Математическое и компьютерное моделирование хаотических колебаний гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Загниборода, Николай Анатольевич

• Загниборода, Николай Анатольевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Загниборода, Николай Анатольевич

Содержание

Введение (краткий исторический обзор исследований по теме диссертации)

Глава I Математическое моделирование хаотической динамики 18 гибких прямолинейных балок

§1 Основные гипотезы и допущения

§2 Математическая модель гибкой прямолинейной балки

§3 Методы решения дифференциальных уравнений, описывающих 22 балки Эйлера-Бернулли

3.1 Сведение системы уравнений методом конечных разностей к 22 системе обыкновенных дифференциальных уравнений

3.2 Сведение системы уравнений методом конечных элементов к 23 системе обыкновенных дифференциальных уравнений

3.3 Достоверность получаемых результатов 24 §4 Анализ сложных колебаний гибкой прямолинейной балки на

области управляющих параметров. Частотный анализ режимов

колебаний

§5 Достоверность получаемых результатов

5.1 Оптимальные параметры моделирования на области управляющих 31 параметров

5.2 Методы решения задачи Коши методами Рунге-Кутты 4-ого и 6- 38 ого порядков точности

5.3 Особенности решения симметричных задач 39 §6. Влияние краевых условий на хаотические колебания балок Эйлера- 43 Бернулли

§7 Новые методы анализа сложных колебаний на области

управляющих параметров.

7.1 Анализ применимости математической модели по предельно 44 допустимым прогибам

7.2 Проверка гипотезы упругого тела

7.3 Определение симметрии прогибов балки

46

47

7.4 Определение нелинейного отклика балки на линейно изменяемый

§8. Показатели Ляпунова, определение режимов колебаний системы с 50 их применением

8.1 Алгоритм Бенеттина вычисления показателей Ляпунова и 50 обобщенный алгоритм Бенеттина в обучении сети

8.2 Сценарии перехода колебаний из гармонических в хаос и "хаос- 60 гиперхаос"

8.3 Алгоритм Вольфа вычисления показателей Ляпунова 72 §9 Определение показателей Ляпунова на области управляющих 74 параметров

§ 10 Анализ сценариев хаотических колебаний гибких балок Эйлера- 76 Бернулли в зависимости от частоты внешнего периодического воздействия

Выводы по главе

Глава П Математическое моделирование хаотической динамики 83 гибких криволинейных балок

§1 Основные гипотезы и допущения

§2 Математическая модель гибкой криволинейной балки

§3 Исследование влияния кривизны балки на хаотические колебания 87 гибких криволинейных балок

§4 Исследование влияния граничных условий на хаотические

колебаний гибких криволинейных балок

§5 Исследование сценариев хаотических колебаний гибких

криволинейных балок

Выводы по главе

Глава Ш Математическое моделирование хаотической динамики

управляющий параметр

48

гибких криволинейных балок в стационарном температурном 107 поле

§1 Основные гипотезы и допущения

§2 Определение стационарного температурного поля

§3 Математическая модель гибкой криволинейной балки в 108 стационарном температурном поле

§4 Определение влияния стационарного температурного поля на Ю9 хаотическую динамику

§5 Математическая модель гибкой криволинейной балки в \ ю стационарном температурном поле с учетом электрического поля.

Выводы по главе

Глава IV Программный комплекс

§ 1 Комплекс качественного анализа сложных колебаний

§2 Комплекс количественного анализа сложных колебаний

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и компьютерное моделирование хаотических колебаний гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле»

Введение

(краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы) Промышленность - основа развития человеческой цивилизации. Машиностроительная отрасль является экономическим локомотивом многих стран мира. Роль автомобилестроения, авиастроения, судостроения, ракетно-космического машиностроения в современном мире трудно переоценить. Потребность в продуктах этих отраслей способствует высокой конкуренции, которая вынуждает непрерывно совершенствовать конструкции машин и их узлы. Базовыми элементами конструкций являются такие распределенные механические системы как балки, пластины и оболочки. Основные требования, предъявляемые к ним при оптимизации - это устойчивость к внешним нагрузкам, способность сохранять свою форму, малый вес.

Основными инструментами при оптимизации конструкций являются натурное и математическое моделирование. Натурное моделирование и динамические испытания становятся весьма затратными при усложнении исследуемой системы. Кроме того существуют задачи, в которых натурное моделирование затруднительно. Математическое и компьютерное моделирование имеет ряд преимуществ: 1) для вычислительного эксперимента не требуется сложного лабораторного оборудования; 2) идет существенное сокращение временных и экономических затрат на эксперимент; 3) имеется возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения; 4) простота прерывания и возобновления численных экспериментов.

Отправной точкой в теоретических исследованиях балок можно считать работу Якоба Бернулли, посвященную изучению изгибу стержней. Полученное им дифференциальное уравнение статического изгиба, в дальнейшем исследовал Леонард Эйлер. Результатом работы стало дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки Эйлера-Бернулли [1].

Существенный вклад в развитие теоретической механики и изучение колебаний балок и стержней в частности, в ХУ1П-Х1Х веках внесли такие ученые, как: Юнг, Навье, Лагранж, Клапейрон, Сен-Венан, Ж. Фурье и Ж. Буссинеск.

Во второй половине XIX века происходит становление отечественной школы теоретической механики. После революции 17-го года отечественная школа механики распадается. Часть исследователей эмигрировала, часть осталась в СССР.

Существенный вклад в развитие внесли Н. А. Белелюбский [2] , Н. П. Петров [3], Д. К. Бобылев [4, 5], Д.И. Журавский [б], В. Л. Кирпичев [7], Ф. С. Ясинский [8, 9], заложившие своими работами основы теории сопротивления материалов и теоретической механики.

Отдельно следует отметить вклад в развитие теоретической механики С.П. Тимошенко. Учет инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига позволил ему обобщить классическую теорию поперечных колебаний стержней. Его работы «Курс теории упругости», «О продольном изгибе стержней в упругой среде», «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [10-12] до сих пор не утратили актуальности.

Значительный вклад в развитие нелинейной теории балок, пластин и оболочек сделан такими учеными, как: В.В. Новожилов [13], Биргер И.А. [14] , А. С. Вольмир [15-17], В. 3. Власов [18], В. В. Болотин [19].

Анализ исследований стержней, балок, пластин и оболочек за последние 10 лет позволяет выделить ряд работ, как наших соотечественников, так и зарубежных коллег.

Распространенным подходом для исследования колебаний балок является метод конечных элементов. В работе [20] рассматривается конечноэлементная модель с 18-ью узлами, для исследования напряженного состояния толстых криволинейных балок и панелей с различными типами нагружения. В работе [21] предлагается гибридный метод конечных элементов, он совмещает обычный метод конечных элементов и

энергетический. С его применением определяются вибрации жестких и гибких балок, а также количество энергии, диссипируемой в демпфирующих элементах. В статье предлагается [33] простая механическая модель криволинейных балок с помощью трехмерного подхода.

Исследованию стержней Эйлера-Бернулли посвящены работы [22, 26, 29, 42]. В них рассматривается задача о собственных значениях разрывных стержней (применяется метод сосредоточенных масс), решение задач о свободных колебаниях неоднородных стержней, краевая потеря устойчивости с волнообразованием в слоистых стержнях, и дискретные модели расчета стержневых конструкций соответственно.

Также можно отметить такие работы как: «Отклик и схлопывание металлических стержней и пологих арок на пенистых основаниях»[30], «Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем»[31], «Динамический отклик балки, описываемой уравнениями Бернулли-Эйлера на вязкоупругом основании, на последовательность движущихся динамических нагрузок» [34] и «Аналитическое решение задачи о поперечных колебаниях балки» [39].

Вопросам контроля режима колебаний гибких балок с применением пьезоэлектрических сенсоров и активаторов посвящена работа [24]. В статье [35] рассматривается экспоненциальная стабилизация поперечной вибрации и отслеживание траектории точек при общем движении в плоскости балки Эйлера-Бернулли. Разрабатывается сложная система контроля, показывается эффективность её применения. Также можно отметить работу об узлах приложения нагрузки для подавления колебаний стержня при гармоническом возбуждении [41].

Исследование одномерных уравнений искривленных в одной плоскости пьезоэлектрических брусков, пьезоупругих пластин под влиянием поврежденности и балок с пьезоэлектрическими участками отражено в статьях [27, 28, 39]. Влияние магнитного поля на состояние электропроводящих пластин при неконсервативных нагрузках описано в [32].

Вопрос воздействия температуры на балки практически не освещен, можно выделить близкие работы как «Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия» [43] Егорычева O.A., Егорычева О.О. и Федосова А.Н., и «Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле» [44].

Получившие широкое распространение в последние десятилетия методы анализа детерминированного хаоса позволили по-новому подойти к описанию нелинейных колебаний балок, панелей, пластин и оболочек, а так же их комбинаций. Среди работ посвященных изучению распределенных механических с позиций хаоса систем отдельно стоит выделить исследования, проведенные научной школы Крысько В.А. или совместные с ней работы. Интерес представляет тот факт, что исследования проводятся для сильно нелинейных систем.

Особенности сложных колебаний балок Эйлера-Бернулли с множеством степеней свободы освещены Салтыковой O.A., Жигаловым М.В. [23, 25]. Следует отметить, что рассматривалась, как модель Эйлера-Бернулли, так и модель Тимошенко. Хаотическая динамика пары и тройки взаимодействующих гибких балок показана Коч М.И., Яковлевой Т.В в работах [36, 37, 40]. Анализу и описанию сценариев перехода к хаосу некоторых динамических систем с множеством степеней свободы посвящен цикл работ [45, 46]. Стоит также остановиться на работах [47-52]. Большой вклад в развитие хаотической динамики был сделан в работах В.А. Крысько, Я. Аврицевич, A.B. Крысько, М.В. Жигалов, И.В, Папкова [52-63].

Анализ состояния литературы по данному вопросу показывает, что опубликованные работы по колебаниям балок Бернулли-Эйлера выполнены с малым числом степеней свободы. Слабо освещены такие интересные явления как переход колебаний механической системы из гармонического режима в хаос, гиперхаос и гипер-гипер хаос. Не изучено явление пространственно-временного хаоса в балочных системах. Не делается анализ спектра показателей Ляпунова, и имеющиеся методы получения спектра ляпуновских

показателей далеки от своего совершенства. Не выявлены сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические гибких балок Эйлера-Бернулли, не построены карты характера колебаний от управляющих параметров: амплитуды внешней поперечной нагрузки и частоты воздействия. Не проанализирован характер колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли в широком диапазоне частоты внешнего воздействия. Исследований посвященных изучению сложных колебаний гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле нет. Данная работа ставит своей целью ликвидацию указанных пробелов.

Целью работы является исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле под действием внешней периодической нагрузки. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Разработаны математические модели гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с применением гипотез Эйлера-Бернулли, гипотез пологости и ряда гипотез для определения температурного поля;

2. Разработан и реализован в программном комплексе численный метод, моделирующий хаотическую динамику исследуемых объектов;

3. Разработаны и реализованы в программном комплексе новые алгоритмы анализа хаотической динамики на области управляющих параметров, позволяющие определять области выполнения гипотез по прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, режимы колебаний, показатели Ляпунова, нелинейный отклик системы на линейное воздействие по внешней нагрузке

4. Усовершенствован процесс постановки вычислительного эксперимента: осуществлена интеграция алгоритмов анализа сигналов среды МАТЪАВ в вычислительный комплекс, реализована поддержка

многопроцессорных систем, разработана система распределенных вычислений

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 133 страницы наборного текста, в том числе 12 рисунков, 66 таблиц.

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен краткий исторический обзор результатов, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе строится математическая модель гибкой балки Эйлера-Бернулли, приводятся основные гипотезы. Описывается метод решения, обосновывается достоверность получаемых результатов. Дается описание карты режимов колебаний как метода анализа на области управляющих параметров. Проводится определение оптимального разбиения по пространственной координате, и оптимального разбиения области управляющих параметров. Приводятся новые методы анализа на области управляющих параметров (карта предельно допустимых прогибов, карта зон упруго-пластических деформаций, карта расхождения траекторий, карта Показателей Ляпунова и др.). Изучается влияние различных граничных условий при разной толщине балки на хаотическую динамику гибкой прямолинейной балки. Также проводится исследование влияния различных параметров моделирования.

Вторая глава посвящена математическому моделированию криволинейных балок. С применением разработанных методов анализа на области управляющих параметров изучается влияние геометрической кривизны на хаотическую динамику гибких криволинейных балок. Проводится качественный анализ.

Третья глава посвящена математическому моделированию гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле. Изучается влияние стационарного температурного поля различной мощности на хаотическую динамику балки. На основе данной модели разрабатывается

математическая модель гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с учетом электрического поля (рассматривается несвязанная задача, электрическое поле не влияет на температурное поле). В четвертой главе описывается разработанный программный комплекс и основные трудности, с которыми пришлось столкнуться в процессе его разработки.

Список используемой литературы включает 120 наименований. Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

1. Предложен метод математического моделирования и построены математические модели, учитывающие кривизну гибкой балки и стационарное температурное поле.

2. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, обеспечивающий моделирование пространственно-временного хаоса гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.

3. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для анализа колебательного процесса, которое позволяет определить зоны выполнения гипотез по допустимым прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, а также позволяет строить карты режимов колебаний, карты расхождения траекторий, карты показателей Ляпунова. Произведено сравнение карт между собой. Ввиду большой вычислительной сложности в программном комплексе потребовалось реализовать систему распределенных вычислений, использующую потенциал многопроцессорных систем, и реализующую автоматическое масштабирование вычислительных мощностей.

4. Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования (количество точек модели, длительность моделирования), установлены их оптимальные значения по критериям точности и затратам машинного времени. Подтверждена сходимость карт режимов колебаний в зависимости от используемого

метода решения системы дифференциальных уравнений (методы Рунге-Кутгы 4-ого и 6-ого порядков точности). Точность анализа значительно превосходит предыдущие работы в этой области (в 3 раза по количеству точек модели и в 2 раза по времени моделирования).

5. Показано, что хаотическая динамика изучаемых моделей при симметричных граничных условиях похожа. При жесткой заделке на обоих концах, система имеет больше гармонических областей колебаний, однако, в общем виде динамика такая же, что и при симметричном креплении на жестких шарнирах. Несимметричные граничные условия приводят к значительному сокращению области гармонических колебаний и увеличению области хаотических колебаний.

6. Показано, что увеличение кривизны балки положительно влияет на область гармонических колебаний, при этом наблюдается резкая граница динамической потери устойчивости, увеличивается область упругих деформаций, балка становится более устойчивой к внешней нагрузке.

7. Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле. Показано, что температурное поле может увеличивать зоны гармонических колебаний и понижать хаотическую динамику за счет изменения геометрической кривизны балки.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также сравнением результатов, полученных разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях и методом Рунге-Кутты 4-ого и 6-ого порядка точности, в совокупности с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Результаты моделирования гибкой балки совпадают с результатами моделирования

проведенными другими исследователями в предшествующих работах. Кроме того было проведено исследование влияния ряда параметров на точность моделирования.

Результаты, полученные автором диссертации, согласуются с имеющимися физическими представлениями, основанными на экспериментах. Практическая ценность и реализация результатов.

Практическая ценность заключается в разработанном программном комплексе, позволяющем моделировать хаотическую динамику описанных распределенных систем с учетом разных вариантов статического и динамического нагружения, различных параметров окружающей среды и разных типов граничных условий. Выявлены причины появления несимметричных форм колебаний при использовании описанного метода моделирования для задач с симметричными граничными условиями и симметричным внешним воздействием. Комплекс также позволяет анализировать границы применимости математической модели, определять режимы колебаний системы, фиксировать нелинейный отклик системы на линейное изменение управляющего параметра и анализировать степень её хаотичности через показатели Ляпунова. Численные эксперименты, проведенные в рамках данной работы, позволяют указать те наборы управляющих параметров, при которых исследуемые структуры находятся в зоне безопасной работы. Полученные результаты могут быть использованы как в области механики, так и в различных приборах электроники и гироскопии (микро-электро-механических системах для определения движения объекта, его скорости, измерения ускорения, угловых скоростей, давления, скорости потока жидкости или газа, температуры и влажности).

Результаты диссертации были использованы при выполнении грантов: ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1019, мероприятие 1.4 «Поддержка развития внутрироссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения исследований молодыми учеными и

преподавателями в научно-образовательных центрах»; РФФИ 12-08-00569-а, «Построение математической модели гироскопа с распределенной массой с большой амплитудой осцилляторов»; НИР СГТУ-12 «Математическое моделирование осцилляторов с большой амплитудой колебаний для приборов навигации»; Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертации представлялись на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и

— ______ .г _____

молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2011); 11 CONFERENCE on «Dynamical Systems-Theory and Applications» {Lodz, POLAND, 2011); УШ международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011); заочной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке» (Тамбов, 2012).

Часть материалов диссертации докладывалась на кафедре «Сопротивление материалов и основы теории упругости» профессора Каюмова Р.А. Казанского государственного архитектурно-строительного университета (Казань, 2012). В законченном виде диссертация докладывалась на кафедре «Автоматики и биомеханики» технического университета Лодзи (Польша, 2013) фул профессора Яна Аврицевича, на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2013); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2013).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах [106-116]. На разработанный программный комплекс получены свидетельства о регистрации [116-120].

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели, обеспечивающие исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле.

2. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочных структур с учетом геометрической нелинейности, как для отдельно численного эксперимента, так и на области управляющих параметров. Впервые получены такие карты как карты расхождения траекторий карты показателей Ляпунова.

3. Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования. Определены их оптимальные значения. Изучено влияние различных типов граничных условий и геометрической кривизны балки на хаотическую динамику гибкой криволинейной балки.

4. Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Крысько Антону Вадимовичу, заведующему кафедрой «Математика и моделирование», Заслуженному деятелю науки и техники РФ, Почетному доктору Технического университета г. Лодзь (Польша), Соросовскому профессору, доктору технических наук, профессору Вадиму Анатольевичу Крысько за постоянное и пристальное внимание к работе. Огромное спасибо моей семье - маме Пьянковой Елене Григорьевне и брату Загнибороде Дмитрию Анатольевичу, без их поддержки создание данной работы было бы невозможно.

Используемые обозначения

а - длина балки; А - высота балки; м?{х, 0 - прогиб балки;

и{х, 0 - перемещение срединной поверхности вдоль оси ох; ех,е2 - коэффициенты затухания для прогиба и перемещения соответственно;

q = - поперечная нагрузка;

£ - модуль Юнга; £ - ускорение свободного падения; р - плотность материала; у - объемный вес материала балки; 0)р - частота вынуждающей силы;

<70 - амплитуда вынуждающей силы;

Ях - радиус кривизны балки;

кх = — — геометрическая кривизна балки.

я*

Глава I Математическое моделирование хаотической динамики гибких

прямолинейных балок

§ 1 Основные гипотезы и допущения

В работе рассматриваются гибкие однослойные, тонкие балки, с длиной а и высотой к. Балка нагружается

распределенной по ее поверхности нагрузкой д(х

действующей в направлении нормали к серединной поверхности балки (рис. 1.1).

Построенная математическая модель балки основывается на следующих гипотезах:

- любое поперечное сечение, нормальное к серединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к серединной поверхности, вместе с тем высота сечения не изменяется;

- инерция вращения элементов балки не учитывается, однако учитываются силы инерции, отвечающие за перемещения вдоль нормали к серединной поверхности;

- внешние силы не меняют своего направления при деформации балки;

- длина балки значительно превышает ее поперечные размеры;

- геометрическая нелинейность учитывается в форме Т. Кармана [65]. Приведенные выше гипотезы опираются на идеи Эйлера-Бернулли с

учетом геометрической нелинейности, и считаются математической моделью первого приближения, но она является достаточно точной для возможности анализа [64, 66].

§2 Математическая модель гибкой прямолинейной балки Уравнение движения балки, а также граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона - Остроградского

д=Я05тО)р1

>г 1 ^ ^ ^г ^ 1 1 ^

а X

-

Рис. 1.1. Схема гибкой прямолинейной балки.

'о

где К - кинетическая энергия, П - потенциальная энергия, д'1¥ — сумма элементарных работ внешних сил.

В вариационном принципе Гамильтона-Остроградского производится сравнение близких движений, переводящих систему материальных точек из начального положения в момент времени t0 в конечное положение в момент времени ti. Предполагается, что:

- система голономна;

- все движения начинаются в один и тот же момент времени и завершаются в один и тот же момент времени, то есть время не варьируется;

- вариации обобщенных координат при t = t0 и 1 = ^ тождественно равны нулю [25].

Деформация срединной линии балки бх = — + —

дх 2

— I . Использование

дх)

гипотезы Эйлера-Бернулли позволяет считать, что нормаль к срединной

* - д2ы

линии остается перпендикулярной после деформации балки: е^ =ех -г—

дх

н

где ех деформация в срединной линии. Их = |сгхсйк — продольное усилие,

-а

(2к)3 а2м>

х { ** 12 дхА

момент.

Математическая модель балки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Эти выражения представляют собой уравнения движения элемента балки с учетом диссипации энергии. В размерном виде модель описывается системой (1.1):

,(д2и ды 51Уд2иЛ у д2и

+ г) --/г—г = О

С

дх2 "Хдх'дхдх2) д" 2Л2

/г2 З4IV д2иди> дид2м? 3/д\м\ д2\м

—г + —^т—+ —-Г-ТГ + -1—-1 т-г

у 32и/ у Зн' д дЬ2 д дь

(1.1)

12 ал:4 дх2дх дх дх2 2\дх) дх2 Для обеспечения общности исследования размерная система уравнений переводится в безразмерную форму [64] (1.2):

д2и дги

¿3(м>,м>)- — = 0,

дх2 ^ ' ' а/2

1 т , , т , ч

12 ссс

а2'

дм _ е— = 0, дг

(1.2)

о о

т , ч д и дм дид м? _ .

дх дх дх дх 2

3 ( ЗиЛ2 Э2"и>

. йх; У дх2 ' ' дх дх1 гдеХ1(м,'И'), Ь2(-и>,м>), ¿з(IV,м>) - нелинейные операторы, - прогиб

элемента в направлении нормали; и(х,/) - перемещение элемента в продольном направлении; е — коэффициент диссипации; Е - модуль Юнга; к - высота поперечного сечения панели; у — удельный вес материала; g —

ускорение свободного падения; г — время; д = д0$'т(й)р^ - внешняя нагрузка.

Безразмерные параметры введены следующим образом:

Я = = —;м=-у;х = -;/=-;г = —; р п п к а г р

Ее - а _ да

1 — ; € = —; д у р к4Е

(1.3)

Черточка над безразмерными параметрами в уравнениях (1.2) для простоты опущена.

К уравнениям системы (1.2) следует присоединить одно из граничных условий.

1. Оба конца балки имеют жесткую заделку (х = 0, х = а)

™(0,/) = м>(а,0 = м(0,0 = и(а,0 = (0,/) = (а, 0 = 0; (1.4)

Рис. 1.2. Жесткая заделка с двух концов.

2. Оба конца балки закреплены шарнирно-неподвижно (х = 0, х-а

) м<0,0 = = и(0,0 = и(а,0 = мГ„(0,0 = (а,/) = 0; (1.5)

0 г

Рис. 1.3. Шарнирно-неподвижное опирание с двух концов.

3. Один конец имеет жесткую заделку (х = 0), а другой шарнирно-неподвижен (х = а)

и<0,0== "(0,0 = м(д,0 = < (0,0 = >Л (Л,0=о; ^

Рис. 1.4. Один конец закреплен шарнирно-неподвижено, другой имеет

жесткую заделку.

4. Один край имеет жесткую заделку (х = 0), а другой свободен (х = а)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Загниборода, Николай Анатольевич, 2013 год

Список использованной литературы

1. Love, А. Е. Н. A Treatise on the Mathematical theory of Elasticity / A. E. H. Love. - New York: Dover Publications, 1944.

2. Белелюбский, H. А. Строительная механика: лекции / H. А. Белелюбский. 2-е печ. изд. Института инженеров путей сообщения императора Александра I. - СПб.: Тип. Ю. Н. Эрлих, 1897. - 404 с.

3. Петров, Н. П. К вопросу о прочности рельсов / Н. П. Петров. - СПб.: Изд. особой комиссии для всесторонненго исследования ж.д. в России, тип. Лосмковского, 1912. - Вып. 88. - 65 с.

4. Бобылев, Д. К. Курс аналитической механики / Д. К. Бобылев. - Ч. 1,2.-СПб.: Тип. Акад. наук, 1880-1883.

5. Бобылев, Д. К. О некоторых случаях изгиба прямых стержней под влиянием сосредоточенных грузов и сопротивления грунтов - СПб.: Изд. Института инженеров путей сообщения, 1902. - 24 с.

6. Журавский Д.И. О мостах раскосной системы Гау. - Часть 1. - Спб.: тип. Д.Кесневилля, 1855. - 114 с.

7. Кирпичев, В. Л. Собр. соч. / В. Л. Кирпичев. - Т.1. - Петроград: Изд. Совета Петроградского политехнического института, 1917. - 615 с.

8. Ясинский, Ф. С. Опыт развития теории продольного изгиба / Ф. С. Ясинский. - СПб.: Тип. Ю. Н. Эрлих, 1893. - 270 с.

9. Ясинский, Ф. С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней / Ф. С. Ясинский. - М. - Л.: Гостехтеориздат, 1952. - 427 с.

Ю.Тимошенко, С. П. Курс теории упругости / С. П. Тимошенко. Ч. II Стержни и пластинки. Петроград: Тип. А. Э. Коллинса, 1916. с. 200 - 213. П.Тимошенко, С. П. О продольном изгибе стержней в упругой среде / С. П. Тимошенко // Известия С.-Петербургского политехнического института. -1907. - Т.7. - Кн.З. - С.95-113. 12.Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С. П. Тимошенко. // Избранные работы / под ред. Э. И. Григолюка. -М.:Физматгиз, 1971.-808 с.

13.Новожилов В.В. Основы линейной теории упругости. Гостехиздат, М., 1948

14.Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности - ПММ, 1952,15, 6.

15.Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. - М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

16.Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1972 . - 432 с.

17.Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем «Наука» М., 1968

18.Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. - М.: Гостехиздат, 1949. — 784 с.

19.Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - М.: Гостехиздат, 1956. — 600 с.

20.А 3d cylindrical finite element model for thick curved beam stress analysis / Rattanawangcharoen N., Bai H., Shah A.H. // Int J. Numer. Meth. Eng. 2004, 59, p 511-531.

21.A hybrid finite element formulation for a beam-plate system / Hong S.B., Wang A., Vlahopoulos N. // J. Sount and Vibr. 2006. 298, № 1-2, c. 233-256.

22.A solution method for Euler-Bernoulli vibrating discontinuous beams. / Faillla G., Santini A. // Mech. Res. Commun. 2008. 35, № 8, p. 514-529.

23.Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от граничных условий / Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О.А. // Изв. вузов. Стр-во. 2008, №9, р.4-10. Библ. 6. Рус.

24.Vibration control of piezoelectric beam-type plates with geometrical nonlinear deformation / Zhou Y. Wang J. // Int. J. Non-lenear Mech. 2004, 39, №6 p. 909-920.

25.Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Эйлера / Десятова А.С., Жигалов М.В., Крысько В.А., Салтыкова О.А. // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2008, № 6, с. 128-136.

26.Free vibration of non-uniform Euler-Bernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method / Hsu J, Lai H, Chen C.K. // J. Sound and Vibr. 2008. 318, № 4-5, p. 965-981.

27.0ne-dimensional equations for planar piezoelectric curved bars / Yang J., // ШЕЕ Trans. Ultrason., Ferroelec., and Freq. Contr. 2007. 54, № Ю, p. 22022207.

28.Nonlinear dynamic response of piezoelastic laminated plates considering damage effects / Fu Y., Wang X., Yang. J. // Compos. Struct. 2007, 81, №3, p 353-361.

29.Wrinkling and edge buckling in orthotropic sandwich beams / Ji W., Waas A. // J. Eng. Mec. 2008. 134, №6, p 455-461.

30. Response and collapse of foam-supported sheet metal beams and shallow arches / Corona E., Wang J. // Int. J. Solids and Struct. 2008. 45, № 22-23, p/ 5844-5855.

31 .Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем / Аврамов К. В., Гендельман О.В. // Пробл. Проч. 2009, № 3, с. 97-106.

32.0n the magnetic field effect in electroconductive plates under nonconservative loading / Milanese A., Marzoccs P., Belubekyan M., Ghazaryan K., Mkrtchyan H.P. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2009,76, № 16 p/ 011015/1-011015/9.

33.Simple mechanical model of curved beams by 3D approach / Lenci S., Clementi F. // J. Eng. Mech. 2009. 135, № 7 , 597-613.

34.Steady-state dynamic response of Bernoulli-Euler beam jn a viscoelastic foundation subject to a platoon of moving dynamic loads / Sun Lu, Luo Feiquan // Trans. ASME. J. Vibr. And Acoust. 2008. 130, № 5, p 051002/1-051002/19.

35.Exponential stabilization of transverse vibration and trajectory for general inplane motion of an Euler-Bernoulli beam via two-time scale and boundary control methods / Lotfavar A., Eghtesad M // Trans. AME. J. Vibr. And Acoust. 2009. 131, №5, p 054503/1-054503/7.

36.Учет физической нелинейности на сложные колебания гибких трехслойных балок Эйлера-Бернулли / Коч М. И. // Труды

Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010», Москва, 6-9 апр., 2010 М.: РУДН. 2010, с. 205-210.

37.Математическая модель управления сложными колебаниями многослойных неспаянных балок / Папкова И.В., Коч М.И., Яковлева Т.В. // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 7 Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 3-6 июня, 2010. 4.1. Секц. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ. 2010, с. 263-266.

38.Accurate modeling of moderately wide beams with attached piezoelectric actuator patches / Huber D., Krommer M // Mech. Adv. Mater. And Struct. 2011, 18, №7, p 498-510.

39.Аналитическое решение задачи о поперечных колебаниях балки / Сарычев В.Д. Волошина М.С. // Физико-математическое моделирование систем: Матералы 8 Международного семинара, посвященные 300-летию со дня рождения М.В. Ломоносова, Воронеж, 25-26 нояб., 2011. Ч. 4. Воронеж. 2011, с. 10-14.

40.Сложные колебания консервативных двухслойных балок / Коч. М.И.б Ярошенко Т.Ю., Крысько В.А. // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2011», Москва, 5-8 апр., 2011. Т. 2. М.: РУДН. 2011, с. 109-113.

41.Enforcing nodes to suppress vibration along a harmonically forced damped Euler-Bernoulli beam / Cha Philip D., Rinker Jennifer M. // Trans. ASME. J. Vibr. And Acoust. 2012. 134, № 5, p. 051010/1-051010/10.

42.Дисретные модели расчета и оптимизации стержневых конструкций при импульсном нагружении / Гребенюк Г.И., Вешкин М.С. // Изв. АТУ. 2012, № 1,4. 1, с. 36-38.

43 .Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия / Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. // Вестн. МГСУ. 2012, №9, с. 109-115.

44.Солдатов В.В., Исследование хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле / Солдатов В.В., Кузнецова Э.С. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. 4.1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2009. С. 242-245.

45.Крысько В.А., Жигалов М.В., Солдатов В.В. Особенности нелинейных колебаний балок С. П. Тимошенко // Известия вузов. Строительство. — 2009. - № 5. - С. 25-35.

46. Крысько В.А., Солдатов В. В. Вейвлет-анализ в теории нелинейных колебаний балок, пластин и оболочек // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: материалы Международного семинара, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова. Казань, 15-17 сентября 2008. Казань, 2008. С. 83-85.

47.Berdichevsku V., Ozbek A., Shekhtman I., Volovoi V. High energy beam vibrations // 35th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Struct., Struct Dyn. and Mater. Conf., Hilton Head, S. c. Apr. 18-20, 1994: Collect. Techn Pap. Pt. 3. -Washington (D.C.), 1994-C. 1456-1458.

48.Bar-Yoseph P.Z., Fifher D., Gottlieb O. Spectral element methods for nonlinear spatio-temporal dynamics of Euler-Bemoulli beam // Comput. Mech. — 1996. -19, 2-C. 136-151.

49.Yamaguchi Т., Nagai K. Suzuki H. Nihon kikai gakkai ronbunshu. // С N Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. - 2000. -66, N 652. - C. 3820-3827.

50.Ng T. Y., Daolin Xu Multiple stability and unpredictable outcomes in the chaotic vibrations of Euler beams // Trans. ASME. J. Vibr. And Accoust. -2002-124, Nl.-C. 126-131.

51.Nagai K. Chaos in post-buckled beams wit hasymmetric property under periodic excitation // 19th Int. Cong. Theor. And. Mech., Kyoto, Aug. 25-31, 1996: Abst. - Kyoto, 1996. - C. 283.

52.Han Q., Zheng X. Chaotic response of a large deflection beam and effect of the second order mode // Eur. J. Mech. A. - 2005. -24. - N6. - C. 944-956.

53.J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 1: Mathematical models and solution methods, Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 687-708

54.J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko. Routes to chaos in continuous mechanical systems: Part 2. Modelling transitions from regular to chaotic dynamics. Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 709-720

55.J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 3: The Lyapunov exponents, hyper, hyper-hyper and spatial-temporal chaos. Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 721-736

56. Awrejecewicz J. Nonlinear dynamics of continuous elastic systems / J. Awrejcewicz, V.A. Kiysko, A. Vakakis. N.Y.:Springer-Verlag, 2004, -341 p.

57. Awrejcewicz J. Thermo-dynamics of plates and shells / Awrejcewicz J. V.A. Krysko, A.V Krysko. N.Y.:Springer-Verlag, 2007, -777 p.

58. Krysko V. A, Chaos in structural mechanics / V.A. Krysko, Awrejcewicz J. N.Y.:Springer-Verlag, 2008, -400 p.

59. Awrejecewicz J. Chaotic vibrations of two-layered beams and plates with geometric, physical and design nonlinearities / Awrejecewicz J., Krysko A.V., Bochkarev V.V., Babenkova T.V., Papkova I.V., Mrozowski J. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 21, No. 10 (2011) 2837-2851.

60. Крысько B.A., Жигалов M.B., Салтыкова О. А. Десятова А.С. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Элера // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2008. № 6. С. 128-136.

61. Крысько В.А, Папкова И.В., Солдатов В.В, Анализ нелинейных хаотических колебаний пологих оболочек вращения с помощью вейвлет-

преобразования II Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. №1. С. 107117.

62. Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О. А., Крысько А.В. Об учете влияния поперечных сдвигов на сложные нелинейные колебания упругих балок//ПМТФ. 2011. Т. 52, № 5. С. 186-193.

63.Крысько В.А., Коч М.И., Жигалов М.В., Крысько А.В. Фазовая хаотическая синхронизация колебаний многослойных балочных структур //ПМТФ, 2012. Т. 53, №3. С. 166-175.

64.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1972. - 432 с.

65.Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinebau // Encykle D. Math. Wiss. 1910. Vol. 4, №4, p.311-385.

66.Euler L. Sur la force des colones // Memories de L'Academie de Berlin. 1757, vol B. p. 252-282.

67.Самарский A.A. Введение в численные методы / А.А, Самарский. — М.; Наука, 1987. -459с.

68.Grehard Е. Hairer Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems? Second edition / E. Hairer Grehard, Wanner Syvert, Paul Norsett. - Berlin: Springer Verlag, 1993.

69.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина // Кю Флетчер, пер. С англ. - М.: Мир, 1988, 352 с.

70.3енкевич Ок.К. Метод конечных элементов в технике // O.K. Зенкевич; пер. с англ. - М. Мир, 1975, - 541. с.

71.Grossman A. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavletes of constant shape / A. Grossman, J. Morlet // SLAM J/ Math. Anal. 1984. Vol. 15. №4. P. 723.

72.СНиП 2.03ю06-85, Госстрой СССР, Москва 1988.

73.Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема.

Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математ. об-ва. 1968. Т. 19. №. 197.

lA.Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors// Rev. Mod. Phys. 1985. Jul. Vol. 57, № 3. P 617.

15.Schauml"offel K.-U. Multiplicative ergodic theorems in infinite dimensions // Lyapunov Exponents. Springer Berlin / Heidelberg, 1991. T. 1486/1991. Lecture Notes in Mathematics. C. 187

76.Schaumloffel K.-U. Multiplicative ergodic theorems in infinite dimentions // Lyapunov Exponents. Springer Berlin / Heidelberg, 1991. T. 1486/1991. Lecture Notes in Mathematics. C. 187.

77.Yang H., Takeuchi K.A., Ginelli F. Hyperbolicity and the effective dimension of spartially-extended dissipative systems // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. 074102

78.Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part I: Theory. Part II: Numerical application //Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9.

79.Wolf A., Swift J. В., Swinney H.L., Vastano J. A. Determining Lyapunov Exponents from a time series // Physica D. 1985. Vol. 16, № 3. P. 285-317.

80.M. Henon (1976). "A two-dimensional mapping with a strange attractor". Communications in Mathematical Physics 50 (1): 69-77.

81.Lorenz, Edward Norton (1963). "Deterministic nonperiodic flow". Journal of the Atmospheric Sciences 20 (2): 130-141.

82.Verhulst, P.-F. "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population." Nouv. mém. de l'Academie Royale des Sci. et Belles-Lettres de Bruxelles 18,1-41,1845.

83.Verhulst, P.-F. "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population." Mém. de l'Academie Royale des Sci., des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 20, 1-32, 1847.

84.Арансон И.С., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович И.Н. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ , 1985, т. 89, №1, с. 92-105.

85.Гапонов-Грехов А.В., Рабинович И.Н. Нелинейная физика 20-ого века: развитие и перспективы // Письма в ЖЭТФ, 1984, т.39, №12, с. 561 - 564.

86.Hogg Т., Huberman В.А. Genetics behaviour of coupled oscillators // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29, N 1. P. 275-281.

87.Van Buskirk R., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31, № 5, P.3332-3357.

88.Пиковский A.C., Рабинович M. И. О странных аттракторах в физике // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 176-192.

89.Кузнецов С. П. Ренормгруппа, универсальность и скейлинг в динамике одномерных автоволновых сред // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. 29, № 8. С. 888-902.

90.А.С. Дмитриев, В. Я. Кислов Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М. Наука. 1989 с.278.

91.Bar-Yoseph P.Z., Fifher D., Gottlieb О. Spectral element methods for nonlinear spatio-temporal dynamics of Euler-Bernoulli beam // Comput. Mech. - 1996. -19,2-C. 136-151.

92.Г. Карслоу. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер // перев. с англ., под ред. проф. А. А. Померанцева издательство «Наука». Москва, 1964

93.Рындин Е.А. Методы решения задач математической физики / Рындин Е.А //ТРТУ, 2003. с. 119.

94.Агуров П.В. С#. Сборник рецептов. - М., С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2007. -432 с.

95.Агуров П.В. ASP.NET. Сборник рецептов. - М., С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2010.-528 с.

96.Нейгел К. С# 4.0 и платформа .NET 4 для профессионалов Нейгел К., Ивьен Б., Глинн Дж., Уотсон К. Издательство: диалектика ISBN: 978-5-8459-1656-3, 978-0-470-50225-9-1440 с.

97.Ватсон Б. С# 4.0 на примерах. - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. - 608 е.: ил. ISBN 978-5-9775-0608-3

98.Климов JI. П. С#. Советы программистам. - СПб.: БХВ-Петербург, 2008. -544 с: ISBN 978-5-9775-0174-3

99.Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и Практика. - 2-е изд., стереотип. - М.: Горячая линия - Телеком, 2002. -382 е.: ил. ISBN 5-93517-031-0.

100. Хайкин С., Нейронные сети: полный курс, 2-е издание.: Пер. с англ. — М.: Изд. д. «Вильяме», 2006 - 1104 е.: ил. - Парал. тит. англ.

101. Половко A.M., Бутусов П.Н. MATHLAB для студента. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005 - 320с.: ил. ISBN 5-94157-595-5

102. Смоленцев Н. К. Создание Windows-приложений с использованием математических процедур MATLAB. - М.: ДМК-Пресс, 2008. - 456 е.: ил. ISBN 5-94074-122-3

103. Morlet, J., Arens, G., Fourgeau, E., and Giard, D. (1982b), Wave propagation and sampling theory, Part II: Sampling theory and complex waves, J. Geophys. 47,222-236

104. Мала С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ.-М.: Мир,2005.-671 с. ISBN 5-03-003691-1

105. СмоленцевН.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB.-M.: ДМК Пресс, 2005.-304с. ISBN 5-94074-122-3

106. Загниборода H.A. Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ). Ч. 1. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, В.А. Крысько и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 2 (65). Вып. 2. С. 18-24.

107. Загниборода H.A. Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ). Ч. 2. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности / H.A. Загниборода, A.B. Крысько, В.А. Крысько и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 3 (67). С. 7-15.

108. Загниборода Н.А. Нелинейная динамика бесконечно длинных цилиндрических панелей / Н.А. Загниборода, А.В. Крысько, Ф.Р. Шакирзянов и др. // Известия КГАСУ. 2013. № 3 (25).

109. Загниборода Н.А. Хаотическая динамика гибких криволинейных балок Бернулли-Эйлера. Ч. 1 / Н.А. Загниборода, А.В. Крысько, В.А. Крысько и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. №2 (70). С. 12-20.

110. Загниборода Н.А. Хаотическая динамика гибких криволинейных балок Бернулли-Эйлера. Ч. 2 / Н.А. Загниборода, А.В. Крысько, В.А. Крысько и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. № 2 (70). 2013. С. 20-28.

111. Zagniboroda N.A. Chaotic vibrations of flexible infinitely length plate / N.A. Zagniboroda, J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, etc. // Proceedings 11th Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos, Lodz, Poland. P 117-128.

112. Zagniboroda N.A. Analysis of chaotic vibrations of flexible plates using fast Fourier transforms and wavelets / N.A. Zagniboroda, J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, etc. // Int. J. Str. Stab. Dyn. Vol. 13. № 7. 1340005(12 pages), D01:10.1142/S0219455413400051.

113. Zagniboroda N.A. Chaotic dynamics of flexible beams with piezoelectric and temperature phenomena / N.A. Zagniboroda, I.V. Serebryakov, A.V. Krysko, etc. // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 2013, 377 (34-36), pp. 2058-2061.

114. Загниборода Н.А. Математическое моделирование стохастических колебаний цилиндрических панелей в температурном поле (тезисы) / Н.А. Загниборода, Ю.В. Николаева, И.Е. Кутепов // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2011» МГУ, 11-15 апреля 2011 г, М. URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/1258/30330_ad3 3 .pdf.

115. Загниборода H.A. Хаотические колебания гибких бесконечно длинных цилиндрических панелей в температурном поле (тезисы) / H.A. Загниборода, В.А. Крысько, A.B. Крысько и др.// Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте : сб. тез. докл. VIII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, г. Санкт-Петербург, 22-23 июля 2011 г. СПб., 2011. С. 68-69.

116. Загниборода H.A. О картах характера колебаний гибких балок / H.A. Загниборода // Современные вопросы науки и образования - XXI век: Международная заочная научно-практическая конференция. Тамбов. Сборник трудов. Тамбов, 31 января 2012., Ч. 9. С. 44-45.

117. Загниборода H.A. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615709. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

118. Загниборода H.A. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей в температурном поле под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615710. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

119. Загниборода H.A. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний прямоугольных в плане двухслойных оболочек с учетом геометрической нелинейности. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013616175. Зарегистрировано 12 марта 2013 г.

120. Загниборода H.A. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических секториальных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в каждой единице объема. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013615164. Зарегистрировано 29 мая 2013 г.