Нелинейное деформирование гиперупругих и упругопластических тел с учетом контактного взаимодействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Султанов Ленар Усманович

• Султанов Ленар Усманович
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Султанов Ленар Усманович

Введение

Глава 1. Вычислительный алгоритм решения нелинейных задач

1.1. Базис, векторы, тензоры

1.2. Инварианты тензора. Соотношение Гамильтона - Кэли

1.3. Производная по времени

1.4. Кинематика конечных деформаций. Тензоры и меры деформации

1.5. Соотношение Нансона

1.6. Материальные производные тензоров, описывающих кинематику конечных деформаций

1.7. Пространственный градиент скорости, скорость деформации

1.8. Скорость изменения объема

1.9. Объективные тензоры

1.10. Уравнение виртуальных мощностей

1.11. Линеаризация уравнения виртуальных мощностей

1.12. Пошаговое интегрирование уравнений движения в актуальной конфигурации

1.13. Метод продолжения решения по параметру нагружения

1.14. Конечноэлементная аппроксимация

1.15. Решение СЛАУ

Заключение по главе

Глава 2. Алгоритм численного исследования конечных деформаций гиперупругих тел

2.1. Гиперупругое тело

2.2. Изотропный материал

2.3. Явное выделение деформаций изменения объема

2.4. Несжимаемый изотропный материал

2.5. Линеаризованные физические соотношения

2.6. Метод штрафа для учета несжимаемости

2.7. Алгоритм решения нелинейно упругих задач

2.8. Численные примеры

Плоская деформация полосы

Одноосное растяжение квадратной пластины с вырезом

Деформирование круглой плиты

Задача об упругом деформировании квадратной плиты

Задача об упругом деформировании сферической оболочки

Заключение по главе

Глава 3. Алгоритм численного исследования конечных упругопластических деформаций трехмерных тел

3.1. Кинематика конечных деформаций

3.2. Определяющие соотношения

3.3. Метод проецирования напряжений на поверхность текучести

3.4. Случай малых упругих деформаций

3.5. Критерий пластического течения

3.6. Критерий пластичности с учетом ортотропности пластических деформаций

3.7. Общий алгоритм решения

3.8. Стандартный материал второго порядка

3.9. Численные примеры

Упругопластическое деформирование толстостенной трубы

Упругопластическое растяжение круглого стержня

Деформирование конической оболочки

Деформирование цилиндрической трубы под действием распределенной осевой нагрузкой

Плоская задача вытягивания круглой пластины

Упругопластическое деформирование квадратной плиты

Заключение по главе

Глава 4. Алгоритм численного исследования нелинейных

деформаций с учетом контактного взаимодействия

4.1. Параметрическое уравнение поверхности

4.2. Кинематика контактного взаимодействия

4.3. Условие непроникновения одного тела в другое

4.4. Алгоритм проекции ближайшей точки

4.5. Контактное взаимодействие с учетом трения

4.6. Основные кинематические соотношения и их вариации

4.7. Вариационная модель контакта

4.8. Контактное взаимодействие без учета трения. Метод штрафа

4.9. Линеаризация контактного функционала без учета трения

4.10. Вариационная модель контакта с учетом трения. Метод Штрафа

4.11. Контактный конечный элемент

4.12. Алгоритм решения контактных задач

4.13. Численные примеры

Контактное взаимодействие двух упругих деформируемых тел

Задача Герца

Задача взаимодействия сферического штампа и плиты

Вдавливание квадратного штампа в квадратную упругую плиту

Вдавливание круглого штампа в круглую плиту

Задача о сжатии цилиндрической оболочки

Заключение по главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное деформирование гиперупругих и упругопластических тел с учетом контактного взаимодействия»

Введение

В работе создана методика численного исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) трехмерных тел с учетом геометрической и физической нелинейностей. Рассмотрены задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с учетом больших упругих и пластических деформаций, а также контактного взаимодействия и потери устойчивости.

Актуальность темы исследований. Разработка новых вычислительных методик решения нелинейных задач МДТТ является актуальной научной проблемой. Так, например, при моделировании технологических процессов изготовления изделий (штамповка, вытяжка и т.д.) требуется решать задачи с учетом как физической, так и геометрической нелинейностей. В современном строительстве и машиностроении все большую популярность обретает использование новых материалов (например, резиноподобных, полимерных), которые допускают конечные как упругие, так и неупругие деформации.

Исследованию свойств резиноподобных материалов и разработке методов расчета конструкций с учетом больших деформаций посвящена многочисленная литература. С точки зрения МДТТ речь идет о нелинейно упругих средах, при деформировании которых необходимо учитывать геометрическую нелинейность в рамках конечных деформаций. Проблемы построения нелинейной теории упругости рассматриваются в большом количестве статей и обобщены в монографиях, например, можно отметить работы известных ученых: Адамова А. А., Аннина Б. Д., Белкина А. Е., Буренина А. А., Быковцева Г. И., Галимова К. З., Григолюка Э. И., Димитриенко Ю. И., Жилина П. А., Зубова Л. М., Кондаурова В. И., Коробейникова С. Н., Кукуджанова В. Н., Левитаса В. И., Лурье А. И., Маркина А. А., Муштари Х. М., Новожилова В. В., Паймушина В. Н., Пальмова В. А., Панова А. Д., Поздеева А. А., Рогового А. А., Терегулова И. Г., Трусова П. В., Черныха К. Ф., Чернышова А. Д.,

Шалашилина В. И., Одена Дж., Трусделла К., Адкинса Д., Грина А., Муни М., Ривлина Р. С., Bathe K. J, Bonet J., Kikuchi N., Miehe C. и др.

Проблема построения системы разрешающих уравнений для моделирования конечных деформаций сплошных сред является предметом научных исследований, которые в последнее время широко проводятся. Разработаны многочисленные схемы и методики нелинейного анализа трехмерных тел, построенные для различных физически нелинейных сред (нелинейно упругих, упругопластических, вязкоупругих и т.д.). Многообразие различных методик решения указанного класса задач связано с использованием различных тензоров для описания кинематики и произвольные течения сплошной среды. К таким тензорам относятся, например, тензор градиента деформации, правый тензор Коши - Грина, левый тензор Коши - Грина, мера деформации Альманси, правый тензор Пиолы), тензор деформации Коши - Грина, тензор деформации Альманси, тензор логарифмической меры деформации, тензоры искажения и др.

Постановка и алгоритмы решения упругопластических задач в предположении малости упругих деформаций достаточно проработана и имеется множество публикаций, в которых рассмотрены аспекты аналитического и численного решений (Качанов Л. М., Ильюшин А. А., Малинин Н. Н., Hill R, Simo J. S., Hughes T. J. R.). Традиционно в теории течения применяется представление полных деформаций и их скоростей в виде суммы упругой части и пластической, которое допускает эффективное решение задач при малых упругих деформациях. Но такая постановка не применима к моделированию к ряду практически важных задач (обработка металлов, задач геомеханики). В этом случае, помимо учета больших пластических деформаций, требуется учесть большие упругие деформации, а также геометрическую нелинейность. Поэтому авторы при формулировке упругих физических соотношений предлагают использовать подход, применяемый при решении задач деформирования гиперупругих материалов, то есть считается, что существует функция потенциальной энергии упругого деформирования, с помощью которой

выражаются физические соотношения. Одним из подходов решения упругопластических задач с учетом больших деформаций является обобщение методов исследования малых упругопластических деформаций на конечные деформации. Так, например, используется аддитивное представление тензора деформации скорости в виде суммы упругой и пластической частей. Но такое разложение верно при малых упругих деформациях. В случае конечных, как упругих, так и пластических деформаций, получило развитие мультипликативное представление градиента деформации в виде произведения упругой и неупругой частей градиента деформаций. Согласно такому представлению материальная точка последовательно подвергается соответственно неупругим и упругим деформациям. Отметим здесь работы Баженова В. Г., Голованова А. И., Кукуджанова В. Н., Капустина С. А., Паймушина В. Н., Поздеева А. А., Рогового А. А., Трусова П. В., Шутова А. В., Hill R, Truesdell C., Zienkiewicz O. C., Yamada Y., Taylor R. L., Prager W., McMeeking R. M., Rice J. R., Naghdi P. M., Lee E. H., Simo J. S., Hughes T. J. R., Wriggers P., Meyers A, Eidel B., Gruttmann F., Miehe C., Itskov M., Xiao H., Fish J., Kikuchi N. и др.

Формулировка задачи о конечных деформациях ведет к решению системы нелинейных уравнений, которое, как правило, находится с помощью численных методов: шаговых или итерационных. Популярным методом решения нелинейных задач является метод Ньютона. При потере устойчивости для исследования закритического состояния конструкций разработаны специальные алгоритмы решения, одним из которых является метод продолжения решения по параметру нагружения. При численной реализации эффективным способом пространственной дискретизации является метод конечных элементов (МКЭ). Численные алгоритмы исследования докритических и закритических состояний и их реализации отражены в работах Баженова В. Г., Бураго Н. Г., Григолюка Э. И., Гузя А. Н., Коробейникова С. Н., Кукуджанова В. Н., Немировского Ю. В., Шалашилина В. И., Bonet J., Bathe K.-J., Wriggers P., McMeeking R. M., Lee E. H., Simo J. S., Hughes T.-J. R., Gruttmann F., Miehe C., Itskov M., Xiao H., Fish J. и др.

При решении задач с учетом физической и геометрической нелинейностей, а также при использовании в качестве глобального алгоритма решения нелинейной задачи инкрементальных методов возникает необходимость формулировки определяющих соотношений в скоростях. В МДТТ получило распространение материальное описание движения среды. Физические соотношения записываются относительно недеформированной или отсчетной конфигурации, и в этом случае возникает сложность формулировки определяющих соотношений в скоростной форме, особенно в задачах с геометрической нелинейностью и в задачах контактного взаимодействия, где область контакта является неизвестной. Поэтому в работе предлагается использовать пространственное описание движения среды в скоростной постановке, когда определяющие соотношения формулируются в актуальной конфигурации.

Как правило, любая механическая нагрузка является результатом взаимодействия между двумя и более телами или частями одного тела. При этом в ряде случаев (при известной зоне контакта, передаваемых контактных усилиях, незначительном коэффициенте трения между контактируемыми телами) исследователи контактное взаимодействие заменяют введением дополнительных граничных кинематических или статических условий, что ведет к упрощению решения. Но при моделировании задач из практики возникает необходимость учета более специфических свойств контактного взаимодействия твердых тел. Отметим, что учет контактного взаимодействия ведет к формулировке нелинейной задачи. Так как, во-первых, поверхность контакта и контактные усилия являются неизвестными, а также нужно учитывать особенности контактирующих поверхностей. Также задача усложняется наличием физической и геометрической нелинейностей и потери устойчивости при деформировании контактирующих тел.

В последнее время в контактной механике и в механике в целом получила большое развитие вычислительная механика, использующая конечномерные

модели сплошных сред, численные методы решения алгебраических уравнений и компьютерное моделирование, и позволяющая исследовать широкий круг задач контактного взаимодействия, в том числе и нелинейных. В частности, популярным методом численного исследования задач механики контактного взаимодействия деформируемых тел является метод конечных элементов. Алгоритмы решения контактных задач отражены в работах Артюхина Ю. П., Баженова В. Г., Бураго Н. Г., Конюхова А. В., Коробейникова С. Н., Кукуджанова В. Н., Bathe K.-J., Hughes T.-J. R., Johnson K. L., Kikuchi N., Laursen T. A., Miehe C., Lee J. D., Panagiotopoulos P., Parisch H., Oden J. T., Puso M. A., Simo J. S., Wriggers P., Zavarise G., Zhong Z. H. и др.

Тем не менее, несмотря на достигнутый прогресс в вычислительной механике, решение контактных задач с помощью метода конечных элементов в настоящее время остается очень сложной задачей, главным образом, из-за сильной нелинейности, которая возникает при учете геометрической нелинейности, нелинейного поведения материала и нелинейности контактного взаимодействия.

Объектами исследования являются трехмерные деформируемые твердые тела, обладающие физической нелинейностью и подвергающиеся большим деформациям.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка новых, современных математических моделей и вычислительных методик, направленных на решение задач о деформировании трехмерных тел с учетом геометрической и физической нелинейностей.

Для достижения цели были сформулированы следующие задачи.

На основе вариационного уравнения принципа виртуальных мощностей построить вычислительную методику решения нелинейных задач при пространственном (эйлеровом) описании движения среды, которая позволяет формулировать уравнение равновесия и определяющие соотношения в скоростях.

Разработать алгоритм исследования деформирования гиперупругих и упругопластических трехмерных тел с учетом геометрической нелинейности. Получить определяющие соотношения для упругопластических тел, создать алгоритм разделения упругих и пластических деформаций.

Разработать методику исследования закритического состояния трехмерных тел с учетом геометрической и физической нелинейностей, а также контактного взаимодействия.

Методы исследования. В работе используются методы МДТТ и методы численного моделирования. Кинематический анализ конечных деформаций и произвольных течений основан на использовании двух групп тензоров, обладающих специальными свойствами. Первая группа, так называемые материальные (лагранжевые) тензоры, обладает свойством инвариантности. Такие тензоры используются в классических лагранжевых постановках задач МДТТ, в которых базовой является метрика исходной конфигурации. Другая группа, группа пространственных (эйлеровых) тензоров, которые определяются в актуальном состоянии и обладают свойством индифферентности. Производные по времени индифферентных тензоров не являются индифферентными тензорами, поэтому в качестве скорости индифферентных тензоров вводятся в рассмотрение обобщенные производные, производные Яуманна, Грина - Нагди, Трусделла, Ли и др. Эти тензоры применяются при формулировке соответствующей краевой задачи в актуальной конфигурации. В настоящей работе используется пространственное описание движения сплошной среды. Тензором, характеризующим напряженное состояние, является тензор истинных напряжений Коши, записанный в актуальном состоянии и имеющий ясный физический смысл. При выводе физических соотношений упругого деформирования вводится потенциал упругой деформации, на основе которого строится определяющее соотношение в виде производной потенциала по мере деформации Фингера.

Кинематика больших упругопластических деформаций строится на основе мультипликативного разложения градиента деформации. В задачах с учетом геометрической и физической нелинейностей важным моментом является построение определяющих соотношений. Физические соотношения получены из второго закона термодинамики для изотермического процесса, в котором фигурирует функция свободной энергии деформации, зависящяя от упругих деформаций. Используя теорию пластического течения, которую традиционно описывают в терминах производных по времени, в работе сформулированы определяющие соотношения, записанные в актуальной конфигурации, выражающие зависимость скорости напряжения Коши от деформации скорости. На основе метода проецирования напряжений на поверхность текучести разработан алгоритм разделения упругих и неупругих деформаций, который позволяет эффективно решать задачи с учетом больших упругопластических деформаций.

В качестве основного используется линеаризованное уравнение принципа виртуальных мощностей, записанного в актуальном состоянии. Глобальная методика решения полученной системы нелинейных уравнений состоит в применении пошагового метода с итерационным уточнением НДС на каждом шаге нагружения. Получены линеаризованные уравнения, создан алгоритм перехода к следующему шагу нагружения. Для исследования закритического состояния деформируемых твердых тел при потере устойчивости предлагается использовать алгоритм, основанный на методе продолжения решения по параметру нагружения.

При выводе разрешающих уравнений для решения контактной задачи возникает сильная нелинейность, которая следует из выполнения условия непроникновения, а также при формулировке дополнительных кинематических ограничений (скольжение, залипание) в случае учета касательных усилий на общей неизвестной границе. Используется подход, получивший название «master-slave», когда точки одного из тел, называемого «slave», проверяются на

проникновение в поверхность другого тела, называемого «master». Неизвестная зона контакта определяется с помощью алгоритма проекции ближайшей точки (closest point projection algorithm). Для удовлетворения условия непроникновения одного тела в другое (или части одного тела) используется метод штрафных функций. На основе выражения мощности контактных усилий на возможной скорости проникновения одного тела в другое получен контактный функционал и его линеаризация.

Численная реализация полученных алгоритмов решения построена на основе метода конечных элементов. Для дискретизации деформируемых тел используется восьмиузловой трехмерный изопараметрический конечный элемент. Для реализации контактного взаимодействия применяется специальный пятиузловой конечный элемент, который определяется на контактирующих поверхностях.

Научная новизна работы.

В рамках мультипликативного разложения градиента деформации и метода проецирования напряжений на поверхность текучести разработан оригинальный алгоритм разделения упругих и неупругих деформаций.

На основе уравнения принципа виртуальных мощностей в рамках пространственного описания движения среды разработан вычислительный алгоритм расчета процессов деформирования трехмерных тел с учетом физической и геометрической нелинейности со скоростью перемещений в качестве неизвестной.

Реализован и апробирован модифицированный метод продолжения решения по параметру нагружения, позволяющий моделировать закритическое поведение гиперупругих упругопластических трехмерных тел.

На основе разработанных математических моделей процессов нелинейного деформирования гиперупругих и упругопластических трехмерных тел реализован алгоритм решения задач механики деформируемого твердого тела с учетом

контактного взаимодействия на базе уравнения принципа виртуальных мощностей.

Теоретическая и практическая значимость. Внедрение работы.

На основе разработанных математических моделей и вычислительных алгоритмов создан конечноэлементный программный комплекс, который может быть использован при расчетах элементов конструкций, подвергающихся конечным деформациям, а также может быть использован при моделировании технологических процессов при изготовлении деталей.

Положения, выносимые на защиту.

Алгоритм разделения упругих и неупругих деформаций на основе мультипликативного разложения полного градиента деформации на упругую и неупругую части и метода проецирования напряжений на поверхность текучести.

Вычислительный алгоритм расчета процессов деформирования трехмерных тел с учетом физической и геометрической нелинейностей, процессов потери устойчивости и контактного взаимодействия в рамках пространственного описания движения сплошной среды.

Модифицированный метод продолжения решения по параметру нагружения, позволяющий исследовать закритическое состояние гиперупругих и упругопластических трехмерных тел.

Результаты решения задач нелинейного деформирования трехмерных тел.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов работы обеспечивается использованием методов механики деформируемого твердого тела при построении математических моделей деформирования трехмерных сред, физической и математической непротиворечивостью используемых моделей и подтверждается совпадением полученных результатов численного решения с ранее известными.

По материалам диссертационной работы были сделаны доклады на следующих научных мероприятиях:

Первой всероссийской и второй международной конференциях «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (2008 г., г. Пермь, 2009 г., г. Казань);

Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (2009-2017 г.г., г. Москва);

XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (19-24 июня 2010 г. гг. Ростов-на-Дону, Азов);

XIX Зимней школе по механике сплошных сред (24-27 февраля 2015 г., г. Пермь);

Международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (2001, 2003, 2005, 2007, 2009, 2011, 2013 г.г., г. Санкт-Петербург);

X съезде по теоретической и прикладной механике (2011 г., г. Н. Новгород);

XVI-XX Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (2013-2017 г.г., г. Алушта);

Sixth International Conference on Nonlinear Mechanics (12-15 августа 2013 г., г. Shanghai, China);

Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения» (20-24 октября 2014 г., г. Казань);

X, XI Международных конференциях «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (2014, 2016 г.г., г. Казань);

XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (20-24 августа 2015 г. г. Казань);

The World Multidisciplinary Earth Sciences Symposium (7-11 сентября 2015 г., Prague, Czech Republic);

3rd International Conference on Mechanical Engineering and Mechatronics (1415 августа 2014 г., Prague, Czech Republic);

Всероссийской конференции «Развитие региональных научных исследований в рамках взаимодействия РФФИ и АН РТ, посвященная 25-летию образования АН РТ» (28-30 сентября 2016 г., г. Казань);

Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015» (19-23 октября 2015 г., г. Новосибирск);

Международной конференции «Математическое и компьютерное моделирование в механике деформируемых сред и конструкций» (2015, 2017 г.г., г. Санкт-Петербург);

XII Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (2018 г., г. Алушта).

Отдельные результаты и работа в целом доложены на итоговых научных конференциях КФУ (г. Казань, 2009-2018 г.г.), на расширенном заседании кафедр аэрогидромеханики и теоретической механики КФУ (2018 г.), на семинаре ФГБУН Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН «Механика макро- и нано-структур» под руководством д. ф.-м. н. Коробейникова С. Н. (г. Новосибирск, 2018 г.).

Представленные в диссертации результаты исследований получены при поддержке грантов РФФИ № 08-01-00546 a, № 12-01-31212 мол_а, № 15-01-08733 а, № 15-31-20602 мол_а_вед; грантов РФФИ и Правительства Республики Татарстан № 13-01-97059, № 13-01-97058, № 15-41-02555, № 15-41-02557, № 18-41-160018, № 18-41-160021; гранта РНФ № 16-11-10299; гос. задания Минобрнауки России (9.9786.2017/8.9).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 50 работ, в том числе 1 9 в ведущих российских научных журналах из перечня ВАК РФ рецензируемых изданий для публикации результатов докторских диссертаций, 7 в зарубежных изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, 1 монография; 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. Все основные результаты диссертации получены автором лично или при его непосредственном участии.

Идея построения глобального вычислительного алгоритма решения нелинейных задач принадлежат д. ф.-м. н., проф. Голованову Александру Ивановичу.

Непосредственное участие в разработке вычислительного алгоритма решения упругопластических задач и его численной реализации принимал Давыдов Р. Л. Численное решение ряда задач о деформировании тел из гиперупругих материалов принадлежат Абдрахмановой А. И., Фахрутдинову Л. Р. Остальные соавторы принимали участие в обсуждении результатов решения задач. Абдрахманова А. И. принимала участие в конечноэлементной реализации разработанных алгоритмов расчетов с учетом контактного взаимодействия, в проведении расчетов и в обсуждении результатов решений.

Автор диссертации принимал участие в построении вычислительного алгоритма решения нелинейных задач, алгоритма исследования закритического состояния, алгоритма глобального решения системы разрешающих уравнений и локального уточнения НДС. Автором выполнена программная реализация вычислительных алгоритмов решения нелинейных задач с учетом и без учета потери устойчивости, реализовано итерационное уточнение НДС.

Автором разработан алгоритм решения задач деформирования трехмерных гиперупругих тел из несжимаемых и малосжимаемых материалов, создана численная реализация методики решения задачи деформировании трехмерных гиперупругих тел в рамках метода конечных элементов.

Автором дана постановка задачи упругопластического деформирования при мультипликативном разложении градиента деформации, разработан алгоритм разделения полных деформаций на упругую и пластическую составляющие, получена конечноэлементная реализация.

Автором дана вариационная постановка задачи о контактном взаимодействии деформируемых тел на возможной скорости проникновения одного тела в другое, разработан вычислительный алгоритм решения контактных задач, создана программная реализация решения контактных задач.

Автор искренне благодарен рано ушедшему из жизни д. ф.-м. н., проф. Александру Ивановичу Голованову за формирование научного взгляда на решение современных проблем механики, выражает благодарность за помощь и обсуждение результатов исследований коллективам кафедр теоретической механики и аэрогидромеханики КФУ.

Автор выражает благодарность д. ф.-м. н., проф., г. н. с. ИМСС УрО РАН Роговому Анатолию Алексеевичу за ценные советы и замечания при подготовке рукописи диссертации.

Глава 1. Вычислительный алгоритм решения нелинейных задач

Глава 1 посвящена построению глобального алгоритма решения нелинейных задач. Сформулированные соотношения, описывающие геометрические изменения среды, уравнения равновесия, физические соотношения образуют замкнутую систему уравнений весьма сложной структуры, имеющую высокую степень нелинейности. Для формулировки краевой или начально-краевой задачи необходимо добавить граничные условия и, по необходимости, начальные условия на значения неизвестных функций.

Для решения задач с учетом нелинейности различной природы, в частности, используются шаговые схемы. Если задача стационарная, то исследуемый процесс деформирования представляется в виде последовательности состояний, каждое из которых удовлетворяет сформулированной совокупности разрешающей системы уравнений и граничным условиям. Если речь идет о процессе деформирования, то эти состояния должны быть уравновешены. При этом переход из текущего состояния в последующее должен лежать в области малых геометрических изменений формы (расчетной области). Это позволяет при определенных ограничениях провести на текущем шаге линеаризацию задачи. В результате для приращения неизвестных функций можно сформулировать линейную задачу, которая допускает решение известными методами. Это решение позволяет определить следующее состояние и соответствующие значения всех параметров процесса.

Для задач динамики с учетом или без учета сил инерции определяется аналогичный процесс, а именно: вводится последовательность реальных моментов времени, в которых состояние системы определяется полностью. Они называются временными слоями. При этом приращения времени от слоя к слою должны быть так малы, чтобы уравнения перехода допускали линеаризацию и

сводились к линейным системам уравнений. В математической физике, вычислительной математике и механике подобные методы называют численным интегрированием задачи Коши. Накоплен огромный опыт временной дискретизации самых разнообразных уравнений и опробованы и исследованы тысячи различных схем.

С формальной точки зрения оба метода: метода пошагового нагружения и пошагового интегрирования по времени близки. Таким образом, в реализации динамические и статические задачи допускают единообразный способ решения.

Главным достоинством метода пошагового нагружения является его высокая алгоритмичность. Методика построения системы линейных уравнений, как правило, одинакова на всех шагах нагружения (или сравнительно редко обновляется), поэтому программный код получается весьма «прозрачный» и легко реализуемый. Существенным достоинством такого подхода решения сложных задач механики деформируемых сред является то обстоятельство, что при соответствующей общности исходной постановки задач (выбора соответствующих групп уравнений и неизвестных функций) созданная программа имеет широкую область применения и с ее помощью может быть решен обширный круг задач. Именно на таких принципах построены все мощные вычислительные комплексы, которые используются в настоящее время для решения задач прочности и устойчивости деформируемых тел.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Султанов Ленар Усманович, 2019 год

Список литературы

1. Абдрахманова, А. И. Алгоритм исследования деформаций тел из несжимаемых материалов / А. И. Абдрахманова, Л. У. Султанов // Материалы XX Юбилейной Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2017), 24-31 мая 2017 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ,

2017. - С. 168-169.

2. Абдрахманова, А. И. Алгоритм расчета нелинейных деформаций при контактном взаимодействии / А. И. Абдрахманова, Л. У. Султанов // Материалы XII Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (№Ш'2018). - М.: Изд-во МАИ,

2018. - С. 528-530.

3. Абдрахманова, А. И. Методика решения задачи упругого деформирования трехмерных тел из несжимаемых материалов / А. И. Абдрахманова, Л. У. Султанов // Материалы XXII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. - Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). - 2016. - С. 14-15.

4. Абдрахманова, А.И. Моделирование нелинейных деформаций с учетом контактного взаимодействия / А. И. Абдрахманова, Л. У. Султанов // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 55. Лобачевские чтения - 2017: Материалы шестнадцатой молодежной школы-конференции (Казань, 24-29 ноября 2017 г.). - Казань: Из-во Казан. ун-та, 2017. - С. 5-7.

5. Абдрахманова, А. И. Численное исследование нелинейных деформаций с учетом контактного взаимодействия / А. И. Абдрахманова, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2018. - Т. 160, кн. 3. - С. 423-434.

6. Абдрахманова, А. И. Алгоритм исследования гиперупругих тел с учетом контактного взаимодействия / А. И. Абдрахманова, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2018. - Т. 160, кн. 4. - С. 644-656.

7. Адамов, А. А. Об одном преобразовании соотношений напряжение -деформация для изотропных гиперупругих материалов при конечных деформациях / А. А. Адамов // Математическое моделирование систем и процессов. Сб. научных трудов. - Пермь, 2001. - № 9. - С. 6-9.

8. Баженов, В. Г. Численное моделирование нестационарных процессов ударного взаимодействия деформируемых элементов конструкций /

B. Г. Баженов, А. И. Кибец, И. Н. Цветкова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1995 - № 2. - С. 20-26.

9. Баженов, В. Г. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов / В. Г. Баженов, А. И. Кибец // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 1994. - № 1. -

C. 52-59.

10. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Р. Вильсон. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

11. Белкин, А. Е. Математическая модель вязкоупругого поведения полиуретана при сжатии с умеренно высокими скоростями деформирования / А. Е. Белкин, И. З. Даштиев, В. К. Семенов // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Машиностроение. - 2014. - Т. 99, № 6. - С. 44-58.

12. Белкин, А. Е. Определение параметров упругости полиуретана при больших деформациях по результатам испытаний образцов на кручение и растяжение / А. Е. Белкин, И. З. Даштиев, А. В. Костромицких // Известия

высших учебных заведений. Машиностроение. - 2016. - Т. 677, № 8. -С. 3-10.

13. Бережной, Д. В. Расчет взаимодействия деформируемых конструкций с учетом трения в зоне контакта на основе метода конечных элементов / Д. В. Бережной, М. К. Сагдатуллин, Л. У. Султанов // Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - Т. 17, № 14. - С. 478-481.

14. Бураго, Н. Г. Анализ напряженного состояния контактной системы «диск-лопатка» газотурбинного двигателя / Н. Г. Бураго, А. Б. Журавлев, И. С. Никитин // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - Т. 4, № 2. - С. 5-16.

15. Бураго, Н. Г. Обзор контактных алгоритмов / Н. Г. Бураго,

B. Н. Кукуджанов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2005. - № 1. -

C. 44-85.

16. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. - М.: Мир, 1987. - 542 с.

17. Векуа, И. Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов / И. Н. Векуа. - М.: Наука, 1978. - 296 с.

18. Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры / В. В. Воеводин. - М.: Наука 1977. - 304 с.

19. Ворович, И. И. Механика контактных взаимодействий / И. И. Ворович, В. М. Александров. - М.: Физматлит, 2001. - 671 с.

20. Годунов, С. К. Элементы механики сплошных сред / С. К. Годунов. - М.: Наука, 1978. - 304 с.

21. Голованов, А. И. Алгоритм исследования конечных деформаций нелинейных сред / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009), 2531 мая 2009 г., Алушта. - М: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. - С. 212-213.

22. Голованов, А. И. Алгоритм исследования конечных упругопластических деформаций среды / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Материалы XV международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М: Изд-во «Типография «Парадиз» , 2009. - С. 58-59.

23. Голованов, А. И. Исследование закритического упругопластического состояния трехмерных тел с учетом конечных деформаций / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Известия вузов. Авиационная техника. -2008. - №4. - С. 13-16.

24. Голованов, А. И. Исследование конечных деформаций с использованием левого тензора Коши - Грина / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXIII Международной конференции. - СПб: НИЦ МОРИНТЕХ, 2009. -С. 122-126.

25. Голованов, А. И. Численное исследование гиперупругих тел с использованием левого тензора Коши - Грина / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Вестник Московского авиационного института. - М: Изд-во МАИ. - 2009. - Т. 16, № 7. - С. 110-118.

26. Голованов, А. И. Численное исследование гиперупругих тел с учетом потери устойчивости / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Тезисы докладов всероссийской конференции, Пермь - Екатеринбург - Екатеринбург: УрО РАН, 2008. - С. 31.

27. Голованов, А. И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. I. Кинематика и вариационные уравнения / А. И. Голованов, Ю. Г. Коноплев, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2008. -Т. 150, кн. 1. - С. 29-37.

28. Голованов, А. И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. III. Постановки задачи и алгоритмы решения / А. И. Голованов, Ю. Г. Коноплев, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2009. -Т. 151, кн. 3. - С. 108-120.

29. Голованов, А. И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. IV. Конечноэлементная реализация. Примеры решения задач / А. И. Голованов, Ю. Г. Коноплев, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2010. -Т. 152, кн. 4. - С. 115-126.

30. Голованов, А. И. Численное моделирование больших деформаций упругопластичеких тел в терминах логарифмов главных удлинений / А. И. Голованов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. -Т. 4, № 1. - С. 25-35.

31. Голованов, А. И. Конечно-элементное моделирование больших деформаций гиперупругих тел в терминах главных удлинений / А. И. Голованов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. -Т. 2, № 1. - С. 19-37.

32. Голованов, А. И. Математические модели вычислительной нелинейной механики деформируемых сред деформаций / А. И. Голованов, Л. У. Султанов. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. - 465 с.

33. Голованов, А. И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А. И. Голованов, Д. В. Бережной. - Казань: «ДАС» - 2001. -301 с.

34. Голованов, А. И. Программа расчета напряженно-деформируемого состояния конструкций при статических нагрузках / А. И. Голованов, С. А. Малкин, Л. У. Султанов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009611928 от 15.04.2009.

35. Голованов, А. И. Численное исследование больших упругопластических деформаций трехмерных тел деформаций / А. И. Голованов, Л. У. Султанов // Прикладная механика. - Киев. - 2005 - Т. 41, №6 -С. 36-43.

36. Голованов, А. И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. II. Физические соотношения / А. И. Голованов, Ю. Г. Коноплев, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2008. - Т. 150, кн. 3. - С. 122-132.

37. Гольденблат, И. И. Нелинейные проблемы теории упругости / И. И. Гольденблат. - М.: Наука, 1969. - 156 с.

38. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс. - М.: Мир, 1965. - 455 с.

39. Гузь, А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел / А.Н. Гузь. - Киев: Вища школа, 1986. - 511 с.

40. Давыдов, Р. Л. Алгоритм расчета больших упругопластических деформаций трехмерных тел / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М.: ООО «ТР-принт», 2013. - С. 79-80.

41. Давыдов, Р. Л. Алгоритм расчета больших упругопластических деформаций МКЭ / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов (Казань, 20-24 августа 2015 г.). - Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета, 2015. - С. 1134-1135.

42. Давыдов, Р. Л. Алгоритм расчета упругопластических деформаций МКЭ / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Материалы XXI Международного

симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М.: OOO «ТР-принт», 2015. - С. 68-70.

43. Давыдов, Р. Л. Алгоритм расчета упругопластических тел с учетом больших деформаций / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Материалы Х Международной конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 24-29 сентября 2014 г. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - С. 253-259.

44. Давыдов, Р. Л. Конечно-элементный алгоритм исследования больших упругопластических деформаций / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2013), 22-13 мая 2013 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2013. -С. 324-326.

45. Давыдов, Р. Л. Конечно-элементный алгоритм исследования больших упруго - пластических деформаций [Электронный ресурс] / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Обратные краевые задачи и их приложения: материалы Всерос. конф., посв. 100-летию М.Т. Нужина (г. Казань, 20-24 октября, 2014 г.): (тексто-графические материалы). - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).

46. Давыдов, Р. Л. Решение задачи о больших упругопластических деформациях методом конечных элементов / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4. - C. 17-25.

47. Давыдов, Р. Л. Численное исследование конечных упругопластических деформаций / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 18-22 февраля 2013 г. Тезисы докладов. Пермь - Екатеринбург, 2013. - ООО «Печатный салон «Гармония», 2013. -С. 107.

48. Давыдов, Р. Л. Численное моделирование конечных упругопластических деформаций / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов, И. Р. Гарифуллин // Математическое и компьютерное моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Тезисы докладов XXVI Международной конференции. - 2015. - С. 125-126.

49. Давыдов, Р. Л. Численный алгоритм исследования больших упругопластических деформаций / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Инженерно-физический журнал. - 2015. - Т. 88, № 5. - С. 1237-1244.

50. Давыдов, Р. Л. Численный алгоритм решения задачи о больших упругопластических деформациях МКЭ / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2013. - №1. - С. 81-93.

51. Давыдов, Р. Л. Численный алгоритм расчета конечных упруго-пластических деформаций МКЭ / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Материалы XX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (ВМСППС'2015), 24-31 мая 2015 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2015. -С. 244-246.

52. Давыдов, Р. Л. Численный метод расчета упруго-пластического деформирования МКЭ / Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов // Тезисы Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015», посвященной 90-летию со дня рождения академика Гурия Ивановича Марчука. - Новосибирск: Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, 2015. - С. 131.

53. Данилин, А. Н. О параметризации нелинейных уравнений деформирования твердого тела / А. Н. Данилин, В. И. Шалашилин // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2000. - № 1. - С. 82-92.

54. Димитриенко, Ю. И. Нелинейная механика сплошной среды: учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по физико-математическим и машиностроительным специальностям / Ю. И. Димитриенко. - Москва: Физматлит, 2009. - 623 с.

55. Джордж, А. Численное решение больших разряженных систем уравнений / А. Джордж, Дж. Лю. - М.: Мир, 1984. - 333 с.

56. Елисеев, В. В. Механика упругих тел / В. В. Елисеев. - С. - Петербург: СПбГТУ, 1999. -341 с.

57. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

58. Зуев, Н. Н. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Н. Н. Зуев, Э. Н. Князев, А. Б. Костриченко, В. И. Шалашилин // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 1997. - № 6. - С. 136 - 147.

59. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. - М. МГУ, 1978. - 287 с.

60. Ионов, В. И. Прочность пространственных элементов конструкций. Ч.1. Основы механики сплошных сред / В. И. Ионов, П. М. Огибалов. - М.: Высшая Школа, 1979. - 384 с.

61. Капустин, С. А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций / С. А. Капустин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Горький, 1979. -Вып. 10. - С. 68-80.

62. Коларов, Д. Механика пластических сред / Д. Коларов, А. Балтов, Н. Бончева. - М.: Мир, 1979. - 302 с.

63. Кондауров, В. И. Уравнения релаксационного типа для вязкоупругих сред с конечными деформациями / В. И. Кондауров // Прикладная математика и механика. - 1985. - Т. 49, Вып. 5. - С. 791-800.

64. Кондауров, В. И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями / В. И. Кондауров // Прикладная механика и техническая физика. - 1982. - Т. 23, № 4. - С. 133 - 139.

65. Конюхов, А. В Модель термогиперупругости и ее применение к исследованию потери устойчивости раздуваемых пластин. Часть I / А. В. Конюхов, Ю. Г. Коноплев // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. - 2006. - № 3. - С. 12-16.

66. Конюхов, А. В Модель термогиперупругости и ее применение к исследованию потери устойчивости раздуваемых пластин. Часть II / А. В. Конюхов, Ю. Г. Коноплев // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. - 2006. - № 4. - С. 7-13.

67. Коробейников, С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел / С. Н Коробейников. - Новосибирск. - 2000. - 262 с.

68. Коробейников, С. Н. Оценка эффекта геометрической нелинейности при математическом моделировании тектонических процессов / С. Н. Коробейников, В. В. Ревердатто, О. П. Полянский, В. Г. Свердлова,

A. В. Бабичев // Вычислительные методы и программирование. - 2006. -Т. 7. - С. 278-293.

69. Кузнецова, В. Г. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями / В. Г. Кузнецова, А. А. Роговой // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 1999. -№ 4. - С. 64-76.

70. Кукуджанов, В. Н. Метод расщепления упругопластических уравнений /

B. Н. Кукуджанов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2004. - № 1. - С. 98-108.

71. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - М.: Наука, 1987. - 246 с.

72. Левин, В. А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах / В. А. Левин. - М.: Физматлит, 1999. - 224 с.

73. Левин, В. А. Плоские задачи теории многократного наложения больших деформаций / В. А. Левин, К. А. Зингерман. - М.: Физматлит, 2002. - 272 с.

74. Левитас, В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении / В.И. Левитас. - Киев: Наукова думка, 1987.-232 с.

75. Ли, Упруго - пластическое деформирование при конечных деформациях / Ли // Прикладная механика (Trans ASME). - 1969. - № 1. - С. 1-6.

76. Лурье, А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

77. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

78. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

79. Матченко, Н. М. Теория деформирования разно-сопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения / Н. М. Матченко,

A. А. Трещев. - М. - Тула: РААСН - ТулГУ, 2000. - 149 с.

80. Морозов, Е. М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е. М. Морозов, Г. П. Никишов. - М.: Наука, 1980. - 256 с.

81. Мулюков, В. В. Постановка задачи геометрически нелинейной теории пластичности в терминах отсчетной конфигурации / В. В. Мулюков, П. В. Трусов П. В // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 1997. - № 1. - С. 71-78.

82. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости /

B. В. Новожилов. - М.: Гостехиздат, 1948. - 212 с.

83. Новокшанов, Р. С. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций уравнений / Р. С. Новокшанов, А. А. Роговой // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2002. - № 4. - С. 77-95.

84. Новокшанов, Р. С. О построении эволюционных определяющих уравнений / Р. С. Новокшанов, А. А. Роговой // Математическое моделирование систем и процессов. Сб. научных трудов. - Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2001. - № 9. - С. 103-109.

85. Новокшанов, Р. С. Эволюционные определяющие соотношения для конечных вязкоупругих деформаций уравнений / Р. С. Новокшанов,

A. А. Роговой // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2005. - № 4. - С. 122-140.

86. Оден, Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Д. Оден. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

87. Паймушин, В. Н. Непротиворечивый вариант теории деформации сплошных сред в квадратичном приближении / В. Н. Паймушин,

B. И. Шалашилин // Доклады РАН. - 2004. - Т. 394, № 4. - С. 492-495.

88. Паймушин, В. Н. О соотношениях теории деформаций в квадратичном приближении и проблемы построения уточненных вариантов геометрически нелинейной теории слоистых элементов конструкций / В. Н. Паймушин, В. И. Шалашилин // Прикладная математика и механика. - 2005. - Т. 69, Вып. 5. -С. 861-881.

89. Паймушин, В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа теории тимошенко при произвольных перемещениях и деформациях / В. Н. Паймушин // Прикладная механика и техническая физика. - 2014. -Т. 55. - № 5 (327). - С. 135-149.

90. Пальмов, В.А. Разложение конечной упругопластической деформации на упругую и пластическую составляющие / В. А. Пальмов, Е. Штайн //

Математическое моделирование систем и процессов. Сб. научных трудов. - Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2001. - № 9. - С. 110-126.

91. Пальмов, И. А. Колебания упруго - пластических тел / И. А. Пальмов. -М.: Наука, 1976. - 328 с.

92. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии: Пер. с англ / П. Панагиотопулос. - М.: Мир, 1989. - 494.

93. Панов, А. Д. Теория определяющих соотношений при деформировании изотропного твердого тела / А. Д. Панов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2004. - № 6. - С. 27-44.

94. Писаренко, Г. С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести Справочное пособие / Г. С. Писаренко, Н. С. Можаровский. -Киев: Наук. Думка, 1981. - 496 с.

95. Победря, Б. Е. Варианты моделирования в механике деформируемого тела / Б. Е. Победря // «Фундаментальные и прикладные вопросы механики». Сб. докл. Междун. науч. конф. - Хабаровск: ХГТУ, 2003. - Т. 1. - С. 20-30.

96. Победря, Б. Е. Модели механики сплошной среды / Б. Е. Победря // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2000. -№ 3. - С. 47-59.

97. Победря, Б. Е. Основы механики сплошной среды / Б. Е. Победря, Д. В. Георгиевский. - М.: Физматлит - 2006. - 272 с.

98. Победря, Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б. Е. Победря. - М.: МГУ, 1981. - 344 с.

99. Поздеев, А. А. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритм, приложения / А. А. Поздеев, П. В. Трусов, Ю. И. Няшин. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

100. Работягов, Д. Д. Механика материалов при больших деформациях / Д. Д. Работягов. - Кишинев: «Штиинца», 1975. - 168 с.

101. Роговой, А. А. Кинематика упруго - неупругого процесса при конечных деформациях / А. А. Роговой // Прикладная механика и техническая физика. - 2008. - Т. 49, № 5. - С. 165-172.

102. Роговой, А. А. Определяющие соотношения для конечных упруго -неупругих деформаций / А. А. Роговой // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 138-149.

103. Роговой, А. А. Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях / А. А. Роговой // Прикладная механика и техническая физика. - 2007. - Т. 48, № 4. - С. 144-153.

104. Сагдатуллин, М. К. Программа расчета напряженно-деформируемого состояния тонкостенных конструкций при статических нагрузках / М. К. Сагдатуллин, Л. У. Султанов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011614164 от 27.05.2011.

105. Сахаров, А. С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. В. Киричевский, Н. Альтенбах, У. Габберт, Ю. Данкерт, Х. Кеплер, З. Кочык. - Киев: Вища школа, 1982. -480 с.

106. Седов, Л. И. Введение в механику сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Физматгиз, 1962. - 284 с.

107. Седов, Л. И. Механика сплошной среды Т. 1 / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1973. - 536 с.

108. Седов, Л. И. Механика сплошной среды Т. 2 / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1973. - 584 с.

109. Султанов, Л. У. Исследование конечных упругопластических деформаций: алгоритм решения, численные примеры / Л. У. Султанов // Ученые записки

Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2017. -Т. 159, кн. 4. - С. 509-517.

110. Султанов, Л. У. Исследование конечных упругопластических деформаций при мультипликативном разложении градиента деформаций / Л. У. Султанов // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011), 25-31 мая 2011 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 420-421.

111. Султанов, Л. У. Исследование конечных упругопластических деформаций методом конечных элементов / Л. У. Султанов, Р. Л. Давыдов // Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№Ш'2012), 25-31 мая 2012 г., Алушта. - М: Изд-во МАИ, 2012. -С. 432-433.

112. Султанов, Л. У. Исследование конечных упругопластических деформаций методом конечных элементов / Л. У. Султанов, Р. Л. Давыдов // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Девятой Всероссийской конференции. - Казань: Отечество, 2012. - С. 346-348.

113. Султанов, Л. У. Исследование упругопластических трехмерных тел МКЭ / Л. У. Султанов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - №4 (4). - С. 1797-1798.

114. Султанов, Л. У. Математическое моделирование нелинейных деформаций трехмерных тел / Л. У. Султанов, Р. Л. Давыдов, А. И. Абдрахманова // Тезисы докладов региональной научно-практической конференции «Развитие региональных научных исследований в рамках взаимодействия Российского фонда фундаментальных исследований и Академии наук Республики Татарстан, посвященной 25-летию образования Академии наук Республики Татарстан» - 28-30 сентября 2016 г., Казань. - Казань: Изд-во «ФЭН» АН РТ, 2016. - С. 161-163.

115. Султанов, Л. У. Методика исследования конечных упругопластических деформаций / Л. У. Султанов, Р. Л. Давыдов // XIX Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 24-27 февраля 2015 г. Тезисы докладов. - Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2015. - С. 313.

116. Султанов, Л. У. Численное исследование упругопластических трехмерных тел МКЭ / Л. У. Султанов // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь, 28 февраля-3 марта 2011 г. - Пермь: ООО «Печатный салон «Гармония», 2011. - С. 305.

117. Султанов, Л. У. Алгоритм расчета нелинейно упругих тел МКЭ / Л. У. Султанов // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XXIV Международной конференции. Санкт-Петербург 28-30 сентября. - Санкт-Петербург, 2011 - С. 116-117.

118. Султанов, Л. У. Исследование гиперупругих тел с использованием левого тензора Коши - Грина МКЭ / Л. У. Султанов // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. -М.: ООО «ТР-принт», 2011. - Т. 1. - С. 182-184.

119. Султанов, Л. У. Исследование конечных упругопластических деформаций. Кинематика среды и определяющие соотношения / Л. У. Султанов // Ученые записки Казанского университета. Серия физико-математические науки. - 2015. - Т. 157, кн. 4. - С. 158-165.

120. Султанов, Л. У. Методика исследования конечных упругопластических деформаций / Л. У. Султанов // XX Зимняя школа по механике сплошных сред Пермь, 13-16 февраля 2017 г. Тезисы докладов. - Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2017. - С. 328.

121. Султанов, Л. У. Расчет гиперупругих тел с использованием левого тензора Коши-Грина МКЭ / Л. У. Султанов // Материалы XVIII Международного

симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.- М.: ООО «ТР-принт»,

2012. - Т. 1. - С. 167-169.

122. Султанов, Л. У. Численное исследование больших деформаций методом конечных элементов / Л. У. Султанов, Р. Л. Давыдов // Инженерно-строительный журнал - 2013. - № 9 (44). - С. 64-68.

123. Султанов, Л. У. Численное исследование больших упругопластических деформаций на основе мультипликативного разложения / Л. У. Султанов, А. И. Голованов // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XIV международной конференции, гг. Ростов-на-Дону, Азов, 19-24 июня 2010 г. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. - С. 80.

124. Султанов, Л. У. Численное исследование гиперупругих материалов / Л.У. Султанов, Л. Р. Фахрутдинов // Инженерно-строительный журнал. -

2013. - № 9 (44). - С. 69-74.

125. Султанов, Л. У. Численное исследование гиперупругих материалов / Л. У. Султанов, Л. Р. Фахрутдинов // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XXV Международной конференции. Санкт-Петербург 23-26 сентября 2013 г. - Санкт-Петербург: СПбГУ. - 2013. - С. 206-208.

126. Султанов, Л. У. Численное исследование гиперупругих тел в физически нелинейной постановке с использованием левого тензора Коши - Грина / Л. У. Султанов // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй международной конференции. Казань, 8-11 декабря 2009 г. / науч. ред. С. А. Кузнецов - Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. - С. 378-381.

127. Султанов, Л. У. Численное исследование нелинейных деформаций тел при их контактном взаимодействии / Л. У. Султанов, А. И. Абдрахманова //

Тезисы докладов научно-технической конференции по итогам совместного конкурса фундаментальных исследований РФФИ-РТ. - Казань, Изд-во ФЭН АН РТ, 2017. - С. 74.

128. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

129. Трусов, П. В. Теория определяющих соотношений. Ч. I. Общая теория / П. В. Трусов, И. Э Кэллер. - Пермь: ПГТУ, 2006. - 173 с.

130. Трусов, П. В. Теория определяющих соотношений. Ч. II. Теория пластичности / П. В. Трусов, А. И. Швейкин. - Пермь: ПГТУ, 2008. - 243 с.

131. Уилкинс, М. Л. Расчет упругопластических течений / М. Л. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212 - 263.

132. Фадеев, А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике / А. Б. Фадеев. -М.: Недра, 1987. - 221 с.

133. Фахрутдинов, Л. Р. Численное моделирование деформаций гиперупругих тел / Л. Р. Фахрутдинов, Л. У. Султанов // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов (Казань, 20-24 августа 2015 г.). - Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета, 2015. -С. 3884-3886.

134. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - М.: Гостехиздат. - 1956. - 407 с.

135. Черных, К. Ф. Теория больших упругих деформаций / К. Ф. Черных, З. Н. Литвиненкова. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1988. - 256 с.

136. Черных, К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К. Ф. Черных. - Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.

137. Чернышов, А. Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях / А. Д. Чернышов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2000. - № 1. - С. 120-128.

138. Чернышов, А. Д. Простые определяющие уравнения для упругой среды при конечных деформациях / А. Д. Чернышов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 1993. - № 1. - С. 75-81.

139. Шалашилин, В. И. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике / В. И. Шалашилин, Е. Б. Кузнецов. - М.: Эдитореал УРСС, 1999. - 224 с.

140. Шалашилин, В. И. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных статических задачах решаемых методом конечных элементов /

B. И. Шалашилин, А. В. Костриченко, Э. Н. Князев, Н. Н. Зуев // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. - 1997. - № 4. -

C. 18-24.

141. Abdrakhmanova, A. I. Numerical modelling of finite deformations with contact interaction / A. I. Abdrakhmanova, L. U. Sultanov // XXVII International conference «Mathematical and computer simulation in mechanics of solids and structures - MCM 2017» fundamentals of static and dynamic fracture. Book of Abstracts. - St. Petersburg: VVM Publishing Ltd, 2017. - P. 16.

142. Abdrakhmanova, A. I. Method of investigation of deformations of solids of incompressible materials / A. I. Abdrakhmanova, I. R. Garifullin, L. U. Sultanov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2016. -Vol. 158 (1). - 012001.

143. Abdrakhmanova, A. I. Numerical modelling of deformation of hyperelastic incompressible solids / A. I. Abdarkhmanova, L. U. Sultanov // Materials Physics and Mechanics. - 2016. - Vol. 26, No. 1. - P.30-32.

144. Anand, L. A theory of amorphous solids undergoing large deformations, with application to polymeric glasses / L. Anand, L., M. E. Gurtin // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - Vol. 40 - P. 1465-1487.

145. Andrade - Campos A. Numerical analysis of large deformation processes at elevated temperatures / A. Andrade - Campos, L. F. Menezes, F. Teixeira -Dias // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. -Vol. 195. - P. 3947-3959.

146. Armero, F. Energy - dissipative momentum - conserving time - stepping algorithms for finite strain multiplicative plasticity / F. Armero // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. - Vol. 195. -P. 4862-4889.

147. Arruda, E. M. A three - dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials / E. M. Arruda, M. C. Boyce // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1993. - Vol. 41. - P. 389-412.

148. Asghari, M. On the objective corotational rates of Eulerian strain measures / M. Asghari, R. Naghdabadi // Journal of Elasticity. - 2008. - Vol. 90. -P. 175-207.

149. Asghari, M. Stresses conjugate to the Jaumann rate of Eulerian strain measures / M. Asghari, R. Naghdabadi, S. Sohrabpour // Acta Mechanica. - 2007. -Vol. 190. - P. 45-56.

150. Attard, M. M. Hyperelastic constitutive modeling under finite strain / M. M. Attard, G. W. Hunt // International Journal of Solids and Structures. -2004. - Vol. 41. - P. 5327-5350.

151. Auricchio, F. A return-map algorithm for general associative isotropic elasto -plastic materials in large deformation regimes / F. Auricchio, R. L. Taylor // International Journal of Plasticity. - 1999. - Vol. 15. - P. 1359-1378.

152. Auricchio, F. A robust integration-algorithm for a finite-strain shape-memory-alloy superelastic model / F. Auricchio // International Journal of Plasticity. -2001. - Vol. 17. - P. 971-990.

153. Basar, Y. Large inelastic strain analysis by multilayer shell elements / Y. Basar, A. Eckstein // Acta Mechanica. - 2000. - Vol. 141. - P. 225-252.

154. Basar, Y.Constitutive model and finite element formulation for large strain elasto-plastic analysis of shell / Y. Basar, M. Itskov // Computational Mechanics. - 1999. - Vol. 23. - P. 466-481.

155. Bathe, K. J. Finite element procedures in engineering analysis / K. J. Bathe. -Prentice Hall, 1996.

156. Bathe, K.J. Finite element formulations for large deformation dynamic analysis / K. J. Bathe, E. Ramm, E. L. Wilson // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1975. - Vol. 9. - P. 353-386.

157. Belytschko, N. Finite element methods with user - controlled mesh for fluids -structure interaction / N. Belytschko, D. P. Flanagan, J. M. Kennedy // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1982. - Vol. 33. -P. 669-688.

158. Bergander, H. Finite plastic constitutive laws for finite deformations / H. Bergander // Acta Mechanica. - 1995. - Vol. 109. - P. 79-99.

159. Betsch, P. Numerical implementation of multiplicative elasto - plasticity into assumed strain elements with application to shells at large strains / P. Betsch, E. Stein // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1999. -Vol. 179. - P. 215-245.

160. Blatz, P. J. Application of finite element theory to deformation of rubber materials / P. J. Blatz, W. L. Ko // Transactions of The Society of Rheology. -1962. - Vol. 6. - P. 223-251.

161. Bonet, J. Large strain viscoelastic constitutive models / J. Bonet // International Journal of Solids and Structures - 2001. - Vol. 38. - P. 2953-2968.

162. Bonet, J. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis / J. Bonet, R. D. Wood. - Cambridge University Press, 2008. - 340 p.

163. Bonet, J. Simulating superplastic forming / J. Bonet, A. Gil, R. D. Wood, R. Said, R. Vol. Curtis // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. - Vol. 195. - P. 6580-6603.

164. Boria, R. I. Bifurcation of elastoplastic solids to shear band mode at finite strain / R. I. Boria // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2002. - Vol. 191. - P. 5287-5314.

165. Brocker, C. An enhanced concept of rheological models to represent nonlinear thermoviscoplasticity and its energy storage behavior / C. Brocker, A. Matzenmiller // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 2013. -Vol. 25, N 6. - P. 749-778.

166. Bruhns, O. T. A large - strain response of isotropic - hardening elastoplasticity with logarithmic rate: Swift effect in torsion / O. T. Bruhns, H. Xiao, A. Meyers // Archive of Applied Mechanics. - 2001. - Vol. 71. - P. 389-404.

167. Chatti, S. An objective incremental formulation for the solution of anisotropic elastoplastic problems at finite strain / S. Chatti, A. Dogui, P. Dubujet, F. Sidoroff // Communications in Numerical Methods in Engineering. - 2001. -Vol. 17. - P. 845-862.

168. Chen, S. Study on dynamic constitutive relations for concrete with finite deformation / S. Chen, C. Shen, W. Jim // Applied Mathematics and Mechanics. - 2004. - Vol. 25. - P. 1374-1381.

169. Cheng, J. H. An analysis of metal forming processes using large deformation elastic - plastic formulations / J. H. Cheng, N. Kikuchi // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1985. - Vol. 49. - P. 71-108.

170. Coddemi, S. Convergence of the Newton - Raphson algoritm in elastic - plastic incremental analysis / S. Coddemi, J. B. Martin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1991. - Vol. 31. - P. 177-191.

171. Curnier, A. A theory of friction // International Journal of Solids and Structures / A. Curnier. - 1984. - Vol. 20. - P. 637-647.

172. Davydov, R. L. Additive formulation elastoplasticity at finite strain / R. L. Davydov, L. U. Sultanov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2016. - Vol. 158 (1). - 012030.

173. Davydov, R. L. Numerical algorithm of solving the problem of large elastic-plastic deformation by FEM strain / R. L. Davydov, L. U. Sultanov // Sixth International Conference on Nonlinear Mechanics (ICNM-VI). - USA: DEStech Publications, Inc. - 2013 - P. 64-67.

174. Davydov, R. L. Numerical algorithm for investigating large elasto-plastic deformations / R. L. Davydov, L. U. Sultanov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2015. - Vol. 88, No. 5. - P. 1280-1288.

175. Donner, H. A numerical framework for rheological models based on the decomposition of the deformation rate tensor / H. Donner, J. Ihlemann // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. - 2016. - Vol. 16, N 1. -319-320.

176. Eidel, B. Finite Element Analysis of Anisotropic Structures at Large Inelastic Deformations / B. Eidel, F. Gruttmann // Deformation and Failure in Metallic Materials. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2003. - Vol. 10. - P. 51-78.

177. El-Abbasi, N. Stability and patch test performance of contact discretizations and a new solution algorithm / N. El-Abbasi, K. J. Bathe // Computers and Structures. - 2001. - Vol. 79. - P. 1473-1486.

178. Eterovic, A. L. A note on use the additive decomposition of the strain tensor in finite deformation inelasticity / A. L. Eterovic, K. - J. Bathe // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1991. - Vol. 93. - P. 31-38.

179. Eterovic, A. L. A hyperelastic - based large strain elasto - plastic constitutive formulation with combined isotropic - kinematic hardening using the

logarithmic stress and strain measures / A. L. Eterovic, K. - J. Bathe // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1990. -Vol. 30. - P. 1099-1114.

180. Fakhrutdinov, L. R. Numerical investigation of large strains of hyperelastic solids / L. R. Fakhrutdinov, L. U. Sultanov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2016. - Vol. 158 (1). - 012031.

181. Fish, J. Computational aspects of incrementally objective algorithms for large deformation plasticity / J. Fish, K. Shek // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1999. - Vol. 4. - P. 839-851.

182. Fish, J. Finite deformation plasticity based on the additive split of the rate of deformation and hyperelasticity / J. Fish, K. Shek // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2000. - Vol. 190. - P. 75-93.

183. Ghavam, K. Hardening materials modeling in finite elastic - plastic deformations based on the stretch tensor decomposition / K. Ghavam, R. Naghdabadi // Materials & Design. - 2008. - Vol. 29. - P. 161-172.

184. Golovanov, A. Numerical Investigation of Large Elastoplastic Strains of Three-Dimensional Bodies / A. Golovanov, L. Sultanov // International Applied Mechanics. - 2005. - Vol. 41, No. 6. - P. 614-620.

185. Green, A. E. Some remarks on elastic - plastic deformation at finite strain / A. E. Green, P. M. Naghdi // International Journal of Engineering Science. -1971. - Vol. 9. - P. 1219-1229.

186. Green, R. L. A plasticity theory for porous solids / R. L. Green // International Journal of Mechanical Sciences. - 1972. - Vol. 14. - P. 215 - 224.

187. Har, J. A unified stress update algorithm for explicit transient shell dynamics with combined isotropic-kinematic hardening in Eulerian rate-type phenomenological finite elasto-plasticity models / J. Har // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2007. - Vol. 196. - P. 3248-3275.

188. Hartley, P. Numerical simulation of forming process / P. Hartley, I. Pillinger // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2006. -Vol. 195. - P. 6676-6690.

189. Hartmann, S. Polyconvexity of general polynomial-type hyperelastic strain energy functions for near-incompressibility / S. Hartmann, P. Neff // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - Vol. 40. -P. 2767-2791.

190. Hearly, B. E. A large strain plasticity model for implicit finite element analysis / B. E. Hearly, R. H. Dodds // Computational Mechanics. - 1992. - Vol. 9. -P. 95-112.

191. Helm, D. Stress computation in finite thermoviscoplasticity / D. Helm // International Journal of Plasticity. - 2006. - Vol. 22. - P. 1699-1721.

192. Hughes, T. J. R. Finite rotation effects in numerical integration of rate constitutive equations arising in large-deformation analysis / T. J. R. Hughes, J. Wignet // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1980. - Vol. 15. - P. 1862-1867.

193. Ibrahimbegovic, A. Viscoplasticity model at finite deformations with combined isotropic and kinematic hardening / A. Ibrahimbegovic, L. Chorfi // Computers & Structures - 2000. - Vol. 77. - P. 509-525.

194. Idesman, A. V. Comparison of different isotropic elastoplastic models at finite strains used in numerical analysis / A. V. Idesman // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. - Vol. 192. - P. 4659-4674.

195. Idesman, A. V. Elastoplastic materials with martensitic phase transition and twinning at finite strains: numerical solution with the finite element / A. V. Idesman , V. I. Levitas , E. Stein // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1999. - Vol. 173. - P. 71-98.

196. Idesman, A. V. Finite element procedure for solving contact thermoelastoplastic problems at large strains, normal and high pressures / A. V. Idesman,

V. I. Levitas // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1995. - Vol. 126. - P. 39-66.

197. Itskov, M. On the application of the additive decomposition of generalized strain measures in large strain plasticity / M. Itskov // Mechanics Research Communications - 2004. - Vol. 31. - P. 507-517.

198. Jin, H. On the use of the boundary dement method for elastic - plastic large deformation problems / H. Jin, K. Mattiasson, A. Runesson // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1988. - Vol. 25. - P. 165-176.

199. Johlitz, M. Dissipative heating of elastomers: a new modelling approach based on finite and coupled thermomechanics / M. Johlitz , B. Dippel, A. Lion // Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 2016. - Vol. 28, No. 4. -P. 1111-1125.

200. Johnson, K. L. Contact mechanics / K. L. Johnson. - Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.

201. Kanok - Nukulchai, W. Element-based Lagrangian formulation for large-deformation analysis / W. Kanok - Nukulchai, W. K. Wong // Computers & Structures. - 1988. - Vol. 30. - P. 967-974.

202. Karamanou, M. Computational modeling of thermoforming processes in the case of finite viscoelastic materials / M. Karamanou, M. K. Warby, J. R. Whiteman // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2006. - Vol. 195. - P. 5520-5238.

203. Key, W. S. On the numerical implementation of inelastic time depend and time independent, finite strain constitutive equations is structural mechanics / W. S. Key, R. D. Krieg // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1982. - Vol. 33. - P. 439-452.

204. Khoei, A. A single cone - cap plasticity with an isotropic hardening rule for powder materials / A. Khoei, A. Azami // International Journal of Mechanical Sciences. - 2003. - Vol. 47. - P. 94-109.

205. Khoei, A. R. An implicit algorithm for hypoelasto-plastic and hypoelasto-viscoplastic endochronic theory in finite strain isotropic-kinematic-hardening model / A. R. Khoei, A. Bakhshiani, M. Modif // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - Vol. 40 - P. 3393-3423.

206. Khoei, A. R. Extended finite element method for three - dimensional large plasticity deformations on arbitrary interfaces / A. R. Khoei, A. Bakhshiani, M. Anahid // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2008. - Vol. 197. - P. 1100-1114.

207. Kikuchi, N. Contact problems in elasticity: a study of variational inequalities and finite element methods / N. Kikuchi, J. T. Oden. - SIAM, 1988.

208. Kim, J. Numerical implementation of a thermo - elastic - plastic constitutive equation in consideration of transformation plasticity in welding / J. Kim, S. Im, H. - G. Kim // International Journal of Plasticity. - 2005. - Vol. 21. -P. 1383-1408.

209. Knoweles, J. K. On the ellipticity of the equations of nonlinear elastostatics for a special material / J. K. Knoweles, E. Sternberg // Journal of Elasticity. - 1975. -Vol. 5. - P. 341-361.

210. Kojic, M. Studies of finite element procedures - stress solution at a closed elastic strain path with stretching and shearing using updated Lagrangian Jaumann formulation / M. Kojic, K. J. Bathe // Computers & Structures -1987. - Vol. 26. - P. 175-179.

211. Konyukhov, A. Introduction to computational contact mechanics: a geometrical approach / A. Konyukhov, R. Izi. - John Wiley & Sons Ltd, 2015. - 302 p.

212. Konyukhov, A. Computational Contact Mechanics - Geometrically Exact Theory for Arbitrary Shaped Bodies. / A. Konyukhov, K. Schweizerhof. -Springer, Heidelberg, New York, Dordrecht, London, 2012. - 443 p.

213. Korobeynikov, S. N. Basis-free expressions for families of objective strain tensors, their rates, and conjugate stress tensors / S. N. Korobeynikov // Acta Mechanica. - 2018. - Vol. 229. - P. 1061-1098.

214. Korobeynikov, S. N. Objective tensor rates and applications in formulation of hyperelastic relations / S. N. Korobeynikov // Journal of Elasticity. - 2008. -Vol. 93. - P. 105-140.

215. Krstulovic-Opara, L. A c1-continuous formulation for 3d finite deformation frictional contact / L. Krstulovic-Opara, P. Wriggers, J. Korelc // Computational Mechanics. - 2002. - Vol. 29. - P. 27-42.

216. Latorre, M. A new class of plastic flow evolution equations for anisotropic multiplicative elastoplasticity based on the notion of a corrector elastic strain rate / M. Latorre, J. M. Francisco // Applied Mathematical Modelling. - 2018. -Vol. 55. - P. 716-740.

217. Laursen, T. A. A continuum-based finite element formulation for the implicit solution of multibody large deformation frictional contact problems / T. A. Laursen, J. C. Simo // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1993. - Vol. 35. - P. 3451-3485.

218. Laursen, T. A. Computational contact and impact mechanics fundamentals of modeling interfacial phenomena in nonlinear finite element analysis / T. A. Laursen. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 2002.

219. Laursen, T. A. Convected description in large deformation frictional contact problems / T. A. Laursen // International Journal of Solids and Structures. -1994. - Vol. 31. - P. 669-681.

220. Lee, E. Elastic-plastic deformation at finite strains / E. Lee // Journal of Applied Mechanics. - 1969. - Vol. 36. -P. 1-6.

221. Lee, J. D. A large-strain elastic-plastic finite element analysis of rolling process / J. D. Lee // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1998. - Vol. 161. - P. 315-347.

222. Levinson, M. A comparison of some constitutive relation for slightly compressible rubber - like materials / M. Levinson, L. W. Burgess // International Journal of Mechanical Sciences. - 1971. - Vol. 13. - P. 563-572.

223. Lin, R. C. Numerical study of consistency of rate constitutive equations with elasticity at finite deformation / R. C. Lin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2002. - Vol. 55, No 9. - P. 1053-1077.

224. Lion, A. Constitutive modelling in finite thermoviscoplasticity: a physical approach based on nonlinear rheological elements / A. Lion // International Journal of Plasticity. - 2000. - Vol. 16. - P. 469-494.

225. Liu, C. H. Large strain finite element analysis of sand: model, algorithm and application to numerical simulation of tire-sand interaction / C. H. Liu, J. Y. Wong, H. A. Mang // Computers & Structures. - 2000. - Vol. 74. -P. 253 - 265.

226. Lubarda, V. A. Duality in constitutive formulation of finite - strain elastoplasticity based on F = FeFp and F = FpFe decompositions /

V. A. Lubarda // International Journal of Plasticity. - 1999. - Vol. 15. -P. 277-1290.

227. Lubarda, V. A. On the partitioning of rate of deformation gradient in phenomenological plasticity / V. A. Lubarda, D. J. Benson // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - Vol. 38. - P. 6805-6814.

228. Lubliner, J. A maximum - dissipation principle in general plasticity / J. Lubliner // Acta Mechanica. - 1984. - Vol. 52. - P. 225-237.

229. Lugt, J. Thermal mechanically couple finite element analysis in metal - forming processes / J. Lugt, J. Hietink // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1986. - Vol. 54. - P. 145-160.

230. Maniatty, A.M. Higher order stabilized finite element method for hyperelastic finite deformation / A. M. Maniatty, Y. Liu, O. Klaas, M. Shephard // Computer

Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2002. - Vol. 191. -P. 1491-1503.

231. Marsden, J. E. Mathematical foundations of elasticity / J. E. Marsden, T. J. R. Hughes. - New York: Dover, 1994.

232. McMeeking, R. Finite - element formulations for problems of large strain plastic deformation / R. McMeeking, J. R. Rice // International Journal of Solids and Structures. - 1975. - Vol. 11. - P. 601-616.

233. Meng, X. N. Energy consistent algorithms for dynamic finite deformation plasticity / X. N. Meng, T. A. Laursen // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2002. - Vol. 191. - P. 1639-1675.

234. Menzel, A. Relations between material, intermediate and spatial generalized strain measures for anisotropic multiplicative inelasticity / A. Menzel // Acta Mechanica. - 2006. - Vol. 182. - P. 231-252.

235. Messonnier, F. T. Finite element implementation of a generalized non - local rate - dependent crystallographic formulation for finite strains / F. T. Messonnier, E. P. Busso, N. P. Down // International Journal of Plasticity. - 2001. - Vol. 17. - P. 601-640.

236. Meyers, A. Some comments on objective rates of symmetric Eulerian tensors with application to Eulerian strain rates / A. Meyers, P. Schievbe, O. T. Bruhns // Acta Mechanica. - 2000. - Vol. 139, No 1. - P. 91-103.

237. Michael, A. A segment-to-segment mortar contact method for quadratic elements and large deformations / A. Michael, Puso, T. A. Laursen, Solberg Jerome // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -Vol. 197, No. 6-8. - 2008. - P. 555-566.

238. Miehe, C. Anisotropic additive plasticity in the logarithmic strain space: modular kinematic formulation and implementation based on incremental minimization principles for standard materials / C. Miehe, N. Apel,

M. Lambrecht // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2002. - Vol. 191. - P. 5383-5425.

239. Miehe, C. Entropic thermoelasticity at finite strain. Aspects of the formulation and numerical implementation / C. Miehe // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1995. - Vol. 120. - P. 243-269.

240. Miehe, C. A theory of large-strain isotropic thermoplasticity based on metric transformation tensors / C. Miehe // Archive of Applied Mechanics. - 1995. -Vol. 66, No. 1. - P. 45-64.

241. Moran, B. Formulation of implicit finite element methods for multiplicative finite deformation plasticity / B. Moran, M. Ortiz, C. F. Shih // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1990. - Vol. 29. - P. 483-515.

242. Nactegaal, J. C. On the development of a general purpose finite element program for analysis of forming processes / J. C. Nactegaal, N. Rebelo // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1988. -Vol. 25. - P. 113-131.

243. Nactegaal, J. C. Some computational aspect of elastic - plastic large strain analysis / J. C. Nactegaal, J. E. De Long // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1981. - Vol. 17. - P. 15-41.

244. Naghdi, P. M. A critical review of the state of finite plasticity / P. M. Naghdi // Journal of Applied Physics. - 1990. - Vol. 41. - P. 315-394.

245. Neto, D.M. Surface Smoothing Procedures in Computational Contact Mechanics / D.M. Neto, M. C. Oliveira, L.F. Menezes // Archives of Computational Methods in Engineering. - 2017. - Vol. 24. - N 1. - P. 37-87.

246. Norris, D. M. A computer simulation of the tension test / D. M. Norris, B. Moran, J. K. Scudder, D. F. Quinones // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1978. - Vol. 26. - P. 1-19.

247. Padmanabhan, V. A framework for development of surface smoothing procedures in large deformation frictional contact analysis / V. Padmanabhan,

T. A. Laursen // Finite Elements in Analysis and Design. - 2001. - Vol. 37. -P. 173-198.

248. Parisch, H. A consistent tangent stiffness matrix for three-dimensional nonlinear contact analysis / H. A. Parisch // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1989. - Vol. 28. - P. 1803-1812.

249. Parisch, H. A formulation of arbitrarily shaped surface elements for threedimensional large deformation contact with friction / H. Parisch, Ch. Luebbing // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1997. - Vol. 40. - P. 3313-3324.

250. Penn, R. W. Volume changes accompanying the extension of rubber / R. W. Penn // Transactions of The Society of Rheology. - 1970. - Vol. 14. -P. 509-517.

251. Peterson, A. On finite element analysis of geometrically nonlinear problems / A. Peterson, H. Peterson // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1985. - Vol. 51. - P. 277-286.

252. Ponthot, J. P. A Method to Reduce Cost of Mesh Deformation in Eulerian-Lagrangian Formulation / J. P. Ponthot // Modelling of Metal Forming Processes. - 1988 - P. 65-74.

253. Ponthot, J. P. Unified stress update algorithms for the numerical simulation of large deformation elasto-plastic and elasto-viscoplastic processes / J. P. Ponthot // International Journal of Plasticity. - 2002. - Vol. 18. - P. 91-126.

254. Puso, M. A. A 3D contact smoothing method using Gregory patches / M. A. Puso, T. A. Laursen // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2002. - Vol. 54. - P. 1161-1194.

255. Puso, M. A. A mortar segment-to-segment contact method for large deformation solid mechanics / M. A. Puso, T. A. Laursen // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2004. - Vol. 193. - P. 601-629.

256. Rogovoy, A. Effect of elastomer slight compressibility / A. Rogovoy // European Journal of Mechanics - A/Solids. - 2001. - Vol. 20. - P. 757-775.

257. Rouainia, M. An implicit constitutive algorithm for finite strain Cam - clay elasto - plastic model / M. Rouainia, D. M. Wood // Mechanics Of Cohesive -Frictional Materials. - 2000. - Vol. 5. - P. 469-489.

258. Sansour, C. On theory and numeric of viscoplastic deformation / C. Sansour, F. G. Kollmann // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1999. - Vol. 146. - P. 351-369.

259. Sansour, C., Wagner W. A model of finite strain viscoplasticity based on unified constitutive equations. Theoretical and computational considerations with applications to shells / C. Sansour, W. Wagner // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2001. - Vol. 191. - P. 423-450.

260. Schröder, J. A simple orthotropic finite elasto-plasticity model based on generalized stress-strain measures / J. Schröder, F. Gruttmann, J. Loblein // Computational Mechanics. - 2002. - Vol. 30, N. 1. - P. 48-64.

261. Schüler, T. Nonlinear modeling and computational homogenization of asphalt concrete on the basis of XRCT scans / T. Schüler, R. Jänicke, H. Steeb // Construction and Building Materials. - 2016. - Vol. 109. - P. 96-108.

262. Shen, L. - J. Constitutive relations for isotropic or kinematic hardening at finite elastic-plastic deformations / L. - .J. Shen // International Journal of Solids and Structures. - 2006. - Vol. 43. - P. 5613-5627.

263. Shutov, A. V. Analysis of some basic approaches to finite strain elasto-plasticity in view of reference change / A. V. Shutov, J. Ihlemann // International Journal of Plasticity. - 2014. - Vol. 63. - P. 183-197.

264. Shutov, A. V. A phenomenological model of finite strain viscoplasticity with distortionalhardening / A. V. Shutov, S. Panhans, R. Kreißig // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. - 2011. - Vol. 91, N. 8. - P. 653-680.

265. Shutov, A. V. Ductile damage model for metal forming simulations including refined description of void nucleation / A. V. Shutov, C. B Silbermann, J. Ihlemann // International Journal of Plasticity. - 2015. - Vol. 71. -P. 195-217.

266. Shutov, A. V. Efficient implicit integration for finite-strain viscoplasticity with a nested multiplicative split / A. V. Shutov // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2016. - Vol. 306. -P. 151-174.

267. Shutov, A. V. Efficient time stepping for the multiplicative Maxwell fluid including the Mooney-Rivlin hyperelasticity / A. V. Shutov // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2017. - Vol. 113, N. 12. -P. 1851-1869.

268. Shutov, A. V. Finite strain viscoplasticity with nonlinear kinematic hardening: Phenomenological modeling and time integration / A. V. Shutov, R. Kreißig // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2008. - Vol. 197. - P. 2015-2029.

269. Shutov, A. V. Modelling of cyclic creep in the finite strain range using a nested split of the deformation gradient / A. V. Shutov, A. Yu. Larichkin, V. A. Shutov // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. - 2017. - Vol. 97, N. 9. - P. 1083-1099.

270. Shutov, A. V. On the simulation of plastic forming under consideration of thermal effects / A. V. Shutov, J. Ihlemann // Materialwissenschaft und Werkstofftecnhik. - 2011. - Vol. 42, N. 7. - P. 632-638.

271. Silbermann, C. B. Modeling the evolution of dislocation populations under nonproportional loading / C. B Silbermann, A. V. Shutov, J. Ihlemann // International Journal of Plasticity. - 2014. - Vol. 55. - P. 58-79.

272. Simo, J. S. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: Part I. Continuum

formulation / J. S. Simo // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1988. - Vol. 66, No. 2. - P. 199-219.

273. Simo, J. S. A framework for finite strain elastoplasticity based on maximum plastic dissipation and the multiplicative decomposition: Part II. Computational aspects / J. S. Simo // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1988. - Vol. 68. - P. 1-31.

274. Simo, J. S. A new class of algorithms for classical plasticity extended to finite strains. Application to geomaterials / J. S. Simo, G. Meschke // Computational Mechanics. - 1993. - Vol. 11. - P. 253-278.

275. Simo, J. S. A unified approach to finite deformation elastoplastic analysis lased on the use of hyperelastic constitutive equations / J. S. Simo, M. Ortiz // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1985. - Vol. 49. -P. 221-245.

276. Simo, J. S. Algorithm for static and dynamic multiplicative plasticity that preserve the classical return mapping schemes of the infinitesimal theory / J. S. Simo // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1992. - Vol. 99. - P. 61-112.

277. Simo, J. S. An augmented lagrangian treatment of contact problems involving friction / J. S. Simo, T. A. Laursen // Computers and Structures. - 1992. -Vol. 42. - P. 97-116.

278. Simo, J. S. Consistent tangent operators for rate - independent elastoplascticity / J. S. Simo, R. L. Taylor // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1985. - Vol. 48. - P. 101-118.

279. Simo, J. S. Non - linear B - stability and symmetry preserving return mapping algorithms for plasticity and viscoplasticity / J. S. Simo, S. Govindjee // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1991. -Vol. 31. - P. 151-176.

280. Simo, J. S. Remarks on rate constitutive equations for finite deformation problems: computational implications / J. S. Simo, K. S. Pister // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1984. - Vol. 46. -P. 201-215.

281. Simo, J. S. Variational and projection methods for the volume constraint in finite deformation elasto - plasticity / J. S. Simo, R. L. Taylor, K. S. Pister // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1985. - Vol. 51. -P. 177-208.

282. Stadler, M. Cn-continuous modeling of smooth contact surfaces using nurbs and application to 2D problems / M. Stadler, G. A. Holzapfel, J. Korelc // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2003. -Vol. 57. - P. 2177-2203.

283. Stein, E. Theory and finite element computation of cyclic martensitic phase transformation at finite strain / E. Stein, G. Sagar // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2007. - Vol. 74. - P. 1-31.

284. Storakers, B. On material representation and constitutive branching in finite compressible elasticity / B. Storakers // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1986. - Vol. 34. - P. 125-145.

285. Sultanov, L. U. Analysis of finite elasto-plastic strains: integration algorithm and numerical examples / L. U. Sultanov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2018. - Vol. 39, N. 9. - P. 1396-1401.

286. Sultanov, L. U. Analysis of finite elasto-plastic strains. Medium kinematics and constitutive equations / L. U. Sultanov // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2016. - Vol. 37, No. 6. - P. 787-793.

287. Sultanov, L. U. Modelling of large deformations of elastoplastic solids using FEM / L. U. Sultanov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2016. - Vol. 158 (1). - 012088.

288. Sultanov, L. U. Numerical modelling of large elastic-plastic deformations / L. U. Sultanov, R. L. Daydov // Proceedings of the 3rd International Conference on Mechanical Engineering and Mechatronics, Prague, Czech Republic, August 14-15. - 2014. - P. 162-1-162-5.

289. Simunovic, S. Frictional contact formulation using quadratic programming / S. Simunovic, S. Saigal // Computational Mechanics. - 1994. - Vol. 15, N 1. -P. 173-187.

290. Taylor, L. M. Some computational aspect of large deformation, rate - dependent plasticity problems / L. M. Taylor, E. B. Becher // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1983. - Vol. 41. - P. 251-277.

291. Tham, C. L. An elasto - plastic damage model cast in a co - rotational kinematic framework for large deformation analysis / C. L. Tham, Z. Zhang, A. Masud // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2005. -Vol. 194. - P. 2641 - 2660.

292. Tugeu, P. Effect of elastic stiffness on metal forming plasticity / P. Tugeu // Acta Mechanica. - 1991. - Vol. 90. - P. 43-51.

293. Tvergaard, V. Effect of large elastic strain on cavitations instability prediction for elastic - plastic solids / V. Tvergaard // International Journal of Solids and Structures. - 1999. - Vol. 36. - P. 5453-5466.

294. Vladimirov, I. N. On the modelling of non-linear kinematic hardening at finite strains with application to springback - Comparison of time integration algorithms / I. N. Vladimirov, M. P. Pietryga, S. Reese // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2008. - Vol. 75. - P. 1-28.

295. Vujosevic, L. Finite strain thermoelasticity based on multiplicative decomposition of deformation gradient / L. Vujosevic, V. A. Lubarda // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. - 2002. - Vol. 28 - 29. - P. 379-399.

296. Weyler, R. On the contact domain method: A comparison of penalty and Lagrange multiplier implementations / R. Weyler, J. Oliver, T. Sain, J. C. Cante

// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2012. -Vol. 205-208. - 68-82.

297. Weinberg, K. A variational constitutive model for porous metal plasticity / K. Weinberg, A. Mota, M. Ortiz // Computational Mechanics. - 2006. -Vol. 37. - P. 142-152.

298. Wieckowski, Z. The material point method in large strain engineering problems / Z. Wieckowski // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -2004. - Vol. 193. - P. 4417-4438.

299. Wriggers, P. A note on tangent stiffness for fully nonlinear contact problems / P. Wriggers, J. C. Simo // Communications in Applied Numerical Methods. -1985. - Vol. 1. - P. 199-203.

300. Wriggers, P. Computational contact mechanics / P. Wriggers. - John Wiley and Sons, 2002. - 464 p.

301. Wriggers, P. Finite element algorithms for contact problems / P. Wriggers // Archives of Computational Methods in Engineering. - 1995. - Vol. 24. -P. 1-49.

302. Wriggers, P. Finite element formulation of large deformation impact-contact problem with friction / P. Wriggers, V. Van, E. Stein // Computers and Structures. - 1990. - Vol. 37. - P. 319-331.

303. Wriggers, P. Nonlinear Finite Element Methods / P. Wriggers. - Springer Science & Business Media, 2008. - 560 p.

304. Wriggers, P. Smooth c1-interpolations for two-dimensional frictional contact problem / P. Wriggers, L. Krstulovic-Opara, J. Korelc // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2001. -Vol. 51. -P. 1469-1495.

305. Xia, Z. A stress rate measure for finite elastic plastic deformations / Z. Xia, F. Ellyin // Acta Mechanica. - 1993. - Vol. 98. - P. 1-14.

306. Xiao, H. A consistent finite elastoplasticity theory combining additive and multiplicative decomposition of the stretching and deformation gradient /

H. Xiao, O. T. Bruhns, A. Meyers // International Journal of Plasticity. - 2000. -Vol. 16. - P. 143 -177.

307. Xiao, H. On objective co - rototional rate and their defining spin tensors / H. Xiao, O. T. Bruhns, A. Meyers // International Journal of Solids and Structures. - 1998. - Vol. 35. - P. 4001-4014.

308. Yamada, Y. Nonlinear matrices, their implication and applications in inelastic large deformation analysis / Y. Yamada // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1982. - Vol. 33. - P. 417-437.

309. Yang, B. A large deformation mortar formulation of self contact with finite sliding / B. Yang, T. A. Laursen, X. Meng // Comput Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2008. - 197. - P. 756-772.

310. Yang, B. Two dimensional mortar contact methods for large deformation frictional sliding / B. Yang, T. A. Laursen, X. Meng // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2005. - Vol. 62. - P. 1183-225.

311. Yeoh, O. H. Some forms of strain energy function for rubber / O. H. Yeoh // Rubber Chemistry and Technology. - 1994. - Vol. 66. - P. 754-771.

312. Zavarise, G. The shifted penalty method / G. Zavarise // Computational Mechanics 2015. - Vol. 56, N 1. - PP. 1-17.

313. Zavarise, G. A modified node-to-segment algorithm passing the contact patch test / G. Zavarise, L. Lorenzis // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2009. - Vol. 79. - PP. 379-416.

314. Zhong, Z. H. Finite element procedures for contact-impact problems / Z. H. Zhong. - Oxford: Oxford University, 1993.

315. Zienkievicz, O. Finite element method. Fifth edition. Volume 2: Solid mechanics / O. Zienkievicz, R. L. Taylor. - Butterworth - Heinemann. -2000. - 459 p.