Космологические приложения теорий с лагранжианами Лавлока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кирнос, Илья Васильевич

• Кирнос, Илья Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирнос, Илья Васильевич

Содержание

Введение

1 Теория Лавлока

2 Космологическое ускорение

2.1 Третий порядок теории Лавлока без дилатона

2.1.1 Космологические уравнения

2.1.2 Общее решение во втором порядке

2.1.3 Показательное решение в третьем порядке

2.2 Теория Эйнштейна-Гаусса-Бонне с дилатоном

2.2.1 Космологические уравнения

2.2.2 Равновесные решения

2.2.3 Показательные решения

2.2.4 Решения вида экспоненты от экспоненты

2.3 Итог главы

3 Анизотропная космология при наличии материи

3.1 Первый порядок теории Лавлока (уравнения Гильберта-Эйнштейна)

3.1.1 Решение для пустого пространства (решение Казнера)

3.1.2 Решение для пространства, заполненного однородной идеальной жидкостью

3.2 Второй порядок теории Лавлока (теория Ланцоша)

3.2.1 Степенное решение для пустого пространства

3.2.2 Степенное решение для пространства, заполненного идеальной жидкостью

3.2.3 Показательное решение для пространства, заполненного идеальной жидкостью

3.3 Второй порядок теории Лавлока с дилатоном (степенные решения)

3.4 Третий порядок теории Лавлока (показательные решения)

3.5 Произвольный порядок теории Лавлока (степенные решения) 62 3.5.1 Решение для пустого пространства (обобщение решения Казнера)

3.5.2 Решение для пространства, заполненного идеальной

жидкостью (обобщение решения Якобса)

3.6 Итог главы

4 Устойчивость решения де Ситтера в /(Л, £/)-теории

4.1 Устойчивость в пространстве Фридмана-Робертсона-Уокера

4.2 Устойчивость в пространстве типа Бианки-1

4.3 Итог главы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Космологические приложения теорий с лагранжианами Лавлока»

Введение

Рубеж двадцатого и двадцать первого веков ознаменовался важными достижениями в области космологии. Это и открытие ускоренного расширения Вселенной на основании наблюдений за далёкими сверхновыми [1,2,3], и обнаружение анизотропии реликтового излучения [4, 5], и вывод о существовании большого количества "скрытой массы", не поддающейся прямым наблюдениям, а проявляющей себя лишь в наблюдениях по гравитационному линзированию, в аномальном поведении кривых вращения галактик и движения галактик в скоплениях [6, 7, 8]. Свидетельством признания научным сообществом большой важности этих открытий послужило присуждение двух Нобелевских премий по физике за работы в области космологии: в 2006 году награждены Д. Матер и Д. Смут за открытие анизотропии реликтового излучения, а в 2011 году награждены С. Перлмуттер, Б. Шмидт и А Райсс за открытие ускоренного расширения Вселенной.

Во многом аналогичное положение наблюдалось в космологии более четверти века назад, когда были осознаны такие противоречия стандартной фридмановской космологии как проблемы горизонта, кривизны и начальных возмущений. Анализ этих проблем привёл исследователей к выводу, что они могут быть решены введением в раннюю Вселенную кратковременной стадии ускоренного расширения, за время которой Вселенная должна расшириться приблизительно в е60 раз. К настоящему времени теория инфляции и связанная с ней теория возмущений в ранней Вселенной являются хорошо разработанными на основе введения дополнительного скалярного поля - "инфлатона" [9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16].

Таким же образом — введением дополнительных полей — многие исследователи предлагают объяснить современное ускоренное расширение (продолжающееся последние 5 млрд лет) [17, 18, 19, 20, 21], а также существование "тёмного вещества", представляемого предполагаемыми бозонами Хиггса, аксионами, вимпами, нейтралино и т. п. [22, 23, 24].

Существует, однако, и другой подход, предлагающий объяснить и инфляцию, и современное космологическое ускорение, и даже "скрытую массу" с помощью одного только изменения теории тяготения.

Основной теорией тяготения по сей день считается общая теория относительности (ОТО), разработанная в трудах Альберта Эйнштейна, Марселя Гроссмана и Давида Гильберта. Завершающим этапом построения ОТО

можно считать получение в 1915 году уравнений гравитационного поля независимо Д. Гильбертом [25] и А. Эйнштейном [26]. По этой причине данные уравнения называют уравнениями Гильберта-Эйнштейна, Эйнштейна-Гильберта или (в подавляющем большинстве работ) просто уравнениями Эйнштейна. Я буду придерживаться первого из этих наименований.

Все дальнейшие попытки построения иных уравнений гравитационного поля можно рассматривать как выход за рамки общей теории относительности. Так мы и будем делать.

Все модификации ОТО обладают некоторыми из следующих недостатков:

1. Для описания тяготения, помимо метрического тензора Римана, вводятся дополнительные поля.

2. В уравнениях гравитационного поля возникают производные выше второго порядка.

3. Теория предполагает размерность пространства времени выше четырёх.

Следует заметить, что введение дополнительных полей и дополнительных пространственных измерений требует объяснения их ненаблюдаемости. Возможно лишь одно изменение уравнений Гильберта-Эйнштейна, свободное от всех трёх недостатков: введение космологической постоянной, что и было сделано Эйнштейном в 1917 году [27]. Других возможностей избежать всех перечисленных недостатков не существует. Кратко обсудим некоторые из предлагаемых теорий:

1. Введение дополнительного скалярного поля. Первая теория подобного рода была предложена К. Брансом и Р. Дикке [28, 29] для согласования общей теории относительности с принципом Маха, согласно которому инерция возникает, когда тело ускоряется относительно общего распределения масс во Вселенной. В современных работах скалярное поле вводится более общим способом, при этом целью его введения обычно является получение в теории решений определённого вида [30].

2. Введение в теорию кручения (несимметричной части аффинной связности) [31] и векторного поля, нарушающего сохранение длины при

параллельном переносе [32], преследовало, помимо прочего, цели квантования гравитации и построения единой теории тяготения и электромагнетизма. В настоящее время предпринимаются попытки использовать кручение для построения "новой космологии" [34].

3. Модификация лагранжиана. Пожалуй, наиболее широко используются ныне так называемые /(Я)-теории, в которых лагранжиан представляет собою некоторую функцию скалярной кривизны [30, 35]. В этом случае в уравнениях поля возникают производные 4-го порядка и появляется возможность переформулировать теорию таким образом, что порядок уравнений понизится до 2-го, однако возникнет дополнительное скалярное поле. В простейших моделях /(Д)-теории лагранжиан разбивается на 3 части, первая из которых преобладает в случае большой кривизны и отвечает за инфляцию, вторая преобладает в случае средней кривизны и отвечает за замедленное расширение, а третья часть преобладает на малых кривизнах и ответственна за современное ускоренное расширение. Сюда же примыкают теории с лагранжианами вида Я + /(£) и /(Я, д), где Я = Я^Я^ - 4Я^Я^ + Я2 -инвариант Гаусса-Бонне-Дженни. Следует также упомянуть о теориях с выражениями вида \ИЯ и П^1/? в лагранжиане (нелокальные теории) [36, 37, 38], а также о теориях, где гравитация неминимально связана с материей [39, 40].

В диссертации исследуется одна из теорий, предлагающих модификацию лагранжиана гравитационного поля — теория Лавлока [41] — единственная модификация общей теории относительности, свободная от первого и второго из перечисленных недостатков, то есть единственная теория, не вводящая ни дополнительных полей, ни высших производных. Данная теория, однако, требует наличия дополнительных пространственных измерений, что, на взгляд диссертанта, является наименее существенным недостатком, поскольку дополнительные измерения возникают в рамках многих других физических теорий и приёмы работы с ними являются хорошо разработанными.

Более подробно теорию Лавлока рассмотрим в следующем разделе, пока же обсудим общие требования, предъявляемые ко всем вновь выдвигаемым теориям тяготения. Итак, от них требуется:

1. Описывать стадию инфляции с переходом к замедленному расширению и последующим переходом вновь к ускоренному.

2. Не противоречить данным наблюдений в отношении реликтового излучения и гравитационного микролинзирования.

3. Описывать движение планет, звёзд и галактик в строгом соответствии с данными наблюдений.

4. Допускать существование сферически симметричных тел.

5. Решения, отвечающие наблюдаемым явлениям, должны быть устойчивы относительно возмущения начальных данных.

6. Если предполагается наличие дополнительных пространственных измерений, то должна быть объяснена их ненаблюдаемость.

Данная работа посвящена исключительно проверке условий 1, 5 и 6 из этого списка (не претендуя, однако, на полную проверку и этих условий). Для рассмотрения выбрана теория, лагранжиан которой является функцией лагранжианов Лавлока (9), а также, в ряде случаев, дополнительного скалярного поля и его производных первого порядка. Как правило (везде, кроме раздела 4), лагранжианы Лавлока входят в линейной комбинации, т. е. рассматривается собственно теория Лавлока или она же с дилатоном (скалярным полем).

Исследования в этой области вызывают большой интерес. Обычно (см., например, [42, 43, 44]) рассматривается только 2-й порядок теории Лавлока без дилатона (называемый теорией Эйнштейна-Гаусса-Бонне, хотя заслуга построения этой теории принадлежит Ланцошу [45]). Значительно реже (по причине большой громоздкости вычислений) используется третий порядок, но и эти редкие работы посвящены почти исключительно чёрным дырам [46, 47, 48]. Имеется также ряд работ во втором порядке с дилатоном [49, 50]. Кроме того, Бриггс [51, 52] вывел явный вид 4-го и 5-го лавлоко-вых тензоров (непосредственно расписав их через тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну), а С. А. Павлюченко [53] получил некоторые решения в произвольном порядке. Следует упомянуть также исследования теорий с лагранжианами вида функции от первых двух лавлоковых лагранжианов [49, 54, 55, 56, 57].

Вообще, стоит заметить, что, несмотря на обилие работ по применению теории Лавлока к чёрным дырам и по космологическим приложениям второго порядка теории Лавлока, работы, посвящённые космологическим приложениям высших порядков теории Лавлока, почти отсутствуют.

В настоящей работе используются все перечисленные варианты. Они исследуются на возможность получения космологического ускорения и неизо-тропизующегося расширения-сжатия многомерного пространства (последняя задача будет обрисована ниже). Изучаются также вопросы устойчивости получаемых решений.

Работа построена следующим образом. В первом разделе даётся общее изложение теории Лавлока. Во втором исследуется возможность получения космологического ускорения в теории Лавлока с дилатоном или без него. Третий раздел посвящён доказательству возможности неизотропизу-ющегося расширения при наличии материи в теории Лавлока (с дилатоном и без). В последнем, четвёртом, разделе изучается устойчивость решения де Ситтера в теории с лагранжианом в виде функции первых двух лагранжианов Лавлока.

1 Теория Лавлока

Рассмотрим задачу построения релятивистских уравнений гравитационного поля. Логично искать их как обобщение нерелятивистского уравнения Ньютона, которое имеет вид

Аф = 4ттр, (1)

дх2 ду2 дг2

, . а2 я2 я 2

где ф — потенциал поля, р — плотность массы, а Д = + ^¡Ч +

оператор Лапласа.

В отличие от теории Ньютона, где есть лишь один гравитационный потенциал и, следовательно, лишь одно уравнение гравитационного поля, в общей теории относительности гравитационными потенциалами являются компоненты метрического тензора д^, десять из которых независимы. Следовательно, мы должны иметь столько же независимых уравнений. Естественно предположить, что это будет тензорное равенство второго ранга.

Итак, в 4-мерном пространстве-времени нужно записать вместо одного уравнения 16. Понятно, что однозначно построить такое соответствие невозможно. Поэтому было предложено множество различных способов подобного построения.

Способ, ставший классическим, предлагает искать эти уравнения в виде (этот вывод уравнений гравитационного поля описан в многочисленных руководствах по общей теории относительности, например, в книге [58])

& ¡IV — Тщ,, (2)

где Т^ — тензор энергии-импульса вещества, а тензор описывает гравитационное поле и удовлетворяет следующим условиям:

1. Бездивергентность (поскольку бездивергентен тензор энергии-импульса):

= 0. (3)

2. Симметричность (следует из симметричности тензора энергии-импульса):

С*¡IV — (4)

3. является функцией метрического тензора и его производных первого и второго порядка.

4. линеен по вторым производным метрического тензора.

Общий вид такого тензора на произвольном римановом многообразии есть

где а, Л — произвольные постоянные. Далее из соответствия теории Ньютона находятся

где с — скорость света, а С - гравитационная постоянная. Тогда уравнения приобретают следующий вид (уравнения Гильберта-Эйнштейна):

Возможно, однако, что Л не равно нулю, а лишь мало настолько, что в теории Ньютона не играет никакой роли. В этом случае получим так называемые уравнения Гильберта-Эйнштейна с космологическим членом.

В настоящей работе рассматривается лишь одна модификация вывода уравнений гравитационного поля, предложенная в 1970-71 гг. канадским математиком Дэвидом Лавлоком [41]. Он предложил отказаться от условия линейности тензора по вторым производным метрики и доказал следующую теорему:

Теорема Лавлока. Пусть в п-мерном римановом пространстве требуется найти тензор С^ второго ранга, который

1. Симметричен: =

2. Бездивергентен: У^б?^ = 0;

3. Выражается алгебраически только через метрический тензор и его производные первого и второго порядка.

Тогда общий вид искомого тензора суть следующий:

(5)

ТО—1

где

1

т = -п, если п четно 2 '

т = -{п + 1), если п нечетно, £

Р_ гМхЛг-'-Агр р а\сгг р 0304 р <72р-10"2г> /п\

^ у — хгА3А4 " ' 1гХ2р-1Х2р ' V';

Л — произвольные постоянные, а равно единице, если ь>\ • • ■ щ

— четная перестановка ■ ■ ■ цк, минус единице, если нечетная, и нулю в остальных случаях. Тензоры (7) будем именовать лавлоковыми тензорами р-го порядка.

Выяснилось [41], что л/ЩС^ является выражением Эйлера-Лагранжа, связанным с лагранжевой плотностью

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кирнос, Илья Васильевич

Заключение

В ходе исследования теорий с лагранжианами Лавлока был изучен ряд их космологических свойств. При этом для исследования возможности и устойчивости космологического расширения были использованы сравнительно сложные варианты теории, поскольку простейшие варианты уже хорошо изучены в этом отношении. В отношении изотропизации космологического расширения, напротив, автору этих строк не известны никакие ранее проведённые исследования, вследствие чего было принято решение начать изучение данного вопроса с простейшего варианта — теории Эйн-штейна-Гаусса-Бонне (соответствующие результаты в теории с дилатоном были получены в ходе исследования возможности космологического ускорения).

Основные итоги работы можно кратко изложить следующим образом:

1. При исследовании космологического ускорения во втором и третьем порядках теории Лавлока с дилатоном и без него получен ряд точных и приближённых показательных решений и решений вида показательной функции от показательной функции, описывающих ускоренное расширение наблюдаемого пространства и сжатие ненаблюдаемого пространства дополнительных измерений.

2. Изучена возможность неизотропизующегося расширения при наличии материи. В теории Эйнштейна-Гаусса-Бонне получены степенные и показательные решения, описывающие расширение по одним направлениям и сжатие по другим полностью анизотропного пространства типа Бианки-1, заполненного идеальной жидкостью. При этом часть решений справедлива в пространствах произвольной размерности и/или произвольного параметра уравнения состояния. В теории Эйнштейна-Гаусса-Бонне с дилатоном получены степенные решения для случая двух максимально симметричных пространств при наличии пылевидного вещества. Все эти решения доказывают возможность неизотропизующегося расширения-сжатия Вселенной с материей в указанных теориях.

3. Исследована устойчивость пространства де Ситтера в f(R, £)-теории. Показано, что анизотропная часть возмущения затухает вне зависимости от варианта теории. Для изотропной части возмущения найдено условие её затухания.

В развитие проведённых исследований напрашивается искать решение, хорошо описывающее всю историю расширения Вселенной. При этом, конечно, требуется объяснить ненаблюдаемость дополнительных измерений, если они будут использованы. Кроме того, было бы неплохо получить решение, в котором расширение видимого пространства изотропизуется, тогда как на дополнительные измерения эта изотропизация не распространяется. Требуется также исследовать устойчивость расширения не только по закону де Ситтера, как то было сделано, но и по произвольному закону.

По теме диссертации опубликовано 10 работ [81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90] (в список включены как уже изданные работы, так и направленные в печать), в том числе 4 уже имеющихся работы в журналах перечня ВАК и в ведущих иностранных журналах [83, 84, 85, 88].

Автор рад выразить свою искреннюю признательность С. Д. Одинцову, К. Е. Осетрину, С. А. Павлюченко, А. А. Старобинскому, А. В. Топорен-скому и П. В. Третьякому за подсказанные постановки задач и полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирнос, Илья Васильевич, 2011 год

Список литературы

[1] A. G. Riess, А. V. Filippenko, P. Challis et al. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant // Astron. J., 1998, vol. 116, № 3, pp. 1009 - 1038.

[2] J. L. Tonry, B. P. Schmidt, B. Barris et al. Cosmological Results from High-z Supernovae // Astrophys. J., 2003, vol. 594, № 1, pp. 1 - 24.

[3] M. Kowalski, D. Rubin et al. Improved Cosmological Constraints from New, Old and Combined Supernova Datasets // Astrophys. J., 2008, vol. 686, pp. 749 - 778, arXiv:0804.4142vl.

[4] A. H. Jaffe, P. A. R. Ade, A. Balbi et al. Cosmology from Maxima-1, Boomerang and COBE/DMR CMB Observations// Phys. Rev. Lett, 2001, vol. 86, pp. 3475 - 3479.

[5] G. Hinshaw, J. L. Weiland, R. S. Hill et al. Five-Year WMAP Observations: Data Processing, Sky Maps, and Basic Results// Astrophys. J. Suppl., 2009, vol. 180, pp. 225 - 245.

[6] А. В. Гуревич, К. П. Зыбин, В. А. Сирота. Мелкомасштабная структура тёмной материи и микролинзирование // УФН, 1997, т. 167, № 9, с. 913 - 943.

[7] А. Ф. Захаров, М. В. Сажин. Гравитационное микролинзирование // УФН, 1998, т. 168, № 10, с. 1041 - 1082.

[8] А. Ф. Захаров. Гравитационные линзы и микролинзы — М.: Янус-К, 1997. - 328 е., илл.

[9] А.А. Старобинский. Спектр реликтового гравитационного излучения и начальное состояние Вселенной // Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 30, с. 719 - 723.

[10] A.A. Starobinsky. A new type of isotropic cosmological models without singularity // Phys. Lett. B, 1980, vol. 91, pp. 99 - 102.

[11] A.H. Guth. Inflationary Universe: a possible solution to the horizon andflatness problems // Phys. Rev., 1981, vol. 023, pp. 347 - 356.

[12] JI. П. Грищук. Реликтовые гравитационные волны и космология // УФН, 2005, т. 175, № 12, с. 1289 - 1303.

[13] В. Н. Лукаш. О соотношении тензорной и скалярной мод возмущений в космологии Фридмана // УФН, 2006, т. 176, № 1, с. ИЗ - 116.

[14] V. N. Lukash. Cosmological model: from initial conditions to structure formation // Nuovo Cim. B, 2007, vol. 122, pp. 1411 -1422.

[15] А. Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология - М.: Наука, 1990.

[16] A. A. Grib, Yu. V. Pavlov. Some effects of the quantum field theory in the early Universe // Focus on quantum field theory — New York: Nova Science Publishers, Inc., 2005, pp. 1 - 21.

[17] A. Shafiello. Model Independent Reconstruction of the Expansion History of the Universe and the Properties of Dark Energy // Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 2007, vol. 380, p. 1573 - 1580.

[18] C. Zunckel, R. Trotta. Reconstructing the history of dark energy using maximum entropy // Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 2007, vol. 380, p. 865.

[19] N. Cruz, S. Lepe, F. Pena. Dissipative generalized Chaplygin gas as phantom dark energy // Phys. Lett. B, 2007, vol. 646, pp. 177 - 182.

[20] А. Д. Чернин. Тёмная энергия и всемирное антитяготение // УФН, 2008, т. 178, № 3, с. 267 - 300.

[21] В. Н. Лукаш, В. А. Рубаков. Тёмная энергия: мифы и реальность // УФН, 2008, т. 178, № 3, с. 301 - 308.

[22] В. А. Рубаков. Физика частиц и космология: состояния и надежды // УФН, 1999, т. 169, № 12, с. 1299 - 1309.

[23] В. Н. Лукаш, Е. В. Михеева. Тёмная материя: от начальных условий до образования структуры Вселенной // УФН, 2007, т. 177, № 9, с. 1023 - 1028.

[24] В. В. Бурдюжа. Тёмные компоненты Вселенной // УФН, 2010, т. 180, № 4, с. 439 - 444.

[25] D. Hilbert. Die Grundlagen der Physik (Erste Mitteilung) // Göttingen Nachr., 1915, N 3, p. 395 [Перевод на русский язык в сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" (М.: Мир, 1979), с. 133].

[26] А. Einstein. Zur allgemeinen Relativitätstheorie // Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1915, vol. 44, N 2, 778 - 786. [Перевод на русский язык: А. Эйнштейн. Собрание научных трудов (М.: Наука, 1965), т. 1, с. 425].

[27] А. Einstein. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitdtstheorie // Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1917, N 1, pp. 142 - 152. [Перевод на русский язык: А. Эйнштейн. Собрание научных трудов (М.: Наука, 1965), т. 1, с. 601].

[28] С. Н. Brans, R. Н. Dicke. Mach's Principle and a Relativistic Theory of Gravitation // Phys. Rev., vol. 124., N 3, pp. 925 - 935 (1961).

[29] R. H. Dicke. Mach's Principle and Invariance under Transformation of Units // Phys. Rev., vol. 125, N 6, pp. 2163 - 2167 (1962).

[30] S. Nojiri, S. D. Odintsov. Unified cosmic history in modified gravity: from F(R) theory to Lorentz non-invariant models // Phys.Rept., 2011, vol. 505, pp. 59 - 144.

[31] I. L. Shapiro. Physical Aspects of the Space-Time Torsion // Phys. Rept., 2002, vol. 357, p.113.

[32] В. П. Визгин. Единые теории поля в первой трети XX века — М.: Наука, 1985.

[33] Д. Д. Иваненко, П. И. Пронин, Г. А. Сарданашвили. Калибровочная теория гравитации — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 144 с.

[34] А. V. Minkevich. Accelerating Universe with spacetime torsion but without dark matter and dark energy // Phys. Lett. B, 2009, vol. 678, pp. 423 -426.

[35] T. P. Sotiriou, V. Faraoni. f(R) theories of gravity // arXiv:0805.1726v2 [gr-qc] — 47 p.

[36] M. Skugoreva, A. Toporensky, P. Tretyakov. Cosmological dynamics in six-order gravity // Grav.Cosmol., 2011, vol. 17, pp. 110 - 118.

[37] S. Deser, R. P. Woodard. Nonlocal Cosmology // Phys. Rev. Lett., 2007, vol. 99, p. 111301.

[38] C. Deffayet, R. P. Woodard. Reconstructing the Distortion Function for Nonlocal Cosmology // JCAP, 2009, vol. 0908, p. 023.

[39] S. Nojiri, S. D. Odintsov. Gravity assisted dark energy dominance and cosmic acceleration // Phys. Lett. B, 2004, vol. 599, pp. 137 - 142.

[40] S. Capozziello, G. Lambiase, H.-J. Schmidt. Nonminimal Derivative Couplings and Inflation in Generalized Theories of Gravity // Annalen Phys., 2000, N 9, pp. 39 - 48.

[41] D. Lovelock. The Einstein Tensor and Its Generalizations //J. Math. Phys., 1971, vol. 12, № 3, pp. 498-501.

[42] S. Nojiri, S. D. Odintsov, M. Sasaki. Gauss-Bonnet dark energy // Phys. Rev. D, 2005, vol. 71, p. 123509, arXiv:hep-th/0504052v2.

[43] S. Nojiri, S. D. Odintsov. Modified Gauss-Bonnet theory as gravitational alternative for dark energy // Phys. Lett. B, 2005, vol. 631, pp. 1-6, arXiv:hep-th/0508049v2.

[44] E. Elizalde, A. N. Makarenko, V. V. Obukhov, K. E. Osetrin, A. E. Filippov. Stationary vs. singular points in an accelerating FRW cosmology derived from six-dimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Phys.Lett.B, 2007, vol. 644, p. 1 - 6, hep-th/061121vl.

[45] K. Lanczos. A remarkable property of the Riemann-Christoffel tensor in four dimensions // Ann. of Math., 1938, vol. 39, p. 842-850.

[46] M. H. Dehghani, M. Shamirzaie. Thermodynamics of Asimptotically Flat Charged Black Holes in Third Order Lovelock Gravity // Phys. Rev. D, 2005, vol. 72, p. 124015, arXiv:hep-th/0506227v2.

[47] M. H. Dehghani, R. B. Mann. Thermodynamics of Rotating Charged Black Branes in Third Order Lovelock Gravity and the Counterterm Method // Phys. Rev. D, 2006, vol. 73, p. 104003, arXiv:hep-th/0602243v2.

[48] M. N. Dehghani, N. Bostani. Spacetimes with Longitudinal and Angular Magnetic Fields in Third Order Lovelock Gravity // Phys. Rev. D, 2007, vol. 75, p. 084013, arXiv:hep-th/0612103vl.

[49] G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov, S. Zerbini. String-inspired Gauss-Bonnet gravity reconstructed from the universe expansion history and yielding the transition from matter dominance to dark energy // Phys. Rev. D, 2007, vol. 75, p. 086002, hep-th/0611198v3.

[50] K. Bamba, Z.-K. Guo, N. Ohta. Accelerating Cosmologies in the Einstein-Gauss-Bonnet Theory with Dilaton // Prog. Theor. Phys., 2007, vol. 118, p. 879 - 892, arXiv:0707.4334 [hep-th],

[51] C. C. Briggs. A General Expression for the Quartic Lovelock Tensor // arXiv:gr-qc/9703074 (1997) - 2 p.

[52] C. C. Briggs. A General Expression for the Quintic Lovelock Tensor // arXiv:gr-qc/9607033v2 (1997) - 4 p.

[53] S. A. Pavluchenko. The general features of Bianchi-I cosmological models in Lovelock gravity // arXiv:gr-qc/0906.0141v2 — 9 p.

[54] A. De Felice, S. Tsujikawa. Construction of cosmologically viable f(G) dark energy models // arXiv:0810.5712vl [hep-th] — 12 p.

[55] S.-Y. Zhou, E. J. Copeland, P. M. Saffin. Cosmological constraints on f(G) dark energy models // arXiv:0903.4610vl [gr-qc] — 16 p.

[56] S. C. Davis. Solar System Constraints on f(G) Dark Energy // arXiv:0709.4453v3 [hep-th] - 12 p.

[57] G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S. D. Odintsov, S. Zerbini. Dark energy in modified Gauss-Bonnet gravity: late-time acceleration and the hierarchy problem // Phys. Rev. D, 2006, vol. 73, p. 084007, hep-th/0601008v2.

[58] С. Вейнберг. Гравитация и космология — М.: Мир, 1975. — 696 с.

[59] Е. Kasner. Geometrical theorems on Einstein cosmological equations // Amer J Math, 1921, vol. 43, p. 217.

[60] JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Теория поля - M.: Наука, 1988. - 512 с.

[61] S. М. Carroll. Spacetime and geometry. An introduction to general relativity — San Francisco: Addison Wesley, 2004. — 513 p.

[62] А. Эйнштейн. Вопросы космологии и общая теория относительности // Собр. науч. трудов. - М.: Наука, 1965. - т. 1, с. 601 - 612.

[63] А. Н. Jaffe, P. A. R. Ade, A. Balbi et al. Cosmology from MAXIMA-1, BOOMERANG and COBE/DMR Cosmic Microwave Background Observations // Phys. Rev. Lett., 2001, vol. 86, symboll57 16, pp. 3475 -3479.

[64] M. В. Сажин. Анизотропия и поляризация реликтового излучения. Последние данные // УФН, 2004, т. 174, № 2, с. 197 - 205.

[65] D. N. Spergel, L. Verde, Н. V. Peiris et al. First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters // Astrophys. J. Suppl., 2003, vol. 148, p. 175, arXiv:astro-ph/0302209v3 - 51 p.

66] Ю. С. Владимиров. Геометрофизика — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 600 с.

67] Л. Бринк, М. Энно. Принципы теории струн — М.: Мир, 1991. — 296 с.

68] В. А. Рубаков. Большие и бесконечные дополнительные измерения // УФН, 2001, т. 171, № 9, с. 913 - 938.

69] А. О. Барвинский. Космологические браны и макроскопические дополнительные измерения // УФН, 2005, т. 175, № 6, с. 569 - 601.

70] I. М. Khalatnikov, A. Yu. Kamenshchik. A generalization of the Heckmann

- Schucking cosmological solution // Phys. Lett. B, 2003, vol. 553, pp. 119

- 125, arXiv:gr-qc/0301022vl.

71] A. Beloborodov, M. Demianski, P. Ivanov, A. Polnarev. Evolution of multidimensional flat anisotropic cosmological models // Phys. Rev. D, vol. 48, p. 503-512 (1993).

72] O. Heckmann, E. Schucking. Newtonsche und Einsteinsche Kosmologie // Handbuch der Physik, vol. 53, p. 489 - 519 (1989).

73] I. M. Khalatnikov, A. Yu. Kamenshchik. A generalisation of the Heckmann-Schucking cosmological solution // Phys. Lett. B, vol. 553, p. 119 - 125 (2003).

74] N. Deruelle. On the approach to the cosmological singularity in quadratic theories of gravity: The Kasner regimes // Nucl. Phys. B, vol. 327, p. 253

- 266 (1989).

75] A. Toporensky, P. Tretyakov. Power-law anisotropic cosmological solution in 5+1 dimensional Gauss-Bonnet gravity // Grav. Cosmol., 2007, vol. 13, pp. 207 - 210, arXiv:0705.1346v3 [gr-qc],

76] В. Ц. Гурович, А. А. Старобинский. Квантовые эффекты и регулярные космологические модели // ЖЭТФ, 1979, т. 77, с. 1683.

77] V. Faraoni. De Sitter space and the equivalence between f(R) and scalar-tensor gravity // Phys. Rev. D, 2007, vol. 75, p. 067302, arXiv:gr-qc/0703044v2.

[78] L. Amendola, R. Gannouji, D. Polarski, S. Tsujikawa. Conditions for the cosmological viability of f(R) dark energy models // Phys. Rev. D, 2007, vol. 75, p. 083504, arXiv:gr-qc/0612180v2.

[79] A. V. Toporensky, P. V. Tretyakov. De Sitter stability in quadratic gravity // Int. J. Mod. Phys. D, 2007, vol. 16, pp. 1075 - 1086, arXiv:gr-qc/0611068v2.

[80] G. Cognola, M. Gastaldi, S. Zerbini. On the stability of a class of modified gravitational models. Int. J. Theor. Phys., 2008, vol. 47, p. 898 - 910, arXiv:gr-qc/0701138.

[81] И. В. Кирнос, A. H. Макаренко. Космологические решения в теории Лавлока // Перспективы развития фундаментальных наук: труды V международной конференции студентов и молодых учёных. — Томск, Изд-во Томского политехнического университета, 2008. — с. 251 - 252.

[82] И. В. Кирнос, А. Н. Макаренко, К. Е. Осетрин. Космологические решения в теории Лавлока и теории Эйнштейна-Гаусса-Бонне с дилато-ном // 13-я Российская гравитационная конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике: Тезисы докладов. - М., РУДН, 2008. - с. 114 - 115.

[83] I. V. Kirnos, А. N. Makarenko, К. Е. Osetrin. Cosmological solutions in the Lovelock theory and the Einstein-Gauss-Bonnet theory with a dilaton // Grav. Cosmol., 2009, vol. 15, № 1, pp. 59 - 61

[84] I. V. Kirnos, A. N. Makarenko. Accelerating cosmologies in Lovelock gravity with dilaton // The Open Astronomy Journal, 2010, No. 3, pp. 32 - 43.

[85] I. V. Kirnos, A. N. Makarenko, S. A. Pavluchenko, A. V. Toporensky. The nature of singularity in multidimensional anisotropic Gauss-Bonnet cosmology with a perfect fluid // General Relativity and Gravitation, 2010, Vol. 42, No. 11, pp. 2633 - 2641.

[86] И. В. Кирнос. Устойчивость решения де Ситтера в f(R,G)-Teopmi //II Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" — GRACOS-2009, 24 - 29 августа 2009

г., Казань-Яльчик. Труды семинара. — Казань: Изд-во "Фолиантъ", 2009, с. 88 - 92.

[87] И. В. Кирнос. Анизотропные космологические решения показательного и степенного вида в теории Эйнштейна-Гаусса-Бонне с материей в пространстве типа Бианки-I произвольной размерности // II Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" — GRACOS-2009, 24 - 29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. — Казань: Изд-во "Фолиантъ", 2009, с. 93 - 98.

[88] I. V. Kirnos, S. A. Pavluchenko, А. V. Toporensky. New features of a flat (4 + l)-dimensional cosmological model with a perfect fluid in Gauss-Bonnet gravity // Gravitation and Cosmology, 2010, Vol. 16, No. 4, pp. 274 - 282.

[89] И. В. Кирнос. Обобщение решений Казнера и Якобса на произвольный порядок теории Лавлока в пространстве произвольной размерности // 14-ая Российская гравитационная конференция — Международная научная конференция по гравитации, космологии и астрофизике. Сборник тезисов докладов международной научной конференции / Под общей ред. проф. С. В. Червона. Ульяновск: УлГПУ, 2011, с. 40.

[90] И. В. Кирнос. Обобщение решений Казнера и Якобса на произвольный порядок теории Лавлока, а также анизотропное показательное решение в третьем порядке теории Лавлока в пространстве произвольной размерности // Gravitation and Cosmology — направлено в печать.