Применение метода конечных элементов на основе смешанного функционала к расчёту пластин и оболочек с учётом физической нелинейности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Арьков, Дмитрий Петрович

• Арьков, Дмитрий Петрович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Арьков, Дмитрий Петрович

Введение.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК.

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И

ПЛАСТИЧНОСТИ В МАТРИЧНОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ.

2.1. Основные соотношения линейной теории упругости.

2.2. Основные соотношения деформационной теории пластичности.

2.3. Вариационная формулировка задач теории упругости.

2.4. Смешанный функционал на шаге нагружения.

3. РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ в плоской задаче теории упругости.

3.1. Плоская деформация.

3.2. Плоское напряжённое состояние.

3.4. Получение матрицы деформирования конечного элемента на шаге нагружения.

3.4.1. Геометрия криволинейной пластины, перемещения и деформации.

3.4.2. Матрица деформирования конечного элемента.

3.5. Решение тестовых задач.

3.5.1 Тестовый пример №1.

3.5.2 Тестовый пример №2.

3.6. Вывод по главе №3.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ.

4.1. Геометрия оболочки вращения, перемещения и деформации.

4.2. Физические соотношения на шаге нагружения.

4.2.1. Матрица деформирования конечного элемента.

4.3. Тестовый пример № 3.

Тестовый пример №4.

4.4. Вывод по главе №4.

5. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАСЧЁТА ОБОЛОЧЕК ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ.

5.1. Геометрия оболочки вращения, перемещения, деформации.

5.2. Физические соотношения при упруго-пластическом деформировании.

5.3. Матрицы деформирования конечного элемента.

5.4.Тестовый пример №5.

Тестовый пример №6.

Тестовый пример №7.

Тестовый пример №8.

5.5. Выводы по главе №5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода конечных элементов на основе смешанного функционала к расчёту пластин и оболочек с учётом физической нелинейности»

Создание прочных и надежных конструкций с высокими показателями качества является приоритетной задачей во многих областях современной техники.

Оболочки различной формы в настоящее время являются одними из наиболее распространенных элементов инженерных конструкций. Благодаря своей криволинейной форме оболочки работают как пространственные элементы и обладают выгодными прочностными свойствами, что позволяет при рациональном проектировании создавать из них легкие и устойчивые конструкции при достаточной прочности. Это преимущество способствует их эффективному применению.

В последние десятилетия в связи с бурным темпом развития вычислительной техники получили широкое применение численные методы анализа конструкций. Численные методы, основанные на вариационных постановках, приобрели большое значение в решении задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела. Одним из наиболее используемых численных методов исследования напряженно-деформированного состояния оболочек является метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий достигать достаточно точных решений при расчете сплошных систем, благодаря его универсальности в программной реализации и возможности создания полностью автоматизированного цикла расчета. МКЭ в сравнении с другими численными методами обладает рядом существенных преимуществ:

- возможность учета физических свойств материала, температурных воздействий возникающих в процессе эксплуатации;

- использование МКЭ позволяет учесть анизотропию материала, переменность толщины конструкции, концентрации напряжений, вызванные наличием вырезов.

Конечно-элементный анализ получает все большее распространение в реальной инженерной практике, так как является наиболее подходящим для моделирования сложных физических процессов деформирования конструкций. В настоящее время этот метод заложен в основу подавляющего большинства систем автоматизированного расчета конструкций во многих отраслях, где используются оболочки: в авиастроении, судостроении, машиностроении, промышленном и гражданском строительстве. Как и всякий другой, метод конечных элементов имеет свои достоинства и недостатки. Но несомненно, что его развитие и использование в научных и производственных целях дает огромный экономический эффект.

Наибольшее распространение получил метод конечных элементов в форме перемещений. Этому методу посвящено огромное количество работ, их анализ позволяет говорить о том, что наряду с достоинствами имеется и ряд нерешенных проблем: не высокая точность вычисления напряжений по сравнению с перемещениями, сложность решения почти несжимаемых тел, учет смещений конструкции как жесткого целого и другие. Это обстоятельство привело к появлению ряда работ по развитию гибридных вариантов МКЭ в форме метода перемещений, но проблемы, возникающие при использовании конечных элементов метода перемещений при вычислении напряжений, полностью не устраняются и для гибридных элементов.

Проведенные различными учеными исследования позволяют говорить о преимуществах смешанной формы перед МКЭ в форме метода перемещений для расчёта пластин и оболочек (Л. Геррманн, К.-Ю. Бате, A.C. Сахаров, A.A. Покровский и др.). Одним из достоинств МКЭ в смешанной форме является возможность получения искомых перемещений и напряжений, не прибегая к дополнительным вычислениям, решив системы разрешающих уравнений. Как отмечено в ряде работ [11, 25, 51, 58] смешанная форма метода конечных элементов (несмотря на преимущества) не реализована в достаточной мере для расчётов пластин и оболочек.

Большинство методов расчёта сводят конструкции и сооружения к линейным (стержневым) элементам в виде балок, колонн и т.д. На самом деле значительная часть конструкций относится к пространственным, в которых трудно, а иногда и невозможно, выделить характерные стадии работы.

Трехмерные конечные элементы для расчёта пространственных конструкций являются более корректными, а в зонах концентраций напряжений, где зачастую появляются пластические деформации и неприемлема гипотеза о деформировании нормали, они фактически являются безальтернативными.

Работы по исследованию напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с учётом физической нелинейности в трехмерной постановке методом конечных элементов в смешанной форме с применением трёхмерных конечных элементов практически отсутствуют.

Поэтому исследования направленные на формализацию и алгоритмизацию метода конечных элементов в смешанной форме, разработке эффективных трёхмерных конечных элементов для определения напряженно-деформированного состояния конструкций состоящих из пластин и оболочек с учётом физической нелинейности является актуальным и представляет практический интерес.

Целью диссертационной работы является разработка объемных конечных элементов в смешанной формулировке для совершенствования расчетов пластин и оболочек с учётом физической нелинейности материала

Для достижения указанной цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Получен смешанный функционал на шаге нагружения из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил.

2. Получены вариативные соотношения между приращениями напряжений и приращениями деформаций путем дифференцирования основных соотношений деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращения деформаций компонентам девиатора приращений напряжений.

3. С использованием трилинейных полиномов получены аппроксимирующие выражения между приращениями перемещений и приращениями напряжений во внутренней точки конечного элемента через их узловые значения.

4. Минимизацией функционала по узловым значениям приращений напряжений и приращений перемещений получены матрицы деформирования объемных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с учетом физической нелинейности материала.

5. Проведено сопоставление результатов, полученных на основе разработанных конечных элементов, с результатами аналитических решений и результатов, полученными на основе конечно-элементного программного комплекса.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- в получении из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил смешанного функционала на шаге нагружения для реализации в конечно-элементной процедуре расчета при учете физической нелинейности материала;

- в разработке на основе предложенного смешанного функционала алгоритмов получения матриц деформирования трехмерных конечных элементов для расчета пластин и оболочек с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений при учете упругопластического состояния материала. Соотношения между приращениями деформаций и напряжений определялись на основе деформационной теории пластичности (Ильюшин A.A.) и предложенной в данной работе теории, использующей гипотезу о пропорциональности компонентов девиаторов приращений деформаций и приращений напряжений.

Практическая ценность заключается в том, что разработанные конечные элементы могут эффективно использоваться в программных комплексах, предназначенных для расчета реальных конструкций, состоящих из пластин, оболочек и их фрагментов при упругом и упруго-пластическом состоянии материала.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- алгоритмы получения смешанного функционала на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения;

- варианты соотношений между приращениями деформаций и напряжений на шаге нагружения на основе деформационной теории пластичности и на основе гипотезы о пропорциональности девиатора приращений деформаций девиатору приращений напряжений;

- алгоритмы формирования матриц деформирования трехмерных конечных элементов на шаге нагружения на основе предложенного смешанного функционала для определения напряжённо-деформированного состояния пластин и оболочек вращения при упругопластическом состоянии материала.

Достоверность научных положений и результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанного конечного элемента, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Реализация

Результаты исследований включены в программу для уточненной оценки прочности аппаратов химического и нефтегазового оборудования и определения деформаций в конструктивных элементах технологического оборудования.

С использованием разработанных программ можно производить уточненный расчёт на прочность конструкций, что позволяет проектировать их более экономичными с обеспечением необходимой прочности, надёжности в эксплуатации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы (131 наименований), изложена на 156 страницах машинописного текста, содержит 39 рисунков и 7 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Арьков, Дмитрий Петрович

5.5. Выводы по главе №5

1. В данной главе на основе полученных зависимостей между приращениями перемещений и приращениями деформаций в трёхмерной постановке получены вариативные соотношения приращений деформаций и приращений напряжений, разработан алгоритм формирования матрицы деформирования конечного элемента на шаге нагружения размером 72x72.

2. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с результатами аналитического расчета и результатами полученными с помощью конечно-элементного программного комплекса ABAQUS. На рассмотренном примере показана приемлемость реализованного алгоритма смешанного метода конечных элементов для учёта упругопластического состояния материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. На шаге нагружения получен функционал на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил, пригодный для реализации МКЭ в смешанной формулировке.

2. Разработан объемный конечный элемент (размер матрицы деформирования 20x20) для расчета пластин и оболочек при плоском нагружении и плоском деформировании с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений.

3. Разработан объемный конечный элемент (размер матрицы деформирования 24x24) для расчета осесимметрично нагруженных оболочек вращения с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращенийнапряжений.

4. Разработан объемный конечный элемент (размер матрицы деформирования 72x72) для расчета произвольно нагруженных оболочек вращения с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений.

5. Соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений, полученные дифференцированием соотношений деформационной теории пластичности при использовании гипотезы о пропорциональности' компонентов девиаторов приращений деформаций и г девиаторов приращений напряжений, реализованные в смешанной конечноI элементной формулировке, привели к практически одинаковым результатам в значениях расчетных величин.

6. На численных примерах показана эффективность использования разработанных конечных элементов при упругопластическом состоянии материала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Арьков, Дмитрий Петрович, 2012 год

1. Абовский, Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев А.П. Деруга -М.: Наука, 1978.-288 с.

2. Арьков, Д.П. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке. / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Строительная механика'инженерных конструкций и сооружений. М.: 2010. №4. С.32-37.

3. Арьков, Д.П. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии. / Д.П. Арьков,

4. H.A. Гуреева / Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы 2010» Российский университет дружбы народов. Москва 2010г. С. 185-189.

5. Арьков, ДЛ. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности. / Д.П. Арьков, H.A. Гуреева / Известия ВолгГТУ. Волгоград. 2010. - № 4. -С. 128-132.

6. Багмутов, В.П. Микронеоднородное деформирование и статистические критерии прочности и пластичности: монография / В.П. Багмутов, Е.П. Богданов // ВолгГТУ, Волгогр. гос. с.-х. акад. Волгоград: РПК "Политехник", 2003. - 358 с.

7. Бате К.-Ю. Метод конечных элементов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. -1022с.

8. Вольмир, А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963.-879 с.

9. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер.- М.: Мир, 1984. -428* с.

10. Галилеев, М.М. Схема смешанного метода конечных элементов для пластин и оболочек. Прикладные и теоретические исследования строительных конструкций. - М., 1981. - С. 26-30.

11. Голованов, А.И. Введение в МКЭ статики тонких оболочек /А.И. Голованов. М.С. Корнишин. Казань: изд-воКФ АН СССР, 1990. - 269 с.

12. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций /А.И. Голованов. О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392с. ISBN 5-9221-0674-0.

13. Гинесин, Л.Ю. Применение метода конечных элементов к расчетутонких пологих оболочек / Л.Ю. Гинесин, М.М. Стратонова, А.Л. Берне //Тр. Центр, института авиац. моторостроения. 1982, №996. С. 39-50.

14. Григоренко, Я.М. Численный анализ напряженного состояния слоистых анизотропных оболочек на базе смешанной модели МКЭ / Я.М. Григоренко, С.С. Кокошин // Прикладная механика. - 1982. Т. 18 № 2. - С.З-6.

15. Григоренко, Я.М. Решение задач теории оболочек на ЭВМ / Я.М. Григоренко, А.П. Мукоед. Киев: Вища школа, 1979. - 280 с.

16. Гуреева, H.A. Восьмиугольный объемный конечный элемент в смешанной формулировке на основе функционала Рейсснера / H.A. Гуреева // МГТУ им. Н.Э. Баумана, Изв. вузов: Машиностроение, 2007. №5. С. 23-28.

17. Дьяконов, Е.Г. О решении нелинейных статических задач теории пластин и оболочек. Численные методы механики сплошной среды / Е.Г. Дьяконов, Н.Н.Столяров // Новосибирск. 1979. Т 10, 5.- С. 39-62.

18. Зенкевич, О. Метод конечных элементов к технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. 541 с.

19. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкекич, К. Морган. М.: Мир, 1986. -318 с.

20. Игнатьев, В. А. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах строительной механики / В.А. Игнатьев, A.B. Игнатьев, A.B. Жиделев. Волгоград 2006. -170с.

21. Ильюшин А.А Пластичность.- М.:Гостехиздат, 1948. 376с.

22. Жиделёв, А. В. Смешанная форма МКЭ в задачах расчёта геометрически нелинейных стержневых систем / А. В. Жиделёв, В. А. Игнатьев147 .

23. Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета; Серп Естественные науки. Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2007. - Вып. 6 (23). - С. 78-84.

24. Ким А.Ю. Численное исследование нелинейных мембранно-пневматических систем / А.Ю. Ким; Сарат. гос. аграр. унтт.- Саратов,- 2001. -201 е.-Деп. в ВИНИТИ 28;04.01.-№:1916-В200К

25. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики. Запорожье.: 2009. -400с.30'. Корнеев, В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1977. -206 с.

26. Корнеев, В.Г. О численном: решении в усилиях задач теории оболочек с использованием косоугольной сетки / В.Г. Корнеев //. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. Т. 21. - № 2. - С. 441-451.

27. Корнеев;. В.Г. Некоторые вопросы построения? исследования схем метода конечных элементов / В.Г. Корнеев // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, ,1974^т. 5; №1 с. 59-87.

28. Корнишин, М.С. Нелинейные задач теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192с.34; Корнишин; М1С. Гибкие пластины:и:панелт/ М*.С. Корнишин, Ф.С. Исанбаева. М:: Наука, 1968. -260 с.

29. Лионе, Ж. Л:.Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Л. Лионе, Э. Мадженес. М.: Мир, 1971.- 371 с.

30. Малинин, Н.Н. Прикладная- теория пластичности и ползучести; Учебник для студентов вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Машиностроение», 1975, 400 с.

31. Марчук, Г.И; Введение в проекционно-сеточные методы /Г.ИМарчук, В.И. Агошков. Наука, 1981. 416 с.

32. Масловская, Л.В. О некоторых вариационных формулировках задач теории оболочек / Л.В.Масловская, А.П.Филиппович, В.Г. Голушков, Ю.Н.

33. Крапивный II В кн.: III Респ. симп. По дифференциальным и интегральным1.уравнениям. 1-3 июня 1982. Тезисы докл. Одесса: Изд-во Одесск ун-та. -С.51-52.

34. Масловская, JI.B. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач /Л.В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. - № 1. - С. 67-74

35. Милейковский, И.Е. К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейсснера / И.Е. Милейковский, JI.A. Трайнин //. Строит, механика и расчет сооружений. 1977. - №4. -С.21-27.

36. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. М.: Мир, 1981. - 216с.

37. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. -512 с.

38. Михлин, С.Г. Численная реализация1 вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 432 с.

39. Назаров, A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. -JI. -М.: ГИТЛ, 1966.-304 с.

40. Николаев, А.П. Об определении напряженно-деформируемого состояния тонких оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Прикладная механика. Киев. 1988. №3. -С.46-52.

41. Николаев, А.П. Новый эффективный способ интерполяции t перемещений в конечно-элементном анализе оболочек / А.П. Николаев, Н.Г.

42. Одэн, Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач /Ж.П. Оден. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977. 383 с.

43. Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / Л.А. Оганесян, В.Я.Ривкинд, Л.А. Руховец II. Часть П.' Дифференц. уравнения и их применение, Вып.8, Вильнюс, 1974. -322с.

44. Покровский А.А. Смешанная форма метода конечных элементов в линейных задачах. ПГАСА, 2003, -99с.

45. Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим // Изд-во Судостроение Ленинград, 1974. 344 с.

46. Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс // Рига, «ЗИНАТНЕ» 1988. 284с.

47. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.-М.: Стройиздат, 1977.-128с.

48. Скопинский В.Н. Напряжения в пересекающихся оболочках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 400с.

49. Сливкер, В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем. Изв.АН СССР. Механика твердого тела, 1982.-№ 4.-С.88-97.

50. Соболев, С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1950: - 220 с.

51. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат 1993. 664с.

52. Стренг, Г. Теория МКЭ / Г. Стренг, Дж. Фикс. М.: Мир, 1977. 349с.

53. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980.- 512 с.

54. Трушин С.И. Метод конечных элементов. М.: АСВ, 2008. 257с.

55. Филиппович, А.П. Применение смешанного метода конечных элементов в задачах об изгибе пологих оболочек / А.П. Филиппович // -Численные методы, механики сплошной среды. Новосибирск, 1982. Т. 13. №4. -С. 143-162

56. Хечумов, Р.А. Применение метода конечных элементов к расчёту конструкций / Р.А. Хечумов, X. Кепплер, В.И. Прокопьев // M.: АСВ, 1994. -351с:

57. Черных, К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во Ленинград, унта, 1962,-4.1. -374 с., 1964. - 4.2,- З96.с.

58. Шапошников, Н.Н. Расчет пологих оболочек и пластин со сложным контуром- по МКЭ с использованием прямоугольной) ортогональной1 сетки / Н.Н. Шапошников, В.А. Ожерельев II. Численные методы и алгоритмы. -М., 1981.- С. 54-55.

59. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р.Темам. -М.: Мир, 1979. -399 с.

60. Aubin, J.P. Some aspects of the method of the hypercircle applied to elliptic variational problems / J.P: Aubin, H.G. Burchard, in SYNSPADE 1970 (B. Hubbard, editor), Academic Press, New York, 1971.

61. Bernadou, M. Convergence of conforming finite element method fox general shell problems. Int. J. Engag. Sci., 1980, v. 18, N 2, p. 249-276.

62. Brambl, J., Hilbert S. Estimation of linear functional on Sobolev Spaces with application to Fourier transforms and spine interpolation. SIAM J. Numer. Anal., 1976, v. 13, p.185-197.

63. Bercovier, M. Régularisation duale des problèmes variationnels mixtes. Applications aux elements finis mixtes at extension a quelques problèmes nonlineaires / M. Bercovier // Doctoral Thesis, Universite de Rouen, 1976.

64. Bercovier, M. A 4 CST quadrilateral element for incompressible and nearly incompressible materials / M. Bercovier, E. Livne // Technical Note MB/76/3, Computation Center, Hebrew University Jerusalem, 1976.

65. Bressi, F. On the existance, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers / F.Bressi //RAIRO, 1974, v. 8, №2, p. 129-151.

66. Brezzi, F. Sur la methode des elements finis hybrdes pour le probleme biharmonique. Numer. Math., 1975, v. 24, p.103 -131.

67. Brezzi, F. Analysts of a mixed finite element method for elastoplastic plates /F.Brezzi, C. Johnson, B. Mercier // Math. Comp. 31.(1977), 140, pp. 809817.

68. Brezzi, F., Raviart RA. Mixed finite element methods for 4th-order elliptic equations. Topics in Numerical Analysis III, (J.J.H.Miller ed.), Academic Press, New-York, 1976, p. 315-338.

69. Brezzi, F. Non-standart finite element for fourth order elliptic problems. Energy Method Finite Element Anal., Chichester e.a., 1979, p. 193-211!.

70. Ciarlet, P.G. General Lagrange and Ermite interpolation in Ran with applications to finite element methods / P.G. Ciarlet, P.A. Raviart //. Arch. Rat. Mech. Anal., 1972, v.46, p. 177-189.

71. Cowper,G.R. A shallow shell1 finite element of triangular shape / G.R. Cowper, G.M. Linberg, M.D. Olson // Int. J. Solids Struct., 1970, v. 6, p. 11331156.

72. Falk R.S. Error estimates for mixed methods / R.S. Falk, J.E. Osborn // -RAIRO, Numer, Anal., 1980, v. 14, №3, p. 249-277.

73. Farhloul, M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA. J. Num. Analysis 18 (1998). pp. 121-132.

74. Farhloul, M. On a mixed finite element method for the p-Laplasian /M. Farhloul, H. Manouzi //Canadian Applied Mathematics Quathrly, V. 8, N 1, Spring 2000.- pp. 67-78.

75. Fortin, M. Resolution numerique des equations de Navier-Stokes par des elements finis de type mixte / M. Fortin // in Journees Elements Finis, Universite de Rennes, Rennes, 1976.

76. Fourtin, M. Analysis of the convergence of mixed finite element methods. RAIRO, 1977, v. 11, p, 341-354.

77. Haslinger, J. Curved elements in a mixed finite element method close to the equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat. 20 (1975). pp. 233252.

78. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model / Jl Haslinger, Hlavacek // Numer. Math. 26 (1976). pp. 85-97.

79. Haslinger, J. A mixed finite clement method close to equilibrium model applied to plane elastostatics / J. Haslinger, Hlavacek // Apl.Mat. 21 (1976). pp. 28-42.

80. Hellan, K. Analysis of elastic plates in flecsure by a simplified finite element method / K. Hellan // Acta Polytechn. Scandinavica. Ci 40.Frondheim, 1967.-V. 46. pp. 1-29.

81. Herrmann, L. Finite element bending analysis of plates -J. f Mech., 1967, Div. ASCE, v. 93, EMS, p. 49-83.

82. Herrmann, L.R., Cambell O.M. A finite element analysis for thin shell. -AIAA, 1968, v. 6, № 10, p. 1842-1847.

83. Johnson, C. Convergence, of another mixed finite-element method for plate bending problem / C. Johnson // Report No. 1972-27, Department of Mathematics, Chalmers Institute of Technology and the University of Goteborg, Goteborg, 1972.

84. Johnson, C. On the convergence of a mixed finite element method forplate-bending problems. Numer Math., 1973, v. 21, p. 43-62.

85. Ji Zhen-yi, Wu Chang-Chun. Смешанный вариационный принцип для дискретного анализа пологих оболочек и применение гибридного искривленного элемента оболочки с двенадцатью степенями свободы. Acta Mech. Solida sin., 1982, №3, p. 366-378.

86. Kikuchi, F. Theory and examples of partial approximation in the finite element method / F. Kikuchi // Internal. J. Numer. Methods Engrg. 10 (1976). pp. 115-122.

87. Kikuchi, F. Rectangular finite element for ending plate bending analysys based on Hellinger-Reissner's variational princilc / F. Kikuchi, Y. Ando // J. Nuclear Sci. and Tech.9 (1972). pp. 28-35.

88. Kikuchi, F. Some finite element solution for plate bending problems by symplified hybrid displacement method / F. Kikuchi, Y. Ando //- Nuclear Engng. and Design., 1972, v. 23, p.155-178.

89. Kikuchi, F. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending / F. Kikuchi, Y. Ando //- Nuclear Engag. And Design., 1973, v. 24, p. 357-373.

90. Kikuchi, F. Accuracy of some finite element models for arch problems. Comput. meth. in appl. Mech. and Engng., 1982, v. 35, p. 315345.

91. Koiter,W. T. On the foundations of the linear theory of thin elastic shell. I, II. Proc. Koninklijne Nederlands Akad. van Wetenschappen, ser. B, 73, 1970, p. 169-196.

92. Mansfield, L.E. Mixed finite element methods for elliptic equations / L.E. Mansfield// Report No. 76-24. Institute for Computer Applications in Science and Engineering, NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1976.

93. Mansfield, L.E. Finite element for nonlinear shell analysis. Numer. Math., 1981, v. 37 №1, p. 121-131.

94. Miyoshi, T. Finite element method for the solutions of fourth orderpartial differential Equations / T. Miyoshi // Kumamoto J. Sci. (Math.) 9(1973). -pp. 87-116.

95. Miyoshi, T. Finite element method of mixed type and its convergence in linear shell problems/ T. Miyoshi // Kumamoto J. Sci. (Math.), v. 10, p. 3558.

96. Miyoshi, T. A mixed finite element method for the solution of the Karman equations / T. Miyoshi // Numer. Math. 26 (1976).- pp, 255-269.

97. Oden, J.T. Some contributions to the mathematical theory of mixedfinite element approximation / Oden J.T. // in Theory and Practice in Finitej.

98. Element Structural Analysis, pp. 3-23, University of Tokyo Press, 1973.

99. Oden, J.T., Reddy J.N. On dual-complementary variation principles in mathematical physics/ J.T. Oden, J.N. Reddy // Int. J. Engng. 1974, v. 12, p. 129.

100. Oden, J.T. Some observations on-properties of sertain mixed finite , element approximations / J.T. Oden, J.N. Reddy // Internat. J- Numer Methods. Engrg. 9 (1975). pp, 933-949,

101. Osborn, J.E. Analysis of mixed methods using mesh dependent spaces. Comput. Meth. Nonlinear Mech, Proc. TICOM 2nd Int. Confr, Austin, Tex., 1979. - Amsterdam e.a., 1980, p. 361-377.

102. Quarteroni A. On mixed methods for fourth-order problems. -Gomput. Meth. in AppliMech. And Engng., 1980 v.24, p:13:34:

103. Raviart, P.A. Elements; finis et diialite. Proc. Int. Congr. Math;, Helsinki, 15-23, Aug. 1978, v. 2, Helsinki, 1980, p. 929-935.

104. Rannacher, R. On nonconforming and mixed finite element method for plate bending problems. The linear case: -RAIRO,* Anal, Numer., 1979;.V;,13;. №4, p. 369-387.

105. Reissner,„' E. On a variational theorem.; in elasticity; J.Math. and Physics, 1950, v. 29, №2, p. 90-95.

106. Sander G;,:Idelson S. A^^family ofxonfoiming.finite elementifor shelL analysis. Int; J: for Nmer. Math in Engng., 1982, v.18 , p. 363-380. '

107. Talaslidis, D. On the convergence of a mixed finite element approximation for cylindrical shells. Z. angew. Meth. und Mech., 1979, v. 59, №9, p. 431-436.

108. Visser, W. A refined, mixed type plate bending element. -AIAA J.,1969, v. 7. --

109. Wada, H., Taki Y., Takamura T. Nonlinear analysis of plates and shells by the incremental procedure using a mixed model of the finite element method. -Bull, of the JSME, v. 23, №186, p. 1945-1951.

110. Zlamal, M. On the finite element method. Numer Math, 1968, v. 12, p. 394-402.

111. Altman, Wolf, Fquti Fernando A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation // Comput. and Struct. 1976. - 6. - N2. - p. 149155.

112. Argyris, J.H. Energy theorems and structural analysis. — London. Batterworth. 1960.

113. Hoist, J.M.F.G., Calladine C.R. Inversion problems in elastic thin shells // Eng. J. Mech. A. 1994. - 13. -N4. - p.3-18.

114. Turner, M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffness and defection analysis of complex structures // J. Aero. Sci. 1958. - 23. - №1. -p.805-823.