Моделирование колебаний тонких гибких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кутепов, Илья Евгеньевич

• Кутепов, Илья Евгеньевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кутепов, Илья Евгеньевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и степень разработанности темы исследовании

Цели и задачи

Содержание работы

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту, и основные результаты

Степень достоверности и апробация результатов

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОЙ ГИБКОЙ ОДНОСЛОЙНОЙ БАЛКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

1.1 Основные гипотезы и допущения

1.2 Математическая модель колебаний гибкой тонкой однослойной балки в температурном поле

1.3 Методы решения уравнения теплопроводности

1.4 Решение системы уравнений движения балки в температурном ноле. Достоверность результатов моделирования

1.5 Выводы по главе

2 ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ОДНОСЛОЙНОЙ БАЛКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

2.1 Сценарии перехода колебаний из гармонического состояния в хаотнчсское44

2.2 Карты режимов колебаний

2.3 Определение режимов колебаний на основе показателей Ляпунова

2.4 Анализ колебаний однослойной балки для трех типов температурного поля

2.5 Выводы по главе

3 ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА КРИВОЛИНЕЙНОЙ БАЛКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

3.1 Учет параметра кх в уравнении теплопроводности

3.2 Математическая модель сложных колебаний однослойной криволинейной балки в температурном иоле

3.3 Исследование хаотичности колебаний криволинейной балки в зависимости от интенсивности температурного воздействия

3.4 Выводы по главе

4 ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ДВУСЛОЙНОГО ПАКЕТА БАЛОК В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

4.1 Математическое моделирование колебаний двуслойной балки в температурном ноле

4.2 Метод решении системы уравнений движении двуслойной балки в температурном ноле

4.3 Исследование колебаний гибкой тонкой двуслойной балки при различном температурном воздействии

4.4 Исследование фазовой синхронизации колебаний

4.5 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

104

Основные выводы

Программный комплекс

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование колебаний тонких гибких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Исследования балочных конструкций, проводимые в течение последних лет, являются многочисленными и разнообразными. Такие распределенные механические системы, как балочные структуры, представляют собой составные части многих инженерных конструкций, эксплуатируемых в сложных условиях и разнообразных температурных режимах, что обусловливает повышенные требования к расчету последних. В связи с этим возникает потребность в исследовании вопросов учета нелинейных эффектов, связанных со сложной динамикой указанных систем. Спектр применения балочных конструкций в инженерных решениях продолжает постоянно расширяться. Особое место в подобных конструкциях занимают неспаянные слоистые балки, отличающиеся некоторыми специальными свойствами колебательного процесса. Подобные конструкции находят свое применение в авиационно-космической технике, средствах навигации, приборостроении, судостроении и других областях. Также они представляют собой основные несущие элементы конструкций, применяемых в ракетной технике, корпусах современных энергетических установок, в подводных аппаратах, магистральных трубопроводах, что обусловливает интерес к проблемам деформирования и прочности, статической и динамической устойчивости, а также характеру колебаний. Появление в последние годы новых материалов и использование балок, пластинок и оболочек в необычных условиях при большой интенсивности внешних воздействий вызывает необходимость в дальнейшем совершенствовании методов расчета.

Модель балки Эйлера-Бернулли датируется XVIII веком. Якоб Бернулли (1654-1705) впервые обнаружил, что кривизна упругой балки в любой точке пропорциональна изгибающему моменту в этой точке. Даниил Бернулли (17001782), племянник Якоба, был первым, кто сформулировал дифференциальное уравнение движения колеблющейся балки. Позже теория Якоба Бернулли была перенята Леонардом Эйлером (1707-1783) в его исследовании формы упругих балок при различных условиях нагружения. Эйлером был сделан значительный

вклад в развитие этой теории. Теорию балки Эйлера-Бернулли иногда называют классической теорией балок, теорией балки Эйлера, теорией балки Бернулли или теорией балки Бернулли-Эйлера, последнее является наиболее используемым, т.к. отражает исторический ход развития теории.

Точная формулировка задачи изгиба балки Бернулли-Эйлера впервые была исследована с точки зрения общих уравнений теории упругости в работе Pochhammer (1876) и Chree (1889) [1]. Они получили уравнения, описывающие движение вибрирующего твердого цилиндрического тела. Тем не менее с практической точки зрения абсолютно точное моделирование работы тела не является необходимым, потому что это дает больше информации, чем требуется для прикладных задач. Таким образом, приближенного решения для поперечного сдвига достаточно. Хотя модель балки Бернулли-Эйлера считается моделью первого приближения, она является достаточно точной как для прикладных, так и для теоретических задач.

Дальнейшее развитие механики и нелинейной динамики поспособствовало отысканию новых закономерностей в подобных системах. Существенный вклад в развитие теоретической механики и изучение колебаний балок и стержней в частности, в XVIII-XIX веках внесли такие ученые, как: Ж. Фурье и Ж. Буссинеск, Навье, Юнг, Клапейрон, Сен-Венан, Лагранж.

В развитие отечественной школы механики ключевую роль сыграли работы H.A. Белелюбский [2], II.П. Петров [3], Д.К. Бобылев [4, 5], Д.И. Журавский [6],

B.Л. Кирпичев [7], Ф.С. Ясинский [8, 9], определившие направление развития теории сопротивления материалов и теоретической механики.

Отдельно следует отметить вклад в развитие теоретической механики

C.П. Тимошенко. Введенная им модель, учитывающая инерцию вращения элементов стержня и деформацию поперечного сдвига, позволила ему обобщить классическую теорию поперечных колебаний стержневой системы. Его работы «Курс теории упругости» [10], «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [11], «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [12] являются актуальными и сегодня.

Благодаря работам таких ученых как В.В. Новожилов [13], Биргер И.А. [14], А. С, Вольмир [15-17], В.З. Власов [18], В.В. Болотин [19], развитие механики и нелинейной динамики вышло на новый виток.

Изменение содержащегося в теле тепла и, как следствие, изменение распределения этого тепла по телу неразделимо связано с его деформацией. Изменяющееся температурное поле вызывает изменение деформаций. Таким образом, внутренняя энергия тела зависит от деформаций и температуры. Область науки, рассматривающая взаимодействие этих процессов, называется теорией температурных напряжений. Под этим названием понимается теория деформаций и напряжений, вызываемых нагревом тела, основанная на упрощенном представлении об отсутствии влияния деформации па поле температур.

В теории температурных напряжений, которая восходит к истокам теории упругости и за последние годы интенсивно развивается ввиду ее растущего прикладного значения, исследуется классическое уравнение теплопроводности, не содержащее члена связанного с деформацией тела. В основе этой теории лежит закон, который сформулировал Жан-Мари Дюамель в 1837 году [23].

С другой стороны, исследования по влиянию температуры при упругом поведении материалов, что в современных условиях использования высоких уровней температуры и напряжений представляет собой наиболее важную область, начались недавно.

Исследования в сфере моделирования нелинейных динамических систем приобретают все большую значимость во многих отраслях науки. Механика, экономика, физика, электротехника, биология, история и другие направления науки применяют моделирование процессов в нелинейной постановке.

Развитие компьютерной техники и рост производительности вычислительных систем привели к сокращению трудоемкости решения задач динамики численными методами. Реализация алгоритмов этих решений позволила обнаружить хаотические явления в детерминированных нелинейных системах. Отдельным вопросом изучения динамики механических систем является переход систем в состояние хаоса при изменении управляющих параметров. Значительный вклад в изучение этого вопроса внесли такие ученые,

как П.С. Ландау [24], Н. Hopf [25], М. Feigenbaum [26], Ю.И. Неймарк [27], Р. Mannevile [28], Д.И. Трубецков [29], J. Awrejcewicz [30].

Анализ исследований распределенных структур в виде балочных систем за последние 10 лет позволяет выделить ряд значительных отечественных и зарубежных разработок.

Исследованию распределенных структур в виде балок Эйлера-Бернулли посвящены работы [20, 21, 22]. В них рассматривается задача о собственных значениях распределенных систем (применяется метод сосредоточенных масс), решение задач о свободных колебаниях неоднородных стержней, краевая потеря устойчивости с волнообразованием в слоистых стержнях и дискретиые модели расчета стержневых конструкций соответственно.

Исследованию колебаний нелинейных динамических систем в виде пластинок, оболочек и балок посвящены работы ученых J. Awrejcewicz [31], W. Pietraszkiewicz [32, 33], К. Nagai [34], В.А. Крысько [35-37], В.В. Пикуля [38],

A.B. Талонова [39], Ю.Г. Коноплева [40], В.Э. Джашитова и В.М. Панкратова [41], A.B. Крысько [42]. Однако в работах этих авторов воздействие температурного поля на режим нелинейных колебаний системы остается малоизученным. В работах A.B. Крысько и Э.С. Кузнецовой [43] был исследован вопрос совместного влияния температурного поля с граничными условиями первого рода и локальной знакопеременной нагрузки на колебания замкнутых цилиндрических оболочек.

Исследованием колебаний слоистых балок занимались Б.Я. Кантор [44],

B.М. Александров [45], Б.Л. Пелех [46], В.А. Крысько [47], J. Awrejcewicz [48]. В их работах рассмотрен широкий круг задач контактного взаимодействия различных конструкций без учета температурных эффектов.

Многослойные балочные системы находят свое применение во многих электротехнических устройствах, а именно: устройства хранения данных [49], микроконсольные биосенсоры [50], оптико-механические устройства обработки сигналов [51].

В [52] приводится исследование одно-, двух- и трехслойных пакетов балок под воздействием постоянного и переменного тока. Электромеханическое

воздействие аппроксимируется сосредоточенной нагрузкой в центре балки. Отмечается, что при линейной модели балки в системе, состоящей из нескольких слоев, проявляется поведение, свойственное нелинейным моделям, за счет взаимодействия слоев и электрофизических членов. Выявлены бифуркационные процессы, структура которых зависит от фазы внешнего периодического воздействия.

Большой вклад в развитие хаотической динамики различных механических систем был сделан в работах В.А. Крысько, Я. Аврейцевича, A.B. Крысько, М.В. Жигалова, И.В. Папковой [53-63].

Исследованию сложных колебаний двухслойных конструкций посвящена работа [64], где изучен вопрос синхронизации и управления колебаниями двухслойных пластинок, связанных через краевые условия.

В [65] был изучен вопрос совместного влияния температурного поля с граничными условиями первого рода и локальной знакопеременной нагрузки на колебания цилиндрических оболочек. Определены критические нагрузки, приводящие к возникновению хаотических колебаний рассматриваемых систем. Было проведено исследование зависимости статических критических нагрузок от интенсивностей полей температур для некоторых наборов геометрических параметров прямоугольных над планом оболочек.

В настоящее время исследование эффектов, связанных со сложными колебаниями слоистых балочных конструкций под воздействием температурного поля, является актуальной задачей. Внимания требует исследование сценариев перехода колебаний подобных систем из гармонического состояния в хаотическое. Возникает необходимость разработки более совершенных расчетных моделей, дающих возможность исследовать динамические системы, выявлять и изучать важнейшие эффекты, связанные с влиянием геометрической и конструктивной нелинейности и вида температурного воздействия.

Цели и задачи

Целью работы является исследование хаотической динамики гибких тонких слоистых балок в температурном поле, а также развитие алгоритмов и численных

методов анализа сложных колебаний рассматриваемых систем. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели колебаний тонких гибких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия; развитие численных методов исследования хаотической динамики нелинейных распределенных систем в виде балочных структур в температурном поле с учетом контактного взаимодействия.

2. Разработка комплекса программ, позволяющего моделировать и анализировать колебания слоистых балок в температурном поле.

3. Исследование поведения системы в зависимости от изменения таких управляющих параметров, как частота и амплитуда внешней нагрузки, граничные условия, геометрические параметры, интенсивность и тип температурного воздействия.

4. Выявление новых закономерностей при переходе системы из гармонического состояния в хаотическое и исследование слоистых балочных систем в температурном поле с применением методов нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит 116 страниц наборного текста, в том числе 20 рисунков, 28 таблиц.

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен краткий исторический обзор результатов, обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе описывается построение математической модели гибкой тонкой однослойной прямолинейной балки Бернулли-Эйлера в температурном поле, приводятся основные гипотезы. Дается обоснование выбора метода решения системы уравнений движения балки и метода решения уравнения теплопроводности. Описываются исследуемые типы температурных полей в

зависимости от поставленных граничных условий и их сочетаний по границе балки. Исследуются сходимость решений при различных состояниях системы в зависимости от числа разбиений по пространственной координате и достоверность получаемых результатов. Исследуется эффективность решения различными численными методами уравнения теплопроводности.

Во второй главе приводится исследование колебаний однослойной балки в температурном поле. Дается описание карты режимов колебаний как метода анализа состояния системы на области управляющих параметров. Определяется приемлемое количество разбиений области управляющих параметров для карт. Приводится описание метода определения показателей Ляпунова. Исследована хаотическая динамика плоской гибкой балки в температурном поле трех типов. Представлен анализ колебательного процесса, исследованы сценарии перехода системы из гармонического состояния в хаотическое. Произведен анализ карт режимов колебаний и знаков показателей Ляпунова для трех типов температурных полей различной интенсивности.

В третьей главе моделируются колебания гибкой тонкой криволинейной однослойной балки в температурном поле. Приводится исследование совместного влияния кривизны балки и температурного воздействия па колебательный процесс. Произведен анализ карт режимов колебаний и карт знаков показателей Ляпунова. Анализируются состояния системы при различной кривизне балки в зависимости от типа и интенсивности температурного поля. Рассматривается изменение состояния хаотичности колебательного процесса на области управляющих параметров на основе анализа знака ляпуновских показателей.

В четвертой главе описывается построение модели колебаний гибкой тонкой двуслойной балки в температурном поле с учетом контактного взаимодействия слоев на основе гипотезы Винклера. Приводится численный метод решения уравнения движения слоистой балки. Рассматриваются четыре задачи воздействия температурного поля на слои балки в различном сочетании. Исследуются сценарные переходы системы из гармонического состояния в хаотическое. Исследуется хаотическая динамика взаимодействия слоев балки. Производится анализ влияния контактного взаимодействия слоев при воздействии

температурного поля и его отсутствии. Исследуется анализ фазовой синхронизации колебаний. Производится анализ карт режимов колебаний.

В заключении дается краткое описание программного комплекса расчета и анализа колебаний слоистых балок в температурном поле. Описывается возможность программного комплекса анализировать колебания многослойных балочных структур в температурном поле. Представлены выводы по данной работе.

Список используемой литературы включает 107 наименований.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующих результатах:

1. Разработан метод моделирования колебаний слоистых балочных структур в температурном поле с учетом контактного взаимодействия слоев. Модель позволяет исследовать поведение балочных структур, состоящих из одной, двух и более балок при различных температурных воздействиях.

2. Предложен математический аппарат качественного исследования явления хаоса в рассматриваемых системах, основанный на анализе сигнала, сечения Пуанкаре, фазового портрета, вейвлет-анализа, спектра мощности Фурье, знака показателей Ляпунова.

3. Исследована эффективность решения стационарного уравнения теплопроводности методами конечных разностей, методом граничных и конечных элементов. Развит метод исследования сходимости результатов численного эксперимента по моделированию колебаний распределенных систем в виде балок при различных режимах колебаний.

4. Разработан программный пакет для моделирования и анализа сложных колебаний слоистых балочных конструкций, находящихся под тепловым воздействием.

5. Обнаружены новые модификации сценариев Рюэля-Такенса и Фейгенбаума при переходе системы из гармонического состояния в хаотическое.

6. Исследовано влияние интенсивности и типа температурного воздействия на состояние колебательного процесса слоистых балочных систем с учетом контактного взаимодействия.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость заключается в разработанном методе моделирования и анализа колебания слоистых балок в температурном поле. Таким образом, предоставляется возможность анализировать получаемые результаты с помощью методов нелинейной динамики, распознавать режимы колебаний автоматизированными методами, производить оценку режима колебаний при помощи показателей Ляпунова и исследовать фазовую синхронизацию колебаний слоев балки на базе вейвлет анализа.

Практическая значимость заключается в разработанном программном комплексе, который даёт возможность моделировать детерминированные хаотические колебания гибких тонких балок, находящихся в температурном поле под действием внешней знакопеременной нагрузки. Программные средства комплекса позволяют задавать граничные условия, соответствующие различным способам закрепления балок, изменять их геометрические характеристики (толщина, кривизна), менять значения управляющих параметров системы, моделировать различные типы температурного воздействия. Практическая реализация данного комплекса может найти свое применение в таких наукоемких сферах как механика и микроэлектроника.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе использованы общенаучные и специальные методы исследования. Для достижения целей диссертационной работы применены методы математического моделирования. Использованы специальные методы нелинейной динамики, вычислительной математики, качественной теории дифференциальных уравнений, Фурье и вейвлет анализа, алгоритм анализа показателей Ляпунова. Программный комплекс реализован с использованием принципов процедурного, структурного и объектно-ориентированного программирования.

Положения, выносимые на защиту, и основные результаты

1. Метод моделирования распределенных нелинейных динамических систем в виде балочного пакета в температурном поле с учетом контактного взаимодействия слоев.

2. Программный комплекс анализа нелинейных динамических процессов с позиции качественной теории дифференциальных уравнений на исследуемом интервале таких управляющих параметров как частота и амплитуда внешней нагрузки.

3.Для балки, находящейся в температурном поле, увеличение интенсивности температурного воздействия приводит к увеличению зоны гармонических колебаний на исследуемом интервале изменения амплитуды внешней нагрузки. Сокращение зон хаотического режима на области управляющих параметров вызвано формой искривления балки и изменением её мод вследствие температурной деформации.

4. Увеличение кривизны балки совместно с температурным воздействием ведет к сокращению количества смен режимов колебаний при переходе из гармонического состояния в хаотическое. Переход в хаотическое состояние приводит к потере устойчивости, т.к. происходит резкое увеличение прогибов.

5. Увеличение кривизны балки приводит к увеличению зоны гармонических колебаний. Переход из гармонического состояния в хаотическое становится более жестким, о чем свидетельствует увеличение зоны глубокого хаоса, выявленной на основании анализа показателей Ляпунова на области управляющих параметров.

6. Учет контактного и температурного воздействия оказывает влияние на сценарий перехода системы из гармонического состояния в хаотическое, а также изменяет процесс фазовой синхронизации колебаний слоев балки.

Степень достоверности и апробация результатов

Основные положения и результаты диссертации представлялись на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2011); IIth Conference on «Dynamical Systems-Theory and Applications» (Lódz, Poland, 2011); VIII Международной конференции

«Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011); заочной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке» (Тамбов, 2012); XIV Pan-American Congress of Applied Mechanics, Chile, March 24-28, 2014.

В законченном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, почетного профессора Технического университета города Лодзь, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2014); на семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.п., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2014).

Основные положения диссертации опубликованы в работах [94-102]. На разработанный программный комплекс получены свидетельства о регистрации [103, 104, 107].

1 Моделирование колебаний тонкой гибкой однослойной балки

в температурном поле

1.1 Основные гипотезы и допущения

В данной главе рассматривается гибкая, тонкая балка (Рисунок 1) единичной ширины высотой h и длиной I. Материал балки считается сплошным, неразрывным, изотропным и упругим. Ыа балку действует поперечная знакопеременная нагрузка q, распределенная на всю ширину. Область балки в декартовых координатах располагается таким образом, что положительное направление оси X совпадает с серединной линией балки, ось Z направлена в сторону воздействия внешней распределенной по длине балки нагрузки.

в

12

гт

ш

Рисунок 1

При нагружении балки ее материальные частицы приходят в движение, предполагается, что движение сплошной среды непрерывно и все функции, описывающие деформирование, являются непрерывными функциями координат. Деформирование твердого тела описывается геометрической постановкой задачи и не зависит от поведения материала. Таким образом, силы, возникающие при деформации, не зависят от свойств материала.

Моделирование колебаний тонкой гибкой балки в температурном поле основывается на модели Бернулли-Эйлера (Рисунок 2). Эта модель позволяет рассматривать поведение только серединной линии, что дает возможность свести задачу динамики балки к одномерной задаче.

Основные допущения в этой модели следующие:

- любое поперечное сечение, нормальное к серединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к серединной поверхности, вместе с тем высота сечения не изменяется;

- напряжения, действующие на равном расстоянии от серединной линии, одинаковы по значению;

- деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.

Учет нелинейной зависимости между перемещениями и деформациями принимается в форме Т. фон Кармана [66].

Предполагается, что область балки находится в температурном поле. Температура отсчитывается от некоторого начального значения Т0. Учет

температурного воздействия производится согласно гипотезе Неймана так, что полная линейная деформация складывается из деформации от внешней нагрузки и температурного расширения материала.

1.2 Математическая модель колебаний гибкой тонкой однослойной балки в температурном поле

Уравнения движения балки, граничные и начальные условия были получены из энергетического принципа Остроградского-Гамильтона. Согласно этому принципу производится сравнение близких движений, приводящих систему материальных точек из начального положения в момент времени в конечное положение в момент времени Для истинных движений должно выполняться условие

(8К - 8П + 5И/) (И = 0 (1.1)

где К — кинетическая энергия системы; П — потенциальная энергия; IV — сумма элементарных работ внешних сил.

Кинетическая энергия определяется выражением

ч /

к

2 д Л, Л

I 2 2-1

'ди\ (ди/ - +

йх, (1.2)

Ж) V5í

где у - удельный вес материала; д - ускорение свободного падения; м/(х, О — прогиб элемента; и(х, О - перемещение элемента в продольном направлении.

Потенциальная энергия П представляет собой сумму энергии деформации изгиба Пи и энергии деформации серединной линии Пс, которые определяются из соотношений:

1 Г1 ( д2иЛ

1 Г1

П с = ~1 ыхехсьс, (1.4)

где Мх — изгибающий момент; Ых — нормальное усилие серединной линии; £х — полная деформация.

Подставляя выражения для вариаций кинетической и потенциальной энергии в уравнение Остроградского-Гамильтона (1.1) и учитывая вариации 8и и 8х>, рассматриваемые как функции получим систему уравнений движения балки:

сШх у ^д2и дх д д12 ~ д2Мх д ( у д2\м у дуу

-а*'+ к + 4 ~ ?кз^~£ д'= 0

где ее - коэффициент диссипации; <7 = с/0 5т(сорс) ц = qo этСаМ:) - внешняя нагрузка; 0)р - частота; кх —кривизна балки.

Учитывая принятые гипотезы и допущения, запишем соотношения для полной деформации:

диг 1 /Зи/\2 п

где а — коэффициент теплового расширения; Т —температура; и2 — продольные перемещения произвольной точки балки, определяемые соотношением

Зи/

и2 = и — г——. (1./)

ох

Тогда соотношения для нормальных усилий серединной линии и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кутепов, Илья Евгеньевич, 2014 год

Список литературы

1. Love, А. Е. Н. A Treatise on the Mathematical theory of Elasticity / A. E. H. Love. - New York: Dover Publications, 1944.

2. Белелюбский, H. А. Строительная механика: лекции / H. А. Белелюбский. -2-е печ. изд. Института инженеров путей сообщения императора Александра I. - СПб.: Тип. Ю. Н. Эрлих, 1897. - 404 с.

3. Петров, Н. П. К вопросу о прочности рельсов / Н. П. Петров. - СПб.: Изд. особой комиссии для всестороннего исследования ж.д. в России, тип. Лосмковского, 1912. - Вып. 88. - 65 с.

4. Бобылев, Д. К. Курс аналитической механики / Д. К. Бобылев. — Ч. 1,2.-СПб.: Тип. Акад. наук, 1880-1883.

5. Бобылев, Д. К. О некоторых случаях изгиба прямых стержней под влиянием сосредоточенных грузов и сопротивления грунтов / Д. К. Бобылев. - СПб.: Изд. Института инженеров путей сообщения, 1902. - 24 с.

6. Журавский Д.И. О мостах раскосной системы Гау. - Ч. 1. - Спб.: Тип. Д. Кеспевилля, 1855. - 114 с.

7. Кирпичев, В. Л. Собр. соч. / В. Л. Кирпичев. - Т. 1. - Петроград: Изд. Совета Петроградского политехнического института, 1917. -615 с.

8. Ясинский, Ф. С. Опыт развития теории продольного изгиба / Ф. С. Ясинский. - СПб.: Тип. Ю. II. Эрлих, 1893. - 270 с.

9. Ясинский, Ф. С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней / Ф. С. Ясинский. - М.-Л.: Гостехтеориздат, 1952. - 427 с.

10. Тимошенко, С. П. Курс теории упругости / С. П. Тимошенко. Ч. II Стержни и пластинки. - Петроград: Тип. А. Э. Коллинса, 1916. - С. 200-213.

11. Тимошенко, С. П. О продольном изгибе стержней в упругой среде / С. П. Тимошенко // Известия С.-Петербургского политехнического института. -1907. - Т. 7. -Кн. 3. - С. 95-113.

12. Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С. П. Тимошенко // Избранные работы / под ред. Э. И. Григолюка. - М.: Физматгиз, 1971.-808 с.

13. Новожилов, В.В. Основы линейной теории упругости / В.В. Новожилов. -М.: Гостехиздат, 1948.

14. Биргер, И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности / И.А. Биргер. - ПММ, 1952, 15, 6.

15. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. - М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

16. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1972 . - 432 с.

17. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1968.

18. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. - М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

19. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. -М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

20. Особенности сложных хаотических колебаний балок Эйлера-Бернулли и типа Тимошенко в зависимости от граничных условий / Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О. А. // Изв. вузов. - Стр-во. - 2008. - № 9. - С. 410. Библ. 6. Рус.

21. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Эйлера / Десятова А.С., Жигалов М.В., Крысько В.А., Салтыкова О.А. // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 2008. - № 6. - С. 128-136.

22. Free vibration of non-uniform Euler-Bernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method / Hsu J, Lai H, Chen C.K. // J. Sound and Vibr. - 2008. - 318. - № 4-5. - P. 965-981.

23. Duhamel, J. M. C. Second memoire sur les phenomenes thermoomecaniques / J. M. С Duhamel //J. de l'Ecole Polytechnique, 15, 1837.

24. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности / Л.Д. Ландау // ДАН СССР. -1944.-Т. 44.-339 с.

25. Hopf, Е.А. Mathematical example displaying the features of turbulence / E.A. Hopf//Comn. Pure Appl. Math. - 1948. - Vol. l.-P. 303-322.

26. Feigenbaum, M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations / M. J. Feigenbaum // J. Statist. Phys. 19 (1978), 25-52.

27. Неймарк, IO. И. Динамика неголономных систем / IO. И. Неймарк, 1-1. А. Фуфаев. - М.: Наука, 1967.

28. Mannevile, P. Long-range order with local chaos in lattics of diffusively coupled ODEs / P. Mannevile, H. Chate // Physica D. 1994.

29. Трубецков, Д.И. Линейные колебания и волны: учеб. пособие / Д.И. Трубецков, А.Г. Рожнев. - М.: Физматлит, 2001. - 416 с.

30. Awrejcewicz, J. Bifurcation and Chaos in Simple Dynamical Systems / J. Awrejcewicz. - World Scientific Singapore, 1989. - 126 c.

31. Awrejecewicz, J. Nonlinear dynamics of continuous elastic systems / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A. Vakakis. //N.Y.: Springer-Verlag, 2004. - 341 p.

32. Pietraszkiewicz, W. Drilling couples and refined constitutive equations in the resultant geometrically non-linear theory of elastic shells / W. Pietraszkiewicz // International Journal of Solids and Structures. -2014-Vol. 51. - no. 11-12. - P. 2133-2143.

33. Pietraszkiewicz, W. On exact expressions of the bending tensor in the nonlinear theory of thin shells / W. Pietraszkiewicz // Applied Mathematical Modelling. -2012.-Vol. 36.-no. 4.-P. 1821-1824,

34. Nagai, K. Asymptotics of unit root tests under sequential sampling via diffusion approximation / K. Nagai // ТВП, 55:3 (2010), 606.

35. Об учете влияния поперечных сдвигов на сложные нелинейные колебания упругих балок / Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О. А., Крысько А.В.//ПМТФ. 2011. Т. 52, №5. С. 186-193.

36. Krysko, V. A, Chaos in structural mechanics / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz. -N.Y.:Springer-Verlag, 2008, -400 p.

37. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Эйлера / Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О. А. Десятова А.С. // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2008. - № 6. - С. 128-136.

38. Пикуль, B.B. Механика деформируемого твердого тела: учебник / В. В. Пикуль. - 2-е изд., перераб. - Владивосток: Изд. дом Дальневост. федер. унта, 2012.-333 с.

39. Талонов, A.B. Математическое моделирование локальных процессов разрушения и фазовых переходов в средах с периодической структурой: монография / А. В. Талонов. - Саратов : Сарат. гос. техн. ун-т, 2005. - 91 с.

40. Коноплев, Ю.Г. Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях: монография / Ю.Г. Коноплев, Ф.Х. Тазюков. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - 122 с

41. Джашитов, В.Э. О возможности управления взаимосвязанными механическими и тепловыми процессами в нелинейных температурно возмущаемых динамических системах / В.Э. Джашитов, В.М. Панкратов // Изв. РАН. Теория и системы управления (ТиСУ). - 2009. - № 3. - С. 157164.

42. Крысько, A.B. Математические модели нелинейных распределенных систем в виде пластинчатых конструкций: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18, 01.02.04 / А. В. Крысько. - Саратов, 2003.

43. Кузнецова Э.С. О влиянии температурного поля на сложные колебания замкнутых цилиндрических баллонов / A.B. Крысько, Я. Аврейцевич, Э.С. Кузнецова // Вестник Саратовского государственного технического университета.-2008,-№ 1(31).-Вып. 2.-С. 71-85.

44. Кантор, Б.Я. Контактные задачи нелинейное теории оболочек вращения. / Б.Я. Кантор. - Киев: Наук, думка, 1990. - 136 с.

45. Александров, В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В.М. Александров, С.М. Мхитарян. - М: Наука, 1983. - 488 с.

46. Пелех, Б.Л. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек / Б.Л. Пелех. - Киев: Наук, думка, 1980. - 216 с.

47. Крысько, А. В. Математические модели контактных задач теории пластин и оболочек / А. В. Крысько; Сарат. гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2000. -180 с.

48. Awrejcewicz, J. Novel procedure to compute a contact zone magnitude vibrations of two-layered uncoupled plates / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, O. Ovsiannikova // Special Issue of Mathematical Problems in Engineering, 4, 2005, 425-435.

49. Ultrahigh density, high-data-rate NEMS-based AFM data storage system / P. Vettiger, J. Brugger, M. Despont at al. // Appl. Phys. Lett. 46 (1-4) (1999) 11-17.

50. Multiple-input microcantilever sensors / C. Britton Jr., R. Jones, P. Oden, Z. at al. // Ultramicroscopy 82 (2000) 17-21.

51. Buks? E. Electrically tunable collective response in a coupled micromechanical array / E. Buks, M. Roukes // J. Microelectromech. Syst. 11 (6) (2002) 802-807.

52. Bifurcations and loss of orbital stability in nonlinear viscoelastic beam arrays subject to parametric actuation / S. Gutschmidt h O. Gottlieb // Journal of Sound and Vibration.-2010.-T. 329.-P. 3835-3855.

53. Routes to chaos in continuous mechanical systems: Part 1: Mathematical models and solution methods / J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012), 687-708

54. Routes to chaos in continuous mechanical systems: Part 2. Modelling transitions from regular to chaotic dynamics. / J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 709-720

55. Routes to chaos in continuous mechanical systems. Part 3: The Lyapunov exponents, hyper, hyper-hyper and spatial-temporal chaos. / J. Awrejcewicz , A.V. Krysko, I.V. Papkova, V.A. Krysko // Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Science, and Nonequilibrium and Complex Phenomena, 45 (2012) 721-736

56. Awrejecewicz J. Nonlinear dynamics of continuous elastic systems / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, A. Vakakis. -N.Y.:Springer-Verlag, 2004. - 341 p.

57. Awrejcewicz J. Thermo-dynamics of plates and shells / J.Awrejcewicz, V.A. Krysko, A.V. Krysko. -N.Y.: Springer-Verlag, 2007. - 777 p.

58. Krysko V. A, Chaos in structural mechanics / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz. -N.Y.: Springer-Verlag, 2008. - 400 p.

59. Awrejecewicz J. Chaotic vibrations of two-layered beams and plates with geometric, physical and design nonlinearities / Awrejecewicz J., Krysko A.V., Bochkarev V.V., Babenkova T.V. at al. // J. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 21, No. 10 (2011), 2837-2851.

60. Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Эйлера / Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О. А. Десятова А.С. // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2008. - № 6. - С. 128-136.

61. Крысько, В.А. Анализ нелинейных хаотических колебаний пологих оболочек вращения с помощью вейвлет-преобразования / В.А. Крысько, И.В. Папкова, В.В. Солдатов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2010. -№ 1. - С. 107-117.

62. Об учете влияния поперечных сдвигов на сложные нелинейные колебания упругих балок / Крысько В.А., Жигалов М.В., Салтыкова О. А., Крысько А.В. //ПМТФ. -2011. — Т. 52.-№5.-С. 186-193.

63. Фазовая хаотическая синхронизация колебаний многослойных балочных структур / Крысько В.А., Коч М.И., Жигалов М.В., Крысько А.В. // ПМТФ.-2012.-Т. 53. - № 3. -С. 166-175.

64. Крылова, ЕЛО. О синхронизации и управлении колебаниями двухслойных пластинок связанных через краевые условия / E.IO. Крылова, И.В. Папкова Т.В. Яковлева // VIII Международная конференция по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте. - СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2011 - С. 69-71.

65. Kuznetsova, E.S. Chaotic vibrations of shells in a temperature field /V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, E.S. Kuznetsova // Proceedings of the International Conference on Engineering Dynamics. Carvoeiro, Algarve, Portugal, 2007. P.21-28.

66. Karman, T.L. The collected works / T.L. Karman. - London. Butterworths, 1956. -Vol. 4.-P. 107-126.

67. Андреев, В.В. Итерационные методы переменных направлений для численного решения третьей в n-мерном параллелепипеде / В.В. Андреев // IBM и МФ.- 1965.-Т. 5.-№4.-С. 626-637.

68. Дьяконов, Е.С. Итерационные методы решения дискретных задач статики Е.С. Дьяконов // Численные методы механики сплошных сред / СОАН СССР. - Новосибирск, 1974. -Т. 5. - № 3. - С. 110-124

69. Вахлаева, Л.Ф. О сравнении некоторых итерационных методов и выборе параметров, ускоряющих сходимость этих методов / Л.Ф. Вахлаева, М.П. Мисник // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: сб. - Вып. II. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - С. 103-118.

70. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1977.-456 с.

71. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

72. Самарский, A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский. - М.: Наука, 1977.-656 с.

73. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. / Г. Карслоу, Д. Егер. - М.: Наука, 1964. - 488 с.

74. Шильников, Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность / Л.П. Шильников // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. - Ч. 2. - Киев: Наукова думка, 1985.-С. 118-124.

75. Колмогоров, А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега / А.Н. Колмогоров//ДАН СССР. - 1958.-Т. 119.-С. 861-864,

76. Арнольд, В.И. О неустойчивости динамической системы со многими степенями свободы / В.И. Арнольд // Докл. АН СССР. - 156:1 (1964), 9-12.

77. Мун, Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров / Ф. Мун; пер. с англ. Ю.А. Данилова, A.M. Шукурова. - М.: Мир, 1990.-312 с.

78. Ruelle, D. On the Nature of Turbulence / D. Ruelle, F. Takehs // Commun. Math. Phys. - 1971.-Vol. 20.-P. 167-192.

79. Pomean, Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomean, P. Manneville // Comm. Math. Phys. - 1980. - Vol. 74. - No 2. - P. 189-197.

80. Determining Lyapunov exponents from a time series / Wolf A., Swift J.B., Swinney ILL., Vastano J.A. // Physica. - 1985. -V. D16. - P. 285-317

81. Дмитриев, A.C. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев, В. Я. Кислов. - М. Наука, 1989. - 278 с.

82. Awrejcewicz, J. Estimations of Lyapunov exponents using Benetin method / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, G.G. Narkaitis // Analysis of some problems of chaotic dynamics. - Warszawa, 2003.

83. Александров, В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. - М.Машиностроение, 1986. -176 с.

84. Демкин, Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей / Н.Б. Демкин. -М.: Наука, 1970.-228 с.

85. Конверистов, Г.Б. Контактные напряжения, взаимодействие цилиндрической оболочки с бандажом / Г.Б. Конверистов, Н.Н. Спирина // Прикладная математика. - 1979. - 15. - № 2. - С. 65-70.

86. Александров, В.М. О приближенном решении одного типа интегральных уравнений / В.М. Александров // Прикладная математика и механика. -1962. - Т. 26. - Вып. 5. - С. 934-943.

87. Богатыренко, Т.Л. О контакте оболочек вращения через тонкий упругий слой / Т.Л. Богатыренко, Б.Я. Кантор, Д.Е. Липовский // АН УССР. -Институт проблем машиностроения. - Харьков, 1982. - 9 с.

88. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабенко. -М.: Наука, 1974. - 456 с.

89. Кантор, Б.Я. Континуальный подход к анализу оболочек, состоящих из многих неспаянных слоев / Б.Я. Кантор // Докл. АН УССР. - Сер. А. - 1983. -№ 10.-С. 30-33.

90. Кантор, Б.Я. Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек / Б.Я. Кантор, Т.Л. Богатыренко // Докл. АН УССР. - Сер. А. -1986.-№ 1.-С. 18-21.

91. Кантор, Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращение / Б.Я. Кантор. - Киев: Наукова думка, 1990. - 135 с.

92. Александров, В.М. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины / В.М. Александров, В.А. Бабенко // Изв. АН СССР. - Механика. -1965.—№2.-С. 95-107.

93. Блох, М.В. Одномерный односторонний контакт стержней, пластин, оболочек / М.В. Блох // Теория оболочек и пластин. - Л., 24-28 дек. 1973 г. -Л., 1975.-С. 25-28.

94. Кутепов, И.Е. Нелинейная динамика вибрационных микромеханических гироскопов (ММГ). Ч. 2. Расчет резонатора в виде балки с начальной неправильностью с учетом геометрической нелинейности / Крысько А.В., Мицкевич С.А., Добриян В.А., Загниборода Н.А., Крысько В.А., Кутепов И.Е. // Вестник СГТУ. - 2012. - № 67. - С. 7-15.

95. Kutepov, I.E. Analysis of chaotic vibrations of flexible plates using fast Fourier transforms and wavelets / Awrejcewicz J., Krysko A.V., Zagniboroda N.A., Zhigalov M.V, Krysko V.A., Kutepov I.E. // Int. J. Str. Stab. Dyn. Vol. 13, № 7, 1340005(12 pages), DOLlO.l 142/S0219455413400051.

96. Kutepov I.E. Chaotic dynamics of flexible beams with piezoelectric and temperature phenomena / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, N.A. Zagniboroda, I.V. Papkova, A.V. Serebryakov, A.V. Krysko, I.E. Kutepov // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 2013, 377 (34-36), pp. 20582061.

97. Kutepov, I.E. Chaotic vibrations of flexible infinitely length plate / Awrejcewicz J., Krysko A.V., Zagniboroda N.A., Zhigalov M.V., Krysko V.A., Kutepov I.E. // Proceedings 11th Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos. - Lodz, Poland. - P. 117-128.

98. Kutepov, I.E. Chaotic dynamics of flexible Euler-Bernoulli beams / A.V. Krysko, J. Awrejcewicz, N.A. Zagniboroda, V. Dobriyan, V.A. Krysko, I.E. Kutepov // Chaos, 34(4), 2014, 043130-1 -043130-25.

99. Kutepov, I.E. Chaotic vibrations of flexible beams in a stationary temperature field-track vibration and dynamics / A. Krysko, J. Awrejcewicz, N. Zagniboroda, I. Papkova, V. Krysko, I.E. Kutepov // Book of Abstracts of the XIV Pan-American Congress of Applied Mechanics, Chile, March 24-28, 2014, 86.

100. Кутепов, И.Е. О потери устойчивости гибких оболочек / И.Е. Кутепов, ЕЛО. Крылова, И.В. Папкова // Молодежь и современные информационные технологии : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием, г. Томск, 11-13 мая 2011 г. - Томск: СПБ Графике, 2011. - С. 102-103.

101. Кутепов, И.Е. Параметрические колебания двухслойных неспаянных пластин / И.Е. Кутепов, Т.В. Яковлева // Инженерные системы-2011: труды Международной научно-практической конференции. - Москва, 5-8 апреля 2011 г.-М.: РУДЫ, 2011.-С. 40.

102. Кутепов, И.Е. Нелинейные колебания двухслойных неспаянных структур/ И.Е. Кутепов, Т.В. Яковлева // Инженерные системы-2011: труды Международной научно-практической конференции. - Москва, 5-8 апреля 2011 г. -М.: РУД1Л, 2011.-Т. II.-С. 114-118.

103. Кутепов, И.Е. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615709. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

104. Кутепов, И.Е. Программа для исследования колебаний однородных упругих пластин и панелей в температурном поле под действием поперечной нагрузки. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012615710. Зарегистрировано 22 июня 2012 г.

105. Подстригач, Я.С. Термоупругость тонких оболочек / Я.С. Подстригач, Р.Н. Швец. - Киев: Наукова думка, 1978. - 343 с.

106. Лукаш, П.А. Применение метода асимптотического интегрирования к решению контактных задач теории оболочек / П.А. Лукаш, Л.В. Божкова, Л.Г. Ильина // Тр. Моск. инж.-стр. ин-та. - 1981 -№ 157. -С. 167-177.

107. Кутепов, И.Е. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных систем в виде многослойных геометрически нелинейных балок. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014661682 от 11.11.2014 г.