Математическое моделирование динамических процессов в дискретно-континуальных системах с упруговязкими стержнями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Петрова, Татьяна Юрьевна

• Петрова, Татьяна Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петрова, Татьяна Юрьевна

1.1 Уравнение движения ДКС. Линеаризация в окрестности состояния подвижного равновесия

1.2 Обобщенная передаточная функция ДКС.

1.3 Теоремы об устойчивости.Обобщенный частотный критерий устойчивости. Выводы.!.

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К ПОСТРОЕНИЮ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамических процессов в дискретно-континуальных системах с упруговязкими стержнями»

Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем.4 постановка задачи исследования.'•.5

ГЛАВА 1. КВАЗИМНОГОЧЛЕНЫ И КВАЗИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМ.13

Введение.13

1.1 Уравнение движения ДКС. Линеаризация в окрестности состояния подвижного равновесия 14

1.2 Обобщенная передаточная функция ДКС.16

1.3 Теоремы об устойчивости.Обобщенный частотный критерий устойчивости.18

Выводы.!.23

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К ПОСТРОЕНИЮ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. 24

•» в

Введение.24

2.1 , Регуляризация алгоритмов численного обращения интегральных преобразований.25

2.2 Специальные квадратурные формулы и связанные с ними специальные функции.33

2.3 выбор вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала.37

Выводы.46

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В УПРУГОВЯЗКОМ СТЕРЖНЕ, НАГРУЖЕННОМ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛОЙ.48

Введение.48

3.1 Уравнения движения.50

3.2 Динамическая модель линеиной дискретно-континуальной системы.51

3.3 Устойчивость и импульсные переходные функции динамической модели неконсервативной ДКС.53

Выводы.66

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И УСТОЙЧИВОСТИ СПУТНИКА ТИПА СЕ082 С УПРУГОВЯЗКИМ СТЕРЖНЕМ.68

Введение.68

4.1 Уравнения движения спутника с упруговязким стержнем.69

4.2 Динамическая модель спутника типа Сео$2.71

4.3 Динамическая модель спутника типа Сеоз2 без учета ускорения, 1¥у0=0.73

4.4 Динамическая модель спутника с упруговязким стержнем с нулевым расстоянием от центра до места заделки стержня, а = 0.74

4.5 Устойчивость и импульсные переходные функции спутника с упруговязким стержнем 75 Выводы.83

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

ОРБИТАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ С УПРУГОВЯЗКИМИ СТЕРЖНЯМИ.84

Введение.84

5.1 Уравнения движения орбитальной конструкции.84

5.2 Динамическая модель орбитальной конструкции с абсолютно жесткими телами на концах стержней.86

5.3 Устойчивость и импульсные переходные функции орбитальной конструкции с абсолютно жесткими телами на концах стержней.88

Выводы.100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.101

ПРИЛОЖЕНИЯ.103

ЛИТЕРАТУРА.128

ВВЕДЕНИЕ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем

Универсальность, алгоритмичность, а также низкая энергоемкость математического моделирования как метода исследования объектов и явлений реального мира привели к повышению его роли и значимости в различных отраслях науки и техники.

Важнейшей проблемой создания современных технических систем, и выбора режимов их эксплуатации является проблема построения и анализа динамических моделей этих систем. При управлении движением облегченных быстродействующих манипуляционных роботов [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], ракет, орбитальных космических конструкций, искусственных спутников Земли [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22] и некоторых других типов управляемых конструкций [23, 24, 25, 26, 27] необходимо изначально учитывать деформации конструкции.

Физические модели многочисленных современных робото-технических систем, искусственных спутников Земли и орбитальных космических конструкций содержат дискретные элементы с сосредоточенными по пространству параметрами (абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д.) и континуальные элементы с распределенными по пространству параметрами (упругие панели, упруговязкие стержни, мембраны и т.д.), динамически связанные через границы раздела, и в этом смысле являющиеся дискретно-континуальными. Соответствующие адекватные в смысле [28] математические модели, предназначенные для моделирования динамического поведения дискретно-континуальных систем, и содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), связанные с ними через граничные условия (ГУ) уравнения с частными производными (УЧП), условия связи (УС) и начальные условия (НУ), для краткости также назовем дискретноконтинуальными (ДКС). Моделирование динамического поведения подобных систем требует учитывать малую, но ненулевую диссипацию механической энергии в континуальных элементах. Это моделирование делает соответствующие краевые задачи несамосопряженными и требует специфических методов при их исследовании и решении.

Постановка задачи исследования

Актуальность темы

Проблема разработки и теоретического обоснования новых методов и алгоритмов, создания на их основе стандартных программных модулей для моделирования динамического поведения дискретно-континуальных систем с упруговязкими стержнями, предназначенных для использования в операционных средах современных компьютерных платформ, является актуальной и имеет фундаментальное значение для интенсивного внедрения методов математического моделирования в приоритетных отраслях современной техники.

При исследовании динамических свойств конструкции в первую очередь, как правило, выполняется исследование ее собственных частот и соответствующих им форм колебаний. Однако традиционные подходы требуют нетривиальных вычислений даже при нахождении низших собственных частот и форм колебаний достаточно сложных конструкций. По данным работ [29, 30, 31], при проектировании систем управления движением упругих конструкций использование моделей упругих распределенных элементов без учета демпфирования может привести к дестабилизации и потере устойчивости. Более того, при умеренных значениях характерного демпфирования необходимо исследовать высшие частоты и формы колебаний. С другой стороны, традиционная дискретизация по пространственным переменным описывающих поведение континуальных элементов уравнений в частных производных может привести к возникновению фиктивных «паразитных» частот, описывающих колебания с чрезвычайно быстро экспоненциально возрастающей амплитудой [32]. Таким образом, проблема разработки критерия устойчивости линейных в окрестности состояния подвижного равновесия дискретно-континуальных систем, основанного на геометрических методах теории функций комплексных переменных [33, 34, 35], в частности, на оценке взаимного расположения точек частотного годографа обобщенного детерминанта системы, является весьма актуальной. Данная проблема является тем более актуальной, поскольку методы теории комбинированно динамическийх систем (КДС), подобного типа не требуют повышенной точности при нахождении точек частотного годографа, и, следовательно, легко позволяют исследовать устойчивость большинства нетривиальных дискретно-континуальных систем, состояние подвижного равновесия которых может быть исследовано лишь численно.

Большинство классических алгоритмов обращения интегрального преобразования Лапласа [36] неэффективны, поскольку приводят к попыткам восстановить искомый оригинал (со всеми его особенностями) на полубесконечном интервале времени при помощи того или иного Фурье-разложения, плохо сходящегося по причине наличия особенностей. Ряд алгоритмов [36] приводит к необходимости деформировать контур интегрирования, что не всегда возможно, и требует информации о расположении особых точек изображения, что само по себе в большинстве ситуаций представляет нетривиальную проблему. Оригинальные алгоритмы, предложенные в [37, 38], основаны на вычислении функций в алгебре треугольных теплицевых матриц, представляющих собой конечно-разностные аппроксимации оператора дифференцирования. Однако размерность матрицы определяется числом равноотстоящих узлов, в которых необходимо восстановить искомый оригинал, а спектр теплицевых матриц содержит собственные значения, кратность которых пропорциональна размеру матрицы. Вычисление функций от матриц в этом случае требует нахождения производных изображения неограниченно высокого порядка, что не всегда приемлемо.

Таким образом, проблема разработки эффективных алгоритмов численного обращения интегральных преобразований, и в частности, преобразования Лапласа, является весьма актуальной.

Известна проблема излишнего управления [30] движением деформируемых конструкций, приводящего к возникновению интенсивных высокочастотных колебаний по неучтенной собственной форме. Следовательно, задача исследования устойчивости движения деформируемых конструкций без априорной дискретизации уравнений движения континуальных элементов является весьма актуальной.

Целью является развитие методов теории КДС применимых к задачам моделирования ДКС, содержащих абсолютно жесткие тела, датчики первичной информации, двигатели и т.д. и динамически связанные с ними через границы раздела континуальные элементы - упруговязкие стержни, создание соответствующих алгоритмов и программ, а также исследование их возможностей применительно к указанным выше задачам. Научная новизна

• Применительно к многомерным дискретно-континуальным механическим системам изложены элементы теории устойчивости, основанные на методах теории комбинированных динамических систем [39, 41]. В частности, применение обобщения известного критерия Михайлова-Эрмита позволяет выполнить исследование устойчивости ДКС на основе анализа расположения относительно небольшого числа точек частотного годографа системы вместо нахождения счетного множества корней характеристического уравнения.

• Предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа применительно к исследованию реакций на малые возмущения ДКС, превосходящий известные методы по точности и устойчивости вычислений. В частности, применение свертки известного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала позволяет выполнить регуляризацию процедуры численного обращения посредством указания временного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.

Впервые методами теории комбинированных динамических систем разработаны математические модели ДКС и соответствующие алгоритмы их численного анализа, позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний.

Проведено математическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы на примере нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом, возмущенного 8-функцией Дирака. Получены сосредоточенные и распределенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. Исследованы границы областей устойчивости и импульсные переходные функций (ИПФ), и установлено существенное влияние коэффициента внутреннего трения в стержне и параметров абсолютно жесткого тела на области устойчивости. Показано, что пренебрежение внутренним трением и высшими формами колебаний приводит к заниженному значению критической силы.

Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2. Получены сосредоточенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. Установлено влияние коэффициентов обратных связей на протяженность области устойчивости.

Разработана математическая модель возмущенного моментом внешних сил движения орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и закрепленными на их концах абсолютно жесткими телами. Построены и исследованы на устойчивость передаточные функции в виде квазирациональных дробей. Показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости. • Созданы соответствующие комплексы программ и исследованы их возможности применительно к анализу устойчивости и вычислению импульсных переходных и переходных функций рассматриваемых ДКС с упруговязкими стержнями.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивалась корректностью математических преобразований при выводе модельных уравнений, теоретическим обоснованием сходимости разработанных алгоритмов, сопоставлением результатов численного моделирования и аналитических результатов, полученных методами асимптотического интегрирования.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с моделированием динамического поведения многомерных дискретно-континуальных систем (ДКС), которые допускают линеаризацию в окрестности состояния подвижного равновесия. Предполагается, что математические модели континуальных элементов учитывают неизбежно возникающую в сплошной среде малую, но ненулевую диссипацию механической энергии (внутреннее трение, потоки энтропии и т.д.).

Применительно к задачам моделирования устойчивости управляемых деформируемых конструкций развит предложенный в [39, 40, 41] критерий устойчивости, либо неустойчивости достаточно сложных управляемых конструкций, обладающих малым, но конечным конструкционным демпфированием, и опирающийся на геометрические методы теории функций комплексных переменных [42, 43, 44, 45, 46, 47]. Обобщенная передаточная функция линеаризованной в окрестности состояния подвижного равновесия многомерной дискретно-континуальной системы представляется в виде матрицы, элементы которой являются квазирациональными дробями (отношениями квазимногочленов). При этом используется теорема об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы [39, 40, 41]. Сформулированы теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых передаточных функциях.

Во второй главе предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа, основанный на свертке исходного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала [48, 49, 50, 51, 52]. Тем самым, выполняется регуляризация процедуры численного обращения посредством указания конечного отрезка (области), на котором необходимо восстановить искомый оригинал. Детали реализации алгоритма и свойства необходимых для этого специальных функций [53] подробно описаны в этой главе.

В третьей-пятой главах проводится исследование устойчивости и переходных процессов для ряда дискретно-континуальных систем с упруговязкими стержнями.

В третьей главе рассматривается неконсервативная задача теории упругой устойчивости. Типичной задачей в рассматриваемой предметной области является задача о поведении упруго-вязкого стержня постоянного сечения под действием следящей силы. Возможно численное решению данной задачи, метод основан на построении численной динамической модели исследуемой системы и сводится к совместному численному решению системы или же аналитически возможно нахождение приближенного аналитического решения исследуемой математической модели.

Задача о поведении упругого стержня под действием следящей силы, рассматривалась многими авторами [54, 78, 79, 80, 81]. Один из распространенных подходов к решению этой задачи состоит в использовании метода разделения переменных (метода Фурье) для нахождения характеристического уравнения и последующего отыскания его корней. При использовании данного метода возникает большая погрешность численного нахождения корней характеристического уравнения [55, 56, 57]. Следует также отметить, что непосредственный поиск корней характеристического уравнения в достаточно протяженных областях комплексной плоскости (например, во и всей правой полуплоскости) представляет собой нетривиальную вычислительную задачу. Поэтому особую значимость приобретают методы исследования устойчивости комбинированных динамических систем (КДС), не требующие вычисления корней характеристического уравнения.

Для исследования поведении упругого стержня под действием следящей силы был использован аппарат теории КДС, позволяющий осуществить построение и анализ динамических моделей в виде матриц квазирациональных дробей, являющихся отношениями квазимногочленов [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67]. Далее, с использованием теорем об устойчивом квазимногочлене и об устойчивых и неустойчивых квазирациональных дробях [39-46], проводится анализ устойчивости КДС, после чего выполняется построение ИПФ на основе численного обращения интегрального преобразования Лапласа, описанного в главе 2.

В четвертой главе проводится исследование устойчивости и импульсных переходных функций спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2 [31, 68] с использованием методов [41] теории комбинированных динамических систем и описанного в главе 2 численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Проведено исследование угловой стабилизации спутника с одним V упруговязким стержнем с учетом ускорения №у0 и расстояния от центра до места заделки стержня а и без этих параметров, методами теории комбинированных динамических систем [39, 41], показано что вышеописанные параметры не оказывают существенного влияния на систему стабилизации. Исследовано влияние коэффициентов обратной связи на систему стабилизации.

В пятой главе исследованы вопросы стабилизации орбитальной конструкции, на примере спутника с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами (грузами), методами комбинированных динамических систем [39, 41, 69]. Составлены системы дифференциальных уравнений возмущенного моментом внешних сил движения спутников с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами. На основе точного решения получены передаточные функции в виде отношения квазимногочленов. В пространстве коэффициентов обратных связей построены границы областей устойчивости и импульсные переходные функции. Показано, влияние увеличения числа стержней и грузов в орбитальных конструкцях на области устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты докладывались: - на международной научно-технической конференции. "Проблемы управления и связи." (Саратов, 2000).

-на международной конференции "Актуальные проблемы современной науки.". (Самара, 2001-2004)

-на международной научно-технической конференции. "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении." (Саратов, 2002).

-на международной конференции "Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании." (Саратов, 2002 ).

В целом работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Прикладная математика и теория навигационных приборов» под руководством заслуженной деятеля науки Российской Федерации д.т.н., проф. К.П. Андрейченко (2005 г.)

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Петрова, Татьяна Юрьевна

Выводы

В данной главе исследованы вопросы стабилизации орбитальной конструкции с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами, методами комбинированных динамических систем [41]. Данный метод позволяет выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС орбитальной конструкции с упруговязкими стержнями и закрепленными на концах абсолютно жесткими телами, без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний и допускающий неоднородность граничных условий (то есть существует возможность повесить абсолютно жесткие тела на концах стержней).

На основе точного решения получены и исследованы на устойчивость передаточные функции в виде отношения квазимногочленов. Построены границы областей устойчивости и импульсные переходные функции. Получены сосредоточенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей.

Показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предложенной диссертации, применительно к многомерным дискретно-континуальным механическим системам изложены элементы теории устойчивости, основанные на методах теории комбинированных динамических систем [39, 41]. Сформулированы теоремы об устойчивом характеристическом квазимногочлене дискретно-континуальной системы, теоремы об устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых обобщенных передаточных функциях, а также обобщенный частотный критерий устойчивости. В частности показано, что применение обобщения известного критерия Михайлова-Эрмита позволяет выполнить исследование устойчивости ДКС на основе анализа расположения относительно небольшого числа точек частотного годографа системы вместо нахождения счетного множества корней характеристического уравнения.

Предложен эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа применительно к исследованию реакций на малые возмущения ДКС, превосходящий известные методы по точности и устойчивости вычислений. В частности, применение свертки известного изображения с быстро убывающим изображением вспомогательного финитного бесконечно дифференцируемого оригинала позволяет выполнить регуляризацию процедуры численного обращения посредством указания временного отрезка, на котором необходимо восстановить искомый оригинал.

Впервые методами теории комбинированных динамических систем разработаны математические модели ДКС и соответствующие алгоритмы их численного анализа, позволяющие выполнять моделирование динамики и устойчивости ДКС без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний.

Проведено математическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы на примере нагруженного следящей силой упруговязкого стержня с абсолютно жестким телом, возмущенного 8 функцией Дирака. Получены сосредоточенные и распределенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. Исследованы границы областей устойчивости и импульсные переходные функций, и установлено существенное влияние коэффициента внутреннего трения в стержне и параметров абсолютно жесткого тела на области устойчивости. Показано, что пренебрежение внутренним трением и высшими формами колебаний приводит к заниженному значению критической силы.

Проведено математическое моделирование системы стабилизации спутника с упруговязким стержнем типа Оеоз2. Получены сосредоточенные передаточные функции системы в виде квазирациональных дробей. В пространстве коэффициентов обратных связей системы стабилизации построены границы областей устойчивости Установлено влияние коэффициентов обратных связей на протяженность области устойчивости.

Разработана математическая модель возмущенного моментом внешних сил движения орбитальной конструкции с двумя упруговязкими стержнями и закрепленными на их концах абсолютно жесткими телами, без какого-либо ограничения по числу учитываемых форм колебаний и допускающий неоднородность граничных условий (то есть существует возможность повесить абсолютно жесткие тела на концах стержней). Построены и исследованы на устойчивость передаточные функции в виде квазирациональных дробей. Показано существенное влияние количества стержней, а также масс и моментов абсолютно жестких тел, закрепленных на концах стержней, на области устойчивости.

Применительно к анализу устойчивости и вычислению импульсных переходных и переходных функций рассматриваемых ДКС с упруговязкими стержнями, созданы соответствующие программы и исследованы их возможности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петрова, Татьяна Юрьевна, 2005 год

1. Хуан Ю. Обобщение формулировки уравнений динамики Ньютона-Эйлера для нежестких манипуляторов / Ю.Хуан, Р.Ли // Современное машиностроение,-1989.- №4. -С.79-87.

2. Цзюэ B.C. Анализ динамической устойчивости двузвенного гибкого манипулятора с управлением по силе / B.C.Цзюэ, М.Шахинпур // Современное машиностроение.- 1991.- №5.- С.155-161.

3. Чжан Л.В. Моделирование манипуляторов с гибкими звеньями с помощью метода последовательного интегрирования / Л.В.Чжан, Д.Ф.Гамильтон // Современное машиностроение.- 1991.- №9.- С.43-47.

4. Чжан Л.В. Исследование кинематики роботов-манипуляторов с гибкими звеньями с помощью модели Эквивалентной системы, жестких звеньев (ЭСЖЗ) / Л.В.Чжан, Д.Ф.Гамильтон // Современное машиностроение.- 1991.- №7. -С.143-155.

5. Чжан Л.В. Динамика роботов-манипуляторов с гибкими звеньями / Л.В.Чжан, Д.Ф.Гамильтон // Современное машиностроение.- 1991.- №7.- С. 155161.

6. Петрока Р.П. Экспериментальное подтверждение адекватности динамической модели (эквивалентная система с жесткими звеньями) на примере однозвенного гибкого манипулятора / Р.П.Петрока, Л.В.Чан // Современное машиностроение.- 1990.-№9.-С. 1-8.

7. Мулен X. Точность отслеживания траектории выходной точки гибкой руки, полученной путем решения обратной задачи нерегулярным методом / Х.Мулен, Е.Байо // Современное машиностроение.- 1991.- №10.- С.33-37.

8. Спектор В.А. Моделирование и расчет несовмещенных систем управления гибкими конструкциями / В.А.Спектор, Х.Флешнер // Современное машиностроение.- 1990.- №12.- С. 11-19.

9. Кастелацо И.А. Нелинейная компенсация для упругих манипуляторов / И.А.Кастелацо, X. Ли // Современное машиностроение. 1990. - №9. - С.31-38.

10. Голубев Ю.Ф. Управление вращением упругого стержня на плоскости без возбуждения упругих колебаний / Ю.Ф.Голубев, А.Е.Дитковский // Робототехника. 2001. - №1. - С. 160-175.

11. Бербедюк В.Е. Об управляемом движении упругого манипулятора с распределенными параметрами / В.Е.Бербедюк, М.В.Демидюк // Механика твердого тела. -1984. №2.- С.59-67.

12. Бенати М. Динамика цепи упругих звеньев / М.Бенати, А.Морро // Современное машиностроение. -1989.- №7. -С.51-56.

13. Асада X. Обратная динамика гибкой руки робота (модельное представление и расчет траекторного управления) / Х.Асада., З.Д.Ма., Х.Токумару // Современное машиностроение. -1990. №12. С. 1-10.

14. Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы / Ф.Л.Черноусько, Н.Н.Болотник, В.Г.Градецкий. -М.: Наука, 1989. 389с.: ил.

15. Чен Дж.Ч. Требования к точности расчетных динамических моделей конструкций / Дж.Ч.Чен // Аэрокосмическая техника. 1985. - №6. - С.43-51.

16. Гуляев В.И Динамика орбитальных станций с протяженной фермой / В.И.Гуляев, И.С.Ефремов, А.Г.Чернявский и др. // Космические исследования. 1994. - Т.32. - Вып.2. - С.61-69.

17. Агафонов С.А. Устойчивость неконсервативных систем и оценка области притяжения / С.А.Агафонов // Прикладная математика и механика. -2003. Т.67. - №2. - С.239-243.

18. Литвинов Н.Д. Формирование математических моделей космического аппарата с учетом процесса деформиции его конструкций / Н.Д.Литвинов // Системы управления движущимися объектами. 2002. - №6. - С. 158-174.

19. Бучанан Г.Дж. Орбитальный эксперимент для исследования динамики и управления больших конструкций / Г.Дж.Бучанан, Р.У.Шок, Г.Б.Уайтес // Аэрокосмическая техника. 1985. - №6. - С. 147-157.

20. Шехтер Д.Б. Эксперимент по управлению нежесткой конструкцией / Д.Б.Шехтер, Д.Б. Элдред // Аэрокосмическая техника. 1985. - №6. - С. 158-168.

21. Рутковский В.Ю. Управление угловым движением деформируемого спутника с распределенными массами 1 / В.Ю.Рутковский, В.М.Суханов // Космические исследования. 1970. - Т.8.- Вып.1 - С.71-79.

22. Злочевский С.И. О влиянии колебаний упругих элементов с распределенными массами на ориентацию спутника / С.И.Злочевский, Е.П.Кубышкин // Космические исследования. 1987. - Т.25. - Вып.4. - С.537-545.

23. Моррис К.А. Сравнение различных моделей колебаний стержней с точки зрения проектирования системы управления / К.А.Моррис, М.Видьясагар // Современное машиностроение. Сер.Б. - 1991. -№ 2. - С.8-16.

24. Голубев Ю.Ф., Дитковский А.Е. Управление вращением упругого стержня на плоскости без возбуждения упругих колебаний / Ю.Ф.Голубев, А.Е.Дитковский // Робототехника. 2001. - №1. - С. 160-165.

25. Детинко Ф.М. Следящая нагрузка и устойчивость плоской формы изгиба стержня / Ф.М.Детинко // Механика твердого тела. 2002. - №5. - С. 137-144.

26. Малышев А.П. Построение модели частотно-независимого демпфирования по амплитудной характеристике коэффициента поглощения /

27. A.П. Малышев // Прикладная математика и механика. 2003. - Т.67. - Вып.1. - С.134-141/.

28. Морозов В.М., Рубановский В.Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных движений твердого тела с деформируемыми элементами /

29. B.М.Морозов, В.Н.Рубановский; Некоторые вопросы управления и устойчивости механических систем: Науч. тр. Института механики МГУ. -№22. М.: Изд-во МГУ. - 1973. - С. 109-161.

30. Морозов В.М. Механика и прикладная математика / В.М.Морозов, В.Н.Рубановский. М.: Наука. - 1983. - 328с.: ил.

31. Morris К. A., Vidyasagar M. A comparison of different models for beam vibrations form the standpoint of control design// Dynamics Systems, Measurement, and Control. 1990. - V.l 12. - №3. - P.394-356.

32. Nurre G.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.L. Dynamics and Control of Large Space Structures// Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. -V.7.-№5.-P.514-526.

33. Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями / С.И.Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследования. 1991. - Т.29. -Вып.6. - С.828-839.

34. Кобельков Г.М. К решению нестационарной задачи Стокса / Г.М.Кобельков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т.40. - № 12.-С. 1838-1841.

35. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А.В. Бицадзе. М.: Наука. - 1969. - 239 с.

36. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука. - 1987. - 688 с.

37. Иванов В.А. Математические основы теории автоматического регулирования / В.А.Иванов, В.С.Медведев, Б.К.Чемоданов и др./ Под ред. Б.К.Чемоданова: М.: Высш. шк. - 1977. - 366с.

38. Крылов В.И. Методы численного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа / В.И. Крылов, Н.С. Скобля. М.: Наука, 1974.-223 с.

39. Тарасов Р.П. Вычисление функций в алгебре треугольных теплицевых матриц и численное обращение интегрального преобразования Лапласа/ Р.П.Тарасов. // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 1990.-Т. 30.-№ 12. - С.1827-1833.

40. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование линейных дискретно-континуальных систем / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, А.Б.Смарунь // Прикладная математика и механика. 2000. - Т. 64. - Вып. 2. -С.183-195.

41. Andreichenko K.P., Andreichenko D.K., Smarun A.B. Dynamical modelling of linear discrete-continious systems // J. Appl. Maths Mesh. 2000. -Vol.64.-№2-P. 177-188.

42. Андрейченко К.П. К теории комбинированных динамических систем / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. - № 3. - С. 54-69.

43. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование манипулятора с гибкой рукой / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко / Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996. - № 3. - С.94-100.

44. Андрейченко К.П. Динамическое моделирование гироскопической системы угловой стабилизации упругой ракеты / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко // Доклады академии военных наук. 1999. - № 1. - С. 5-13.

45. Андрейченко К.П. Моделирование систем с деформируемыми объектами управления / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко. Деп. в ВИНИТИ 05.07.95, №2013-В95.- 16с.

46. Андрейченко К.П. Математическое моделирование комбинированных динамических систем / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко. -Деп. в ВИНИТИ 21.02.97, № 557-В97. .12 с.

47. Андрейченко К.П. Комбинированные динамические системы / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко; Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы межд. конф. РАН. -Саратов, 1997.-с. 104-106.

48. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К.Андрейченко // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 2000. - Т.40. - № 7. -С. 1030-1044.

49. Andreichenko D.K. An Efficient Algorithm for Numerical Inversion of the Laplace Transform // Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol.40. №7. - 2000. - P. 987-999.

50. Петрова Т.Ю. Об одном классе алгоритмов численного обращения интегрального преобразования Лапласа / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова // Доклады академии военных наук. 2000. - № 5. - С.5-23.

51. Петрова Т.Ю. Новый класс методов численного обращения интегрального преобразования Лапласа / Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова; проблемы управления и связи: Материалы межд. конф. Сарат. гос. техн. ун-т.- Саратов: СГТУ, 2000. с.82-86.

52. Андрейченко Д.К. Математическое моделирование дискретно-континуальных механических систем / Д.К.Андрейченко; Сарат. гос. техн. ун-т.- Саратов: СГТУ, 2001. 320 с.

53. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем / А.С.Вольмир. М.: Физматиздат, 1963. - 880с.

54. Лавровский Э.К. О стабилизации углового положения упругого стержня / Э.К.Лавровский, А.М.Формальский // Техническая кибернетика. 1989. - №6. -С.115-123.

55. Лавровский Э.К. Стабилизация заданной позиции упругого стержня / Э.К.Лавровский, А.М.Формальский // Прикладная математика и механика. -1989. Т.53 - №5. - С.752-760.

56. Лавровский Э.К. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза / Э.К.Лавровский, А.М.Формальский // Прикладная математика и механика. 1993. - Т.57 - №6. С.51-60.

57. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова// Вестник СГТУ. -2003. № 1.-С.6-15.

58. Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дисретно-континуальной системы / К.П.Андрейченко, Д.К.Андрейченко, Т.Ю.Петрова // Прикладная математика и механика. 2004. - Т.68. - Вып.5. -С.776-783.

59. Балинский А.И., Подлевский Б.М. Связь между методами Эрмита, Шура и Ляпунова в теории устойчивости многочленов // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 2002. - Т.42. - № 9. - С. 1283-1289.

60. Постников М.М. Устойчивые многочлены / М.М.Постников. М.: Наука, 1981.-98с.

61. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д.Кудрявцев М: Наука, 1989. 267с.

62. Нурр Г.С. Динамика больших космических конструкций и управление ими / Г.С.Нурр, Р.С.Райан, Х.Н.Скофилд. и др. // Аэрокосмическая техника. -1985. №3 - С. 129-147.

63. Андрейченко Д.К. Математическое моделирование дискретноконтинуальных механических систем: Автореф. дис.д-ра. физ-мат. наук.1. М., 2002.-36 с.

64. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк. -М.:Мир, 1967.-310 с.

65. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик М.: Наука, 1962. - 1100 с.

66. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды / М.В. Федорюк. М.: Наука, 1987.-544 с.

67. Николаи E.JI. Труды по механике / Е.Л. Николаи,- М.:Гостехиздат. 1955.

68. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости /

69. B.В. Болотин. М.: Физматизд, 1961. - 339с.

70. Болотин В.В. О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных систем / В.В.Болотин, А.А.Гришко, А.П.Петровский // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. - №2 - С. 158-167.

71. Агафонов С. А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруговязкого стержня, находящегося под действием следящей силы/

72. C.А.Агафонов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. - №2. - С. 138-141.

73. Злочевский С.И. О стабилизация углового положения спутника с гибкими стержнями 1 / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Космические исследования. 1989. - Т.27. - №5.