Математическое моделирование обтекания профиля и исследование его устойчивости в потоке по Ляпунову тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Марчевский, Илья Константинович

• Марчевский, Илья Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марчевский, Илья Константинович

j стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПРОФИЛЯ В ПОТОКЕ.

1.1. Необходимое условие неустойчивости для систем с одной степенью свободы.

1.2. Достаточные условия потери устойчивости для моделей с одной и тремя степенями свободы.

1.3. Расчетная схема и вывод уравнений движения профиля в потоке с тремя степенями свободы. Наличие положений равновесия.

1.4. Линеаризация уравнений движения профиля. Критическая скорость потока.

1.5. Исследование устойчивости по Ляпунову для системы с идеально упругими связями.

1.6. Исследование устойчивости по Ляпунову для системы с вяз-коупругими связями.

1.7. Анализ полученных критериев устойчивости.

1.8. Выводы '.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК МЕТОДОМ ВИХРЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

2.1. Постановка задачи

2.2. Краткое описание метода вихревых элементов

2.3. Расчетная схема метода вихревых элементов.

2.4. Программная реализация метода вихревых элементов

2.5. Верификация метода вихревых элементов.

2.5.1. Обтекание кругового профиля.

2.5.2. Обтекание полукруглого профиля.

2.5.3. Обтекание крылового профиля.

2.5.4. Определение распределения давления по поверхности профиля

2.6. Выводы

3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

ПРОФИЛЯ В ПОТОКЕ.

3.1. Алгоритм численно-аналитического метода исследования устойчивости.

3.2. Примеры применения численно-аналитического метода

3.2.1. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме ромба.

3.2.2. Исследование устойчивости профиля с сечением в форме квадрата.

3.2.3. Исследование устойчивости профиля обледенелого провода ЛЭП

3.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование обтекания профиля и исследование его устойчивости в потоке по Ляпунову»

Настоящая работа посвящена исследованию поведения элементов конструкций, помещенных в дозвуковой поток жидкости или газа. Особенность таких задач заключается в необходимости учета взаимодействия движущегося элемента конструкции со средой. Движение тела в потоке вызывает изменение характера его обтекания и, следовательно, изменение аэродинамических сил, действующих со стороны потока. В свою очередь, изменившиеся нагрузки определяют движение тела. Таким образом, для полного решения задачи о моделировании движения элемента конструкции, находящегося в потоке среды, необходимо решать связанную задачу аэроупругости, рассчитывая как параметры движения тела, так и течение вокруг него. Во многих случаях рассматриваемые элементы конструкций имеют значительное удлинение, поэтому возможно рассмотрение двумерной задачи об обтекании профиля исследуемой конструкции плоскопараллельным потоком. Постановка задачи позволяет перейти к приближенным моделям среды и рассматривать обтекание профиля несжимаемым потоком с постоянной плотностью. На правомерность такого упрощения указано в монографии Г.Г. Черного [51].

Выделяют два основных класса задач аэроупругости [3,5,48,50]: задачи статической аэроупругости и задачи динамической аэроупругости. К последним относят задачи исследования устойчивости конструкций в потоке, а также задачи расчета движения элементов конструкций под действием нестационарных аэродинамических нагрузок.

Исследование устойчивости положений равновесия профиля в потоке актуально при проектировании элементов строительных конструкций, подверженных ветровым нагрузкам [36,37,42,44], прямолинейных участков трубопроводов, находящихся в поперечном потоке жидкости или газа [18,40], трубчатых элементов систем охлаждения и теплообменников энергетических установок [16], отдельных проводов и расщепленных фаз линий электропередачи [56].

Первые исследования в области устойчивости положения равновесия профиля в потоке связаны с бурным развитием авиации в начале XX века, когда перед исследователями встала задача анализа устойчивости горизонтального полета аэроплана. В экспериментальной работе [67] исследовалась устойчивость положения равновесия модели аэроплана в потоке воздуха и было отмечено наличие интервала углов атаки, при которых наблюдалось явление авторотации — вращение модели вокруг продольной оси с большими углами поворота. В результате обработки этих экспериментальных данных Глауэртом [57] было получено необходимое условие больших крутильных колебаний (авторотации) профиля.

С развитием средств передачи электроэнергии на большие расстояния на линиях электропередачи (ЛЭП) стали отмечаться явления больших (с амплитудой до 10 м) колебаний проводов между опорами. Такие колебания были названы галопированием ^пляской) проводов. Ден-Гартог [55], изучая поведение плохообтекаемого профиля в форме полукруга с одной степенью свободы (колебания поперек потока), вывел необходимое условие галопирования, которое имеет тот же вид, что и условие Глауэрта.

В монографии К.К. Федяевского и JI.X. Блюминой [47] исследована авторотация уголкового профиля, и в качестве необходимого условия неустойчивости получено довольно сложное неравенство, включающее моментный аэродинамический коэффициент. Однако на основании экспериментального материала авторы пришли к выводу, что условие, полученное Ден-Гартогом, может быть использовано и при исследовании крутильных колебаний, т.е. подтвердили вывод Глауэрта.

Таким образом, условие Глауэрта-Ден-Гартога есть необходимое условие возбуждения больших колебаний профиля с одной степенью свободы.

Объяснение механической причины галопирования на основе условия Глауэрта-Ден-Гартога является в настоящее время общепринятым, его приложению к исследованию устойчивости различных конструкций посвящено большое количество работ, например, [33,35-37,42,47,62,63]. Особое внимание обеспечению устойчивости профиля в потоке уделяется при проектировании линий электропередачи, поскольку возбуждение колебаний проводов ЛЭП под действием ветра вызывает существенное увеличение нагрузок на опоры и может приводить к обрыву проводов и разрушению опор. В настоящее время теоретическое объяснение неустойчивости положений равновесия проводов ЛЭП связывается лишь с выполнением условия Глауэрта-Ден-Гартога [56,61], при этом не учитывается, что реальная конструкция имеет 3 степени свободы.

В ряде работ рассматриваются и другие причины потери устойчивости положения равновесия профиля в потоке, в частности, в работе [17] предпринята попытка связать развитие неустойчивости провода ЛЭП с переменной по высоте скоростью ветра, в работах [64, 65] исследуется влияние турбулентности потока на аэродинамическую неустойчивость профиля. Возможно также развитие колебаний типа дивергенции либо флаттера [33,42,48,50], проявление которых связано с тем, что при возрастании скорости набегающего потока действующие на профиль аэродинамические силы быстро увеличиваются, в то время как жесткость конструкции при ее фиксированном положении относительно потока остается неизменной. Поэтому может существовать критическая скорость набегающего потока, при которой конструкция теряет устойчивость [13,20].

В работе В.И. Ванько [8] рассмотрена модель движения профиля с тремя степенями свободы (движения в направлении набегающего потока и поперек потока, а также вращение вокруг центра масс профиля) под действием аэродинамических сил и сил со стороны упругих либо вязкоупругих связей. В ней доказано существование положения равновесия профиля и поставлена задача об исследовании его устойчивости по Ляпунову. В результате получено достаточное условие неустойчивости положения равновесия профиля с тремя степенями свободы.

Условия неустойчивости Глауэрта-Ден-Гартога и условие В.И. Вань-ко зависят только от стационарных аэродинамических характеристик профиля, что делает их удобными для практического использования. Такие условия далее будем называть инвариантными относительно механических и геометрических характеристик профиля.

Следует отметить, что применение инвариантных условий неустойчивости при практических расчетах может быть затруднительным, поскольку требуется знать зависимости стационарных аэродинамических характеристик профиля от угла атаки.

Определение этих зависимостей для произвольного профиля возможно либо экспериментальным, либо расчетным путем. Экспериментальное определение аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, сопряжено со значительными материальными затратами и не всегда возможно, поэтому важно использовать эффективный метод численного моделирования обтекания профиля потоком, позволяющий с достаточной точностью определять стационарные значения сил, действующих на профиль со стороны потока. Применяемые численные методы делятся на два класса: конечно-разностные (конечно-элементные) методы, и бессеточные вихревые методы, подробные обзоры которых имеются в работах Т. Сарпкайи [39] и А. Леонарда [58]. Вихревые методы основаны на лагранжевом описании эволюции завихренности в области течения и позволяют получить приемлемые для инженерных расчетов результаты при минимальных требованиях к мощности компьютеров и затратах машинного времени. Эффективность вихревых методов основана на том, что завихренность в области течения обычно локализована в достаточно компактной области вблизи и позади обтекаемого профиля, что позволяет сосредоточить вычислительные ресурсы на исследовании именно этой области.

Метод вихревых элементов в различных модификациях получил широкое развитие в последнее время как в работах отечественных, так и зарубежных исследователей [1,59,60]. Его можно рассматривать как значительное развитие и обобщение идей метода дискретных вихрей, предложенного и развитого в трудах, прежде всего, научной школы С.М. Бе-лоцерковского [4,7,29,30].

Метод дискретных вихрей позволяет моделировать отрывное обтекание профиля, имеющего угловые точки, потоком идеальной несжимаемой среды. В основу метода положена гипотеза Чаплыгина-Жуковского о сходе вихревой пелены с острых кромок и угловых точек на профиле. Это позволяет моделировать- обтекание таких профилей с минимальными вычислительными затратами. К недостаткам "классического" метода дискретных вихрей следует отнести невозможность моделирования обтекания гладких профилей, а также отрыва потока с гладких участков профилей.

Предложенные модификации метода дискретных вихрей, основанные на нахождении точек отрыва потока с профиля исходя из анализа уравнений пограничного слоя [46] или вариационных принципов [14], сложны в реализации и не обладают универсальностью.

Иной подход предложен в работах А. Чорина [54], а также Г. А. Пав-ловца и А.С. Петрова [31,32]. В рамках такой модификации можно проводить моделирование обтекания гладких профилей, однако для этого требуется привлечение значительных вычислительных ресурсов. Аналогичный подход получил развитие и обоснование в работах [1,66], в которых показано, что вихревые методы могут эффективно применяться для моделирования двумерных течений вязкой несжимаемой, среды, описываемых уравнениями Навье-Стокса.

Существует несколько способов определения нагрузок, действующих на профиль [1,29,68]. Наиболее удобным для применения в расчетах является аналог интеграла Коши-Лагранжа [1], полученный в работе Г.Я. Дынниковой [15], который позволяет по известному распределению завихренности определить давление в любой точке области течения. По известному распределению давления на профиле определяются нагрузки, действующие на профиль. Эти нагрузки являются нестационарными. Для получения стационарных аэродинамических нагрузок производится расчет обтекания в течение длительного промежутка времени, пока обтекание не станет квазистационарным, а нагрузки — близкими к периодическим. Стационарные аэродинамические нагрузки получаются ч в результате осреднения нестационарных по большому количеству временных шагов.

В экспериментах с плохообтекаемыми профилями и в расчетах наблюдается периодический срыв вихрей с циркуляциями разных знаков, что вызывает периодическое изменение сил, действующих на профиль. Если собственная частота колебаний конструкции близка к частоте схода вихрей, могут возникать резонансные колебания профиля [48].

Использование для решения такого класса задач сеточных методов вычислительной гидродинамики затруднительно, поскольку изменение положения профиля на каждом шаге расчета требует перестроения сетки.

Метод вихревых элементов позволяет проводить прямое численное моделирование для исследования подобных явлений, при этом расчет обтекания движущегося профиля лишь незначительно сложнее по сравнению со случаем неподвижного профиля. Общий метод решения таких задач описан в [1].

Целью настоящей работы является получение условий устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке и определение неустойчивых положений равновесия профиля путем совместного использования аналитических условий устойчивости и численного метода определения аэродинамических характеристик профиля.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

10 S

1. Построение математической модели движения профиля с тремя степенями свободы. На профиль наложены идеально упругие или вяз-коупругие связи с линейной диссипацией.

2. Исследование устойчивости по Ляпунову и получение условий устойчивости положений равновесия профиля в потоке.

3. Разработка и программная реализация модификации метода вихревых элементов для численного моделирования обтекания профилей и определения аэродинамических нагрузок.

4. Построение и верификация численно-аналитического метода исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

В главе 1 настоящей диссертации исследована устойчивость по Ляпунову положений равновесия профиля с тремя степенями свободы, находящегося в потоке среды, при наличии упругих либо вязкоупругих связей. Аэродинамические силы считаются стационарными и зависящими только от положения профиля в потоке и его скорости. Показано, что при любой скорости потока существует положение равновесия профиля и поставлена задача об исследовании его устойчивости по Ляпунову. В частных случаях рассмотрены задачи об исследовании устойчивости профиля с одной и двумя степенями свободы.

Для анализа нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение профиля в потоке, используется метод исследования устойчивости по первому приближению [52]. Предположение о том, что профиль является достаточно тяжелым (средняя плотность профиля много больше плотности набегающего потока), позволяет ввести в уравнения малый параметр. Это предположение во многих случаях является естественным, поскольку такая ситуация характерна для большинства рассматриваемых на практике задач. Введение малого параметра упрощает аналитические выкладки, а учет в окончательных результатах лишь слагаемых с младшими степенями малого параметра позволяет получить достаточно простые и пригодные для практического применения условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия профиля.

Полученные автором критерии устойчивости [27] обобщают ранее известные результаты, поскольку из них следуют в качестве достаточных условий неустойчивости как условие Глауэрта-Ден-Гартога, так и условие В.И. Ванько. Из найденных критериев следует также условие существования критической скорости набегающего потока, т.е. скорости, способной вызвать потерю устойчивости равновесия типа флаттера.

В главе 2 диссертации описана модификация метода вихревых элементов [28] и представлена общая схема его программной реализации. Рассматривается обтекание профилей потоком среды с малой вязкостью, что позволяет применить упрощенную модификацию вихревого метода [1], I основанную на использовании подхода Прандтля [26]: течение разделяется на тонкий пристеночный слой вблизи профиля, в котором влияние вязкости учитывается путем генерации завихренности, и область внешнего течения, в которой жидкость считается идеальной. Это позволяет существенно снизить вычислительные ресурсы, необходимые для проведения расчетов. Такой подход позволяет с достаточной точностью определять нагрузки, действующие на профиль.

Приведенные в диссертации результаты расчетов стационарных и нестационарных аэродинамических коэффициентов и сравнение их с экспериментальными данными позволяют сделать вывод об адекватности применяемых подходов.

В главе 3 настоящей диссертации описывается численно-аналитический метод исследования устойчивости положения равновесия профиля в потоке. Отличительной особенностью рассматриваемого подхода является то, что стационарные аэродинамические коэффициенты профиля определяются численно в результате расчетов методом вихревых элементов, а неустойчивые положения равновесия профиля находятся с использованием полученных аналитически достаточных условий неустойчивости [27]. Адекватность предложенного численно-аналитического метода подтверждена путем сравнения результатов расчета с результатами экспериментальных исследований устойчивости положений равновесия некоторых профилей, описанными в [10,11,47].

Для примера проведено исследование устойчивости положения равновесия профиля обледенелого провода ЛЭП численно-аналитическим методом и показано, что естественное равновесное положение такого профиля находится в области неустойчивости.

Практическая ценность полученных в диссертации критериев устойчивости и построенного численно-аналитического метода исследования устойчивости положений равновесия профиля в потоке состоит в возможности проведения эффективного анализа на этапе эскизного проектирования конструкции и организации экспериментов. Рассмотренный метод численного моделирования обтекания позволяет с достаточной точностью определять аэродинамические нагрузки и выполнять расчеты со сравнительно небольшими временными затратами.

Применение для исследования устойчивости профиля аналитически выведенных достаточных условий неустойчивости позволяет уйти от необходимости решения связанной задачи аэроупругости, ограничившись решением более простой задачи определения стационарных аэродинамических коэффициентов неподвижного профиля.

К важным практическим результатам работы следует отнести разработанное автором программное обеспечение, которое может использоваться при исследовании реальных конструкций, взаимодействующих с дозвуковым потоком жидкости или газа.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Марчевский, Илья Константинович

Общие выводы

Проведенное в диссертации исследование позволяет сформулировать основные результаты, полученные автором.

1. В предположении о стационарности аэродинамических нагрузок, действующих на профиль, помещенный в поток и имеющий 1, 2 или 3 степени свободы, выведены необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля при наличии идеально упругих и вязкоупругих связей.

2. Для моделирования обтекания профиля и вычисления стационарных аэродинамических коэффициентов разработаны модификация метода вихревых элементов и комплекс программ, ее реализующий. Модификация состоит в использовании подхода Прандтля. Предложенный метод позволяет снизить требования к вычислительным ресурсам и существенно снизить затраты машинного времени на проведение расчетов.

3. Разработан численно-аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову положений равновесия профиля в потоке.

Рассмотрены примеры определения интервалов углов атаки, соответствующих неустойчивым положениям равновесия различных профилей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марчевский, Илья Константинович, 2008 год

1. Андронов П.Р., Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных гидродинамических нагрузок. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. — 184 с.

2. Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев / Б.А. Ушаков, П.П. Красильщиков, А.К. Волков, А.Н. Грегоржевский.

3. М.: Изд. БНТ НКАП при ЦАГИ, 1940. — 340 с.

4. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. — М.: Физматлит, 2000. — 592 с.

5. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985. — 256 с.

6. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфмэн Р. Аэроупругость. — М.: Изд-во иностр. литер., 1958. — 799 с.

7. Бучинский В.Е. Атлас обледенения проводов. — Л.: Гидрометеоиз-дат, 1966. — 114 с.

8. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения.

9. М.: Янус-К, 2001. — 508 с.

10. Ванъко В.И. Математическая модель пляски провода ЛЭП // Изв. вузов. Энергетика. — 1991. — № 11. — С. 36-42.

11. Ванъко В.И., Щеглов Г.А., Марчевский И.К. Аэродинамическая неустойчивость системы профилей // Современные естественнонаучные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов. — М.: Логос, 2005. — С. 423-436.

12. Ванъко В.И., Соловьева Е.В. Об условиях аэродинамической неустойчивости положений равновесия профилей // Прикладная механика и техническая физика. — 1996. — Т. 37, № 5. — С. 29-34.

13. Ванъко В.И., Соловьева Е.В., Феоктистов В.В. Аэродинамические характеристики расщепленных проводов для воздушных линий электропередачи // Изв. РАН. Энергетика. — 1994. — № 4. — С. 104-111.

14. Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 424 с.

15. Гроссман Е.П. Флаттер // Тр. ЦАГИ. — 1937. — Вып. 284. — 246 с.

16. Дмитриев M.JI. Математическое моделирование отрыва потока с гладкой поверхности тел в рамках теории идеальной жидкости: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — М., 1998. — 116 с.

17. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двумерных течениях вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2003. — № 5.1. С. 11-19.

18. Жукаускас А., Улинскас Р., Катинас В. Гидродинамика и вибрации обтекаемых пучков труб. — Вильнюс: Мокслас, 1984. — 312 с.

19. Зьыев В.Б. Переменная по высоте скорость ветра и галопирование проводов // Строительная механика и расчет сооружений. — 1987.6. — С. 37-41.

20. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. — М.: Недра, 1977. — 200 с.

21. Кашафутдинов С. Т., Лушин В.Н. Атлас аэродинамических характеристик крыловых профилей. — Новосибирск: СО РАН, 1994. — 78 с.

22. Келдыш М.В. Избранные труды. Механика. — М.: Наука, 1985.576 с.

23. Колебания проводов воздушных линий под воздействием ветра: Учебно-методическое пособие / Под ред. А.А. Виноградова. — М.: Электросетьстройпроект, 2005. — 195 с.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973. — 832 с.

25. Копии Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.1. М.: Наука, 1965. — 424 с.- 24. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.

26. М.: Физматгиз, 1963. — Ч. 2. — 728 с.

27. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. 4.1. Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла. — М.: Высшая школа, 1976. — 384 с.

28. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003.840 с.

29. Марчевский И. К. Об условиях устойчивости положения равновесия профиля в потоке // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. — 2007. — № 4. — С. 29-36.

30. Марчевский И.К., Щеглов Г.А. Об одном подходе к расчету аэродинамических характеристик профиля в идеальной жидкости методом дискретных вихрей // В1сник Харювського нацюнального ушверси-тету. Сер1я М. — 2005. — № 661, вып.4. — С. 182-191.

31. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров. — М.: Наука, 1988. — 232 с.

32. Нелинейная теория крыла и ее приложения / Т.О. Аубакиров, С.М. Белоцерковский, А.И. Желанников, М.И. Ништ. — Алматы: Гылым, 1997. — 448 с.

33. Петров А. С. Расчет отрывного обтекания эллиптических цилиндров // Тр. ЦАГИ. — 1978. — Вып. 1930. — 12 с.

34. Полевой А.И. Условия возникновения пляски проводов ЛЭП // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1988. — № 4. — С. 168-174.

35. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: Физматлит, 2003. — 608 с.

36. Пустылъников Л.Д., Шкапцов В.А. Аэродинамически неустойчивые колебания проводов воздушных ЛЭП с гололедными отложениями // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. — 1991. — № 2. — С. 103106.

37. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра.

38. М.: Стройиздат, 1978. — 216 с.

39. Савицкий Г.А. Ветровая нагрузка на сооружения. — М.: Стройиздат, 1972. — 110 с.

40. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.432 с.

41. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. Сер. А. — 1989. — № 10.1. С. 1-60.

42. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. — М.: Машиностроение, 1982. — 279 с.

43. Симиу Э., Сканлан Р. Воздействия ветра на здания и сооружения.

44. М.: Стройиздат, 1984. — 360 с.

45. Случановская З.П. Распределение давления на поверхности прямоугольного, трехгранного и полукруглого цилиндров и их аэродинамические коэффициенты // Тр. Ин-та механики МГУ. — 1973. — № 24.1. С. 52-60.

46. Строительные нормы и правила: нагрузки и воздействия: СНиП 2.01.07-85* / Госстрой СССР; введ. 01.01.87. — М.: ГП ЦПП, 2005.44 с.

47. Сэффмен Дж. Динамика вихрей. — М.: Научный мир, 2000. —■ 375 с.

48. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы / С.М. Бе-лоцерковский, М.И. Ништ, В.Н. Котовский, P.M. Федоров. — М.: Изд-во ЦАГИ, 2000. — 266 с.

49. Федяевский К.К., Блюмина JI.X. Гидроаэродинамика отрывного обтекания тел. — М.: Машиностроение, 1977. — 198 с.

50. Фершинг Г. Основы аэроупругости. — М.: Машиностроение, 1984.600 с.

51. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т.2. — 800 с.

52. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. — М.: Физматгиз, 1959.523 с.

53. Черный Г.Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с.

54. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965. — 208 с.

55. Щеглов Г.А. Об одном способе распараллеливания вычислений в методе дискретных вихрей // Информационные технологии и программирование. — 2005. — Вып. 1. — С. 47-54.

56. Chorin A.J. Numerical study of slightly viscous flow //J. Fluid. Mech.1973. — V.57. — P. 785-796.

57. Den-Hartog J. P. Transmission line's vibrations due to sleet 11 Transactions AIEE. — 1932. — Vol. 51. — P. 1074-1076.см. также Ден-Гартог Дж.П. Механические колебания. — М.: Физматгиз, 1960. — 580 с.)

58. ЕРШ. Transmission Line Reference Book, Wind Induced Conductor Motion. Palo Alto (California): Electrical Power Research Institute, 1979. — 255 p.

59. Glauert H. The rotation of an aerofoil about a fixed axis // Reports & Memoranda / Great Britain Advisory Committee for Aeronautics (GBACA). — 1919. — N 595. — 8 p.

60. Leonard A. Vortex Methods for Flow Simulation //J. Comput. Phys.1980. — N 37. — P. 289-335.

61. Lewis R.I. Vortex Element Methods for Fluid Dynamic Analysis of Engineering Systems. — Cambridge: Cambridge University Press, 2005.588 p.

62. Morgenthal G. Aerodynamic Analysis of Structures Using High-resolution Vortex Particle Methods: PhD thesis. — Cambridge: University of Cambridge, Department of Engineering, 2002. — 209 p.

63. Nigol O., Buchan P. Conductors galloping — Den Hartog Mechanism // IEEE Trans, on Power Apparatus and Systems. — 1981. — Vol. PAS-100, N 2. — P. 699-720.

64. Novak M. Aeroelastic Galloping of Prismatic Bodies // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1969. — Vol. 95, No. EMI.1. P. 115-142.

65. Novak M. Galloping Oscillations of Prismatic Structures // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1972. — Vol. 98, No. EMI.1. P. 27-46.

66. Novak M., Davenport A.G. Aeroelastic Instability of Prisms in Turbulent Flow // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1970.

67. Vol. 96, No. EMI. — P. 17-39.

68. Novak M., Tanaka H. Effect of Turbulence on Galloping Instability // Journal of the Engineering Mechanics Division ASCE. — 1974.

69. Vol. 100, No. EMI. — P. 27-47.

70. Ogami Y., Akamatsu T. Viscous flow simulation using the discrete vortex model — the diffusion velocity method // Comput. and Fluids. — 1991.

71. Vol. 19, N 3/4. — P. 433-441.

72. Relf Е.И., Lavender T. The auto-rotation of stalled aerofoils and its relation to the spinning speed of'aeroplanes / / Reports & Memoranda / Great Britain Advisory Committee for Aeronautics (GBACA). — 1918.1. N 549. — 9 p.

73. Uhlman J.S. An integral Equation Formulation of the Equation of Motion of an Incompressible Fluid. — Newport, 1992. — 38 p. (Naval Undersea Warfare Center. Technical rept. N 10)