Теплообмен в каналах с пористой анизотропной структурой при ламинарном течении теплоносителя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Николенко Александр Владимирович

• Николенко Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Николенко Александр Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА ТЕПЛОТЫ В АНИЗОТРОПНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1 Интенсификация теплопередачи в проточных элементах компактных технических систем

1.2 Интегральные характеристики пористых сред

1.3 Подходы к исследованию тепло- и массообмена в каналах с пористыми наполнителями

1.4 Феноменологические модели явлений конвективного переноса в анизотропных пористых средах

1.4.1 Гипотеза сплошности и перенос импульса

1.4.2 Теплообмен

1.5 Параметрическая верификация гидротермических характеристик при ламинарном течении несущей среды в каналах с анизотропной пористой матрицей

1.6 Выводы

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ПОРИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ КАНАЛАХ ПРИ НАПОРНОМ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ НЬЮТОНОВСКОГО ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ

2.1 Структура тензорных характеристик переноса в анизотропных пористых средах

2.1.1 Инвариантная структура тензора проницаемости в декартовой системе координат

2.1.2 Инвариантная структура тензора проницаемости в криволинейной системе координат

2.2 Обобщенная модель теплообмена в пористой анизотропной среде

2.2.1 Декартова система координат

2.2.1.1 Модель Дарси-Бринкмана

2.2.1.2 Модель Шуманна

2.2.2 Цилиндрическая система координат

2.3 Математическая модель конвективного теплообмена в анизотропной пористой среде в приближении однонаправленного течения теплоносителя

2.3.1 Плоский канал

2.3.2 Цилиндрический канал

2.4 Выводы

ГЛАВА 3 АНАЛИЗ ЯВЛЕНИЙ ГИДРОТЕРМИЧЕСКОГО ПЕРЕНОСА В АНИЗОТРОПНЫХ ПОРИСТЫХ КАНАЛАХ ПРИ ЛАМИНАРНОЙ

ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ

3.1 Гидродинамическая подзадача в плоском пористом канале при напорном ламинарном течении ньютоновской среды

3.1.1 Общие замечания

3.1.2 Постановка задачи

3.1.3 Аналитическое интегрирование уравнений модели

3.1.4 Анализ

3.2 Тепловая подзадача в плоском пористом канале при напорном ламинарном течении ньютоновской среды

3.2.1 Формализованная постановка

3.2.2 Дискретизация области интегрирования и конечно-разностный аналог уравнений математической модели

3.2.3 Вычислительный эксперимент

3.2.4 Оценка влияния проницаемости анизотропной пористой среды на теплосъем

3.3 Гидродинамическая задача в круглой трубе при напорном ламинарном течении ньютоновской среды

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Интегрирование уравнений гидротермической модели

3.4 Разгонное ламинарное течение ньютоновской жидкости в анизотропном пористом канале прямоугольного сечения

3.4.1 Общее замечание

3.4.2 Формализация постановки задачи

3.4.3 Решение

3.4.4 Анализ результатов

3.5 Выводы

ГЛАВА 4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

ГИДРОТЕРМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛООБМЕННЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

4.1 Описание экспериментальной установки

4.2 Методика проведения экспериментов и первичные экспериментальные данные

4.3 Анализ экспериментальных данных

4.4 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Код Maple - конечно-разностный аналог уравнений

модели

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теплообмен в каналах с пористой анизотропной структурой при ламинарном течении теплоносителя»

Актуальность работы.

Количество теплоты при заданном температурном напоре, передаваемое от нагретого объекта к охлаждаемому, определяется площадью поверхности и величиной коэффициента теплопередачи. Существенное повышение коэффициента теплопередачи достигается обеспечением турбулентного режима движения теплоносителя, однако энергетические затраты для генерации требуемого градиента давления оказываются запредельно высокими. Увеличение площади поверхности теплопередачи за счет изменения ее геометрии различными интенсификаторами не решает окончательно проблему обеспечения заданного теплового режима и поэтому на первый план выступает применение искусственно создаваемых изотропных пористых сред, обладающих высокими значениями поверхности теплопередачи в единице объема. Теоретическое и экспериментальное изучение теплооб-менных элементов с пористыми наполнителями подтвердило их эффективность и в итоге нашло широкое применение в различных отраслях промышленности. Наличие природных пористых сред со стохастической внутренней геометрией инициировало дальнейшие исследования по влиянию анизотропности на теплофизи-ческие характеристики, определяющие из которых - проницаемость и теплопроводность. Оказалось, что при той же удельной поверхности теплопередачи в анизотропных пористых средах, возможна дальнейшая интенсификация теплообмена за счет локальной архитектуры пористой матрицы, определяемой соответствующим набором компонентов трансверсально-изотропных или ортотропных тензоров проницаемости и теплопроводности.

Наибольший вклад в изучение явлений тепломассопереноса в пористых средах внесли Bejan A., Latif M.J., Дрейцер Г.А., Vafai K., Bird R., Nield D.A. и др. в контексте установления взаимосвязей между структурными характеристиками анизотропных пористых сред и теплопередающими параметрами. Однако исследованию особенности конвективного теплообмена в пористых средах для охлаждения компактных энергонасыщенных поверхностей в ламинарном режиме уде-

лено недостаточно внимания.

Диссертационное исследование выполнялось в рамках гранта РФФИ «Исследование интенсифицирующей способности теплообменных элементов с пористыми анизотропными структурами для охлаждения компактных энергонасыщенных поверхностей» (№ 19-38-90114).

Цель: установление закономерностей явлений переноса при охлаждении теплонапряженных поверхностей анизотропными пористыми теплообменными элементами.

Задачи исследования:

1) построение математической модели явлений переноса в анизотропных пористых каналах с различными поперечными сечениями при тепловых граничных условиях второго рода;

2) проведение вычислительных экспериментов по определению гидротермических полей теплоносителя и пористой матрицы с идентификацией локальных и интегральных характеристик процесса теплосъема теплообменными пористыми элементами;

3) реализация пилотных экспериментальных испытаний по определению теплогидравлических характеристик компактных пористых теплообменных элементов;

4) верификация связи между характеристиками анизотропии и теплопере-дающей способности анизотропных пористых сред.

Научная новизна:

1) математическая модель явлений переноса в анизотропных пористых каналах с различными поперечными сечениями при ламинарном течении ньютоновских теплоносителей и при тепловых граничных условиях 2-го рода, отличающиеся использованием триклинных тензоров для проницаемости и теплопроводности в уравнениях Дарси-Бринкмана и Шуманна;

2) аналитические решения уравнений модели в случае физической линеаризации в приближени однонаправленного течения теплоносителя в ламинарном режиме через анизотропные пористые плоские, цилиндрические и с прямоуголь-

ным сечением каналы, отличающиеся локальной детализацией гидродинамических и тепловых полей, в том числе идентифицированы гидродинамические начальные участки и характеристики разгонного течения;

3) результаты экспериментальных исследований изотропного и анизотропного плоских теплообменных элементов, подтвердивших корректность и адекватность предложенной математической модели и интенсифицирующей способности пористой анизотропии.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Теоретическая значимость заключается в том, что разработана математическая модель конвективного теплопереноса при ламинарном движении ньютоновского теплоносителя в анизотропных пористых компактных теплообменных элементах с помощью которой возможен выбор рациональных режимов эффективного теплосъема с плоских теплонапряженных элементов в различных технических системах и устройствах.

Практическая значимость заключается в том, что обосновано применение наполнителей в проточных теплообменных элементах анизотропной структуры, интенсифицирующих теплосъем теплонапряженных изделий.

Обоснованность и достоверность научных результатов.

Научные результаты выполненной работы обладают необходимой и достаточной степенью достоверности, что обеспечивается применением фундаментальных значений явлений переноса в пористых средах, сравнительным анализом с классическими результатами, а также проведение экспериментальных исследований с использованием современной контрольно-измерительной аппаратуры и методов статистической обработки данных.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на: XI Международной теплофизической школе «Информационно-сенсорные системы в теплофизических исследованиях» (Тамбов, 2018); International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon) (Vladivostok, 2018); VI Международной конференции и молодежной школе «Информационные технологии и нанотехнологии» (Самара,

2020); XXI Международной научно-технической конференции и школе молодых ученых, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (Воронеж, 2020); III Международной конференции «Современные проблемы теплофизики и энергетики» (Москва, 2020).

Объем и структуры диссертации.

Диссертационная работа изложена на 121 страницах машинописного текста, состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения, списка литературы, включающего 143 наименования. Работа иллюстрирована 42 рисунками и 4 таблицами.

ГЛАВА 1 АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА ТЕПЛОТЫ В АНИЗОТРОПНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1 Интенсификация теплопередачи в проточных элементах компактных технических систем

Интенсификация конвективного переноса теплоты в технических и технологических системах является еще не разрешенной до конца проблемой [1-3], от которой зависит уменьшение габаритно-массовых характеристик теплопередаю-щих аппаратов и увеличение их тепловой производительности. Классические способы интенсификации конвективной теплопередачи таковы [4]: снижение термического сопротивления; увеличение скорости теплоносителей; применение развитых поверхностей; турбулизация потока. Несмотря на важность интенсификации теплопередачи, надо иметь в виду, что в этом случае возрастает, как правило, гидравлическое сопротивление, т.е. возникают дополнительные расходы энергии на увеличение импульса теплоносителя. То есть сравнение интенсивности теплопередачи корректно лишь при одинаковой расходной мощности на движение теплоносителей [5].

Интегральное термическое сопротивление определяется толщиной пограничного слоя, который нужно либо уменьшить, а еще лучше разрушить [6]. Поэтому все перечисленные методы интенсификации теплопередачи, по существу, направлены на решение этой проблемы [7], однако их возможности практически уже исчерпаны [8].

В связи с этим сформировался тренд использования для интенсификации теплопередачи пористых материалов, обладающих существенно развитой поверхностью в единицу объема. Теоретическое и экспериментальное изучение тепло-обменных элементов с пористыми наполнителячми подтвердило их эффективность [9-12]. Наличие природных пористых сред с отсутствием геометрической симметрии [13] инициировало исследование влияния анизотропности на физические свойств, главные из которых проницаемость и теплопроводность [14-16].

Оказалось, что при той же удельной поверхности теплопередачи в анизотропных пористых средах возможна дальнейшая интенсификация теплообмена за счет локальной архитектуры, определяемой соответствующим выбором компонентов трансверсально-изотропных или ортотропных тензоров проницаемости и теплопроводности, что предполагает преобразование типа вращения (поворот вокруг оси на какой-либо угол). Обратная задача, т.е. восстановление анизотропной структуры по интегральным характеристикам (проницаемость и теплопроводность пористой матрицы) в математическом смысле имеет неопределенное множество решений, а алгоритмы выбора наилучшего из них для обеспечения теплового режима энергонасыщенных поверхностей отсутствуют [17].

Несмотря на то, что многие природные пористые материалы демонстрировали анизотропию проницаемости и теплопроводности [18,19], идея создания искусственных анизотропных пористых сред, приспособленных для технических и технологических целей как материалы с развитой поверхностью, оформилась после предварительных теоретических оценок [14-16], которые показали перспективность этого направления. Однако сдерживающим фактором оказалось отсутствие технологии конструирования и изготовления таких сред. Поэтому альтернативным вариантом явилась модель плотного слоя твердых частиц [20], которая позволила связать проницаемость с геометрией среды. В частном случае монодисперсных частиц Козени и Карманом была развита теория гидравлического радиуса, позволившая связать проницаемость с диаметром частиц и пористостью. Следует отметить, что эта теория часто не действует в случае частиц, которые сильно отклоняются от сферической формы, большого разброса частиц по размерам (полидисперстность), а также в случае консолидированных сред. Тем не менее подход Козени-Кармана в модифицированном виде [21] из-за простоты используется практически до сих пор [22].

Математическое описание анизотропии в пористых материалах основывалось и основывается по настоящее время на аналогии с детерминациями кристаллофизики, т.е на привязке физических свойств к симметрии, что приводит к необходимости применения методов описания анизотропных свойств на основе тео-

рии симметрии и групп [23]. За практически последние полвека многочисленные теоретические и экспериментальные исследователи [24-32] показали, что анизотропия пористых сред приводит к интенсификации теплообмена.

1.2 Интегральные характеристики пористых сред

Под пористой средой, как правило, понимается среда, структурно состоящая из жесткой неподвижной матрицы при наличии взаимосвязанных пустот, в предположении, что матрица не подвергается деформациям [28], а через пустоты (поры) транспортируется жидкость (газ) без фазовых переходов. Для природных сред в обычно не превышает 0,6, а для слоев из твердых сфер одинакового диаметра в может варьироваться от 0,2595 (ромбоэдрическая упаковка) до 0,4764 (кубическая упаковка). Полидисперсные сферические слои приводят к меньшей пористости. Для металлических пен в может приближаться к 1.

Находясь в рамках континуальных представлений о пористой среде (гладкая непрерывность и делимость до бесконечности), рассматриваются представительные объемные элементы, которые достаточно велики по сравнению с объемами пор, т.е. средние значения потенциалов, найденных по этим объемам, не чувствительны к процедуре выбора таких элементов [33]. Этот представительный элемент Ут может включать как многофазные составляющие, так и однофазный компонент ^. Если й = ( и,и, w) вектор скорости жидкой (газообразной) фазы в Ут, то эту скорость принято называть «скорость Дарси», а если V вектор скорости в V, то связь между этими скоростями определяется соотношением Дюпюи-Форчхеймера й = sV [24]. Таким образом, в этом случае правомерно использование интегрально-дифференциального исчисления как математического аппарата для описания явлений переноса в пористых средах.

Проницаемость исследована экспериментально Дарси в опытах по установившемуся однонаправленному течению в однородной пористой среде и была установлена пропорциональность между расходом и приложенной разностью дав-

лении в виде

К др

и =---—.

^ дх

(1.1)

где др/дх - градиент давления в направлении потока, ^ - динамическая вязкость жидкости. Коэффициент К не зависит от природы жидкости, но зависит от геометрии пористой среды, имеет размерность [м2] и называется проницаемостью среды. Закон Дарси (1.1) был подтвержден результатами многих экспериментов и теоретически обоснован с помощью детерминированных статистических моделей [34].

Для пространственного случая уравнение (1.1) обобщено

й = -ц- К -Ур, (1.2)

где проницаемость К является симметричным тензором 2-го порядка. Тензорная теория проницаемости подтверждена в [35]. Для изотропных пористых сред градиент давления и вектор скорости коллинеарны, а для анизотропных нет.

Анизотропные свойства тензора проницаемости описываются на основе теории симметрии и групп [36], что связывается со следующими типами геометрических преобразований: вращение (поворот вокруг оси на некоторый угол); отражение (зеркальное отражение от плоскости); трансляция (перенос на расстояние). Тензор проницаемости представляется для различных типов анизотропии следующим образом

К =

К 0

0

а 0

К1 0

0 0

К1

К =

К 0 0

ь

0

К1 0

0 0

К

К =

К 0

0 0

К

0 0

0 К

К

е

*11 К12 0 " ' Кц К12 К13

К 21 К22 0 ; К = К 21 К22 К 23

0 0 К33 _ _ К31 К32 К33 _

с

а - изотропный; Ь - трансверсально-изотропный; с - ортогональный; ё - моноклинный; е - триклинный.

Тензорную природу имеет и теплопроводность пористой матрицы в макромасштабе [38], поэтому в макромасштабе для пористой матрицы можно говорить об анизотропии коэффициента теплопроводности, хотя локально в окрестности любой ее точки она будет оставаться изотропной, что определяет симметричную структуру тензора теплопроводности, как и тензора проницаемости

А11 А12 А13

Л = А 21 А 22 А 23

_А31 А32 А33 _

Т.е. Л,12 = Л,21 , А^з = , ^32 = X23 .

Очевидно, что введение дефиниции пористой среды требует идентификации. Что касается проницаемости, то в подтверждение гипотезы, что проницаемость определяется геометрией среды, приводятся следующие рассуждения [39]. Если рассматривать установившийся поток ньютоновской жидкости с вязкостью ц через пучок п параллельных трубок одинакового диаметра й на единицу площади поперечного сечения пучка, то е = ппй2 /4, и из решения одномерного стационарного уравнения Новье-Стокса следует формула Хагена-Пуазейля для поро-вой скорости

й2 йр

и = ■ ,

р 32^ йх

где йр/йх - аксиальный градиент давления в трубках. Тогда скорость фильтрации есть

ппй2 йр

и, = еи =

а р

128^ йх

а из закона Дарси следует

ппй2 ей2

К =

128 32 '

т.е. К является функцией только геометрии пористой матрицы.

Повышение адекватности таких представлений пошло по пути использования сетевой теории трубопроводов переменного поперечного сечения [40], а так-

же генерации случайных поровых структур [41]. В силу многочисленных допущений, принимаемых в сетевой модели, наблюдается отклонение от экспериментальных данных и поэтому на практике используются полуэвристические модели, одна из которых так называемая концепция гидравлического радиуса Козени-Кармана [40], приводящая к соотношению

d2 в3

K =-p--,

180 (1 -в)2

где

о /оо

dP2 =Jdl f (dP)d (dp )/Jdf (dP)d (dP).

о /о

f (dp) - функция плотности распределения частиц в пористой матрице по dp;

константа 180 получена путем поиска наилучшего соответствия экспериментальным результатам. Соотношение Козени-Кармана дает удовлетворительные результаты для пористых сред, состоящих из частиц приблизительно сферической формы, диаметры которых лежат в узком диапазоне. Это соотношение часто неверно в случае частиц, сильно отличающихся от сферической формы, соответствующих полидисперсному распределению частиц по размерам, а также консолидации сред. Тем не менее, соотношение Козени-Кармана широко используется, т.к. на сегодня это самое простое и вполне обоснованное выражение.

Если перенос теплоты в пористой среде может быть рассмотрен с позиции локального теплового равновесия, т.е. когда температура изотропной пористой матрицы и теплоносителя в точке совпадают [42], то используется общая скалярная теплопроводность системы пористая матрица-теплоноситель Хт. Если при этом теплопроводность в твердой и жидкой фазах независимы друг от друга, то общая теплопроводность как средневзвешенное арифметическое теплопроводности пористой матрицы Xs и теплопроводности теплоносителя Xf

ХА =(1 -B)Xs + zkf.

Если архитектура пористой среды такова, что перенос теплоты теплопроводно-

стью происходит последовательно, то общая теплопроводность вычисляется как средневзвешенное гармоническое

1 1 -е е

+

Ан А г

Т.о. Аа и Ая являются, по существу, соответственно верхней и нижней границей для Ат. Для практических целей используется средневзвешенное геометрическое

л л 1-ел е

Ав = Аs А / >

что обеспечивает хорошую оценку для Ат, когда X и А/ не слишком отличаются

друг от друга [43]. В случае, когда жидкость представляет собой разреженный газ, и число Кнудсена имеет большое значение, следует ожидать, что теплопроводность жидкости будет очень маленькой, и тогда при внешнем нагреве тепло будет, почти полностью, переходить через пористую матрицу. И, наоборот, в случае внутреннего нагрева жидкость становится термически изолированной от твердой фазы. Отсюда следует, что теплопередача в пористой среде эффективна, если >> 1. В [44] на основе локального температурного поля оценена эффективная теплопроводность в главном направлении анизотропной пористой среды, для которой А5/А7 >> 1. Показано, что классическое правило для Аа может привести к

значительной ошибке, когда А5/А/ ^ 1.

1.3 Подходы к исследованию тепло- и массообмена в каналах с пористыми наполнителями

Пространственно-геометрический анализ пористого пространства показывает, что оно имеет существенно нерегулярную структуру, что обуславливает стохастическую природу локальных как скалярных, так и векторных полей потенциалов переноса (концентрация, давление, скорость и т.д.). Но тем не менее в масштабе пор остаются справедливыми феноменологические модели сплошной среды [45]. Однако влияние стохастичности на количественные характеристики

переноса в пористых средах может поменять «качественную» картину процесса. Отсюда следует, что к описанию явлений переноса с низшей вероятностного анализа применимы эффективные методы описания нерегулярных пространственных архитектур. При этом под решением задачи в стохастическом смысле понимается связь между исходными параметрами и результирующими распределениями потенциалов. Основным недостатком такого подхода является сравнительно малый массив исходных данных о стохастических свойствах объекта, что в свою очередь привносит в модель фактор неопределенности и как следствие невозможность «точного» прогнозирования.

Основными характеристиками стохастических полей искомых потенциалов являются многомерные функции распределения

Р (х ) = Р {£< х},

где £ - случайный вектор, компоненты которого случайные величины; х - вектор заданных значений; или многомерные функции плотности распределения

/ ( х ) = йР (х )/йх.

Кроме того характеристики в виде функций распределений и функций плотности распределения могут быть дополнены характеристическими функциями и аппаратом вариационного дифференцирования [46]. В дополнение к приведенным характеристикам используются моменты стохастических полей и спектры однородных случайных полей.

При макроскопических рассмотрениях пористых сред, считая их случайным полем, математические модели, в отличие от классических, часть параметров являются случайными. На примере течения однородной несжимаемой жидкости в пористой среде со случайной проницаемостью к (г), зависящей от координаты точки Г, в которой она наблюдается, тогда

с1ы [ к ( г )Ур (г )] = 0, (1.3)

где р ( г ) - искомое поле давления.

Для иллюстрации такого подхода со случайной проницаемостью в одно-

мерном случае (1.3) с неслучайными значениями давления на границах области сформулирована задача [47]

А

Ах

K (*) ^

v dx

= 0; (1.4)

Р (0) = P, p(l) = P2, (1.5)

где l - высота пористого слоя; р 2 - давления. Если пористость K (x) = K0 + K (x), K0 = const и решение представить в виде

Р (* ) = P (*) + P (*) + Р (*) +...,

где p0 - решение задачи

d2Ро (*)/d*2 = 0, Ро(0) = Pi, Р2 (l) = Р;

а р (х), I = 1, да, удовлетворяют условиям

к =*' - ^ ^ р (0)=Р1 (' )=0.

Ах Ах Ах Ах

Т.о. стохастические возмущающие модели основаны на подходе малых возмущений. Представляющие интерес переменные разделены на постоянное среднее значение и случайное возмущение с нулевым средним значением, вызванное изменчивостью поля проницаемости [48].

Следующим подходом к исследованию неподвижных пористых структур является так называемое феноменологическое моделирование, в основе которого лежит локальное усреднение объема для перехода к макроскопическим уравнениям, отталкиваясь, например, в случае уравнения движения от уравнения Навье-Стокса

дй _ __Л

Р0

dt

+ u • Vu

V-U + pf,

V д J

где и - тензор напряжений второго порядка, / - поле внешних сил на единицу массы, р - плотность среды, а й - вектор ее скорости. Средние значения берутся по репрезентативному элементарному объему, т.е. наименьшему объему, представляющему локальное средние свойства (добавление дополнительных пор и ок-

ружающего объема твердого тела к этому объему не изменяет величины среднего). Методы усреднения [50] действительно приводят к более строгой трактовке переноса в пористых средах. Однако вводится большое количество неизвестных, которые и в случае полуэмпирических трактовок, требуют экспериментальных проверок. Поэтому, хотя локальное усреднение по объему включает в себя интегрированные уравнения сохранения по репрезентативному элементарному объему, тем не менее, на практике все-таки применяется некоторый эмпиризм для получения консервативного вида уравнений при локальном осреднении [51,52]. Общие вопросы усреднения приведены в [53]. Для однофазного потока жидкости (газа) через поровое пространство твердой матрицы вблизи произвольной точки р (х)

определяется объем V, имеющий площадь поверхности А, который занят твердой и жидкой составляющими (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 - Схема репрезентативного элементарного объема пористой среды: 1- усредненная площадь поверхности репрезентативного элементарного объема; 2 - твердая составляющая (я); 3 - жидкая составляющая (/);

4 - площадь межфазной поверхности (А^); V = V + V"

Функция распределения пустот (или функция распределения жидкой фазы) определяется дискретной функцией вида:

1, если х е (/);

а

(х ) =

А - (\ (1.6)

0, если х е (я).

-х

С помощью (1.6) определяется локальная пористость

е

( х ) = — | а ( х ) АУ = Уг/У.

Локальный репрезентативный элементарный объем выбирается таким образом, чтобы это был наименьший дифференциальный объем, для которого были бы статистически значимы локальные средние свойства. Когда этот объем выбран из этих соображений, то добавление дополнительных пор не приведет к изменению значений этих локальных свойств. Это будет выполняться заведомо, если А << I << Ь (характерный размер пористой матрицы), откуда следует для любой величины у (тензор произвольного порядка)

Т.о. для произвольного количества у, связанного с жидкостью, получают

Основным недостатком такой схемы исследования, и в конечном итоге создания приемлемой математической модели, является выбор репрезентативного элементарного объема, который до настоящего времени неформализован.

Более общим уравнением переноса различных потенциалов является уравнение Больцмана [54], которое обобщает известные классические уравнения Навье-Стокса и конвективный тепло- и массообмен, причем применимость этого уравнения практически не имеет никаких ограничений в использовании для решения различных задач, в том числе и при описании явлений переноса в пористых средах.

Непрерывное уравнение Больцмана имеет следующий вид [55]

где / = / (х, ,, ?) - функция распределения одиночной частицы в фазовом про-

где У} - двойное усреднение, а

^ + В-У -х/ + а-V/ = о( /),

странстве Г = (х, £) (обозначает вероятность нахождения частицы в точке х в момент времени Х, которая движется со скоростью £), а - ускорение, /) -

функция, характеризующая столкновение с другими частицами, которая задается так называемым аппаратом столкновений Бхатнагара-Кросса-Крука [56] с одним временем релаксации

Ц/) = -(/ - Г*)/т.

где т - время релаксации,

" (£- «)2

г = Г (х, £, Х) = --^ ехр

2ЯТ

(2лЯТ2

- функция Максвелла-Больцмана, где Я - газовая постоянная; О - пространственная характеристика (О = IV2V3); Т - температура; р - макроскопическая

плотность; и - скорость. Макроскопические переменные жидкости определяются как моменты (микроскопическая скорость £) функции распределения

|/й£ = р, £ = рм, 1|(£- и )2 /й£ = ре,

где е = ОЯТ/2 = О^АкБТ / 2 - внутренняя энергия, О0 - число степеней свободы частиц (О0 = 3 и 5 для моно- и ди- атомных газов); N - число Авогадро; кБ - постоянная Больцмана. Уравнение Больцмана с оператором столкновений принимает следующий вид

^ + £• V х/ + а-V/ = -- (/ - /ед). (1.7)

дХ '

Чтобы получить дискретное уравнение Больцмана, непрерывное уравнение Больцмана (1.7) дискретизируют по времени в фазовом пространстве. Интегрируя уравнение (1.7) с шагом по времени АХ (без учета массовых сил), получают

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Николенко Александр Владимирович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жунаускас, А.А. Конвективный перенос в теплообменниках / А.А. Жунаускас. - М.: Наука, 1982. - 472 с.

2. Авдуевский, В.С. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / Под общ. ред. В.С. Авдуевского, В.К. Кошкина. - М. Машиностроение, 1992. - 528 с.

3. Bejan, A. Convection heat transfer / A. Bejan. - NY: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - 673 p.

4. Горшенин, А.С. Методы интенсификации теплообмена / А.С. Горшенин. -Самара: Самарский государственный технический университет, 2009. - 82 с.

5. Калафати, Д.Д. Оптимизация теплообменников по эффективности теплообмена / Д.Д. Калафати, В.В. Покалов. - М. Энергоатомиздат, 1986. - 152 с.

6. Кардашев, Г.А. Физические методы интенсификации процессов химическоц технологии / Г.А. Кардашев. - М.: Химия, 1980. - 208 с.

7. Latif, M.J. Heat convection / M. J Latif. - NY: Springer, 2006. - 434 p.

8. Lappa, M. Thermal convection: patterns, evolution and stability / M. Lappa. -Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 2010. - 670 p.

9. Mujeebu, M.A. Applications of porous media combustion technology - A review / M.A. Mujeebu, M.Z. Abdullah, M.Z. Abubahar, A.A. Mohamed, M.K. Abdullah // Applied Energy. - 2009. - V. 86, № 10. - P. 1365-1375.

10. Xn, H.J. Review on heat conduction, heat convection, thermal radiation and phase change heat transfer of nanofluids in porous media: Fundamentals and applications / H.J. Xn, Z.B. Xing, F.Q. Wang, Z.M. Cheng // Chem. Eng. Sci. - 2019. -V. 195, № 2. - P. 462-483.

11. Helland, J.O. A multiphase level set approach to motion of disconnected fluid ganglia during capillary-dominated three-phase flow in porous media: Numerical validation and applications / J.O. Helland, J. Pedersen, H.A. Friis, E. Jettestuen // Chem. Eng. Sci. - 2019. - V. 203, № 8. - P. 138-162.

12. Pan, A. A stochastic model for thermal transport of nanofluid in porous

media: Derivation and applications / A. Pan, L. Zheng, F. Lin, G. Cheng // Comp. & Mathem. with Applications. - 2018. - V. 75, № 2. - P. 1226-1236.

13. Басниев, К. С., Подземная гидромеханика / К. С. Басниев, Н.М. Дмитриев, Р.Д. Каневская, В.М. Максимов. - М. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 496 с.

14. Castinel, G. Critere d'apparition de la convection naturelle dans une couche poreuse anisotrope / G. Castine, M. Combarnous // Comptes Rendus Heldomadaires des Se'ances de I'Academic des Science. Series. B. - 1974. - V. 278. - P. 701-704.

15. Epherre, J.F. Critere d'apparition de la convection naturelle dans une couche poreuse anisotrope / J.F. Epherre // Rev. Gen. Therm. - 1975. - V. 168. - P. 949-950.

16. Kvernvold, P.O. Non-linear thermal convection in anisotropic porous media / P.O. Kvernvold, P.A. Tyvand // J. Fluid Mech. - 1979. - V. 20. - P. 609-624.

17. Ying, J. Anisotropic porous structure modeling for 3D printed objects / J. Ying, L. Lu, L. Tian., B. Chem // Computers & Graphics. - 2018. - V. 70, № 2. - P. 157-164.

18. Scheidegger, A.E. The physics of flow through porous media / A.E. Scheidegger. - Toronto: University of Toronto Press, 1974. - 353 p.

19. Bejan, A. Heat transfer from a surface covered with hair / A. Bejan, J.L. Lage. - Convective Heat and Mass Transfer in Porous Media. - 1991. - P. 823-845.

20. Dullien, F.A. Porous media: Fluid transport and pore structure / F.A. Dullien. - NY: Academic, 1992. - 576 p.

21. Lin, S. Steady incompressible laminar flow in porous media / S. Lin, A. Afacan, J. Masliyah // Chem. Eng. Sci. - 1994. - V. 49. - P. 3565-3586.

22. Mauran, S. Application of the Carman-Kozeny correlation to a high porosity and anisotropic consolidated medium: The compressed expanded natural graphite / S. Mauran, L. Rigaud, O. Condevylle // Transport porous Media. - 2001. - V. 43. - P. 355-376.

23. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. В 10 Т. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - М.: Наука, 1987. - 248 с.

24. Bear, J. Dynamics of Fluids in Porous Media / J. Bear. - NY: American

Elsevier Publishing Company, 1972. - 764 p.

25. Cheng, P Heat Transfer in Geothermal Systems / P. Cheng // Adv. Heat Transfer. - 1978. - V. 14. - P. 1-105.

26. Ingham, D.B. Transport Phenomena in Porous Media III / D.B. Ingham, I. Pop. - Oxford: Elsevier, 2005. - 450 p.

27. Sahimi, M. Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock: From Classical Methods to Modern Approaches / M. Sahimi. - NY: John Wiley & Sons, 2012. - 733 p.

28. Nield, D.A. Convection in Porous Media / D.A. Nield., A Bejan. - NY: Springer Verlag, 2013. - 408 p.

29. Guo, Z.L. Theory and Applications of Lattice Boltzmann Method / Z.L. Guo, C.G. Zheng. - Beijing: Science Press, 2009. - 128 p.

30. Oldenburg, C.M. Certification framework based on effective trapping for geologic carbon sequestration / C.M. Oldenburg, S.L. Bryant, J.P. Nicot // Int. J. Greenhouse Gas Control. - 2009. - V. 3, № 4. - P. 444-457.

31. Middleton, R.S. The cross-scale science of CO2 capture and storage: from pore scale to regional scale / R.S. Middleton, G.N. Keating, P.H. Stauffer // Energy Environ. - 2012. - V. 5, № 6. - P. 7328-7345.

32. Blunt, M. J. Flow in porous media - pore-network models and multiphase flow / M. J. Blunt // Curr. Opin. Colloid Interface Sci. - 2001. - V. 6, № 3. - P. 197-207.

33. Зубарев, А.Ю. Континуальные модели процесса в биофизике / А.Ю. Зубарев, Е.А. Елфимова, Л.Ю. Искакова. - Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2009. - 108 с.

34. Altevogt, A.S. New equations for binary gas transport in porous media, part 1: equation development / A.S. Altevogt, D.E. Rolston, S. Whitaker // Adv. Water Res. -2003. - V. 26. - P. 695-715.

35. Bear, J. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media / J. Bear, Y. Bachmat. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990. - 554 p.

36. Прохоров, А.М. Физическая энциклопедия / Под ред. А.М. Прохорова. -М.: Советская энциклопедия, 1988. - Т.1. - 83 с.

37. Бакиров, А.У. Химические методы в процессах добычи нефти / А.У. Бакиров и др. - М.: Наука, 1987. - 239 с.

38. Формалев, В.Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач / В.Ф. Формалев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 312 с.

39 Vafai, K. Handbook of porous media / K. Vafai. - NY: CRC Press, 2015. -

959 p.

40. Dullien, F.A.L. Porous Media, Fluid Transport and Pore Structure / F.A.L. Dullien. - NY: Elsevier, 2012. - 416 p.

41. Thompson, K.E. Modeling flow in disordered packed beds from pore-scale fluid mechanics / K.E. Thompson, H.S. Fogler // AIChE J. - 1997. - V. 43. - P. 1377-1389.

42. Carbonell, R.G. Whitaker S. Heat and Mass Transfer in porous Media / R.G. Carbonell, S. Whitaker // In Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, eds. Bear J., Corapcioglu M.Y. NSSE. - 1984. - P. 121-198.

43. Nild, D.A. Estimation of the stagnant thermal conductivity of saturated porous media / D.A. Nild // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1991. - V. 34. - P. 1575-1576.

44. Lee, S.L. Modelling of effective thermal conductivity for a nonhomogeneous anisotropic porous medium / S.L. Lee, J.H. Yang // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1998. - V. 41. - P. 931-937.

45. Дорохов, И.Н. Системный анализ процессов химической технологии: экспертные системы для совершенствования промышленных процессов гетерогенного катализа / И.Н. Дорохов, В.В. Кафаров. - М.: Наука, 1989. - 376 с.

46. Кляцкин, В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах / В.И. Кляцкин. - М.: Наука, 1980. - 288 с.

47. Швидлер, М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред / М.И. Швидлер. - М.: Недра, 1985. - 288 с.

48. Frippiat, C.C. A comparative review of upscaling methods for solute transport in heterogeneous porous media / C.C. Frippiat, A.E. Holeyman // Journal of Hydrology. - 2008. - V. 362. - P. 150-176.

49. Whitaker, S. Flow in porous media J: A theoretical derivation of Darcy's

law / S. Whitaker // Transport in Porous Media. - 1986. - V. 1. - P. 3-25.

50. Ene, H.I. Thermal Flow in Porous Media / H.I. Ene, D. Polisevski. -Dordrecht: Springer, 1987. - 194 p.

51. Bear, J. Dynamics of Fluids in Porous Media / J. Bear. - Dover: Courier Corporation, 1988. - 764 p.

52. Slattery, J.C. Momentum, Energy and Mass Transfer Continua / J.C. Slattery. - NY: Krieger Pub Co., 1981. - 682 p.

53. Gray, W.G. Mathematical Tools for Changing Scale in the Analysis of Physical Systems / W. G. Gray, A. Leijnse, R. Kolar, C.A. Blain. - Boca Raton: CRC Press, 1993. - 256 p.

54. Huang, R. Lattice Boltzmann model with adjustable equation of state for coupled thermo-hydrodynamic flows / R. Huang, H. Wu, N.A. Adams // J. Computational Physics. - 2019. - V. 392, № 9. - P. 227-247.

55. He, X. Discrete Boltzmann equation model for nonideal / X. He, X. Shan, G.D. Doolen // Phys. Rev. E. - 1998. - V. 57 (1). - P. 13-16.

56. Bhatnagar, P.L. A model for collision processes in gases. 1. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems / P.L. Bhatnagar, E.P. Cross, M. Krook // Phys. Rev. - 1954. - V. 94. - P. 511-525.

57. He, X. A priori derivation of the lattice Boltzmann equation / X. He, L.-S. Luo // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55 (6). - P. 6333-6336.

58. He, X. Theory of the lattice Boltzmann method: from the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann / X. He, L.-S. Luo // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 56 (6). -P. 6811-6817.

59. Qian, Y.H. Lattice BGK models for Navier-Stokes equation / Y.H. Qian, D. d'Humieres, P. Lallemand // Europhys. Lett. - 1992. - V. 17. - P. 479-484.

60. Chen, S. Lattice Boltzmann method for fluid flows / S. Chen, G.D. Doolen // Fluid Mech. - 1998. - V. 30 (1). - P. 329-364.

61. Massaioli, F. Exponential tails in two-dimensional Rayleigh-Benard convection / F. Massaioli, R. Benzi, S. Succi // Europhys. Lett. - 1993. - V. 21 (3). - P. 305.

62. He, Y.-L. Lattice Boltzmann method for single-phase and solid-liquid phase-

change heat transfer in porous media: A review / Y.-L. He, Q. Liu, Q. Li, W.-Q. Tao // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 2019. - V. 129. - P. 160-197.

63. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. - М.: Книга по Требованию, 2013. - 678 с.

64. Kaviany, M. Principles of Heat Transfer in Porous Media / M. Kaviany. -NY: Springer-Verlag, 2012. - 626 p.

65. Wooding, R.A. Steady state free thermal convection of liquid in a saturated permeable medium / R.A. Wooding // J. Fluid Mech. - 1957. - V. 2 - P. 273-285.

66. Beck, J.L. Convection in a box of porous material saturated with fluid / J.L. Beck. // Phys. Fluids. - 1972. - V. 15 - P. 1377-1383.

67. Nield, D.A. Modelling high speed flow of a compressible fluid in a saturated porous medium / D.A. Nield // Transport in Porouse Media. - 1994. - V. 14 - P. 85-88.

68. Joseph, D.D. Nonlinear equation governing flow in a saturated porous medium / D.D. Joseph, D.A. Nield, G. Papanicolaou // Water Resources Res. - 1982. -V. 18. - P. 1049-1052.

69. Lage, J.L. Convection induced by inclined gradients in a shallow porous medium layer / J.L. Lage, D.A. Nield // J. of Porous Media. - 1998. - V. 1 - P. 57-69.

70. Achenbach, E. Heat and flow characteristics of packed beds / E. Achenbach // Expt. Thermal Fluids Science. - 1995. - V. 10. - P. 17-27.

71. Skjethe, E. New insights on steady, non-linear flow in porous media / E. Skjethe, J.L. Auriault // European J. of Mechanics B-fluids. - 1999. - V. 18 (1). - P. 131-145.

72. Knupp, P.M. Generalization of the Forchheimer-extended Darcy flow model to the tensor permeability case via a variational principle / P.M. Knupp, J.L. Lage // J. Fluid Mech. - 1995. - V. 299. - P. 97-104.

73. Brinkman, H.C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles / H.C. Brinkman // Appl. Sci. Res. A. - 1947. - V. 1 - P. 27-34.

74. Lundgren, T.S. Slow flow through stationary random beds and suspensions of spheres / T.S. Lundgren // J. Fluid Mech. - 1972. - V. 51. - P. 273-299.

75. Martys, S.N. Computer simulation study of the effective viscosity in Brinkman equation / S.N. Martys, D.P. Bentz, E.J. Garboczi // Phys. Fluids. - 1994. -

V. 6. - P. 1434-1439.

76. Kolodziej, T. Influence of the porosity of a porous medium on the effective viscosity in Brinkman's filtration equation / T. Kolodziej // Acta. Mech. - 1988. -V. 75. - P. 241-254.

77. Auriault, J.L. On the domain of validity of Brinkman's equation / J.L. Auriault // Transp. Porous Media. - 2009. - V. 79. - P. 215-223.

78. Lesinigo, M. A multiscale Darcy-Brinkman model for fluid flow in fractured porous media / M. Lesinigo, C. D'Angelo, A. Quarteroni // Numerische Mathematik. -2011. - V. 117. - P. 717-752.

79. Marusic-Paloka, E. Comparison between Darcy and Brinkman laws in fracture / E. Marusic-Paloka, I. Pazanin, S. Marusic // Appl. Math. Comput. - 2012. -V. 218. - P. 7538-7545.

80. Haber, S. Boundary conditions for Darcy's flow through porous media / S. Haber, R. Mauri // Int. J. Multiphase Flow. - 1983. - V. 9. - P. 561-574.

81. Chang, J.D. Effects of phonon pore scattering and pore randomness on effective conductivity of porous silicon / J.D. Chang, M. Kaviany // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 2000. - V. 43. - P. 521-538.

82. Glatzmaier, G.C. Use of Volume Averaging for the modeling of Thermal Properties of Porous Materials / G.C. Glatzmaier, W.F. Ramirez // Chem. Eng. Sci. -1988. - V. 43. - P. 3157-3169.

83. Chang, S.-H. A new description for dispersion / S.-H. Chang, J.C. Slattery // Transport in Porous Media. - 1988. - V. 3. - P. 515-527.

84. Ryan, D. Effective Diffusivities for Catalyst under Reactive Conditions / D. Ryan, R.G. Carbonell, S. Whitecker // Chem. Eng. Sci. - 1980. - V. 35. - P. 10-16.

85. Taylor, G.I. Dispersion of Soluble Matter in Solvent Flowing Slowly Through a Tube / G.I. Taylor // Proc. Roy. Soc. - 1953. - V. 219. - P. 186-203.

86. Aris, R. On the Dispersion of a Solute in a Fluid Flowing Through a Tube / R. Aris // Proc. Roy. Soc. - 1956. - A. 235. - P. 67-77.

87. Carbonell, R.G., Whitecker S. Dispersion in Pulsed Systems-II. Theoretical Developments for Passive Dispersion in Porous Media / R.G. Carbonell, S. Whitecker //

Chem. Eng. Sci. - 1983. - V. 38. - P. 1795-1802.

88. Bejan, A. Convection heat transfer / A. Bejan. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc, 2013. - 685 p.

89. Nield, D.A. Estimation of the stagnant thermal conductivity of saturated porous media / D.A. Nield // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1991. - V. 34. - P. 1575-1576.

90. Quintard, M. One and Two-Equation Models for Transient Diffusion in Two-Phase Systems / M. Quintard, S. Whitaker // Advan. Heat Transfer. - 1993. -V. 23. - P. 269-464.

91. Quintard, M. Two-Medium Treatment of Heat Transfer in Porous Media: Numerical Results for Effective Properties / M. Quintard, M. Kaviany, S. Whitaker // Adv. Water Resources. - 1997. - V. 20. - P. 77-94.

92. Bhadauria, B.S. Natural convection in a rotating anisotropic porous layer with internal heat generation / B.S. Bhadauria, A. Kumar, J. Kumar, N.C. Sacheti, P. Chandran // Transp. Porous Med. - 2011. - V. 90. - P. 687-705.

93. Dhanasekaran, M.R. Natural Convection in a Cylindrical Enclosure Filled With Heat Generating Anisotropic Porous Medium / M.R. Dhanasekaran, S.K. Das, S.P. Venkateshan // J. Heat Transfer. - 2002. - V. 124 (1). - P. 203-207.

94. Degan, G. Natural convection in a vertical slot filled with an anisotropic porous medium with oblique principal axes / G. Degan, P. Vasseur // Numerical Heat Transfer, Part A. - 1996. - V. 30. - P. 397-412.

95. Mobedi, M. Forced Convection Heat Transfer Inside an Anisotropic Porous Channel with Oblique Principal Axes: Effect of Viscous Dissipation / M. Mobedi, O. Cekmer, I. Pop // Int. J. Therm. Sci. - 2010. - V. 49. - P. 1984-1993.

96. Vasantha, R. Forced convection along a longitudinal cylinder embedded in a saturated porous medium / R. Vasantha, G. Nath, I. Pop // Int. Communications in Heat and Mass Transfer. - 1987. - V. 14 (6). - P. 639-646.

97. Degan, G. Forced convection in horizontal porous channels with hydrodynamic anisotropy / G. Degan, S. Zohoum, P. Vasseur P. // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 2002. - V. 45. - P. 3181-3188.

98. Al-Hadhrami, A.K. A new model for viscous dissipation in porous media

across a range of permeability values / A.K. Al-Hadhrami, L. Elliott, D.B. Ingham // Trans. In Porous Media. - 2003. - V. 53. - P. 117-122.

99. Degan, G. Aiding mixed convection channel with oblique principal axes / G. Degan, P. Vasseur // Int. J. of Eng. Sci. - 2002. - V. 40. - P. 193-209.

100. Cekmer, O. Fully developed forced convection heat transfer in a porous Channel with asymmetric heat flux boundary conditions / O. Cekmer, M. Mobedi, B. Ozerdem, I. Pop // Trans. In Porous Media. - 2011. - V. 90. - P. 791-806.

101. Nield, D.A. Effects of heterogeneity in forced convection in a porous medium: Brinkmann model / D.A. Nield, A.V. Kuznetsov // J. Porous Media. - 2003. -V. 6. - P. 257-266.

102. Degan, G. Convective heat transfer in a vertical anisotropic porous layer / G. Degan, P. Vasseur, E. Bilgen // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1993. - V. 38. - P. 1975-1987.

103. Bessonov, O.A. Three-dimensional model of thermal convection in an anisotropic porous medium bounded by two horizontal coaxial cylinders / O.A. Bessonov, V.A. Brailovskaya // Fluid Dynamic. - 2001. - V. 36, №№ 1. - P. 130-138.

104. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей Т.1. / K. Флетчер. - М.: Мир, 1991. - 504 с.

105. Новый справочник химика и технолога. Процессы и аппараты химических технологий. Ч.1. - СПб.: АНО НПО «Профессионал», 2004. - 848 с.

106. Vafai, K. Bondary and inertia effects on flow and heat transter in porous media / K. Vafai, C.-L. Tien // Int. J. Heat Mass Transter. - 1981. - V. 24. - P. 195-203.

107. Пушнов, А. Аэродинамика воздухоочистных устройств с зернистым слоем / А. Пушнов, П. Балтренас, А. Каган, А. Загорскис. - Вильнюс: Техника, 2010. - 348 с.

108. Tien, C. Adsorption calculations and modeling / C. Tien. - Boston: Butter-Yeinemann, 1994. - 243 p.

109. Metal Foams / Edited by: M.F. Ashby, A.G. Evans, N.A. Fleck, L.J. Gibson, J.W. Huthinson, H.N.G. Wadley. - Elsevier Inc., 2000. - 251 p.

110. Tribok, G. Numerical study on maximizing heat transfer and minimizing

flow resistance behavior of metal foams owing to their structural properties / G. Tribok, N. Gnanasekaran // Int. J. of Thermal Science. - 2021. - V. 159. - Article 106617.

111. Bagci, O. Experimental hydrodynamics of high-porosity metal foam: Effect of pore density / O. Bagci, N. Dukhan // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 2016. - V. 103. - P. 819-885.

112. Kaviany, M. Laminar flow through a porous channel bounded by two parallel plates / M. Kaviany // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1985. - V. 28, №4. -P. 851-858.

113. Jen, T.- G. Developing fluid flow and heat transfer in a channel partially filled with porous medium / T.- G. Jen, T.Z. Yan // Int. J. of Heat and Mass Transfer. -2005. - V. 49. - P. 3995-4009.

114. Akowanou, C. Effect of permeability anisotropy on forced convection thermal-hydrodynamics of entrance and developed flow regimes in porous saturated circular tube / C. Akowanou, G. Degan, V. Prodjinonto // Int. J. of Applied Sci. and Technology. - 2016. - V. 20. - P. 01-09.

115. Lai, T. Extension of Ergun equation for the calculation of the flow resistance in porous media with higher porosity and open celled structure / T. Lai, X. Lin, S. Xue, J. Xue, M. He, Y. Zhang // Applied Thermal Eng. - 2020. - V. 173. - Article 115262.

116. Izadpanah, M.R. Experimental and theoretical studies of convective heat transfer in a cylindrical porous medium / M.R. Izadpanah, H. Muller-Steinhagen, M. Jamilahmadi // Int. J. of Heat and Fluid Flow. - 1998. - V.19. - P. 629-635.

117. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. - NY: Academic Press, 2004. - 451 p.

118. Handbook of Differential Equations. - NY: Elsevier, 1992. - 808 p.

119. Слезкин, Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н. А. Слезкин. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. - 519 с.

120. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1974. - 712. с.

121. Ряжских, В.И. Гидродинамика и теплообмен при ламинарном течении

ньютоновского теплоносителя в пористом анизотропном плоском канале при граничных условиях второго рода / В.И. Ряжских, Д.А. Коновалов, И.Г. Дроздов, А.В. Николенко // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Труды XXII Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева (20-24 мая 2019 года, Москва, Россия). — Москва. - 2019. - С. 220-222.

122. Machmoudi, Y. Convective Heat Transfer in Porous Media / Y. Machmoudi, K. Hooman, K. Vafai // NY: CRC Press, 2019. - 404 p.

123. Lukisha, A.P. The efficiencies of round chanels fitted with porous, highly heat-conducting insert in a laminar fluid coolant flow at boundary conditions of the third kind / A.P. Lukisha // Int. J. of Heat and Mass transfer. - 2010. - V. 53. - P. 2469-2476.

124. Deng, Y. Effects of different coolant and cooling strategies on the cooling performance of the power lithium ion battery system: a review / Y. Deng, C. Feng, E. Jiaqiang, H. Zhu, J. Chen // Applied Thermal Engineering. - 2018. - V. 142. - P. 10-29.

125. Wiwatanapataphek, B. Transient flows of Newtonian fluids through a rectangular microchannel with slip boundary / B. Wiwatanapataphek, Y.H. Wu, S. Suharsono // Abstract and Applied Analysis. - 2014. - Article ID: 530605.

126. Sefi, S. Heat and mass transfer in anisotropic porous media / S. Sefi, S. Benissaad // Advances in Theoretical and Applied Mechanics. - 2012. - V. 5, №1. -P. 11-22.

127. ООО НПП «ИнтерПолярис», Референт-лист, interpolyaris.ru / production-list.

128. SCADA-система ОВЕН Телемеханика ЛАЙТ, Руководство пользователя. - М.: ПО ОВЕН, 2016. - 662 с.

129. ОВЕН ПД 100 Н. Преобразователь давления измерительный. Руководство по эксплуатации. - М.: ПО ОВЕН, 2020. - 49 с.

130. Термопреобразователи ТППТ, ТПРТ. - Обнинск: ПК Тесей, 2010.

131. Расходомер-счетчик, электромагнитный ВЗЛЕТ ТЭР. Руководство по эксплуатации. Часть 1. ШКСД.407212.002 РЭ. - С.-Пб.: ВЗЛЕТ, 2008. - 52 с.

132. Neikov, O.D. Handbook of non - ferrous metal powders. Technologies and

applicatious / O.D. Neikov, S.S. Naboychenko, N.A Yefimov. - Amsterdam: Elsevier Ltd., 2019. - 943 p.

133. Николенко, А.В. Теплосъем с плоской поверхности ламинарно движущимся хладагентом через сопряженную пористую среду / А.В. Николенко, Ю.Ю. Громов, В.И. Ряжских // Прикладная физика и математика. - 2018. - №12. -С. 3-5.

134. Ряжских, В.И. Оценка эффективности применения анизотропной структуры в плоском канале при граничных условиях второго рода для интенсификации теплопередачи / В.И. Ряжских, А.В. Николенко, О.Л. Ерин // Инженерная физика. - 2022. - №1. - С. 19-23.

135. Ryazhskih, V. I. Heat Transfer Model Analysis Of A Hybrid Porous Compact Heat Exchanger / V.I. Ryazhskih, D.A. Konovalov, A.V. Nikolenko // 2018 International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies, FarEastCon. Date of Conference: 3-4 Oct. - 2018. - P. 8602905.

136. Ряжских, В.И. Математическая модель разгонного ламинарного течения ньютоновской жидкости в анизотропном пористом канале прямоугольного сечения / В.И. Ряжских, А.В. Келлер, А.В. Ряжских, А.В. Николенко, С.В. Дахин // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2020. - Т. 13, №3. - С. 17-28.

137. Ryazhskikh, V.I. Numerical simulation of the hydrodynamics of the flow of a heat carrier in a flat channel filled with an anisotropic porous medium / V.I. Ryazhskikh, D.A. Konovalov, N.N Kozhukhov, A.V. Ryazhskikh, A.V. Nikolenko, A.Yu. Troshin // Journal of Physics: Conference Series, The Third Conference «Problems of Thermal Physics and Power Engineering» IOP Publishing. -2020. - 1683. - P. 022038.

138. Ryazhskikh, V.I. Pressure filtration of the Newtonian fluid in the Darsi-Brinkman approximation through the horizontal porous rectangular channel with orthotropic anisotropy / V.I. Ryazhskikh, D.A. Konovalov, N.N. Kozhukhov, A.V. Ryazhskikh, A.V. Nikolenko, V.V. Portnov // Journal of Physics: Conference

Series, The Third Conference «Problems of Thermal Physics and Power Engineering» IOP Publishing. 2020. - 1683. - P. 022005 .

139. Ryazhskikh, V.I. On the structure of the orthotropic 3D permeability tensor of an anisotropic porous body in heat and mass transfer problems / V.I. Ryazhskih, D.A. Konovalov, A.V. Nikolenko // Journal of Physics: Conference Series. 6. Сер. «VI International Conference on Information Technology and Nanotechnology, ITNT 2020». - 2021. - P. 012082.

140. Ряжских, А.В. Гидродинамический начальный участок в плоском пористом канале при напорном изотермическом ламинарном течении ньютоновской среды / А.В. Ряжских, А.В. Николенко, Д.А. Коновалов, В.И. Ряжских, А.В. Келлер // Вестник Южно-Уральского государственного университета. - Серия: Математическое моделирование и программирование. -2021. - Т. 14, №2. - С. 5-16.

141. Николенко, А.В. Математическая модель тепломассопереноса в плоском анизотропном пористом канале / А.В. Николенко, В.И. Ряжских, О.Л. Ерин // Информационно-сенсорные системы в теплофизических исследованиях: сборник научных статей. В 2-х т. - Тамбов: Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ». - 2018. - Т. I. - С. 124-126.

142. Ряжских, В.И. О структуре ортотропного 3D-тензора проницаемости анизотропного пористого тела в задачах тепломассобмена / В.И. Ряжских, А.В. Николенко, Д.А. Коновалов // Информационные технологии и нанотехнологии (ИТНТ-2020). Сборник трудов по материалам VI Международной конференции и молодежной школы. В 4-х томах (26-29 мая 2020 года, Самара, Россия). - Под редакцией В.А. Соболева. - 2020. - С. 552-555.

143. Ряжских, В.И. Напорное ламинарное течение ньютоновской среды в анизотропном пористом плоском канале / В.И. Ряжских, А.В. Николенко, К.В. Николенко // Авиакосмические технологии (АКТ-2020). Труды XXI Международной научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов. II Тур. Воронеж. - 2020. - С. 351-353.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Код Maple - конечно-разностный аналог уравнений модели

> restart;

> Nuf:=10:Nus:=1:Pef:=10A5:Nusf:=5:eps:=0.4:Cpfs:=0.1:

> AXX:=2:AXY:=3:AYY:=4:

> n:=10:m:=50:dteta:=0.001:dX:=1/n:dY:=1/n: g:=10.:

> Vx:=(Y)->g*(sinh(g)-sinh(Y*g)-sinh((1-Y)*g))/ (g*sinh(g)-2*(cosh(g)-1)):

> Ts1:=array(1..m,1..n): Ts2:=array(1..m,1..n): Tf1:=array(1..m,1..n): Tf2:=array(1..m,1..n): Ress:=array(1..m,1..n): Resf:=array(1..m,1..n):

> for i from 1 to m do for j from 1 to n do Tf1[i,j]:=0: Ts1[i,j]:=0:

od:od:

> for k from 1 to 20000 do for j from 1 to n do Tf1[1,j]:=1: Ts1[1,j]:=1:

od:

for j from 2 to n-1 do

Tf1[m,j]:=(4*Tf1[m-1,j]-Tf1[m-2,j])/3: Ts1[m,j]:=(4*Ts1[m-1,j]-Ts1[m-2,j])/3: od:

for i from 2 to m-1 do

Tf1[i,1]:=1/3*(2*Nuf*dY+4*Tf1[i,2]-Tf1[i,3]): Ts1[i,1]:=1/3*(2*Nus*dY+4*Ts1[i,2]-Ts1[i,3]): od:

for i from 2 to m-1 do

Tf1[i,n]:=1/3*(2*Nuf*dY+4*Tf1[i,n-1]-Tf1[i,n-2]): Ts1[i,n]:=1/3*(2*Nus*dY+4*Ts1[i,n-1]-Ts1[i,n-2]): od:

for i from 2 to m-1 do for j from 2 to n-1 do Af:=dteta/2/dX*(-Vx(j*dY)+2/Pef/dX): As:=2*AXY/(1-eps)/Pef*dteta/(dX*dY):

Bf:=1-1/Pef*(2*dteta/dXA2+2*dteta/dYA2+Nusf/eps*dteta): Bs:=AXX/(1-eps)/Pef*dteta/(dXA2)-2*AXY/(1-eps)/Pef*dteta/(dX*dY): Cf:=dteta/2/dX*(Vx(j*dY)+2/Pef/dX): Cs:=1-2*AXX/(1-eps)/Pef*dteta/(dXA2)+2*AXY/(1-

eps)/Pef*dteta/(dX*dY)-2*AYY/(1-eps)/Pef*dteta/(dYA2)-Nusf*Cpfs/(1-eps)/Pef*dteta:

Df:=dteta/2/dY*(2/Pef/dY):

Ds:=AYY/(1-eps)/Pef*dteta/(dYA2):

Ef:=dteta/2/dY*(2/Pef/dY):

Es:=AXX/(1-eps)/Pef*dteta/(dXA2):

Ff:=Nusf/eps/Pef*dteta:

Fs:=-2*AXX/(1-eps)/Pef*dteta/(dX*dY)+

AYY/(1-eps)/Pef*dteta/(dYA2):

Ms:=Nusf*Cpfs/(1-eps)/Pef*dteta:

Tf2[i,j]:=Af*Tf1[i+1,j]+Bf*Tf1[i,j]+Cf*Tf1[i-1,j]+

Df*Tf1[i,j+1]+Ef*Tf1[i,j-1]+Ff*Ts1[i,j]:

Ts2[i,j]:=As*Ts1[i+1,j+1]+Bs*Ts1[i+1,j]+Cs*Ts1[i,j]+

Ds*Ts1[i,j-1]+Es*Ts1[i-1,j]+Fs*Ts1[i,j+1]+Ms*Tf1[i,j]:

od:od:

for i from 2 to m-1 do

for j from 2 to n-1 do

Tf1[i,j]:=Tf2[i,j]:

Ts1[i,j]:=Ts2[i,j]:

od:od:

od:

> for i from 1 to m do

Resf[i,5]:=Tf1[i,5]:Ress[i,5]:=Ts1[i,5]:od:

print(k*dteta);

for i from 1 to m do

print(evalf((i-1)*dX),Resf[i,5],Ress[i,5]):od:

> for i from 1 to m do

print(evalf((i-1)*dX),Ts1[i,1],Ts1[i,10]):od:

> Ts1[5,1];

> Ts1[5,10];

> #print(Res);

> kt:=arraY(1--m+1):

> for i from 1 to m+1 do kt[i]:=evalf((i-1)*dX) od:

> P:=[seq([kt[i],Rest[i,5]],i=1..m+1)]:

plot(P,x=0..1,color=black,stYle=point,sYmbol=solidcircle,sYmbolsize= 20);

> kq:=arraY(1--n+1):

> for j from 1 to n+1 do kq[j]:=evalf((j-1)*dY) od:

> Q:=[seq([kq[j],Resq[j]],j=1..n+1)]:

plot(Q,x=0..1,color=black,stYle=point,sYmbol=solidcircle,sYmbolsize= 20);