Нелинейное деформирование взаимодействующих упруговязкопластических элементов конструкций и сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Сюй Инцянь

• Сюй Инцянь
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Сюй Инцянь

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. Постановка трехмерной неизотермической задачи нелинейного

деформирования упруговязкопластических тел

1.2. Конечно-элементная дискретизация

1.3. Моделирование механического контакта

1.4. Контактные конечные элементы

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МЕЖДУ СОБОЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

2.1. Упруговязкопластический расчет фрикционного разъема

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Результаты расчета

2.1.3. Анализ результатов и выводы

2.2. Исследование напряженно-деформированного состояния в

супермаховиках

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Вычисление напряжений в супермаховике, выполненном с натягом слоев

2.2.3. Расчет с учетом предварительного упругопластического деформирования

2.2.4. Анализ результатов и выводы

2.3. Исследование процессов деформирования фиттинг-соединения

2.3.1. Постановка задачи

2.3.2. Результаты расчета

2.3.2. Анализ результатов и выводы

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ РАСПОЛОЖЕННЫХ В ГРУНТЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОМЫШЛЕННЫХ И ТРАНСПОРТНЫХ СООРУЖЕНИЙ

3.1. Моделирование упругопластического деформирования грунтов

3.2. Постановка задачи термоупругости

3.3. Расчет напряженно-деформированного состояния в обделке тоннеля при термосиловом нагружении

3.3.1. Оценка изменения растягивающих напряжений в обделке тоннеля при различных перепадах температуры снаружи тоннеля и на его внутренней поверхности обделки

3.3.2. Оценка влияния эксцентриситета в расположении пути на растягивающие напряжения в бетоне при движении состава поезда

3.3.3. Оценка влияния параметров зоны химического закрепления тоннеля на изменение растягивающих напряжений в обделке тоннеля

при нагружении расчетной области собственным весом

3.3.4. Напряжения в обделке тоннеля при совместном влиянии температурных воздействий, собственного веса окружающего грунта и веса движущегося состава поезда

3.3.5. Анализ результатов и выводы

3.4. Расчет осадок в зоне тоннеля метрополитена

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное деформирование взаимодействующих упруговязкопластических элементов конструкций и сред»

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы как в России, так и зарубежом во многих отраслях машиностроения, вертолето- и авиастроении, при строительстве дорог, транспотных наземных и подземных сооружений возрастает востребованность в решении ряда нелинейных задач механики деформируемого твердого тела. При решении подобных задач часто становится необходимым учитывать большие деформации и перемещения, моделировать сложнейшие комбинации физико-механических свойств материала, работающего в условиях контактного взаимодействия. Поэтому актуальность разработки и реализации эффективных подходов к решению новых геометрически и физически нелинейных задач на современном этапе развития науки и техники не вызывает никакого сомнения. Сейчас можно очертить обширный круг задач механики деформируемого твердого тела, для которых жизненно необходимо использовать нелинейные соотношения теории упругости.

Основы нелинейной теории упругости были достаточно строго изложены

B.В. Новожиловым в своей монографии [1]. Основополагающие вопросы нелинейной теории упругости затронуты в работах Д. Адкинса [7],

C.В. Бакушева [9], А. Грина и К. Трусделла [8], А.Н. Гузя [4, 5], Л.М. Зубова [11], А.И. Лурье [2, 3], Х.М. Муштари и К.З. Галимова [10], В.Н. Паймушина и В.И. Шалашилина [12], Л.И. Седова [13], Л.А. Толоконникова [6], К.Ф. Черных [14] и многих других исследователей.

Так же можно отметить ряд авторов, занимавшихся вопросами нелинейной механики деформируемого тела и строительной механики И.И. Гольденблатта [19], А.Э. Грина [15, 16], Г. Гриоли [17], А.А. Ильюшина [20], Л.С. Лейбензона [21], А. Надаи [18] и др.

Вопросы теории пластичности подробно изложены в работах таких авторов, как А.А. Гвоздев [29], Д. Друккер [22], А.А. Ильюшин [26], А.Ю. Ишлинский [28], Л.М. Качанов [30], В.В. Соколовский [27], В. Прагер [23], Р. Хилл [24], Ф. Ходж [25] и многих других.

Деформирование физически нелинейного материала в современной литературе описывется при помощи определяющих соотношений [31, 32]. Хорошо известны работы таких ученых, как Р.А. Арутюнян и

A.А. Вакуленко [35], Н.И. Безухов [44], Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк и Г.А. Тюпин [41], И.И. Гольденблат и В.А. Копнов [38], М.И. Ерхов [40],

B.Г. Зубчанинов [39], Д.Д. Ивлев [42, 43], А.Ю. Ишлинский [34], Я.А. Каменярж [45], Р.А. Каюмов, Ф.Р. Шакирзянов и С.С. Гаврюшин [47], Ю.Г. Коротких [36], В.Н. Кукуджанов [37], Ю.В. Немировский и Б.С. Резников [46], В.В. Новожилов и Ю.И. Кадашевич [33], В. Ольшак, З. Мруз и П. Пежина [47], В. Прагер и Ф. Ходж [48], А.М. Проценко [49], И.Г. Терегулов, Р.А. Каюмов и Э.С. Сибгатуллин [50], Шишкин В.М. [51], А.А. Чирас [52] и др.

При решении большинства сложных востребованных практикой задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) большей частью применяют разнообразные численные методы, одним из наиболее востребованныъ из которых является метод конечных элементов (МКЭ) [53, 54]. В последние годы решения большинства нелинейных задач механики основывается на основе МКЭ. Базовые положения метода конечных элементов стали известны благодаря работам ряда зарубежных и отечественных ученых, таких О.К. Зенкевич [57], Д. Норри и Ж. Фриз [56], Дж.Т. Оден [55], В.А. Постнов и И.Я. Хархурим [59], Л.А. Розин [58], И.Ф. Образцов [60], Л. Сегерлинд [53] и многие другие.

Различные аспекты применения конечно-элементной методики расчета были изложены в работах В.Г. Баженова и А.И. Кибеца [67], К. Бате и Е. Вилсона [61], Д.В. Вайнберга, А.С. Городецкого, В.В. Киричевского и

A.С. Сахарова [65], А.И. Голованова и Д.В. Бережного [68], А.И. Голованова и Л.У. Султанова [69], O.K. Зенкевича, С. Валлиапана и И. Кинга [71], С.А. Капустина [70], Е.М. Морозова и Г.П. Никишкова [72], Дж. Одена и Дж. Кей [66], В.А. Постнова [62], А.С. Сахарова, В.В. Киричевского и Г.Г. Завьялова [63], Г. Стренга и Дж. Фикса [64] и многих других.

Для современных инженерных расчетов сейчас предлагается большое количество тщательно разработанных прграммных комплексов, основанных на применении конечно-элементной методики. Некоторые такие комплексы являются узкоспециализированными и приспособлены для решения некоторых специализированных задач. Другие программные комлексы являются мультидискиплинарными. К недостаткам таких комплексов можно отнести их некоторую ограниченность в выборе модели расчета и невозможность учета всех определяющих физических параметров одновременно.

Аналитический подход к решению контактных задач механики деформируемого твердого тела внесли фундаментальные труды Л.А. Галина [76, 77], В.И. Моссаковского [74], В.Л. Рвачева [78], А. Синьорини [75], И.Я. Штаермана [73]. Следует также отметить работы следующих авторов:

B.М. Александрова [83, 84], Ю.П. Артюхина [86], Н.Х. Арутюняна [96], В.А. Бабешко [85], И.И. Воровича [87], Р.В. Гольдштейна [80], А.Г. Горшкова [82], И.Г. Горячевой [89-91], К. Джонсона [94], В.И. Довноровича [81], Е.М. Морозова [93], А.Н. Подгорного [88], Г.Я. Попова [95], М.И. Теплого [92], B.C. Саркисяна [97] В.М. Сеймова [79] и др.

В последние годы широко примененяется конечно-элементный подход к решению контактных задач, описанный в работах [98-104] и многих других, а современное состояние этого вопроса приведено в книгах П. Риггерса [105] и П. Лаурсена [106].

Новые значительные трудности приходится преодолевать исследователям, решающим задачи моделирования процессов взаимодействия деформируемых конструкций и грунтов сложной физической природы [107-116].

Первые решения задач термоупругости были получены М.А. Био [119], Дж. Дюгамелем [117], Х. Зорским [122, 123], В. Ионеску-Каземиром [125], Ф.Е. Нейманом [118], В. Новацким [120, 121], Я.С. Подстригачом [124] и многими другими. Связанным задачам термовязкоупругости посвящены монографии В.Ф. Грибанова и Н.Г. Паничкина [127], В.Г. Карнаухова [126], В.Г. Карнаухова и И.Ф. Киричка [128] и др..

Решения упруговязкопластических задач получали многие авторы, упомянем работы Н.Х. Арутюняна [129-131], Д.Д. Ивлева [132], Л.М. Качанова [133], Н.Н. Малинина [134], Г.С. Писаренко и Н.С. Можаровского [135], Ю.Н. Работнова [136-137], И.Е. Проковича и В.А. Зедгенидзе [138], А.Р. Ржаницына [139].

Задачи деформирования вязкопластических сред решались М.Ю. Абелевым [146], С.Е. Александровым [142], С.Л. Баженовым [143], A.A. Бурениным [144], Д.В. Георгиевским [141], A.A. Ильюшиным, Г.И. Быковцевым [140], И.Э. Келлером [145] и многими другими, в частности можно отметить следующие работы [147-156]. Также можно отметить ряд работ зарубежных авторов [157-165].

В последнее время немаловажное значение приобретает проблема аккумулирования энергии. Одной из альтернативных методик является

технология накопления энергии при помощи статических и, особенно, динамических накопителей энергии - маховиков [166-171]. Для повышения удельной энергоемкости и в целях безопасности в последние годы начали разрабатывать так называемые супермаховики - кинетические накопители энергии, выполненные путем намотки нитей или лент [172-175].

Анализ литературы, посвященный исследованию процессов нелинейного деформирования упруговязкопластических элементов конструкций, взаимодействующих между собой и с геологическими средами сложной физической природы, позволяет сделать следующие выводы.

Известны работы исследователей, в развиваются различные методики решения нелинейных задач деформирования трехмерных тел и грунтовых сред. Существует большое количество эффективных численных алгоритмо решения задач контактного взаимодействия твердых деформируемых тел и сплошных сред. Однако, можно отметить, что недостаточно разработаны нелинейные методики численного исследования контактирующих друг с другом и с грунтовыми средами сложной физической природы вязкоупругих и упругопластических деформируемых элементов трехмерных конструкций при термосиловом нагружении. Поэтому усовершенствование и разработка новых вычислительных алгоритмов контактирующих между собой и со грунтовыми средами элементов трехмерных конструкций актуальна для механики деформируемого твердого тела и по сей день.

Алгоритм решения подобных задач, как показывает практика, особенно эффективен при использовании метода конечных элементов.

На основе проведенного выше анализа литературных источников можно сформулировать цели диссертационной работы:

- разработка новых вычислительных моделей и алгоритмов взаимодействия упруговязкопластических пространственных элементов конструкций и грунтовых сред;

- разработка согласованных трехмерных конечных элементов упруговязкопластической сплошной среды, а также алгоритмов их контактного взаимодействия;

- разработка нового подхода к решению задач вычисления напряжений в кинетических накопителях энергии, выполненных с натяжением слагающих их слоев;

- разработка и реализация пакета прикладных программ, позволяющего проводить численное моделирование процесса нелинейного деформирования взаимодействующих между собой элементов трехмерных конструкций и грунтовых сред при термосиловом нагружении.

Актуальность. Разработка новых эффективных методик расчета взаимодействующих между собой вязкоупругих и упругопластических элементов трехмерных конструкций и сплошных сред при термосиловом нагружении по-прежнему является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела. Взаимодействия пространственных промышленных конструкций и объектов транспортной инфраструктуры между собой и окружающими их грунтом при упруговязкопластическом деформировании имеют место в разнообразных технологических процессах в авиастроении, промышленном и транспортном строительстве и других отраслях техники. Однако такого рода процессы при моделировании нелинейного деформирования элементов промышленных и транспортных сооружений и окружающих их различного рода грунтовых сред в настоящее время остаются еще недостаточно изученными. Это происходит из-за того, что такие элементы конструкций, сложными процессами вязкоупругого и

упругопластического деформирования при их контактном взаимодействии между собой и окружающими их грунтовыми средами в условиях термосилового нагружения, зарождением и развитием зон, где превалируют пластические деормации, большими перемещениями и деформациями, а также рядом других факторов.

Поэтому на современном этапе развития науки актуальными остаются постановки такого рода задач, разработка и реализация новых и разнообразных методик их решения.

Научная новизна. На основе определяющих соотношений между приращениями «истинных» напряжений и «истинных» деформаций и напряжений в рамках геометрически нелинейной теории упругости развиты вычислительные модели упруговязкопластического деформирования, взаимодействующих между собой элементов пространственных конструкций и геологических сред сложной физической природы. Реализованы соответствующие конечно-элементные методики численного моделирования процессов контактного взаимодействия элементов конструкций промышленного приборостроения и объектов строительства и различного рода грунтов.

Решены многочисленные тестовые и модельные задачи, проведено сравнение результатов их решения с результатами, полученными по имеющимся методикам и из эксперимента.

Решен ряд новых задач, в том числе и с учетом контактного взаимодействия, нелинейного упруговязкопластического деформирования трехмерных тел и грунтовых массивов при сложном термосиловом нагружении, выявлены качественные и количественные закономерности их деформирования.

Разработан новый подход к решению задач вычисления напряжений в кинетических накопителях энергии, выполненных с натяжением слагающих их слоев, решен ряд модельных задач.

Достоверность результатов и выводов, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованном применении математических методов; совпадением численных результатов ряда тестовых задач с опубликованными в литературе; сходимостью приближенных решений при сгущении конечно-элементной сетки; тщательностью отладки и тестирования программ для ЭВМ.

Практическая ценность работы. Разработанные методики, алгоритмы, программное обеспечение и результаты решения научно-исследовательских задач, приведенные в диссертации, внедрены в расчетную практику ряда научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций и использовались на этапах проектирования и научного сопровождения, что подтверждается научными отчетами и публикациями в открытой печати.

Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность разрабатываемой автором темы диссертации, приводится обзор имеющихся в свободном доступе литературных источников по теме диссертационной работы, формулируются основные цели и задачи диссертационного исследования, отмечается научная новизна, достоверность и практическая ценность полученных в диссертации результатов, дается общая характеристика работы. Отмечается личный вклад автора в получении результатов.

В первой главе описывается построение определяющих соотношений между приращениями «истинных» деформаций и «истинных» напряжениий,

реализован алгоритм решения трехмерной вариационной задачи, описана конечно-элементная методика решения трехмерных задач деформирования упруговязкопластических элементов пространственных конструкций и грунтовых сред при сложном термическом и силовом нагружении. Развита и усовершенствована конечно-элементная методика решения неизотермических трехмерных задач с односторонним контактом, построено семейство специальных контактных элементов, позволяющее стыковать контактирующие поверхности с разной степенью разбивки на конечные элементы.

Во второй главе решен ряд новых практических задач упруговязкопластического деформирования взаимодействующих между собой элементов трехмерных конструкций: задача деформирования элементов заклепочного соединения элементов титановой и углепластиковой ступенчатых пластин; задача деформирования ротора в перспективных моделях супермаховиков; задача вязкоупругого и упругопластического деформирования элементов фрикционного разъема в процессе его изготовления и эксплуатации.

В третьей главе реализован конечно-элементный алгоритм расчета элементов трехмерных конструкций, взаимодействующих с окружающими их вязкоупругими и упругопластическими грунтовыми средами при термосиловом воздействии. Решен ряд практических задач деформирования расположенной в грунтах сложной физической природы обделки тоннеля при термосиловом нагружении.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, выносимые на защиту.

Диссертационная работа изложена на 127 страницах. В нее включен 81 рисунок и 5 таблиц, список литературы включает всебя 187 источников.

На защиту выносятся:

- алгоритм решения геометрически нелинейных трехмерных задач деформирования упруговязкопластической сплошной среды при термосиловом нагружении, реализованный на базе определяющих уравнений между приращениями «истинных» напряжений и «истинных» деформаций;

- конечно-элементная методика решения трехмерных контактных задач механики деформируемого твердого тела для различной дискретизации взаимодействующих сред;

- новый подход к решению задач повышения энергоемкости супермаховиков, выполненных с натягом слоев;

- результаты решения рада задач трехмерного деформирования контактирующих между собой упруговязкопластических элементов конструкций, объектов транспортного строительства и грунтовых массивов сложной физической природы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены и обсуждены на:

- ХХ1У-ХХУ1 Международных Симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Кременки, 2018-2020 годы;

- XII Международной конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций», Екатеринбург, 2018 год;

- XVII Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения», Казань, 2018 год;

- Международной научно-технической конференции «Современные направления и перспективы развития технологий обработки и оборудования в машиностроении 2019» (1СМТМТЕ 2019), Севастополь, 2019 год;

- XII Международной научной конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 2018 год;

- научном семинаре кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета, 2020 год.

Публикации. В рамках диссертационного исследования опубликовано 11 печатных работ. Из них 3 работы [176-178] в журналах, рекомендуемых ВАК для публикации содержания кандидатских диссертаций, 3 работы в изданиях, индексируемых WoS/Scopus [179-181], а также 5 работ, включающих в себя материалы и тезисов докладов конференций [182-186].

Личное участие соискателя ученой степени в получении результатов, изложенных в диссертации. Автор принимал участие в получении всех основных результатах диссертационного исследования на всех этапах исследований.

Автор принимал непосредственное участие в реализации конечно-элементного алгоритма решения контактных задач, построении семейства контактных элементов для стыковки трехмерных сред с разной степенью дискретизации.

Автором решены новые практические задачи: задача деформирования элементов заклепочного соединения элементов титановой и углепластиковой ступенчатых пластин; задача деформирования ротора в перспективных моделях супермаховиков; задача вязкоупругого и упругопластического деформирования элементов фрикционного разъема в процессе его изготовления и эксплуатации; задачи деформирования расположенной в грунтах сложной физической природы обделки тоннеля при термосиловом нагружении.

Диссертационная работа выполнялась в Казанском (Приволжском) федеральном университете на кафедре теоретической механики. Автор

благодарит научного руководителя профессора Бережного Дмитрия Валерьевича за неустанное внимание и постоянную помощь при выполнении диссертационного исследования, сотрудникам кафедры теоретической механики КФУ, принимавших непосредственное участие в обсуждении научных проблем, возникающих в процессе работы над диссертационной работой.

ГЛАВА 1. УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1. Постановка трехмерной неизотермической задачи нелинейного деформирования упруговязкопластических тел

Пусть некоторое твердое деформируемое имеет объем У0 и огрничивается произвольной поверхностью Б0 . Для декартовой (ортогональной) системы координат х' вектора напряжений о* на элементарных площадках деформированного элементарного объема, нормированных единицами площадей , справедливы соотношения вида

о * = , где К* = дК*/дх' = е. + и,., и - вектор перемещений. Компоненты тензора с* В.В. Новожилов [1] называет обобщенными напряжениями. Если рассмотреть вектора обобщенных напряжений о*, то для них справедливы соотношения вида о * = s* , где

К 7 еы )•

Через деформации удлинений и сдвигов ът^ можно ввести компоненты тензора истинных деформаций

< = = </Ц -1 = 7172^-1 = вй 1 + 2бп -1 -вй) = вй + вЩ,

< = ЯП Гц == в +

'(1 7 1 (17 )-1 - ву

V

= в + вп1 ву 7 ву •

В этих соотношениях выделены линейная и нелинейная части соответственно. Истинными напряжениями сг* В.В. Новожилов [1] называет

отнесенные к единицам деформированных площадей Б* компоненты

векторов с. , которые можно записать в форме с = сг^е* , где

=к*/ М=0Г (Я+е)е.

В рамках теории пластического течения в условиях сложного нагружения определяющие соотношения обычно записывают в приращениях между деформациями и напряжениями. Считается, что существует условие текучести, которое определяет напряженное состояние, при котором в окрестнсти некоторой точки возникают пластические деформации. Если принять условие текуческти в форме Губера-Мизеса, то соотношения между приращениями напряжений и деформаций для ассоциированного закона течения носят название соотношений Прандтля-Рейсса. Эти соотношения такжеможно записать через приращения «истинных» деформаций и «истинных» напряжений в виде

с = -Е-&Ае!Г + 2вА£'!г -а-^-а'? =

4 1 - 2ц ' 0 4 (С )2 (И'х/Ю +1) 4

Сутп А^тп ^ Су ( А^тп, етп )'

В работе скалярный параметр упрочнения X выбирается в формее Одквиста. Если учесть возможное температурное воздействие, то условие текучести можно записать в виде [42]

¥ = С - Н (х,Т) = 0, где а* - интенсивность истинных напряжений, Н - монотонно возрастающая положительная функция, аппроксимирующая истинную диаграмму деформирования материала, Т - температура, Ае^ - приращения

компонент «истинных» деформаций, Ае^ - приращения средней «истинной» деформации, Ае^г - приращения девиатора «истинных» деформаций.

При решении упруговязкопластических задача была выбрана модель упруговязкопластического тела по Одквисту с определяющим уравнением вида

(1.1.1)

Для скоростей вязких деформаций использовалась модель вида

^ у/31

2

где а, М, К - константы материала, 1 - девиатор, - второй инвариант тензора напряжений.

Далее можно записать вариационное уравнение принципа возможных перемещений в формее

= \\\ ^дпЧУ, +Ц рдп^Б«

V V s0

В этом уравнении через Р* и Р* обозначаются векторы поверхностных и объемных сил на площадках деформированного элементарного объема, отнесенных к единицам площади и объема . В соответствии с используемым в [109] подходом Процесс деформирования, согласно подходу, изложенному в [109], можно представить как последовательность равновесных состояний. Пусть некоторое равновесное состояние, например I -ое состояние, известно. Это значит, что известны компоненты векторов перемещений и тензоров напряжений и деформаций, удовлетворяющие вариационному уравнению вида

дЭ = 1 вуЧV- 1R = 0, ^ = IF*дIиЧV + Л 1Р*д1иЧ^.

IV IV ^

Также долны удовлетворяться соответствующие кинематические и статические граничные условия.

При приращении нагрузок на величины А ^ *, А р * перемещения также

получают приращения АV , для которых справедливо вариационное уравнению вида

З1+1Э = ¡¡¡ЗА' е„ (1 + А1 )й 'V - ¡¡¡ЗА' и' (1 Fi* + А1 Fi*)й 'V -

V 'V

-¡¡ЗА 'и' ('Р* +А'Р*) й'Б,

'Б

т.к. для (' +1) -го состояния З'и1 = 0, (т.е. З! еу = 0,З1еу = 0).

Обобщенные и «истинные» напряжения можно связать соотношениями вида [12]

о* < ^ + р. (еш )), о* о? ^ + ( (е )),

где

К-2_Я-11-п=(\ + е3)С08Г 23-1, 1,2,3

1 + е1

Тогда

¡¡¡( 'К +А % )ЗА 'е^'У = ДОЗ + 'ву +А 'ву)(С +А 'о,к )•

'V 'V

ЗА = ¡¡¡(З, + 1ву + А 1ву)(о + А о )(1 + Ру + Ар,у) •

'V -

•ЗА'= ¡¡¡('о; + С^А'е„ + Сал (А'е^, 'етп)) •

'V

•(1 + Ру + Ару )ЗА' еу(Зу + 1ек] + А' ек]) Л

Подчеркнутые слагаемые запрещают суммирование по индексам ' и у Тогда можно записать

Д [С1к1 А 1епЗА + ¡¡¡А 1ек]дА^¿о* (1 + + Аук = Я + АЯ --¡¡¡О (1+ Ук дА1 + 1 ек]) - \\\о% А(р,ЗА1 ву(дк] + Ч) --Ш Ск (А1 , 1епя) (1 + (р1к + Аф1к д + 1ек] + А1 е^ -

V -

-¡¡{ С^ А 1е, (<Рк + Афк )дА 1ец(д^ + 1ек] + А 1ек] --Ш Ск,, А 1еп8А 1еу( 1ек] +А

или

(1.1.2)

ШО,,А1 е,,дА1 е^ + ¡¡¡А1 ек]5А1 ер (1 + у1к +Ад>л)ЛУ =

= Я + АЯ - ¡Цд + 1ек] )дА ур (1 + -

-Са (У, А1 етп) - ¡¡¡ОАфл (Зк] + 1ек] )бА1 е^.

На каждом шаге нагружения решаем систему линейных уравнений для определения А1 и1

{{{С*г,А1 е,,дА1 ег^ + ¡¡¡А1 ек]дА1 ер (1 + угк +Аул)йУ = 1п ■ а1п ггг/ * + 1е,.)дА УО(1 +

Я + АЯ - ¡¡¡д + 1ек] )дА 1ер (1 + у1к)йУ

¡¡¡К + )дА1 еО АулйУ,

(1.1.3)

+е )дА еом^*

где на первом шаге нагружения 1ол = 0 . Переход к следующему шагу нагружения предполагает вычисления

1+1и1 = А 1и1 + 1и1, А О = Са (е , Ае ) + С.., А1е, ,

' 1) 1) V тп^ тп / 1)к, к,'

1+у = Б\+1 (А О) + 0, 1+1Я = А Я + Я,

где В'+1( А 'а*) - оператор перехода компонент приращений напряжений из (' +1) -го состояния в ' -ое, а напряжения '+1а записаны в базисе ' -го состояния. При этом необходимо проводить итерационное уточнение с целью учета в уравнении (1.1.2) слагаемых Са. Соответствующее уравнение будет иметь вид

ДО Са„ А' е„8А 'е^'У + ДО А 'е% дА % 'а*' )(1 + +Ащ, )й'У _

1у 'у

•» + а 'Я -те* + 'е^дА + % - '

= 'я+А 'я-ДО(е„ + 'е'^еА уд;( ')(1)а'у-¡¡¡а

'у 'у

■А^дА 1еу(д, + )) й'V - ДО С^ (А 'етн, 'етн )(1 + рл + Ащк)

'у

д% (е„ + •¿Ц) + А))йУ - ДОС„„А'е!;'У, + АП )(д

1к 1 А^гк )(ек] +

+А'ек^) + 'еЬ))дА 1ег]й1У- ДОС,„А'е^?)дА%('¿Ц) + А'е^)й'У,

где ? - номер итерации, а переход к следующей итерации предполагает

следующие вычисления

А 1и{ч+1) = А 1и + А 1и{ч), А= Са (е^, Ае^) + Сф А 'е%\ (?+1) _ в'+1(А 1а'гг(?+1)) + 'а(?)

Переход к следующему шагу предполагает пересчет напряжений '+1ау

в базис (' +1) -го состояния.

1.2. Конечно-элементная дискретизация

Рассмотрим восьмиузловой трехмерный конечный элемент сплошной среды. В рамках изопараметрической аппроксимации можно записать

х

и

8

г =1 8

(? ) = » и'Л (? ),

где N = N(?,?,?) - линейные функции формы, ?7

координаты внутри элемента. Тогда можно записать

ди1 Л

-= > -г иг =

¿—¡ял '

г=1 т=

локальные

е7

Ч | V ' V д N т

, и. = > и, > -- Ь.

д х7 » д х} г >>>1 г »1 д? т ]т

По аналогии можно записать соотношения

Ае.. = >Аи'

г=1

д N

д х]

(1.2.1)

и

ЗАеи = »еАи-

д N

(1.2.2)

-=1 д х7

соответственно. Чтобы определить производные по глобальным координатам через производные по локальным координатам необходимо выичислять матрицу Якоби [ J ]

Л

дх1

V ^

» д? ,

17 д?

и матрицу, обратную к матрице Якоби ^] определяются искомые производные

с помощью которой

[С ]=[ J - ],

д - г д

— L ■

д jk "

Для вычисления элемента объема необходимо вычислить определитель матрицы Якоби

dV0 — det [ J ] 2d£\

Для дальнейшего удобства выкладок можно ввести так называемые приведенные векторы деформаций и их вариации, приращения и приращения вариации

{e} — {eil' e22, e33,ei2'e23, e3l}'

{Ae} — {Aeu, Ae22, Ae

33' Aei2' Ae23 ' Ae3i}>

{SAe}T — {SAex i, SAe22, SAe33, SAe12, SAe23, SAe31}.

Аналогичные соотношения можно записать для компонент тензоров и приращений компонент тензоров «истинных» напряжений

Г_tr}T (_tr _tr _tr _tr _tr _tr )

{Aatr }T — {Aafi, Aa£, A<3, A< A<, Aa^}. Определяющие соотношеня примут вид

{Ao*} — [ D]{Ae} + {ACa ({e},{Ae})},

где {A Ca ({e},{A e})} - нелинейное слагаемое вектора приращений напряжений.

Отдельно для каждого конечного элемента можно расписать компоненты разрешающего уравнения. Пусть индекс n определяет используемые векторные и матричные обозначения на n -ой итерации. Записанные ранее выражения вида (1.2.3) и (1.2.4) в матричных обозначениях можно записать в следующей форме

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сюй Инцянь, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости /В.В. Новожилов.

- М. -Л.: Гостехиздат, 1948. - 211 с.

2. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1980. - 536 с.

3. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. -М.: Гостехиздат, 1955.

4. Гузь, А.Н. Основы трёхмерной теории устойчивости деформируемых тел / А.Н. Гузь. - Киев: Вища школа, 1986. - 511 с.

5. Гузь, А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях / А.Н. Гузь. - Киев: Наукова думка, 1973. - 274 с.

6. Толоконников, Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости / Л.А. Толоконников // ПММ. - 1956. - Т. 20. - Вып. 3. - С. 439-444.

7. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс. - М.: Мир, 1965. - 455 с.

8. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

9. Бакушев, С.В. Геометрически и физически нелинейная механика сплошной среды: Плоская задача / С.В. Бакушев. - М.: КД Либроком, 2013. - 312 с.

10. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов / Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 432 с.

11. Зубов, Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости / Л.М. Зубов - 1971. - Т. 35. Вып. 3. - С. 406- 410 .

12. Паймушин, В.Н. Непротиворечивый вариант теории деформаций сплошных сред в квадратичном приближении / В.Н. Паймушин,

B.И. Шалашилин // Докл. РАН. - 2004. - Т. 396. - № 4. - С. 492-495.

13. Седов, Л. Механика сплошной среды / Л. Седов. - СПб.: Лань, -2004. -1088 c.

14. Черных, К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К.Ф. Черных. - Л.: Машиностроение, 1986.- 336c.

15. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Д. Адкинс. - М.: Мир, 1965. - 455 с.

16.Green, A.E. Theoretical Elasticity / A.E. Green, W. Zema. - Clarendon Press, Oxford, 1954.

17.Grioli, G. Matematical Theory of Elastic Equilibrium / G. Grioli. - Springer, Berlin, 1962.

18.Nadai, A. Plastic behaviour of metals in the strain hardening range / A. Nadai // Int. Journ. of Appl. Phys. - 1937. - Vol. 8. - № 3. - P. 205-213.

19. Гольденблатт, И.И. Нелинейные проблемы теории упругости / И.И. Гольден-блатт. - М.: Наука, 1969.

20. Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды / А.А. Ильюшин. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 287 с.

21. Лейбензон, Л.С. Курс теории упругости / Л.С. Лейбензон. - М.: Гостехиздат, 1947.

22. Друккер, Д. Пластичность, течение и разрушение / Д. Друккер // Неупругие свойства композиционных материалов. - М.: Наука, 1978. -

C. 9-32.

23. Drucker, D.C. Soil mechanics plastic analysis of limit design / D.C. Drucker, W. Prager // Soil mechanics plastic analysis of limit design. - 1952. - Vol. 10.

- № 2. - P. 157-165.

24. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 407 с.

25. Ходж, Ф.Г. Расчет конструкций с учетом пластических деформаций / Ф.Г. Ходж. - М.: Машгиз, 1965. - 380 с.

26.Ильюшин, А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. - М.: Гостеортехиздат, 1948. - 375 с.

27. Соколовский, В.В. Статика сыпучей среды / В.В. Соколовский. - М.: Госиздат физматлитературы, 1960.

28. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. - Физматлит, 2001. - 704 с.

29.Гвоздев, А.А. Расчет несущей способности конструкции по методу предельного равновесия / А.А. Гвоздев. - М.: Стройиздат, 1949. - 280 с.

30.Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

31.Кнегс, И.В. Основные современные направления в математической теории пластичности / И.В. Кнегс. - Рига: Зинатие, 1971. - 147 с.

32.Ольшак, В. Современное состояние теории пластичности / В. Ольшак, З. Мруз, П. Пежина. - М.: Мир, 1964. - 243 с.

33.Кадашевич, Ю.И. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера / Ю.И. Кадашевич, В.В. Новожилов // ДАН СССР. - 1957. -Т. 117. - Вып. 4. - С. 586-588.

34.Ишлинский, А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением / А.Ю. Ишлинский // Украинский математический журнал. - 1954. - № 6.

- С. 314-325.

35.Арутюнян, Р.А. О многократном нагружении упруго-пластической среды / Р.А. Арутюнян, А.А. Вакуленко // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. -

№ 4. - С. 53-61.

36.Коротких, Ю.Г. О некоторых проблемах численного исследования упругопластических волн в твердых телах / Ю.Г. Коротких // Методы решения задач упругости и пластичности: Учен. зап. Горьк. ун-т. Сер. механика. - 1971. - Вып. 134(4). - С. 69-90.

37.Кукуджанов, В.Н. Микромеханическая модель разрушения неупругого материала и ее применение к исследованию локализации деформаций / В.Н. Кукуджанов // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 72-87.

38. Гольденблат, И.И. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов / И.И. Гольденблат, В.А. Копнов. - М.: Машиностроение, 1968. - 192 с.

39. Зубчанинов, В.Г. Математическая теория пластичности / В.Г. Зубчанинов. - Тверь: Тверской гос. технич. университет, 2002. -448 с.

40. Ерхов, М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций / М.И. Ерхов. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

41. Гениев, Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона / Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин. - М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

42. Ивлев, Д.Д. Предельное состояние деформируемых тел и горных пород / Д.Д. Ивлев, Л.А. Максимова, Р.И. Непершин и др. - М.: Физматлиз, 2008. - 832 с.

43. Ивлев, Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев. - М.: Физматлит, 2001. - Т.1. Теория идельной пластичности. - 448 с.

44. Безухов, Н.И. Расчет за пределом упругости. Несущая способность и предельные состояния сооружений / Н.И. Безухов // Строительная механика в СССР. 1917-1967. - М.: Стройиздат, 1969. - С. 212-223.

45. Каменярж, Я.А. Предельный анализ пластических тел и конструкций /

Я.А. Каменярж. - М.: Наука, 1997. - 512 с.

46. Немировский, Ю.В. Прочность элементов конструкций из композитных материалов / Ю.В. Немировский, Б.С. Резников. - Новосибирск: Наука, 1986. - 166 с.

47. Каюмов Р.А. Моделирование процесса деформирования и оценка несущей способности системы грунт-тонкостенная конструкция / Р. А. Каюмов, Ф. Р. Шакирзянов, С.С. Гаврюшин // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2014. - № 6 (651). - С. 20-24.

48. Прагер, В. Теория идеально-пластических тел / В. Прагер, Ф. Ходж. - М.: Изд-во иностр. лит., 1956. - 398 с.

49.Проценко, А.М. Теория упруго-идеально-пластических тел / А.М. Проценко. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

50.Терегулов, И.Г. Расчет конструкций по теории предельного равновесия / И.Г Терегулов, Р.А. Каюмов, Э.С. Сибгатуллин. - Казань: ФЭН, 2003. -180 с.

51.Шишкин В.М. Разработка эффективных методов расчета тонкостенных конструкций с учетом пластических и демпфирующих свойств материала / дисс. на соиск. учен. степ. д.т.н. Спец.: 05.13.18. Казань, 2008. 414 с.

52.Чирас, А.А. Методы линейного программирования при расчетах одномерных упругопластических систем / А.А. Чирас. - Л.: Стройиздат, 1969. - 198 с.

53.Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. -М.: Мир, 1979. - 392 с.

54.Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. - М.: Мир, 1980. - 512 с.

55. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

56. Норри, Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. - М.: Мир, 1981. - 304 с.

57. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 542 с.

58. Розин, Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л.А. Розин - М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

59. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л.: Судостроение, 1974. -342 с.

60. Образцов, И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И.Ф. Образцов, Л.М. Савельев, Х.С. Хазанов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

61. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. - М.: Стройиздат, 1982. - 447 с.

62. Постнов, В.А. Численные методы расчёта судовых конструкций / В.А. Постнов. - Л.: Судостроение, 1977. - 279 с.

63.Сахаров, А.С. Метод конечных элементов в пространственной задаче теории упругости / А.С. Сахаров, В.В. Киричевский, Г.Г. Завьялов. -Ворошиловград, 1982. - 99 с.

64. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -М.: Мир, 1977. - 349 с.

65. Вайнберг, Д.В. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д.В. Вайнберг, А.С. Городецкий, В.В. Киричевский, А.С. Сахаров // Прикладная механика. - 1972. - Т. 8. - № 8. - С. 3-28.

66. Оден, Дж. Определение конечных деформаций упругих тел на основе метода конечных элементов / Дж. Оден, Дж. Кей. - Л.: Судостроение, 1974. - Т. 1. - С. 52-80.

67. Баженов, В.Г. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов / В.Г. Баженов, А.И. Кибец // Изв. РАН МТТ. - 1994. - № 1. - С. 52-59.

68. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. - Казань: Изд-во «ДАС», 2001. - 301 с.

69. Голованов, А.И. Численный расчет больших упругопластических деформаций трехмерных тел / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Математ. моделир. и краевые задачи / Тр. Всерос. науч. конф. Ч. 1. - Самара, 2004. - С. 60-62.

70. Капустин, С.А. Численный анализ нелинейных квазистатических процессов деформирования составных конструкций / С.А. Капустин // Прикл. проблемы прочности и пластичности. - Горький. - 1979. -Вып. 10. - С. 68-80.

71. Zienkiewicz, O.C. Elasto-plastic solution of engineering problems. Initial stress finite element approach / O.C. Zienkiewicz, S. Valliapan, I. King // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1969. - V. 1. - № 1. - P. 75-100.

72. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. - М., Наука, 1980. - 254 с.

73. Berezhnoi D.V. Numerical modeling of mechanical behavior of clinch connections at breaking out and shearing / D.V. Berezhnoi, R. Shamim, I.S. Balafendieva // MATEC Web of Conferences. - 2017. - V. 129, 03023.

74. Моссаковский, В.И. Контактные задачи математической теории упругости / В.И. Моссаковский, Н.Е. Качаловская, Голикова. - Киев: Наукова думка, 1985. - 176 с.

75. Signorini, A. Questioni di elastostatica Hnearizzata e semilinearizzata /

A. Signorini // Rend. Mat. - 1959. - 18. - P. 381-402.

76. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости / Л.А. Галин. - М.: Гостехтеоретиздат, 1953. - 264 с.

77. Галин, Л.А. Развитие теории контактных задач в СССР / Л.А. Галина. -М. : Наука, 1976. - 496 с.

78. Рвачев, В.Л. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы / В.Л. Рвачев // Прикл. математика и механика. -1956. - 20. - Вып. 2. - С. 248-254.

79. Сеймов, В.М. Динамические контактные задачи / В.М. Сеймов. - Киев: Наукова думка, 1976. - 284 с.

80. Гольдштейн, Р.В. Вариационные методы решения и исследования пространственных контактных и смешанных задач с трением / Р.В. Гольдштейн, А.А. Спектор // Механика деформируемого тела. - М., Наука, 1986. - С. 52-73.

81. Довнорович, В.И. Пространственные контактные задачи теории упругости / В.И. Довнорович. - Минск: Изд-во БГУ, 1959. - 107 с.

82. Горшков, А.Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. - М., Наука, Физматлит, 1995. - 352 с.

83. Александров, В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. / В.М. Александров, М.И. Чебаков. - М.: Физматлит, 2004. -304 с.

84. Александров, В.М. Введение в механику контактных взаимодействий /

B.М. Александров, М.И. Чебаков. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВР», 2007. - 114 с.

85. Бабешко, В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости / В.А. Бабешко. -

М.: Наука, 1984. - 256 с.

86. Артюхин, Ю.П. Аналитические и численные методы решения интегральных уравнений в задачах упругого воздействия тел / Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин. - Казань: Изд-во Казан. гос. ун-та, 2007. -292 с.

87. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1974. -456 с.

88. Подгорный, А.Н. Задачи контаткного взаимодействия элементов конструкций / А.Н. Подгорный, П.П. Гонтаровский, Б.Н. Киркач, Ю.И. Матюхин, Г.Л. Хавин. - Киев: Наук, думка, 1989. - 232 с.

89. Горячева, И.Г. Механика фрикционного взаимодействия / И.Г. Горячева. - М.: Наука, 2001. - 478 с.

90. Горячева, И.Г. Контактные задачи в трибологии, / И.Г. Горячева, М.Н. Добычин. - М., Машиностроение, 1988. - 256 с.

91. Горячева, И.Г. Контактные задачи с учетом износа / И.Г. Горячева, И.А. Солдатенков. - М.: Физматлит, 2001. - С. 438-458.

92. Теплый, М.И. Контактные задачи для областей с круговыми границами / М.И. Теплый. - Львов : Изд-во при Льв. ун-те, 1983. - 176 с.

93. Морозов, Е.М. Контактные задачи механики разрушения / Е.М. Морозов, М.В. Зернин М.В. - М.: Машиностроение, 1999. - 544 с.

94. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. - М: Мир, 1989. - 510 с.

95. Попов, Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания / Г.Я. Попов. - Киев-Одесса: Вища школа, 1982. - 168 с.

96. Арутюнян, Н.Х. Контактные задачи механики растущих тел / Н.Х. Арутюнян, А.В. Манжиров, В.Э. Наумов. - М.: Наука, 1991. - 176 с.

97. Саркисян, B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос /

B.С. Саркисян. - Ереван: Ереван. ун-т, 1983. - 260 с.

98. Блох, М.В. О модификации метода конечных элементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач / М.В. Блох, А.В. Оробинский // Пробл. прочности. - 1983. - № 5. - С. 21-27.

99. Мелещенко, Н.Г. Конечно-элементный анализ явлений в плоском контакте упругих шероховатых тел под действием нормальных и касательных нагрузок / Н.Г. Мелещенко // Тр. Центр. н.-и. дизел. ин-та. -1977. - 18 с.

100. Паутов, А.П. Метод фиктивных жесткостей в численном-решении контактных задач / А.П. Паутов, О.И. Солуянова // Прикл. пробл. прочности и пластичности. - 1978. - Вып. 9. - С. 49-54.

101. Рыжов, Э.В. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов / Э.В. Рыжов, В.И. Сакало, Ю.П. Подлеснов // Машиноведение. - 1980. - № 6. - С. 64-69.

102. Рыжов, Э.В. Решение плоских контактных задач с учетом трения релаксационным методом конечных элементов / Э.В. Рыжов, В.И. Сакало, Ю.П. Подлеснов // Механика и физика контакт. взаимодействия. - 1979. -

C. 3-14.

103. Jamada, J. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method / J. Jamada, N. Joshimura, T. Sasurai // J. Mech. Sci. - 1968. - 10. - P. 343-354.

104. Scholes, A. The precewise linear analysis of two connected structures including the effect of clearence at the connections / A. Scholes, E.M. Strover / Ibid. - 1971. - № 3. - P. 45-52.

105. Wriggers, P. Computational Contact Mechanics / P. Wriggers / John Wiley&Sons: Chichester, West Sussex, England; 2002. - 442 p.

106. Laursen, Computational contact and impact mechanics, fundamentals of modeling interfacial phenomena in nonlinear finite element analysis / T.A. Laursen // Springer, Berlin - 2002.

107. Signorini, A. Questioni di elastostatica Hnearizzata e semilinearizzata / A. Signorini // Rend. Mat. - 1959. - 18. - P. 381-402.

108. Taylor, L.M. Some computational aspect of large deformation, rate-dependent plasticity problems / L.M. Taylor, E.B. Becker // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1983. - V. 41. - № 3. - P. 251-277.

109. Васидзу,К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. / К. Васидзу. - М.: Мир, 1987.- 542 с.

110. Образцов И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Хазанов. - М.: Высшая школа, 1985.- 392c.

111. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов / С. Б. Ухов. - М.: Изд-во МИСИ, 1973. - 118c.

112. Фадеев В.В. Метод конечных элементов в геомеханике / В. В. Фадеев. - М.: Недра, 1987. - 221c.

113. Hutton D.V. Fundamentals of finite element analysis / D.V. Hutton. - New York: McGraw-Hill, 2004.- 505p.

114. Lizuka A. A determination procedure of input parameters in elasto-viscoplastic finite element analysis / A. Lizuka, H. Ohta // Soils and Found. -1987. - V. 27. - P. 71-87.

115. Schrefler B.A. Strain localisation modeling and pore pressure in saturated sand samples / B. A. Schrefler, H. W. Zhang, M. Pastor, O. C. Zienkiewicz // Comput. Mech. - 1998. - V. 22. - P. 266-280.

116. Zeng D. A hybrid finite element method for fluid-filled porous materials / D. Zeng, N. Atsube, J. Zhang // Int. J. Number. and Anal. Meth. Geomech. -

1999. - V.23. - P. 1521-1534.

117. Duhamel, J. Second memoire sur les phenomens thermomechanique / J. Duhamel // J. I. Ecole Polytechn. -1837. № 15. - P. 1-15.

118. Neumann, F. E. Ueber das Elasticitatsmaass krystallinischer Substanzen der homoëdrischen Abtheitheilung / F.E. Neumann // Annalen der physik -1834. Vol. 107. - №12. - P. 177-192.

119. Biot, M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics / M.A. Biot // J. Appl. Phys. -1956. Vol. 27. - №3. - P. 240-253.

120. Новацкий, В. Динамические задачи термоупругости / В. Новацкий. -М.: Мир, 1970. - 256 с.

121. Новацкий, В. Обзор работ по динамическим проблемам термоупругости / В. Новацкий // Механика: Сб. переводов. М., 1966. - № 6 (100). - С. 101-142.

122. Zorski, H. On certain property of thermoelastic media / H. Zorski // Bull. Acad, pol. sci. 116 Ser. sci. techn. -1958. -V. 6. -№ 6. - P. 331-339.

123. Zorski, H. Singular solutions for of thermoelastic media / H. Zorski // Bull. Acad, pol. sci. Ser. sci. techn. -1958. -V. 6. - № 6. - P. 327-330.

124. Подстригач, Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. - К.: Наук. думка, 1976. - 310 с.

125. Ionescu-Cazimir, V. Theoreme de reciprocitate pentru problema dinamica a termo-elasticitii / V. Ionescu-Cazimir // An. Univ. Bucuresti. Ser. stiint. natur. - 1963. -V. 12. - № 39. - P. 93-100.

126. Карнаухов, В.Г. Связанные задачи теории термовязкоупругости / Карнаухов В.Г.- К.: Наук. Думка. - 1982. - 258 с.

127. Грибанов, В.Ф. Связанные и динамические задачи термоупругости / В.Ф. Грибанов, Н.Г. Паничкин. - М.: Машиностроение, 1984. - 181 с.

128. Карнаухов, В.Г. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и

оболочек / В.Г. Карнаухов, И.Ф. Киричок. - К.: Наук. думка, 1986. - 220 с.

129. Арутюнян, Н.Х. Теория ползучести неоднородных тел / Н.Х. Арутюнян, В.Б. Колмановский. - М.: Наука, 1983. - 336 с.

130. Арутюнян, Н.Х. Механика растущих вязкоупругопластических тел. / Н.Х. Арутюнян, А.Д. Дроздов, В.Э. Наумов. - М.: Наука, 1987. - 472 с.

131. Арутюнян, Н.Х. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести. / Н.Х. Арутюнян, А.А. Зевин. - М.: Стройиздат, 1988. - 256 с.

132. Ивлев, Д.Д. К теории неустановившейся ползучести / Д.Д. Ивлев. // Проблемы механики сплошной среды: Сб. ст. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

- С. 157-160.

133. Качанов, Л.М. Теория ползучести. / Л.М. Качанов. - М.: Физматгиз, 1960. - 455 с.

134. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. / Н.Н. Малинин - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

135. Писаренко, Г.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. / Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский. - Справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1981.- 496 с.

136. Прокопович. И. Е. Прикладная теория ползучести. / И.Е. Прокопович, В.А. Зедгенидзе. М: Стройисздат, 1980. - 240 с.

137. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. / Ю.Н.Работнов. М.: Наука, 1966. - 752 с.

138. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. / Ю.Н.Работнов. М: Наука.- 1977.- 383 с.

139. Ржаницын А.Р. Теория плзучести. /А.Р.Ржаницын.М: Стройиздат, 1968.

- 416 с.

140. Быковцев Г.И. Теория пластичности. / Г.И.Быковцев, Д.Д.Ивлев. Владивосток: Даль-наука, 1998. 528 с.

141. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. /Д.В.Георгиевский. М.: УРСС, 1998. 176 с.

142. Александров С.Е. К определению слоя интенсивных деформаций в окрестности поверхности трепия в процессах обработки металлов давлением. /С.Е.Александров, Д.З.Грабко, О.А.Шикимака// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. №3. С. 72-78.

143. Баженов С.Л. Разогрев полимеров при распространении шейки. / С.Л.Баженов, А.С.Кечекьян// Высокомолекулярные соединения. 2013. Т.А55, №6. С. 1-11.

144. Буренин A.A. Плоское напряженное состояние в условиях нелинейной неустановившейся ползучести. / А.А.Буренин, В.М.Ярушина // Дальневосточный математический журнал. 2002. Т.З, №1. С. 64-78.

145. Келлер И.Э. Интегрируемость уравнений равновесия и совместности вязкопластической среды с N-образиой зависимостью от скорости деформации. /И.Э.Келлер//Вестник КРСУ. 2014. Т14, №2. С. 125-128.

146. Абелев М.Ю. Строительство промышленных и гражданских сооружений на слабых водонасыщенных грунтах. /М.Ю.Абелев//М.: Стройиздат, 1983. - 271 с.

147. Аннин Б. Д. Упругопластическая задача / Б. Д.Аннин, Г. П.Черепанов. Новосибирск.: Наука, 1983. -- 240 с.

148. Бойл Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. / Дж. Бойл, Дж. Спенс. М: Мир. 1986. 360 с.

149. Локощенко А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов. /А.М.Локощенко. М: Изд-во МГУ. 2007. 264 с.

150. Малинин Н.А. Ползучесть в обработке металлов. /Н.А.Малинин// М.: Машиностроение. 1986. 216 с.

151. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести.

/Н.Н.Малинин// М.: Машиностроение. 1975. 278 с.

152. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. /А.Ф.Никитенко. Новосибирск: Изд-во НГАСУ. 1997. 278 с.

153. Радченко В.П. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях. /В.П. Радченко, М.Н. Саушкин// М: Машиностроение. 2005. 226 с.

154. Соснин О.В. Энергетический вариант теории ползучести. /О.В. Соснин, Б.В. Горев, А.Ф. Никитенко. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1986. 95 с.

155. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями. /В.И. Кондауров// ПМТФ. 1982. № 1. С. 128133.

156. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. /С.Н. Коробейников. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000. 262 с.

157. Andrade, U. Constitutive description of work and shock hardened copper / U. Andrade, M. Meyers, A. Chokshi // Scripta Metallurgica et Materiallia 1994. 30 (7), 933-938.

158. Bаker, M. Finite element simulation of high-speed cutting forces / M. Bаker // Journal of Materials Processing Technology 2006. 172 (1), 117-126.

159. Huang, Y. Force modelling in shallow cuts with large negative rake angle and large nose radius tools - application to hard turning / Y. Huang, S. Liang // International Journal of Advanced Manufacturing Technology 2003. 22 (9-10), 626-632.

160. Klepaczko, J. A practical stress-strain-strain rate-temperature constitutive relations of the power form / J. Klepaczko // Journal of Mechanical Working Technology 1987. 15, 143-164.

161. Meyers, M.A. Evolution of microstructure and shear-band formation in alpha-hcp titanium / M.A. Meyers, G. Subhash, B.K. Kad, L. Prasad / /

Mechanics of Materials 1994. 17 (2-3), 175-193.

162. Rocchi G. Modelling of natural soft clay destruction processes using viscoplasticity theory / G Rocchi, M Fontana, M Da Prat. // Geotechnique 2003;53(8):729-45.

163. Karim MR. Simulation of long-term consolidation behavior of soft sensitive clay using an elasto-viscoplastic constitutive model / MR Karim, F Oka, K Krabbenhoft, S Leroueil, S Kimoto // Int J Numer Anal Meth Geomech 2013;37:2801-24.

164. Karstunen. Comparison of anisotropic rate-dependent models for modeling consolidation of soft clays / M Karstunen, M Rezania, N Sivasithamparam, ZY Yin // Intl J Geomech 2015;15(5):A4014003.

165. Sheng D. Aspects of finite element implementation of critical state models / D Sheng, SW Sloan, HS Yu // Comput Mech 2000;26(2):185-96.

166. Гулиа Н.В. Накопители энергии. /Н.В. Гулиа. М: Наука, 1980, 152с.

167. Джента Дж. Накопление кинетической энергии. Теория и практика современных маховичных систем; /Дж Джента. пер. с англ. М.: Мир, 1988, 430с.

168. Белых К.В. К вопросу расчета маховичных накопителей кинетической энергии /К.В. Белых, Н.М. Филькин // Материалы международной научно-практической конференции «Модернизация и научные исследования в транспортном комплексе», г. Пермь, 26-28 апреля 2012 г. Т.1, Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2012, 281-289с.

169. Y. Seong-yeol. Design of magnetically levitated rotors in a large flywheel energy storage system from a stability standpoint / Y. Seong-yeol, L. Wook-ryun, B. Yong-chae, N. Myounggyu / Journal of Mechanical Science and Technology, 24 (2010), 231-235, DOI 10.1007/s12206-009-1133-6.

170. R. F. Post. Bender Ambient-Temperature Passive Magnetic Bearings for

Flywheel Energy Storage Systems / R. F. Post, D. A // Seventh International Symposium on Magnetic Bearings, Zurich, Switzerland, August 23 - 25, 2000. Preprint UCRL-JC-137411 May 26, 2000.

171. X. Dai. Design and test of a 300Wh composites flywheel energy storage prototype with active magnetic bearings / Dai. X, Zhang. K, Zhang. X.// International Conference on Renewable Energies and Power Quality (ICREPQ' 11) Las Palmas de Gran Canaria (Spain), 13th to 15th April, 2011.

172. Berezhnoi, D.V. On specific energy capacity of flywheel energy storage / D.V. Berezhnoi, D.E. Chickrin, A.F. Galimov // Applied Mathematical Sciences, 2014, Vol. 8, no. 124, P. 6181-6190.

173. Berezhnoi, D.V. Estimation of specific energy capacity of flywheel-housing system in potential field / D.V. Berezhnoi, D.E. Chickrin, E.Yu. Kurchatov, A.F. Galimov // Applied Mathematical Sciences, 2014, Vol. 8, no.163, P. 8125-8135.

174. Dmitri V. Berezhnoi. Investigation of stress-strain state in the flywheel and estimation their specific energy capacity / Berezhnoi. Dmitri V, Gajnulina. Lejsan R. and Sachenkov. Andrej A. // MATEC Web of Conferences, 2017, Vol. 129, 06027

175. Berezhnoi D.V. Investigation of the processes of deformation of super flywheels made by packing its layers on each other / D.V. Berezhnoi and L.R. Gajnulina / IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2017, Vol. 204, 012006.

176. Сюй И. Вычисление напряжений в кольце обделки тоннеля при термическом нагружении / И. Сюй, Д.В. Бережной, А.А. Пискунов // Научно-технический вестник Поволжья. - 2020. - №3. - С. 95-98

177. Сюй И. Вычисление напряжений при Расчете ступенчатого заклепочного соединения / И. Сюй, Д.В. Бережной // Научно-технический

вестник Поволжья. - 2020. - №3. - С. 91-94

178. Сюй И. Исследование процессов деформирования кольца обделки тоннеля, расположенного в химически закрепленном грунте / И. Сюй, Д.В. Бережной, А.А. Пискунов // Научно-технический вестник Поволжья. - 2020. - №3. - С. 99-102

179. Berezhnoi D.V. Numerical modeling for deformation of frictional connector elements during the process of creation and exploitation / D.V. Berezhnoi, M.R. Shamim, I.S. Balafendieva, A.A. Sachenkov, Yingqian XU and L.R. Fakhrutdinov // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - Vol.1158, 022024

180. D V Berezhnoi. Investigation of the effect of elastic-plastic loading modes in the manufacture of metal flywheels on their performance properties / Berezhnoi D.V, Sachenkov A.A and Xu Yingqian // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2020. - Vol. 709, 044018

181. Yingqian Xu. The Effect of Structure Bury Depth on Dynamic Response of Underground Tunnel under Longitudinal Shearing Seismic Action / Xu Yingqian, Qi Chengzhi and Chen Guoxing // Advanced Materials Research. -Vol.1020(2014),pp 415-422

182. Бережной Д.В. Численное моделирование деформирования элементов фрикционных разъемов в процессе их создания и эксплуатации / Д.В.Бережной, М.Р.Шамим, И.С.Балафендиева, А.А.Саченков, ИНцянь Сюй // XII Международная конференция «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций». - Екатеринбург, 21-25 мая 2018 г.: сб. материалов. - Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН, 2018. - С.28

183. И.С.Балафендиева. Исследование влияние упругопластического деформирования материала фрикционного разъема на параметры его эксплуатации. / Балафендиева И.С., Михеев В.В., Секаева Л.Р., Сюй. И. //

Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.56/ Казанское математическое общество.<Лобачевские чтения-2018>// Материалы Семнадцатой молодежной научной школы-конференции. Казань: Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии наук РТ, 2018. - Т. 56. - С.46-47

184. Бережной Д.В. Численное моделирование деформирования фрикционного разъема при создании и эксплуатации / Д.В. Бережной, М.Ф. Шамим, С. Инцянь // Материалы XXIV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.1. - М.: ООО "ТР-принт", 2018. - с.42-43

185. Сюй И. Моделирование процессов вязкопластического деформирования элементов трехмерных конструкций /И. Сюй, Д.В. Бережной, И.С. Балафендиева // Материалы XXV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова, Россия, Вятичи, 18.03.2019 - 22.03.2019, Т.1. - М.: ООО «ТРП», 2019. - С.195-196

186. Балафендиева И.С. Моделирование процессов вязкоупругого и упругопластического деформирования элементов трехмерных конструкций и сред / И.С. Балафендиева, Д.В. Бережной, А.А. Саченков, И. Сюй// Материалы XXVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова, Россия, Вятичи, 16.03.2020 -20.03.2020, Т.1. - М.: ООО «ТРП», 2020. - С.37-38

187. Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин. / С.В. Бояршинов. - Учебное пособие для студентов вузов, М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.