Исследование математических моделей потоков в системах с неограниченным числом линий методом предельной декомпозиции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Захорольная, Ирина Алексеевна

• Захорольная, Ирина Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Захорольная, Ирина Алексеевна

Содержание

Введение

Глава 1. Исследование потоков в СМО с неограниченным числом линий с повторными обращениями

1.1. Метод предельной декомпозиции систем массового обслуживания с неограниченным числом линий

1.2. Исследование потоков обращений в системе М|С1|оо с повторным обслуживанием заявок

1.2.1. Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации

1.2.2. Исследование суммарного потока обращений в системе

1.2.3. Исследование двумерного потока обращений в системе

1.2.4. Основные характеристики дохода коммерческой организации в условиях проведения акции «Подарок за покупку»

1.3. Исследование потоков заявок в двухфазной СМО с неограниченным числом линий и реализацией повторных обращений к фазам

1.3.1. Математическая модель потоков различных категорий покупателей коммерческой организации

1.3.2. Исследование суммарного потока заявок в системе

1.3.3. Совместная производящая функция числа обращений к фазам

1.3.4. Основные характеристики дохода торговой компании при предоставлении скидок по категориям покупателей

Резюме по главе 1

Глава 2. Исследование СМО с неограниченным числом фаз и линий

2.1. Исследование потоков обращений в системе M|GI|qo с повторным обслуживанием с учетом номера попытки

2.1.1. Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации с учетом числа обращений

2.1.2. Производящая функция суммарного числа обращений в системе

2.1.3. Совместная производящая функция числа обращений в системе с учетом номера попытки

2.1.4. Исследование процесса изменения прибыли таксопарка в условии проведения акции «Каждая 1-ая поездка бесплатно»

2.2. Исследование математической модели финансовых потоков процедуры пожизненной ренты

2.2.1. Математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты

2.2.2. Совместная производящая функция потоков заявок в системе с неограниченным числом фаз и линий

2.2.3. Определение функции дожития

2.2.4. Процесс изменения прибыли

Резюме по главе 2

Глава 3. Исследование систем параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями

3.1. Математическая модель распределенной вычислительной системы

3.2. Исследование системы М2|М2|оо с повторными обращениями

3.2.1. Совместное распределение числа занятых линий в системе

3.2.2. Совместное распределение числа повторных обращений к блокам. Метод предельной декомпозиции

Резюме по главе 3

Глава 4. Имитационная модель СМО с неограниченным числом линий,

повторным обслуживанием и непуассоновским входящим потоком

4.1. Алгоритм имитационного моделирования MAP и SM потоков

4.2. Алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием

Резюме по главе 4

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей потоков в системах с неограниченным числом линий методом предельной декомпозиции»

ВВЕДЕНИЕ

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово "алгоритм" происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе "рождение" этой методологии пришлось на конец 40-х—начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них — появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ — выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно "осуществлены" в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается, причем сказанное справедливо и по отношению к некоторым социально-политическим проектам.

Говоря о России, можно вспомнить, что наука математического моделирования развивается с конца 1950-х - начала 1960-х гг[77].

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его "образом" — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот "третий метод" познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без

существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими [19, 39, 55, 80, 82] до анализа сложнейших экономических и социальных процессов [4, 5, 9, 22, 31, 36, 49, 50, 60, 69, 95, 96].

Развитие науки и техники, усложнение экономики и общественного строя - все это непрерывные и необратимые процессы, приводящие к необходимости иметь дело с все более сложными и масштабными системами, в которых в свою очередь возникают многочисленные задачи, отражающие специфику этих систем и цели их исследования. Но, не смотря на многообразие индивидуальных особенностей, можно выделить задачи, общие для широкого круга систем, и притом, вне зависимости от их предметной направленности.

В частности, во многих аспектах человеческой деятельности, в большинстве создаваемых человеком систем, имеет место спрос на выполнение тех или иных операций. При этом запросы, в общем случае, возникают в случайные моменты времени, и продолжительность выполнения требуемой операции также достоверно не известна заранее. Следовательно, необходимо создание моделей систем, учитывающих случайный характер поступления требований и их обслуживания. Задачи построения и анализа таких моделей решает наука, известная в русскоязычной литературе как теория массового обслуживания, а в иностранной как теория очередей.

Теория массового обслуживания зародилась сравнительно недавно, в начале XX века. Работа А.К. Эрланга в копенгагенской телефонной компании

натолкнула его на мысль рассчитать необходимое количество телефонных линий, чтобы клиентам не приходилось проводить много времени в ожидании свободного канала. Так в 1909 году была опубликована первая статья по теории массового обслуживания «Теория вероятностей и телефонные разговоры» [103]. Им были рассмотрены системы с пуассоновским входящим потоком, очередью и одним, двумя, тремя или неограниченным числом каналов в случае экспоненциального времени обслуживания, а также системы с потерями. С тех пор поле возможных приложений теории массового обслуживания существенно расширилось [7, 57, 71]. Стремительное развитие науки, техники, экономики, средств связи и транспорта привело к необходимости создания все более сложных математических моделей, а также развития методов их исследования [88, 110]. В связи с этим особый интерес вызывают системы массового обслуживания с большим числом каналов обслуживания (многолинейные), а также сети [8]. Например, при организации промышленного производства значительный экономический резонанс имеет нехватка станков и нахождение их достаточного для бесперебойной работы количества [103, 109, 112]. На крупных промышленных предприятиях, где установлен поточный характер производства, для вычисления времени простоя линии [83], длины очереди перед той или иной фазой производства [107], успешно применяются многофазные системы массового обслуживания [106].

В сфере торговли и общественного питания также возникают задачи, требующие исследования многофазных систем [108], например, с входящим потоком заявок, интенсивность которого зависит от состояния системы[105]. Свое применение многофазные и многолинейные СМО нашли и при анализе работы крупного морского порта [115], и при моделировании распределенных вычислительных систем [16, 38, 64, 72, 85, 99], и при расчетах показателей нагрузки линии связи [23, 33, 70, 114].

В последние годы появляется все больше работ, посвященных исследованию многолинейных систем массового обслуживания. Это работы Бочаро-

ва [13, 14], Башарина [8], Печинкина [37, 73, 74, 75, 76], Чаплыгина [37, 73, 74, 75, 76], Клименок [15, 43, 45, 46, 47], Дудина [15, 33], Ивницкого [40], Назарова[1, 24, 66, 67]. Очевидно, что исследуемые СМО все более усложняются, на вход поступают неординарные или групповые потоки заявок, потоки отрицательных заявок, уничтожающие одну или несколько положительных заявок входящего потока. В работах [45, 46] рассматриваются системы, у которых, наряду с большим количеством линий, на одной из фаз реализуется процедура повторного обращения к прибору.

К сожалению, для анализа столь сложных систем редко удается применить аналитические методы. Основные методы исследования классических СМО приведены во многих монографиях по теории массового обслуживания [12, 17, 27, 28, 41, 42, 44, 59, 66, 81, 89, 100, 101]. Некоторые из них применимы и для анализа многолинейных систем, например, метод дополнительной переменной, метод вложенных цепей Маркова, методы характеристической и производящей функций, преобразования Фурье и Лапласа-Стилтьеса, метод дополнительных событий. С помощью этих и других методов удается найти стационарное распределение состояний исследуемой системы и основные характеристики ее производительности. При увеличении количества фаз и линий обслуживания, при усложнении структуры системы, на помощь аналитическим методам приходят метод асимптотического анализа [2, 11, 10, 65] и численные методы (метод Монте-Карло, матричные и суперматричные алгоритмы). Для анализа показателей очень сложных и не поддающихся аналитическому исследованию систем применяют аппарат имитационного моделирования [18, 19,21,32, 39, 48, 55,58, 86, 97, 102, 111].

Особый интерес вызывает возникающая в некоторых прикладных задачах необходимость повторного обслуживания заявок. Попытки реализовать такую возможность в многолинейных и многофазных системах до сих пор сводились или к добавлению источника повторных вызовов на одной из фаз [45, 46], или к исследованию систем с повторным обслуживанием на приборах, но лишь в случае экспоненциального времени обслуживания [62, 63].

На основании вышесказанного можно сделать вывод о необходимости и актуальности проведения дальнейших исследований многолинейных и многофазных систем все более сложной структуры, а также развития новых методов их исследования.

В настоящее время внимание к теории массового обслуживания в значительной степени стимулировалось необходимостью применения результатов этой теории к важным практическим задачам, возникающим в связи с бурным развитием систем коммуникаций, возникновением информационно-вычислительных систем, появлением и усложнением разнообразных технологических систем, созданием автоматизированных систем управления.

Поэтому возникает необходимость в разработке новых математических моделей систем массового обслуживания, а именно, систем с вариантами обслуживания заявок неординарных входящих потоков, в том числе систем с двумя и более блоками обслуживания.

Исследованию однолинейных систем массового обслуживания с неординарными входящим потоком (пуассоновским и рекуррентным) посвящены работы Бочарова П.П., Печинкина A.B., Чаплыгина В.В. и других российских ученых [34, 35, 84, 91, 113]. В работах Ч. Д'Апиче, Р. Манзо [3, 13] рассматриваются системы массового обслуживания с марковским неординарным входящим потоком, несколькими типами заявок, обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора, марковским обслуживанием и накопителем бесконечной емкости. Но, как правило, все заявки в группе являлись однотипными, и время их обслуживания было одинаково распределенным, что не всегда применимо для описания реальных вычислительных процессов. Исследование подобных систем с двумерным пуассоновским потоком приводится в статье украинских ученых [94], но предлагаемый авторами метод довольно сложен и неприменим для исследования аналогичных систем с произвольным временем обслуживания или не пуассоновским входящим потоком.

В связи с возникающей во многих практических задачах возможностью частичной циркуляции заявок в системе, в настоящее время необходимо построение математических моделей, учитывающих возможность повторного обслуживания на приборах. Рассмотренные в работах [45, 46, 62, 63] системы с повторными обращениями заявок имеют один блок обслуживания и не применимы в случае поступления потоков кратных заявок.

Все вышесказанное подтверждает, что построение и анализ новых математических моделей с параллельно функционирующими блоками обслуживания, общими входящими потоками кратных заявок и повторным обслуживанием в блоках имеет большое практическое значение.

Целью данной работы является построение математических моделей случайных потоков, возникающих в различных предметных областях, объекты которых рассматриваются в виде систем массового обслуживания с неограниченным числом линий обслуживания и их исследование с помощью метода предельной декомпозиции.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построить математическую модель потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в одно- и двухфазной системах массового обслуживания с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам, количественными характеристиками которых являются доход компании и число клиентов компании различной категории (новые, постоянные, VIP - клиенты).

2. Исследовать вероятностные характеристики указанных СМО, когда входящий поток клиентов является простейшим, а время обслуживания произвольное.

3. Построить и исследовать экономико-математическую модель влияния параметров проводимых маркетинговых акций (размер предоставляемых скидок, бонусов постоянным покупателям) на доход компании.

4. Построить математическую модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков в системе с неограниченным числом фаз и линий и исследовать вероятностные характеристики этой модели.

5. Построить математическую модель распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями.

6. Исследовать характеристики указанной системы при входящем потоке парных заявок и экспоненциальном с параметрами и \л2 времени обслуживания в блоках.

7. Построить имитационную модель системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием, позволяющую получать характеристики системы, в случае, когда входящий поток заявок не является пуассоновским и метод предельной декомпозиции неприменим.

Методика исследования. В качестве математических моделей процессов изменения числа клиентов коммерческой организации предлагается рассмотреть СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз обслуживания и повторным обращением к ним. Процесс изменения дохода компании определяется дифференциальным соотношением, включающим число клиентов компании и размер предоставляемой скидки или бонуса.

В качестве математической модели распределенной вычислительной системы предлагается система параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями к блокам.

Финансовые потоки процедуры пожизненной ренты предлагается моделировать потоками системы с неограниченным числом фаз и линий.

В качестве метода исследования систем массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий с повторным обслуживанием, пуассоновским входящим потоком и произвольным временем обслуживания предлагается метод предельной декомпозиции.

Исследование всех указанных математических моделей проводится также методами анализа марковизируемых систем, методами теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории интегральных и дифференциальных уравнений в частных производных.

Все численные расчеты проводились с использованием стандартных, опробованных и протестированных методов и процедур [54].

В случае, когда входящий поток в исследуемых системах отличен от пу-ассоновского, метод предельной декомпозиции становится не применим. Для анализа характеристик таких систем в работе предложен алгоритм имитационного моделирования системы массового обслуживания с неограниченным числом линий, повторным обслуживанием и непуассоновским входящим потоком и реализован с использованием пакета МаЛсаё, версия 13.0.

Межпредметность проведенных исследований.

На современном этапе развития теории массового обслуживания одним из востребованных направлений является исследование систем массового обслуживания с групповым поступлением заявок и параллельным обслуживанием. Область применения таких СМО довольно обширна, например, при моделировании современных информационно-вычислительных систем необходимо учитывать пакетный характер трафика, а также один из основных принципов при проектировании современных компьютерных сетей - параллельность процессов обработки информации [30, 80, 85, 99, 90].

Производственно-торговая и торговая деятельность, направленная на удовлетворение массового спроса потребителей, также представляет собой широкое поле применения моделей, основанных на методах теории массового обслуживания [56]. Практически каждый вид коммерческой деятельности содержит в качестве своего элемента совокупность распределенных во времени деловых сделок. Это заставляет уделять должное внимание математическому описанию потоков коммерческих сделок, характер и свойства которых определяются содержанием коммерческих операций [68, 87]. В моделях массового обслуживания последовательность сделок рассматривается как

случайный поток событий, что позволяет применить к ее описанию методы теории случайных процессов [79].

Инструмент пожизненной ренты играет в настоящее время очень серьезную роль, так как многие престарелые люди, заключая договоры ренты, пытаются обеспечить свою жизнь. Но часто договоры ренты становятся орудием мошенников и злоумышленников.

В соответствии со ст. 597 Гражданского кодекса РФ пожизненная рента выплачивается в виде определенных в договоре периодически выплачиваемых денежных сумм. Размер денежной суммы, которая подлежит выплате по договору ренты, определяется сторонами самостоятельно на свое усмотрение. Таким образом, построение и исследование математической модели процедуры пожизненной ренты и нахождение оптимального размера рентного платежа позволяют уменьшить риски сторон, заключающих такой договор. Владельцы недвижимости, желающие заключить договоры пожизненной ренты, принимают такое решение в различные моменты времени и независимо друг от друга. Моменты заключения таких договоров образуют некоторый случайный поток однородных событий, адекватной математической моделью которого является пуассоновский поток, поступающий на вход системы массового обслуживания с неограниченны числом фаз и линий.

Требования практики выдвигают перед теорией массового обслуживания большое число новых постановок задач. Рассмотрение их необходимо для приложений, для постепенного приближения условий, в которых они решаются, к истинной картине изучаемых явлений; с другой стороны, это поучительно для выработки методов исследования и для создания стройной теории, которая даст возможность решать все эти частные задачи почти автоматически [28].

Научная новизна результатов проведенных исследований:

1. Предложены математические модели изменения числа клиентов коммерческой организации в виде систем массового обслуживания с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз об-

служивания и повторным обслуживанием на фазах, а также новый метод их исследования. Это метод предельной декомпозиции, который позволяет провести исследование СМО с неограниченным числом фаз и линий, повторным обслуживанием и произвольной функцией распределения времени обслуживания на приборе, то есть найти характеристики потоков клиентов компании при произвольном времени между моментами совершения покупок. Применяемые ранее для решения подобных задач методы производящих и характеристических функций допускали исследование подобных систем лишь для экспоненциального времени обслуживания на приборе, что существенно сокращает область применения полученных результатов. В то время как разные компании могут иметь различные распределения времени обдумывания клиента ввиду различий в специфике товара или организации торговли в целом, а также для одних и тех же компаний распределение может смениться в связи с, например, изменением экономической ситуации на рынке.

2. Построена математическая модель процедуры пожизненной ренты в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий и проведено исследование потоков в этой системе и процесса изменения прибыли плательщика ренты.

3. Построена математическая модель распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями к блокам. В случае экспоненциального времени обслуживания исследование указанной системы проведено методом производящих функций и методом предельной декомпозиции. Проведенное сравнение показывает, что предлагаемый метод предельной декомпозиции не только позволяет аналитически исследовать СМО с неограниченным числом фаз и линий и произвольным временем обслуживания, но и в случае экспоненциального обслуживания позволяет существенно упростить процедуру решения.

4. Построена имитационная модель СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием с непуассоновским входящим потоком.

Практическая значимость диссертации и использование полученных результатов заключается в создании новых математических моделей, применимых для анализа систем из различных предметных областей и развитии аналитических методов исследования систем массового обслуживания с неограниченным числом линий различной структуры и произвольным временем обслуживания.

Результаты работы используются в учебном процессе при проведении практических занятий по курсу «Теория массового обслуживания», в научно-исследовательской работе студентов при написании курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика и информатика», включены в монографию [24] и использовались при выполнении проекта «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи», при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)» и Федерального агентства по образованию РФ.

Публикации основных положений диссертационного исследования.

Результаты диссертационной работы опубликованы в 19 печатных работах, из них 3 статьи в журналах списка ВАК: *

1. Ананина И.А. Математическая модель процесса изменения дохода торговой компании, расширяющей свое присутствие на рынке / И.А. Ананина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 2 (15). - С. 5-14.

2. Ананина* И.А. Математическая модель процедуры пожизненной ренты / A.A. Назаров, И.А. Ананина* // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т. 318, № 5. - С. 160-165.

3. Захорольная И.А. Математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями / С.П. Моисеева, И.А. Захорольная // Автометрия. - 2011. - Т. 47, № 6. - С. 51-58.

4. ZakhoroPnaya I.A. Mathematical model of retrial queueing of multiple requests / S.P. Moiseeva, I.A. ZakhoroPnaya // Optoelectronics, instrumentation and data processing. - 2011. - Vol. 47, № 6. - P. 51-58.

5. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением методом предельной декомпозиции / И.А. Ананина*, А.А. Назаров, С.П. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительные технологии и информатика. - 2009. - № 3 (8). -С. 56-67.

6. Ананина* И.А. Исследование суммарного потока обращений в системе M|GI|oo с повторными обращениями с учетом номера попытки / И.А. Ананина* // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети : материалы междунар. научн. конф. «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». - Минск : РИВШ, 2011. -Вып. 21.-С. 8-13.

7. Захорольная И.А. Математическая модель процесса изменения дохода от продажи взаимодополняющих товаров / И.А. Захорольная, С.П. Моисеева // Труды X международной конференции по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий / КГТЭИ СФУ. - Красноярск, 2011. - С. 157-160.

8. Захорольная И.А. Исследование модели параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями к блокам / И.А. Захорольная, С.П. Моисеева // Научное творчество молодежи : материалы XV Всероссийской научно-практической конференции. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. -Ч.1.-С. 25-28.

9. Захорольная И.А. Исследование многомерных потоков обращений в системе M|GI|oo с повторными обращениями с учетом номера попытки / И.А. Захорольная // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIX Международной научной студенческой конференции / Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 2011. - С. 195-197.

10. Ананина* И.А. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции / И.А. Ананина*, A.A. Назаров, С.П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008) : материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (14-15 ноября 2008 г.). - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2008 - С. 3-5.

11. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе обслуживания с неограниченным числом фаз и линий методом предельной декомпозиции / И.А. Ананина*, A.A. Назаров, О.Н. Галажинская // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети : материалы международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». - Минск : РИВШ, 2009. - С. 170-174.

12. Ананина* И.А. Математическая модель изменения дохода торговой компании / И.А. Ананина, A.A. Назаров, С.П. Моисеева // Труды VIII международной ФАМ'2009 конференции / Сиб. федерал, ун-т. - Красноярск, 2009.-С. 114-116.

13. Ананина И.А. Основные вероятностные характеристики дохода торговой компании с учетом влияния скидки на товар / И.А. Ананина*, С.П. Моисеева // Научное творчество молодежи : материалы XIII Всерос. научно-практич. конф. 14-15 мая 2009 г. / Том. гос. ун-т. - Томск, 2009. -С. 8-10.

14. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением с учетом номера попытки / И.А. Ананина*, A.A. Назаров // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : материалы Международной конференции в Минске 22-25 февраля 2010 г. - Минск: РИВШ, 2010.-С. 11-14.

15. Ананина И.А. Математическая модель изменения дохода торговой компании при предоставлении скидок по категориям покупателей / И.А. Ананина* // Труды IX Международной ФАМЭТ конференции / Сиб. федер. ун-т. - Красноярск, 2010. - С. 34-37.

16. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением с учетом номера попытки / И.А. Ананина* // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009) : материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (13-14 ноября 2009 г.). - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. - С. 36.

17.Ананина* И.А. Исследование суммарного потока обращений в двухфазной бесконечнолинейной СМО с повторными обращениями / И.А. Ананина // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. -С. 3-5.

18. Захорольная И.А. Исследование выходящих потоков в системе массового обслуживания с параллельным обслуживанием парных заявок / И.А. Захорольная, С.П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. -Ч. 1.-С. 121-124.

19. Ананина* И.А. Исследование математической модели потоков клиентов таксопарка / И.А. Ананина* // Информационные технологии и математическое моделирование : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. -Ч. 1.-С. 3-7.

Апробация результатов исследования.

Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. Ноябрь 2008г.

В 2011 году произошла смена фамилии. В работах, вышедших ранее, диссертант Захорольная И.А. имела фамилию Ананина.

2. VIII Международная конференция «Финансовая математика и смежные вопросы». Красноярск, КГТЭИ. 24-26 апреля 2009г.

3. XIII Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 14-15 мая 2009г.

4. VIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. Ноябрь 2009г.

5. IX Международная конференция по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий. Красноярск, КГТЭИ. Апрель 2010г.

6. XIV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. Апрель 2010г.

7. VIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, ТГУ. 5-8 октября 2010г.

8. IX Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 19-20 ноября 2010г.

9. XLIX Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск. НГУ. 16-20 апреля 2011г.

10. X Международная конференция по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий. Красноярск, КГТЭИ. 23-24 апреля 2011г.

11. XV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 28-29 апреля 2011г.

12. X Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 25-26 ноября 2011г.

13. Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики». Новосибирск, СГУТиИ. 8-11 ноября 2011г.

Краткое содержание работы:

Работа состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы из 116 наименований.

Первая глава посвящена исследованию потоков заявок в системах массового обслуживания с неограниченным числом линий, одной и двумя фазами обслуживания и повторным обслуживанием на фазах.

Для исследования потоков в системах массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих линий и входящим пуассоновским потоком заявок предлагается метод предельной декомпозиции. Суть этого метода заключается в следующем.

Пуассоновский с интенсивностью X входящий поток разделим по полиномиальной схеме с равными вероятностями на N независимых пуассонов-ских потоков с интенсивностями X/N.

Для заявок каждого из потоков определим единственную соответствующую линию обслуживания и будем рассматривать однолинейную СМО с отказами в обслуживании для тех заявок, которые поступили на периодах занятости линии.

Линия считается занятой, если занята одна из ее фаз обслуживания.

Следовательно, формируется N независимо функционирующих однолинейных систем обслуживания, исследование которых гораздо проще, чем исследование исходной системы с неограниченным числом линий.

В связи с возможностью отказов в обслуживании, суммарные характеристики полученной совокупности N независимых однолинейных систем не эквивалентны соответствующим характеристикам исходной системы с неограниченным числом линий. Показано, что этот недостаток устраняется предельным переходом в суммарных характеристиках при N -> оо .

Рассмотрена система массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом обслуживающих приборов, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Время обслуживания на каждом приборе имеет произвольную функцию распределения В(х) одинаковую для всех приборов. Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью 1 -г покидает сис-

тему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания, формируя тем самым поток повторных обращений. Доказана Теорема 1.1. о том, что производящая функция суммарного числа обращений

т({) в системе М|01|оо с повторными обращениями имеет вид:

t

(^(х, г1) = ехр{р(х, /)} = ехр< (х -1)

А/ + г | / (х, я)*/,?, о

где функция/(х, О определяется преобразованием Фурье-Стилтьеса вида

Х и Л В*(а)

е- = -

0

Ф(а, х) = ] е*" а,/(х, *)=-А- (х - ,

* 1 -г \-rxB (а]

а В*(а)= - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции распре-

о

деления В(х).

Найдены математическое ожидание и дисперсия числа суммарных обращений к системе.

Рассмотрены отдельно потоки первичных и повторных обращений в СМО М|С1|оо с повторным обслуживанием заявок.

Доказана Теорема 1.2. о том, что производящая функция 0{х,у,() двумерного процесса п(первичных и повторных обращений в исследуемой системе имеет вид:

0(х, у, = ехр|(х - + г(у -1)| /(х, у, я^Зя где функция/{х,у,определяется преобразованием Фурье-Стилтьеса вида

ф(а,х) = ?еуаЦ/(х,у,0 = -^~(х-1 + г(у-х)) В

о 1 -г \-ryB (а)

00

а В*{о)~ - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции распре-

о

деления В(х).

Найдены числовые характеристики числа повторных обращений к системе.

Поострена математическая модель потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков системы массового обслуживания М|01|оо с повторным обслуживанием заявок.

При объявлении компанией акции «подарок за покупку» вероятность возвращения клиента в данную компанию возрастает. Рассмотрена характеристическая функция величины суммарного дохода компании, полученного за время ^ проведения акции «подарок за покупку», доказано, что она имеет вид

где ф(а) = Ме м) - характеристическая функция величины ^ - М, то есть разности цены покупки и величины М- бонуса выдаваемого покупателю при совершении им покупки величиной

Найден средний доход компании, получено выражение для определения оптимального размера бонуса, приведен численный пример расчета ожидаемого дохода компании.

Далее в главе рассматривается двухфазная система массового обслуживания с неограниченным числом линий, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиняя обслуживание с первой фазы. Линия считается занятой, если занята любая из её фаз. Завершив обслуживание на первой фазе, с вероятностью 1 -гх заявка покидает систему, а с вероятностью гх обслуживается повторно: с вероятностью 1 - д на той же первой фазе, а с вероятностью q на второй. Завершив обслуживание на второй фазе, заявка с вероятностью 1 — г2 покидает систему, а с противоположной вероятностью г2 обслуживается на этой фазе вновь. Продолжительности фаз обслуживания стохастически независимы и определяются функциями распределения ^(х) и В2{х) для

первой и второй фазы соответственно. Процессы обслуживания для различных линий одинаковы и стохастически независимы. Таким образом, форми-

руются потоки повторных заявок, описываемые случайными процессами , п2 (V), где пк (/) - число повторных обращений к к-ой фазе, реализованных за время наблюдения t.

Доказана Теорема 1.3. о том, что производящая функция суммарного числа обращений п({) в двухфазной системе с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам имеет вид:

С(х, = ехр^ (х -1}

АЛ+ гх\ /х (х, +г21 /2

где функции /к (х, {) определяются преобразованиями Фурье-Стилтьеса вида

X ( В* (а)

ф1(а,х) = | (х, () = --£-г (х -1) 1-

0 1-ГД1-4)

ии

<р2 (а, х) = | е/аЧ/2 (х, /) =

Х,г^(х -1)

1(1-^X1-^(1-^))

'(а)

52*(а)

1-хг2В2*(а)

где 5А*(а)= - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции рас-

о

пределения £=1,2. Найдены основные числовые характеристики иссле-

дуемого случайного процесса.

Доказана Теорема 1.4. о том, что производящая функция С(х,у1,у2^) трехмерного случайного процесса (0^2 (0} в двухфазной системе

массового обслуживания с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам имеет вид:

У\,У2^)= ехР 1 ~0'+ Л(У\С1 ~Я)'+ У24 ~О/Л(*>УъУг^

+

+ г2 {у2 - Ц/2 У1>У2> и¥и г >

о ]

где функции /1(х,у1,у2^) и /2(х,у],у2,?) определяются преобразованиями Фурье-Стилтьеса вида

Ф! (а, х, у1) = | е^й^ {х, уг,у2, *)

о

(л-1 + Г! (1-^1-*))

В,\а)

(а)'

00

ф2 (а, Х,у2) = ^ е70Ч/2 (*> У1>У2> О

о

В2\а)

00

где Вк*(а)= - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции рас-

пределения Вк{{), к=\,2. Найдены основные числовые характеристики исследуемого случайного процесса.

Предложена модель изменения числа клиентов некоторой торговой компании можно в виде двухфазной системы массового обслуживания с неограниченным числом линий, произвольным временем обслуживания на фазах, с повторными обращениями.

Решена задача нахождения основных вероятностных характеристик дохода, полученного торговой компанией за время t действия скидок постоянным покупателям. Полученные характеристики позволяют найти оптимальный размер предоставляемой скидки, обеспечивающий максимальный доход компании.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию потоков в системах массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий.

Рассмотрена система массового обслуживания с неограниченным количеством обслуживающих приборов, на вход которой поступает простейший с параметром X поток. В системе реализуется многократное обслуживание заявок. Заявка, выполняющая к-ое по счету обслуживание, называется к - заявкой. Первичные заявки, то есть заявки входящего простейшего пото-

о

ка, являются 1-заявкой. Завершив обслуживание, к -заявкас вероятностью 1 — гк покидает систему, а с вероятностью гк возвращается на прибор для повторного обслуживания, становясь (к +1) - заявкой. Время обслуживания А:-заявки имеет произвольную функцию распределения Вк(х). Доказана Теорема 2.1. о том, что производящая функция (7(х,/) суммарного числа т({) обращений в системе с неограниченным числом линий и повторными обращениями с учетом номера попытки имеет вид:

в{х, = ехр< (х -1)

к=1 о

где функции /к (х, ¿) определяются выражениями

к-1 (

к>2.

1=1 \ 7=1 У

а - (Ы+1)-кратная свертка распределений В^), ..., Вк^). Найдены

основные числовые характеристики исследуемого случайного процесса.

Доказана Теорема 2.2. о том, что производящая функция С(х1?х2,...,/) случайного вектора {?%(/), п2 (0? •••} с неограниченным числом компонент системе массового обслуживания с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием с учетом номера попытки имеет вид:

С(х!, х2,..., = ехр< А,^(х1 -1)

.--VI /+ -1)|/^(х^хз,.

I Л=2 О

где функции /к(х1,х2,...^) определяются выражениями

¡х (х1, х2,..., г) = Х(1 + (х1 -1)5! (* )),

к-1

.....о =

У=1

V /=1 7=г+1

, к> 2,

а ~ (&-*+1)-кратная свертка распределений 5г(?), ..., Вк^). Найдены

основные числовые характеристики исследуемого случайного вектора.

Построена математическая модель потоков клиентов обычного таксопарка, в условии проведения акции «/-ая поездка бесплатно». Получена функция прибыли во время действия такой акции. Исследовано изменение величины месячной прибыли компании в зависимости от параметра / проводимой акции.

Построена математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков системы массового обслуживания с неограниченным числом линий и бесконечным числом фаз обслуживания в каждой линии. Найдена характеристическая функция величины прибыли плательщика ренты и проведен численный анализ влияния на величину прибыли размера рентного платежа.

В третьей главе диссертационной работы проводится исследование математической модели распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторным обслуживанием в блоках.

Рассматривается некоторый вычислительный комплекс для решения задач, требующих параллельной реализации двух итерационных алгоритмов, каждый из которых решает свою подзадачу. Исходные задачи, состоящие из двух подзадач, поступают независимо друг от друга и их количество достаточно велико. В итоге одного выполнения итерационного алгоритма решение может быть не найдено, в таком случае алгоритм запускается заново и эта процедура выполняется, пока подзадача не будет решена. Аналогично реализуется решение другой подзадачи вторым алгоритмом.

В качестве математической модели функционирования такого комплекса рассматривается система массового обслуживания с двумя обслуживающими блоками, каждый из которых содержит неограниченное число приборов. На вход системы поступает простейший с параметром X поток сдвоенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами jii и соответственно. Закончив обслуживание, заявка &-го блока с вероятностью 1—гкпокидает систему, а с вероятностью ^возвращается обратно на прибор для повторного обслуживания. Доказана Теорема 3.1. о том, что совместная производящая функция четырехмерного случайного процесса {z'i(/)? h(t), щ(0> n2(t)} - числа занятых приборов в блоках и повторных обращений к ним имеет вид

(i-nXi-r2)

F(xl,x2,yl,y2j)=exp<

O-^iX1-^)

Xt +

1-n

1-ПУ1

-x,

,-Hi (l-w)'

V,

1 -r,

>(y2-i)

1~Г2Уг [}~Г2У2

У

У

^(l-rj+^l-rj

Л

(

1-r,

Фг- О i-Wi U-i^i

Xi

\ Л

у

X

у

s(y2-i)

1-r,

Xo

Л Л

-Ц2(1-/"2у2>

У

У

m(l-l)

(

-X

+ Х

1-1

1-1

1-г,

1-W

•X,

1-г2

.1-^2

JX*--)

-H2(l-i-2>>2>

)l

^(i-^iX1-^) J

^1(1-^x1-^2)

Получены математическое ожидание и дисперсия числа занятых приборов в блоках.

Далее, с помощью метода предельной декомпозиции, доказана Теорема 3.2. о том, что совместная производящая функция числа повторных обращений к блокам обслуживания в системе М2|М2|оо с повторным обслуживанием в блоках имеет вид:

-1 )r2(x2 -1) 1 -(l - xxrx )(l ~x2r2) |a, (l - xxrx) ■+ (i2 (l -X2r2)

Xrx(xx - l)(l -r2) 1 -Xr2(.x2 -lXl -n) 1 -|

(l-x^Xl-зд) Hii1"^) (l-^i^iX1"^^) Цг^-зд) J

+

Показано, что полученное выражение совпадает с выражением для маргинальной совместной производящей функции числа повторных обращений к блокам, получаемым с помощью Теоремы 3.1. Однако использование метода предельной декомпозиции существенно упрощает аналитические выкладки. Получены математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции числа занятых приборов в блоках.

В четвертой главе диссертационной работы приведен комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ имитационного моделирования системы массового обслуживания с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием с непуассовновским входящим потоком. Построены имитационные модели MAP- и SM-потоков, используемые в качестве моделей потока заявок, поступающего на вход указанной системы массового обслуживания.

Таким образом, с помощью предложенного метода предельной декомпозиции удалось провести исследование и найти характеристики потоков заявок в различных системах массового обслуживания с неограниченным числом фаз, линий и реализацией повторного обслуживания на приборах, являющихся математическими моделями многих реальных процессов из различных областей человеческой деятельности.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Захорольная, Ирина Алексеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе построены математические модели потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в одно- и двухфазной системах массового обслуживания с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам. Проведено исследование таких количественных характеристик, как доход и число клиентов компании различной категории (новые, постоянные, VIP - клиенты), что позволило построить и исследовать экономико-математическую модель влияния параметров проводимых маркетинговых акций (размер предоставляемых скидок, бонусов постоянным покупателям) на доход компании.

Построена математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков в системе с неограниченным числом фаз и линий и проведено исследование вероятностных характеристик этой модели.

Построена математическая модель распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями и проведено исследование ее вероятностных характеристик при входящем потоке парных заявок и экспоненциальном с параметрами |j,i и j~i2 времени обслуживания в блоках.

В работе предложен метод предельной декомпозиции как аналитический метод исследования потоков в системах массового обслуживания с неограниченным числом линий, простейшим входящим потоком и произвольным временем обслуживания. С помощью этого метода проведено исследование и найдены характеристики потоков заявок в следующих системах массового обслуживания:

• M|G|oo с повторным обслуживанием;

• M|G |оо —>|G|oo с повторным обслуживанием на фазах;

• M|G |оо с повторным обслуживанием с учетом номера попытки;

• M|G |оо —>|G|oo—> . —>|G|co—».;

2 2 со с повторным обслуживанием в блоках.

В ходе проведенного исследования показано, что предложенный метод предельной декомпозиции действительно позволяет аналитически исследовать потоки в достаточно сложных системах массового обслуживания с неограниченным числом фаз и линий, с процедурами повторного обслуживания в линиях в условиях произвольного времени обслуживания с функцией распределения общего вида В(х).

Кроме того, будучи применен к исследованию потоков в подобных системах с экспоненциальным временем обслуживания, этот метод позволяет существенно упростить аналитические выкладки по сравнению, например, с методами непосредственного решения уравнений для производящих и характеристических функций для потоков в системах с неограниченным числом линий.

Недостатком метода является его неприменимость, в случае если входящий поток заявок отличен от пуассоновского. Однако СМО с повторным обслуживанием и неограниченным числом линий является хорошей математической моделью реальных процессов из различных предметных областей, в том числе и из таких, где входящий поток не может быть аппроксимирован пуассоновским.

В связи с этим, в настоящей работе предложен комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ, моделирующих такие СМО для непуассоновского входящего потока. В частности предложены модели МАРи БМ-потоков.

Результат сравнения полученных в ходе исследования теоретической и эмпирической функций распределений вероятностей числа повторных обращений в системе с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием говорит о достаточно хорошей аппроксимации, что позволяет применять построенную имитационную модель для нахождения характеристик системы когда ее аналитическое исследование провести не удается, то есть при непуассоновском входящем потоке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Захорольная, Ирина Алексеевна, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ананина И.А., Назаров A.A. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением с учетом номера попытки // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: сб. науч. ст.(материалы Междунар. конф., посвящ. 75-летию проф., д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева, Минск, 2010г.). Вып.З. -Минск: РИВШ, 2010. - С. 11-14.

2. Анисимов В.В., Закусило O.K., Данченко B.C. Элементы теории массового обслуживания и асимптотического анализа систем - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1987. - 248 с.

3. Апиче Ч.Д., Манзо Р. Система обслуживания BMAPk/Gk/1 конечной емкости с обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора //Автоматика и телемеханика. 2006. - С. 94-102.

4. Арсеньев Ю.Н., Трошин СВ., Шелобаев С.И., Давыдова Т.Ю. Проблемы обеспечения экономической безопасности, снижения риска и совершенствования функционирования организационно-производственных и социальных систем // Проблемы экономики и организации производственных и социальных систем: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. — Новочеркасск, 1998. —С. 4—16.

5. Арсеньев Ю.Н., Давыдова Т.Ю., Шелобаев С.И., Шибаев JI.JI. Социально-экономические аспекты перехода - субъектов к новым формам хозяйствования и коммуникаций // Проблемы экономики и организации производственных и социальных систем: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. — Новочеркасск, 1998. —С. 16—25.

6. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории Марковских процессов и их приложения. - М.: Изд-во «Наука», 1969. - 512 с.

7. Башарин Г.П., Харкевич А.Ю., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. - М.: Изд-во «Наука». -1968. - 242с.

8. Башарин Т.П., Самуйлов К.Е, Яркина Н.В., Гудкова И.А. Новый этап развития математической теории телетрафика //Автоматика и телемеханика, 2009. -№12. -с.16-28.

9. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика,

2006. - 432 с.

10. Борисов И.С., Боровков A.A. Асимптотическое поведение числа свободных каналов для систем с отказами // Теория вероятностей и ее применения, 1957. - Т. XXV. - Вып. 3. - С. 449-463.

11. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания - М.: Наука, 1980. - 388 с.

12. Боровков A.A. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. -М.: Наука, 1971. - 368 с.

13. Бочаров П.П., Д'Апиче Ч., Мандзо Р., Печинкин A.B. анализ многолинейной марковской системы массового обслуживания с неограниченным накопителем и отрицательными заявками // Автоматика и телемеханика,

2007. -№1.- С. 93-104

14. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания: Учебник. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529с.

15. Бройер JL, Дудин А.Н., Клименок В.И., Царенков Г.В. Двухфазная система BMAP|G|1|N—>РН|1|М-1 с блокировкой // Автоматика и телемеханика, 2004. -№1.-С. 117-130

16. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. - М: Наука, 1978. - 401с.

17. Бусленко Н.П., Черенков А.П. Применение методов теории массового обслуживания при исследовании операций. // Итоги науки. Сер. Мат.: Теория вероятностейю. Мат. стат. Теор. киберн. ВИНИТИ, 1968. - Т. 5 - С. 69-110.

18. Бусленко Н.П. Решение задач теории массового обслуживания методом моделирования на электронных цифровых вычислительных машинах // Проблемы передачи информации, 1961. - Вып. 9. - С.48-69

19. Бусленко Н.П. Математическое моделирование производственных процессов на цифровых вычислительных машинах. - М.: Наука, 1964. - 362 с.

20. Валентий Д.И., Кваша А .Я. Основы демографии. - М.: Мысль, 1989. - 285 с.

21. Влацкая И.В., Татжибаева O.A. Моделирование систем массового обслуживания. - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2005. - 20 с.

22. Войнов И.В., Пудовкина С.П., Телегин А.И. Моделирование экономических систем и процессов. Опыт построения ARIS-моделей: Монография. - Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2002. - 392 с.

23. Галажинская О.Н. Бесконечно линейная бесконечно фазная система массового обслуживания со случайным прерыванием обслуживания // Вестник ТГУ. Приложение №18, 2006. - С. 261-266.

24. Гарайшина И.Р., Моисеева С.П., Назаров A.A. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания. -Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - 204 с.

25. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для втузов. -М.: «Высшая школа», 1977. - 479 с.

26. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. - 448 с.

27. Гнеденко Б.В. Беседы о теории массового обслуживания. - М.: Знание, 1973.-64 с.

28. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: КомКнига, 2005. - 400 с.

29. Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая) от 26.01.1996 № 14-ФЗ (ред. от 26.06.2007 с изменениями от 24.07.2007).

30. Грэсь Т., Соловьев В.В., Булатова И.Р. Моделирование потребления мощности в элементах цифровых устройств // Автометрия, 2009. - Т. 45. - №6. -С. 105-114.

31. Гуц А.К., Коробицын В.В., Лаптев A.A., Паутова Л.А., Фролова Ю.В. Математические модели социальных систем: Учебное пособие. - Омск: Омск. гос. ун-т, 2000. - 256 с.

32. Дудин А.Н., Медведев Г.А., Меленец Ю.В. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания: Учеб. пособие. - Мн: Университетское, 2000. -109 с.

33. Дудин А.Н., Сунь Б. Ненадежная многолинейная система с управляемым широковещательным обслуживанием // Автоматика и телемеханика, 2009. -№12.-С. 147-160.

34. Ежов И.И., Каданков В.Ф. Система обслуживания Gx/G/1 // Мат. студия. 2001. -Т.16 , № 2. - С. 199-212.

35. Ежов И.И., Каданков В.Ф. Основные вероятностные характеристики системы обслуживания Gk/G/1 // Украинский математический журнал. 2001. -53, №Ю.-С. 1343-1357.

36. Жанблан-Пике М., Ширяев А.Н. Оптимизация потока дивидендов // Успехи математических наук, 1995. - Т.50. - Вып. 2(302). - С. 25-46.

37. Зарядов И.С., Печинкин A.B. Стационарные временные характеристики системы GI|M|n|co с некоторыми вариантами дисциплины обобщенного обновления // Автоматика и телемеханика, 2009. - №12. - С. 161-174.

38. Ивановская И. А., Моисеева С.П. Математическая модель параллельного обслуживания заявок в распределенных вычислительных системах.// Сборник научных статей. Минск, 2010. - Т. 3. - С.123-128.

39. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. -М.: Радио и связь, 1987. - 120 с.

40. Ивницкий В.А. Об инвариантности стационарных распределений вероятностей состояний многолинейной системы обслуживания конечного числа различных источников требований при абсолютном приоритете поступающего требования // Теория вероятностей и ее применения, 1992. - Т. 37.- Вып. 2.-С. 407-410.

41. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.А. Теория массового обслуживания: Учебное пособие для вузов. -М.: Высш. Школа, 1982. -256 с.

42. Кёниг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. - М.: Радио и связь, 1981. - 128 с.

43. Ким И.С., Клименок В.И., Орловский Д.С. Многолинейная система массового обслуживания с групповым марковским потоком и отрицательными заявками // Автоматика и телемеханика, 2006. - №12. - С. 106-122

44. Клейнрок JI. Теория массового обслуживания. Пер. с англ./Пер. И.И. Грушко, ред. В.И. Нейман. -М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

45. Клименок В.И. Многолинейная система массового обслуживания с групповым входным потоком и повторными вызовами // Автоматика и телемеханика, 2001. - №8. - С. 97-108

46. Клименок В.И., Тарамин О.С. Двухфазная система обслуживания с групповым марковским потоком и повторными вызовами // Автоматика и телемеханика, 2010. - №1. - С. 3-17

47. Клименок В.И., Тарамин О.С. Двухфазная система GI|PH|1—>|РН|1|0 с потерями // Автоматика и телемеханика, 2011. - №5. - С. 113-126.

48. Климов Т.П. Моделирование на электронных цифровых машинах некоторого класса систем массового обслуживания // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961. - Т.1. -В.5. - С. 935-940.

49. Кобелев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем: Учебное пособие. - М.: Дело,2003. - 336 с.

50. Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.-295 с.

51. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 572 с.

52. Котлер Ф. Основы маркетинга: Пер. с англ. / Общ. ред. и вступ. ст. Е.М. Пеньковой. - Новосибирск: Наука, 1992. - 736 с.

53. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. - М.: Высшая школа, 1988.-712 с.

54. Кунцман Ж. Численные методы / Пер. с франц. - М.: Наука, 1979. - 160 с.

55. Курт-Умеров В.О. Математическая модель для предсказания постепенных отказов элементов системы // Автоматика и телемеханика, 1966. -№2.-С. 142-146

56. Лабскер Л.Г., Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. — М.: ЮНИТИ, 1998. - 319 с.

57. Лившиц B.C., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. -М.: Связь, 1979.-224 с.

58. Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. - М.: «Советское радио», 1978. - 248с.

59. Матвеев В.Д., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания - М.: Мзд-во МГУ, 1984. - 240 с.

60. Медведев Г.А. Стохастические процессы финансовой математики. - Мн.: БГУ, 2005. - 243 с.

61. Микроэкономика. Теория и российская практика: учебник / кол. авт.; под ред. проф. А.Г. Грязновой и проф. А.Ю. Юданова. Финансовая академия при Правительстве РФ. - 7-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2007 - 624 с.

62. Моисеева С.П., Морозова A.C. Исследование потока обращений в беско-нечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета, 2005. - №.287. - С. 46-51.

63. Моисеева С.П., Морозова A.C., Назаров A.A. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением // Вестник Томского государственного университета. 2006. - №16. - С.125-128.

64. Назаров A.A., Кулик М.М., Южаков A.A. Анализ математической модели адаптивной терминальной измерительной системы // 1993

65. Назаров A.A., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

66. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - 228 с.

67. Назаров A.A., Южаков A.A. Мультипликативность стационарного распределения состояний многолинейной немарковской системы обслуживания при неоднородном входящем потоке // Автоматика и телемеханика, 1997. - №4. -С. 113-120.

68. Натан A.A. Стохастический модельный анализ простых коммерческих операций. - М.: МЗ Пресс, 2005. - 120 с.

69. Натан A.A. Стохастические модели в микроэкономике: Учебное пособие.

— М.: МФТИ, 2001. — 172 с.

70. Нейман В.И. Базовая модель нагрузки линии связи коллективного пользования // Проблемы передачи информации, 1994. - Т. 30. - Вып.2. - С. 89-95

71. Нейман В.И. Телетрафик и теория массового обслуживания //Автоматика и телемеханика, 2009. - №12. - с.29-38.

72. Олзоева С.И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем: Учебное пособие. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 67с.

73. Печинкин A.B., Чаплыгин В.В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM|MSP|n|r // Автоматика и телемеханика, 2004.

- №9. - С. 85-100

74. Печинкин A.B., Соколов И.А., Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с конечным накопителем и ненадежными приборами // Информатика и ее применения, 2007. - Т. 1. - Вып. 1. - С. 27-39

75. Печинкин A.B., Соколов И.А., Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с групповым отказом приборов // Информатика и ее применения, 2009. - Т.З. - Вып. 3. - С. 4-15

76. Печинкин A.B., Соколов И.А., Чаплыгин В.В. Стационарные характеристики многолинейной системы массового обслуживания с одновременными отказами приборов // Информатика и ее применения, 2007. - Т.1. -Вып. 2. - С. 39-49

77. Полетаев И.А. О математическом моделировании // Проблемы кибернетики, 1973г. - Вып.27 - с.143-151.

78. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. - М.: Изд-во «Советское радио», 1971. - 400 с.

79. Розанов Ю.А. случайные процессы (краткий курс). - М.: «Наука», 1971. -288 с.

80. Ромм Я.Е., Забеглов В.В. Параллельные схемы некоторых дискретных ортогональных преобразований // Автометрия, 2010. -Т.46. - № 6. - С.54-70.

81. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. Пер. с англ. Е.Г. Коваленко. -М.: Изд-во «Советское радио», 1965. - 511с.

82. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2002. - 320с.

83. Севастьянов Б.А. Задача о влиянии ёмкости буферов на среднее время простоя автоматической линии станков // Теория вероятностей и ее применения, 1962. - Т.7. - №4. -с. 438-447

84. Таташев А. Г. Система массового обслуживания с групповым поступлением и инверсионной дисциплиной // Кибернетика и системный анализ, 1995.-№6.-С. 163-165.

85. Топорков В. В. Модели распределенных вычислений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 320 с.

86. Финаев В.И. Моделирование систем. Практикум: Учеб. пособие. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004. - 118 с.

87. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 616 с.

88. Харкевич А.Д. 100 лет формуле Эрланга и процессу исследований по теории телетрафика // Автоматика и телемеханика, 2009. - №12. -С.5-9.

89. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. - М.: Физматлит, 1963. - 528 с.

90. Хорошевский В.Г., Павский В.А. Расчет показателей эффективности функционирования распределенных вычислительных систем // Автометрия, 2008. - Т. 44. - №2. - С. 3-15.

91. Чаплыгин В.В.. Стационарные характеристики системы массового обслуживания G[X]/MSP/l/oo с поступлением заявок группами ограниченного объема // Информационные процессы, 2006. - Т.6. - № 2. - С. 144152.

92. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов - М.: «Дело Лтд.», 1995. - 320 с.

93. Четыркин Е.М. Пенсионные фонды. Зарубежный опыт для отечественных предприятий, актуарные расчеты. - М.: АО «Арго», 1993. - 100 с.

94. Чечельницкий A.A., Кучеренко О.В. Стационарные характеристики параллельно функционирующих систем обслуживания с двумерным входным потоком // Сборник научных статей. Минск, 2009. - Т. 2. - С.262-268.

95. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367 с.

96. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применения, 1994. - Т. 39. -Вып. 1.-С. 5-22.

97. Щеклеин B.C. Моделирование информационных систем: конспект лекций. - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - 46 с.

98. Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с.

99. Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного и распределенного программирования. : Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильяме», 2003.-512 с.

100. Adán I., Resing J. Queueing theory. - Eindhoven university of technology, 2002.-180 p.

101. Berry R. Queueing theory // Operat. Res. Quart. - №6(3). - P. 263-278

102. Clunies-Ross C., Husson S.S. Statistical techniques in circuit optimization // Proc. Nat. Electron. Conf., Chicago, 111.,1962. - P. 325-334

103. Erlang A.K. Probability and telephone calls//Nyt. Tidsskr. Mat., 1909. - Ser. B, vol. 20.-P. 33-39.

104. Ghosal A. Queues in series // J Roy. Statist. Soc., 1962. - V.24.-№2. - P. 359-363.

105. Gupta S.K. Queues with hyper-Poisson input and exponential service time distribution with state dependent arrival and service rates // Operat. Res. Quart., 1967.-V.15.-№5-P. 847-856

106. Hunt G.C. Sequential arrays of waiting lines // Operat. Res. Quart., 1956. -V.4. - №6 - P. 674-683.

107. Jackson R.R.P. Queueing systems with phase type service // Operat. Res. Quart., 1954. - V.5. - №4 - P. 109-120.

108. Jackson J.R. Jobshop - like queueing systems // Manag. Sci., 1963. - V.10. —№1. — P. 131-142.

109. Karlin S., McGregor J.L. Many-server queueing processes // Pacific J. Math., 1958. - №8.-P. 87-118.

110. Kendal D.G. Some recent work and further problems in the theory of queues // Теория вероятностей и ее применения, 1964. - Т. IX. - Вып.1.- С. 3-15

111. Myers P.J. Monte-Carlo: reliability tool for design engineers // Proc. 9th Nat. Sympos. Reliabil. and Quel. Control. San Francisco, Calif., 1963. - NY.: Inst. Radio Engrs., 1963. - P. 487-592.

112. Naor P. Normal approximation to machine interference with many repayment //J Roy. Statist. Soc., 1957. - V.19.-№2. - P. 334-341

113. Pechinkin A., Svischeva T. The stationary state probability in the BMAP/G/l/r queueing system with inverse discipline and probabilistic priority // Transactions of XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. Jurmala, Latvia. September 10-17, 2004. - P. 141-147.

114. Ridley A. D., Massey W., Fu M. Fluid approximation of a priority call center with time-varying arrivals // The telecommunications review, 2004. - P. 6977.

115. Steer D.T. Feasibility financial studies of a port installation // Operat. Res. Quart., 1961.-V. 12. -№3 .

116. Tirtiroglu E., Elbeck M. Qualifying purchase intensions using queueing theory // Journal of applied quantitative methods, 2008. - Vol. 3, №2. - P. 167178.