Математическое моделирование пластического деформирования материала с учетом анизотропии и разносопротивляемости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Красновский, Евгений Ефимович

• Красновский, Евгений Ефимович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Красновский, Евгений Ефимович

основные сокращения и обозначения.

1. состояние вопроса. постановка задачи.

1.1. Особенности учёта пластического деформирования конструкционных материалов.

1.2. Необходимость учёта пластического деформирования и разносопротивляемости анизотропных и композиционных материалов.

1.3. Математическая постановка задачи.

1.4. Методы решения краевых задач теории пластичности.

1.5. Вариационные принципы в термомеханике.

1.6. Методы построения допустимого поля напряжений для встречного функционала.

1.7. Выводы.

2. особенности математического описания неупругого деформирования.

2.1. Упруго-пластическая модель материалаХоффмана.

2.2. Основные матричные соотношения метода конечных элементов в перемещениях для решения задач теории течения.

2.3. Двойственная вариационная формулировка задачи деформационной .теории . термопластичности анизотропных тел.

2.4. Методика нахождения значения для встречного функционала для задачи деформационной теории пластичности.

2.5. Выводы.

3. построение численных алгоритмов решения задач с учётом пластического деформирования материала.

3.1. Численная реализация метода конечных элементов.

3.2. Алгоритм коррекции параметров напряжённого состояния при постоянной температуре.

3.3. Касательная матрица при постоянной температуре.

3.4. Алгоритмы коррекции параметров напряжённого состояния и построения касательной матрицы в случае неравномерного нагрева материалаХоффмана.

3.5. Выводы.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА С УЧЁТОМ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ.

4.1. Расчёты напряжённо-деформированного состояния конструкций, изготовленных из изотропного материала с критерием текучести Мизеса.

4.2. Расчёты напряжённо-деформированного состояния конструкций с учётом анизотропии и разносопротивляемости материала.

4.3. Выводы. выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование пластического деформирования материала с учетом анизотропии и разносопротивляемости»

Практическая реализация возможностей математического моделирования и вычислительного эксперимента существенно повышает эффективность инженерных 'разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук» [39].

Вычислительный эксперимент позволяет оптимизировать ранние стадии проектных разработок, снизить стоимость продукции, сократить цикл разработки, состоящий в изготовлении образцов-прототипов, их испытаниях и повторном изготовлении образцов, а также свести к минимуму дорогостоящий процесс доработки изделия. Таким образом, «математическое (шире -информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса» [102].

Использование математического моделирования обеспечивает современным инженерам конкурентное преимущество ещё и потому, что позволяет улучшать существующие конструкции, в.том числе и за счет учёта, существенных особенностей свойств конструкционных материалов.

Актуальность работы. Многие современные конструкционные материалы имеют анизотропные пластические свойства. Отдельным из них свойственны и различные пределы текучести при растяжении и сжатии. К подобным материалам относятся металлокомпозиты (МКМ) и некоторые из таких традиционных конструкционных материалов, как металлы и сплавы.

Поскольку конструкции из указанных материалов работают в условиях интенсивных тепловых и силовых воздействий, то в расчётах необходимо учитывать как неравномерный нагрев, так и зависимость механических характеристик материала от его температуры. Следовательно, разработка эффективных численных алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) для математического моделирования пластического течения материалов с учётом « указанных эффектов является актуальной проблемой. Её решение, в частности, позволит оценить несущую способность элементов конструкций и подобрать рациональную схему армирования композиционных материалов.

Диссертационная работа посвящена разработке численных алгоритмов для расчёта пластического течения ортотропного материала с критерием текучести Хоффмана [145] при квазистатическом нагружении. Критерий применяется для учёта различных пределов текучести при растяжении и сжатии и представляет собой квадратичную форму относительно компонентов тензора напряжений, которая содержит и линейные члены.

Для проведения численных расчетов в настоящей работе использован МКЭ в сочетании с методом последовательных нагружений. Система уравнений МКЭ решена методом Ньютона. Для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения применён метод разделения операторов и использован алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор», который позволяет оценить погрешность на шаге Л нагружения. Найдена касательная матрица, обеспечивающая квадратичную скорость сходимости метода Ньютона. Поскольку композиционным " материалам " свойственна и упругая анизотропия, в работе исследованы особенности численной реализации этого алгоритма для анизотропно упругого материала.

В настоящее время помимо теории течения в расчётах используется и деформационная теория пластичности. В работе рассмотрен вопрос оценки погрешности приближённого решения задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред, который также является актуальным. Одним из методов получения апостериорных оценок погрешности является решение такой задачи в двойственной вариационной постановке, суть которой заключается в построении двух функционалов (прямого в перемещениях и встречного в напряжениях), которые достигают альтернативных, но равных по значению экстремумов на точном решении задачи [40, 43]. В работе построена двойственная вариационная формулировка для задачи деформационной теории • термопластичности анизотропных сред.

Разработка методики нахождения значения встречного функционала представляет практический интерес. Указанный подход требует решения нетривиальной задачи по- построению допустимого поля напряжений, удовлетворяющего как уравнениям равновесия, так и силовым граничным условиям.

Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов МКЭ для математического моделирования пластического состояния ортотропного материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию, и получении оценки погрешности полученного приближённого решения.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• построение алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор» и касательной матрицы, обеспечивающей квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ, в случае неравномерного нагрева материала с критерием текучести Хоффмана; л • исследование особенностей работы алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор», используемого для коррекции параметров напряженного состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения, в случае упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана;

• построение двойственной вариационной формулировки задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред;

• разработка методики нахождения значения функционала в напряжениях, входящего в двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Научная новизна. Методами математического моделирования изучено влияние упругой анизотропии на численные алгоритмы МКЭ по расчёту пластического течения материала с критерием текучести Хоффмана. Разработан алгоритм поиска начального приближения с целью получения физически достоверных результатов при решении нелинейного уравнения

• методом Ньютона на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор». Проанализировано влияние упругой анизотропии материала на точность этого алгоритма.

Разработан алгоритм «упругий- предиктор / пластический корректор» и -получена касательная матрица в случае неравномерного нагрева.

Получена двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях.

Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических подходов механики сплошных сред, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных результатов с известными решениями для предельных случаев.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчётов, анализа работоспособности и применения конструкций, материал которых проявляет свойства анизотропии и разносопротивляемости при пластическом деформировании. . .

На защиту выносятся следующие положения:

• алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона решения нелинейного уравнения, решаемого на стадии «пластический корректор» алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»;

• анализ влияния упругой анизотропии материала с критерием текучести Хоффмана на точность алгоритма «упругий предиктор / пластический корректор»;

• алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор» и касательная матрица для случая неравномерного нагрева материала, описываемого моделью Хоффмана;

• двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред; • методика нахождения значения встречного функционала, составляющего двойственную вариационную формулировку задачи деформационной теории термопластичности анизотропных сред.

Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на Всероссийской конференции молодых учёных «Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века» в 2000 г.; XI Международной конференции по вычислительной математике и современным прикладным программным системам в 2001 г.; втором Международном конгрессе студентов, молодых учёных и специалистов «Молодёжь и наука - третье тысячелетие»/У8ТМ'02 в 2002 г.; Международном симпозиуме по двойственным вариационным принципам в нелинейной механике в 2002 г.; Первой международной научно-технической конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея в 2004 г.; Научно-методической конференции, посвящённой 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004 г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2000-2005 г.г.

Публикации. Основное содержание работы изложено в статьях [41, 67, 72] и тезисах выступлений на конференциях [68, 69, 70].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов. Работа изложена на 190 страницах, содержит 58 иллюстраций и 53 таблицы. Библиография включает 167 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Красновский, Евгений Ефимович

Выводы

1. Построены алгоритмы МКЭ для расчёта пластического состояния ортотропного разносопротивляющегося материала с критерием текучести Хоффмана в случаях равномерного и неравномерного нагрева. Для коррекции параметров напряжённого состояния в точке интегрирования Гаусса в процессе нагружения применён алгоритм «упругий предиктор / пластический корректор». Для получения физически достоверного скорректированного состояния в случае больших отношений модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии разработан алгоритм поиска начального приближения для метода Ньютона, используемого на стадии «пластический корректор» алгоритма. Найдена касательная матрица, обеспечивающая квадратичную скорость сходимости метода Ньютона решения системы уравнений МКЭ - метод сходился за 4-6 итераций на каждом шаге нагружения.

2. Показано, что чем больше отношение модулей Юнга материала по направлениям его упругой ортотропии, тем меньше должны быть шаги нагружения при расчёте НДС конструкции. В таком случае рекомендуется проверять сходимость при уменьшении шагов нагружения. .

3. Достоверность разработанных алгоритмов подтверждается хорошим совпадением полученных результатов с известными, в том числе и для предельных случаев - при совпадении моделей Хоффмана и Мизеса.

4. Путём математического моделирования пластического деформирования элементов конструкций, испытывающих как механические, так и термомеханические воздействия, показано, что пластическое состояние разносопротивляющихся конструкционных материалов не всегда может быть адекватно описано с помощью простейших математических моделей, так как при этом могут быть выявлены не все эффекты, оказывающие существенное влияние на работу конструкции.

5. На случай анизотропных сред обобщена известная двойственная вариационная формулировка задачи деформационной теории термопластичности изотропных сред. Построены обладающие экстремальными свойствами функционалы в перемещениях и напряжениях, по разности значений которых можно найти оценку погрешности приближённого решения в энергетической норме. Предложена методика нахождения значения функционала в напряжениях, которая не требует решения дополнительной системы уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Красновский, Евгений Ефимович, 2005 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Альтенбах X., Туштев' К. Новый критерий статической прочности изотропных полимеров // Механика композитных материалов. 2001. -Т. 37, №5/6.-С. 731-742.

3. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник. Д.: Машиностроение, 1980. -248 с.

4. Балабух Л.И., Алфутов Н.А., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. М.: Высшая школа, 1984. - 391 с.

5. Бастуй В.Н., Коляков М.И., Семко М.И. К условию прочности материалов с разным сопротивлением растяжению и сжатию // Проблемы прочности. 1996.-№ 5.-С. 31-37.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Физматлит, Лаборатория базовых знаний, 2000. 622 с.

7. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им Н.Э. Баумана, 1998. 344 с. . . . . ,

8. Белянкин Ф.П., Яценко В.Ф., Марголин Г.Г. Прочность и деформативность стеклопластиков при двухосном сжатии. Киев: Наукова думка, 1971. - 151 с.

9. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

10. Биргер И.А. Некоторые математические методы решения инженерных задач. М.: Оборонгиз, 1956. - 150 с.

11. Бирюков Д.Б., Постоев П.С. Метод конечных элементов в напряжениях. -СПб.: АООТ «НПО ЦИТИ» 1999. 187 с.

12. Блох В.И. Теория упругости. Харьков: Изд-во ХГУ, 1964. - 428 с.

13. Братухин А.Г. Современные авиационные материалы: технологические и функциональные особенности / Учебное пособие для авиационных и технических направлений и специальностей. М.: АвиаТехИнформ XXI век, 2001.-420 с.

14. Братухин А.Г., Сироткин О.С., Сабодаш П.Ф., Егоров В.Н. Материалы будущего и их удивительные свойства М.: Машиностроение, 1995. -128 с.

15. Буланов И.М., Воробей В.В. Технология ракетных и аэрокосмических конструкций из композиционных материалов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им Н.Э. Баумана, 2001. - 516 с.

16. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек / З.И. Бурман, О.М. Аксенов, В.И. Лукашенко, М.Т. Тимофеев. М.: Машиностроение, 1982.-256 с.

17. Бурман З.И., Артюхин Г.А., Зархин Б.Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах. М.: Машиностроение, 1988. -256 с.

18. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1999. 488 с.

19. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

20. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближённые методы математической физики / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 2001. 700 с.

21. Воробей В.В., Логинов В.Е. Технология производства жидкостных ракетных двигателей. М.: Изд-во МАИ, 2001. - 496 с.

22. By Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. С. 401-491. / В кн.: Механика композиционных материалов. Том 2. / Под ред Дж. Сендецки. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - 568 с.

23. Гаврюшин С.С., Коровайцев А.В. Методы расчёта элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во ВЗПИ, 1991. - 160 с.

24. Геогджаев В.О. К вопросу о теории упругопластической деформации анизотропных материалов // Изв. вузов. Машиностроение. 1956. - № 3-4.-С. 9-13.

25. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н. Вариант эндохронной теории пластичности анизотропных материалов // Труды МГТУ. Термомеханика. 1990. -№ 542. - С. 49-58.

26. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Обобщенная теория пластического течения анизотропных сред // Строит, механика. М.: Стройиздат, 1966. -С. 307-319.

27. Данилов В.Л. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести •'•"-'// Машиностроение: Энциклопедия; В 40 т. / Под общ. ред.

28. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1994. - Т. 1-3, Книга 1 - С. 8893.

29. Данилов B.JI. Исследование деформационной пластической анизотропии: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. -М.: Московский госуд. техн. ун-т им Н.Э. Баумана, 1972. 144 с.

30. Деформирование и разрушение бороалюминия при сложном напряженном состоянии / С.В. Цветков, П.А. Зиновьев, А.Н. Ерёмичев и др. // Проблемы прочности. 1991. -№ 12. - С.29-35.

31. Димитриенко Ю.И. Анизотропная теория конечных упруго-пластических деформаций // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. -2003.-№2.-С. 47-59.

32. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. - 368 с.

33. Димитриенко Ю.И., Димитриенко И.П. Длительная прочность армированных композитов // Механика композитных материалов. 1989. - № 1. - СЛ6-22.

34. Ерёмина Н.А., Барях А.А. Упругопластическое деформирование многослойного композита // Механика композитных материалов. 1994. -Т. 30, №6.-С. 723-729.

35. Жужжалкин Г.В. Композиционные материалы в авиаракетостроении. -Тула: Изд-во Тульского государственного ун-та, 1998. 64 с.

36. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. -М.: Физматлит, 2002. 168 с.

37. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. -М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.

38. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике: учебник для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 2001. - 496 с.

39. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. -М.: Машиностроение, 1985. -296 с.

40. Зарубин B.C., Красновский Е.Е. Двойственная вариационная постановка задачи деформационной теории термопластичности анизотропных тел //Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Естественные науки. 2005. -№ 1(16).-С. 41-54.

41. Зарубин B.C., Красновский Е.Е. Теплопрочностной расчет оболочки камеры сгорания ЖРД // Тезисы докладов научно-технической конференции, посвященной 170-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана 21-23 ноября 2000г., г. Москва. М., 2000. - 4.2 - С. 12.

42. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд. Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана, 1993.-360 с.

43. Захаров К.В. Критерий прочности для слоистых пластмасс // Пластические массы. 1961. - № 8. - С.59-62.

44. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

45. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

46. Иванов-Дятлов В.И. Решение задач теории упругости по МКЭ при использовании равновесных и совместных моделей: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. -М.: Московский автомобильно-дорожный ин-т, 1998. 200 с.

47. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

48. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций // ПММ. 1943. - Т.7, вып. 4. - С .245-272.

49. Исупов Л.П. Теория пластического деформирования структурно неоднородных композитных сред: Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. М.: МГУ, 1995. - 226 с.

50. Исупов Л.П., Хлебалина Е.А. Жесткопластическая модель волокнистого композита // Механика композитных материалов. 1994. - Т. 30, № 6. -С. 730-736. •

51. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во Московского госуд. техн. унта им. Н.Э. Баумана, 2001. - 336 с.

52. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

53. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1967. - 420 с.

54. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.-208 с.

55. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига: Зинатне, 1971. - 147 с.

56. Ковальчук Б.И. О критерии предельного состояния некоторых корпусных сталей в условиях сложного напряженного состояния при комнатной и повышенных температурах // Проблемы прочности. 1981. - № 5. -С. 10-15.

57. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 1987.-280 с.

58. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред / Перев. с болгарского. -М.: Мир. 302 с.

59. Композиционные материалы: Справочник; В 8 т. / Под ред. Л. Браунтмана, Р. Крока. Применение композиционных материалов в технике. - М.: Машиностроение, 1978. - Том 3. - 512 с.

60. Композиционные материалы: Справочник; В 8 т. / Под ред. Л. Браунтмана, Р. Крока. Композиционные материалы с металлической матрицей - М.: Машиностроение, 1978. - Том 4. - 504 с.

61. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990. - 510 с.

62. Кондаков С.Ф., Милейко С.Т. Композит металл металлическое волокно при сложном напряженном состоянии // Машиноведение. - 1974. -№ 3. - ^ С. 73-77.

63. Конструкционные материалы: Справочник / Б.Н. Арзамасов, В.А. Брострем, Н.А. Буше и др.; Под общ. ред. Б.Н. Арзамасова. -М.: Машиностроение, 1990. 688 с.

64. Косарчук В.В., Ковальчук Б.П., Лебедев А.А. Теория пластического течения анизотропных сред. Сообщ. 1. Определяющие соотношения // Проблемы прочности. 1982. - № 4. - С. 50-57.

65. Костиков В.И., Варенков А.Н. Композиционные материалы на основе алюминевых сплавов, армированных углеродными волокнами. -М.: Интермет-инжиниринг, 2000. -446 с.

66. Красновский Е.Е. Построение допустимого поля напряжений для встречного функционала в теории упругости // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 8. - С. 124-127.

67. Красновский Е.Е. Математическое моделирование пластического течения анизотропного разносопротивляющегося материала // Известия вузов. Машиностроение. 2005. - № 5.

68. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

69. Кувыркин Г.Н., Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести // Машиностроение: Энциклопедия; В 40 т. / Под общ.ред. К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1994. - Т. 1-3, Книга 1С. 226-227.

70. Кузнецов Е.Е. Вариант построения теории пластичности ортотропных сред: квадратичная функция предельного состояния: Диссертация насоискание учёной степени кандидата физико-математических наук. -Тула: Тульский госуд. ун-т, 2001. 100 с.

71. Лагздинь А., Зилауц А. Построение выпуклых предельных поверхностей в механике материалов // Механика композитных материалов. 1996. -Т32, № 3. - С. 339-349.

72. Лалин В.В. Постановки в усилиях задач статики упругих систем для решения методами конечных и граничных элементов: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. СПб.: 1993. -384 с.

73. Механические свойства конструкционных материалов при сложном напряжённом состоянии / А.А. Лебедев, Ю.И. Ковальчук, Ф.Ф. Гигиняк, В.П. Ломашевский. Киев: Наукова думка, 1983. - 366 с.

74. Ломакин В. А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностроение. -I960. -№4.-С. 60-64.

75. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1968. -400 с.

76. Малмейстер А.К. Геометрия теорий прочности // Механика полимеров. -1966.-№ 4.-С. 519-534.

77. Малмейстер А.К., Тамуж В.Д., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

78. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

79. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. -485 с.

80. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. -М.: Едиториал УРСС, 2004. 192 с.

81. Никольский М.Д. Встречные формы МКЭ в теории упругости: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. -СПб.:'Морской технический ун-т, 1992. 297 с.

82. Норенков И.П. Разработка систем автоматизированного проектирования. Учебник для вузов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1994.-207 с.

83. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

84. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

85. Павилайнен Г.В. Задача изгиба пластин из пластически анизотропных конструкционных материалов // Тезисы докладов. Международная конференция по строительной механике корабля, посвящённая памяти акад. Ю.А. Шиманского. СПб., 2001. - С. 90-91.

86. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряжённом состоянии. Киев: Наукова Думка, 1976. -416 с.

87. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести: Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1981.-496 с.

88. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Московского ун-та, 1979.-214 с.

89. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Московского ун-та, 1984. - 386 с.

90. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. -Ташкент: ФАН, 1988. 197 с.

91. Попов Б.Г. Расчёт многослойных конструкций вариационно-матричными методами. М.: Изд. Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1993.-294 с.

92. Проценко A.M. Теория упруго-идеальнопластических систем. -М.: Наука, 1982.-288 с.

93. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988.-712 с.

94. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / В.И. Мяченков, В.П. Мальцев, В.П. Майборода и др.; Под. ред. В.И. Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. -520 с.

95. Расчёты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарёв, B.JI. Бидерман, К.К. Лихарев и др.; Под общ. ред. С.Д. Пономарева. -М.: Машгиз, 1958. Т. 2. - 974 с.

96. Рыбакина О.Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом SD // Проблемы механики деформируемого твёрдого тела: Межвузовский сборник / Под ред. Н.Ф. Морозова. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1982. - № 4. - С. 132-142.

97. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-320 с.

98. Сарбаев Б.С. Феноменологические модели пластического деформирования волокнистых композитов: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. М.: Московский госуд. техн. ун-т им Н.Э. Баумана, 1996. - 284 с.

99. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А.С. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский и др.; Под общ. ред. А.С. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1982. - 480 с.

100. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

101. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. - Т. 1. - 492 с.

102. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. - Т. 2. - 584 с.

103. Селиванов В.В. Механика разрушения деформируемого тела: Учебник для втузов. М.: Изд-во Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана, 1999. - 420 с. (Прикладная механика сплошных сред; Т. 2).

104. Селиванов В.В., Зарубин B.C., Ионов В.Н. Аналитические методы механики сплошной среды. М.: Изд. Московского госуд. техн. ун-та им. Н.Э.Баумана, 1994. - 384 с.

105. Справочник металлиста; В 5 томах / Под ред. А.Г. Рахштадта, В.А. Бростема. М.: Машиностроение, 1976. - Т. 2. - 717 с.

106. Станкевич И.В. Численный анализ нелинейных задач вычислительной термомеханики: Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук. М.: Московский госуд. техн. ун-т им Н.Э. Баумана, 2001.-359 с.

107. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов М.: Мир, 1977.-349 с.

108. ИЗ. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.-512 с.

109. Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести //Машиностроение: Энциклопедия; В 40 т. / Под общ. ред. К.С. Колесникова. М: Машиностроение, 1994. - Т. 1-3, Книга 1- С. 226236; 255-269.

110. Темис Ю.М. Применение метода Ньютона-Канторовича при решении задач деформационной теории пластичности // Труды ЦИАМ. 1988. -№ 1256.-С. 1-21.

111. Темис Ю.М. Самокорректирующийся шаговый метод решения нелинейных задач упругости и пластичности // Труды ЦИАМ. 1980. -№918.-С. 1-24.

112. Темис Ю.М. Сходимость метода Ньютона-Канторовича в задачах деформационной теории пластичности // Труды ЦИАМ. 1988. - № 1256. - С. 22-40.

113. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. -М.Машиностроение, 1975. -455 с.

114. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: ОНТИ, 1937. -451 с.

115. Феодосьев В.И. Основы техники ракетного полёта. М.: Наука, 1981. -496 с.

116. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 374 с.

117. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. -407 с.

118. Ху Л.В., Марин Д. Анизотропные функции нагружения для сложных напряженных состояний в пластической области // Механика: Сборник переводов ИЛ. 1960. - Т. 61. - С. 37-45.

119. Чарин А.В. Пластическое течение анизотропного упрочняющегося разносопротивляющегося материала: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Тула: Тульский госуд. ун-т, 1998.- 175 с.

120. Черняев А.В. Волочение труб из анизотропного упрочняющегося материала: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. Тула: Тульский госуд. ун-т, 1998. - 214 с.

121. Шамбина С.Л. Критерии прочности в расчётах элементов конструкций из анизотропных материалов: Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. М.: Российский ун-т дружбы народов, 1996.- 185 с.

122. Шипьянов Е.К. Пластическое деформирование анизотропного материала с учётом поворота главных осей анизотропии: Диссертация на соисканиеучёной степени кандидата технических наук. Тула: Тульский госуд. ун-т, 1997.-186 с.

123. Ягн Ю.И. Новые методы расчетов на прочность // Вестник инженеров и техников. 1931. -№ 6. - С. 237-244.1:30. ANSYS 6.1 Theory Reference. Copyright 1971, 1978, 1982, 1985, 1987, 1989, 1992-2002 by SAS IP.

124. Argyris J.H., Kelsey S. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engng. 1955. -Vol. 26.-P. 132-148.

125. Azzi V.D., Tsai S.W. Anisotropic strength of composites // Exp. Mech. 1965. -Vol. 5.-P. 211-219.

126. Bathe K.J. Finite element procedures. New Jersey: Prentice Hall, 1996. -1037 p.

127. Belytschko Т., Liu W.K., Moran B. Nonlinear finite elements for continua and structures. Chichester: John Wiley & Sons, 2001. - 650 p.

128. Bussamra F.L.S., Pimenta P.M. Freitas J.A.T. Hybrid-Trefftz stress elements for three-dimensional elastoplasticity // Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences. 2001. - Vol. 8., Nos 2/3. - P. 235-246.

129. Desai C.S. A general basis for yield, failure and potential functions in plasticity // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1980. - Vol. 4, № 4. - P. 361375.

130. An experimental study of elastic-plastic behavior of a fibrous boron-aluminum composite / G.J. Dvorak, Y.A. Bahei-El-Din, Y. Macheret, C.H. Liu // J. Mech. Phys. Solids. 1988. - Vol. 36, № 6. - P. 655-687.

131. Fischer L. How to predict structural behaviour of R.P. laminates // Modern & Plastics.-1960.-№ 10.-P. 23-31.

132. Frederking R.M.W., Sidebottom O.M. An experimental evaluation of plasticity theories for anisotropic metals // Pap. Amer. Soc. Mech. Eng. 1970. - № 17. -P. 3-8.

133. Hashagen F., de Borst R. Enhancement of the Hoffman yield criterion with an anisotropic hardening model // Computers & Structures. 2001. - № 79. -P. 637-651.

134. Hirsch M.W., Smale S. Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. New York: Academic Press, 1974. - 374 p.

135. Hoffman O. The brittle strength of orthotropic materials // J. Composite materials. 1967. -№ 1. - P. 200-206.

136. Hrenikof A. Solutions of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech. 1941. -№ 8. - P. 169-175.

137. Kaw A.K. Mechanics of composite materials. Boca Raton: CRC Press, 1997. -329 p.

138. Koh C.G., Owen D.R.J., Peric D. Explicit dynamic analysis of elasto-plastic laminated composite shells: implementation of non-iterative stress update schemes for the Hoffman yield criterion // Computational mechanic. 1995. -№ 16.-P. 307-314.

139. Krieg R.D., Krieg D.B. Accuracies of numerical solution methods for the elastic-perfectly plastic model // J. Pressure Vessel Tech. 1977. - № 11. -P. 510-515.

140. Marin J. Theories of strength for combined stresses and anisotropic materials //J. of Aerospace Sciences. 1957. - Vol.24. - P. 235-268.

141. McHenry D.A Lattice analogy for the solution of plane stress problems analysis // J. Inst. Civ. Eng. 1943. - № 21. - P 59-82.

142. Mises R. Mechanik der plastischen formanderung von kristallen // Z. Angew. Math, und Mech. 1928.- Bd. 8, H. 3.-S. 161-185.

143. Mulhern J.P., Rogers T.G., Spencer A.J.M. A continuum model for fibre-reinforced plastic materials // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1967. -Vol. 301, № 1467.-P. 473-492.

144. Newmark N.M. Numerical methods of analysis in bars, plates and elastic bodies / In Numerical methods in Analysis in Engineering / Ed. L.E. Grinter. -London: Macmillan. 1949.

145. Norris C.B. Strength of orthotropic materials subjected to combined stresses //Forest Products Laboratory Report. -1950. -№ 1816. P. 97-109.

146. Ota Т., Shindo A., Fukuoka H. A consideration on anisotropic yield criterion // Proc. 9. Jap. nat. congr. appl. mech. Tokyo, 1959. - P. 117-120.

147. Puppo A.N., Evensen H.A. Strength of anisotropic materials under combined stresses // AIAA Journal. 1972. - Vol. 10, № 4. - P. 468-474.

148. Schellekens J.C.J., de Borst R. The use of the Hoffman yield criterion in finite element analysis of anisotropic composites // Computers & Structures. 1990. -№37(6).-P. 1087-1096.

149. Shih C.F., Lee D. Further developments in anisotropic plasticity // J. of Engineering Materials and Technology. 1978. - Vol. 100, July. - P. 294-302.

150. Simo J.C., Hughes T.J.R. General return mapping algorithms for rate-independent plasticity // Desai C.S. et al. (ed). Constitutive laws for engineering materials: Theory and applications. New York: Elsevier, 1987. -P. 221-231.

151. Simo J.C., Taylor R.L. Consistent tangent operators for rate independent elastoplasticity // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. 1985. - № 48. - P. 101118.

152. Sobotka Z. Second order plastic flow of isotropic partially compressible media //ACTATechnicaCSAV. 1975. -№ 3.-P. 301-321.

153. Sobotka Z. The plastic flow of orthotropic materials with different mechanical properties in tension and compression // ACTA Technica CSAV. 1971. -Vol. 16, №6.-P. 772-776.

154. Tsai S.W., Wu E.M. A general theory of strength for anisotropic materials // J. Composite Materials. 1971. - Vol. 5. - P. 58-80.

155. Werren F. Mechanical properties of glass-cloth plastic laminates as related to direction of stress and construction of laminate // Trans. ASME. 1953. - № 4. -P. 317-323.

156. Wilkins M.L. Calculation of elastic-plastic flow // Methods of Computational Physics / Ed. B. Alder, S. Fernback, M. Rotenberg. New York: Academic Press, 1964. - Vol. 3. - P. 211-263.

157. Xikui L., Duxbury P.G., Lyons P. 1994. Considerations for the application and numerical implementation of strain hardening with the Hoffman yield criterion // Computers & Structures. 1994. - № 52 (4). - P. 633-634.