем анизотропию выражении для перетока между трещинами и матрицей в модели двойной среды проведен в [29] и ограничивается теоретическими выкладками для случая напорного механизма обмена между матрицей и трещинами [30], что затрудняет его использование в общем случае. Подход single porosity в ряде задач оказывается эффективным, однако требует более корректного учета анизотропии, особенно в многофазном случае [31].

Другой особенностью процессов фильтрации жидкостей в трещиноватых средах является наличие множества характерных масштабов, как по времени, так и по пространству.

Что касается пространственных масштабов, в большинстве случаев объем трещин значительно меньше объема порового пространства, таким образом т <»1|вр, где т^ — доля общего объема среды, занятая трещинами, а т — доля объема, занятая порами.

Далее, поскольку [32] характерная длина трещин /~1 -=-1000 м, их раскрытие h ~ 10-4 — 10"s м, характерный размер пор г ~ 10"6 10"7 м, то имеет место следующее соотношение:

Таким образом, в трещиноватых средах имеет место существенная разномасштаб-ность по пространству.

Перейдем к рассмотрению временных масштабов. Для ламинарного движения вязкой жидкости в щели с параллельными стенками справедлива формула Буссинеска [2]

Q Ь->>3Ар 12// Ах' где Q — расход жидкости, b — ширина щели в сечении, /х — вязкость, р — давление. Тем самым для оценки проницаемости трещины можно воспользоваться величиной /г2/12. В силу того, что, как показано выше, h^$>r, получаем, что проницаемость системы трещин во много раз больше проницаемости поровых каналов. Как следствие, скорость движения жидкости по трещинам значительно больше скорости движения по порам, что приводит к разным временным масштабам.

Основной целыо данной работы является построение эффективного алгоритма расчета многофазных течений в средах с наличием трещин в рамках модели single porosity, лишенного отмеченных выше недостатков. В частности, метод должен корректно описывать как связную, так и несвязную системы трещин различной длины и сложной геометрии, а также учитывать анизотропию для многофазных течений. При этом желательно, чтобы метод не требовал значительных дополнительных вычислительных ресурсов по сравнению с расчетом без учета трещин и позволял получить приемлемые по точности результаты при использовании стандартных расчетных сеток без измельчения.

Модель single porosity опирается на понятие эквивалентной среды. Как указано выше, пространственные масштабы неоднородности реальной пористой среды зачастую могут отличаться па порядки [36]. Прямой учет особенностей размерами 1 см и менее из-за ограниченности мощностей вычислительной техники практически невозможен при моделировании разработки нефтегазовых месторождений, размеры которых достигают 10 км и более. Используемые на практике размеры ячеек расчетной сетки, определяющие актуальный масштаб, оказываются существенно большими размеров неоднородностей, что при переходе к актуальным размерами задачи приводит к процедуре укрупнения (иряса1-включающей построение осредненных эффективных свойств. С другой стороны, как уже отмечалось, наличие таких особенностей может оказать значительное влияние на потоки флюидов, поэтому необходимо корректно учитывать неоднородности при укрупнении. Особый интерес [37, 40] представляет многофазный случай.

В данной работе, аналогично, например, [62, 64], будем действовать в рамках классического подхода, рассматривая на первом этапе однофазную фильтрацию. Предполагается, что течение подчиняется закону Дарси [1]. Основным параметром среды, определяющим скорость, то есть величину и направление потока флюида, является проницаемость. Поэтому она является ключевым параметром при укрупнении, в то время как скалярные свойства, обладающие свойством аддитивности, такие как, например, пористость, могут быть построены простым усреднением по объему. Очевидно, что даже если изначально среда в каждом из элементов, составляющих образец, изотропна, то объединение нескольких элементов в общем случае будет анизотропным. Поэтому получаемая при укрупнении проницаемость, вообще говоря, является тензорной величиной. Соответствующий тензор будем называть эффективным.

Под проницаемостью будем подразумевать блоковую проницаемость [38] — эквивалентную исходным свойствам проницаемость конечного объема среды, различные подходы к вопросу построения которой рассмотрены в обзорах [37^4-0]. При этом необходимо понимать, что невозможно получить полное соответствие между усредненной однородной и исходной неоднородной средой. Необходимо выбрать критерии для оценки эквивалентности двух сред.

Первый критерий — равенство потоков: потоки через границу рассматриваемого объема среды должны быть одинаковыми в смысле некоторой нормы. Второй часто используемый критерий [41] — равенство энергий диссипации вязких сил, определяемых как Е = V/? • К^7р, где р — давление, К — тензор проницаемости, для исходной неоднородной среды подразумевается интегрирование по объему.

Существенным при построении эффективного тензора является требование его симметричности, следующее из общефизических соображений. В работе [42] используется подход независимой фильтрации по двум направлениям, при этом для симметризации налагаются дополнительные ограничения, приводящие к переопределенной системе. В работе [43] среда рассматривается как система параллельных друг другу слоев, что затрудняет применение предложенного в ней метода в более сложных случаях. В [41] доказана экви9 валентность двух вышеперечисленных критериев для метода, предложенного в [44]. Кроме того, показано, что тензор проницаемости, получаемый при помощи данного метода, симметричный и положительно определенный. Недостатком является предположение об определенном виде граничных условий, а именно их периодичности, что налагает ограничение на класс рассматриваемых полей проницаемости [45].

Метод, на который опирается данная работа, заложен в [46-48] и развит для более общих случаев в [49-51]. Результатом перечисленных работ является универсальный алгоритм, не требующий никаких дополнительных предположений о свойствах коэффициентов, таких как периодичность, изотропность, или о специальном расположении линий разрывов. Используется энергетический критерий: основная идея заключается в определении эффективного тензора проницаемости на основе равенства непрерывной и разностной энергий на линейной оболочке системы базисных функций, имеющих те же особенности, что и точное решение. Предположения об ограниченности коэффициента проницаемости или соответствующей квадратичной формы в случае тензорных коэффициентов, сформулированные в [50], никак не ограничивают применимость данного метода для обсуждаемого здесь класса задач. Получаемый эффективный тензор симметричен, кроме того, показано [46-48], что при определенном виде аппроксимации уравнений фильтрации можно получить равенство потоков, которое в общем случае выполняется в слабом смысле. В перечисленных работах показана применимость данного метода для широкого класса задач: как для задач однофазной фильтрации, так и для задач упругости.

Однако, как показывают рассмотренные в данной работе простые примеры, даже при корректном осреднении абсолютной проницаемости результаты расчета укрупненной задачи в многофазном случае могут заметно отличаться от полученных при расчете исходной задачи. Одна из причин лежит к затронутой выше разномасштабное™ процессов эволюции давления и насыщенности. А именно, характерный пространственный масштаб изменения насыщенности оказывается существенно меньшим масштаба изменения давления, притом что распределение давления устанавливается мгновенно, а затем медленно по сравнению с насыщенностью эволюционирует по времени. Алгоритм осреднения должен учитывать эту разномасштабность.

Движение г'-й фазы можно охарактеризовать вектором скорости фильтрации й: , определяемым обобщенным законом Дарси [2]

М, где pt — давление, д — вязкость, к — абсолютная проницаемость, ft — безразмерные величины, называемые относительными фазовыми проницаемостями. Эксперименты демонстрируют [3,6], что в широком диапазоне условий совместного течения и вытеснения двух фаз в пористых средах относительные проницаемости зависят только от насыщенности одной из фаз. Для трещиноватых сред данное обстоятельство объясняется тем, что поскольку процессы быстрого заводнения трещин и медленного вытеснения нефти из пор в силу их разномасштабности можно считать разделенными по времени, а каждый из них определяется зависимостью потока от насыщенности, то общий процесс можно считать зависящим только от средней насыщенности, тем самым исключив зависимость от времени t. Кроме того, это также справедливо в связи с тем, что при вытеснении средняя насыщенность s одной из фаз монотонно возрастает со временем, поэтому существует взаимнооднозначное соответствие между sut, что позволяет выбрать s в качестве единственного аргумента функции, описывающей эффективные параметры.

Если распределение давления, в основном, определяется величиной абсолютной проницаемости, то для описания многофазных эффектов, связанных с насыщенностью, естественно найти эффективные относительные фазовые проницаемости, поскольку именно их величина, умноженная на значение абсолютной проницаемости, определяет скорость переноса фазы при фильтрации слабосжимаемых флюидов, рассматриваемой в данной работе.

Существует множество методов построения эффективных кривых относительных фазовых проницаемостей. Алгоритмы, основанные на вычислении в процессе расчета на подробной сетке так называемых динамических псевдофункций, описывающих эффективные параметры фильтрации, берут свое начало в работах [52—54], критические обзоры которых можно найти в [55, 56]. Методы были особенно популярны в 60-70-е годы прошлого века из-за нехватки вычислительных мощностей. Затем в 90-е интерес к ним постепенно снизился, однако за последние 10 лет, в связи с развитием методов экспериментальных измерений и увеличением сложности моделей, возрос [57]. Поскольку псевдофункции, полученные при расчете на подробной сетке, несут в себе информацию о «точном» решении, их можно рассматривать как способ компенсации численной дисперсии при укрупнении сетки [54]. Недостатками этого класса методов являются [56, 58] высокие вычислительные затраты на расчет полной задачи на подробной сетке и зависимость вычисленных функций от постановки задачи, например, от граничных условий. Наконец, псевдофункции могут оказаться нефизичными: в частности, в широкоиспользуе

11 мом [30] методе Kyte&Berry [54] возможны отрицательные значения функций относительных фазовых проницаемостей.

Определенный интерес для осреднения в многофазном случае представляет применение стационарных методов [59-64], позволяющих найти распределение насыщенности в рассматриваемом объеме при некоторых условиях, например, для заданного значения капиллярных сил в предположении капиллярного равновесия. Далее для фиксированного распределения насыщенности производится построение эффективных параметров с помощью метода однофазного ремасштабирования относительно величины kfl. Недостатком [59, 60, 63] стационарных подходов является отсутствие четкого критерия выбора конкретного метода.

Упоминаемая выше работа [27], в сущности использует один из вариантов стационарных методов: получаемый вид кривых относительных фазовых проницаемостей (рис. 1) предполагает, что вода сначала полиостью заполняет трещины, а затем происходит заводнение порового объема.

Как лабораторные, так и численные исследования, обычно имеют дело с конечным образцом некоторой среды. Например, измерения функций относительных фазовых проницаемостей проводятся [65, 73] на образцах керна, размер которых порядка 0.1-1 м. При моделировании измеренные свойства образца переносят на ячейку расчетной сетки, характерные размеры которой значительно больше — порядка 10—100 м по латерали. В [65] отмечается, что в ряде специфических случаев залегания отобранные образцы керна не позволяют получить относительные фазовые проницаемости для исследуемого пласта, что также обсуждается в работах [65, 66]. Поэтому при переходе от масштабов некоторого образца к масштабам месторождения актуальным является понятие элементарного представительного объема {representative elementary volume, REV), обсуждаемое, например, в работе [12]. REV [5] представляет собой такой образец среды, свойства которого могут быть распространены на больший объем рассмотрения, вплоть до размера, актуального для данной задачи.

Таким образом, используя REV, можно сформулировать критерий корректности процедуры укрупнения масштаба рассмотрения при переходе от размеров образцов среды к актуальным размерам задачи. В данной диссертации проведено исследование его применимости, подробно изложенное в [67], в том числе для многофазного случая, что позволило обоснованно выбрать размеры объектов при анализе эффективных функций относительных фазовых проницаемостей. Показано, что осредняемый объем должен включать значительное число элементов среды, характерным линейным размером которых для слу

12 чайных полей является радиус корреляции, а для детерминированных — шаг шаблона. Данный результат согласуется с выводами работы [68], в которой проведено исследование однофазной фильтрации в случайно неоднородных средах, и, в частности, продемонстрировано, что при радиусе корреляции, сопоставимом с размерами ячеек расчетной сетки, зависимость потока от градиента перестает быть локальной [69]. Наоборот, если радиус корреляции много меньше актуальных размеров, то интерес представляет крупномасштабный предел [70], для которого осреднение локально по пространству.

Многочисленные экспериментальные данные [19, 20] демонстрируют наличие определенных видов симметрии трещиноватых сред, поэтому анализ фильтрационных свойств таких объектов, особенно в многофазном случае, представляет значительный интерес. В работе при помощи численно-аналитического метода на основе стационарного приближения капиллярного равновесия проведено исследование функций относительных фазовых проницаемостей, подробно изложенное в [71]. Рассматриваются различные характерные конфигурации среды, весьма схожие с картинами структур образцов из работы [66], анализируется связь между тензорами фазовой и абсолютной проницаемости. Полученные примеры функций относительных фазовых проницаемостей для сред, обладающих орто-тропной и моноклинной симметрией фильтрационных свойств, демонстрируют влияние свойства связности, а также зависимость положения главных осей тензора фазовой проницаемости от насыщенности. Последнее приводит к несоосности тензоров фазовой и абсолютной проницаемостей. Существенно, что полученные относительные фазовые проницаемости анизотропны — как и в экспериментах [72, 73], их значения больше в направлении большего значения абсолютной проницаемости.

Другим практически важным случаем, также рассмотренным в данной работе и подробно изложенным в [74], является ситуация, когда преобладающими являются вязкие силы и течение в основном происходит из-за перепада давлений. Тогда капиллярными и гравитационными силами можно пренебречь и из двух уравнений, записанных для каждой фазы, получить уравнение, описывающее эволюцию давления, что позволяет разделить описание изменения давления и насыщенности в процессе фильтрации флюидов в трещиноватых средах с учетом их разномасштабности, как по пространству, так и по времени. В данной работе основное внимание уделено вопросу пространственной разномасштабности, при этом учитывается то обстоятельство, что характерный масштаб изменения поля давления по пространству значительно больше масштаба изменения поля насыщенности.

Прямое численное моделирование задач многофазной фильтрации в трещиноватых средах весьма затруднительно. Кроме того, при решении многих инженерных задач, к числу которых относится и задача моделирования разработки нефтегазовых месторождений, точность исходных данных весьма ограничена, что [25] делает прямой расчет избыточным по точности для реальной оценки ситуации. Поэтому [12] важнее иметь метод решения, который бы учитывал качественные особенности процессов.

В связи с вышесказанным в последнее время в области моделирования подземной гидродинамики проявлен заметный интерес к многомасштабным алгоритмам [75, 76], в том числе применительно к многофазным задачам [77—80]. Основное внимание при рассмотрении многомасштабных методов уделяют уравнению для давления, поскольку данный этап является наиболее трудоемким по времени из-за необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Следует особо отметить, что основные принципы многомасштабных методов имеют много общего с идеями метода суперэлементов Р. П. Федоренко [81], аналогом которого является Residual Free Bubble Method [82], обсуждаемый в западной литературе. Применению в методе конечных элементов специальных базисных функций, являющихся решением некоторых дифференциальных уравнений, для эллиптических задач посвящена работа [83], задачи конвекции-диффузии рассматриваются в [84]. С точки зрения моделирования трещиноватости необходимо также отметить работу [85], в которой аналитически построены базисные функции для случая, когда локально коэффициенты задачи меняются только в одном направлении.

Однако рассмотрение сложных неоднородных сред, в том числе трещиноватых, с применением аналитических базисных функций как, например, в указанной выше работе [85], представляется весьма затруднительным ввиду практической неосуществимости их построения для произвольной системы трещин. Поэтому в данной работе базисные функции будут определяться численно из решения задачи на исходной подробной сетке, неперекрывающееся объединение ячеек которой образует ячейки грубой сетки.

Ключевым моментом [75] при определении базисных функций является выбор граничных условий, специальный вид которых может существенно повысить качество решения задачи в целом. Действительно [86], стандартные для методов конечных элементов линейные базисные функции не отражают особенности решения в случае, когда разрывы коэффициентов задачи выходят на границу ячейки грубой сетки. В этом случае можно использовать граничные условия, полученные из решения одномерных задач на ребрах [87]. Следует отметить, что данный подход очевидным образом обобщается на трехмерный случай [51]. Как показано в [79, 88, 89], использование базисных функций, являющихся решениями локальных задач, может привести к неточным результатам при наличии в среде протяженных высокопроводящих каналов, которыми, в частности, являются рассматриваемые здесь трещины. Поэтому в данной работе воспользуемся предложенным в [79] методом построения граничных условий из решения полной задачи на подробной сетке в начальный момент времени. Таким образом используется глобальная информация, что улучшает [79, 88, 89] качество получаемого с помощью построенного базиса решения.

Другой особенностью применения базисных функций, содержащих информацию о мелкомасштабных неоднородностях, является восстановление корректного распределения давления на подробной сетке, которое может быть использовано для построения поля скоростей и решения задач переноса флюидов на этой сетке. Такой подход получил название демасштабирование (с1ом>тсаИщ), по аналогии с прямым процессом ремасштабиро-вания (ирзся/ш^). Его применение дает, например, возможность напрямую учесть эффекты временной разномасштаб ности потоков флюидов в среде с наличием трещин, тем самым [90] значительно повысить качество получаемого результата по сравнению, например, с использованием стандартного метода осреднения.

Таким образом, в диссертационной работе при помощи многомасштабного алгоритма рассматриваются двухфазные течения в средах с наличием трещин — зон повышенной проницаемости — с целью исследования функций относительных фазовых проницаемо-стей в таких средах. Численные эксперименты соответствуют лабораторным измерениям двухфазного вытеснения на образцах керна [91]. Таким образом, следуя классификации из [92], приведенной на рис. 2, рассматривается случай 2.

Рис. 2. Различные масштабы пористой среды: 1 — масштаб пор; 2 — масштаб образцов керна; 3 — масштаб месторождения.

В результате в главе 3 разработана универсальная методика построения эффективных кривых относительных фазовых проницаемостей, позволяющая применять быстрый стационарный метод капиллярного равновесия при малых скоростях фильтрации и подход с использованием многосеточного многомасштабного алгоритма в противоположном случае. Получаемые функции зависят от направления, что потребовало доработки разностной схемы, используемой в данной работе для моделирования добычи углеводородов на месторождениях. Отметим, что такая специальная функциональность для случая, когда тензоры фазовой и абсолютной проницаемостей соосны, поддерживается большинством коммерческих пакетов гидродинамического моделирования месторождений [30, 93, 94]. Поэтому построенные в работе эффективные кривые относительных фазовых проницаемостей могут быть использованы, в том числе, при расчетах на любой из широко распространенных программ и в связи с этим имеют важную практическую ценность.

В заключение, для проведения расчетов моделей реальных месторождений потребовалось рассмотреть ряд специальных вопросов, решение которых также вошло в данную работу.

Первый вопрос связан с тем обстоятельством [ 16], что продуктивность скважин, значительно возрастает в случае их пересечения с трещинами, кроме того в системе вода-нефть необходимо учитывать быстрый прорыв воды по трещинам к добывающим скважинам. В аналитических исследованиях [96—98], в том числе в классических работах М. Muskat [3], И. А. Парного [8] и Г. И. Баренблатта [95], рассмотрен случай изотропного резервуара. В данной работе, принимая во внимание неоднородность рассматриваемых сред, для учета скважин, связанных с трещинами, используется специальный численный подход [99], основанный на квазистационарности распределения давления в трещине.

Второй вопрос связан со сложной формой получаемых кривых относительных фазовых проницаемостей и одновременно высокой величиной абсолютной проницаемости в ячейках с трещинами, приводящей к быстрому продвижению фронта насыщенности. Такая ситуация относится [100] к типичным проблемным вопросам, возникающих при численном решении уравнений многофазной многокомпонентной фильтрации с использованием неявной аппроксимации по времени [101, 102]. В работе описаны подходы, подробно изложенные в [103], позволяющие в ряде случаев улучшить сходимость нелинейных итераций, что повысило эффективность расчета моделей реальных объектов.

Научная новизна

1. Для исследования процессов двухфазной фильтрации в трещиноватых средах разработан эффективный многомасштабный многосеточный алгоритм, являющийся развитием метода конечных суперэлементов Р. П. Федоренко: предложена его комбинация с методом опорных операторов А. А. Самарского. Алгоритм обладает рядом практических преимуществ: позволяет достичь кратного сокращения времени расчета, правильно передает особенности точного решения и, таким образом, принадлежит к классу методов высокого разрешения. Предложенный метод может быть легко распараллелен. С его помощью построены эффективные функции относительных фазовых проницае-мостей для сред сложной структуры с наличием трещин. Показано, что при анизотропии абсолютной проницаемости рассматриваемого объекта, получаемые относительные фазовые проницаемости тоже будут анизотропны, что учтено при последующем полномасштабном моделировании месторождений.

2. Для ортотропной и моноклинной симметрий фильтрационных свойств, характерных для хрупкого разрушения, получены функции, составляющие тензоры относительных фазовых проницаемостей. Показано влияние свойства связности на найденные функции. Учет недиагональных компонентов тензоров фазовой проницаемости позволил получить зависимость положения его главных осей тензора от насыщенности, демонстрирующую несоосность тензоров фазовой и абсолютной проницаемостей, например, в случае моноклинной симметрии.

3. Получены оценки размеров элементарного представительного объема {representative elementary volume) как для случайных, так и для детерминированных полей, причем проведено также исследование многофазного случая. При помощи данных оценок были выбраны размеры фрагментов исследуемых трещиноватых сред так, чтобы найденные свойства носили общий характер и могли быть использованы для описания объектов большего масштаба.

4. В результате разработана универсальная методика построения эффективных кривых относительных фазовых проницаемостей, как для малых, так и для высоких скоростей фильтрации. Дополнительно, обобщена разностная схема решения уравнений двухфазной фильтрации на случай анизотропных функций относительных фазовых проницаемостей.

5. Результаты проведенного численного исследования трещиноватости с точки зрения добычи углеводородов и распределения потоков флюидов демонстрируют определяющее значение свойства связности. В частности, показано, что наиболее существенную роль играет трещиноватость, изменяющая связность между отдельными зонами пласта.

6. Построенная модель single porosity с анизотропными относительными фазовыми про-ницаемостями позволила получить корректные результаты расчетов моделей реальных месторождений с наличием как связной, так и несвязной трещиноватости, причем в расчетах также специальным образом учитывались скважины, проходящие через трещины. В отличие от модели двойной среды, предложенный метод не требует значительных дополнительных вычислительных ресурсов по сравнению с расчетом без учета трещин, при этом позволяет получить приемлемые по точности результаты при использовании стандартных расчетных сеток без измельчения. Из-за сложного вида получаемых в результате осреднения кривых относительных фазовых проницаемостей, при моделировании процессов фильтрации оказалось существенным применение ряда описанных в данной работе методов, направленных на повышение стабильности сходимости нелинейных итераций в расчетах по полностью неявной схеме: ограничения приращений и сплайн-интерполяции табличных функций.

Апробация результатов

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. П. Ю. Томин. Исследование задач фильтрации в трещиноватых средах // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, Новороссийск, сентябрь 2008.

2. А. Kh. Pergament, V. A. Semiletov, Р. Yu. Tomin. The Multiscale Asynchronous Algorithms Based on the Superelement Method for Multiphase Flow // Proceedings of XI European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, A35, Bergen, Norway, September 2008.

3. A. Kh. Pergament, V. A. Semiletov, P. Yu. Tomin. Mathematical Modeling of Multiphase Flow in Fractured Media // Proceedings of XI European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, P12, Bergen, "Norway, September 2008.

4. A. X. Пергамент, П. Ю. Томин. Математическое моделирование фильтрации в трещиноватых средах // Международная конференция «Современные проблемы газовой и волновой динамики» памяти академика X. А. Рахматулина, Москва, апрель 2009.

5. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Многосеточные алгоритмы для решения задач фильтрации И Семинар отдела № 11 ИПМ им. М. В. Келдыша РАН «Вычислительные методы и математическое моделирование» под рук. член-корр. РАН Ю. П. Попова и проф. М. П. Галанина, декабрь 2009.

6. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Многомасштабный метод численного моделирования многофазной фильтрации для гигантских нефтегазовых месторождений // Научная конференция «Ломоносовские чтения», Москва, апрель 2010.

7. A. X. Пергамент, А. Р. Ахметсафина, И. Р. Минниахметов, П. Ю. Томин. О некоторых задачах фильтрации в карбонатных коллекторах // Российская конференция «Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии», июнь 2010.

8. Д. Ю. Максимов, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Проблема ремасштабирования в трехмерных задачах многофазной фильтрации // XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабепко, Абрау-Дюрсо, Новороссийск, сентябрь 2010.

9. А. Kh. Pergament, V. A. Semiletov, Р. Yu. Tomin. Multiscale Method for Numerical Simulation of Multiphase Flows in Giant Production Fields // Proceedings of XII European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, P015, Oxford, England, September 2010.

Публикации

Результаты диссертации в полной мере отражены в 18 научных работах, среди которых три публикации в реферируемых журналах [51, 71, 104], семь препринтов [34, 35, 67, 74, 102, 103, 105], а также восемь докладов в сборниках трудов и тезисов научных конференций [106, 109-112], в том числе международных [107, 108, 113].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Списка литературы из 202 наименований. Работа изложена на 147 страницах, содержит 94 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Томин, Павел Юрьевич

Заключение

Актуальность исследования процессов фильтрации в трещиноватых средах в целом и их математического моделирования в частности обусловлена тем обстоятельством, что более 20% разведанных мировых запасов углеводородов содержатся в месторождениях, в той или иной степени характеризующихся трещиноватостью. Это вызывает как трудности при разработке таких месторождений, так и усложняет их математическое моделирование, поскольку процессы фильтрации в трещиноватых средах обладают рядом специфических свойств. Первое — разномасштабность как по пространству, так и по времени. Второе — анизотропия, которая, как показывают теоретические и экспериментальные исследования, приводит к специфическим эффектам в многофазном случае. И наконец, как было установлено в последнее время, важную роль играет связность системы трещин.

С другой стороны, в результате многолетних экспериментальных наблюдений и теоретического анализа трещиноватости, выявлены определенные виды симметрии трещиноватых сред, что позволяет получить закономерности общего характера.

Из-за малых поперечных размеров прямой учет трещин при численном моделировании фильтрационных процессов практически невозможен, поэтому наиболее часто используются модели, в основе которых лежит процедура осреднения. Модель двойной среды, строго говоря, несправедлива при описании протяженных непересекающихся друг с другом трещин. Разработанный в данной работе эффективный алгоритм построения эквивалентной среды, принадлежащий к классу single porosity, лишен данного недостатка. Кроме того, он позволяет избежать удвоения числа неизвестных, присущего моделям двойной пористости и двойной проницаемости. Метод применим как для связных, так и для несвязных систем трещин различной длины и сложной геометрии. Кроме того, он учитывает специфику анизотропии для многофазных течений.

Особенность процесса вытеснения, заключающаяся в монотонном росте насыщенности вытесняющей фазы, позволила разделить построение эффективных параметров на два этапа, не зависящих явно от времени. Для определения симметричного тензора абсолютной проницаемости на первом этапе был использован опробованный на широком круге задач метод, основанный на энергетическом критерии. Этот этап позволил корректно описать распределение давления. На втором этапе, для описания более быстрой по сравнению с давлением эволюции насыщенности использованы эффективные функции относительных фазовых проницаемостей, при этом учтен тензорный характер связи между фазовой и абсолютной проницаемостью.

При помощи стационарного метода капиллярного равновесия, справедливого при малых скоростях фильтрации получены функции относительных фазовых проницаемо-стей для трещиноватых сред. Дополнительно проведено исследование случая ортотропной и моноклинной симметрий трещиноватой среды, характерного для хрупкого разрушения. Размеры исследуемых объектов обоснованы с использованием понятия representative elementary volume. Показаны существенное влияние свойства связности на получаемые функции, зависимость положения главных осей тензора фазовой проницаемости от насыщенности и несоосность тензоров фазовой и абсолютной проницаемостей для моноклинной симметрии фильтрационных свойств.

В случае когда преобладающим является напорный механизм вытеснения, для построения эффективных кривых относительных фазовых проницаемостей предложен многомасштабный многосеточный алгоритм, основанный на идеях метода конечных суперэлементов и использующий метод опорных операторов.

Разработанная в результате методика построения эффективных функций относительных фазовых проницаемостей справедлива как при малых, так и при высоких скоростях фильтрации. Поскольку получающиеся функции анизотропны, проведено обобщение разностной схемы решения уравнений двухфазной фильтрации на этот случай.

С использованием разработанной модели single porosity, учитывающей анизотропию как абсолютной, так и относительных фазовых проницаемостей, проведены расчеты моделей реальных месторождений с наличием как связной, так и несвязной трещи но ватости. Следует отметить, что для учета скважин, связанных с трещинами, использован численный алгоритм, учитывающий неоднородность пласта и позволяющий корректно описать приток к скважине и распределение давления в ее окрестности. Поскольку при полномасштабном моделировании реальных объектов была использована допускающая разумные шаги по времени абсолютно устойчивая полностью неявная разностная схема, сложная форма осредненных кривых относительных фазовых проницаемостей повлекла проблемы сходимости нелинейных итераций, решить которые в данной работе позволило применение методов ограничения приращений и сплайн-интерполяции табличных функций. В результате, получены адекватные результаты, описывающие качественную картину течений флюидов в коллекторах с наличием трещин.

Полученные результаты имеют важное практическое и научное значение, поскольку могут быть использованы в моделировании подземной гидродинамики при помощи распространенных коммерческих программ, а также при решении нелинейных задач теплопроводности в средах с разномасштабными особенностями.

В завершение еще раз перечислим наиболее важные Результаты диссертации:

1. В рамках модели одинарной пористости проведено исследование процессов фильтрации в трещиноватых средах, получены размеры элементарных представительных объемов для многофазного случая и сформулирована задача определения тензоров относительшлх фазовых проницаемостей для анизотропных сред с орто-тропным и моноклинным типами симметрии.

2. Разработан многомасштабный многосеточный алгоритм решения задач двухфазной фильтрации, относящийся к классу методов высокого разрешения и являющийся комбинацией метода конечных суперэлементов Р. П. Федоренко и метода опорных операторов А. А. Самарского. Алгоритм применен для моделирования течений в средах с произвольной конфигурацией трещин.

3. Получены функции, образующие тензор относительной фазовой проницаемости для ортотропной и моноклинной симметрий трещиноватой среды. Продемонстрированы влияние связности на найденные функции, зависимость положения главных осей тензора фазовой проницаемости от насыщенности и несоосность последнего с тензором абсолютной проницаемости.

4. Для моделирования процессов многофазной фильтрации в трещиноватых средах построен эффективный алгоритм класса одинарной пористости, учитывающий анизотропию относительных фазовых проницаемостей и применимый как для связной, так и для несвязной систем трещин сложного вида. При помощи разработанного метода выполнены расчеты процессов, протекающих в реальных нефтяных месторождениях при наличии трещиноватости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Томин, Павел Юрьевич, 2011 год

1. Н. Darcy. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon 1.I Dalmont, Paris, 1856.

2. Г. И. Баренблатт, В. M. Ентов, В. М. Рыжик. Движение жидкостей и газов в природных пластах // Недра, Москва, 1984.

3. М. Muskat. The Flow of Homogeneous Fluids through Porous Media // McGraw-Hill, New York, 1937.

4. Д. А. Эфрос. Исследование фильтрации неоднородных систем // Гостоптехиздат, Москва, 1963.

5. J. Bear. Dynamics of fluids in porous media // American Elsevier, New York, 1972.

6. M. Маскет. Физические основы технологии добычи нефти // перев. с англ., Гостоптехиздат, Москва-Ленинград, 1953.

7. Kh. Aziz, A. Settari. Petroleum Reservoir Simulation // Elsevier Applied Science Publishers, London, 1980.

8. И. А. Чарный. Подземная гидродинамика // Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, Москва, 1948.

9. Р. Д. Каневская. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа// Недра-Бизнесцентр, Москва, 1999.

10. L. Lonergan, R. J. Н. Jolly, К. Rawnsley, D.J.Sanderson. Fractured Reservoirs // Geological Society, London, 2007.

11. K. J. Weber. How Heterogeneity Affects Oil Recovery // in Reservoir Characterisation, Academic Press, 1986.

12. T. J. Lassetter, J. R. Waggoner, L. W. Lake. Reservoir Heterogeneities and their Influence on Ultimate Recovery // Reservoir Characterization, Academic Press, P. 545, 1986.

13. A.M. Saidi. Simulation of Naturally Fractured Reservoirs // paper SPE 12270, 7th SPE Symposium on Reservoir Simulation, San Francisco, CA, 1983.

14. P. La Pointe, J. Hermanson, R. Parney, T. Eiben. Circle Ridge Fractured Reservoir Project // Golder Associates, Redmond, WA, 2000.

15. В. И. Дзюба, М.Л.Пелевин. Имитационное моделирование разработки Талинской площади Красноленинского месторождения // Вестник ЦКР Роснедра, №2, С. 38-41, 2008.

16. М. J. Economides, К. G. Nolte. Reservoir Stimulation // John Wiley & Sons Ltd, Chichester, England, 2000.

17. Q. Zhou, H.-H. Liu, G. S. Bodvarsson, С. M. Oldenburg. Flow and transport in unsaturated fractured rock: effects of multiscale heterogeneity of hydrogeologic properties // Journal of Contaminant Hydrology, V. 60, P. 1-30, 2003.

18. M. C. Cacas, J. M. Daniel, J. Letouzey. Nested geological modelling of naturally fractured reservoirs // Petroleum Geoscience, V. 7, P. S43-S52, 2001.

19. А. Ф. Грачев, Ш. А. Мухамедиев. О трещиноватости каменноугольных известняков Московской синеклизы // Физика Земли, № 1, С. 61-77, 2000.

20. А. Ф. Грачев, Ш. А. Мухамедиев. Трещиноватость горных пород и оценка напряжений in situ в обнажениях, подверженных воздействию взрывов // Физика Земли, № 2, С. 34-43, 2000.

21. Q. Zhou, К. H. Lee, N. E. Goldstein, H. F. Morrison, A. Becker. Fracture detection using a grounded subsurface vertical electric dipole // Lawrence Berkley National Laboratory internal report LBL-21985.

22. E. Ali, C. Chatzichristos, T. Aurdal, J. Muller. Tracer Simulation to Improve the Reservoir Model in the Snorre Field // paper SPE 64796, 2000.

23. Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика, Т. XXIV, 1960.

24. J. Е. Warren, P. Е. Root. The behavior of naturally fractured reservoirs // SPE Journal, V. 3, P. 245-255, 1963.

25. P. van Lingen, J.-M. Daniel, L. Cosentino, M. Sengul. Single Medium Simulation of Reservoirs with Conductive Faults and Fractures // paper SPE 68165, SPE Middle East Oil Show, Bahrain, 2001.

26. B. J. Bourbiaux, M. C. Cacas, S. Sarda, J. C. Sabathier. A Fast and Efficient Methodology to Convert Fractured Reservoir Images Into a Dual-Porosity Model // paper SPE 38907, SPE Annual Technical Conference and Exhibition, San Antonio, Texas, 1997.

27. H. M. Дмитриев, В. M. Максимов. Модели фильтрации флюидов в анизотропных трещиновато-пористых средах // Доклады Академии наук, Т. 416, № 3, С. 338—340, 2007.

28. ECLIPSE Technical Description 2010.1, Geoquest, Schlumberger.

29. Н.М.Дмитриев, В.М.Максимов. Определяющие уравнения двухфазной фильтрации в анизотропных пористых средах // Изв. РАН, МЖГ, № 2, С. 87-94, 1998.

30. О. Bour, P. Davy. Clustering and size distributions of fault patterns: theory and measurements // Geophysical Research Letters, V. 26, N. 13, P. 2001-2004, 1999.

31. М. Ю. Заславский, П. Ю. Томин. О моделировании процессов многофазной фильтрации в трещиноватых средах в применении к задачам адаптации модели месторождения // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 45, Москва, 2010.

32. П. Ю. Томин. О применении трассеров для выявления особенностей среды в меж-скважинном пространстве // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 86, Москва, 2010.

33. Y. Guieguen, R. Gavrilenko, М. Le Ravalec. Scales of Rock Permeability // Surveys in Geophysics, V. 17, P. 245-263, 1996.

34. L. J. Durlofsky. Upscaling and Gridding of Fine Scale Geological Models for Flow Simulation // 8th International Forum on Reservoir Simulation, Italy, 2005.

35. Ph. Renard, G. de Marsily. Calculating Equivalent Permeability: a Review // Advances in Water Resources, V. 20, N. 5-6, P. 253-278, 1997.

36. C. L. Farmer. Upscaling: a Review // Int. J. Numer. Meth. Fluids, V. 40, P. 63-78, 2002.

37. L. J. Durlofsky. Upscaling of geocellular models for reservoir flow semulation: A review of recent progress // 7th International Forum on Reservoir Simulation, Buhl/Baden-Baden, Germany, 2003.

38. О. Вое. Analysis of an Upscaling Method Based on Conservation of Dissipation // Transport in Porous Media, V. 17, P. 77-86, 1994.

39. X. H. Wen, L. J. Durlofsky, M. G. Edwards. Use of Border Regions for Improved Permeability Upscaling // Mathematical Geology, V. 35, N. 5, 2003.

40. G. E. Pickup, D. Carruthers. Effective Flow Parameters for 3D Reservoir Simulation // paper SPE 35495, European 3-D Reservoir Modelling Conference, Stavanger, Norway, 16— 17 April 1996.

41. L. J. Durlofsky. Numerical Calculation of Equivalent Grid Block Permeability Tensors for Heterogeneous Porous Media // Water Res., V. 27, P. 699-708, 1991.

42. G. E. Pickup, P. S. Ringrose, J. L. Jensen, K. S. Sorbie. Permeability Tensors for Sedimentary Structures // Mathematical Geology, V. 26, N. 2, 1994.

43. В. П. Мясников, M. Ю. Заславский, A. X. Пергамент. Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в задачах пороупругости // Доклады Академии наук, Т. 397, №5, С. 301-306, 2004.

44. М. Ю. Заславский, А. X. Пергамент. Алгоритмы осреднения и метод опорных операторов в эллиптических задачах с разрывными коэффициентами // ЖВМиМФ, Т. 45, №9, С. 1616-1627,2005.

45. A. Kh. Pergament, V. A. Semiletov, М. Yu. Zaslavsky. Multiscale Averaging Algorithms for Flow Modeling in Heterogeneous Reservoir // Proceedings of 10th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, P014, Amsterdam, Netherlands, 2006.

46. A. X. Пергамент, В. А. Семилетов. Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотропных средах // Мат. моделирование, Т. 19, № 5, С. 105-115, 2007.

47. М. Ю. Заславский. Об алгоритме осреднения для решения эллиптических задач с разрывными коэффициентами // Доклады Академии наук, Т. 419, № 2, С. 197-200, 2007.

48. Л. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. О некоторых многомасштабных алгоритмах секторного моделирования в задачах многофазной фильтрации // Математическое моделирование, Т. 22, № 11, С. 3-17, 2010.

49. К. Н. Coats, R. L. Nielsen, М. Н. Terhune, A. G. Weber. Simulation of three-dimensional two-phase flow in oil and gas reservoirs // SPE J., V. 7, N. 12, P. 377-388, 1967.

50. H. H. Jacks, O. J. E. Smith, С. C. Mattax. The Modeling of a Three-Dimensional Reservoir With a Two-Dimensional Reservoir Simulator — The Use of Dynamic Pseudo Functions // SPE J., P. 175-185, June 1973.

51. J. R. Kyte, D. W. Berry. New Pseudo-Functions to Control Numerical Dispersion // SPE J., P. 269, 1975.

52. H. L. Stone. Rigorous Black-Oil Pseudofunctions // paper SPE 21207, SPE Symposium on Reservoir Simulation, Anaheim, CA, 1991.

53. J. W. Barker, S. Thibeau. A critical review of the use of pseudo relative permeabilities for upscaling//SPE J., V. 12, N. 2, P. 138-143, 1997.

54. B. Reinholdtsen. Pseudo Relative Permeabilities: A means of more accurate reservoir simulations // Shell Exploration & Production Europe Conference, March 2010.

55. J. W. Barker, P. Dupouy. An analysis of dynamic pseudo relative permeability methods // European Conference of the Mathematics of Oil Recovery, Leoben, Austria, 1996.

56. S. Jonoud, M. D. Jackson. New criteria for the validity of steady-state upscaling // Transp. Porous Med., V. 71, P. 53-73, 2008.

57. G. E. Pickup, K. D. Stephen, O. Ma, P. Zhang, J. D. Clark. Multi-Stage Upscaling: Selection of Suitable Methods // Transp. Porous Med., V. 58, P. 191-216, 2005.

58. G. A. Virnovsky, H. A. Friis, A. Lohne. A Steady-State Upscaling Approach for Immiscible Two-Phase Flow // Transport in Porous Media, V. 54, P. 167-192, 2004.

59. G. E. Pickup, C. Y. Hern. The Development of Appropriate Upscaling Procedures // Transport in Porous Media, V. 46, P. 119-138, 2002.

60. K. D. Stephen, G. E. Pickup, K. S. Sorbie. The Local Analysis of Changing Force Balances in Immiscible Incompressible Two-Phase Flow // Transport in Porous Media, V. 45, P. 6388, 2001.

61. A. Kumar, C. L. Farmer, G. R. Jerauld, D. Li. Efficient Upscaling from Cores to Simulation Models // paper SPE 38744, SPE Annual Technical Conference and Exhibition, San Antonio, Texas, 1997.

62. N. Saad, A. S. Cullick, M. M. Honarpour. Effective Relative Permeability in Scale-Up and Simulation // paper SPE 29592, SPE Rocky Mountain Regional/Low-Permeability Reservoirs Symposium, Denver, CO, USA, 20-22 March 1995.

63. P. S. Ringrose, J. L. Jensen, K. S. Sorbie. The Use of Geology in the Interpretation of Core-Scale Relative Permeability Data // paper SPE 28448, SPE 69th Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans, LA, USA, 25—28 September 1994.

64. П. Ю. Томин. О понятии Representative elementary volume // Препринт ИПМ им. Келдыша, Препринт ИПМ им. Келдыша, № 13, Москва, 2011.

65. Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, С. Б. Попов. Математическое моделирование однофазной фильтрации в случайно неоднородных средах // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 38, Москва, 2002.

66. Е. V. Teodorovich. Application of renormalization group techniques to transport in the presence of nonlinear sources and sinks // JETP, V. 88, N. 4, P. 826-832, 1999.

67. E. V. Teodorovich. Calculation of effective permeability of randomly inhomogeneous porous medium//JETP, V. 85, N. 1,P. 173-178, 1997.

68. A. X. Пергамент, П. IO. Томин. Об исследовании функций относительных фазовых проницаемостей для анизотропных сред // Мат. моделирование, Т. 23, № 5, С. 3—15, 2011.

69. С. Г. Рассохин. Влияние анизотропии пористой среды на процессы фильтрации углеводородов // Актуальные проблемы освоения, разработки и эксплуатации месторождений природного газа, Москва, ВНИГАЗ, С. 74-83, 2003.

70. С. Г. Рассохин. Относительные фазовые проницаемости при фильтрации углеводородов в гидрофильном и гидрофобном керне // Актуальные проблемы освоения, разработки и эксплуатации месторождений природного газа. Москва, ВНИГАЗ, С. 50-64, 2003.

71. Г1. Ю. Томин. Применение многомасштабных алгоритмов для решения задач многофазной фильтрации в анизотропных средах // Препринт ИПМ им. Келдыша, Препринт ИПМ им. Келдыша, № 14, Москва, 2011.

72. Т. Y. Hou, Х.-Н. Wu. A Multiscale Finite Element Method for Elliptic Problems in Composite Materials and Porous Media // Journal of Computational Physics, V. 134, P.169-189,1997.

73. P. Jenny, S. H. Lee, H. A. Tchelepi. Multi-scale Finite-volume method for elliptic problems in subsurface flow simulation // Journal of Computational Physics, V. 187, P. 47-67, 2003.

74. Z. Chen, T. Y. Hou. A Mixed Multiscale Finite Element Method for Elliptic Problems with Oscillating Coefficients // Mathematics of Computation, V. 72, N. 242, P. 541-576, 2002.

75. H. A. Tchelepi, P. Jenny, S. H. Lee. An Adaptive Multiphase Multiscale Finite Volume Simulator for Heterogeneous Reservoirs // SPE paper 93395, 19th SPE Reservoir Simulation Symposium, The Woodlands, Texas, USA, 2005.

76. Y. Efendiev, V. Ginting, T. Hou, R. Ewing. Accurate multiscale finite element methods for two-phase flow simulations // Journal of Computational Physics, V. 220, P. 155-174, 2006.

77. S. H. Lee, H. Zhou, H. A. Tchelepi. Adaptive multiscale finite-volume method for nonlinear multiphase transport in heterogeneous formations // Journal of Computational Physics, V. 228, P. 9036-9058, 2009.

78. Jl. Г. Страховская, P. П. Федоренко. Об одной специальной разностной схеме // Численные методы механики сплошной среды, Т. 7, № 4, С. 149-163, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976.

79. Т. J. R. Hughes. Multiscale Phenomena: Green's Functions, the Dirichlet-to-Neumann Formulation, Subgrid Scale Models, Bubbles and the Origins of Stabilized Methods // Comput. Methods Appl. Math. Engineering, V. 127, P. 387-401, 1995.

80. I. Babuska, E. Osborn. Generalized finite element methods: Their performance and their relation to mixed methods // SIAM J. Numer. Anal., V. 20, P. 510-536, 1983.

81. I. Babuska, W. G. Szymczak, An Error Analysis for the Finite Element Method Applied to Convection-Diffusion Problems // Comput. Methods Appl. Math. Engineering, V. 31, P. 19-42, 1982.

82. I. Babuska, G. Caloz, J. E. Osborn. Special finite methods for a class of second problems with rough coefficients // SIAM Journal Numerical Analysis, V. 31, N. 4, P. 945-981, 1994.

83. В. Т. Жуков, H. Д. Новикова, О. Б. Фсодоритова. Метод суперэлементов для расчета слоистых сред // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 41, Москва, 2008.

84. F. Brezzi. Interacting with the Subgrid World // Numerical Analysis (Dundee), Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, P. 69-82, 2000.

85. Y. Efendiev, T. Y. Hou. Multiscale finite element methods using limited global information // Multiscale Finite Element Methods, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, V. 4, P. 1-28, 2009.

86. L. Jiang, Y. Efendiev, I. Mishev. Mixed multiscale finite element methods using approximate global information based on partial upscaling // Computational Geosciences, V. 14, N. 2, P. 319-341,2009.

87. J. E. Aarnes, V. Kippe, K.-A. Lie. Mixed multiscale finite elements and streamline methods for reservoir simulation of large geomodels // Adv. Water Resour., V. 28, N. 3, P. 257-271,2005.

88. M. M. Honarpour, A. S. Cullick, N. Saad, N. V. Humphreys. Effect of Rock Heterogeneity on Relative Permeability: Implications for Scale-up // paper SPE 29311, SPE Asia Pacific Oil & Gas Conference, Kuala Lumpur, Malaysia, 20-22 March 1995.

89. Y. Efendiev, T. Y. Hou. Multiscale Finite Element Methods // Springer Science+Business Media, New York, USA, 2009.

90. MORE 6.6 Technical Reference, Roxar, 2010.

91. VIP-EXECUTIVE Technical Reference, Landmark Graphics Corporation, 2001.

92. G. I. Barenblatt. On the formation of horizontal cracks in hydraulic fracture of an oil-bearing stractum // Prikl. Math. Mech., V. 20, P. 475^186, 1956.

93. M. Prats. Effect of vertical fractures on reservoir behavior — incompressible fluid case // Soc. Petrol. Eng. Journal, V. 1, P. 105, 1961.

94. A. F. Zazovskii, G. T. Todua. Steady inflow into a well with a long vertical hydrofracture // Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekh. Zhidk. Gaza, N. 4, P. 107, 1990.

95. V. V. Murzenko. Exact solutions of problems of steady fluid flow in reservoirs with hydrofractures // Izv. Ros. Akad. Nauk, Mekh. Zhidk. Gaza, N. 4, P. 74, 1994.

96. С. Б. Попов, E. H. Юдина. Трещины ГРП с конечной проводимостью // отчет, ГК "TimeZYX", 2009.

97. R. М. Younis, Н. Tchelepi, К. Aziz. Adaptively-localized-continuation-Newton; Reservoir Simulation Nonlinear Solvers that Converge All the Time // Proceedings of XI European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, A10, Bergen, Norway, 2008.

98. J. R. Appleyard, I. M. Cheshire. Reservoir Modelling: fully implicit simulation methods // in "Developments in Petroleum Engineering 1" , Routledge, UK, edited by R. A. Dawe, D. C. Wilson, P. 229-263, 1985.

99. Н.А.Марченко, A. X. Пергамент, С.Б.Попов, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Иерархия явно-неявных разностных схем для решения задач многофазной фильтрации // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 97, Москва, 2008.

100. Д. Ю. Максимов, П. А. Марченко, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Некоторые методы улучшения сходимости нелинейных итераций в численном моделировании процессов многофазной фильтрации // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 44, Москва, 2010.

101. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Ремасштабирование в задачах фильтрации с анизотропными коэффициентами // Вестник ЦКР Роснедра, №4, 2010.

102. П. Ю. Томин. Многомасштабные алгоритмы на основе метода конечных суперэлементов в задачах двухфазной фильтрации // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 45, Москва, 2007.

103. A. Kh. Pergament, V. A. Semiletov, P. Yu. Tomin. Mathematical Modeling of Multiphase Flow in Fractured Media // Proceedings of XI European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, PI 2, Bergen, Norway, September 2008.

104. A. X. Пергамент, П. Ю. Томин. Математическое моделирование фильтрации в трещиноватых средах // Международная конференция «Современные проблемы газовой и волновой динамики» памяти академика X. А. Рахматулина, Москва, апрель 2009.

105. А. X. Пергамент, В. А. Семилетов, П. Ю. Томин. Многомасштабный метод численного моделирования многофазной фильтрации для гигантских нефтегазовых месторождений // Научная конференция «Ломоносовские чтения», Москва, апрель 2010.

106. А. X. Пергамент, А. Р. Ахметсафина, И. Р. Минниахметов, П. Ю. Томин. О некоторых задачах фильтрации в карбонатных коллекторах // Российская конференция «Многофазные системы: природа, человек, общество, технологии», июнь 2010.

107. M. C. Leverett. Capillary behaviour in porous solids // Transactions of the AIME, V. 142, P. 159-172, 1941.

108. S. Sarkar, M. N. Toksoz, D. R. Burns. Fluid Flow Simulation in Fractured Reservoirs // Report, Annual Consortium Meeting, MIT Earth Resources Laboratory, 2002.

109. В. T. Mallison, M. H. Hui, W. Narr. Practical Gridding Algorithms for Discrete Fracture Modeling Workflows // Proceedings of ECMOR XII, paper A032, Oxford, UK, 2010.

110. H. Kazemi, L. S. Merrill, K. L. Porterfield, P. R. Zeman. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs // SPE Journal, V. 16, P. 317—326, 1976.

111. W. S. Dershowitz, P. R. La Pointe, T. W. Doe. Advances in Discrete Fracture Network Modeling // Proceedings of the US EPA/NGWA Fractured Rock Conference, 2004.

112. B. Dershowitz, P. La Pointe, T. Eiben, L. Wei. Integration of Discrete Feature Network Methods With Conventional Simulator Approaches // SPE Reservoir Evaluation and Engineering, V. 3, N. 2, P. 165-170, 2000.

113. M. Sahimi. Flow and Transport in Porous media and Fractured Rock: From Classical Methods to Modern Approaches // VCH, Weinheim, 1995.

114. В. M. Рыжик. Вытеснение нефти водой в пористой среде с малопроницаемыми включениями// Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №1, С. 121—124, 1964.

115. Г. И. Баренблатт. О движении газожидкостных смесей в трещиновато-пористых породах // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №3, С. 47—50, 1964.

116. P. Sarma. New Transfer Functions for Simulation of Naturally Fractured Reservoirs with Dual Porosity Models // A report submitted to the Department of Petroleum Engineering, Stanford University, 2003.

117. A. Firoozabadi, L. K. Thomas. Sixth SPE Comparative Solution Project: Dual-Porosity Simulators // Journal of Petroleum Technology, V. 42, N. 6, P. 710-715, 1990.

118. M. G. Edwards, C. F. Rogers. Finite volume discretization with imposed flux continuity for the general tensor pressure equation // Computational Geosciences, V. 2, P. 259-290, 1998.

119. S. Sarda, L. Jeannin, B. Bourbiaux. Hydraulic Characterization of Fractured Reservoirs: Simulation on Discrete Fracture Models // paper SPE 66398, SPE Reservoir Simulation Symposium, Houston, Texas, 2001.

120. W. Dershowitz, K. Klise, A. Fox, S. Takeuchi, M. Uchida. Channel Network and Discrete Fracture Network Modeling of Hydraulic Interference and Tracer Experiments and the Prediction of Phase С Experiments // SKB Report IPR-02-29, Stockholm, SKB, 2002.

121. J. C. Sabathier, B. J. Bourbiaux, M. C. Cacas, S. Sarda. A New Approach of Fractured Reservoirs // paper SPE 39825, SPE International Petroleum Conference and Exhibition of Mexico, Villahermosa, Mexico, 1998.

122. М.Ю.Заславский, A. X. Пергамент. Исследование неустойчивости типа "fingers" в фильтрационных течениях // Препринт ИПМ им. Келдыша, №31, Москва, 2002.

123. M. С. Cacas. Développement d'un modele tridimensionnel stochastique discret pour la simulation de l'ecoilement et des transferts de masse et de chaleur en milieu fracture // PhD thesis, Ecole Nationale des Mines de Paris, Paris, 1989.

124. М.Н.Дмитриев, Н.М.Дмитриев, В.В.Масленников. К представлению функцийотносительных фазовых проницаемостей для анизотропных пористых сред // Изв. РАН, МЖГ, № 3, С. 118-125, 2005.

125. D. W. Peaceman. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation // SPE Journal, V. 18, N. 3, P. 183-194, 1978.

126. D. W. Peaceman. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability // SPE Journal, V. 23, P. 531, 1983.

127. D. W. Peaceman. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation: off-center and multiple wells within a wellblock // SPE Res. Eng., V. 5, P. 227, 1990.

128. H. С. Бахвалов, H. П. Жидков, Г. M. Кобельков. Численные методы // БИНОМ, Москва, 2004.

129. М. Ю. Заславский. Об интерпретации данных электроразведки постоянным током // Мат. моделирование, Т. 22, № 3, С. 3—14, 2010.

130. Д. Уолкотт. Разработка и управление месторождениями при заводнении // ЮКОС— Schlumberger, Москва, 2001.

131. К. Е. Закревский, Д. М. Майсюк, В. Р. Сыртлаиов. Оценка качества 3D моделей // ООО «ИПЦ Маска», Москва, 2008.

132. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач // Наука, Москва, 1979.

133. А. Н. Наумов. Решение обратной коэффициентной задачи для уравнения фильтрации // Препринт ИПМ им. Келдыша, № 6, Москва, 2006.

134. S. К. Godunov. Finite-Difference Method for Computing Discontinuous Solutions to Fluid Dynamics Equations // Math. Sbornik, 47 (3), P. 271-306, 1959.

135. А. Г. Куликовский, II. В. Погорелов, А. Ю. Семенов. Математические вопросы численного решения гиперболических уравнений и систем // Физматлит, Москва, 2001.

136. Yu. В. Radvogin, N. A. Zaitsev. Multidimensional minimal stencil supported second order accurate upwind schemes for solving hyperbolic and Euler systems // KIAM RAS Preprint, N. 22, 1996.

137. C. Palagi. Generation and Application of Voronoi Grid to Model Flow in Heterogeneous Reservoirs // Ph.D. dissertation, Stanford University, 1992.

138. F. Kwok, H. Tchelepi. Potential-based reduccd Newton algorithm for nonlinear multiphase flow in porous media // J. Comput. Phys, V. 227, P. 706-727, 2007.

139. А. М. AlSofi, M.J. Blunt. The Self-flattering Nature of Trailing Shocks in Augmented Waterflooding Segregation-in-flow Reestablish Self-sharpness // Proceedings of EC-MOR XII, A004, 2010.

140. M. R. Todd, W. J. Longstaff. The Development, Testing, and Application of a Numerical Simulator for Predicting Miscible Flood Performance // paper SPE 3484, 1972.

141. S. Moskow, V. Druskin, T. Habashy, P. Lee, S. Davydycheva. A Finite Difference Scheme for Elliptic Equations with Rough Coefficients Usng Grids Nonconforming to Interfaces // SIAM J. Numer. Anal., V. 36, N. 2, P. 442-464, 1999.

142. A.T.Corey, С. H. Rathjens. Effect of Stratification on Relative Permeability // J. Pet. Tech., P. 69-71, December 1956.

143. M.D.Jackson, A. H. Muggeridge, S. Yoshida, H.D.Johnson. Upscaling Permeability Measurements within Complex Heterolithic Tidal Sandstones // Math. Geol., V. 35, N. 5, P. 446-454, 2003.

144. M. D. Jackson, S. Yoshida, A. H. Muggeridge, H. D. Johnson. Three-dimensional reservoir characterization and flow simulation of heterolithic tidal sandstones // Am. Assoc. Pet. Geol. Bull., V. 89, N. 4, P. 507-528, 2005.

145. Y. Bachmat, J. Bear. Macroscopic Modelling of Transport Phenomena in Porous Media. Part 1: The Continuum Approach // Transport in Porous Media, V. 1, P. 213-240, 1986.

146. Y. Anguy, D. Bernard, R. Ehrlich. Towards Realistic Flow Modelling. Creation and Evaluation of Two-Dimensional Simulated Porous Media: an Image Analysis Approach // Surveys in Geophysics, V. 17, P. 265-287, 1996.

147. K. Nordahl, P. S. Ringrose. Identifying the Representative Elementary Volume or Permeability in Heterolithic Deposits Using Numerical Rock Models // Math. Geosci, V. 40, P. 753-771,2008.

148. J. Bear, C. Braester, P. C. Menier. Effective and Relative Permeabilities of Anisotropic Porous Media // Transport in Porous Media, V. 2, P. 301-316, 1987.

149. M. H. Дмитриев, H. M. Дмитриев, В. M. Максимов, Д. Ю. Семигласов. Эффекты анизотропии при двухфазных фильтрационных течениях // Изв. РАН, МЖГ, № 3, С. 140-146,2010.

150. P.Olivier, L. Cantegrel, J. Laveissiere, N. Guillonneau. Multiphase Flow Behaviour in Vugular Carbonates Using X-ray CT // SCA paper 2004-13, Abu Dhabi, UAE, 2004.

151. T. P. G. Gurholt, B. F. V. Vik, I. A. Aavatsmark, S. I. A. Aanonsen. Determination of Connectivity in Vuggy Carbonate Rock Using Image Segmentation Techniques // Proceedings of ECMORXII, AO 12, Oxford, England, 2010.

152. I. Ligaarden, M. Krotkiewski, K. A. Lie, M. Pal, D. Schmid. On the Stokes-Brinkman Equations for Modeling Flow in Carbonate Reservoirs // Proceedings of ECMOR XII, A006, 2010.

153. G. Hamon, C.Roy. Influence of Heterogeneity, Wettability and Coreflood Design on Relative Permeability Curves // SCA paper 2000-25, Abu Dhabi, UAE, 2000.

154. M. Fourar, G. Konan, C. Fichen, E. Rosenberg, P. Egermann, R. Lenormand. Tracer Tests for Various Carbonate Cores Using X-ray CT // SCA paper 2005-56, Toronto, Canada, 2005.

155. H. Г. ван Кампен. Стохастические процессы в физике и химии // Высшая школа, Москва, 1990.

156. К. Nordahl, P. S. Ringrose, R. Wen. Petrophysical characterization of a heterolithic tidal reservoir interval using a process-based modeling tool // Pet. Geosci, V. 11, P. 17-28, 2005.

157. M. B. Moranville, D. P. Kessler, R. A. Greenkorn. Directional Disperson Coefficients in Anisotropic Porous Media // Ind. Eng. Chem. Fundamen., V. 16, N. 3, P. 327-332, 1977.

158. L. G. Fel, J. Bear. Principal Axes and Values of the Dispersion Coefficient in the 2D Axially Symmetric Porous Medium // Continuous Media with Microstructure, P. 351-355, 2010.

159. J. Bear, L. G. Fel, Y. Zimmels. Effects of Material Symmetry on the Coefficients of Transport in Anisotropic Porous Media // Transp. in Porous Med., V. 82, P. 347—361, 2010.

160. L. Fel, J. Bear. Dispersion and Dispersivity Tensors in Saturated Porous Media with Uniaxial Symmetry // Transp. Porous Med., V. 85, P. 259-268, 2010.

161. T. F. M. Kortekaas. Water/Oil Displacement Characteristics in Crossbedded Reservoir Zones // paper SPE 12112, SPE Annual Technical Conference and Exhibition, San Francisco, 5-8 October 1983.

162. Р.Д.Каневская, M. И. Швиллер. Особенности фильтрации несмешивающихся жидкостей в пористых средах с анизотропными фазовыми проницаемостями // Изв. РАН, МЖГ, № 5, С. 91-100, 1992.

163. V. S. V. Rajan. Discussion of The Origins of Anisotropy // paper SPE 18394, Journal of Petroleum Technology, 40, P. 905, 1988.

164. JT. И. Седов. Механика сплошной среды //Т. 1, Наука, Москва, 1970.

165. Y. Efendiev, Т. Y. Hou, V. Ginting. Multiscale finite element methods for nonlinear problems and their applications // Comm. Math. Sci., V. 2, P. 553-589, 2004.

166. Y. Efendiev, A. Pankov. Numerical homogenization of nonlinear random parabolic operators // SIAM Multiscale Model, and Simul., V. 2, N. 2, P. 237-268, 2004.

167. А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский. Разностные схемы на нерегулярных сетках // Минск, 1996.

168. R. A. Raviart, J. M. Thomas. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems // Mathematical Aspects of Finite Element Methods, Lecture Notes in Mathematics, V. 606, P. 292-315, Springer, New York, 1977.

169. V. Kippe, J. E. Aarnes, K.-A. Lie. A Comparison of Multiscale Methods for Elliptic Problems in Porous Media Flow // Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 2007.

170. M.A.Christie, M. J. Blunt. Tenth SPE Comparative Solution Project: A Comparison of Upscaling Techniques // paper SPE 66599, SPE Reser. Eval. Eng., V. 4, P. 308-317, 2001.

171. К. H. Coats. A Note on IMPES and Some IMPES Based Simulation Models // SPE paper 65092, 2000.

172. M. Honarpour, L. Koederitz, A. H. Harvey. Relative permeability of petroleum reservoirs // C.R.C. Press, Boca Raton, Florida, USA, 1986.

173. M. I lonarpour, S. M. Mahmood. Relative Permeability Measurements: An Overview // SPE paper 18565, SPE Technology Today Series, 1986.

174. А. Г. Ковалев, A. M. Кузнецов, В. П. Юрчак и др. Нефть. Метод определения фазовых проницаемостей в лабораторных условиях при стационарной фильтрации // Отраслевой стандарт Миннефтепрома, ОСТ 39-235-89, М.: Миннефтепром, 1989.

175. М. S. Leverett, W.B.Lewis. Steady flow of gas-oil-water mixtures through unconsolidated sands//Trans. AIME, V. 142, P. 107, 1941.

176. A.T.Corey, С. H. Rathjens, J.H.Henderson, M. R. J. Wyllie. Three-phase relative permeability // Trans. AIME, V. 201, P. 349, 1956.

177. Д. А. Эфрос. Определение относительных проницаемостей и функций распределения при вытеснении нефти водой // Докл. Акад. наук. СССР, Т. 110, В. 5, С. 746-749, 1956.

178. Кундин А., Куранов И.Ф. К вопросу о методике расчетов фазовыхпроницаемостей по данным опытов по нестационарному вытеснению нефти водой // Труды ВНИИ-нефть, В. 28, С. 85-95, 1960.

179. E.F.Johnson, D.P.Bossier, V. О. Naumann. Calculation of Relative Permeability from Displacement Experiments // Petroleum Transaction AIME, V. 216, P. 370-372, 1959.

180. В. M. Максимов, M. H. Дмитриев, Ю. С. Антоневич. Эффекты тензорного характера относительных фазовых проницаемостей при взаимном вытеснении газа водой в анизотропных пластах // Газовая промышленность, №12 (639), С. 10-12, 2009.

181. R. Е. Oligney, P. Valko, М. J. Economides. Unified Fracture Design: Bridging the Gap between Theory and Practice // Orsa Press, Alvin, Texas, 2001.

182. R. D. Kanevskaya, R. M. Kats. Exact solutions of problems of fluid inflow into a well with a vertical hydrofracture and their use in numerical models of flow through porous media // Fluid Dynamics, V. 31, N. 6, 1996.

183. Р.Д.Каневская. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта // Недра, Москва, 1999.

184. Ю. Б. Радвогин. Характеристические свойства уравнений двухкомпонентной фильтрации // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша, №37, 2001.

185. A. Kh. Pergament, S. В. Popov. The Godunov Predictor-Corrector Method and Non-Isothermal MKT Reservoir Simulator // Proceedings of ECMOR-X, B021, 2006.

186. F. N. Fritsch, R. E. Carlson. Piecewise Cubic Interpolation Methods // The Department of Energy's (DOE) Information Bridge: DOE Scientific and Technical Information, November 1978.

187. J. M. Hyman. Accurate monotonicity preserving cubic interpolation // SIAM J. Sei. Stat. Comput., V. 4, N. 4, December 1983.

188. J. E. Killough. Ninth SPE Comparative Solution Project: A Reexamination of Black-Oil Simulation // paper SPE 29110, 1995.

189. P. F. Naccache. A Fully-Implicit Thermal Reservoir Simulator // paper SPE 37985, 1997.

190. Д. Ю. Максимов, А. С. Тихонов, П. Ю. Томин. Применение параллельных вычислений при моделировании и мониторинге разработки нефтегазовых месторождений // Вестник ЦКР Роснедра, № 2, С. 69-78, 2007.

191. M. J. Fetkovich. A Simplified Approach to Water Influx Calculations Finite Aquifer Systems // J. Pet. Tech, P. 814-828, 1971.