Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Проскурин, Александр Викторович

• Проскурин, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Проскурин, Александр Викторович

Введение

1 Математическое моделирование ламинарнотурбулентного перехода. Метод дифференциальной прогонки

1.1 Постановка задачи.

1.2 Уравнение Орра-Зоммерфельда

1.3 Течение между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля

1.4 Течение слабоэлектропроводящей жидкости в спиральном магнитном поле

1.5 Сравнительный анализ методов решения задачи гидродинамической устойчивости.

1.6 Метод дифференциальной прогонки.

2 Модификация численного метода. Достоверность вычислений

2.1 Модификации метода дифференциальной прогонки

2.2 Приемы программной реализации численного метода

2.3 Метод коллокаций.

2.3.1 Метод коллокаций К.И. Бабенко.

2.4 Оценка достоверности результатов численного эксперимента

3 Устойчивость плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле

3.1 Вывод уравнений для малых возмущений плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле.

3.2 Численное исследование устойчивости плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле.

4 Численное исследование устойчивости параллельного течения в трубе кольцевого сечения

4.1 Устойчивость параллельного течения в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля

4.2 Влияние азимутального магнитного поля на устойчивость течения в трубе кольцевого сечения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости»

Актуальность темы. Математическое моделирование ламинарно-турбулеитого перехода в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля представляет значительный интерес. Это связано с широкой распространенностью электропроводящих сред - жидких металлов, ионизованного газа, плазмы, электролитов. С помощью магнитного поля можно эффективно управлять устойчивостью течений таких жидкостей. В последние годы появились новые возможности для исследования устойчивости параллельных течений, что связано, в частности, со значительным прогрессом в области вычислительной техники. В этой связи возникает необходимость разработки эффективных численных алгоритмов и создания библиотеки программ для более полного и детального исследования устойчивости МГД-течений.

Ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля интересен также и в теоретическом плане. Область ламинарно-турбулентного перехода располагается между хорошо исследованной областью существования ламинарных течений жидкости и областью существования турбулентного движения. Проблема турбулентности по-прежнему остается открытой, несмотря на то, что в течении целого века привлекает внимание многих выдающихся исследователей. Основные трудности при исследовании турбулентности связаны с наличием большого числа степеней свободы, нелинейностью, сложным и хаотическим характером движения. Поэтому изучение ламинарно-турбулентного перехода представляется важным, так как дает понимание механизмов зарождения и развития турбулентности, условий реализации ламинарного или турбулентного движения. Магнитное поле существенно влияет на ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости - оно может как стабилизировать, так и в отдельных случаях дестабилизировать течения. Магнитное поле является мощным инструментом воздействия на устойчивость течений электропроводящих жидкостей.

Переход к турбулентности или к новым ламинарным течениям непосредственно связан с потерей устойчивости ламинарного потока. Общая теория гидродинамической устойчивости и перехода к турбулентному движению пока не разработана. Наиболее исследована и сторого обоснована теория линейной устойчивости параллельных течений в каналах. Однако несмотря на очень большой объем публикаций по данному вопросу, исчерпывающие результаты получены только в единичных случаях. Даже вопрос об устойчивости простого течения в круглой трубе не решен до настоящего времени. Это связано со значительной сложностью задач гидродинамической устойчивости, которые, к тому же, обычно не решаются аналитическими методами. Численное решение таких задач также может быть сопряжено со значительными трудностями. Для их решения используются специальные численные методы. Наиболее исследованы течения между параллельными бесконечными плоскостями (течения в плоском канале): течение Пуазейля, течение Гарт-мана, течение Куэтта и некоторые другие. Параллельное течение в трубе кольцевого сечения в присутствии внешнего магнитного поля ранее не исследовалось в полной мере.

Упомянутые выше вопросы рассматривались в работах [1]-[125].

Цель работы. Целью данной работы является обоснование, разработка и тестирование эффективных численных методов, создание библиотеки программ для изучения влияния внешнего магнитного поля на ламинарно-турбулентный переход в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости. Исследование при помощи данных методов и программ устойчивости параллельных МГД-течений в продольном и азимутальном магнитных полях.

Решаемые задачи:

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Проскурин, Александр Викторович

Заключение

В данной работе разработаны алгоритмы на основе дифференциальной прогонки и с помощью современных технологий вычислительного эксперимента выявлены общие закономерности влияния внешнего продольного и азимутального магнитных полей на устойчивость параллельных течений, проанализировано влияние электропроводности на устойчивость параллельных течений в продольном магнитном поле. Обнаружен эффект существенной стабилизации рассматриваемых течений продольным магнитным полем. Выбор параметров для вычислений производился с целью охвата наиболее характерных и интересных для исследователя областей, что позволило наблюдать основные эффекты, связанные с ламинарно-турбулентным переходом в рассмотренных течениях. В итоге сформулированы следующие краткие выводы.

1. В данной работе рассмотрена хорошо обоснованная модель ламинарно-турбулентного перехода, простой, эффективный и надежный численный метод дифференциальной прогонки.

2. Разработаны эффективные варианты метода дифференциальной прогонки и соответствующие библиотеки программ, позволившие выполнить большой объем вычислений при исследовании устойчивости параллельных МГД-течений.

3. Установлено, что продольное магнитное поле существенно стабилизирует параллельные течения электропроводящей жидкости, причем возможно скачкообразное увеличение критических чисел Рейнольдса на два порядка.

4. Внесение азимутального магнитного поля при наличии продольного магнитного поля может приводить к уменьшению критических чисел Рейнольдса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Проскурин, Александр Викторович, 2006 год

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:Наука. - 1978.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука 1971.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.

4. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.:Диалог-МИФИ. -1998.

5. Бартеньев О.В. Visual Fortran: новые возможности. -М.:Диалог-МИФИ. 1999.

6. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. 4.1. М.:Диалог-МИФИ. - 2000.

7. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. 4.2. М.:Диалог-МИФИ. - 2001.

8. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч.З. М.:Диалог-МИФИ. - 2001.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука. - 1975.

10. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. Новосибирск: Наука. - 1999.

11. Брушлинская Н.Н. О предельных циклах уравнений движения твердого тела и галеркинских уравнений гидродинамики. // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157. - № 5. - С. 1017-1020.

12. Брушлинская Н.Н. О поведении решений уравнений гидродинамики при переходе числа Рейнольдса через критическое значение // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 162. - №4. - С. 731-734.

13. Велихов Е.П. Устойчивость плоского пуазейлева течения идеально проводящей жидкости в продольном магнитном поле // ЖЭТФ. 1959. - Т. 36. - Вып. 4. - С. 1192-1202.

14. Вильгельми Т.А., Сапожников В.А. Об устойчивости течения в кольцевом канале // Численные методы механики сплошных сред. 1974. - т.2. - № 4. - С.31-39.

15. Вильгельми Т.А., Сапожников В.А. О влиянии параллельного магнитного поля на устойчивость течения в кольцевом канале // Вопросы гидродинамики и теплообмена. Новосибирск. -1972. - С.188-196.

16. Гатилов В.В., Сагалаков A.M. Гидромагнитная неустойчивость плоского токового слоя с конечной проводимостью // Физика -плазмы. 1984. - т. 10. - Вып. 5. - с. 1073-1080.

17. Гатилов В.В., Сагалаков A.M., Ульченко В.В. Тиринг-неустойчивость в МГД-течениях // Магнитная гидродинамика. -1986 № 1. - С. 11-16.

18. Гатилов В.В., Сагалаков A.M., Ульченко В.Ф. Тиринг-неустойчивость плоского токового слоя с конечной ионной вязкостью // Прикладная механика и техническая физика. -1985. № 2. - С.6-14.

19. Грин Д., Кнут Д. Математические методы анализа алгоритмов.- М.: Мир. 1987.

20. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность Новосибирск: Наука. - 1977.

21. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.:Наука. - 1977.

22. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5.- М.: «Солон» 1998.

23. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда //Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. - Т.35. - №6. -С4-10.

24. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука. - 1978.

25. Карасев Б.Г., Лиелаусис О.А., Муравьев Е.В., Тананаев А.В. Жидкие металлы в термоядерных реакторах с магнитным удержанием. Препринт ин-та физики АН Латвийской ССР. -Саласпилс. - 1987.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.:Наука. 1984.

27. Катцан Г. Язык фортран 77. Москва: Мир. - 1982.

28. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир. - 1998.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. - 1976.3135

30. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеха-ника.Ч.1. М.:Физматлит. - 1963.

31. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеха-ника.Ч.2. М.:Физматлит. - 1963.

32. Кнут Д. Искусство программирования. М.: ИД «Вильяме». -2000.

33. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. - 1975.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. - 1987.

35. Лавреньтьев И.В., Шишко А.Я. Электродинамические процессы в МГД-каналах при больших числах Рейнольдса// Магнитная гидродинамика. 1980. - №3. - С.81-106.

36. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука. 1973.

37. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. - 1970.

38. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гос. изд-во тнхнико-теоретической литературы. - 1947.

39. Левитан Ю.Л., Моисеенко Б.Д., Рождественский Б.Л., Сидорова В.К. Спектры плоского течения Пуазейля и проблема решения уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса//Ж. выч. мат. и матем. физики. 1978. - Т.18. -т. - С.252-258.

40. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз. - 1962.

41. Лойцянский JI.Г. Механика жидкости и газа. М.: Гостехиздат.- 1950.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука. - 1986.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. - 1982.

44. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. С. 143-144.

45. Лихачёв О.А., Штерн В.Н. Автоколебательное МГД-течение в канале при продольном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1975. - № 3. - С.15-20.

46. Лотов К.В. Физика сплошных сред. Новосибирск: НГУ. - 2002.

47. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.:Наука. - 1975.

48. Милн-Томпсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.:Мир.- 1964.

49. Обухов A.M., Гледзер Е.В., Должанский Ф.В. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука. - 1981.

50. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Устойчивость альфвеновских колебаний плоского слоя плазмы // Физика плазмы. -1983. -Т. 9. Вып. 3. - С. 512-522.

51. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Альфвеновские неустойчивости плоского слоя плазмы с однородным пучком ионов // Физика плазмы. 1985. - Т. 11. - Вып. 2. - С.211-220.

52. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Динамика альфвеновских возмущений в неоднородной плазме. Барнаул: изд-во Алт. ун-та. -1998.

53. Патудин В.М., Сагалаков A.M. О спектре линеаризованных уравнений Кадомцева-Погуце // Физика плазмы. -1987. Т. 13. - Вып. 4. - С.429-435.

54. Патудин В.М., Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Тиринг-неустойчивость. Барнаул: изд-во Алт. ун-та. - 2001.

55. Прандтль П. Гидроаэромеханика. Иж.:НИЦ «РХД». 2000.

56. Попов Д.И., Проскурин А.В. Применение методов теории функций комплексного переменного для численного анализа гидродинамической устойчивости // Физика, радиофизика -новое поколение в науке. Барнаул, 2001. - Вып. 2. - С. 8993.

57. Проскурин А.В. Устойчивость одного МГД-течения в кольцевом зазоре // Тез. докл. Международной конференции молодых учёных по математическому моделированию и информатике, 29-31 октября 2002 г. Новосибирск, 1978. - С. 36.

58. Проскурин А.В. Устойчивось магнитогидродинамического течения проводящей жидкости в продольном магнитном поле

59. Физика, радиофизика новое поколение в науке. - Барнаул, 2002. - Вып. 3. - С. 46.

60. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Устойчивость течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2003. - № 1. -С. 91-94.

61. Проскурин А.В. Об устойчивости одного МГД-течения // Тез. докладов всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных, 28 марта-3 апреля 2003 г., Красноярск. Екатеринбург-Красноярск: изд-во АСФ Росии. - 2003. -С.465-466.

62. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. О спектральной задаче Орра-Зоммерфельда. // Тез. докл. Международного совещания по интервальной математике и методам распространения ограничений, 8-9 июля 2003 г., Новосибирск, Академгородок. Новосибирск. - 2003. - С.46.

63. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Образование ограниченных областей неустойчивости МГД течений в каналах // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2004. - № 1. - С. 122-126.

64. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Устойчивость течения проводящей жидкости в канале кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля // Вестник Алтайского Научного Центра Сибирской Академии Наук Высшей Школы. 20032004. - № 6-7. - С. 68-73.

65. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Stability of plasma flow between coaxial cylinders // abstracts of International conference on Open

66. Magnetic Systems for Plasma Confinement, 5-9 July, Novosibirsk. Новосибирск: ИЯФ CO PAH. - 2004. - C. 86.

67. Проскурин А.В. Развитие МГД неустойчивости в канале кольцевого сечения // 13-я зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2003: Тез. докл. Пермь. - 2003. - С.299.

68. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Устойчивость течения между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля // Вестник Томского гос. ун-та: бюллетень оперативной научной информации. 2004. - №24, апрель. - С. 94-100.

69. Рауз X. Механика жидкости. М.: Изд-во литературы по строительству. 1967.

70. Рыжиков Ю.И. Программирование на Фортране Powerstation для инженеров. Корона-Принт. - 1999.

71. Сагалаков A.M. Устойчивость течения Гартмана // Докл. Академии Наук. 1972. - Т. 203. - №4. -С. 772-775.

72. Сагалаков A.M. Устойчивость течения Гартмана // Известия Академии Наук: Механика жидкости и газа. 1972. - № 6. -С.17-31.

73. Сагалаков A.M., Сидоров Е.Н., Тюлюпин Е.Н. Устойчивость магнитогидродинамического течения Пуазейля в плоском канале с непроводящими стенками // Магнитная гидродинамика. 1984. - № 4. -с.75-80.

74. Сагалаков A.M., Сидоров Е.Н., Тюлюпин Е.Н. Устойчивость магнитогидродинамического течения Пуазейля в плоском канале с непроводящими стенками // Магнитная гидродинамика. 1989. - № 2. -с.128-145.

75. Сагалаков А.М.,Стерлягов С.П., Ульченко В.Ф., Юдинцев А.Ю. Нарастание тиринг-моды в плазменном цилиндре // Устойчивость и турбулентность. Новосибирск: ИТ СО ФР СССР. -1895. - С. 61-70.

76. Сагалаков A.M., Ульченко В.Ф. Нарастание наклонных возмущений плоского токового слоя // Физика плазмы. 1985. - Т. 11. - Вып. 4. С. 452-461.

77. Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Автоколебания магнитогидро-® динамических течений в трубе кольцевого сечения в продольноммагнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1992. - № 1. -С.7-12.

78. Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Общие свойства вторичных несимметричных режимов в параллельных МГД-течениях // Изв. Алтайского гос. ун-та. 1997. - № 1. - С. 54-57.

79. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Новый метод приближённого вычисления первыхф собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда

80. Докл. Академии Наук. 2001. - Т 378. - №4. - С.443-446.

81. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями.- М.: Высш. шк. 1987.

82. Сапожников В.А. Численное решение задач гидродинамической устойчивости. // Автореферат кандидатской диссертации.- Новосибирск: Ин-т Теплофизики СО АН СССР. 1970.

83. Сапожников В.А. Решение задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки//Тр. Всесоюзн. семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. - 1969. - С.212-219.

84. Сапожников В. А. Численное решение задач гидродинамической устойчивости// Тр. секц. по численным методам в газовой динамике 2-го межд. коллоквиума по газовой динамике взрыва и реагирующих систем. Т.З. - Москва. - 1971. - С.179-192.

85. Слёзкин Н.А. Динамика несжимаемой жидкости. Москва. -1955.

86. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Государственное издательства теоретико-технической литературы.- 1954.

87. Струминский В.В. К нелинейной теории аэродинамической устойчивости. // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151. - №5.-С. 1046-1049.

88. Струминский В.В. К нелинейной теории развития и стабилизации аэродинамических возмущений.// Докл. АН СССР. -1963. Т. 153. - № 3. - С. 547-550.

89. Чен Ф.Ф. Введение в физику плазмы. М.:Мир, 1987.

90. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1981.

91. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, - 1974.

92. Юдинцев А.Ю. Устойчивость и автоколебания течения слабо-проводящей жидкости кольцевом зазоре. // Дисс. на соискание ст. канд. физ.-мат. н. Барнаул. - 1993.

93. Юдович В.И. Об устойчивости течений вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1965. - Т. 161. - № 5. - С. 1037-1040.

94. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. - 1984.

95. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебательных режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале. // Докл. АН СССР. 1972. - Т. 202. - № 4. - С. 791-792.

96. Batchelor G.K. Introduction to fluid dynamics. Cambrige university press. - 2002.

97. Biskamp D. Magnetohydrodynamic turbulence. Cambrige university press. - 2002.

98. Boeck Т., Krasnov D.S., Zienicke E., Zikanov O., Thess A. Numerical study of the instability of the Hartmann layer //J. Fluid Mech. 2004. - Vol. 504. - P.183-211.

99. Canuto С., Hussaini M.Y., Quarterony A., Zang T. Spectral metods in fluid dynamics. Springer. -1998.

100. Cotrell D.L., Pearlstein A.J. The connection between centrifugal instability and Tollmien-Schlichting-like instability for spiral Poiselle flow. // J. Fluid Mech. 2004. - № 509. - P. 331-351.

101. Criminale W.O., Jackson T.L., Lasseigne D.L., Joslin R.D. Perturbation dynamics in viscous channel flows. //J. Fluid Mech. 1997. - № 339. - P. 55-75.

102. Davidson P.A. An introduction to magnetohydrodynamics. -Cambrige university press. 2001.

103. Drazin P.G. Introduction to hydrodynamics stability. Cambrige university press. - 2002.

104. Dolan T.J. Fusion research. Pergamon press. - 2000.

105. Gerard-Varet D. Amplification of small perturbations in a Hartmann layer. // Phys. Fluids. 2002. - vol. 14. - P. 1458-1467.

106. Henningson D.S., Schmid P.J. Stability and transition in shear flows. New York: Springer-Verlag. - 2001.

107. Herron I.H., Halima A.N. The principle of exchange of stabilities for Couette flow. // Quarterly of applied mathematics. 2002. -Vol. LXI. - № 2. - P. 279-293.

108. Hjgham N.J. Accuracy and stability of numerical algorithms. -Philadelphia: SIAM. 1996.

109. Joshi S.S., Speyer J.L., Kim J. A systems theory approach to the feedback stabilization of infinitesimal and finite-amplitudedisturbances in plane Poiseuille flow. // J. Fluid Mech. 1997.- № 332. P. 157-184.

110. Lee D., Choi H. Magnetohydrodynamics turbulent flow in a channel at low magnetic Reynolds number. //J. Fluid Mech. -2001. № 429. - P. 367-394.

111. Lingwood R.J., Alboussierre T. On the stability of the Hartmann layer. // Phys. Fluids. 1999. - №11. - P.2058-2068.

112. Lock R.C. The stability of the flow of an electrically conducting fluid between parallel planes under a transverse magnetic field // Proc. R. Soc. London. 1955. - A 233. - P. 105-125.

113. Orzag S.A. Accurate solution of the Orr-Sommerfield stability equation//J. Fluid Mech. 1971. - Vol. 50. - №4. - P.689-704.

114. Roberts P.H. An introduction to magnetohydrodynamics. -Longmans. 1967.

115. Sagalakov A.M., Yudintsev A.Yu., Yavorsky N.I. Mechanism of spontaneous symmetry breaking in MHD flows // Russian Journal of Engeneerings Thermophysics. 1995. - № 2. - P. 409-424.

116. Sagalakov A.M., Yudintsev A.Yu., Yavorsky N.I. Mechanism of spontaneous symmetry breaking in MHD flows // International congress on Electromagnetic processing of materials. Proceedings.- Paris. 1997. - Vol.1. - P. 607-613.

117. Takashima M. The stability of the modified plane Poiseulle flow in the presence of a transverse magnetic field // Fluid Dyn. Res. -1996. № 17. - P. 293-310.

118. Takashima M. The stability of the modified plane Couette flow in the presence of a transverse magnetic field // Fluid Dyn. Res. -1998. № 22. - P. 105-121.

119. Thess A., Zikanov 0. Direct numerical simulation of forced MHD turbulence at low magnetic Reynolds number. //J. Fluid Mech. -1998. № 358. - P. 299-333.

120. Zikanov 0. On the instability of pipe Poiseulle flow // Phys. Fluids. -1996. № 8. - P. 2923-2932.