Математическое моделирование многослойных ортотропных пологих оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Сурова, Нина Сергеевна

• Сурова, Нина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сурова, Нина Сергеевна

Введение. Неклассическая теория многослойных оболочек анализ публикаций по теме диссертации).4

Глава I. Математические модели — ММ — многослойных гибких ортотропных оболочек с учетом температурного поля. . 25

1.1. Постановка задачи.25

1.2. Модель типа С.П.Тимошенко - ММ1. . 28

1.3. Модель Пелеха-Шереметьева - ММ2.39

1.4. Математическая модель Григолюка-Куликова — ММЗ. . 52-

Глава II. Численные алгоритмы решения задач статической УСТОЙЧИВОСТИ. ; .58"

2.1. Выбор численного метода.58

2.2. Вариационно-разностные схемы для решения системы уравнений равновесия в рамках различных ММ.62

2.2.1.Математическая модель типа Тимошенко с f(z) = 1 —

ММ1.62

2.2.2.Математическая модель Пелеха-Шереметьвева — ММ2. . 74

2.2.3.Математическая модель Григолюка-Куликова — ММЗ. . . 82

2.2.4.Модифицированная асимптотически согласованная модель - АСМ.83

2.2.5.Математическая модель с s -регуляризацией.85

2.2.6.Модификации математических моделей ММ1, ММЗ,

АСМ. 96-

Глава III. Численное исследование статической устойчивости многослойных ортотропных пологих упругих оболочек в рамках различных уточненных теорий.97

3.2. Достоверность построенных алгоритмов.101

3.3. Численное исследование сходимости по сетке.106

3.4. Сравнение кривых устойчивости в координатах «нагрузка-прогиб» многослойных оболочек симметричного 111-118 строения

3.4.1.Влияние числа слоев.111

3.4.2.Влияние значения геометрических параметров Л^, Л2.

3.4.3.Влияние значения кривизн.116

3.4.5.Влияние материала слоев.117

3.5. Сравнение критических нагрузок для оболочек несимметричного строения.119

3.6. Влияние температурного поля на устойчивость.120

3.7 Характеристика НДС 121

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование многослойных ортотропных пологих оболочек»

Сегодня невозможно представить нашу жизнь без оболочек, как трудно обойтись современному человеку без услуг,предоставляемых достигнутым уровнем цивилизации" [ 9].

Проведенный анализ литературных источников [1-109], отличающихся широким временным разбросом позволил сделать вывод, что теоретическим и прикладным проблемам, связанным с изучением оболочек посвящается все возрастающий поток работ отечественных и зарубежных ученых. Это объясняется с одной стороны внутренними стимулами развития самой науки, а с другой, и в большей степени, запросами практики. Использование оболочек, являющихся одним из самых интересных инженерных решений, и особенно многослойных в современной технике позволяет наиболее эффективно решать проблему снижения материалоемкости конструкций, реализовать возможность выбора рациональных параметров в отношении прочности и надежности, широко применять новые материалы и всевозможные сочетания их в виде слоистых оболочек; они находят все более широкое применение, в частности при проектировании нового поколения сверхзвуковых летательных аппаратов, космических систем и ракетоносителей, подводных сооружений. Столь ответственная эксплуатация многослойных конструкций диктует разработку уточненных методов их расчета и повышения качества таких расчетов. В связи с этим при математическом моделировании многослойных оболочек возникают три основные задачи: 1) выявление области использования существующих теорий, включающее оценку их оптимальности и корректности с точки зрения механической постановки задачи;

2) построение новых моделей, способствующих расширению области их использования; 3) разработка универсальных алгоритмов численного анализа математических моделей-MM, позволяющих получать искомое решение с гарантированной точностью. Эти три задачи определили три основные этапа исследований, проведенных в данной диссертации, конечная цель которой - численно исследовать устойчивость и НДС многослойных ортотропных оболочек при температурно-силовом нагружении с учетом геометрической нелинейности.

Основополагающие работы по формированию математических моделей и выявлению физической сущности величин, лежащих в основе современной теории оболочек и пластин, принадлежат таким ученым, как С. Жермен, Г. Кирхгоф,И.Г. Бубнов [20], В.З. Власов [18], В.В. Болотин, И.И. Ворович [22], К.З.Галимов, Э.И. Григолюк, A.A. Гольденвейзер [28-30], Х.М. Муштари [24], В.В. Новожилов, С.П. Тимошенко [97] и другие. В построении теории многослойных оболочек нашли отражение общие закономерности теории однослойных [101], согласно которым их можно разделить на два больших класса: трехмерные, в которых применяются уравнения трехмерной теории упругости и двумерные, в которых используются уравнения, полученные приведением трехмерной задачи теории упругости к двумерной. Гольденвейзером A.A. в[30], Воровичем И.И. в [22] дана классификация методов приведения трехмерной теории к двумерной, согласно которой их можно разделить на три группы: а) метод гипотез; б) аналитические методы, включающие метод разложения по толщине; в) асимптотический метод. Физическая наглядность метода гипотез определила его большую популярность и стимулировала интенсивное развитие этого направления в теории многослойных оболочек и пластин. При этом возможность применения гипотезы к отдельному слою или ко всему пакету слоев в делом определила развитие этой теории в двух направлениях. Наиболее общим является подход, в котором кинематические гипотезы применяются для каждого слоя, что позволяет исследовать оболочки, существенно неоднородные по толщине и описывать местную потерю устойчивости отдельных слоев. Такой подход впервые был развит П.П. Чулковым в 1963 году и продолжен в исследованиях Григолюка [37-39], Болотина [12], Новичкова [12], Москаленко, Чепиги, Куликова [37-39]. Одним из вариантов подобного подхода являются исследования, основанные на применении принципа сглаживания [12]. Вторым, ставшим основным направлением в теории слоистых оболочек, является метод, в котором вывод уравнений дается на основе гипотез, привлекаемых для всего пакета слоев в целом. Основным его преимуществом при реализации является независимость числа и порядка разрешающих уравнений от количества слоев, что особенно существенно при расчетах многослойных конструкций из композиционных материалов [59]. Ограничимся рассмотрением тонких многослойных оболочек в рамках этого подхода.

В теории слоистых оболочек, как и в теории однослойных, в зависимости от того, какие гипотезы положены в основу исследований, различают классическую и неклассическую теорию, каждая из которых может быть как линейной, так и нелинейной. Классической или моделью первого приближения [19] называют теорию, базирующуюся на гипотезах Кирхгофа-Лява, неклассической или моделью второго приближения [37], называют теорию, привлекающую дополнительные гипотезы для учета деформаций поперечного сдвига и обжатия.

Неклассическую теорию называют еще уточненной [5-8,16],так как в ней первоначальные классические гипотезы заменяются другими, более точно отражающими реальное напряженно-деформированное состояние.

Попытка уточнения теорий пластин и оболочек была начата еще в работах [46, 28, 92,105] .

Новожиловым В.В. в [69,70] показано, что принятие гипотез

Кирхгофа-Лява эквивалентно заданию поля перемещений в виде: z о dW г о dW TT7Z „r0 и =u +z-, v = v +z-, W = W . дх dy

Применительно к слоистым оболочкам в рамках принятого подхода компоненты перемещений слоя -к могут быть заданы в виде: k о dW ъ о dW TTrt TT,0 и = и + z-, v=v°+z-, W = W дх дх

Тогда из механических соображений следует один из возможных способов построения неклассической теории многослойных оболочек. А именно-изменить закон аппроксимации компонент вектора перемещений (2): uk=u°+zyx, vk=v°+zyy, Wk =W° (2)

Он остается линейным по z, но введенные искомые функции Ух=7х(х>у)> Yy=Yy{x>y) позволяют теперь в дополнение к (2) учитывать углы поворота нормали к поверхности z = 0, вызванные деформациями в плоскостях XOZ, Y0Z соответственно. В литературе модель (2) обычно связывают с именем С.П. Тимошенко, предложившего ее в 3-х годах в применении к теории изгиба балок [1,3,20,23-26,37,60,72,81,97] и называют моделью типа Тимошенко. Большой вклад в развитие этой теории внесен советскими учеными: Айнола Л.Я. [1], Галимовым К. Г. [23, 24], Вольмиром A.C. [20],

Пелехом Б.Л. [72,73]. Подробными обзорами по этому вопросу являются [26, 27, 37,41].

Если компоненты вектора перемещений (2) аппроксимировать многочленами третьего порядка по переменной ъ, т. е. ик = и° + 2ух + г2иг + 23угх, V* = V0 + 2Гу + 2 V + 23ГГу , IV* = Щ (3) то получим ММ, называемую в литературе обобщенной моделью Тимошенко [95,96,100,60] или моделью Пелеха-Шереметьева по имени авторов, впервые предложившими использовать терминальные условия на лицевых поверхностях оболочки для нахождения неизвестных функций в разложении (3).

Если в поле перемещений (2) или (3) задать более общий закон изменения нормальной компоненты вектора перемещений к=1¥0+Ч', (4) то введение дополнительной искомой функции *¥(х,у) позволит учесть обжатие, но увеличит количество уравнений равновесия.

Кинематические гипотезы (2) или (3), если их брать за исходные в построении сдвиговой модели, определяют в свою очередь закон изменения касательных напряжений-в случае (2) он линейный, в случае (З)-параболический. Подобная взаимосвязь кинематических и статических гипотез определила второй путь создания неклассических моделей слоистых оболочек и пластин, в котором первичными являются гипотезы о характере изменения напряжений по толщине оболочки или деформаций сдвига. Впервые такой подход был применен в 50-х годах Рейсснером Е. для расчета изотропной пластинки [106, 25], при этом для вывода уравнений равновесия им использовался вариационный принцип Кастелиано [14] . Нагди [104] обобщил идею

Рейсснера для задач динамики, вводя дополнительно к аппроксимации напряжений и аппроксимацию перемещений. Уравнения равновесия получил из смешанного функционала Рейсснера [14]. В 60-х годах Амбарцумян С.А. обобщил идеи Тимошенко и идею Рейсснера на случай тонких анизотропных оболочек и пластин в виде двух теорий: "частично уточненной или итерационной" и "общей уточненной теории" [5-8].

Таким образом, истоками развития неклассической теории явились три подхода: кинематический-Тимошенко, статический-Рейсснера, смешанный-Рейсснера. Эти три идеи были перенесены на многослойные оболочки, претерпев изменения из-за особенностей принятия гипотез для всего пакета слоев в целом. Здесь обычно предполагается, что на поверхностях контакта слоев выполняются либо статические условия: а к = ак+1- (5) 12 \Ъ > либо кинематические: ик= ик+1 (6) либо те и другие одновременно, т. е. условия абсолютно „жесткого" контакта слоев. Выполнение условий (6) или совместно (5) и (6) являются критериями двух направлений развития неклассической теории слоистых оболочек (пластин). В первом - жесткостные характеристики слоев нельзя брать произвольными. Так, например, в [75] показано, что для изотропных равной толщины слоев в рамках условия (6) их следует брать отличающимися как ]£(Ек/Ека1)<1.

Во втором-рассматриваются слои, с большим разбросом жесткостных характеристик, что обуславливает возможность построения уточненных моделей слоистых оболочек, в которых учитывается неоднородность распределения напряжений по толщине пакета. В рамках первого направления библиографию по применению гипотезы типа Тимошенко для расчета слоистых оболочек и пластин можно найти в [2, 36, 44, 65], по применению обобщенной гипотезы Тимошенко- в [27, 94,], в работах автора [50-58,61 ,62,90,91].

Во втором направлении развития неклассической теории многослойных оболочек пионерской явилась работа Прусакова А.П. [77], в которой он подход Рейсснера для однослойной оболочки перенес на многослойные, одновременно приняв гипотезы о распределении поперечных касательных напряжений и изменении перемещений по толщине пакета слоев оболочки. Уравнения равновесия, краевые условия и зависимости между перемещениями и усилиями оболочки получены из вариационного принципа Рейсснера. Порядок разрешающей системы уравнений равен десяти, пакет несимметричный, учитывается геометрическая нелинейность. Идея одновременной аппроксимации тангенциальных перемещений и поперечных касательных напряжений или деформаций поперечного сдвига с целью получения абсолютно „жесткого" контакта слоев (5), (6) была использована Рябовым А.Ф. [82,83], Рассказовым А.О.[78-80], Пискуновым В.И., Вериженко В.Е., Сипетовым B.C.[75], НемировскимЮ.Н.,АндреевымА.Н.[10,11], КуликовымГ.М.,Григолюком Э.И.[33-35,63,64], Соколовской И.Щ88] Снегиревым В.Ф.[87], Кириченко В. Ф., Суровой Н. С. [55,56,58] для построения моделей слоистых оболочек на базе гипотез типа Тимошенко и обобщенной Тимошенко. При этом использовались функционалы Лагранжа и Рейсснера [14].

В монографии [80] приводятся различные варианты конечно-сдвиговой теории. В первом, учитывающем обжатие, рассматриваются две независимые гипотезы-статическая:

Чз = Ог3/;(2)у/г{ху) а33 = д+ Н™+1~ 2 + +

1зз = гДе <3+ = Я+з приложена поперечная нагрузка, сдвиг учитывают функции у Xх у\ У2(ху)> поперечное обжатие ¥3(х,у), и Р(х,у)Мз вариационного принципа Рейсснера получена система дифференциальных уравнений 16 порядка. С ее помощью решаются задачи изгиба, колебаний в геометрически линейной постановке, устойчивости (по Эйлеру) в том числе и оболочек большого прогиба. Анализ применимости построенной уточненной теории проводится в линейной постановке сравнением с трехмерным решением и экспериментальными данными. Вспомогательные функции ^(г) (1=1,2,3) выбираются так, чтобы закон распределения по толщине оболочки са 133 принимался аналогично соответствующему распределению по толщине этих величин, полученному на основе гипотезы о недеформируемой нормали для всего пакета (/(2) = щг3 + а2г2 + а3г). Перемещения определяются: дх{ и3 = У/{х1, х2) + /3 3 у/3 (х1, х2) и являются по сути обобщенной гипотезой Тимошенко. В [78] Рассказов А.О. отмечает, что ту же модель можно получить, используя подход Рейсснера: и гЗ =СгзАз(2)У/г(Х1>Х2) щ(х1,х2,г) = щ(х1}х2) + ¡^у/^х^х^.

Эта идея развивается Соколовской И.И. в [88] , а в монографии [80] представлена в виде второго варианта предлагаемой теории, когда не учитывается обжатие, но рассматривается динамика и две независимые гипотезы: щ(х1х2,г;г) = У{(х1х2,г) + ё^)Хг(х1х2л) (?) и о (х1, X2, г^)=щ№(х1,х2^) (1 = 1,2) а{3(х1Ух2)г;£) = + <к I ~ + (Р1(гШх1>х2^) ^ т+1 т+1 П1

Функция #?(£)известна, функции %{(х1}х2;{) позволяют благодаря вариационному принципу для динамических процессов Рейсснера привести в соответствие предложения (7) и (8). Показано, что этот вариант может применяться для определения с достаточной степенью точности прогибов и частот собственных колебаний в низшей части спектра в случае тонких и средней толщины оболочек и пластин при любых применяемых на практике отношений С«/^ .

При определении напряжений применение этих уравнений приводит к существенному расхождению с результатами точного решения при > 100(Сн, -модули сдвига несущих слоев и заполнителя). Верхние критические значения сжимающих нагрузок при жестком заполнителе, найденные в первом и втором вариантах очень близки к результатам точного решения.

В монографии авторского коллектива [75], посвященной численной реализации методом конечных элементов построенной модели слоистых оболочек для решения геометрически линейных, физически нелинейных задач теории пологих неоднородных по толщине оболочек, на первом этапе авторы поперечные и касательные

12 нормальные напряжения находят соответственно из первого и второго уравнения равновесия слоя к; появившиеся функции интегрирования определяют из условия контакта слоев-(5). Затем по закону Гука находят соответственные деформации, а из соотношений Коши зависимости для перемещений. Далее, чтобы освободиться от грузовых членов правой части уравнений, уточняющих классическую теорию [8,83], в качестве гипотезы принимают гипотезу для составляющих вектора перемещений, которые принимают в форме соответствующих перемещений, полученных на основе классической модели, сохранив функции нормали г, но вводя новые независимые искомые функции координат х,у: и\ (ос, г) = щ- солг - у/ф (г) ^ = 1,.,8) и) (х, г) = о? + <рдк (г) (<? = 1,.,б)

Порядок итоговой системы дифференциальных уравнений в перемещениях равен 16. Приведены результаты многочисленных расчетов с целью проверки достоверности модели, оценки ее качественных характеристик и расчеты термоупругих задач слоистых конструкций и плит на слоистых основаниях. Уточненная модель Пискунова - это вновь обобщенная модель Тимошенко с функцией распределения напряжений по толщине, учитывающей неоднородность пакета.

В работе [10] предлагается уточненная модель слоистой оболочки, в основу которой положены гипотезы на перемещения и поперечные касательные напряжения, функция распределения поперечных касательных напряжений имеет форму квадратичной параболы. Построена вновь обобщенная модель Тимошенко для оболочки с абсолютно „жестким" сцеплением слоев, с порядком разрешающей системы, равным двенадцати, с помощью которой решается динамическая задача об осесимметричном изгибе двухслойной пластинки, защемленной на внешнем контуре и нагруженной равномерным давлением. Показано, что, если на „интегральных" характеристиках (прогибе, радиальном и окружном моменте) влияние сдвига сказывается несущественно, то для разрушающей нагрузки учет влияния сдвига является необходимым. В 1979 году Куликов Г.М., опираясь на результаты Григолюка Э.М., Чулкова П. П. [38], полученными при использовании гипотезы прямой линии для каждого слоя [102], выводит разрешающую систему уравнений многослойной оболочки конечного прогиба, порядок которой равен 12 и которые отличаются лишь постоянными коэффициентами от уравнений трехслойных оболочек [38], накладывая гипотезу на распределение деформаций поперечного сдвига каждого слоя-к:

4 = о?1>г/;

Р=1

9)

Выражения для тангенциальных перемещений к-го слоя оболочки находятся путем интегрирования (9) по толщине оболочки. Структура граничных условий не отличается от [38] и имеет место „жесткое" сцепление слоев: (5), (6). В работе [33] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. для построения варианта теории геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения наряду с гипотезой типа Тимошенко для всего пакета слоев: и\ = и + г Д используют независимую аппроксимацию для касательных напряжений: а-3 = /¿¿/(г). Цель работы-создание численного алгоритма определения НДС анизотропных оболочек вращения, когда крутящий момент, кручение исходной поверхности оболочки не равны нулю и главные направления ортотропного материала не совпадают с направлениями координатной поверхности. Идея использования независимых гипотез для тангенциальных перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине к-го слоя используется этими же авторами в работе [33] для построения вариационного принципа нелинейного (геометрически) варианта теории слоистых анизотропных оболочек. В работе [35] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. используют для расчета радиальных шин обобщенную кинематическую гипотезу Тимошенко. При этом, аналогично [33] задается независимая аппроксимация поперечных касательных напряжений по толщине к-го слоя в виде: (10) Основываясь, на результатах [8],авторы для распределения поперечных касательных напряжений берут закон квадратичной параболы, тем самым решая проблему выбора /0(г) и /¿(^).В работе [64] Куликов

Г.М. на основе двух уточненных теорий многослойных оболочек, базирующихся на гипотезах типа Тимошенко и обобщенной, дает сравнительный анализ эффекта анизотропии в перекрестно армированных оболочках. При этом для поперечных касательных напряжений берется вновь независимая аппроксимация. Идеология статей Григолюка-Куликова легла в основу их книги [35].

Для построения неклассической модели слоистых оболочек, учитывающей неоднородность материала в [42], используются гипотеза типа Тимошенко и подход Амбарцумяна С.А., реализованный им в уточненной теории. Опираясь на свои результаты, полученные для однослойной оболочки, авторы в вариантах, учитывающих неоднородность материала, нелинейность изменения касательных напряжений по толщине, поперечную нормальную деформацию, не увеличивают порядок разрешающей системы уравнений по сравнению с моделью типа Тимошенко, он остается равным десяти. И только в случае учета обжатия по (4) он остается равным 12. Разработанная

15 неклассическая теория используется для исследования НДС в линейной постановке цилиндрических, сферических, конических анизотропных со слоями переменной толщины многослойных оболочек в температурном поле, а также пологих прямоугольных в плане оболочек с граничными условиями, допускающими разделение переменных. В более поздней работе этих же авторов [41] ,являющейся обзором решения задач и анализа НДС анизотропных неоднородных оболочек, рассматриваются линейные упругие оболочечные модели в геометрически линейной постановке, построенные на их основе методы решения некоторых классов задач и результаты анализа НДС отдельных классов оболочек с учетом неоднородности и анизотропии их свойств.

Одним из способов построения уточненной теории ортотропных слоистых пластин, учитывающих поперечные сдвиговые и нормальную деформацию, является теория, в основе которой лежит метод начальных функций Власова В.В.[18]. Ульяшиной А.Н. в [98] сформулирована уточненная линейная теория слоистых пластин, обобщающая результаты [99], когда трехмерная задача сводится к двумерной с помощью кинематической гипотезы, определяющей распределение перемещений по толщине пластины. Для построения кинематической модели наряду с тремя неизвестными компонентами вектора перемещений принимается в качестве неизвестных ст0 (х, у) = сгг; т0 (х, у) = тх2; (х, у) = ту2 -значения нормального и поперечных касательных напряжений на начальной поверхности. Таким образом, разрешающая система дифференциальных уравнений имеет 6 неизвестных и ее порядок равен 16. Достоверность численных результатов проверяется на примере, квадратной пластинки из 17 слоев оргстекла и девяти несущих слоев из дюралюминия, нагруженной

16 сосредоточенной силой в центре. Дальнейшего развития этот подход не получил. И только в [15] Васильевым В.В. метод начальных функций используется для качественного анализа задачи построения неклассических теорий, учитывающих в рамках единого подхода основные структурные особенности современных тонкостенных конструкций и материалов. Далее автором строится двумерная уточненная геометрически нелинейная теория слоистых оболочек, в основе которой лежит операция осреднения трансверсальных касательных напряжений и деформаций сдвига по толщине, позволяющая получить поле перемещений в виде: и1 =щ + г©1 ,где щ{х, у) = С/Дх, у, г = 6>)-смещение точки начальной поверхности; угол поворота нормали к ней. Задание 6>Дх,г/) в виде: 01 (.х, у) = и1!Я1 +у/1 - со ■ IА1 позволяет сформулировать прикладную теорию, учитывающую изменение радиусов кривизны в процессе деформации. Для иллюстрации полученных уравнений (порядок системы равен 10) рассмотрена простейшая задача о сжатии шарнирно-опертого стержня.

Из имеющихся иностранных публикаций по этой теме, например [103-109],следует, что поперечный сдвиг в слоистых оболочках и пластинках в рамках принятия гипотез для всего пакета слоев в целом учитывается по тем же принципам, что и в отечественных исследованиях.

Анализ литературных источников в приведенной части обзора, задача которого-показать истоки, пути и ключевые моменты развития неклассической теории слоистых оболочек в рамках принятого подхода, показал, что многообразие различных уточненных теорий обуславливается особенностями в аппроксимации компонент вектора перемещений, компонент сдвигающих напряжений (деформаций сдвига) и методике согласования этих аппроксимаций, и в конечном итоге уточненные модели являются либо типа Тимошенко, либо обобщенной Тимошенко, либо Рейсснера. При этом, как правило, каждый новый вариант уточненной ММ разрабатывается „под задачу", т. е. ориентирован на механическую модель многослойной конструкции. Работ теоретического плана, в которых был бы выработан математический или механический критерий, позволяющий провести сравнительный анализ различных вариантов уточненных моделей в рамках рассматриваемого похода с целью выбора корректной относительно механической постановки нет. Работа [43] имеет название, ассоциирующееся с названной проблемой, но в ней предлагается вариационное сопоставление близких по содержанию моделей относительно друг друга, а не относительно некоторых незыблемых постулатов, например-трехмерной теории.

Каждое уточнение теории связано с усложнением ее практического применения, особенно в случае нелинейных постановок задач. Поэтому важной проблемой до настоящего времени остается разработка стандартных универсальных модулей численного расчета, позволяющих получать приближенное решение с гарантированной точностью, являющихся оптимальными для всех естественных граничных условий, для произвольного набора ортотропных слоев оболочки.

В качестве механической модели предлагаемых исследований выбрана задача устойчивости, т. к. она, как показал анализ литературных источников, является одной из самых насущных задач практического использования многослойных оболочечных конструкций [21,31,32,38,95,107]. Исследование несущей способности тонкостенных оболочечных конструкций включает в себя как определение точек бифуркации, так и предельных точек [4]. Точки бифуркации определяются собственными решениями однородных уравнений для дополнительного состояния, полученными линеаризацией нелинейных уравнений, описывающих процесс деформирования тонкой оболочки, в окрестности достигнутого докритического состояния [32]. Предельные точки определяются путем непосредственного решения нелинейных уравнений, описывающих процесс деформирования тонкостенной конструкции, и соответствуют максимумам на кривой в осях „нагрузка-прогиб" [21]. Как отмечается в [31], в общем случае этот способ не гарантирует правильность полученных результатов. Но, если изменить расчетную схему и использовать в качестве нагружающего фактора перемещение в какой-либо точке оболочки, то силовые факторы можно найти из решения задачи.

Такой подход позволяет получить предельную точку нагрузки и исследовать закритическое поведение оболочки. В публикациях по вопросам устойчивости многослойных оболочек используется в основном первый подход в определении критической нагрузки.

Второй считается сложным, особенно, если расчет производится по уточненной теории. В [104] при анализе потери устойчивости композитных пластин и оболочек отмечается незначительное влияние поперечного сдвига на устойчивость оболочки. Поэтому еще одной задачей естественным образом сформулированной в процессе составления обзора и решаемой в работе, является задача исследования устойчивости многослойных оболочек на основе второго подхода с одновременным анализом НДС в окрестности предельной точки, вблизи границы, позволяющая выявить пределы применимости параболического закона распределения касательных напряжений по толщине для композитно-металлических оболочек, влияния на величину критической нагрузки слоистости-симметричного,

19 несимметричного пакета, анизотропии, механических и геометрических параметров и сравнения результатов исследования по всем рассмотренным ММ.

Обзор публикаций выявил еще одну проблему - проблему исследования термоустойчивости оболочек, собранных из металлов, чередующихся с пластиками: стеклопластики, углепластики, боропластики, графитопластики [59,96], которые отличает коррозионная и эррозионная стойкость, термостойкость, относительно высокая прочность, низкая сдвиговая жесткость. В [59] ,[76] отмечено, что совместная работа разнородных материалов дает эффект, равносильный созданию нового материала, свойства которого и количественно и качественно отличаются от свойств каждого из его составляющих. В случае, если свойства разнородных слоев зависят от температуры, симметричный по своим физико-геометрическим характеристикам пакет при воздействии неоднородного по толщине температурного поля становится несимметричным относительно срединной поверхности; необходим учет поперечных сдвигов, так как в оболочке с низкой сдвиговой жесткостью во многих случаях с возрастанием температуры модуль сдвига уменьшается более значительно, чем модули Юнга. В соответствии с термодинамикой необратимых процессов в реальном теле поля перемещений и температуры взаимосвязаны, что требует совместного решения уравнений теплопроводности и движения. Вопросам решения задач связанной термоупругости посвящена монография [31]. Однако, влияние эффекта термомеханического взаимодействия для металлов невелико (около 2,3 %), поэтому с достаточной для инженерных расчетов точностью можно решать несвязанную задачу, в начале определяя температурное поле, а затем - НДС. Публикаций, посвященных задачам термоустойчивости композитно-металлических оболочек по уточненным теориям практически нет. И поэтому задача исследования влияния температурных воздействий на величину предельной нагрузки в расчетах металлокомпозитных оболочек по уточненным теориям является актуальной.

Таким образом проведенный анализ литературных источников по данной проблематике позволяет выделить следующие приоритетные направления будущих исследований:

1. Выработка критериев сравнительного анализа существующих вариантов уточненных теорий.

2. Обоснование целесообразности построения новых неклассических ММ.

3. Разработка универсальных оптимальных алгоритмов численного анализа ММ,позволяющих получить решение искомое решение с гарантированной точностью.

4. Исследование устойчивости многослойных пологих гибких ортотропных оболочек с учетом температурного поля в рамках уточненных математических моделей.

Научная новизна результатов проведенных исследований заключается в следующем.

1 .Разработаны алгоритмы для численного исследования устойчивости "в большом" [21] многослойных оболочек известных математических моделей: типа Тимошенко—ММ1, Пелеха-Шереметьева—ММ2, Григолюка-Куликова — ММЗ и их модификаций.

2.Построена и численно исследована новая модифицированная асимптотически согласованная модель—АСМ, полученная с помощью стационарного варианта "проекционных условий" движения оболочки [48].

3.Построена новая математическая модель с ¿•-регуляризацией, доказана теорема о существовании ее обобщенного решения [51,52].

4.Выявлены особенности применения вариационно-разностного метода в расчетах на устойчивость оболочек с несимметричным пакетом слое [56,57].

5.Разработан единый комплекс программ на языке программирования "Фортран-77" для исследования устойчивости и НДС многослойных оболочек по всем уточненным теориям, рассмотренным в работе.

6.Впервые проведен сравнительный анализ результатов расчета на устойчивость "в большом" пологих многослойных, ортотропных оболочек, выполненных в рамках моделей типа Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, Григолюка-Куликова, асимптотически согласованной — АСМ.

На защиту выносятся:

1.Новая модифицированная асимптотически согласованная модель- АСМ многослойных ортотропных оболочек.

2.Модифицированная модель пологих многослойных оболочек в рамках гипотез типа Тимошенко с регуляризирующим оператором.

3.Доказательство существования решения регуляризованной модели, обоснование сходимости методов Бубнова-Галеркина, конечных разностей, используемых для построения приближенных решений ;

4.Единая методика построения разностных схем для решения задач устойчивости и НДС в рамках различных уточненных гипотез.

5.Методика разностной аппроксимации дифференциальных операторов нечетного порядка для краевых задач многослойных гибких пологих оболочек с несимметричным пакетом слоев.

6.Результаты численных экспериментов исследования устойчивости многослойных, ортотропных, термоупругих пологих оболочек на базе семи вариантов уточненных теорий оболочек для различных кривизн, числа слоев и физико-геометрических параметров слоев, расположения слоев с учетом температурного поля;

7.Численное обоснование неединственности определения НДС в рамках уточненных континуальных моделей многослойных ортотропных оболочек и допустимости межслойного разрыва сдвигающих напряжений в условиях идеального контакта слоев (5),(6).

Точность и достоверность результатов проведенных исследований обеспечивается: корректным выводом модельных уравнений в рамках принятых гипотез и допущений; сопоставлением с точным решением построенных модельных задач; —сопоставлением решения по ММ1 с точным решением Брюккера [13] при оценке значения прогиба в центре для трехслойной оболочки симметричного строения; сравнением с результатом эксперимента [80]; исследованием сходимости по сетке для каждой уточненной модели; просчетом по всем ММ однослойных оболочек из различных материалов, дающих для уточненных моделей ММ2, ММЗ, АСМ одну кривую устойчивости в координатах "нагрузка-прогиб".

Теоретическое значение результатов проведенных исследований заключается в том, что:

Впервые с единых позиций в рамках континуальных теорий многослойных ортотропных оболочек исследована эффективность применения различных уточненных ММ в задачах устойчивости многослойных оболочек; численно обоснованна неединственность определения НДС в рамках уточненных континуальных моделей многослойных оболочек; установлена и решена проблема разностной аппроксимации дифференциальных операторов нечетного порядка для оболочек с несимметричным пакетом слоев при наложении разностной сетки на обобщенные решения краевых задач неклассической теории оболочек.

Прикладное значение результатов исследований состоит в возможности их непосредственного использования для решения задач статической устойчивости многослойных ортотропных оболочек произвольного пакета слоев с учетом температурного поля.

Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Сурова, Нина Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными выводами по результатам проведенных в диссертации исследований являются:

1. Вариационно-разностным методом на базе основных вариационных уравнений теории пологих оболочек построены консервативные разностные схемы для краевых задач в рамках ММ типа Тимошенко, Пелеха-Шереметьева, Григолюка-Куликова, АСМ.

2. Построена новая ММ с е-регуляризацией, доказана теорема о существовании ее обобщенного решения.

3. Разработана методика разностной аппроксимации дифференциальных операторов нечетного порядка, возникающих в теории многослойных оболочек с несимметричным пакетом слоев.

4. Разработан единый комплекс программ на языке программирования "Фортран-77" для исследования устойчивости многослойных оболочек по всем, рассматриваемым в работе, уточненным теориям.

5. Анализ численных результатов показал, что кривые устойчивости в координатах "нагрузка-прогиб", полученные по ММ АСМ и Пелеха-Шереметьева, совпадают и являются кривыми, к которым приближаются кривые устойчивости, полученные по ММ Григолюка-Куликова с увеличением базисных функций в аппроксимации касательных напряжений сгХ2, cryz. Таким образом, в рамках континуальных уточненных ММ наиболее оптимальными с вычислительной точки зрения и корректными с механической являются модели АСМ и Пелеха-Шереметьева.

6. Численно доказана неоднозначность НДС многослойных орто-тропных оболочек в рамках континуального подхода к построению уравнений равновесия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сурова, Нина Сергеевна, 1999 год

1. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек// Изв. АН ЭССР, Сер. физ.-мат. и техн. наук, 1965. Т. 14. №3. С. 337 - 344.

2. Александров А. Я., Куршин Л. М. Многослойные пластинки и оболочки // Тр. 7 Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука , 1970.С. 714-721.

3. Алумяэ И. А. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1972. С. 227-266.

4. Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

5. Амбарцумян С. А. Некоторые вопросы развития анизотропных слоистых оболочек// Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1964 . Т.17 . С. 29-53.

6. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1961. 84 с.

7. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин.-М.: Наука, 1967. 266 с.

8. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек.-М.: Наука, 1974. 446 с.

9. Андреев А. В. В мире оболочек. М.: "Знание", 1986.

10. Андреев А. Н. , Немировский Ю. Н. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек//Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1977.№ 5. С. 87-96.

11. И. Андреев А. Н. , Немировский Ю. Н. Об одном варианте теории упругих многослойных анизотропных пластин. Прикладная механика. 1978. Т. XIV, № 7. С. 55-63.

12. Болотин В. В. , Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций.М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

13. Брюккер Л. Э. Некоторые варианты упрощения уравнений изгиба трехслойных пластин //Расчеты элементов авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1965. Вып. 3. С. 74-99.

14. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ.-М.: Мир, 1987.- 542 с.

15. Васильев В. В. Некоторые проблемы теории оболочек, связанные с особенностями современных конструкционных материалов // Изв. АН СССР. Сер. механика твердого тела. 1987. № 5. С. 178-188.

16. Васильев В. В. Классическая теория пластин история и современный анализ // Изв. РАН. Сер. Механика твердого тела. 1998.№ 3. С. 46-58.

17. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А., Санинский А.С, Сурова Н.С. Статический расчет многослойной неоднородной пологой оболочки в температурном поле // Тез. докл. I Всес. конф. Львов, 1983. С.39.

18. Власов В. В. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

19. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

20. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

21. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

22. Ворович И. И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек// Тр. 2 Всес. съезда по теорет. и прикл. механике. 1964. № 3. С. 116-137.

23. Галимов К. 3. К нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко// Изв. АН СССР. Сер. механика твердого тела. 1976. № 4. С. 155-166.

24. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1975. 325 с.

25. Галинып А. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям// Исследования по теории пластин и оболочек. 1967. Вып. 5. С. 66-92.

26. Галинып А. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям// Исследования по теории пластин и оболочек. 1970. Вып. 6-7. С.23-64.

27. Танеева М. С. Основные нелинейные соотношения уточненной теории многослойных ортотропных нетонких оболочек//Статика и динамика оболочек/ Тр. семинара Казанск. физ.-техн. ин-та. 1977.Вып. 8. С. 19-31.

28. Гольденвейзер А. Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера// Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1958. № 4. С46-51

29. Гольденвейзер А. Л. Теория тонких упругих оболочек. М.: Гостехиздат, 1953. 124 с.

30. Гольденвейзер А. Л. Методы обоснования и уточнения теории оболочек//Прикладная математика и механика. 1968. 32. № 4. С. 684695.

31. Грибанов В. Ф. , Крохин И. А., Паничкин Н. Г., Фомичев Ю. И. Прочность, устойчивость и колебания термонапряженных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1990. 368 с.

32. Григолюк Э. И. , Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

33. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения//Механика композитных материалов. 1981. № 3. С. 443-452.

34. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. К теории упругих слоистых оболочек// Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. № 5. С. 1077-1079.

35. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

36. Григолюк Э. И. , Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. 1972. Т. 8. № 6. С. 318.

37. Григолюк Э. М., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика твердого деформируемого тела: М., 1973. Т.5 199 с.

38. Григолюк Э. М., Чулков П. П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек. Новосибирск: Западно-сибирск. книжн. изд-во , 1966.

39. Григолюк Э. М., Чулков П. П. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем// Изв. АН СССР. Сер. механика и машиностроение. 1964. № 1. С.55-65.

40. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наук, думка, 1981. Т.4. 544 с.

41. Григоренко Я. М. , Василенко А. Т. Решение задач и анализ НДС анизотропных неоднородных оболочек (Обзор)//Прикладная механика (Киев). 1997. Т. 33, № И. С. 3-37.

42. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Пакратова Н. Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. Киев: Вища шк., 1985. 189 с.

43. Гуртовой А. Г., Пискунов В. Г. О сравнительном анализе уточненных моделей слоистых ортотропных пластин, // Прикл. мех. (Киев) .1998. Т. 34. № 1.С. 79-84.

44. Дудченко А. А. , Лурье С. А. , Образцов И. Ф. Анизотропные многослойные пластинки и оболочки // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика деформируемого твердого тела. 1983. Т. 15. С. 368.

45. Качуровский Р. И. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и их сеточные аппроксимации //Сиб. мат. журн. 1971. Т.12. №2. С.353-366.

46. Кильчевский Н. А. Обобщение современной теории оболочек // Прикладная механика, математика. 1939. Т.П. Вып. 4. С.3-41.

47. Кириченко В. Ф. Математические модели связанных задач термоупругости для пологих оболочек. Сб. Исследования по теории пластин и оболочек. Межвуз. научн. сб. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992. Вып. 24. С.86-91.

48. Кириченко В. Ф., Бочкарев В. В. Связанные задачи термоупругости для пологих оболочек в рамках обобщенной модели Тимошенко. Саратов, 1989. 37с. Деп. в ВИНИТИ, Саратов, 1989. № 6939-В89.

49. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Сурова Н.С. О применении проекционных методов к решению задач теории гибких пологих анизотропных многослойных оболочек // Материалы II Всес. научно-технической конф. Ереван, 1984. С. 25-31.

50. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Сурова Н.С. Метод Бубнова-Галеркина в нелинейной теории гибких пологих многослойных ортотропных оболочек // Прикладная математика и механика, 1985. Т.49. Вып. 4. С. 700-704.

51. Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. О существовании решения одной сильно нелинейной системы эллиптического вида // Дифференциальные уравнения. 1986. Т.22. № 10. С.55-64.

52. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Сурова Н.С. О применении проекционных методов к решению задач теории гибких пологих анизотропных многослойных оболочек/ Сарат. гос. тех. ун-т. Саратов, 1985. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 01.01.85, № В1093-Д85.

53. Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. Устойчивость неоднородных многослойных пологих оболочек в рамках модели Тимошенко // Механика неоднородных структур. Т. 1. Львов, 1987. С. 160-161.

54. Кириченко В.Ф., Крысько В.А., Сурова Н.С. Численное исследование устойчивости пологих многослойных оболочек по уточненным теориям/ Сарат. гос, техн. ун-т. Саратов, 1995. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 25.01.95. № 1149-В95.

55. Композиционные материалы: Справочник /В. В. Васильев, В. Д. Протасов, В. В. Болотин и др. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

56. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та , 1976. 212 с.

57. Крысько В.А., Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. Устойчивость ортотропных многослойных оболочек в рамках модели типа Тимошенко // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1988. № 7. С.42-45.

58. Куликов Г. М. Об эффекте анизотропии в перекрестно армированных оболочках. М., 1981. 15 с.-Деп. в ВИНИТИ 07. 04.81, № 1542-81.

59. Куликов Г. М. О влиянии анизотропии на напряженное состояние многослойных армированных оболочек// Прикладная механика. 1986. Т. XXII. N12. 1986. С. 66-72.

60. Куршин Л.М. Обзор по расчету трехслойных пластин и оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Гостехиздат, 1962.Вып. 7. С. 163-192.

61. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

62. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. ,1972.

63. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.

64. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 184 с.

65. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. 2-е изд., испр. и доп.-Л.: Судостроение, 1962. 431 с.

66. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.:Мир, 1975. 559 с.

67. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наукова думка, 1982. 559 с.

68. Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. Львов: Вища школа, 1978. 159 с.

69. Пикуль В. В. Теория и расчет оболочек вращения. М.: Наука, 1983. 288 с.

70. Пискунов В. Г., Вериженко В. Е. и др. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов. Киев: Вища школа (Киев, ун-т), 1987. 200 с.

71. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

72. Прусаков А. П. Конечные прогибы многослойных пологих оболочек // Механика твердого тела. 1971. № 3. С. 119-125.

73. Рассказов А. О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек// Прикладная механика, 1976. Т. 12. № И. С. 50-56.

74. Рассказов А. О. К теории изгиба многослойных ортотропных пластин// Простр. конструкции в Красноярском крае. 1975. N8. С. 128-139.

75. Рассказов А. О., Соколовская И. И., Шульга Н. А. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1987. 207 с.

76. Родионова В. А. Теория тонких анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 116 с.

77. Рябов А. Ф. Розруханок багатошаровых оболонок. Киев: Бугцвельник, 1968. 101 с.

78. Рябов А. Ф. , Рассказов А. О. К теории многослойных пластин несимметричной структуры с ортотропными слоями// Прикладная механика. 1974. Т.10. № 2. С. 62-68.

79. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.

80. Самарский А. А. , Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

81. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 92 с.

82. Снегирев В. Ф. Вариант математической теории слоистых оболочек. // Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек: Межвуз. научн. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. 144 с.

83. Соколовская И. И. Развитие подхода Рейсснера при построении прикладной теории многослойных ортотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью// Прикладная механика. 1980. Т. XVI. № 3, 1980, С.38-45.

84. Справочник по теории упругости для инженеров строителей. Киев: Будивельник, 1971. 420 с.

85. Сурова Н.С. Устойчивость многослойных нелинейных пологих оболочек на базе модели Тимошенко //Математические модели, методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек: Межвуз. научн. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 71-73.

86. Терегулов И. Г. К построению уточненных теорий пластин иоболочек// Прикладная математика, механика. 1962. Т. XXVI. № 2. С. 346-350.

87. Терегулов И. Г. К вариационным методам в нелинейной теории упругости// ДАН СССР. Т. 142. Вып. 3 , 1962, С. 568-572.

88. Терегулов А. Г. К теории многослойных анизотропных оболочек// Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: изд-во Казан, гос. ун-та, 1970. Вып. 6-7. С. 762-767.

89. Тетере Г. А. Сложное нагружение и устойчивость оболочек из полимерных материалов. Рига: „Зинатне", 1969. 510 с.

90. Тетере Г. А. Пластинки и оболочки из полимерных и композиционных материалов.// Механика полимеров. 1977. N 3. С. 486493.

91. Тимошенко С. П., Войновский К., Кригер С. Пластинки и оболочки.М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

92. Ульяшина А. Н. Уравнение технической теории ортотропных оболочек с учетом сдвиговой и нормальной поперечных деформаций. Механика полимеров. 1977. № 2. С. 270-276.

93. Ульяшина А. Н. Напряженно-деформированное состояние слоистых пластин// Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1979. N1. С. 1117

94. Шереметьев М. П. , Пелех Б. Л. К построению уточненной теории пластин// Инженерный журнал. 1964. Т. IV. Вып. 3. С. 504-510.

95. Штамм К. , Витте X. Многослойные конструкции. М.: Стройиздат, 1982. 296 с.

96. Хебин Л. М. Обзор современного состояния исследований по трехслойным конструкциям // Механика. 1966. № 2. С. 119-130.

97. Cohen G. A. Fasor-a second generation shell of revolution code // Comput. and strukt. 1979. V.10. № 1-2.-P. 301-309.

98. Nagdi P. M. On the theory of thin elastik shells//Quarterly of Applied Mathematics, 1957, V. 14, № 4, p. 369-380.

99. Chin W.Z .The intrinsic theory of thien shells and plates// Quart, of Math. 1944, V.l. № 4; V.ll. №1,2.

100. Reissner E. On the theory of bending of elastik plates//J. Math. Phys., 1944, vol. 23.

101. Об анализе поведения при потере устойчивости слоистых композитных пластин и оболочек.

102. On the analysis of the bukling behaviour of laminated composite plates and shells / Geier Bodo, Rohwer Klaus. // Int. J. Numer. Meth. Eng.-1989.-27, № 2.-P. 403-427.