Численное моделирование пространственного переноса примесей в неоднородных пористых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Корсакова, Надежда Константиновна

• Корсакова, Надежда Константиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корсакова, Надежда Константиновна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Моделирование трехмерных задач переноса консервативных загрязняющих примесей в пористой среде

§1. Математическая модель.

§2. Применение противотокового весового метода конечных элементов.

Глава II. Алгоритм решения задачи.

§3. Автоматическая подготовка данных.

§4. Описание численного алгоритма решения.

§5. Расчёт моделей переноса консервативных примесей в пористой среде с неоднородными условиями.

Глава III. Пространственные задачи переноса реагирующих и нереагирующих веществ в пористой среде.

§6.Трёхмерный перенос загрязнений с учетом физической сорбции.

§7. Задача распространения многокомпонентного раствора в присутствии реакций сорбции и комплексообразования.

§8. Задача пространственного взаимодействия фильтрационного течения с лучевым дренажём. $

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование пространственного переноса примесей в неоднородных пористых средах»

Растущая опасность загрязнения подземных вод и результате антропогенного и техногенного воздействия на окружающую среду (промышленные и бытовые отходы, попадающие в почву, некоторые технологии добычи полезных ископаемых и т. д.) ставит проблему охраны качества водных запасов на одно из первых мест. Это. и свою очередь- приводит к необходимости совершенствовать методы прогнозирования распространения загрязняющих веществ, более глубокого исследования физико-химических механизмов взаимодействия их между собой и с пористой средой.

Прогнозные расчёты переноса примесей базируются на использовании математических моделей, учитывающих движение грунтовых вод и конвективно дисперсионный характер распространения присутствующих в растворе веществ. С учетом происходящих попутно химических реакций и сорбционных процессов математические модели усложняются, они становятся нелинейными, что в свою очередь приводит к дополнительным трудностям при решении соответствующих начально краевых задач.

Для описания движения переноса консервативных примесей в норнГ стой среде в основном применяются двумерные модели (плановые или профильные, в зависимости от того, по какой из пространственных координат делают усреднение). Моделирование проводится на основе системы уравнений, включающей в себя фильтрационное уравнение, описывающее движение грунтовых вод через пористые среды, и уравнение конвективной дисперсии, отражающее процесс переноса загрязняющих веществ. Особый интерес представляют модели с преобладающей конвективной составляющей. Известно, что решение таких задач достаточно сложная проблема . К настоящему времени разработано много численных методов'для их решения, описанных в литературе, например, метод характеристик |19. 21|. копечпо-разпостпые методы различных модификаций [10, 22, 24, 25, 39], метод подвижных сеток [34], метод коллокации |17| и сочетание этих методов.

Однако существует ряд задач, когда требуется пространственное описание процессов переноса примесей в пористой среде. Эта необходимость возникает в тех случаях, когда усреднение характеристик модели по пространственным переменным значительно иекажа.ет расчетные результаты. например, при наличии различных псодпородпостей. таких как участки с резко отличающейся гидропроводимостыо. несовершенных скважин 13 мощных пластах и т. д. Дополнительным аргументом в пользу применения трёхмерных моделей служит сам пространственный (объёмный) характер явления дисперсии. Замечено, что даже небольшая поперечная дисперсия, действующая длительное время, существенно влияет на конфигурацию следа загрязнения.

Развитие вычислительной техники в последнее десятилетие способствовало усилению интереса к пространственным задачам как у пас. гак и за рубежом. Появление мощных ЭВМ и развитие на их базе векторного программирования позволило решать отдельные проетрапетвоппые задачи |20. 35|. Но большой объем вычислений, требуемый при трёхмерном моделировании сужает круг решаемых задач и вынуждает исследователей вносить упрощения, исходя из конкретного физического описания моделируемого объекта. Исходя из вышесказанного, можно выделить несколько методов решения пространственных задач, описанных в литературе.

В работе |27| предлагается при моделировании переноса примесей в многослойных системах с контрастной гидравлической проводимостыо воспользоваться упрощениями, исходя из физических свойств грунта. Уравнения, описывающие течение в слабопроницаемых слоях, принимаются одномерными, в них входит только вертикальная составляющая движения раствора. Решение этих уравнений сводится к вычислению некоторых аналитических выражений в виде интегралов свертки. В остальных областях движения уравнения принимаются трёхмерными, но без источниковых членов и без членов со смешанными производными по пространственным переменным. Внедиагопальпые члены тензора гидродинамической дисперсии предполагаются нулевыми. Упрощенный подход также используется при решении задачи вторжения соленой воды в прибрежные водоносные слои |26j и при моделировании течения грунтовых вод в переменно-насыщенной пористой среде [28|. Элементные матрицы в |28| вычисляются в упрощенном виде с помощью та.к называемых «коэффициентов влияния». Однако применяемый в этих работах метод Галеркипа позволяет получить решения, свободные от ое-цилляций. только для мелкой сетки и при больших 'значениях продольной и поперечной дисперсий. Следует отметить эффективность метода переменных направлений в сочетании с методом Галеркина [15. 18]. В работе |15] расщепление применяется в два этапа. Сначала уравнение интегрируется как двумерное с применением линейных базисных фупкцпй. затем применяют конечные разности по третьей координате. Этот метод совмещает простоту вычислений конечно-разностных методов с возможностью аппроксимации криволинейных границ конечными элементами. Расщепление пространственных координат в работе |18| осуществляется по схеме переменных направлений с применением метода конечных элементов. На каждом из трех дробных шагов по времени выделяется одно координатное направление. При этом соответствующие ему интегрируемые уравнения и базисные функции становятся одномерными. На примере расчетов пространственной задачи распространения загрязнения от источника, расположенного на верхней границе, показано, что форма и распространение пятна загрязнения значительно отличаются от расчётов но двумерным задачам для различных значений коэффициента поперечной дисперсии а*. Однако жесткие ограничения на числа Пекле и Куранта по каждому из координатных направлений

Ре, = Ь^<2, Си, = М* < * Du ~ Ах, ~ 2 сужают область применимости метода для задач с преобладающей конвекцией. Такие задачи часто возникают при моделировании переноса примосей в неоднородных толщах, которые могут включать в себя породы с высоко проводящими свойствами.

Для решения подобных задач наиболее перспективным представляется развитие техники противотоковых весов [37, 38|. Эта техника позволяет подавлять осцилляции в решениях и является наиболее экономной и простой с точки зрения затрат1 времени и памяти ЭВМ. так как при этом возникает возможность решать некоторые задачи даже па грубой сетке.

При моделировании переноса загрязняющих веществ в основном исследуют распространение1 консервативных примесей. Однако реально загрязнения могут представлять собой сложный набор химических веществ. вступающих во взаимодействие между собой и с пористой средой. Если в составе растворов содержатся множество компонент, то взаимодействие их в виде ионного обмена, сорбции, комплексообразования может значительно влиять па характер распределения концентраций. В этом случае помимо фильтрационного уравнения и уравнений конвективной дисперсии для компонент раствора система включает кинетические соотношения, отражающие физико- химические процессы.

Математическое описание задач переноса реагирующих веществ зависит от типа и скорости химических реакций [34|. В работе [40] рассматриваются различные подходы при решении систем уравнений, состоящих из уравнений переноса многокомпонентных растворов и уравнений кинетики. В предположении химического равновесия дифферепниал ьмыс уравнения кинетики заменяются алгебраическими соотношениями. Возможность такого упрощения зависит от величины безразмерных параметров чисел Дамкедера. Это исследовано в работе [29].

В основном в. литературе но многокомпонентному переносу хорошо исследованы одномерные |34. 30] и двумерные модели с постоянной скоростью фильтрации [8].

Настоящая диссертация посвящена численному моделированию переноса консервативных и пекопеервативпых веществ в пористых средах. В ней рассматриваются математические модели, описывающие совместное движение грунтовых вод и растворённых в них примесей. Исследуются способы численной реализации, основанные па методе конечных -цементов. Для различных систем уравнений предлагаются численные ал го-, ритмы, учитывающие особенности постановки каждой задачи. С помощью численных экспериментов исследуется влияние пространственного представления при моделировании процессор, переноса и зависимость решений задам от различных физико-химических параметров, входящих в основную систему уравнений, которые описывают движение:! многокомпонентных растворов.

Основное содержание! диссертации составляют результаты работ |1. 2. 3. 4. И, 31]. Охарактеризуем более подробно содержание диссертации, состоящей из трёх глав.

Первая глава посвящена математической постановке трёхмерной задачи переноса нереагирующих загрязняющих примесей в пористой среде и адаптации метода конечных элементов для решения поставленной задачи.

В §1 рассмотрена общая модель переноса консервативных веществ в пористой среде, предложенная ранее в работе |16|. Модель представляет собой систему дифференциальных уравнений неустановившегося движения грунтовых вод и конвективно дисперсионного переноса. Отмечается существенное влияние параметров исходной системы уравнений, на качественное поведение решения данной задачи.

В §2 описывается противотоковый весовой метод конечных элементов па основе локального баланса, предложенный в работе [39] для решения уравнения конвективной дисперсии. Здесь использовался метод конечных элементов для совместного решения системы уравнений.

Во второй главе диссертации онисап алгоритм решения задачи, включающий в себя сложную систему подготовки данных и решения её с помощью численных средств. Приведены результаты численных расчётов модели переноса примесей, демонстрирующие особенности данной модели и эффективность применения численного метода.

В §3 описывается алгоритм автоматической подготовки данных, подобный предложенному в работе [33] для двумерных задач, и распространённый на трёхмерный случай. В пего входит автоматическое покрытие области решения задачи узлами сетки, послойная триангуляция области и последующее построение призматических элементов.

В §4 рассмотрены особенности реализации численного алгоритма для решения системы линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей. Предлагается способ храпения в памяти компьютера только ненулевых элементов матрицы. Система решается с помощью поточечных итерационных методов.

В §о приведены сравнительные результаты решения тестовых и модельных одномерных, двумерных и трёхмерных задач. Исследуется поведение решений при различных соотношениях гидравлической проводимости и коэффициентов дисперсии для областей с неоднородным сложением в толще грунта с источниками и стоками в виде скважин.

Третья глава посвящена описанию пространственных задач переноса реагирующих веществ в пористой среде и особенностям их решения.

В §6 рассмотрена трёхмерная модель переноса двухкомпопептпого реагирующего раствора. Данная модель представляет собой систему, состоящую из уравнения фильтрации, двух уравнений конвективной дисперсии веществ, присутствующих в растворе и уравнений химических связей в виде законов действующих масс. В зависимости от заданных условий используются либо уравнения кинетики, либо, в предположении мгновенного равновесия, алгебраические соотношения. Для решения соответствующих краевых задач применялось сочетание метода конечных элементов с конечно разностным методом. Проведено численное исследование модели при различных условиях химического взаимодействия.

7 посвящен пространственной задаче трёхкомпопептпого переноса с учетом физической сорбции и комплексообразоваппя. Модель была основана на системе,включающей в себя дифференциальное уравнение1 фильтрации, четыре уравнения конвективной дисперсии по количеству компонент раствора, вступающих в реакцию и продукта комплексообразоваппя. а та, к же трёх уравнений химических связей. Проведены численные расчеты и исследовано поведение концентраций для различных-кинетических констант.

В заключительном §8 рассматривался процесс переноса примеси па фойе движения грунтовых вод к лучевому дренажу. Была представлена математическая модель в виде фильтрационной задачи и уравнения движения потока в лучах дренах водозабора. Эти уравнения были связаны условиями сопряжения. Для решения использованы как локально балансовый метод конечных элементов, так и конечно разностная аппроксимация. Приведены сравнительные расчёты с результатами расчётов задачи, в которой распределение напора в трубах задавалось постоянным. Показано, что перенос в толще, где располагается лучевой дренаж, посит выраженный пространственный характер. Все результаты проиллюстрированы графиками.

Результаты диссертации по мерс их получения докладывались на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО РАН (рук. зав. лаб. В.И. Пеньковекий); на Всесоюзном науч. совещании «Моделирование и прогнозирование изменений природных условий при перераспределении водных ресурсов» (Новосибирск. 1987 г.): на Всесоюзном семинаре «Математическое моделирование гидрогеологических процессов» (Душанбе. 1991 г.); па Первой Всесибирской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1992 г.); на Второй Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1994 г.): на Международном симпозиуме; «Гидрогеологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах» (Новосибирск, 1995 г.); на Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск. 199G г.), а также были представлены па 22 ой Генеральной Ассамблее; Европейского геофизического общества (Вена, 1997 г.) и на 24 й Генеральной Ассамблее EGS (Гаага, 1999 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность В.И.Пеньковскому за научное руководство и сотрудникам лаборатории фильтрации С.Т. Рыбаковой и A.A. Кашеварову за помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Корсакова, Надежда Константиновна

Основные результаты:

1. Предложен метод и разработан алгоритм решения трёхмерных моделей течения грунтовых вод и переноса примесей. Метод включает конечно-элементную аппроксимацию на основе локального баланса при наличии весовых функций для подавления осцилляций в решениях.

2. Создана методика, и разработан алгоритм подготовки начальных данных, включающий в себя автоматическое разбиение трёхмерной области на призматические конечные элементы и экономичное представление разреженных матриц больших алгебраических систем уравнений.

3. На примерах расчётов тестовых и модельных задач показана необходимость применения пространственного описания моделей в условиях неоднородной пористой среды, наличии в ней участков с высокой гидравлической проводимостью, присутствии источников-стоков в виде скважин.

4. Проведено сравнение с литературными данными. Показана эффективность весового метода конечных элементов для задач с преобладающей конвективной составляющей, а также для задач с наличием неоднородных участков в толще. Проведено численное исследования поведения решения в зависимости от различных параметров задачи.

5. Исследовано влияние физико-химического взаимодействия на поведение решений конвективно-дисперсионной задачи на примерах расчёта моделей распространения двухкомпонентного раствора с учетом физической сорбции и трёхкомпонентного раствора в присутствии реакций сорбции и комплексообразования. Показано, что учёт химических реакций значительно усложняет картину распределения концентраций. Проведено сравнение с решением двумерной задачи и показано значительное отличие в решениях. Изучено поведение решений относительно параметров модели (констант химических реакций).

6. Проведено численное исследование процесса переноса примесей в толще с действующим лучевым дренажем. Взаимодействие грунтового потока с потоком воды в лучевых дренажных трубах носит ярко выраженный пространственный характер, что указывает на необходимость использования разработанной трёхмерной модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены вопросы моделирования и численной реализации пространственных моделей переноса загрязняющих примесей в пористой среде на фоне усложнённой фильтрационной картины течения (неоднородности среды, наличия источников и стоков в области течения), с учетом физико-химического взаимодействия компонент растворов между собой и со скелетом грунта. На основе численных экспериментов проведено исследование особенностей процессов распространения примесей в этих сложных условиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корсакова, Надежда Константиновна, 2000 год

1. Корсакова Н.К. Трехмерный перенос загрязнений в пористой среде // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1994. Вып.108. С.14-26.

2. Корсакова Н.К. Численное моделирование трехмерного переноса загрязнений с учетом физической сорбции в пористой среде // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1996. Вып.111. С. 49-58.

3. Корсакова Н.К. Численное моделирование переноса консервативных и неконсервативных примесей в пористой среде // Водные ресурсы. 1996. Т 23, № 6. С. 672-678.

4. Корсакова Н. К. Численное моделирование пространственного взаимодействия фильтрационного течения с лучевым дренажем // Математические модели фильтрации и их приложения: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1999. С. 111-116.

5. Корсакова Н, К. Численное моделирование трехмерного переноса загрязнений в пористой среде // Тез. докл. Второй Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии. Новосибирск. 1994. С. 24.

6. Корсакова Н. К. Численное моделирование многокомпонентного пространственного переноса в пористой среде // Тез. докл. Международного симпозиума «Гидрогеологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах». Новосибирск. 1995. С. 90.

7. Пеньковский В. И., Рыбакова С. Т Численное моделирование процессов массопереноса при подземном выщелачивании / / Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1989. Вып.90. С. 81=92.

8. Полубаринова Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М:Наука, 1977.

9. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М:Мир, 1980.

10. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К., Полунина И. Т. Одномерные и двумерные задачи подземного выщелачивания // Отчет по хоздоговору 21/90 «Математическое моделирование процессов фильтрации неоднородных жидкостей». ИГиЛ СО РАН. 1989.

11. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К. Задача переноса неконсервативных примесей в пористых средах // Тез. докл. семинара «Математическое моделирование гидрогеологических процессов». Душанбе. 1991. С. 109.

12. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К., Полунина И. Т. Численное моделирование процессов переноса примесей в пористых средах // Тез. докл. Первой Всесибирской конференции по математическим проблемам экологии. Новосибирск. 1992. С. 112.

13. Babu D. К., Pinder G. F. A Finite Element-Finite Diffrence Alternating Direction Algorithm for Three-Dimensional Groundwater Transport. // Adv. Water Resour. 1984. V. 7, № 3. P. 116-119.

14. Bear J. Dinamics of Fluids in Porous Media. New York, 1972.

15. Bhuiyan M. A., Allayla R. I., Hussain T. et al. Solution of the Transport Equation by the Collocation Method in Conjuction with the Adaptive Hermite Element Family // Water Resour. Res. 1990. V. 26, № 11. P. 2661-2677.

16. Burnett R. D., Frind E. O. Simulation of Contaminant Transport in Three Dimensions. 1. The Alternating Direction Galerkin Technique. 2, Dimensionality Effects // Water Resour. Res. 1987. V. 23, № 4. P. 683705.

17. Chiang C. Y., Wheeler M. F. A Modified Methods of Characteristics Technique and Mixed Finite Element Method for Simulation of Groundwater Solute Transport // Water Resour. Res. 1989. V. 25, № 7. P. 1541-1549.

18. Diersch H.-J. G. Computational aspects in developing an interactive 3D groundwater transport simulator using FEM and GIS // IAHS Publ. 1994. № 220. P. 313-326.

19. Heinrich J. C., Huyakorn P. S., Zienkiewicz O. C. et al. An "Upwind"Finite Element Scheme for Two-Dimesional Convective-Transpört Equation // Int. J. Numer. Method. Eng. 1977. V. 11, № 1. P. 131-143.

20. Hughes T. J. E. (Ed.) Finite Element Methods for Convection Dominated Flow. New York: ASME, 1979.

21. Huvakorn P. S., Andersen P. F., Mercer J. W. et al. Saltwater Intrusion in Aquafer: Development and Testing of a Three-Dimensional Finite Element Model // Water Resour.Res. 1987. V. 23, № 2. P. 293-312.

22. Huyakorn P. S., Jones B. G., Andersen P. F. Finite Element Algorithm for Simulating Three-Dimensional Groundwater Flow and Solute Transport in Multilayer System // Water Resour. Res. 1986. V. 22, № 3. P.361-374.

23. Huyakorn P. S., Springer E. P., Guvanasen V. et al. A Three-Dimensional Finite Element Model for Simulating Water Flow in Variably Saturated Porous Media // Water Resour. Res. 1986. P. 1790-1808.

24. Jennings A. A., Kirkner D. J. Instantaneous Equilibrium Approximation Analysis // J. Hydraul. Eng. ASCE. 1984. V. 110, № 12. P. 1700-1717.

25. Korsakova N. K. A three-dimensional reactive contaminant transport in porous media //Annales Geophysical Supplement/ 22nd General Assembly of EGS. 1997. V. 15, Part. 2. P. 265-287.

26. Lo S. H. A New Mesh Generation Scheme for Arbitrary Planar Domains // Int. J. Numer. Method. Eng. 1985. V. 21, № 8. P. 1403-1426.

27. Mueller A. C., Carey G. F. Continuously Deforming Finite Elements // Int. J. Numer. Method. Eng. 1985. V. 21. P. 2099-2126.

28. Rubin J. Transport of Reacting Solutes in Porous Media: Relation between Mathematical Nature of Problem Formulation and Chemical Nature of Reaction // Water Resour. Res. 1983. V. 19, № 15. P .1231-1252.

29. Sommerijer B. P., Van der Houwen P. J., Kok J. Time integration of three-dimensional numerical transport model // Appl. Numer. Math. 1994. V. 16, № 1. P 201-225.

30. Sudicky E. A. The Laplace Transform Galerkin Technique: A Time-Continuous Finite Element Theory and Application to Mass Transport in Groundwater // Water Resour. Res. 1989. V. 25, № 8. P. 1833-1846.

31. Sun N. -Z., Yeh W. W. -G. A Proposed Upstream Weith Numerical Method for Simulating Pollutant Transport in Groundwater // Water Resour. Res. 1983. V. 19, № 6. P. 1489-1500.

32. Wang G., Sun N. -Z., Yeh W. W. -G. An Upstream Weight Multiple-Cell Balance Finite-Element Method for Solving Three-Dimensional Convection-Dispersion Equations // Water Resour. Res. 1986. V, 22, № 11. P. 1575-1589.

33. Yeh G. T. A Lagrangian-Eulerian Method with Zoomable Hidden Fine-Mesh Approach to Solving Advection-Dispersion Equations // Water Resour. Res. 1990. V. 26, № 6. P. 1133=1144.

34. Yeh G. T., Tripathi V. S. A Critical Evaluation of Recent Developments in Hydrogeochemical Transport Models // Water Resour. Res. 1989. V. 25, № 1. P. 93-108.