Математическое моделирование движения оползней-потоков методом частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Зеркаль, Светлана Владимировна

• Зеркаль, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зеркаль, Светлана Владимировна

Введение.

Глава 1. Математическая модель движения потоков на наклонных поверхностях.

§ 1. Уравнения движения потоков на наклонных поверхностях.

§ 2. Газодинамическая аналогия.

§ 3. Некоторые модели трения для потоков различной природы.

Глава 2. Метод частиц и его применение в теории мелкой воды.

§ 1. Метод частиц для уравнения переноса.

§ 2. Метод частиц для системы уравнений теории мелкой воды.

§ 3. Численный анализ некоторых моделей теории мелкой воды.

3.1. Организация вычислительного эксперимента.

3.2. Задача о распространении бора.

3.3. Задача об отражении бора от твердой стенки.

3.4. Задача о гидравлическом прыжке.

3.5. Задача о разрушении плотины.

§ 4. Апостериорная оценка погрешности метода частиц на моделях теории мелкой воды.

Глава 3. Математическое моделирование движения оползней-потоков.

§ 1. Определение и описание оползней-потоков.

§ 2. Математическая модель движения оползней-потоков.

§ 3. Численное исследование движения оползней-потоков.

§ 4. О математических моделях некоторых родственных геологических процессов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование движения оползней-потоков методом частиц»

Оползни - скользящее смещение масс горных порол вниз по склону под влиянием силы тяжести (рисЛ). Оползни возникают в каком-либо участке склона или откоса вследствие нарушения равновесия пород, вызванного: увеличением крутизны склона в результате подмыва водой; ослаблением прочности пород при выветривании или переувлажнении осадками и подземными водами; воздействием сейсмических толчков; строительной и хозяйственной деятельностью, проводимой без учета геологических условий местности [53]. Оползни представляют один из видов опасных геологических процессов, являются крупным препятствием при строительстве гражданских и промышленных зданий, дорог, освоении земель и добыче по

Бровка срыва ленка срыва лезных ископаемых, представляют опасность для жизни людей (рис. 2, 3). Среди стихийных бедствий и катастроф природного характера оползни стоят на 4-ом месте по

Трешины разрыва Оползневые ступени, или уступы

Трещины вспучиваний Язык оползня

Деформация основания оползня

Рис. 1. Продольный разрез оползня [53J. еле засух, наводнений и землетрясений.

Практически нет такой страны, где оползни не причиняли бы больших убытков (рис. 4, 5, табл. 1). Считается, что наибольшая цифра опенки прямых и косвенных ежегодных убытков от оползней, принадлежит Японии - до 4.7 млрд. долларов в год [102, 103J. Считается, что убытки, которые несут государства бывшего СССР в силу большой территории, находящейся в зоне действия оползней, имеют тот же порядок, как и для Китая [100, 111], но точных цифр, к сожалению, нет.

Защита от оползней на протяжении многих веков остается одной из наиболее крупных проблем человечества. Более половины всего материального ущерба, причиняемого ополз

Страна Стоимость ущерба, м.ш. долларов США

Япония, США, Италия, Индия каждая [111] 1,000-5,000

Китай [100J 500

Испания [85] 220

Канада [91] 50

Гонконг [87] 25

Новая Зеландия [93] 12

Швеция [90] 10-20

Норвегия [921 6

Таблица 1. Стоимость ежегодных убытков ряда стран от оползней

Рис.2. Оползень Кукарача, 2 февраля 1913 г. Объем 2.2 млн.м\ Строительство Панамского канала. Железнодорожные пути пролегают по дну будущего канала. Активность оползня наблюдалась как в течение всего строительства, так и после заполнения канала водой [101 ].

Рис. 3. Повреждение железнодорожного пути Сиэтл-Такома в результате оползания склона, вызванного землетрясением, 1965 г. (штат Вашингтон, США) [111]. зневыми потоками, связано с ошибками, допущенными при расчете и проектировании противооползневых сооружений. Разработка надежных противооползневых сооружений - весьма сложная задача, успешное решение которой невозможно без количественной теории оценки устойчивости склонов и развития склоновых деформаций, основанной на комплексе математических моделей, описывающих различные стадии оползневого процесса. Однако создание такой теории связано с большими трудностями - сложность и многофакторность оползневых явлений, обилие переменных величин, определяющих ход оползневых процессов, отсутствие физически обоснованных зависимостей, дающих строгое математическое описание этих процессов. Практическое значение прогноза особенно велико, потому что при современном состоянии техники строительства стоимость противооползневых сооружений очень высокая и применение их экономически оправданно не везде и не всегда. Таким образом, изучение данного явления и прогнозирование оползней являются актуальными и практически значимыми.

Существует большое разнообразие типов оползней в зависимости от комплекса природных факторов. Самыми распространенными среди них являются оползни-потоки (оползни-течения), которые встречаются практически на всем земном шаре. По характеру движения они близки к движению некоторых типов селей и лавин и аналогичны течению жидкости в открытых каналах. Описание течения однородной жидкости в открытых наклонных руслах является одной из основных проблем гидравлики. Это нелинейный длинноволновой процесс, описываемый гиперболическими дифференциальными уравнениями. Как правило, длинноволновое приближение позволяет уменьшить размерность рассматриваемой задачи, а гиперболичность системы отражает основные свойства процессов передачи возмущений в потоке жидкости и конечность скорости их распространения. Поэтому для описания движения оползней-потоков (и близких по характеру движения водных, снежных и селевых потоков) используются математические модели теории мелкой воды (или теории длинных волн) [38, 43, 65]. Теория длинных волн обычно применяется в достаточно важном для приложений случае, когда характерные горизонтальные масштабы волнового движения намного превосходят глубину слоя жидкости. Начало развития этой теории связано с нестационарными задачами гидравлики открытых русел. Большое значение в создании математических методов анализа эволюции нелинейных длинных волн имела ана

Рис. 4. Оползень Лемьё (Онтарио, Канада), 20 июня 1993 г. Объем - до 3.5 млн.м'. Грунт просел на 12 м. Затем большая его часть сместилась в долину (South Nation Valley) и временно перегородила реку. Весь процесс формирования (проседания) и движения оползня -занял 1 час. Длина оползня примерно 3.3 км [88].

Рис 5. Разрушение железной дороги и автодороги в результате оползня, октябрь 1990 г. (Howe Sound, Британская Колумбия, Канада). Зона отрыва располагается примерно в 300 м над автодорогой. На уборку и стабилизацию склона ушло несколько недель. [111]. логия между уравнениями мелкой воды и уравнениями газовой динамики [38, 60, 65, 80]. В частности, это позволило применить понятие разрывного решения для описания таких явлений, как гидравлический прыжок и бор. Отметим, что данная аналогия также позволила для решения уравнений теории мелкой воды применить численные методики первоначально созданные для решения уравнений газовой динамики (схемы Лакса-Фридрихса, Мак-Кормака, Куранта-Изаксона-Риса, Роу, Ошера-Соломона, метод Годунова и многие другие) [40].

В настоящей работе рассматривается плоскопараллельное течение жидкости, позволяющее ограничиться изучением одномерной нестационарной задачи. Для моделирования движения оползня-потока в качестве исходной взята модель уравнений однослойной мелкой воды, учитывающей турбулентное трение о дно, которая также использует осредненное по слою значение скорости. Соответствующие математические модели представляют собой начальные (начально-краевые) задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Очевидно, что общий метод исследования такого класса задач может быть только численным. При выборе численного метода были учтены следующие обстоятельства:

В большинстве работ по численному моделированию рассматриваемых явлений применяются различные схемы конечно-разностных методов (схема Лакса-Вендроффа, схема Мак-Кормака) [4, 18,47,48]. При этом основное внимание уделяется описанию инженерно-геологических следствий расчетов и отсутствует летальное тестирование самих вычислительных схем. Из работ такого рода трудно судить о точности получаемых численных результатов и границах их применимости.

Сравнительно недавно появился ряд вычислительных схем, названных методом частиц (их называют также «безееточными» методами, методами подвижных конечных элементов, полностью лагранжевы методы, методы на неструктурированных сетках, методы маркеров и так далее), которые применяются при численном моделировании процессов газовой динамики и гидродинамики [73-75]. Существуют также примеры применения метода частиц (наряду с конечно-разностными методами) в теории мелкой воды [86, 94-96. 104] и при моделировании движения лавинных потоков [96, 105].

В настоящей работе для численного моделирования движения оползня-потока используется вариант метода частиц, состоящий в адаптации формы частиц на каждом шаге по времени с целью выполнения условия слабой аппроксимации исходного решения, предложенный в [6-8]. Ранее он использовалась для численного решения задач газовой динамики, а в нашем случае позволяет провести численное исследование различных задач теории мелкой воды и движения оползней-потоков.

Основной целью настоящей диссертационной работы является математическое моделирование движения оползней-потоков на наклонных поверхностях методом частиц. Работа состоит из трех глав. Первая глава содержит вывод системы уравнений движения потоков на наклонной поверхности, основанный на ряде предположений о свойствах потока. Во втором параграфе отмечается существующая аналогия между системой уравнений теории мелкой воды и системой уравнений газовой динамике. В третьем параграфе приводятся некоторые модели трения для жидкости и потоков, содержащих глину и камни (типа селей) и глинистых растворов (типа оползней-течения).

Вторая глава посвящена описанию метода частиц и приведены результаты его применения к решению линейного и квазилинейного уравнения переноса в сравнении с численными решениями, полученными с помощью разностных схем. Дана постановка и приведены результаты вычислительных экспериментов для теории мелкой воды (задача о разрушении плотины, задача о распространении бора, об отражении бора от твердой стенки, задача о гидравлическом прыжке). Проведено сравнение с численным решением задачи о прорыве плотины, полученным с помощью конечно-разностных методов. Также приводятся результаты апостериорного анализа погрешности численного решения, полученного с помощью метода частиц, для задач теории мелкой воды.

В третьей главе дается физическая и математическая постановки задачи о движении оползня-потока и приведены результаты расчетов движения жидкости и оползней-потоков по склону с постоянным и переменным углом наклона. Проведено моделирование движения и остановки оползня-потока «Шарора», образовавшегося в результате Гиссарского землетрясения (23 января 1989 г., Таджикистан). Приводится обзор математических моделей близких по характеру движения к оползням-потокам селей и снежных лавин в рамках теории мелкой воды.

Следует пояснить систему ссылок. В каждой главе применяется независимая нумерация параграфов. Формулы в тексте параграфа нумеруются двумя номерами, первый из которых - номер параграфа, а второй - номер формулы. Ссылка на формулу данной главы содержит два номера, если же возникает необходимость ссылаться на формулы из другой главы, то приводятся три номера, первый из которых соответствует номеру главы. Нумерация рисунков и таблиц - сквозная по всему тексту.

Основные результаты опубликованы в следующих статьях и сборниках трудов:

1. Зеркаль С.В., Калинин Э.В. Математическое моделирование движения оползней-потоков//Проблемы инженерной и экологической геологии. Труды научной конференции аспирантов и молодых ученых, посвященной 100-летию со дня рождения С.С.Морозова и 60-летию кафедры инженерной геологии и охраны геологической среды геол. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. Под ред. В.А. Королева. - М.: геологический ф-т МГУ, 1998.-С. 20

2. Богомолов С.В., Захаров Е.В., Зеркаль С.В. Математическое моделирование движения оползня-потока методом частиц//'1 руды X Международного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-2001)». -Херсон, 2001.-С. 69-71

3. Богомолов С.В., Захаров Е.В., Зеркаль С.В. Моделирование волн на мелкой воде методом частиц//Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14. - № 3. - С. 103-116

4. Зеркаль С.В. Апостериорная оценка погрешности метода частиц на моделях теории мелкой воды //Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. Под ред. Д.П.Костомарова. В.И.Дмитриева. - 2002. -№ 10.-С. 90-101

Автор выражает глубочайшую благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Захарову Евгению Владимировичу и к.ф.-м.н., доценту Богомолову Сергею Владимировичу за руководство над диссертационной работой и большую помощь на протяжении всей работы. Автор приносит свою благодарность доктору геолого-минералогических наук, профессору Калинину Эрнесту Валентиновичу за постановку задачи, участие и постоянное многолетнее обсуждение результатов работы; д.ф.-м.н., доценту Эглит Маргарите Эрнестовне за полезные советы, замечания и помощь.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Зеркаль, Светлана Владимировна

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Применительно к моделям теории мелкой воды и течений потоков по наклонным поверхностям развит и реализован один из вариантов метода частиц, состоящий в адаптации формы частиц на каждом шаге по времени с целью выполнения условия слабой аппроксимации исходного решения.

2. Проведено численное исследование ряда математических моделей теории мелкой воды. Дан сравнительный анализ численных решений с аналитическими решениями. Проведен апостериорный анализ погрешности численного решения, получены зависимости погрешности решения от параметров метода - числа частиц и шага по времени.

3. Разработан программный комплекс, ориентированный на моделирование движения оползней-потоков по склоновым поверхностям. Методом вычислительного эксперимента исследован процесс движения водных, селевых и оползневых потоков по поверхностям с постоянным и переменным углом наклона.

4. Проведено математическое моделирование движения оползня-потока «Шарора», образовавшегося в результате Гиссарского землетрясения (23 января 1989 г., Таджикистан). Дан сравнительный анализ результатов численного эксперимента с натурными наблюдениями и данными физического моделирования.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зеркаль, Светлана Владимировна, 2002 год

1. Алексеев Н.А. Стихийные явления в природе: проявление, эффективность защиты. - М.: Мысль, 1988. - 254 с.

2. Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов. М.: Изд-во МГУ, 1997. -178 с.

3. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Исследование одномерного движения снежной лавины по плоскому склону//Механика жидкости и газа. 1973. - № 5. - С. 7-14

4. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Исследование решений уравнения движения снежных лавин//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1970. -Вып. 16.-С. 31-38

5. Благовещенский В.П. Водоснежные потоки в Хибинах)/Исследование снега и лавин в Хибинах. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. - С. 88-96

6. Богомолов С.В. Метод частиц. Несжимаемая жидкость//Математическое моделирование. 2001. - (в печати)

7. Богомолов С.В., Замараева А.А., Карабелли X., Кузнецов К.В. Консервативный метод частиц для квазилинейного уравнения переноса//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - Т. 38. - № 9. - С. 1602-1607

8. Богомолов С.В., Кузнецов К.В. Метод частиц для системы уравнений газовой ди-намики//Математическое моделирование. — 1998. Т. 10. — № 3. - С. 93-100

9. Боярский И.Я., Семивол Г.Н. Количественные показатели динамики селей оп-лывно-оползневого генезиса (на примере ручья Малый Мукулан)//Сели в горных районах СССР. 1979. - С. 12-24

10. Виноградов Ю.Б. Этюды о селевых потоках. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. -144 с.

11. Войнич-Сяноженцкий Т.Г., Беручашвили Г.М. К гидравлической теории потоков лавинного характераУ/Тр. ЗакНИГМИ. 1970. - Вып. 37(40). - С. 29-69

12. Володичева Н.А., Миронова Е.М., Олейникова А.Д., Эглит М.Э. Использование математического моделирования для определения границ распространения ла-вин//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1986. -Вып. 56.-С. 78-81

13. Геворкян С.Г., Калантарова Ж.Х. Математическое моделирование процессов формирования и движения селевых потоков//Геоэкология. — 1994. № 6 — С. 59-71

14. Гольдштейн М.Н., Туровская А.Л., Ляпидус Л.С. Использование оползней тече-ния//Вопросы геотехники. 1969. - Сб. 5. - С. 3-23

15. Гонгадзе Д.Н. Некоторые вопросы образования и движения снежных лавин на Кавказе: Автореф. канд. диссертации Тбилиси, 1953

16. Григорян С.С. Новый закон трения и механизм крупномасштабных горных обвалов и оползней//Докл. АН СССР. 1979. - т. 244. - № 4. - С. 846-849

17. Григорян С.С., Нилов Н.Н., Остроумов А.В., Федоренко B.C. Математическое моделирование горных обвалов и оползней больших объемов//Инженерная геология. 1983.-№ 6.-С. 61-73

18. Григорян С.С., Остроумов А.В. Методика расчета движения снежной лавины лоткового типа//Институт механики МГУ. Отчет № 1375. 1972. - 20 с.

19. Григорян С.С., Остроумов А.В. О механизме деформирования и обрушения отвалов горной массы//Институт механики МГУ. Отчет № 1742. 1975

20. Григорян С.С., Остроумов А.В. Расчеты движения обвалов, быстрых оползней и осовов//Методика инженерно-геологических исследований высоких обвальных и оползневых склонов. М.: Изд-во МГУ, 1980. - С. 158-161

21. Григорян С.С., Хайретдинов Э.Ф. Математическая модель оползней течения: //Институт механики МГУ. Отчет № 4132. 1991. - 37 с.

22. Григорян С.С., Эглит М.Э., Якимов Ю.Л. Новая постановка и решение задачи о движении снежной лавины//Физика снега, снежные лавины и ледники. — Л., 1967. -С. 104-113

23. Гулакян К.А., Золотарев Г.С., Зеркаль О.В., Осиюк В.А. Формирование сейсмо-генных оползней в лёссах плато Уртабоз (Таджикистан)//Геоэкология. 1994. - № 6. -С. 80-90

24. Гулакян К.А., Кюнтцель В.В. О распознавании типов оползневых процессов: Доклады сов. учен, к Междунар. конгрессу МАИГ. М.: ВИНИТИ, 1970. - С. 190-200

25. Гулин А.В., Самарский А.А. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

26. Данилова Е.М. Движение снежной лавины в лотке треугольного поперечного сечения//Некоторые вопросы математики и механики. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 98 с.

27. Данилова Е.М. Движение снежной лавины в лотке, поперечное сечение которого моделируется прямоугольником//Вестник МГУ. Серия математика, механика. -1978.-№ 4.-С. 110-116

28. Данилова Е.М., Эглит М.Э. Движение лотковых лавин//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1977. - Вып. 31. - С. 65-74

29. Данилова Е.М., Эглит М.Э. Движение снежных лавин в условиях предельного трения//Механика жидкости и газа. 1977. - № 5. - С. 7-14

30. Денисов H.JI. Строительные свойства глинистых пород и их использование в гидротехническом строительстве. — M.-JL: Госэнергоиздат, 1956. 288 с.

31. Дранников A.M. Оползни. Типы, причины образования, меры борьбы. Киев: Укргидросельстрой, 1956. - 102 с.

32. Егизаров И.В. Движение неоднородной по крупности смеси наносов//Изв. АН АрмССР. Сер. техн. наук. 1963. - т. 16. - № 3. - С. 41-47

33. Емельянова Е.П. Основные закономерности оползневых процессов. М.: Недра, 1972.-308 с.

34. Зеркаль О.В. Сейсмогенные оползни при Гиссарском землетрясении 1989 г. (Таджикистан)//Вестник Московского университета. Серия Геология. — 1994. — № 2. — С. 77-85

35. Золотарев Г.С. Генетические типы оползней, их развитие и изучение: Материалы совещания по изучению оползней и мер борьбы с ними. Киев: изд. Киевск. ун-та, 1964.-С. 165-170

36. Золотарев Г.С. Основы методики инженерно-геологического изучения обвальных и оползневых склонов: Вопросы инженерной геологии. Доклады сов. учен, к Междунар. конгрессу МАИГ. М.: ВИНИТИ, 1970. - С. 141-160

37. Козик С.М. Расчет движения снежных лавин. — Л.: Гидрометеоиздат, 1962

38. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 1963. Т. 1. - 575 с.

39. Куликов Н.П., Шадунц К.Ш. Вязкое течение весомого пласта с учетом упругого закрепления краев//Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1976. - № 7. -С. 105-110

40. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. — 608 с.

41. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Модель для расчета движения пылевой снежной лавины//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1977.-Вып. 31.-С. 74-81

42. Куликовский А.Г., Эглит М.Э. Двумерная задача о движении снежной лавины по склону с плавно меняющимися свойствами//Прикладная математика и механика. — 1973. т. 37. - Вып. 5. - С. 837-848

43. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. -420 с.

44. Маслов Н.Н. Основы механики грунтов и инженерной геологии. М.: Высшая школа, 1968.-629 с.

45. Маслов Н.Н. Условия устойчивости склонов и откосов в гидроэнергетическом строительстве. — М.-Л.: Госэнергоиздат, 1955. — 465 с.

46. Менглибаев М.М. и др. Формирование склоновых процессов и связь их с сейсмичностью. Ташкент, 1984

47. Миронова Е.М. Математическое моделирование движения водных потоков, снежных лавин и селей: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1987. - 18 с.

48. Миронова Е.М. Моделирование на ЭВМ водных и селевых потоков//Проблемы изучения опасных геологических процессов. 1988. — С. 55-66

49. Миронова Е.М. Численный расчет лавинных потоков на основе двумерной гидравлической схемы//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1985. - Вып. 53.-С. 113-115

50. Москалев Ю.Д. Некоторые уравнения движения снежных лавин. Доклад на совещании по лавиноведению в Ташкенте//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1964. - Вып. 10.

51. Мостков М.А. Очерк теории руслового процесса. М.: Изд. АН СССР, 1959. -216 с.

52. Ниязов Р. А. Оползни в лёссовидных породах. Ташкент, 1974

53. Оползни//БСЭ. 3-е изд. - М„ 1974. - Т. 18. - С. 429-430

54. Оползни и сели/Под ред. Е.А.Козловского. М., 1984. - Т. 1. - 352 с.

55. Остроумов А.В. Модель движения снежных лавин лоткового типа: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1972. - 12 с.

56. Павлов А.П. Оползни Симбирского и Саратовского Поволжья//Материалы к познанию геологического строения. 1903. - Вып. 2. - С. 5-41

57. Попов И.В. Инженерная геология. М.: МГУ, 1959. - 510 с.

58. Пчелинцев В.Ф. Оползни и обвалы//Наука и жизнь. 1943. - № 9-10

59. Рзаева М.К. Об инженерно-геологических типах оползней//Инженерные изыскания для строительства. 1969. - Сер JI.2. - № 1. - С. 79-86

60. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 688 с.

61. Роуч П.Дж. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

62. Саваренский Ф.П. Опыт построения классификаций оползней: Труды I Всесо-юзн. оползн. совещания. Л.-М.: ОНТИ, 1935. - С. 29-37

63. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989

64. Саноян В.Г. Неравномерное движение селевого потока в непризматических каналах с переменным уклоном дна//Изв. АН АрмССР. Сер. техн. наук. 1973. - т. 26. -№ 2. - С. 28-34

65. Стокер Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. — М.: Изд-во иностр. литературы, 1959. 617 с.

66. Сулаквелидзе Г.К. К вопросу образования и движения снежных лавин//Труды Института физики и геофизики АН Груз.ССР. 1949. - т. XI

67. Тевзадзе В.И., Кухалашвили Э.Г. Трехслойная модель движения вязкого (высококонцентрированного) селевого потока//Селевые потоки. 1984. - № 8. - С. 29-32

68. Тушинский Г.Л. Лавина//БСЭ. 3-е изд. - М., 1973. - Т. 14. - С. 86-87

69. Фисенко Г.Л. У бортов карьеров и отвалов. Л.-М.: Недра, 1965, - 2-е изд. -378 с.

70. Флейшман С.М. Сели. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. - 352 с.

71. Флейшман С.М. Сель//БСЭ. 3-е изд. - М„ 1976. - Т. 23. - С. 206

72. Хайретдинов Э.Ф. Приближенный расчет движения оползня//Моделирование и прогноз динамики оползневого процесса (заключительный)/Отв. ред. С.С.Григорян/УИнститут механики МГУ. Отчет № 3685. 1988. - С. 84-94

73. Харлоу Ф.Х. Численный метод «частиц в ячейках» для задач гидродинами-ки//Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 316-342

74. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.-633 с.

75. Численные методы в динамике жидкостей/Джеймсон Э., Мюллер Т., Боллха-уз У., Краус В., Шмидт В., Белоцерковский О.; ред. Вирц Г., Смолдерен Ж. М.: Мир, 1981.-407 с.

76. Шадунц К.Ш. Механизм оползней потоков в глинистых породах//Известия вузов. Геология и разведка. 1976. - № 2. - С. 154-155

77. Шадунц К.Ш. Оползни-потоки. М.: Недра, 1983. - 120 с.

78. Шадунц К.Ш. Расчет скоростей движения оползней-потоков//Геологические факторы формирования оползней и селевых потоков и вопросы их оценки. — 1976. — С. 4-12

79. Эглит М.Э. Динамика снежных лавин//Труды Математического института АН СССР. 1989. - Том 186. - С. 162-167

80. Эглит М.Э. Неустановившиеся движения в руслах и на склонах. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 96 с.

81. Эглит М.Э. О расчете лавинных потоков с помощью гидравлических моде-лей//Проблемы изучения опасных геологических процессов. — 1988. С. 88-96

82. Эглит М.Э. Расчет параметров лавин в зоне торможения и останов-ки//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1982. -Вып. 43.-С. 35-39

83. Эглит М.Э., Вельтищев Н.Н. Исследование математической модели пылевой снежной лавины//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1985.-Вып. 53.-С. 116-119

84. Эглит М.Э., Свешникова Е.И. Математическое моделирование снежных ла-вин//Материалы гляциологических исследований. Хроника обсуждений. 1980. -Вып. 38. - С. 79-84

85. Brooks G.R., Aylsworth J.M., Evans S.G., Lawrence D.E. The Lemieux Landslide of June 20, 1993, South Nation Valley, Southeastern Ontario. Geological Survey of Canada, Ottawa, Ontario. - 1994. - 18 p.

86. Cato I. The 1977 Landslide at Tuve and the Complex Origin of Clays in Southwestern Swedish//Landslides and Mudflows: Reports of the Alma-Ata International Seminar. October, 1981. Moscow. - 1982. - Pp. 379-789

87. Evans S.G. Geological Survey of Canada. Ottawa. 1989

88. Hawley J.G. Slope Instability in New Zealand//National Hazards in New Zealand. -National Commission for UNESCO. Wellington, New Zealand. - 1984. - Pp. 88-113

89. Koshizuka S, Nobe A., Oka Y. Numerical Analysis of Breaking Waves Using the Moving Particle Semi-implicit Method//International Journal for Numerical Methods Fluids. 1998 - Vol. 26. - Pp. 751-769

90. Ladd G.E. Landslides, Subsidences and Rock-falls as Problems for the Railroad Engineer Am. my. Engineering As. Prob. - Vol. 36. - 1935

91. Landslides and engineering practice/Edited by Fckel E.B. Washington, DC. - 1958. -232 p.

92. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws//Comm. Pure Appl. Math. 1957. -Vol. 10.-Pp. 567-566

93. MacDonald D.F. Panama Canal Slides The Third Locks Project. - The Panama Canal Company, Balboa Heights, Panama Canal Zone. - 1942. - 73 p.

94. Moriyama Y., Horiuchi S. The Budget for Fiscal 1993 (in Japanese)//Sabo and Flood Control. Japan Sabo Association. 1993. - Vol. 25. - № 6. - Pp. 60-64

95. Nishimoto H. The Supplementary Budget for Fiscal 1992//Sabo and Flood Control. Japan Sabo Association. 1993. - Vol. 25. - № 6. - Pp. 68-69

96. Rodriguez M.X., Bonet J., Kulasegaram S., Lok T.-S.L. Mesh-free Numerical Simulation of Debris Flow Avalanches//Proceedings of ann. conf. Assoc. of Compt. Mech. (ACME), UK-2000

97. Savage S.B., Hutter K. The motion of a finite mass of granular material down a rough incline//Journal of Fluid Mechanics. 1989. - Vol. 199. - Pp. 107-140

98. Shaller P.J. Analyses of a Large, Moist Landslide, Lost River Range, Idaho, U.S.A.//Canadian Geotechnical Journal. 1991. - Vol. 28. - № 4. - Pp. 584-600

99. Sharp C.F.S. Landslides and related phenomena. A study of mass-movements of soil and rock. New Jersey: Pageant Book, 1938. - 137 p.

100. Shuster R.L., Krizek RJ. Landslides. Analysis and control//Special Report 176. -National Academy of Sciences, Washington, DC. 1978. - 233 p.

101. Terzagi K. Ingenieur geologie. Wien und Berlin, 1929

102. Turner A.K., Schuster R.L. Landslides: Investigation and mitigation//Special Report 247. National Academy Press, Washington, DC. - 1996. - 673 p.

103. Varnes D.J. Slope Movement Types and Processes//Special Report 176: Landslides: Analysis and Control (R.L.Schuster and R.J.Krizek, eds). TRB, National Research Council, Washington, DC. - 1978. - Pp. 11-33

104. Voellmy A. Uber der Zerstorungskrafte von Lawinen. Schweizerische Bauzeitung, 73. Jahrgang. 1955. -№ 12, 15, 17, 19