Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лопухова, Светлана Владимировна

• Лопухова, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лопухова, Светлана Владимировна

Оглавление.

Введение.

Глава 1 Метод асимптотического анализа случайных потоков однородных событий в условии растущего времени.

1.1 Определение и математическая модель марковски модулированного пуассоновского потока (ММР-потока).

1.2 Уравнения Колмогорова для вероятностных характеристик пуассоновского потока.

1.3 Исследование пуассоновского потока методом асимптотического анализа в условии растущего времени.

1.4 Исследование допредельной модели ММР-потока с двумя состояниями.

1.5 Метод асимптотического анализа ММР-потока с двумя состояниями в условии растущего времени.

1.5.1 Асимптотика первого порядка.

1.5.2 Асимптотика второго порядка.

1.5.3 Асимптотика т-то порядка.

1.6 Теорема Шлёзингера-Биркгофа и её применение в асимптотическом анализе случайных потоков однородных событий.

1.7 Аппроксимация допредельного распределения числа событий, наступивших за время /.

1.8 Численные результаты.

Резюме.

Глава 2 Исследование МАР-потока.

2.1 Определение и математическая модель МАР-потока.

2.2 Асимптотика первого порядка.

2.3 Асимптотика второго порядка.

2.4 Асимптотика т-то порядка.

2.5 Аппроксимация допредельного распределения числа событий, наступивших в МАР-потоке за время t.

Резюме.

Глава 3 Исследование полумарковского потока событий.

3.1 Определение и математическая модель рекуррентного потока.

3.2 Определение и математическая модель потока марковского восстановления.

3.3 Определение и математическая модель полумарковского потока.

3.4 Исследование полумарковского потока событий методом асимптотического анализа в условии растущего времени.

3.4.1 Асимптотика первого порядка.

3.4.2 Асимптотика второго порядка.

3.4.3 Асимптотика третьего порядка.

3.5 Асимптотические семиинварианты рекуррентного потока.

Резюме.

Глава 4 Исследование допредельных моделей специальных потоков однородных событий. Численные реализации.

4.1 Исследование допредельной модели МАР-потока однородных событий.

4.2 Исследование допредельной модели полумарковского потока.

4.3 Численные результаты.■.

Резюме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий»

В настоящее время теория массового обслуживания получила существенное развитие. Если первоначально наибольший интерес у исследователей вызывали вопросы обслуживания абонентов телефонной станции [30], [35], то сейчас можно с уверенностью утверждать, что такого типа задачи возникают в самых различных направлениях: в экономике, технике, транспорте и, главным образом, в информационных технологиях, стремительное развитие которых вызывает большой рост требований к телекоммуникационным системам. По мере усложнения реальных систем, возникает проблема выбора методов и способов их исследования. Главным образом возникает проблема приближения условий, в которых существуют описывающие реальные процессы математические модели, к истинной картине изучаемых явлений.

В связи с этим, возникает проблема расширения класса математических моделей потоков однородных событий. Зачастую классические модели случайных потоков событий (пуассоновских и рекуррентных) не могут быть адекватны реальным информационным, телекоммуникационным потокам [36]. Экспериментальная проверка, предпринятая в различных областях знаний, показала, что простейший поток наблюдается, не так часто, как это предполагалось первоначально [30]. Действительно, гипотеза отсутствия последействия во многих случаях должна считаться недостаточно обоснованной. Имеются многочисленные явления, в которых наступление одного события влечет за собой появление других.

Проблема существенного расширения класса математических моделей случайных потоков однородных событий, а также развитие методов их исследования является весьма важной и актуальной.

Множество математических моделей случайных потоков условно разделим на классические, изучаемые в стандартных курсах теории массового обслуживания и теории вероятностей [3, 4, 6, 7, 14-16, 21, 22, 28-30, 38, 40, 43-47,

68, 80, 83, 84, 87], и неклассические, используемые в оригинальных научных исследованиях.

К классическим моделям отнесем модели пуассоновского и рекуррентного потоков [28-30, 45, 67, 73, 74, 80, 81, 87].

Ряд работ прошлого века посвящен изучению пуассоновского потока. В работе Е. Марчевского [107] установлено усиленное свойство отсутствия последействия. В работе Т. Нисиды [109] исследуются некоторые функционалы от пуассоновского потока, в частности расстояния от произвольного момента t до события потока, определяемого некоторым дополнительным условием. Т. Хида [102] изучал распределение максимального интервала между событиями пуассоновского потока и получил ряд предельных теорем. Полезное для приложений в теории массового обслуживания асимптотическое разложение, связанное с законом Пуассона, получено Л.Ф. Китаниным [42]. Подробно исследован пуассоновский поток в работе Д. Кокса и П. Льюиса [47].

Достаточно большое количество работ посвящено исследованию систем массового обслуживания с пуассоновским и рекуррентным входящими потоками. Такие системы массового обслуживания исследуются в книгах Б.В. Гнеден-ко, И.Н. Коваленко [30], А. Я. Хинчина [87], в статьях. П.П. Бочарова [13], Ч. Д'Апиче, А.В. Печинкина [11], В.В. Чаплыгина [89], А. Двуреченского, Г.А. Ососкова [33] и работах других авторов [17, 26, 27, 37, 99].

Исследованию рекуррентного потока событий посвящено не меньшее количество работ. В книге Д. Кокса, В. Смита [45] подробно исследуется рекуррентный поток событий как основная и наиболее простая модель теории восстановления. Данная теория получила многочисленные применения в ряде направлений исследования — теории надежности, теории массового обслуживания, теории запасов и многих других приложениях. Результаты теории восстановления являются мощным средством исследования как теоретических, так и прикладных проблем. Часто применение того или иного факта теории восстановления позволяет очень просто получать результаты, которые сложно и трудно получить при другом подходе.

Теория восстановления берет свое начало с изучения частных задач, связанных с отказами и восстановлением элементов. Позже стало ясно, что те же самые задачи возникают в других приложениях теории вероятностей. Более того, основные математические теоремы теории восстановления представляют самостоятельный интерес, как для самой теории вероятностей, так и для ее приложений.

Следуя необходимости создания адекватных моделей различных явлений и систем, многие исследователи разработали схемы потоков событий, при помощи которых можно учитывать различные реальные факторы и, в частности, зависимость между поступающими требованиями. В книге [30] Б.В.Гнеденко, И.Н. Коваленко, изданной в 2007, такие потоки названы специальными потоками однородных событий. В 1955 году Д. Кокс [96] предложил рассматривать потоки, интенсивность которых зависит от состояний управляющего потоком процесса. Такой поток был назван прог(ессом Кокса. Позже были даны общие определения такого потока [111, 112].

Впервые понятие марковского потока однородных событий (Markovian Arrival Process) было введено Ньютсом в 1979 году [108], а затем во время нового всплеска исследований уточнено Лукантони [105,106]. Описание этого потока однородных событий можно найти в работах Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [30], А.Н. Дудина [34], А.А. Назарова [72]. Данный поток широко применим при исследовании СМО. Так, например, в работах [9, 10, 12, 24, 25, 70, 78, 92-94, 100, 104] рассматриваются системы, в которых на входе - МАР-поток. Непосредственно исследованию самого МАР-потока посвящена работа [90].

Одним из наиболее распространенных частных случаев МАР-потока является марковски модулированный пуассоновский поток событий (ММР-поток) [30,106].

В терминах различных математических школ МАР-потоки также называются дважды стохастическими потоками, которые были введены в 1964 году Кингменом [103]. В таких потоках, во-первых, интервалы времени между наступлениями событий являются случайными, во-вторых, с течением времени интенсивность потока меняется случайным образом. Частными случаями дважды стохастических потоков [24, 31, 34, 101] являются альтернирующие [45, 55], синхронные [18, 19] и полусинхронные потоки [32], рассматриваемые A.M. Горцевым и его учениками с целью оценки параметров этих потоков.

Наиболее общим потоком однородных событий является полумарковский поток (Semi-Markovian process) [51]. Идея введения такого потока была выдвинута Леви (1954) и Смитом (1955). В книге Д. Кокса, В. Смита [45] наряду с исследованием простого процесса восстановления (рекуррентного потока) представлен альтернирующий процесс восстановления, модель которого может быть обобщена на случай полумарковского потока или его частного случая -потока марковского восстановления (Markovian renewal process). Системы массового обслуживания с таким входящим потоком интенсивно изучаются в настоящее время [79, 88, 95, 97, 98, 110].

Для изучения потоков однородных событий и систем массового обслуживания существуют различные методы исследования, одним из которых является метод асимптотического анализа [1, 2, 5, 71, 72]. Наряду с этим, среди всех возможных методов исследования наиболее предпочтительными являются те методы, которые позволяют получить аналитическое распределение вероятностей, которое наиболее полно описывает модель и позволяет найти ее другие характеристики.

Цель и задачи исследования. Основной целью данной работы является классификация и определение различных моделей специальных потоков однородных событий, разработка метода асимптотического анализа повышенной точности и исследование допредельных моделей рассматриваемых потоков однородных событий, которое позволит найти распределение вероятностей числа событий, наступивших в потоке за определенное время.

Таким образом, поставлены следующие задачи:

1. Классификация и определение различных моделей специальных потоков однородных событий;

2. Развитие метода асимптотического анализа для исследования моделей потоков специального вида;

3. Разработка метода асимптотического анализа повышенной точности, который может применяться для исследования рассматриваемых моделей потоков однородных событий;

4. Модификация асимптотического метода для решения систем дифференциальных уравнений для характеристических функций числа событий, наступивших в рассматриваемом потоке;

5. Исследование допредельных моделей специальных потоков однородных событий.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Выполнена марковизация математических моделей специальных потоков однородных событий, а именно модели марковски модулированного пу-ассоновского потока событий (ММР-потока), МАР-потока, рекуррентного потока, потока марковского восстановления (MR-потока) и полумарковского потока однородных событий (SM-потока). Для полученных моделей определены распределения вероятностей, для которых составлены системы дифференциальных уравнений Колмогорова и записаны системы дифференциальных уравнений для характеристических функций числа событий, наступивших в исследуемом потоке за определенное время.

2. Разработан новый метод исследования моделей потоков однородных событий - модифицированный метод асимптотического анализа решения систем дифференциальных уравнений Колмогорова для характеристических функций, позволяющий найти распределение вероятностей числа событий, наступивших в потоке.

3. Получен метод асимптотического анализа потоков однородных событий повышенной точности путем нахождения асимптотик более высокого порядка.

4. Найдены допредельные распределения вероятностей числа событий, наступивших в потоках за определенное время в виде интегральных преобразований.

Методы исследования. Основная часть исследований носит теоретический характер и основана на рассмотрении различных математических моделей потоков однородных событий специального вида. В ходе исследования рассмотренных моделей потоков применялся аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории восстановления, теории массового обслуживания, теории возмущений. В работе использовался метод асимптотического анализа повышенной точности. Для определения области применимости допредельных и асимптотических результатов применялись численные расчеты на основе полученных формул.

Результаты, представленные в работе, имеют как теоретическое, так и практическое значение.

Теоретическая ценность работы отражается в дальнейшем развитии теории восстановления и теории массового обслуживания, заключающемся в расширении классов моделей потоков однородных событий и методов их исследования, а также в обобщении полученных ранее результатов асимптотического анализа на более сложные случаи и асимптотики более высокого порядка.

Практическая ценность разработанного модифицированного метода асимптотического анализа повышенной точности заключается в возможности 1 применения его для исследования широкого класса задач анализа и оптимизации работы различных систем массового обслуживания, входящими потоками которых являются специальные потоки однородных событий.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ, из них 2 статьи [5,16] в журналах списка ВАК:

1. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование моментов высших порядков MP-потока, управляемого эргодической цепью Маркова // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции. - Томск, 2005. - Ч. 2. - С. 10-12.

2. Лопухова С.В., Назаров А.А. Численный алгоритм нахождения распределения вероятностей для МСМР-потока // Вестник Томского государственного университета. Серия Информатика. Кибернетика. Математика. — 2006. - Приложение №16. - С. 113-119.

3. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование МСМР-потока асимптотическим методом третьего порядка // Вестник Кемеровского государственного университета. Серия Математика. - 2005. - Вып. 4 (24). - С. 218-227.

4. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование моментов высших порядков МАР-потока, управляемого эргодической цепью Маркова // Научное творчество молодежи: Материалы X Всероссийской научно-практической конференции. - Томск, 2006. - Ч. 1. - С. 156-158.

5. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование МАР-потока методом асимптотического анализа N-ro порядка // Вестник Томского государственного университета. Серия Информатика. Кибернетика. Математика. - 2006. - № 293. -С. 110-115.

6. Назаров А.А., Лопухова С.В. Исследование МАР-потока методом асимптотического анализа второго порядка // Проблемы кибернетики и информатики: Материалы международной конференции. - Баку, 2006. - Т. 1. -С. 201-204.

7. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом первого порядка // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы V Международной научно-практической конференции. - Томск, 2006. - Ч. 1 - С. 121-123.

8. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка // Вестник Томского государственного университета. Серия Информатика. Кибернетика. Математика. - 2006. - Приложение №19. - С. 178-183.

9. Назаров А.А., Лопухова С.В. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка // ММПЭИТС: Материалы международной научной конференции. - Минск, 2007. - С. 170-174.

10. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование рекуррентного потока // Вестник Томского государственного университета. Серия Управление, вычислительная техника и информатика. — 2007. — №' 1. — С. 67—76.

11. Лопухова С.В. Исследование моментов рекуррентного потока // Научное творчество молодежи: Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции. Томск, 2007. - Ч. 1. — С. 34—37.

12. Лопухова С.В. Исследование полумарковского потока асимптотическим методом третьего порядка // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы VI Международной научно-практической конференции. Томск, 2007. - Ч. 2. — С. 30-34.

13. Лопухова С.В. Моделирование задачи оценивания длительности мертвого времени и параметров альтернирующего потока событий // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Материалы заочной Всероссийской научно-практической конференции / ТГПУ. - Томск, 2007. -С. 5-17.

14. Лопухова С.В. Исследование ММР-потока событий // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. - Красноярск, 2008. - С. 50.

15. Лопухова С.В. Исследование ММР-потока асимптотическим методом в условиях растущего времени // Научное творчество молодежи: Материалы XII Всероссийской научно-практической конференции. - Томск, 2008. -Ч. 1.-С. 31-32.

16. Назаров А.А., Лопухова С.В., Гарайшина И.Р. Исследование полумарковского потока событий // Вычислительные технологии, 2008. - Т 13. — Спецвыпуск 5. - С. 56-62.

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1. IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск, 2005 г.

2. X Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 2006 г.

3. Международная конференция «Проблемы кибернетики и информатики». г. Баку, 2006 г.

4. V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск,

2006 г.

5. Международная научная конференция «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей», г. Минск, 2007.

6. XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск. 2007 г.

7. VI Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование», г. Анжеро-Судженск,

2007 г.

8. Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания», г. Томск, 2007 г.

9. VII Всероссийская конференция по финансово-актуарной математике и смежным вопросам, г. Красноярск, 2008 г.

10.XII Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», г. Анжеро-Судженск, 2008 г.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе строится математическая модель ММР-потока [57-61] и рассматриваются его два наиболее простых частных случая — стационарный пу-ассоновский поток и ММР-поток с двумя состояниями, на примере которых сформулированы основные идеи метода асимптотического анализа в условии растущего времени случайных потоков однородных событий и показана математическая корректность применяемых предельных переходов и асимптотических разложений.

Асимптотическое условие растущего времени определим следующими условиями. Пусть Т — неограниченно возрастающая положительная величина. Равенство t-Tx, определяющее зависимость времени t от «медленного времени» т [52], будем называть асимптотическим условием растущего времени, так как для любого фиксированного значения т > О значение t неограниченно возрастает.

Все рассмотренные асимптотики данной диссертации реализованы в условии растущего времени.

При исследовании ММР-потока с двумя состояниями, была построена математическая модель его основной характеристики n(t) — числа событий, наступивших в потоке за время t. Так как процесс n(t) не является марковским, то ввели процесс \k(t),n{t)}, который является двумерной цепью Маркова с непрерывным временем, здесь k{t) - управляющая ММР-потоком цепь Маркова с двумя состояниями. Для вероятностей P{k(t) = k,n(t) = n}= P(k,n,t) получена система дифференциальных уравнений Колмогорова -(Xl+ql )Р{ 1, п, t) + Х,Р(1, и-1,0+ Ч2Р(2, п, t), dt дР(2>п>*) = -(X2+q2)р(2,п,t) + Х2Р(2,п -. 1,t) + qxP{1,п,t). dt

Частное решение этой системы для стационарного ММР-потока определяется следующими начальными условиями

О, если п > О,

Р{2,п,0) = i?(l), если п = О, 0, если п > 0, [Я (2), если п = 0, где {r(\),R(2)} - стационарное распределение вероятностей значений цепи Маркова k(t) имеет вид l) =

Чг

2) = . qx+q2

Обозначим функции

00 00

H(k,u,t) = ^eJ""P(k,u,t) = Y,eJU"pHt) = n I k(t)=k}p{k(t) = k} =

1=0 rt=0 P{k(t)=k}M^jun{t)\k(t) = k}=R(k)M^Jun{0 | £(')=*}> где j = лРТ — мнимая единица, которые будем называть функции, аналогичные характеристическим.

Для этих функций из системы дифференциальных уравнений Колмогорова и начальных условий получили следующую задачу Коши eju -1 )-q2]н(2,и,t), dt

N(l,u,0) = R(l), H(2,u,0) = R(2).

Общее решение системы уравнений этой задачи имеет вид

Я(2, и, t) = C,V2eait+ С2е^, в которых Ск определяются равенствами

- равенствами 1, V® = -- К (> -l)- qx - 04 (М)}= Г2(и),

Чг

Vx{2) (eJU -1)- q2 - a2 (u)}= Fj (4 F2(2) = 1, характеристические числа a* являются решениями квадратного алгебраического уравнения

1 = а,(и) = i{(X, + Х2ieJU -1 )~(ql+q2) + + ~ 0- fa + ЧгШ + + ^" ~ ^ }, а2 = а2 (м) = | {(А,! + Хг){eju -l)- (qx + q2)

2)]2 +4{^2 + \2qxpU-if }•

Найденные функции H{k,u,t) определяют характеристическую функцию h{u,t) числа «(О событий, наступивших в рассматриваемом потоке за время t, следующим равенством h(u, t) = H(l, и, t) + Н{2, и,

Рассмотренный ММР-поток с двумя состояниями является наиболее простым из класса ММР-потоков, а также других классов специальных потоков однородных событий. И даже для наиболее простого потока полученные формулы достаточно громоздкие. Поэтому естественно возникает необходимость развития других методов исследования потоков и, прежде всего, метода асимптотического анализа как для ММР-потоков, так и для более сложных потоков других классов.

При асимптотическом исследовании предложены замены, которые позволяют от задачи Коши для функций H(k,u,i) перейти к сингулярно возмущенной по малому параметру 8 задаче для функций F(k,w, т,е).

Из-за наличия сингулярностей решение F(k,w, т,е) сингулярно возмущённой задачи, как правило, не имеет предела при е~>0, либо пределом является нулевое' значение, поэтому его даже приближённо нельзя выразить через решение предельной невозмущённой задачи. Но в отличие от стандартной ситуации, сингулярно возмущённые задачи, рассматриваемые в данной диссертации, обладают некоторыми исключительными особенностями, которые приводят к тому, что для решения F(k,w, t,s) сингулярно возмущенной задачи существует при s—>0 предел F(k,w, т), который определяется решением предельных невозмущённых задач.

Особенности асимптотического исследования рассмотрены в доказательствах лемм 1—9 первой главы. Основным результатом вышеприведённых рассуждений являются формулы для пределов F(k,w,т) при в—»0 решения F(k,w, т,е) сингулярно возмущённой задачи, полученные предельным переходом в формулах, определяющих явное выражение для их решения.

Этот же результат можно получить, применяя метод асимптотического анализа, не решая достаточно сложную сингулярно возмущенную задачу.

Идеи самого метода асимптотического анализа изложены в доказательствах теорем 1 и 2 первого раздела диссертации.

В главе 2 рассмотрен МАР-поток [56, 62, 75], для которого, аналогично главе 1, определена математическая модель его основной характеристики n(t) — числа событий, наступивших в потоке за время t. В силу того, что процесс n(t) не является марковским, определили двумерный процесс \lc{t),n{t)}, который является цепью Маркова с непрерывным временем, здесь k(t) - управляющая МАР-потоком цепь Маркова. Для вероятностей P{k(t) = k,n(t) = n}= P(k,n,t) получена система дифференциальных уравнений Колмогорова = (p(k,n-l,t)-P(k,n,t))Xk + dt к J]{p(v,n-1,t)dvk +P(v,n,0(1 -dvk)}qvk , v при заданном начальном условии, где R(k) - стационарное распределение вероятностей состояний цепи Маркова k{t)

P(k,0,0) = R(k), \p{k,n,0)=0, n> 1.

Для функций, аналогичных характеристическим, записана задача Коши в матричном виде

Н{и,6) = R, где R = {i?(l),i?(2 ),.} — вектор-строка стационарного распределения вероятностей состояний цепи Маркова k(t), Q - матрица инфинитезимальных характеристик цепи Маркова k(t), управляющей потоком, матрица В - сумма двух матриц А и А, где А - диагональная матрица с элементами Як на главной диагонали, а матрица A = D*Q - есть произведение Адамара [69] двух матриц D и Q, здесь D - матрица с нулевыми элементами на главной диагонали и элементами dk вне главной диагонали. Тогда характеристическая функция числа n(t) событий, наступивших в рассматриваемом потоке за время t, имеет вид

MeMt) = = h(ll,t\ здесь Е — единичный вектор-столбец.

Для исследования модели предложен модифицированный метод асимптотического анализа, который был проведен в условии растущего времени. Особенность метода заключается в том, что рассматривается система уравнений для функций H(u,t), аналогичных характеристическим, а не для распределений вероятностей.

В разделе 2.2 предложены замены, позволяющие выполнить асимптотический анализ системы для функций, аналогичных характеристическим и найти асимптотику первого порядка hl(u,t) = eJWClt допредельной характеристической функции MeJm{t) , где величина Kt определяется равенством Kj = RBE.

Наиболее принципиальной частью модификации метода асимптотического анализа являются замены

H(u,t)=eJUKl'H2{u,t),

H2(u,t)-e 2 2 H3(u,t), f /. ул-l л \m v- j позволяющие, реализуя выкладки соответствующих разделов главы 2, находить асимптотики hm(u,t) все более высоких порядков т. Здесь величины кт определяются из рекуррентной последовательности

Kj = RBE, где векторы fi удовлетворяют условию f,E = О и являются решениями последовательности неоднородных систем уравнений

В разделе 2.5 сформулирован алгоритм построения аппроксимации второго порядка допредельного распределения применением асимптотики второго порядка h2(u,t), который обобщается на случай произвольного порядка аппроксимации. Показано, что аппроксимации четвертого и более высокого порядков могут не существовать, при этом аппроксимации еще более высоких порядков существуют.

Асимптотика т-го порядка hm(u,t) для допредельной характеристической функции Mejun{t) имеет достаточно простой вид и определяется лишь параметрами к,., i = l,m, которые при t = 1 имеют смысл семиинвариантов числа событий наступивших в МАР-потоке за единицу времени. При t Ф1 асимптотические семиинварианты к{ пропорциональны длине t интервала наступления событий в потоке.

Так как МАР-поток является общим потоком, как для исследованного в первой главе ММР-потока, так и для синхронного МАР-потока, рекуррентного

2(0 + Л(В-к1/) = О, ftQ + R(B- к м/)+X C,Vv*i (В - км„/) = 0. v=1

-7Г

РН-потока и полумарковского РН-потока [72], то результаты второй главы могут быть применимы для исследования этих частных случаев МАР-потока.

В главе 3 рассматриваются полумарковские потоки однородных событий, а именно рекуррентный поток событий как самый простой частный случай полумарковского потока [54, 64], поток марковского восстановления (Mark-ovian renewal process) [63, 65, 76] и полумарковский поток однородных событий (Semi-Markovian process) [53, 77].

В разделе 3.1 и 3.2 рассмотрены математические модели рекуррентного потока событий и потока марковского восстановления, для распределения вероятностей числа событий наступивших в которых были составлены системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Исследование этих потоков не проводилось, так как они являются частными случаями общего полумарковского потока.

Задачей исследования полумарковского потока является определение распределения вероятностей P(n,t) = P{n(t) = п), при стационарном функционировании вложенной эргодической цепи Маркова Очевидно, процесс n{t) является немарковским, поэтому определили еще два случайных процесса: z(t) — длину интервала от момента времени t до момента наступления очередного события в рассматриваемом потоке, s(t) - непрерывный слева процесс с непрерывным временем, значения которого на интервале (tn, tn+x ] постоянны и определяются равенствами = + В силу сделанных определений, случайный процесс является трехмерным марковским процессом с непрерывным временем, поэтому для его распределения вероятностей n(t) = n,z(t)<z], нетрудно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова dP{s, п, z, t) dP(s, п, z, t) dP(s, п,0, t) | дР(у,п -1,0, t) ^ ^ dt dz dz ^ dz оо

Обозначим H(s,u,z,t) = ^eJU"P(s,n,z,t), тогда п=0 dH(s , и, z, t) dH{s, u, z, /) w,0, t) + ул дН(у, и,0, i)^ ^ ^

З/1 dz dz Z^i dz к

Обозначим строку вектор функцию H(u,z,t) = {H(l,u,z,t),H(2,u,z,t),.}, так же матрицу A(z) с элементами А^к (z), тогда полученную систему перепишем в матричном виде

6H(u,z, i) = dH(u,z,t) dH(u,0,t) Ljua( ^ Л dt dz dz ~ Kz) где / — единичная матрица, a R{z) — стационарное распределение двумерного марковского процесса {s^f),^)}. Решение матричного уравнения удовлетворяет начальному условию H(u,z,0) = R(z).

Выполнен асимптотический анализ SM-потока, найдена асимптотика первого порядка h{(u,t)= eJUKl', где величина К[ определяется равенством

1 °° = —-, где А= Г(Р- A(x))dx. vAH J rAE г - стационарное распределение вероятностей вложенной цепи Маркова п) с дискретным временем, которая определена матрицей Р. Асимптотика второго порядка определяется в виде

2 (и, t) = ехр juf где t

К2=К,+2/2'(0)Е,

Е - единичный вектор-столбец, вектор-строка /2 (0) является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

-/)= к,,(М-/), где матрица А(2) определяется равенством ии

А™ = jx2dA(x).

Асимптотика третьего порядка допредельной характеристической функции Mejun{t) имеет вид h3(u,t) = exр jwixt ■ juf ( juf 2! 3! где величины Kj и к2 определены выше, а величина к3 определяется равенством к3=к1+3/2'(0)£ + 3/з'(0)£, здесь вектор-строка /3 (о) является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Уз' (0)(/> - /) = 2/2' (оХк.Л - />) - к,г + к, (2к, + к2 )гЛ - к\гАт, (О)АЕ = 1 + .^// (0)+Hfry»E -^-ГА<3>£, где матрица А(3) определяется равенством

А(3) = fx3dA(x),

Используя полученные формулы для нахождения асимптотик первого, второго и третьего порядков, нашли аппроксимации соответствующих порядков 1 — kJ""hm(u,t)du, т = 1,2,3.

VTT J гк

-71

Полученные формулы для исследования полумарковского потока могут быть использованы для исследования рекуррентного потока и потока марковского восстановления.

В главе 4 рассмотрены допредельные модели исследуемых в работе потоков однородных событий. Полученные в данной главе равенства, определяют распределение вероятностей P(n,t), числа событий наступивших в МАР-потоке p(n, t) = — \e~jatR((B -Q- jal)'1 Bj{B-Q- jal)~l Eda,

2% J n и в SM-потоке

CO . ybdy,

Z7C V

-00 J i>M = f^ ]Л(1 -«'"Й- A-iyjfA^VWy,

-00

00 где Л*(а) = \eJa2dA(z). о

Численная реализация допредельных формул позволяет определить значения вероятностей для достаточно широкого класса значений параметров, определяющих потоки и значений t. Но естественно, что возможности численных реализаций ограничены вычислительными ресурсами.

На проблему выбора способа исследования потока: численное нахождение допредельного распределения вероятностей числа событий наступивших в потоке или асимптотическое исследование, - влияет область применимости каждого из способов исследования. Эти области взаимно дополняют друг друга, так как численное исследование реализуемо при значениях величины ограниченной сверху, то асимптотическое исследование дает все меньшую точность с увеличением значений величины к^. Для достаточно больших значений к,/ асимптотический метод остается единственно возможным. Так же важен порядок аппроксимации - чем он выше, тем более точные результаты дает метод асимптотического анализа.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лопухова, Светлана Владимировна

Заключение

В представленной диссертационной работе предлагается новый метод исследования математических моделей потоков, а именно, модели марковски модулированного пуассоновского потока событий (ММР-потока), МАР-потока, и полумарковского потока однородных событий (SM-потока). Для представленных потоков выполнена процедура марковизации и для соответствующего распределения вероятностей составлены системы дифференциальных уравнений Колмогорова и записаны системы дифференциальных уравнений для характеристических функций числа событий, наступивших в исследуемом потоке за определенное время. Предложен модифицированный метод асимптотического анализа наряду с допредельным решением систем уравнений для характеристических функций.

В первой главе на примере ММР-потока и пуассоновского потока сформулированы основные идеи метода асимптотического анализа в условии растущего времени случайных потоков однородных событий и показана математическая корректность применяемых предельных переходов и асимптотических разложениях.

В главе 2 был исследован МАР-поток. Наиболее принципиальной частью модификации метода асимптотического анализа являются переход к уравнениям для характеристических функций и замены, позволяющие, реализуя выкладки соответствующих разделов этой главы, находить асимптотики все более высоких порядков. Сформулирован алгоритм построения аппроксимации второго порядка P2(n,t) допредельного распределения применением асимптотики второго порядка h2(u,t), который обобщается на случай произвольного порядка аппроксимации. Показано, что аппроксимации четвертого и более высокого порядков могут не существовать, при этом аппроксимации еще более высоких порядков существуют.

Одним из основных результатов этой главы является тот факт, что асимптотика т -го порядка hm (и, t) для допредельной характеристической функции

MeJun{t) имеет достаточно простой вид.

Класс МАР-потоков является общим, включающим классы исследованных в первой главе ММР-поток, класс синхронных МАР-потоков, класс рекуррентных РН-потоков и класс полумарковских РН-потоков. Таким образом, полученные результаты в этой главе могут быть применимы для исследования всех перечисленных классов потоков однородных событий.

В главе 3 рассматривается полумарковский поток однородных событий, который является общим потоком, как для рекуррентного потока, так и для потока марковского восстановления, математические модели которых также рассмотрены в данном разделе диссертации. Выполнен асимптотический анализ SM-потока, найдены асимптотики первого, второго и третьего порядков hm(u,t), т = 1,2,3 допредельной характеристической функции MeJU"{t). Полученные формулы для исследования полумарковского потока могут быть использованы для исследования рекуррентного потока и потока марковского восстановления. Аналогично главам 1 и 2, строятся аппроксимации второго и третьего порядков P2(n,t) и P3(n,t) допредельного распределения применением асимптотики второго h2(u,t) и третьего h3{uj) порядков соответственно. Аналогично исследованию МАР-потока, вместо аппроксимации второго порядка для SM-потока целесообразно использовать гауссовскую аппроксимацию.

В главе 4 получены формулы, определяющие в квадратурах допредельное распределение вероятностей P(n,t), числа событий наступивших в МАР-потоке, SM-потоке и их частных случаях. Численная реализация формул (4.1), (4.5), позволяет определить численные значения вероятностей для достаточно широкого класса параметров, определяющих потоки и значений t. При малых значениях величин к^ рекомендуется использовать формулы, полученные в главе 4, а асимптотические результаты будут тем ближе к допредельным, чем больше величина к^ и выше порядок аппроксимации.

Таким образом, результаты работы имеют как теоретическое, так и практическое значение. Теоретическое значение заключается в дальнейшем развитии теории восстановления, теории массового обслуживания и их аналитических методов, а именно

1. Разработанный новый метод исследования моделей потоков однородных событий - модифицированный метод асимптотического анализа решения систем дифференциальных уравнений Колмогорова для характеристических функций, позволяет найти распределение вероятностей числа событий, наступивших в потоке, - может быть применим не только для исследования потоков, но и при изучении различных систем массового обслуживания.

2. Получен метод асимптотического анализа исследования потоков однородных событий повышенной точности путем нахождения асимптотик более высокого порядка. Найдены решения дифференциальных уравнений в виде интегральных преобразований для функций, аналогичных характеристическим, позволяющие определить допредельное распределение вероятностей числа событий, наступивших в потоке за определенное время, которое наиболее полно характеризует поток.

Прикладное значение работы заключается в перспективе использования полученных результатов для решения задач анализа и исследования как систем массового обслуживания, так и классов потоков, функционирующих в особых условиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лопухова, Светлана Владимировна, 2008 год

1. Анисимов В.В Асимптотические методы анализа стохастических систем. Тбилиси: Мицниереба, 1984. - 178 с.

2. Баранцев Р.Г. Перспективные идеи в асимптотической методологии. Автообзор // Вестник молодых ученых. Серия Прикладная математика и механика. 2000. - С. 27-35.

3. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. - 511 с.

4. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 41.- 1979. № 6. - С. 92-99.

5. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 4 2.- 1980. -№1. С. 55-61.

6. Большаков И.А., Раношиц B.C. Прикладная теория случайных потоков. М.: Сов. радио, 1978. - 248 с.

7. Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980. - 381 с.

8. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд. СПб.: изд. «Лань», 2002. — 256 с.

9. Бочаров П.П. Система МАР/Г/1/r в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 11. - С. 89-98.

10. Бочаров П.П., Вискова Е.В. Однолинейная система массового обслуживания конечной емкости с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 2. - С. 73-91.

11. Бочаров П.П., Д'Апиче Ч., Печинкин А.В. Система массового обслуживания G/MSP/1/r // Автоматика и телемеханика. — 2003. № 2. - С. 127— 143.

12. Бочаров П.П., Шлумпер JI.O. Система массового обслуживания MAP/G/1/r с фоновыми заявками // Информационные процессы. 2005. - Т. 5, №5.-С. 367-369.

13. Бочаров П.П., Павлова О.И., Пузикова Д.А. Система M/G/1/r с повторными заявками и приоритетным обслуживанием первичных заявок // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Прикладная Математика и информатика. 1997. - № 1. - С. 37-51.

14. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. — М.: Изд-во РУДН, 1995. 529 с.

15. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ; Лаборатория Базовых знаний, 2003.- 400 с.

16. Буримов А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А. Теория массового обслуживания: учебное пособие по спецкурсу. Гродно, 1984.

17. Бушланов И. Алгоритм оценки параметров синхронного дважды стохастического потока событий // Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей: Материалы международной научной конференции. Минск, 2005. С. 26-31.

18. Бушланов И. Оптимальная оценка параметров синхронного потока событий // Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей Материалы международной научной конференции. Гродно, 2007. С. 29-34.

19. Вавилов В.А. Исследование математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 2006. - 158 с.

20. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник для вузов. 5-е изд. — М.: Высш. шк., 1998. 576 с.

21. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991.

22. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / гл. ред. Прохоров Ю.В. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - С. 239, 244.

23. Вискова Е.В. Анализ систем массового обслуживания с марковским потоком и Марковским обслуживанием в дискретном времени: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2005. - 122 с.

24. Вискова Е.В. Двухфазная система массового обслуживания с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени // Информационные процессы. 2005. - Т. 5, № 3. - С. 247-257.

25. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.1. -М.: Наука, 1971.-567 с.

26. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник. 6-е изд. М.: Наука, 1988.-448 с.

27. Гнеденко Б.В. Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 4-е изд. М.: изд-во ЛКИ. - 2007. - 400 с.

28. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Автоматика и телемеханика. 1999. — № 1. — С. 52-66.

29. Двуреченский А.О., Ососков Г.А. О предельных свойствах обобщенной системы массового обслуживания с бесконечным числом каналов // Техническая кибернетика. 1985. — № 4. - С. 60-64.

30. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Мн.: БГУ, 2000. - 175 с.

31. Ивченко Г.И., Каштанов, В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.

32. Ильницкий С. Влияние эффекта самоподобности на работу сетевых серверов // Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей: Материалы международной научной конференции. Минск, 2005. С. 42-48.

33. Казиев Т.С. Модель многоскоростной системы обслуживания со стратегией уравнения вероятностей потерь разнотипных заявок // Проблемы кибернетики и информатики: Материалы международной конференции. Баку, 2006. С. 213-215.

34. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.536 с.

35. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. М.: Изд. «Наука», 1966.-587 с.

36. Кёниг Д., Рыков В., Штойян Д. Теория массового обслуживания (основной курс: марковские модели, методы марковизации): учебное пособиепо математике для студентов специальности 0647 — прикладная математика— М., 1979 г.

37. Кёниг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. — М.: Радио и связь, 1981.

38. Китанин Л.Ф. Распределения Пуассона, асимптотические разложения // Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-т. — 1955. — № 3. — С. 170-171.

39. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. — М.: Машиностроение, 1979.-432 с.

40. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Киев: Наук, думка, 1983. - 366 с.

41. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. — М.: Сов. радио, 1967 —298 с.

42. Кокс Д., Смит В. Теория очередей. М.: изд. «МИР», 1966 -216 с.

43. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: изд. «Мир», 1969. - 310 с.

44. Колоусов Д.В. Исследование математических моделей потоков в сетях случайного доступа: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 2004. - 141 с.

45. Комшаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М.: ИНФРА, 1997. - 302 с.

46. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1984. 832 с.

47. Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Наук, думка, 1989.-208 с.

48. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 400 с.

49. Лопухова С.В. Исследование полумарковского потока асимптотическим методом третьего порядка // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы VI Международной научно-практической конференции. Томск, 2007. - Ч. 2. - С. 30-34.

50. Лопухова С.В. Исследование моментов рекуррентного потока // Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Томск. 2007. Ч. 1. — С. 34-37.

51. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование МАР-потока методом асимптотического анализа N-ro порядка // Вестник ТГУ. Серия Информатика. Кибернетика. Математика. 2006. - № 293. - С. 110-115.

52. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование МСМР-потока асимптотическим методом третьего порядка // Вестник КемГУ. Серия Математика. -2005. Вып. 4 (24). - С. 218-227.

53. Лопухова С.В., Назаров А.А. Численный алгоритм нахождения распределения вероятностей для МСМР-потока // Вестник ТГУ. Серия Информатика. Кибернетика. Математика. 2006. — Приложение № 16 - С. 113-119.

54. Лопухова С.В. Исследование ММР-потока событий // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Красноярск, 2008. — С. 50.

55. Лопухова С.В. Исследование ММР-потока асимптотическим методом в условиях растущего времени // Научное творчество молодежи: Материалы XII Всероссийской научно-практической конференции. — Томск, 2008. — 4.1. -С. 31-32.

56. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование моментов высших порядков МАР-потока, управляемого эргодической цепью Маркова // Научноетворчество молодежи: Материалы X Всероссийской научно-практической конференции. Томск, 2006.-Ч. 1.-С. 156-158.

57. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование рекуррентного потока // Вестник ТГУ. Серия Управление, вычислительная техника и информатика. — 2007.-№ 1.-С. 67-76.

58. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка // Вестник ТГУ. Серия Информатика. Кибернетика. Математика. 2006. — Приложение № 19. -С.178-183.

59. Лукач Е. Характеристические функции. — М.: Наука, Главная редакция физ. мат. лит., 1979. — 424 с.

60. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963. - 348 с.

61. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. — М.: изд. МГУ, 1984. 240 с.

62. Минк X. Перманенты. М.: изд-во «Мир», 1982. - 211 с.

63. Мушко В.В. Система МАР/М/С с адресной стратегией повторных вызовов и идентичными приборами // Computer Modeling and New Technologies. 2005. - V. 9. - № 2. - P. 33-40.

64. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. — Томск: изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

65. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

66. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: учебное пособие. Томск: изд. НТЛ, 2006. - 204 с.

67. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: учебное пособие. Томск: изд. НТЛ, 2004. - 228 с.

68. Назаров А.А., Лопухова С.В. Исследование МАР-потока методом асимптотического анализа второго порядка // Проблемы кибернетики и информатики: Материалы международной конференции. — Баку, 2006. Т. 1. — С. 201-204.

69. Назаров А.А., Лопухова С.В. Исследование потока марковского восстановления асимптотическим методом второго порядка // ММПЭИТС: Материалы международной научной конференции. — Минск, 2007. С. 170-174.

70. Назаров А.А., Лопухова С.В., Гарайшина И.Р. Исследование полумарковского потока событий // Вычислительные технологии, 2008. Т 13. -Спецвыпуск 5. - С. 56-62.

71. Печинкин А.В. Стационарные вероятности состояний в системе MAP/G/1/n с дисциплиной преимущественного разделения прибора // Вест. Росс, ун-та дружбы народов. Сер. Прикл. Матем. и информ. 1998. - № 1. — С. 104-109.

72. Печинкин А.В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SM/MSP/n/r // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 9. С. 85100.

73. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. 2-е изд. -М.: Советское радио, 1971. 519 с.

74. Скитович В.П. Элементы теории массового обслуживания. Ленинград: изд. ЛГУ, 1976. - 95 с.

75. Справочник по прикладной статистике: в 2-х т. / под ред. Ллойда Э., Ледермана У., Тюрина Ю.Н. М.: Финансы и статистика, 1989. - Т.1. - 510 с.

76. Терпугов А.Ф. Теория случайных процессов. — Томск: изд. Томск. Ун-та, 1974. 136 с.

77. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. -М.: Мир, 1967. Т. 1. 498 с.

78. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Наука, 1966. Т. 1. 608 с.

79. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х томах. — М.: Наука, 1968.

80. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.

81. Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с конечным накопителем и блокировкой полумарковского потока заявок // Информационные процессы. 2008. - Т. 8. - № 1. С. 1-9.

82. Чаплыгин В.В. Система массового обслуживания G/BMSP/1/r1 // Информационные процессы. 2003. - Т. 3. - № 2. С. 97-108.

83. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учебник для физических и физико-математических факультетов университетов. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 424 с.

84. Attahiru Sule Alfa, Chakravarthy S. A discrete queue with the Mark-ovian Arrival Process and phase type primary and secondary services // Stochastic Models. 1994. - V. 10, № 2. - P 437-451.

85. Cinlar E. Time dependence of queues with semi-Markovian services // Appl. Probab. 1967. V. 4. - P. 356-364.

86. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes / Proc. Cambr. Phil. Soc. 1955. - V. 51. - № 3. - P. 433-441.

87. Dudin A.N., Klimenok V.I., Kim C.S., Lee M.H. The SM/PH/N queue-ing system with broadcasting service // Proceedings of the 13 th International conference on analytical and stochastic modeling techniques and applications. — Bonn, Germany, 2006. P. 8-13.

88. El-Gohary. A. Estimations of parameters in a three state reliability semi-Markovian model // Appl. Math, and Computation. 2004. - P. 389-403.

89. Gail H.R., Hantler S.L., Sidi M. Linear independence of root equations for M/G/l type of Markov chains // Queueing Syst. 1995. - V. 20. - P. 321-339.

90. Gomez-Corral A. A tandem queue with blocking and Markovian Arrival Process // Queueing Systems. 2002. - №41. - P. 343-370. /

91. Grandell J. Double stochastic Poisson processes. // Lect. Notes. Math., 1976.-V.529.

92. Hida Takeyuki. On some asymptotic properties of Poisson process // Na-goya Math. J. 1953. - V. 6. - P. 29-36.i

93. Kingman J. F.C. On doubly stochastic Poisson process / Proc. Cambr. Phil Soc. 1964. - V. 60. - № 4. - P. 923-930.

94. Lucantoni D. New results for the single server queue with a batch Markovian arrival process // Stochastic Models. 1991. V. 7. - P.' 1-46.

95. Lucantoni D.M., Meier-Hellsten K.S., Neuts M.F. A single-server queue with server vacations and a class of non-renewal arrival processes // Adv. Appl. Prob. 1990. - № 22. - P. 676-705.

96. Marczewski E. Remarks on the Poisson stochastic process. // Studia Math. Warszawa, 1953.-V. 13.-№ l.-P. 130-136.

97. Neuts M.F. A versatile Markovian arrival process // Journal of Appl. Prob. 1979. V. 16. - P. 764-779.

98. Nisida Tosio. On some probability distributions concerning Poisson process. // Math. Japan, 1953. V. 3. - P. 7-12.

99. Sengupta B. The semi-markovian queue: theory and applications / Stochastic Models. 1990. - V. 6. - № 3. - P. 383-413.

100. Serfozo R. Processes with conditional independent inerements // Appl. Prob. 1972. - V. 9. - P. 303-315.

101. Serfozo R. Conditional Poisson processes // Appl. Prob. 1972. - V. 9. — P. 288-302.