Математическое моделирование фильтрационных течений в подземных пластах с использованием неструктурированной сетки Вороного тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Киреев Тимур Фаритович

• Киреев Тимур Фаритович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Киреев Тимур Фаритович

Введение

Глава 1. Построение сетки Вороного

1.1 Обзор методов

1.2 Диаграмма Вороного

1.3 Диаграмма Вороного с ограничениями

1.4 Характеристика разработанного комплекса программ для моделирования фильтрации в пористой среде

1.5 Заключение

Глава 2. Решение задачи полимерного заводнения

2.1 Введение

2.2 Уравнения фильтрации

2.3 Постановка задачи фильтрации

2.4 Решение задачи фильтрации

2.5 Сравнение прямоугольной сетки и сетки Вороного

2.6 Верификация расчетной схемы

2.7 Блочно-центрированная сетка Вороного и ГБЕ! сетка

2.8 Заключение

Глава 3. Процедура апскейлинга для трещин ГРП

3.1 Введение

3.2 Модель фильтрации

3.3 Процедура апскейлинга

3.4 Построение сетки

3.5 Численный эксперимент

3.6 Заключение

Глава 4. Интерпретация данных трассерных исследований

межскважинного пространства

4.1 Введение

4.2 Математическая модель переноса трассера

4.3 Пространственная дискретизация

4.4 Верификация модели

4.5 Решение обратной задачи

4.6 Сравнение предлагаемого и классического подходов

4.7 Динамика прорыва воды по трещине в добывающую скважину

4.8 Заключение

Глава 5. Моделирование напряженного состояния цементного

кольца с трещиной ГРП

5.1 Введение

5.2 Задача фильтрации

5.3 Задача упругости

5.4 Алгоритм решения локальной задачи упругости на сетке Вороного

5.5 Алгоритм решения глобальной задачи упругости на сетке Вороного

5.6 Вычислительный эксперимент

5.7 Верификация численной схемы для уравнения упругости

5.8 Заключение

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ «Программа для построения двумерной расчетной сетки Вороного»

Приложение Б. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ «Программа для интерпретации трассерных исследований с помощью дискретной модели трещины»

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование фильтрационных течений в подземных пластах с использованием неструктурированной сетки Вороного»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Математическое моделирование является основным инструментом на всех стадиях разработки нефтегазовых месторождений.

В настоящее время доля трудноизвлекаемых углеводородов в общем балансе запасов России составляет более 60% и с каждым годом продолжает расти. Для эффективного освоения залежей такого типа требуется развитие математических инструментов для детального описания геометрии скважин со сложными типами заканчивания при наличии естественных и техногенных трещин в продуктивном пласте.

На сегодняшний день при моделировании подземных течений углеводородов чаще всего используются структурированные расчетные сетки. Такие сетки не позволяют детально описать сложное структурное строение пласта и неоднородности распределения физических свойств в нем.

Неструктурированные сетки лишены этих недостатков, и открывают возможности для проведения более глубокого анализа разработки месторождения и создания более надежных прогнозных моделей.

Сетка Вороного - это неструктурированная расчетная сетка, основанная на диаграмме Вороного. Много вопросов, связанных с применением сетки Вороного для математического моделирования фильтрационных течений (фильтрации) в подземных пластах, остаются открытыми. Таким образом, данная работа является весьма актуальной.

Степень разработанности темы. Для моделирования нефтяных пластов неструктурированные сетки начали использовать в конце 1980-х годов [1-7].

Одной из самых популярных стала PEBI (Perpendicular Bisector) сетка - это такая сетка Вороного, в которой в качестве расчетных узлов используются узлы (сайты) диаграммы Вороного. Например, Palagi [2] и Verma [8] исследовали PEBI сетку для моделирования многофазной фильтрации, Forsyth [7] предложил использовать метод конечных объемов вместе с методом конечных элементов (CVFE) для решения уравнений теплопереноса, опираясь при этом на свойство дуальности триангуляции Делоне к диаграмме Вороного.

Основной недостаток этих исследований заключался в отсутствии инструментов для точного описания сложных граничных условий. Некоторые задачи требовали жесткой фиксации положения и ориентации граней ячеек (например, для описания скважин или разломов). Развитие сетки Вороного существенно отставало от развития треугольных и тетраэдральных расчетных сеток, для которых подобные проблемы уже успешно решались в 1990-х годах [9—17].

Множество подходов основано на обрезке ячеек сетки Вороного [18—20], но все они имеют общий недостаток - обрезанные ячейки становятся невыпуклыми.

Позже получили развитие алгоритмы построения сетки Вороного без обрезки ячеек. В работах [21] и [22] были предложены методы построения сетки Вороного c обработкой пересекающихся разломов и учетом различных типов скважин. Berge [23; 24] предложил метод для приближенного описания пересекающихся разломов. В работе [25] описаны идеи построения трехмерной сетки Вороного с аппроксимацией невыпуклых границ и последующей корректировкой дефектов. Похожие идеи были ранее описаны для решения обобщенной обратной задачи Вороного на плоскости [26; 27]. Но в перечисленных работах приведены лишь общие идеи и принципы без формализованного описания алгоритмов и доказательств их корректности. Один из недостатков работы [25] заключается в отсутствии поддержки границ с самопересечениями.

В работе Abdelkader [28; 29] представлен формализованный алгоритм построения трехмерной сетки Вороного для областей с невыпуклой границей. Однако использование этого алгоритма для построения двумерных сеток нецелесообразно, поскольку это вносит избыточную сложность.

В настоящей работе разработан формализованный алгоритм построения двумерной сетки Вороного с ограничениями в виде пересекающихся отрезков. Проведено доказательство корректности алгоритма. Под корректностью алгоритма здесь подразумевается то, что алгоритм выдает ожидаемый результат при любых ожидаемых входных данных.

Одной из ключевых задач при моделировании подземных фильтрационных течений является корректный учет распределения давления в околосква-жинной области. При большом количестве скважин размеры моделируемого участка пласта во много раз превышают диаметр скважинной колонны и апертуру трещин. В таком случае численный расчет за приемлемое время можно

провести лишь на грубой сетке, размеры которой на несколько порядков превышают характерные размеры околоскважинных особенностей.

В связи с этим широкое распространение получили разнообразные методы уточнения численного решения вблизи скважин: метод Peaceman [30], формулы Abou-Kassem [31], разностно-аналитический метод Каневской [32], метод апскейлинга [33; 34] и др.

Для моделирования трещин ГРП (гидроразрыва пласта) на неструктурированных сетках обычно применяют модели DFM (Discrete Fracture Model, дискретная модель трещины) и EDFM (Embedded Discrete Fracture Model) (Karimi-Fard (2003), Li (2008), Moinfar (2012)). В этих моделях предполагается, что давление внутри грубой ячейки с трещиной распределено линейно вдоль нормали к трещине.

Мало работ посвящено методу околоскважинного апскейлинга проводимости с использованием неструктурированных расчетных сеток. В данной диссертации разработан алгоритм апскейлинга проводимости для трещин ГРП на грубой сетке Вороного.

Целью данной работы является разработка математических моделей и численных алгоритмов для моделирования фильтрационных течений в подземных пластах с использованием сетки Вороного.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи.

1. Разработать алгоритм построения двумерной сетки Вороного с ограничениями и доказать его корректность (п.3 паспорта специальности 05.13.18).

2. Разработать алгоритм околоскважинного численного апскейлинга для трещины ГРП на сетке Вороного (п.3 паспорта специальности 05.13.18).

3. Разработать подход к математическому моделированию переноса трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации с использованием сетки Вороного, позволяющий проводить интерпретацию данных трассерных исследований межскважинного пространства с учетом перетоков трассера между высокопроницаемыми каналами и пластом (п.1 и п.7 паспорта специальности 05.13.18).

4. Построить математическую модель для оценки прочности цементного кольца скважины с трещиной ГРП под влиянием порового давления пластовой жидкости и разработать алгоритм решения этой задачи на сетке Вороного с использованием метода многоточечной аппроксимации напряжений (п.1 паспорта специальности 05.13.18).

5. Разработать комплекс программ для моделирования фильтрационных течений в пористой среде, поддерживающий разработанные алгоритмы, и провести анализ построенных моделей методом вычислительного эксперимента на ПЭВМ (п.4 и п.8 паспорта специальности 05.13.18).

Научная новизна:

1. Разработан алгоритм построения двумерной сетки Вороного с ограничениями, который позволил учесть геометрию пересекающихся разнонаправленных вертикальных трещин при проведении численного моделирования фильтрационных течений в подземных пластах.

2. Разработан алгоритм апскейлинга для скважин с трещинами ГРП, позволяющий получить более точное численное решение задачи фильтрационного течения по сравнению с методом БЭРМ при использовании грубой сетки Вороного.

3. Предложен новый подход к математическому моделированию переноса трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации, основанный на применении неструктурированной сетки Вороного и позволяющий повысить качество интерпретации данных трассерных исследований межскважинного пространства в сравнении с классическим методом интерпретации. Предложенный способ учитывает наличие перетоков трассера между высокопроницаемыми каналами и пластом, что позволило получить корректную оценку объема высокопроницаемых каналов между скважинами.

4. Разработаны математическая модель для оценки прочности цементного кольца скважины с трещиной ГРП и алгоритм решения этой задачи на сетке Вороного, которые позволили установить, что максимальное значение напряжения Мизеса приходится на зону перфораций на стыке цементного кольца и эксплуатационной колонны, а наличие трещины ГРП может снижать напряжение цементного кольца.

Практическая значимость Разработанный алгоритм построения сетки Вороного может быть использован для решения широкого спектра задач, в частности, задач численного моделирования в гидро- и геомеханике.

Разработанный алгоритм численного апскейлинга на сетке Вороного позволяет повысить точность моделирования фильтрации в пористой среде в случаях, когда используются крупные расчетные ячейки, размеры которых сравнимы с расстояниями между скважинами.

Предложенный подход к интерпретации данных трассерных исследований позволяет оценить параметры высокопроницаемых каналов фильтрации и получить детализированную модель межскважинного пространства, которая может упростить последующее численное моделирование при проведении геолого-технических мероприятий на месторождениях нефти и газа.

Разработанный программный комплекс внедрен в производственную деятельность ООО «Уфимский научно-технический центр».

Методология и методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, численные методы (метод Ньютона для нахождения нуля функции, алгоритм Нелдера-Мида, алгоритм Форчуна, итерационные алгоритмы решения систем линейных уравнений, неявная схема дискретизации уравнений), методы механики сплошных сред (теория фильтрации, закон Дарси, элементы гидродинамики и теории упругости), методы вычислительной геометрии и линейной алгебры, метод конечных объемов, метод двухточечной аппроксимации потоков и метод многоточечной аппроксимации напряжений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм построения двумерной диаграммы Вороного с ограничениями на плоскости. Результаты опубликованы в [35].

2. Алгоритм численного апскейлинга на сетке Вороного вблизи скважин с трещинами ГРП. Результаты опубликованы в [36; 37].

3. Новый подход к математическому моделированию переноса трассера по высокопроницаемым каналам фильтрации с помощью дискретной модели трещины. Результаты опубликованы в [38].

4. Математическая модель для оценки прочности цементного кольца скважины с трещиной ГРП. Результаты опубликованы в [39; 40].

5. Комплекс программ для моделирования фильтрационных течений в пористой среде, поддерживающий разработанные математические модели и алгоритмы. Результаты опубликованы в [41; 42].

Эти положения соответствуют областям исследования 1, 3, 4, 7, 8 из паспорта специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математическим доказательством сформулированных утверждений, сравнением результатов вычислительных экспериментов с аналитическими решениями

и с расчетами в промышленных пакетах моделирования. Результаты всех проведенных исследований опубликованы в отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах и находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: XXIV Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2017); X Всероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделирование и компьютерные технологии в процессах разработки месторождений» (Уфа, 2017); VI Международная конференция «International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences (IC-MSQUARE)» (Пафос, Кипр,

2017); V Международная конференция «International Conference on Mathematics and Mechanics (ICMM)» (Вена, Австрия, 2018); III Всероссийская молодежная научно-практическая конференция «Геолого-геофизические исследования нефтегазовых пластов» (Уфа, 2018); II Всероссийская летняя школа-конференция «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения» (Уфа,

2018); IX Всероссийская конференция с международным участием «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2018); XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019); VIII Международная конференция «International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences (IC-MSQUARE)» (Братислава, Словакия, 2019).

Представленные в диссертации исследования выполнялись при поддержке гранта РФФИ №17-41-020226 р_а.

Личный вклад. Все представленные в работе научные результаты получены автором лично или при его непосредственном участии на всех этапах исследований. В совместные опубликованные работы [35—40; 43—49] автор внес основной вклад (анализ научной литературы, разработка математических моделей и численных алгоритмов, доказательство утверждений, программная реализация алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов), научный руководитель Булгакова Г.Т. организовала ход научно-исследовательской работы, провела критический анализ разработанных математических моделей и приняла участие в обсуждении полученных результатов. В совместных работах [43; 47—49] Хатмуллин И.Ф. предложил идеи и замечания касательно программной реализации численных методов.

Публикации. По результатам диссертационного исследования опубликовано 14 работ, 8 из которых опубликованы в рецензируемых научных изданиях, включенных в Перечень ВАК или в одну из систем цитирования Scopus и Web of Science, 6 —в сборниках трудов конференций. Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 115 страниц, включая 53 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 90 наименований.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ СЕТКИ ВОРОНОГО

1.1 Обзор методов

Известно, что диаграмма Вороного имеет огромное множество применений [50]. Одно из таких применений - построение расчетных сеток для численного решения задач гидро- и геомеханики. Для таких задач традиционно используются хорошо изученные сетки на основе триангуляции расчетной области, в частности, триангуляции Делоне [9—17]. По сравнению с ними, сетки на основе диаграммы Вороного имеют ряд преимуществ.

Задача построения диаграммы Вороного часто рассматривается как задача построения триангуляции Делоне и наоборот, из-за двойственности между этими объектами. Однако триангуляция Делоне с ограничениями уже не является двойственной к диаграмме Вороного с ограничениями [21]. Узловые точки диаграммы, которая двойственна к такой триангуляции, будут лежать на ребрах триангуляции, поэтому ребра этой диаграммы всегда будут перпендикулярны структурным отрезкам, вместо того, чтобы лежать на них.

Для учета ограничений в диаграмме Вороного чаще всего применяют метод отсечения, при котором ячейки Вороного обрезаются так, чтобы их границы лежали на структурных отрезках [18—20]. Недостаток этого похода заключается в том, что ячейки вблизи структурных отрезков теряют свойство ортогональности и могут становиться невыпуклыми.

В данной главе изучается вопрос построения диаграммы Вороного с ограничениями, в которой ребра ячеек Вороного в точности формируют структурные отрезки ограничения, т.е. ячейки Вороного не обрезаются. Эта задача так же известна как обобщенная обратная задача Вороного (Generalized Inverse Voronoi Problem) [26]. Она заключатся в том, чтобы по заданному ограничению найти набор узлов, для которых диаграмма Вороного будет являться диаграммой Вороного с ограничением. В предположении, что узлы диаграммы Вороного могут лежать сколь угодно близко друг к другу, очевидно, что решение этой задачи всегда существует (конструктивное доказательство этого факта приводится, например, в [27]). Открытой проблемой остается поиск оптимального решения, в котором множество узлов диаграммы было бы минимально [27]. Для случая, когда структурные отрезки ограничения разбивают

плоскость на прямоугольники, существует простой алгоритм решения этой задачи с помощью решетки Ханана [27].

Один [21] из подходов для построения диаграммы Вороного с ограничениями заключается в использовании триангуляции Делоне. Сначала генерируется триангуляция Делоне с ограничениями, затем проводится локальная корректировка триангуляции: ее ребра перестраиваются так, чтобы они оказались перпендикулярны структурным отрезкам. В конце вычисляется диаграмма Вороного, двойственная к полученной триангуляции. Достоинство алгоритма заключается в том, что он «прокладывает мост» между триангуляцией с ограничениями и диаграммой Вороного с ограничениями. Так, например, можно использовать готовые алгоритмы измельчения или сглаживания триангуляции, чтобы получить измельченную или сглаженную диаграмму Вороного.

Второй подход заключается в формировании множества узлов диаграммы Вороного напрямую, без использования триангуляции Делоне [23; 24; 28]. В данной главе на основе этого подхода предложен алгоритм построения диаграммы Вороного с ограничениями на плоскости. Доказано несколько утверждений и теорема о корректности алгоритма. Под корректностью алгоритма понимается то, что алгоритм выдает ожидаемый результат при любых ожидаемых входных данных.

1.2 Диаграмма Вороного

Определение 1. Для заданного конечного множества точек 3 С К2 ячейкой Вороного точки г Е 3 называется множество

УотоСеП (3,1) = {х Е К2 : ||ж - г|| < ||ж - ]Е в,] = г}

Определение 2. Ребром между ячейками УотоСеП(8/1) и УотоСеП(Б^) при г = ] называется непустое множество

УотоЕё,де(3,1,]) = УотоСвП(3/1) П УотоСвП(Я^)

Определение 3. Вершиной между ячейками УотоСеП(3,г), УотоСеП(3,_]) иУотоСе11(3, к) при г = ] и г = к называется непустое множество

УотоУетЬех (3,г,],к)= УотоСеП (3,т)

тЕ[г,з,к}

Ячейка Вороного - это открытая выпуклая область в К2, поскольку ее можно представить в виде пересечения | — 1 полуплоскостей. Поэтому ребра между ячейками Вороного представляют собой отрезки, лучи или линии в К2, а вершины между ячейками Вороного - точки в К2. Ребро или вершина могут не существовать, если соответствующее пересечение ячеек Вороного пусто. Иногда ребро может вырождаться в точку, а несколько вершин могут совпадать друг с другом (это происходит, когда Б содержит 4 и более точек, лежащих на одной окружности).

Утверждение 1. Пусть Б С К2 - конечное множество, г € Б, С - открытый круг конечного радиуса, граница которого проходит через точку г, и СПБ = 0. Тогда УогоСвП(Б, г) содержит в себе центр круга С.

Доказательство. Пусть с - центр круга С. Предположим, что с € УогоСвП (Б, г). Тогда существует точка ] € Б, такая, что ] = г и с € УогоСвП(Б^), следовательно, ||с — ] || ^ ||с — г||. Если ||с — ] || < ||с — г||, то возникает противоречие с условием С П Б = 0, поскольку ] € С. Если же ||с — 31| = Ис — ¿||, то точка с лежит в пересечении УогоСвП (Б,ъ)ПУогоСвП (Б^), что противоречит исходному предположению. □

Следствие 1.1. Пусть Б С К2 - конечное множество, %,] € Б - две различные точки, С - открытый круг конечного радиуса, граница которого проходит через точки г,], и С П Б = 0. Тогда ребро УогоЕсСдв(Б, г,]) существует и содержит в себе центр круга С.

Доказательство. Пусть с - центр круга С. Согласно утверждению 1, с €

УогоСвП(Б,1) и с € УогоСвП(Б,]). Значит с € УогоЕсСдв(Б,г,]), и, следовательно, это ребро существует. □

Следствие 1.2. Пусть Б С К2 - конечное множество, г,],к € Б - три различные точки, С - открытый круг конечного радиуса, граница которого проходит через точки г,], к, и С П Б = 0. Тогда вершина УогоУвтЬвх(Б, г,], к) существует и совпадает с центром круга С.

Доказательство. Пусть с - центр круга С. Согласно утверждению 1, с € УогоСвП (Б,г), с € УогоСвП (Б,]) и с € УогоСвП (Б,к). Значит с € УогоУвтЬвх(Б,1,],к), и, следовательно, эта вершина существует. Но

УотоУетЬех(8,1,], к) может быть либо пустым множеством, либо состоять из одной точки, поэтому с = УотоУеНех(Б,г,],к). □

Определение 4. Множеством ячеек диаграммы Вороного называется

УС (Б) = {УотоСеП (^г)}^

Определение 5. Множеством ребер диаграммы Вороного называется

УЕ(Б) = { УотоЕё,де(Б, г,]

Определение 6. Множеством вершин диаграммы Вороного называется

уу (5) = {уотоуеПех (Б,г,],к)}^ке8^¥к

Определение 7. Диаграммой Вороного для множества точек Б С К2 называется кортеж

УБ (Б) = (УС (Б), УЕ (Б), УУ (Б))

Определение 8. Точки Б диаграммы Вороного УБ(Б) называются узлами, или узловыми точками.

Задача построения диаграммы Вороного заключается в том, чтобы по заданным узловым точкам Б найти диаграмму Вороного УБ (Б). На практике, как правило, множество Б выступает в качестве входных данных.

1.3 Диаграмма Вороного с ограничениями

Определение 9. Плоский конечный граф С = (у,Е) в К2, в котором все ребра Е являются отрезками, а все вершины V имеют ненулевую степень, называется ограничением. Ребра графа называются структурными отрезками. Ребро между двумя вершинами и у2 обозначается (у\,у2).

Ограничение С может состоять из нескольких компонент связности и содержать в себе некоторое количество циклов.

Определение 10. Диаграмма Вороного УБ(Б) поддерживает ограничение С, если

1. V С УУ (Б).

2. V (е € Е) 3 ({еь ...,ек} С УЕ(Б)) : е = иг=1. к ег. В этом случае УБ (Б) называется диаграммой Вороного с ограничением С.

Утверждение 2. Пусть Б С К2 - конечное множество, С = ({у1,у2} , {е}) -ограничение, в котором е = (у1,у2). Если существует два открытых круга С1 и С2 с конечными радиусами и центрами в точках и ю2, таких, что

1. 1дС1 П 51 ^ 3 и 1дС2 П 51 ^ 3,

2. дСх П дС2 = {г,з} С 5, г = з,

3. С\ П 5 = С2 П 5 = 0,

то диаграмма Вороного УБ(Б) поддерживает ограничение С.

Доказательство. Поскольку дС1 - окружность и 1дС1 П Б| ^ 3, то в дС1 П Б найдутся три различные точки. Согласно следствию 1.2, у1 € УУ(Б). Аналогично у2 € УУ (Б). Согласно следствию 1.1, ребро УогоЕСдв (Б, г,з) содержит в себе точки у1 и у2. Поскольку УогоЕСдв(Б, 1,3) - выпуклое множество (отрезок, луч или линия), оно содержит в себе ребро е графа.

Докажем теперь, что УогоЕсСдв(Б,г,з) не может содержать никаких других точек, кроме е. Рассмотрим точку х = + (1 — I) у2 для некоторого I > 1. Поскольку 1дС1 П Б| ^ 3, на границе круга С1 найдется точка к € Б, отличная от точек г и 3. Круги С1 и С2 не содержат точку к и их границы пересекаются в точках 1,3, поэтому ||ж — кЦ < ||ж — г|| = ||ж — 31|. Значит точка х не принадлежит множествам УогоСвП(Б,г), УогоСвП(Б,з), и, следовательно, не принадлежит множеству УогоЕСдв(Б,1,3). Аналогично для случая I < 0. Таким образом, е = (у]_,у2) = УогоЕСдв(Б, 1,3) С Е. □

На рисунке 1.1 показана диаграмма Вороного, поддерживающая ограничение С = ({у1,у2} , {е}), где е = (у1,у2), и соответствующие окружности дС-[ и дС2 с центрами в точках у1 и у2. Множество Б состоит из четырех точек.

На рисунке 1.1 показана диаграмма Вороного, поддерживающая ограничение С = ({У1,У2,У3,У4} , {е,д,Н}), где е = (у1 ,У2) ,9 = (у2,уз) = (У2,У4), и соответствующие окружности дС1,дС2,дС3,дС4. Множество Б состоит из девяти точек.

Задачу построения диаграммы Вороного с ограничением можно сформулировать следующим образом: по заданному ограничению С требуется найти такое множество узлов Б, при котором диаграмма Вороного УБ (Б) будет являться диаграммой Вороного с ограничением С. Эта формулировка эквивалентна постановке обобщенной обратной задачи Вороного.

Рисунок 1.1 — Примеры диаграмм Вороного с ограничением. Серыми и черными линиями показаны ребра диаграммы, синими точками - узлы

диаграммы

Алгоритм 1. Построение диаграммы Вороного с ограничениями Входные данные: ограничение С = (У,Е).

Результат: множество Б С К2, такое, что УБ(Б) поддерживает ограничение С.

1. Выбрать достаточно маленькое число е, и для каждой вершины V € V построить открытый круг С (у) радиуса е с центром в точке V так, чтобы

а) Уу\,у2 € = у2 : С(уг) П С(у2) = 0,

б) уе = {У!,У2) € Е : д,Ы (С(у{),С{у2)) ^ е,

в) У у € V, Уе = (у\,у2) € Е,у = у\,у = у2 : йгв1 (С(у), е) ^ е.

2. На каждом ребре е € Е расположить последовательно достаточно большое количество точек ■■■,'и]к{е^ € е ив центре каждой точки

построить открытый круг С('ш?) достаточного радиуса так, чтобы

а) Уе,д € Е,е = д,Уг € {1г.,к(е)} ,Уз € {1,..,к(д)} : С(уф П С ^) = 0,

б) Уе € Е, Уг € {1,...,к(е)} , У] € {1,...,к(е)} ,г = ] : С (у^) П С (уф = 0 & | дС№) П дС| =2 & ^ - з | = 1.

в) Уу € V, Уе € Е, Уг € {2,...,к(е) - 1} : С (уф П С (у) = 0,

г) Уу € V,, Уе = (уъу2) € Е : С (уф П С (у) = 0 & 1дС (уф П дС (у )| =2 & у = уь

д) Vv € V,Ve = (щ,У2) € Е : С(тек{е)) П С(у) = 0 ^

дС(тек{е)) П дС(V) | =2 ^ V = у2.

3. Ve = (у\,у2) € Е : добавить две точки пересечения окружностей дС(те) и дС(у\) и две точки пересечения окружностей дС(/ш'к(е)) и дС(у2) в множество Б.

4. Ve € Е, VI € {1,...,к(е) — 1} : добавить две точки пересечения окружностей дС (те) и дС(т(е+1) в множество Б.

5. Vv € V : если степень вершины V равна 1, то добавить в Б произвольную точку V* на окружности дС(V), такую, что

а) V* € 3,

б) Vv' € V : V* € С (V').

в) Ve € Е, V € {1,...,к(е)} : V* € С(ше).

Рисунок 1.2 — Иллюстрация к алгоритму 1. Серыми и черными линиями показаны ребра диаграммы, синими точками - узлы диаграммы

Теорема 1. Алгоритм 1 является корректным, т.е. он генерирует такое множество Б, что диаграмма Вороного УБ(Б) поддерживает ограничение С.

Доказательство. На шаге 1 строится набор непересекающихся кругов С(V) в вершинах V € V. Условие 1.Ь алгоритма гарантирует, что на шаге 2 алгоритма на каждом ребре е € Е можно будет выбрать хотя бы одну точку Условие 1.с алгоритма необходимо для того, чтобы круги С(V) располагались на некотором расстоянии от ребер Е (за исключением ребер, инцидентных вершине у), и, благодаря этому, на шаге 2 алгоритма в каждой точке каждого ребра е € Е можно будет выбрать некоторый ненулевой радиус круга С(т'е).

На шаге 2 строятся центры кругов на ребрах Е и круги С(т(е) соответственно (см. рисунок 1.2). Условие 2.а гарантирует, что круги С (те) и С (т9^), расположенные на разных ребрах, не пересекаются между собой. Условие 2.Ь

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Киреев Тимур Фаритович, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Modeling Reservoir Geometry With Irregular Grids / Z. Heinemann [et al.] // SPE Symposium on Reservoir Simulation. — 1989. — P. 37—54.

2. Palagi, C. L. Use of voronoi grid in reservoir simulation / C. L. Palagi, K. Aziz // SPE Advanced Technology Series. — 1994. — Vol. 2, no. 2. — P. 69-77.

3. Мазо, А. Б. Суперэлементный метод численного моделирования разработки залежей нефти / А. Б. Мазо, К. А. Поташев, Е. И. Калинин // Современная наука: исследования, идеи, результаты, технологии. — 2013. — т. 1, № 12. — с. 237—243.

4. Полностью неявная схема решения задач трехфазной фильтрации на неструктурированных сетках в пакете программ НИМФА / О. И. Бутнев [и др.] // Вестник кибернетики. — 2015. — т. 3, № 19. — с. 56—72.

5. Kim, S. Improving accuracy and flexibility of numerical simulation of geother-mal heat pump systems using Voronoi grid refinement approach / S. Kim, G. Bae, K. Lee // Geosciences Journal. — 2015. — Vol. 19, no. 3. — P. 527-535.

6. An unstructured gridding method for simulating faulted reservoirs populated with complex wells / X. Y. Ding, L. S. Fung, [et al.] // SPE Reservoir Simulation Symposium. — Houston, Texas, 2015.

7. Forsyth, P. A. A control volume finite element method for local mesh refinement / P. A. Forsyth // SPE Symposium on Reservoir Simulation. — Houston, Texas, 1989.

8. A control volume scheme for flexible grids in reservoir simulation / S. Verma, K. Aziz, [et al.] // SPE Reservoir Simulation Symposium. — Dallas, Texas, 1997.

9. Shewchuk, J. R. Sweep algorithms for constructing higher-dimensional constrained Delaunay triangulations / J. R. Shewchuk // Annual Symposium on Computational Geometry: Proceedings of the sixteenth annual symposium on Computational geometry. - 2000. - Vol. 12, no. 14. - P. 350-359.

10. Shewchuk, J. R. Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation / J. R. Shewchuk // Computational Geometry. — 2002. — Vol. 22, no. 1-3. - P. 21-74.

11. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и её применение / А. В. Скворцов. — Томск : Издательство Томского университета, 2002. — 128 с.

12. Автоматизированные технологии построения неструктурированных расчетных сеток. т. 4 / Ю. В. Василевский [и др.]. — Москва : Физматлит, 2016. — 216 с.

13. Bowyer, A. Computing dirichlet tessellations / A. Bowyer // The computer journal. - 1981. - Vol. 24, no. 2. - P. 162-166.

14. Joe, B. Construction of three-dimensional Delaunay triangulations using local transformations / B. Joe // Computer Aided Geometric Design. — 1991. — Vol. 8, no. 2. - P. 123-142.

15. Edelsbrunner, H. Incremental topological flipping works for regular triangulations / H. Edelsbrunner, N. R. Shah // Algorithmica. — 1996. — Vol. 15, no. 3. - P. 223-241.

16. Lo, S. H. Finite element mesh generation / S. H. Lo. — 1st ed. — CRC Press, 2014. - 672 p.

17. Frey, P. Mesh generation: application to finite elements / P. Frey, P. L. George. - 2nd ed. - Wiley-ISTE Press, 2008. - 848 p.

18. Efficient computation of clipped voronoi diagram for mesh generation / D. Yan [et al.] // Computer-Aided Design. - 2013. - Vol. 45, no. 4. - P. 843-852.

19. Lu, L. Centroidal Voronoi tessellation of line segments and graphs / L. Lu, B. Levy, W. Wang // Computer Graphics Forum. — 2012. — Vol. 31, 2pt4. — P. 775-784.

20. Tournois, J. 2D centroidal Voronoi tessellations with constraints / J. Tournois, P. Alliez, O. Devillers // Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications. - 2010. - Vol. 3, no. 2. - P. 212-222.

21. Efficient and accurate reservoir modeling using adaptive gridding with global scale up / L. V. Branets [et al.] // Proceedings of SPE Reservoir Simulation Symposium. — 2009.

22. Dynamic Data Analysis. Vol. 5.20 / O. Houzé, D. Viturat, O. S. Fjaere, [et al.]. — 1st ed. — Kappa Engineering, 2019. — 757 p.

23. Berge, R. L. Unstructured pebi grids adapting to geological feautres in subsurface reservoirs : Master's thesis / Berge R. L. — Norwegian University of Science, Technology, 2016.

24. Berge, R. L. Unstructured Voronoi grids conforming to lower dimensional objects / R. L. Berge, 0. S. Klemetsdal, K.-A. Lie // Computational Geo-sciences. - 2019. - Vol. 23, no. 1. - P. 169-188.

25. Воропинов, А. А. Построение трехмерной сетки на основе диаграммы Вороного в невыпуклых областях / А. А. Воропинов, С. С. Соколов, А. К. Шмелева // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. — 2018. — № 2. — с. 40—54.

26. Fitting voronoi diagrams to planar tesselations / G. Aloupis [et al.] // Proceedings of International Workshop on Combinatorial Algorithms. — 2013. — P. 349-361.

27. On the construction of generalized voronoi inverse of a rectangular tessellation / S. Banerjee [et al.] // Ninth International Symposium on Voronoi Diagrams in Science and Engineering. — New Brunswick, NJ, 2012. — P. 132—137.

28. A seed placement strategy for conforming voronoi meshing / A. Abdelkader [et al.] // Proceedings of Canadian Conference on Computational Geometry. — 2017. - P. 95-100.

29. VoroCrust: Voronoi meshing without clipping / A. Abdelkader [et al.] // arXiv preprint arXiv:1902.08767. - 2019.

30. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability / D. W. Peaceman [et al.] // Society of Petroleum Engineers Journal. — 1983. — Vol. 23, no. 03. — P. 531-543.

31. Analytical well models for reservoir simulation / J. H. Abou-Kassem, K. Aziz, [et al.] // Society of Petroleum Engineers Journal. — 1985. — Vol. 25, no. 04. — P. 573-579.

32. Каневская, Р. Опыт моделирования и мониторинга разработки нефтяного месторождения в условиях массового проведения гидроразрыва пласта / Р. Каневская, С. Жучков // Технологии нефти и газа. — 2011. — т. 4, № 75. — с. 41—47.

33. Mascarenhas, O. Coarse scale simulation of horizontal wells in heterogeneous reservoirs / O. Mascarenhas, L. Durlofsky // Journal of Petroleum Science and Engineering. - 2000. - Vol. 25, no. 3/4. - P. 135-147.

34. Мазо, А. Б. Апскейлинг абсолютной проницаемости для суперэлементной модели разработки нефтяного пласта / А. Б. Мазо, К. А. Поташев // Математическое моделирование. — 2017. — т. 29, № 6. — с. 89—102.

35. Киреев, Т. Ф. Построение диаграммы Вороного с ограничениями на плоскости / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Вычислительные технологии. — 2019. — т. 24, № 4. — с. 28—37.

36. Киреев, Т. Ф. Процедура апскейлинга для моделирования скважин с трещинами гидроразрыва пласта [Near-well upscaling to simulate wells with hydraulic fractures] / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Математическое моделирование [Mathematical models and computer simulations]. — 2019. — № 3. — с. 97—108.

37. Kireev, T. F. Flow-Based Upscaling for Voronoi Grid near a Hydraulic Fracture / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova // 21st International Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT 2019). Vol. 3. — Atlantis Press, 2019.

38. Киреев, Т. Ф. Интерпретация трассерных исследований с помощью дискретной модели трещины / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Вычислительная механика сплошных сред. — 2018. — т. 11, № 3. — с. 252—262.

39. Kireev, T. F. Modeling of stress state of a perforated cement sheath in a production well / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova // Journal of Physics: Conference Series (JPCS). — Bratislava, Slovakia : IOP Publishing, 2019.

40. Киреев, Т. Ф. Моделирование напряженного состояния перфорированного цементного кольца, примыкающего к скважине с трещиной гидроразыва пласта / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2019. — т. 23, № 4. — с. 777—788.

41. Киреев, Т. Ф. Программа для построения двумерной расчетной сетки Вороного / Т. Ф. Киреев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019615495 от 24.05.2019. — 2019.

42. Киреев, Т. Ф. Программа для интерпретации трассерных исследований с помощью дискретной модели трещины / Т. Ф. Киреев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019615494 от 24.05.2019. — 2019.

43. Киреев, Т. Ф. Моделирование полимерного заводнения с использованием сетки Вороного / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова, И. Ф. Хатмуллин // Вычислительная механика сплошных сред. — 2018. — т. 11, № 1. — с. 15—24.

44. Киреев, Т. Ф. Моделирование притока к трещине гидроразрыва пласта с помощью процедуры апскейлинга / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // Тезисы докладов IX Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» с международным участием, посвященная памяти академика А.Ф. Сидорова. — Абрау-Дюрсо : Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2018. — с. 40.

45. Kireev, T. F. Near-well upscaling for coarse scale simulation of finite conductivity fractures / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova // Proceedings of International Conference on mathematics and mechanics, ICMM2018. — Vienna, Austria, 2018. - P. 32.

46. Киреев, Т. Ф. Применение неструктурированной сетки Вороного для численного решения задач фильтрации / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 2: Механика жидкости и газа. — Уфа : Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. — с. 1208—1210.

47. Kireev, T. F. Mathematical modeling of polymer flooding using the unstructured Voronoi grid / T. F. Kireev, G. T. Bulgakova, I. F. Khatmullin // Journal of Physics: Conference Series (JPCS). Vol. 936. — Paphos, Cyprus : IOP Publishing, 2017. - P. 012001.

48. Киреев, Т. Ф. Математическое моделирование полимерного заводнения нефтяных пластов / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова, И. Ф. Хатмуллин //

Сборник тезисов XXIV Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». т. 24. — Пущино : Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2017. — с. 193.

49. Киреев, Т. Ф. Интерпретация трассерных исследований с помощью дискретной модели трещины / Т. Ф. Киреев, Г. Т. Булгакова, И. Ф. Хатмул-лин // Тезисы докладов Второй всероссийской летней школы-конференции «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения». — Уфа : Уфа: БашАльфаПринт, 2018. — с. 57.

50. Aurenhammer, F. Voronoi diagrams—a survey of a fundamental geometric data structure / F. Aurenhammer // ACM Computing Surveys (CSUR). — 1991. - Vol. 23, no. 3. - P. 345-405.

51. Use of irregular grid in reservoir simulation / E. Nacul, K. Aziz, [et al.] // SPE Annual Technical Conference and Exhibition. — 1991.

52. Wu, X. H. Effect of grid deviation on flow solutions / X. H. Wu, R. R. Parashkevov // SPE Reservoir Simulation Symposium. — 2005.

53. Nikitin, K. A monotone nonlinear finite volume method for diffusion equations and multiphase flows / K. Nikitin, K. Terekhov, Y. Vassilevski // Computational Geosciences. - 2013. - Vol. 18. - P. 311-324.

54. Forsyth, P. A. Quadratic convergence for cell-centered grids / P. A. Forsyth, P. H. Sammon // Applied Numerical Mathematics. — 1988. — Vol. 4. — P. 377-394.

55. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

56. Chang, H. L. Polymer Flooding Technology - Yesterday, Today, and Tomorrow / H. L. Chang // Journal of Petroleum Technology. — 1978. — Vol. 30, no. 8. - P. 1113-1128.

57. Bondor, P. Mathematical Simulation of Polymer Flooding in Complex Reservoirs / P. Bondor, G. Hirasaki, M. Tham // Society of Petroleum Engineers Journal. - 1972. - Vol. 12, no. 5. - P. 369-382.

58. Clifford, P. The Effects of Chemical Degradation on Polymer Flooding / P. Clifford, K. Sorbie // SPE Oilfield and Geothermal Chemistry Symposium. — Phoenix, Arizona,

59. Modeling and Upscaling Unstable Water and Polymer Floods: Dynamic Characterization of the Effective Finger Zone / H. Luo [et al.] // SPE Improved Oil Recovery Conference. — Tulsa, Oklahoma, 2016.

60. Кудрявцев, Л. Курс математического анализа. т. 2 / Л. Кудрявцев. — 5-е изд. — 2003. — 720 с.

61. Cardwell, W. Average Permeabilities of Heterogeneous Oil Sands / W. Cardwell, R. Parsons // Transactions of the AIME. — 1945. — Vol. 160, no. 1. — P. 34-42.

62. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. — 2-е изд. — БХВ-Петербург, 2011. — 592 с.

63. Corey, A. The interrelation between gas and oil relative permeabilities / A. Corey // Producers monthly. — 1954. — Vol. 19, no. 1. — P. 38—41.

64. Estimation of three-phase relative permeability and residual oil data / H. Stone [et al.] // Journal of Canadian Petroleum Technology. — 1973. — Vol. 12, no. 04.

65. OPM Flow [электронный ресурс]. — 2017. — URL: http://opm-project.org (дата обр. 23.10.2017).

66. Matthews, C. S. Pressure buildup and flow tests in wells. т. 1 / C. S. Matthews, D. G. Russell. — Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME, 1967.

67. Karimi-Fard, M. An Efficient Discrete Fracture Model Applicable for General Purpose Reservoir Simulators / M. Karimi-Fard, L. Durlofsky, K. Aziz // SPE Journal, SPE-88812-PA. - 2004. - Vol. 9, no. 02. - P. 227-236.

68. Development of a novel and computationally-efficient discrete-fracture model to study IOR processes in naturally fractured reservoirs / A. Moinfar [et al.] // SPE Improved Oil Recovery Symposium. — Tulsa, Oklahoma, USA, 2012.

69. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media / L. Li, S. H. Lee, [et al.] // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. — 2008. — Vol. 11, no. 04. - P. 750-758.

70. Wolfsteiner, C. Calculation of well index for nonconventional wells on arbitrary grids / C. Wolfsteiner, L. J. Durlofsky, K. Aziz // Computational Geosciences. - 2003. - Vol. 7, no. 1. - P. 61-82.

71. Ding, D. Y. Efficient simulation of hydraulic fractured wells in unconventional reservoirs / D. Y. Ding, Y. Wu, L. Jeannin // Journal of Petroleum Science and Engineering. - 2014. - Vol. 122. - P. 631-642.

72. Simulation of Deviated Wells Using 3D Unstructured Grids of Flexible Resolution / V. Artus, D. Fructus, O. Houze, [et al.] // SPE Reservoir Simulation Conference. — Montgomery, Texas, USA, 2017.

73. A coupled local-global upscaling approach for simulating flow in highly heterogeneous formations / Y. Chen [et al.] // Advances in Water Resources. — 2003. - Vol. 26, no. 10. - P. 1041-1060.

74. Accurate resolution of near-well effects in upscaled models using flow-based unstructured local grid refinement / M. Karimi-Fard, L. Durlofsky, [et al.] // SPE Journal. - 2012. - Vol. 17, no. 04. - P. 1-084.

75. Чернокожев, Д. Совершенствование технологии индикаторных исследований для оценки фильтрационной неоднородности межскважинного пространства нефтяных пластов : дис. ... канд. / Чернокожев Д.А. — Дубна : Дисс... канд. техн. наук: 25.00.10, 07.2008. — 141 с.

76. Соколовский, Э. Индикаторные методы изучения нефтегазоносных пластов / Э. Соколовский, Г. Соловьев, Ю. Тренчиков. — Москва : Недра, 1986. — 157 с.

77. Регулирование фильтрационных потоков водоизолирующими технологиями при разработке нефтяных месторождений / В. Захаров [и др.]. — Москва : РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2010. — 225 с.

78. Abbaszadeh-Dehghani, M. Analysis of well-to-well tracer flow to determine reservoir layering / M. Abbaszadeh-Dehghani, W. Brigham // Journal of Petroleum Technology. - 1984. - Vol. 36, no. 10. - P. 1753-1762.

79. Agca, C. Modeling and analysis of tracer flow in oil reservoirs / C. Agca, G. Pope, K. Sepehrnoori // Journal of Petroleum Science and Engineering. — 1990. - Vol. 4, no. 1. - P. 3-19.

80. Ильясов, А. Моделирование течения вязкой жидкости в магистральной вертикальной трещине с проницаемыми стенками / А. Ильясов, Г. Булгакова // Математическое моделирование. — 2016. — т. 28, № 7. — с. 65—80.

81. Nelder, J. A simplex method for function minimization / J. Nelder, R. Mead // The Computer Journal. - 1965. - Vol. 7, no. 4. - P. 308-313.

82. Межецкий, Г. Сопротивление материалов: учебник / Г. Межецкий, Г. За-гребин, Н. Решетник. — Москва : Дашков и К, 2016. — 432 с.

83. Щербо, А. Г. Основы теории упругости и пластичности: учеб.-метод. комплекс для студентов спец. «Промышленное и гражданское строительство» / А. Г. Щербо. — Новополоцк : ПГУ, 2008. — 240 с.

84. Nordbotten, J. M. Cell-centered finite volume discretizations for deformable porous media / J. M. Nordbotten // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2014. - Vol. 100, no. 6. - P. 399-418.

85. Keilegavlen, E. Finite volume methods for elasticity with weak symmetry / E. Keilegavlen, J. M. Nordbotten // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2017. - Vol. 112, no. 8. - P. 939-962.

86. Ertekin, T. Basic applied reservoir simulation / T. Ertekin, J. Abou-Kassem, G. King. — Richardson : Society of Petroleum Engineers, 2001. — 406 p. — (SPE Textbook Series).

87. Ильясов, А. Моделирование прочности водоизолирующих барьеров в пористых пластах / А. Ильясов, Т. Киреев, Г. Булгакова // Прикладная механика и техническая физика. — 2019. — т. 60, № 5. — с. 184—193.

88. Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехниц-кий. — Москва : Наука, 1977. — 416 с.

89. Овсянников, Л. Введение в механику сплошных сред. Часть 1: общее введение / Л. Овсянников. — Новосибирск, 1976. — 75 с.

90. The FEniCS Project Version 1.5 / M. S. Alnaes [et al.] // Archive of Numerical Software. - 2015. - Vol. 3, no. 100.

СПИСОК РИСУНКОВ

1.1 Примеры диаграмм Вороного с ограничением. Серыми и черными линиями показаны ребра диаграммы, синими точками - узлы диаграммы................................. 16

1.2 Иллюстрация к алгоритму 1. Серыми и черными линиями

показаны ребра диаграммы, синими точками - узлы диаграммы . . . 17

1.3 Ограничение. Черными линиями показаны ребра ограничения .... 19

1.4 Диаграмма Вороного с ограничением. Черными линиями показаны ребра диаграммы, синими точками - узлы диаграммы ........ 19

1.5 Сетка для прямоугольной области.................... 21

1.6 Сетка для невыпуклой области ...................... 21

1.7 Окно программного модуля трехфазной фильтрации ......... 23

2.1 Разбиение куба на тетраэдры (изображение:

www.ics.uci.edu/ eppstein/projects/tetra)................. 25

2.2 Трехмерная ячейка Вороного ....................... 25

2.3 Вычисление потока между ячейками сетки ............... 32

2.4 Зависимость эффективной вязкости воды eff в численном эксперименте от локальных концентраций полимера Ср и соли С8 . . 37

2.5 Конфигурации сеток и распределение пластового давления на 60-м месяце заводнения: гексагональная локально измельченная сетка Вороного (а-в) и прямоугольная локально измельченная сетка (г-е) с количеством ячеек: (а) - 178, (б) - 491, (в) - 2332, (г) - 185, (д) -

505, (е) - 2368 ............................... 38

2.6 Дебит нефти рассчитанный на локально измельченной прямоугольной сетке ............................ 39

2.7 Дебит нефти рассчитанный на гексагональной локально измельченной сетке Вороного ....................... 39

2.8 Распределение водонасыщенности на 80-м месяце заводнения; (а) -прямоугольная сетка с 2601 ячейкой, (б) - гексагональная локально измельченная сетка Вороного с 2678 ячейками ............. 39

2.9 К сопоставлению полученных результатов с данными, рассчитанными в симуляторах: (а), (б) - дебиты нефти; (в), (г) -абсолютное отклонение полученного дебита от дебитов в Eclipse и

OPM Flow ................................. 41

2.10 PEBI сетка. Зеленым цветом изображен отрезок, соединяющий

узлы U и V двух ячеек.......................... 42

2.11 Сетка Вороного с радиальным измельчением и два варианта расположения узлов: (а) - узлы PEBI сетки, (б) - узлы блочно-центрированной сетки. Узлы обозначены зелеными точками, а точки пересечения серединных перпендикуляров к

ребрам - черными точками........................ 43

2.12 Погрешность численного решения задачи однофазной фильтрации

на двух сетках ............................... 44

3.1 Расположение узловых точек для построения мелкой расчетной сетки около трещины ГРП. Узловые точки изображены серым цветом. Черной линией обозначена трещина ГРП........... 52

3.2 Часть мелкой расчетной сетки около трещины ГРП. Узловые точки пластовых ячеек изображены серым цветом. Узловые точки ячейки трещины изображены черным цветом. Черными линиями изображены грани пластовых ячеек. Пунктирная линия представляет собой одновременно грань между двумя пластовыми ячейками и ячейку трещины ГРП.................... 52

3.3 Часть грубой расчетной сетки около трещины ГРП. Все обозначения аналогичны обозначениям на рис. 3.2, за исключением того, что пунктирная линия теперь не является гранью между ячейками, а изображает только ячейки трещины ГРП. Узловые точки грубых ячеек, через которые проходит трещина,

геометрически совпадают с узловыми точками ячеек трещины . . . . 53

3.4 Проницаемость пласта (указаны значения проницаемости в ячейках мелкой сетки) ............................... 54

3.5 Мелкая сетка (слева) и крупная сетка (справа). В левом нижнем углу расположена добывающая скважина, а в правом верхнем

углу - нагнетательная скважина..................... 54

3.6 Давление, полученное с помощью решения двух локальных задач

на мелкой сетке .............................. 55

3.7 К вычислению проводимости между ячейкой трещины и пластовой ячейкой в варианте расчета 3 ....................... 56

3.8 Дебиты нефти и воды в трех вариантах расчета: черная линия -мелкая сетка (эталонное решение); красная линия - крупная сетка (апскейлинг); синяя линия - крупная сетка (линейная формула) ... 56

4.1 Расчетная сетка для пласта с трещиной: (а) - сетка вокруг трещины, (б) - увеличенное изображение сетки вблизи трещины (серым цветом обозначены ячейки трещины, черными стрелками -возможные направления течения воды и трассера между ячейками) 62

4.2 Расчетная сетка для пласта с трещиной, проходящей между двумя скважинами: (а) - сетка вокруг трещины и скважин, (б) -схематическое изображение соединения забоя скважины с несколькими трещинами (серым цветом обозначены ячейки

трещин, черным - ячейка забоя скважины) ............... 63

4.3 Сетки для верификации: (а) - для расчета по предложенной модели, (б) - для расчета в коммерческом симуляторе; горизонтальная линия в центре - трещина, соединяющая две скважины; перекрестные сгущения линий на рисунке (б)

образованы локальным измельчением сетки .............. 63

4.4 Кривые отклика из расчетов по предложенной модели и с помощью коммерческого симулятора........................ 64

4.5 Расчетная сетка для исследования корректности обратной задачи. Цифрами указаны номера скважин, жирными линиями обозначены трещины, черными кругами - добывающие скважины, черным

кругом со стрелками - нагнетательная скважина ........... 66

4.6 Кривые отклика при исследовании корректности обратной задачи . . 66

4.7 Расчетная сетка и взаимное расположение скважин для расчета на опытном участке пласта; цифрами обозначены номера скважин, жирными линиями - трещины, черными точками - добывающие скважины, черной точкой со стрелками - нагнетательная скважина . 68

4.8 Фактические и модельные кривые отклика на трех добывающих скважинах, полученные из расчета на опытном участке пласта . . . 69

4.9 Поле водонасыщенности в двухфазном расчете после 500 суток заводнения при различной проницаемости трещины, Дарси: (а) -

500; (б) - 10................................. 71

4.10 Динамика обводненности добывающей скважины в двухфазном расчете для двух значений проницаемости трещины .......... 72

4.11 Пластовое давление в двухфазном расчете при проницаемости трещины, близкой к бесконечной; вертикальная координата каждой точки поверхности отвечает давлению в этой точке.......... 73

5.1 Цементное кольцо и эксплуатационная колонна. Голубым цветом закрашена внешняя стенка цементного кольца, зеленым -внутренняя стенка эксплуатационной колонны, красным - стенки

перфораций, серым - торцы цементного кольца и эксплуатационной

колонны, желтым - трещина ГРП.................... 78

5.2 Несколько ячеек, инцидентных вершине V. Ребра ячеек изображены черными отрезками. Мини-ячейка (г1,у) закрашена серым цветом . . 81

5.3 Двумерная сетка Вороного с локальным измельчением вблизи двух скважин. 1 - нагнетательная скважина, 2 - добывающая скважина . 87

5.4 Распределение давления пластовой жидкости (атм) вблизи добывающей скважины (рюец = 50 атм) при наличии (а) и при отсутствии (б) трещины ГРП ...................... 87

5.5 Перемещение (мкм) точек цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль горизонтальной оси (при наличии трещины ГРП, рШе11 = 50 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при наличии горного

бокового давления, (б) - при отсутствии горного бокового давления . 88

5.6 Напряжение Мизеса (атм) в каждой точке цементного кольца и эксплуатационной колонны (при отсутствии горного бокового давления, ршец = 50 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............ 89

5.7 Напряжение Мизеса (атм) в каждой точке цементного кольца и эксплуатационной колонны (при наличии горного бокового давления, ршец = 50 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............ 89

5.8 Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при отсутствии горного бокового давления, р,шец = 50 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............................... 90

5.9 Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при наличии горного бокового давления, р,шец = 50 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............................... 90

5.10 Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при наличии горного бокового давления, р,шец = 20 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............................... 91

5.11 Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (при наличии горного бокового давления, р,шец = 50 атм, ЕсетеП1 = 1 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............................... 91

5.12 Напряжение Мизеса (атм) в вертикальном сечении цементного кольца и эксплуатационной колонны вдоль линии перфораций (с учетом влияния горных тектонических горизонтальных напряжений, р,шец = 50 атм, ЕсетеП1 = 5 ГПа): (а) - при отсутствии трещины ГРП, (б) - при наличии трещины ГРП ............ 92

5.13 Напряжение Мизеса в каждой точке деформированной балки: (а) -расчет в пакете моделирования Fenics; (б) - наш расчет ....... 94

5.14 Напряжение Мизеса в продольном сечении балки в двух расчетах . 94

5.15 Абсолютная разница напряжений Мизеса в продольном сечении

балки в двух расчетах .......................... 95

СПИСОК ТАБЛИЦ

1 Основные параметры задачи....................... 36

2 Параметры трещин, полученные в ходе исследования корректности обратной задачи .............................. 67

3 Параметры каналов НФС, вычисленные с помощью классического метода по формулам (4.1) и (4.2)..................... 68

4 Параметры трещин, вычисленные с помощью дискретной модели трещины (без перетоков между трещиной и пластом)......... 70

5 Параметры трещин, вычисленные с помощью дискретной модели трещины (с перетоками между трещиной и пластом)......... 70

ПРИЛОЖЕНИЕ А

СВИДЕТЕЛЬСТВО О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ «ПРОГРАММА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ РАСЧЕТНОЙ СЕТКИ ВОРОНОГО»

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

СВИДЕТЕЛЬСТВО О ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ «ПРОГРАММА ДЛЯ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТРАССЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ ТРЕЩИНЫ»

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2019616557

Программа для интерпретации трасссриых исследований с помошыо дискретной модели трещины

Правообладатель: Киреев Тимур Фаритович (ЯП)

Автор: Киреев Тимур Фаритович (Л С1)

Заявка № 2019615494

Дата поступления 16 МЯЯ 2019 Г.

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для ЭВМ 24 МОЯ 2019 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Г.П. Ивлиев