Математическое моделирование и численный метод решения задач распространения электромагнитных волн в неоднородных, анизотропных, нелинейных волноведущих структурах

Снегур Максим Олегович

Математическое моделирование и численный метод решения задач распространения электромагнитных волн в неоднородных, анизотропных, нелинейных волноведущих структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Снегур Максим Олегович

Снегур Максим Олегович
кандидат наук
2023

Специальность ВАК РФ00.00.00

Количество страниц 124

Снегур Максим Олегович. Математическое моделирование и численный метод решения задач распространения электромагнитных волн в неоднородных, анизотропных, нелинейных волноведущих структурах: дис. кандидат наук: 00.00.00 - Другие cпециальности. ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет». 2023. 124 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Снегур Максим Олегович

Введение

ГЛАВА 1. Математические модели распространения

электромагнитных волн в цилиндрических волноводах

1.1. Математическая модель распространения азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Дифференциальные уравнения

1.1.3. Вариационный метод

1.2. Математическая модель распространения вытекающих волн открытого неоднородного металло-диэлектрического волновода кругового сечения

1.2.1. Задача о вытекающих волнах волноведущей структуры

1.2.2. Дифференциальные уравнения

1.2.3. Вариационный метод

1.3. Математическая модель распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн

в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе

1.3.1. Постановка задачи

1.3.2. Существование решения задачи

Основные результаты и выводы по главе

ГЛАВА 2. Численные методы решения задач распространения

электромагнитных волн в цилиндрических волноводах . . 39 2.1. Численный метод решения задачи распространения

электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием

2.2. Численный метод решения задачи распространения вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения

2.3. Численный метод решения задачи распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе

Основные результаты и выводы по главе

ГЛАВА 3. Комплекс программ для численного решения задач распространения электромагнитных волн

в цилиндрическом волноводе и результаты расчетов

3.1. Комплекс программ для численного решения задач распространения электромагнитных волн

3.2. Результаты расчетов для задачи о нормальных волнах анизотропного диэлектрического волновода

3.3. Результаты расчетов для задачи распространения вытекающих волн в многослойном волноводе

3.4. Результаты расчетов о вытекающих волнах в нелинейном стержне

Основные результаты и выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программный код

Приложение Б. Свидетельства о государственной регистрации

программ для ЭВМ

Приложение В. Результаты внедрения исследовательской работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численный метод решения задач распространения электромагнитных волн в неоднородных, анизотропных, нелинейных волноведущих структурах»

Введение

Актуальность темы исследования. При проектировании оптических устройств и устройств СВЧ-диапазона метод математического моделирования является основным. С помощью математического моделирования рассчитываются геометрические и электродинамические параметры устройств. Главной задачей при проектировании волноведущих структур, являющихся частями оптических устройств и устройств-СВЧ, является описание свойств различных типов электромагнитных волн, которые могут существовать в структуре [1720].

Задачи о распространении электромагнитных волн в волноведущих структурах активно изучаются, начиная с 50-х годов прошлого века отечественными и зарубежными учеными. Теория распространения основных типов волн в волноведущих структурах, в целом, построена в работах А. Снайдера, Дж. Лава, Д. Маркузе, М. Адамса, Р. Коллина, Л.А. Вайнштейна, А.Г. Свешникова, А.С. Ильинского, Ю.В. Шестопалова, Ю.Г. Смирнова и других ученых [1-6, 12, 13, 17-19]. На основе этой теории разработаны оптические устройства и устройства-СВЧ, которые успешно применяются в электронике и оптике [20, 30].

Однако процесс микроминиатюризации оптических и электронных устройств, переход к устройствам в терагерцовом и инфракрасном диапазонах волн и появление новых материалов требуют дополнительного изучения новых типов волноведущих структур и создания на их основе новых волноведущих устройств.

В работе рассматривается волноведущая структура - линия Губо. Линией Губо называется идеально проводящий цилиндрический волновод с концентрическим слоем диэлектрика. Эта линия является простейшим типом направляющей волноведущей структуры и изучена достаточно полно [21-23]. В частности, на практике используется свойство линии Губо поддерживать распространение

поверхностной волны для любого сколь угодно тонкого слоя диэлектрика. Для дальнейшего применения линии в терагерцовом и инфракрасном диапазонах волн важно расширить известные результаты для гораздо более широких семейств линий Губо с нелинейными неоднородными анизотропными диэлектрическими слоями, которые востребованы в электронике и оптике при расчете параметров новых волноведущих устройств. Чаще всего нелинейность выражается законом Керра [28-30]. Отметим, что впервые нелинейные задачи такого типа в электродинамике были рассмотрены в работе [47].

Актуальной проблемой остаются задачи описания распространения различных типов волн в волноведущих структурах, заполненных нелинейной средой. В последнее время в этом направлении проводились многочисленные исследования [32-44]. Также рассматривались вопросы о связи различных типов волн с помощью нелинейности материала [45, 46, 48].

Однако задача о связанных поверхностной поперечно-электрической (ТЕ-волна) и вытекающей поперечно-магнитной (ТМ-волна) волн в линии Губо, заполненной нелинейной неоднородной средой, не рассматривалась.

Поверхностные волны [15, 21] и вытекающие волны [25-27] рассматривались отдельно в линейном случае. В нелинейном случае диэлектрическая проницаемость внутри волновода зависит от поля и радиальной координаты. Связанная волна в волноводе представляет собой сумму двух поляризованных монохроматических волн, причем каждая из этих поляризаций гармонически зависит от продольной переменной. Связанные волны в нелинейной волнове-дущей структуре могут быть использованы при проектировании нелинейных оптических устройств, например, для перекачки энергии от одной волны к другой.

С математической точки зрения, задачи о распространении волн в вол-новедущих структурах - это векторные краевые задачи электродинамики на

собственные значения для системы уравнений Максвелла [5, 6]. Если волновод заполнен неоднородным материалом (например, состоит из нескольких различных диэлектрических слоев), то задача на собственные значения сводится к решению системы уравнений Гельмгольца с разрывными коэффициентами относительно спектрального параметра - постоянной распространения волнове-дущей структуры. На поверхностях раздела сред (и, соответственно, разрыва коэффициентов) ставятся условия сопряжения (или, трансмиссии). Если спектральный параметр не входит в условия сопряжения, то задача сводится к изучению спектральных свойств некоторого самосопряженного оператора [8, 9, 50]. А если спектральный параметр входит и в условия сопряжения, то приходится изучать более сложную задачу на собственные значения для несамосопряженного оператора [11].

Для аналитического и численного решения указанных выше задач оказывается применимым операторных пучков [11]. В основе этого метода лежит вариационный подход, который сводится к получению некоторого вариационного соотношения [6]. Далее задача аналитически изучается методами функционального анализа [8, 9, 50] и, затем, численными методами [14, 31] для исследования его спектральных свойств.

Разработка комплексов программ для решения рассматриваемых задач является важнейшим элементом настоящей работы, поскольку они необходимы инженерам при проектировании оптических и электронных устройств.

Цель диссертационной работы - разработка численного метода и программных продуктов для расчета параметров оптических устройств и устройств СВЧ на основе изучения математических моделей распространения азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием, вытекающих волн открытого неоднородного метал-лодиэлектрического волновода кругового сечения и нелинейных связанных по-

верхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе.

Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1. Разработка метода исследования математических моделей распространения азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием, вытекающих волн открытого неоднородного металлодиэлектрического волновода кругового сечения и нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе.

2. Разработка и обоснование численного метода и вычислительных алгоритмов приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием, вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения и нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе.

3. Разработка на языке С/С++ и тестирование программно-вычислительного комплекса для численного решения задач распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием, вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения и нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе, а также получение и анализ численных результатов решения указанных задач.

Объектом исследования являются математические модели распро-

странения электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе.

Предметом исследования является численная реализация разработанных итерационных методов решения задач распространения электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе.

Методы исследования. Основные теоретические результаты диссертационной работы получены с использованием методов математического моделирования, разделов классической электродинамики, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории краевых задач для уравнений Максвелла.

Для разработки алгоритмов применялись численные методы и методы информационных технологий.

Соответствие паспорту специальности 2. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий. 3. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. 7. Качественные или аналитические методы исследования математических моделей (технические науки).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены ограничения на параметры для существования азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием. Получены ограничения на параметры для существования вытекающих волн открытого неоднородного металло-диэлектрического волновода кругового сечения. Для задачи распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе найдены условия их существования необходимые для обоснования применения результатов математического моделирования.

2. Для задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом

анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием разработан и обоснован численный метод нахождения приближенных собственных значений и собственных функций. Для задачи распространения вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения разработан и обоснован численный метод нахождения приближенных собственных значений и собственных функций. Для задачи распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе разработан и обоснован численный метод нахождения приближенных собственных значений и собственных функций.

3. Разработан вычислительный алгоритм, реализованный в виде комплекса программ, позволяющий находить приближенные решения задачи о нормальных волнах анизотропного диэлектрического волновода, открытого и закрытого неоднородных волноводов и вытекающих волн в нелинейном стержне. Выполнены расчеты различных типов волн для рассматриваемых волноведущих структур.

Практическая значимость результатов, полученных в диссертации, заключается в разработанных новых аналитических и численных методах и разработанном комплексе программ для использования при расчете параметров новых более сложных волноведущих структур - анизотропных, неоднородных, нелинейных линий Губо, а также характеристик поверхностных и вытекающих волн и электромагнитных полей в этих волноводах. С помощью разработанного комплекса программ были рассчитаны постоянные распространения и затухания азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием, вытекающих волн открытого неоднородного волновода и нелинейных связанных поверхностных и вытекающих волн в линии Губо. Численные методы и комплекс программ разработаны для

решения задач, возникающих при конструировании оптических волноводов и СВЧ устройств.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечены корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами численных расчетов.

Результаты выносимые на защиту:

1. Результаты о существовании азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием; результаты о существовании вытекающих волн открытого неоднородного металлодиэлектрического волновода кругового сечения; результаты о существовании нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе.

2. Численный метод нахождения приближенных постоянных распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием, вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения, нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе.

3. Вычислительный алгоритм и реализованный на его основе комплекс программ, позволяющий находить приближенные решения постоянных распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием, вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения, нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн

в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе, а также расчет и анализ новых типов волноведущих структур.

Реализация работы и внедрение результатов. Результаты исследования использованы в образовательном процессе кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование», что подтверждено актом о внедрении (см. приложение B), и при выполнении следующих проектов, где соискатель являлся руководителем или исполнителем: руководитель на гранту РФФИ № 20-3190079, исполнитель по грантам РФФИ № 20-31-70010, № 19-31-51004, № 18-3100109.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на международных и всероссийских научных конференциях, в их числе доклады и статьи для международных научных конференций Progress In Electromagnetics Research Symposium (2017-2020), URSI Asia-Pacific Radio Science Conference (AP-RASC 2019 New Delhi), Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - ХХХ1"(г. Воронеж, 2020), «Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов» (г. Пенза, 2020, 2021).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 53 научных работах, из них в изданиях, рекомендованных ВАК, - 7 (в том числе входящих в базы WOS/Scopus, - 7), в базу РИНЦ - 53.

Зарегистрировано четыре программы для ЭВМ №2017661734 от 16.11.2017, №2018660253 от 24.09.2018, №2019663483 от 29.10.2019, №2019662554 от 11.10.2019. (см. приложение Б).

Личный вклад автора. Все изложенные в диссертации основные результаты получены автором лично. Программная реализация численных методов и расчеты также выполнены автором самостоятельно. Автор принимал активное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. Вклад

соискателя в опубликованные работы, вошедшие в диссертацию, является решающим.

Структура и объем диссертации. Работа содержит 124 страниц и состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

ГЛАВА 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ

1.1. Математическая модель распространения

азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием

1.1.1. Постановка задачи

Рассмотрим трехмерное пространство R3 с цилиндрической системой координат Optpz. Пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £0 = const и магнитной проницаемостью д0 = const, где £0 = (1/36п)10-9 Ф/м, д0 = 4п10-7 Г/м - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. В R3 помещен цилиндрический магнито-диэлектрический волновод

£ := {(p, z) : r0 < p < r, 0 < ^ < 2n}

с образующей, параллельной оси Oz, и круговым поперечным сечением. На рисунке. 1 представлена геометрия задачи. Волновод неограниченно продолжается в направлении z. Сечение волновода, перпендикулярное его оси, представляет собой кольцо с внутренним радиусом r0 и внешним радиусом r соответственно. Границы p = r0 - проекция поверхности идеально проводящего, бесконечно тонкого экрана, p = r - проекция поверхности соприкосновения диэлектриков. Волновод заполнен неоднородным анизотропным магнетиком (ферритом)

с магнитной проницаемостью

/р 0

М = /р 0 (1.1)

0 0 /г

и постоянной относительной диэлектрической проницаемостью £ > £0. Предполагаем волновод неоднородным так, что /х = /х(р) /р > > /0

- константы, /г(р) > /0 - зависящая от радиальной координаты.

Рисунок 1 - Геометрия задачи.

Задача о нормальных азимутально-симметричных (не зависящих от ф) волнах волноведущей структуры состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла в виде бегущей волны [6], т.е. с зависимостью ё'пх от координаты г, вдоль которых структура регулярна:

гоШ = — кЕ,

(1.2)

гс^Е = 1/И,

E = (Ep(p) ep + E^(p) e^ + Ez(p) ez) eiYz, H = (Hp(p) ep + Hv,(p) ev + Hz(p) ez) eiYZ, причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода, обращение в нуль на поверхности идеального проводника касательных составляющих электрического поля

= 0. EzU = о, (L4)

непрерывность касательных составляющих полей на границе раздела сред

[EJlp=r = 0, [Ez ]|p=r = 0, (15)

[HJ|p=r = 0, [Hz]|p=r = 0, '

где [f]|p = lim f (p) — lim f (p) и условие излучения на бесконечности -

po p^p0—0 p^po+0

электромагнитное поле экспоненциально затухает при p ^ ж в области p > r.

В зависимости от параметра 7 принята следующая классификация волн [17-20]:

• В случае, когда Im 7 = 0, волна называется распространяющейся.

• Когда Re 7 = 0, волна называется затухающей.

• И когда Re 7 Im 7 = 0, волна называется комплексной. По условию на бесконечности:

• Если волна удовлетворяет удовлетворяет условию: u(p) ^ 0, p ^ ж, то ее называют поверхностной.

• Если удовлетворяет условию: u(p) ^ ж, p ^ ж вытекающей.

Получаем задачу относительно спектрального параметра 7.

Перепишем уравнение (1.2) в следующем виде:

¿7 Нр = гш£Бр,

¿7 Нр — Н'г = —¿ш£Е(

Р (рИф)' = —гш£Ег р

р?

(1.6)

¿7 Ер = —ги/рНр — ш/рНр, ¿7 Ер — Е'г = — ш/рНр + гш/рНр,

Р (рЕр)' = ¿ш/ Нг. р

Из сисметы уравнений выражаем остальные компоненты поля через азимутальные:

нр =

—7 Ер + ш/р ¿Н

р

ш/р

ер =

7Н

р

Нг =

Ег =

(ргЕрУ ш/г Р ' (РН)'

(1.7)

ш£ ш£р

Таким образом поле нормальной волны выражаются через две функции:

ие := ¿рЕр(р), мто := рНр(р).

Возникает новая задача: найти компонент электрического и магнитного

полей ие и ит. Всюду ( • )' обозначает дифференцирование по р.

Для функций ие и ит получаем задачу Р0: найти такие комплексные 7,

при которых существуют решения системы дифференциальных уравнений

р/р

и

р

ие /г р

.2„ Л.2

+ (ш2£/р — 72) ие = 7ш/рит,

(1.8)

+ (ш £ (/р — /р) — 7 /р) ит = 7ш£/рие,

причем должны быть выполнены следующие условия на границах раздела сред:

пе(го) = 0, п'т{то) = 0,

Пе(т - 0) = Пе(г + 0), Пт(г - 0) = Пт(г + 0), (1.9)

<(г - 0) = <(г + 0) Пт(г - 0) = Пт(г + 0) М (г - 0) До , £ £0 ,

и условиям ограниченности поля во всякой конечной области и условию экспоненциального убывания на бесконечности.

Отыскав решение задачи Р0 как компонент поля пе и пт, можно воспользоваться формулами (1.7) для определения оставшихся функций. Определенное так поле Е, Н удовлетворяет всем условиям задачи (1.2)-(1.5).

Мы намеренно не конкретизируем здесь классы функций для решений пе и пт, так как в п. 4 будет дано точное определение решений задачи Р0. Пока можно считать, что пе, пт Е С2(г0,г) и С:[г0,г].

1.1.2. Дифференциальные уравнения

Вне волновода (р > г) диэлектрическая и магнитная проницаемости равны £0 и д0, соответственно. Тогда из (1.2) получаем систему

/ / \ / ъ,2 I пе _ 0

V р у р / / 2

Пт \ к1 Пт 0

рр

где к2 = 72 - ко = ^Д0£0. Принимая во внимание условие на бесконечности

получаем решение последней системы в виде

пе(р; 7) = ^р^^р^ (1 10)

Пт(р; 7) = С2рК1(к1р),

где функция К1 - модифицированная функция Бесселя (функция Макдональ-да) [7], С и С2 постоянные.

Предполагаем, что константы С1 и С2 такие, что

С2 + С| = 0, (1.11)

т.е. поле вне волновода не равно тождественно нулю.

Внутри волновода из (1.8) мы получаем систему дифференциальных уравнений

ЬеПе : = пе - РеП + - /ТПе = Т/еПт,

^тпт : пт ртпт + (^т ЪтТ ) пт Т/тп

(1.12)

где использованы следующие обозначения:

= (РМг)/ = 1

ре , рт ,

РМг Р

2 2 Мр Яе = ^ , ^т = ^ £"

Мр

ъ = ъ = 1 Мр

_

/е = ^-, /т = ^-.

Мр Мр

Зная решения вне волновода, задача (1.8)-(1.9) может быть сведена к задаче на собственные значения на отрезке [г0, г].

Замечание 1. Функции де, рт, Ъе, Ът, /е и /т положительны на отрезке [г0, г].

1.1.3. Вариационный метод

Будем искать решения ие и ит задачи Р0 в пространствах Соболева соответственно

Н0 (го,г) = {/ : / е Н1 (го,г) , /\Го = 0} и Н1 (го, г) , со скалярным произведением и нормой

(1,9)1 = / (/'9' + /9) (р, II/112 = (/,/ )1 = 1 (\/'\2 + \/\2) (р.

го г0

Замечание 2. Здесь мы используем обозначение для пространства Соболева Н<1(го,г), не совпадающее со стандартным: в нашем случае /\ = 0, но, вообще говоря, /\ = 0. Очевидно имеет место вложение Но(го,г) С Н 1(го,г).

Дадим другую вариационную формулировку задачи Ро. Умножим уравнения системы (1.12) соответственно на произвольные пробные функции уе и ут, считая их пока непрерывно дифференцируемыми на отрезке [го, г]. Использую формулу Грина получаем

J уЬи(р = J уи"(1р — J ури'(1р + J V (д — 2) и(1р =

го го го го

= и'^\Г0 — J и'и'(р — J ри'у(1р + J (д — 2) Ш(1р =

го го го

= —72 J Ниу(р — J и'у'(1р — Jри'^(1р + J дш>(р + и'(г)^(г), (1.13)

го го го го

где и = и, V = V, ^ = hj ,р = р, д = qj, ] = е или т. Применяя полученную формулу (1.13) отдельно для первого и второго уравнений системы (1.12) на

отрезке [ro, r] и складывая результаты, получим

r

(VeLeUe + V TOLTOMTO)dp = —Y2 (heUeVe + hTOMTOVTO)dp-

ro ro

— J (u'X + U/mV/m)dp — J (PeU'eVe + u'mVm)dp + J (^Ue^e + ^m^mVm)dp+

ro ro ro

+ <(r)Ve(r) + Um(r)Vm (r). (1.14) Принимая во внимание правые части уравнений системы (1.12), имеем

/(VeLeUe+VmLmUm)dp =Y/(fe UmVe +/mUeVm)dp- (1.15)

ro ro

Зная решения (1.10), выразим из формул (1.9) значения производных при р = r, следующим образом:

U (r) — ^K0(k1r)u (r) u (r) = _, g Ko(kir)u (r) (1 16)

Ue(r)= kl Mo Ki(kir)U/(r) = klgo Ki(kir)Um(r). (1.16)

Из (1.14), с учетом (1.15) и (1.16), получаем

r

Y 2 J (heUeVe + h/U/V/)dp+

ro

+ (u^ + u/V /)dp + (Pe^Ve + p/u/v/)^ — (qeUeVe + V/ )dp+

ro ro ro

h

+ klKo(kir^ ^^ Ue(r)Ve (r) + — U/(r)V/(r) ] +

Ki(kir) \ до go /

r

+ Y J (feU/Ve + fmUeVm)dp, V^e G ^(^r), V/ G H i(ro,r). (1.17)

ro

r

Определение 1. Пару функций

ие е Но1 (го, г) и ит е Н1 (го, г) , ||ие|| + ||ит|| Ф 0,

будем называть собственным вектором задачи Ро, отвечающим характеристическому числу 7о, если при 7 = 7о выполнено вариационное соотношение (1.17) для любых ve е Но (го,г) , vm е Н1 (го,г).

Утверждение 1. Если 7 - характеристическое число задачи Ро, то —7, 7 и —7, так же являются характеристическими числами задачи Ро с собственными векторами (ие, —ит), (ие, ит) и (ие, —ит) соответственно.

Используя результаты из [101] сведем вариационное соотношение (1.17) к записи в операторном виде

N(7)и := (72К + 7К — К1 + I + В + 8(7)) и = 0. (1.18)

Уравнение (1.18) - операторная запись вариационного соотношения (1.17). Характеристические числа и собственные векторы N совпадают по определению с собственными значениями и собственными векторами задачи Ро.

Утверждение 2. Спектр оператор-функции N(7) : Н ^ Н является дискретным в Г, т.е. имеет конечное число характеристических точек конечной алгебраической кратности в любом компакте Ко С Г.

В работах [12,13] описано существование «комплексных» волны, которые, как следует из Утверждения 1. возникают «четверками». На практике же интересуются вещественными точками спектра оператор-функции N(7), которые физически соответствуют распространяющимся волнам. На рисунке 2 представлен спектр задачи. Для точек 7 е Г к требуется отдельное исследование.

Рисунок 2 - Спектр оператор-функции N(7); х - характеристические числа и о - точки множества Г к

1.2. Математическая модель распространения вытекающих волн

открытого неоднородного металло-диэлектрического волновода кругового сечения

1.2.1. Задача о вытекающих волнах волноведущей структуры

Рассмотрим трехмерное пространство R3 с цилиндрической системой координат Optpz. Пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £0 = const и магнитной проницаемостью д0 = const, где е0, д0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. В R3 помещен цилиндрический металло-диэлектрический волновод

£ := {(p, z) : r0 < p < r, 0 < ^ < 2n}

с образующей, параллельной оси Oz, и круговым поперечным сечением. На рисунке 1 представлена геометрия задачи. Волновод неограниченно продолжается в направлении z. Сечение волновода, перпендикулярное его оси, представляет

собой кольцо с внутренним радиусом г0 и внешним радиусом г соответственно. Границы р = г0 - проекция поверхности идеально проводящего, бесконечно тонкого экрана, р = г - проекция поверхности соприкосновения диэлектриков.

Задача об электромагнитных волнах распространяющихся в открытом металло-диэлектрическом волноводе состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла в виде бегущей волны, т.е. с зависимостью от координат ^ и г , вдоль которых структура регулярна:

rot H = —iweE, rot E = iH,

E = (Ep(p) ep + E^(p) e^ + E-(р) ez) ,

H = (Hp(p) ep + H^(p) e^ + Hz(р) ez) e™^-,

(1.19)

(1.20)

lp\rj ^p 1 ^

причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода, обращение в нуль на поверхности идеального проводника касательных составляющих электрического поля

= О, |p=ro = 0, (121)

непрерывность касательных составляющих полей на границе раздела сред

[ßJU = 0, e]ip=r = 0, (122)

[Hv]|p=r = 0, [Hz ]|p=r = 0, .

где [f]|p = lim f (р) — lim f (р) и условие излучения на бесконечности.

po p ^po o p^po+o

Мы будем рассматривать только комплексные вытекающие волны. Система уравнений Максвелла (1.19) записана в нормированном виде. Осуществлен переход к безразмерным величинам ( [6]): А^р ^ р^ ^ ^,

^H ^ H,E ^ E, где ko = w2^ogo (временной множитель e—всюду опу-

щен).

Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве имеет вид

£ =

1.

Го < р < Г.

р > г.

(1.23)

Среда предполагается изотропной и немагнитной. Предполагаем также, что е(р) дважды непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [г0, г], т.е. ф) е С2[го.г].

Задача о комплексных вытекающих волнах является задачей на собственные значения для системы уравнений Максвелла относительно спектрального параметра 7 - нормированной постоянной распространения волноведущей структуры.

Запишем уравнение (1.19) в следующем виде:

■ти и

г—Иг - 27Д р

V

= - геЕг

¿7Ир - И = -геЕ,

-(рИр)' - —Ир = -г£Е2 рр

V

т

г—Ег - г 7 Е( р

(1.24)

V

гИр.

г7Ер - Е'г = гИр.

¿И.

р (рЕру- > рр

из системы уравнений выражаем остальные компоненты поля через азимутальные.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Снегур Максим Олегович, 2023 год

// / у

А_ / /

-- 1 -- у / / /

\ \

1 1.5 2 2.5 3 3.5 электрическая постоянная распространения

с) а = 10 2 шшУ

1

а) а = 1 шшУ

1

Рисунок 26 ниях: £ = £с ОИг.

Дисперсионные кривые. Значения параметров использованных при вычисле-£с = 9 (алмаз); го = 1 шш и г = 5 шш; СЕ = См = 1; = 30 ОИг, шм = 40

При некотором малом значении коэффициента нелинейности а связанные собственные значения распологаются вблизи точек пересечения "чисто" линейных распространяющихся ТЕ и вытекающих ТМ волн (вертикальных и горизонтальных линий). Если коэффициент нелинейности достаточно мал (а < 10 -1), существует не менее 6 пар собственных значений (Рис. 26 а),Ь) и

с)).

Из Рисунка 26 d) видно, что при значении коэффициента нелинейности а = 10-1 существует более 8 пар связанных собственных значений, при этом часть из них (3 пары) очень близки к решению линейных задач (сравните с Рис. 26 а),Ь) и с)), часть удалены, а остальные пары являются чисто нелинейными связанными собственными значениями и не имеют связи с решением линейных задач.

Рисунок 27 - Собственные функции. Значения связанных постоянных распространения: 1 -(2.444; 2.855) (зеленая кривая), 2 - (2.077; 2.621) (серая кривая) и 3 - (2.507; 2.558) (желтая кривая).

для собственных значений обозначенных на Рисунке 26 d): зеленая кривая соответствует паре связанных собственных значений отмеченных на рисунке 26 цифрой 1 - (2.444; 2.855), серая кривая соответствует пере собственных значений для линейной задачи отмеченных на рисунке 26 цифрой 2 - (2.077; 2.621) и желтая кривая соответствует паре связанных собственных значений отмеченных на рисунке 26 цифрой 3 - (2.507; 2.558). Графики касательных компонент электромагнитного поля согласуются с физической постановкой задачи; а именно, собственные функции и2 и и3 обращаются в ноль на границе металла г0 и непрерывны на границе раздела сред г.

На Рисунке 28 синими кривыми показана зависимость 7е (7м) (синие кривые), а красными кривыми зависимость 7м (7е). Серые вертикальные линии соответствуют линейным ТЕ волнам, а горизонтальные ТМ волнам. Значения параметров, использованных в расчетах, указаны в подписях к рисункам.

У

1

1 1.5 2 2.5 3 3.5

электрическая постоянная распространения

a) а = 10-6 mmV-1;

b) а = 10 mmV ,

c) а = 10 2 mmV

1

d) а = 1 mmV

1

Рисунок 28 - Дисперсионные кривые. Значения параметров использованных при вычислениях: е = £с + р; £с =16 (германий); r0 = 1 mm и r = 5 mm; CE = CM = 1; ^e = 30 GHz, шм = 40 GHz.

При некотором малом значении коэффициента нелинейности а связанные собственные значения распологаются вблизи точек пересечения "чисто" линейных распространяющихся ТЕ и вытекающих ТМ волн (вертикальных и горизонтальных линий). Если коэффициент нелинейности достаточно мал

(а < 10-1), существует не менее 12 пар собственных значений (Рис. 28 а),Ь) и

с)).

Из Рисунка 28 ^ видно, что при значении коэффициента нелинейности а = 10-1 существует более 14 пар связанных собственных значений, при этом часть из них (8 пары) очень близки к решению линейных задач (сравните с Рис. 28 а),Ь) и с)), часть удалены, а остальные пары являются чисто нелинейными связанными собственными значениями и не имеют связи с решением линейных задач.

Рисунок 29 - Собственные функции. Значения связанных постоянных распространения: 1 -(2.868; 3.304) (зеленая кривая), 2 - (2.646; 3.083) (серая кривая) и 3 - (2.792; 1.482) (желтая кривая).

для собственных значений обозначенных на Рисунке 28 а): зеленая кривая соответствует паре связанных собственных значений отмеченных на рисунке 28 цифрой 1 - (2.868; 3.304), серая кривая соответствует пере собственных значений для линейной задачи отмеченных на рисунке 28 цифрой 2 - (2.646; 3.083) и желтая кривая соответствует паре связанных собственных значений отмеченных на рисунке 28 цифрой 3 - (2.792; 1.482) . Графики касательных компонент электромагнитного поля согласуются с физической постановкой задачи; а именно, собственные функции и2 и и3 обращаются в ноль на границе металла г0 и непрерывны на границе раздела сред г.

Основные результаты и выводы по главе

Результаты главы 3 были представлены в следующих статьях: [55,57,103]

1. Разработан и протестирован вычислительный алгоритм, на основе которого реализован программно-вычислительный комплекс для численного решения задачи распространения нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода.

2. Проведено численное сравнение спектра поверхностных ТЕ- волн в линии Губо и двухслойном экранированном диэлектрическом волноводе, заполненном неоднородной средой.

3. Реализован программно-вычислительный комплекс для численного решения задачи распространения вытекающих волн в нелинейном стержне.

Заключение

В данной работе разработан и применен аналитический метод исследования математической модели распространения электромагнитных азимутально-симметричных волн в открытом неоднородном анизотропном волноводе. Разработан и обоснован численный метод приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием.Разработан и протестирован вычислительный алгоритм, на основе которого реализован программно-вычислительный комплекс для численного решения задачи распространения нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода.

Разработан и применен аналитический метод исследования математической модели распространения вытекающих волн в открытом неоднородном металло-диэлектрическом волноводе. Разработан и обоснован численный метод приближенного решения задачи распространения вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения.Проведено численное сравнение спектра поверхностных ТЕ- волн в линии Губо и двухслойном экранированном диэлектрическом волноводе, заполненном неоднородной средой.

Разработан и применен аналитический метод исследования математической модели распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн. Приведены условия разрешимости поставленной задачи на собственные значения.Разработан и обоснован численный метод приближенного решения задачи распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом ме-таллодиэлектрическом волноводе.Реализован программно-вычислительный комплекс для численного решения задачи распространения вытекающих волн в нелинейном стержне.

Список литературы

1. Ильинский, А. С. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн / А. С. Ильинский, Ю. В. Шестопалов. - Москва : Изд-во МГУ, 1989. - 183 с.

2. Смирнов, Ю. Г. Метод операторных пучков в краевых задачах сопряжения для системы эллиптических уравнений / Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27, № 1. - С. 140-147.

3. Смирнов, Ю. Г. Применение метода операторных пучков в задаче о собственных волнах частично заполненного волновода / Ю. Г. Смирнов // Доклады АН СССР. - 1990. - Т. 312, № 3. - С. 597-599.

4. Делицин, А. Л. Об одном подходе к задаче о полноте системы собственных и присоединенных волн волновода / А. Л. Делицин // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 5. - С. 629-633.

5. Смирнов, Ю. Г. О дискретности спектра в задаче о нормальных волнах открытого неоднородного волновода / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, № 10. - С. 1298.

6. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики : монография / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009. - 266 с.

7. Абрамовиц, М., Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. - Москва : Наука, 1979. - 832 с.

8. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като // Москва : Мир, 1972. - 740 с.

9. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Аки-лов. - Москва : Наука, 1984. - 752 с.

10. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - Москва : Наука, 1971. - С. 1108.

11. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. - Москва : Наука, 1965. - 448 с.

12. Веселов, Г. И. Слоистые металло-диэлектрические волноводы / Г. И. Весе-лов, С. Б. Раевский. - Москва : Радио и связь, 1988. - 248 с.

13. Раевский, А. Б. Комплексные волны / А. Б. Раевский, С. Б. Раевский. -Москва : Радиотехника, 2010. - 223 с.

14. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress. - New York : Springer, 1999.

15. Smolkin, E. Numerical Method for Electromagnetic Wave Propagation Problem in a Cylindrical Inhomogeneous Metal Dielectric Waveguiding Structures / Eu. Smolkin // Mathematical Modelling and Analysis. - 2017. - Vol. 22 (3). - P. 271-282.

16. Smolkin, E. Nonlinear Goubau line: analytical-numerical approaches and new propagation regimes / E. Smolkin, Y. Shestopalov // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 2017. - Vol. 31 (8). - P. 781-797.

17. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - Москва : Радио и связь, 1988. - 440 с.

18. Снайдер, А. Теория оптических волноводов / А. Снайдер, Дж. Лав. -Москва : Радио и связь, 1987. - 655 с.

19. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адамс. - Москва : Мир, 1984. - 512 с.

20. Маркузе, Д. Оптические волноводы / Д. Маркузе. - Москва : Мир, 1974. -576 с.

21. Goubau, G. Surface waves and their application to transmission lines / G. Goubau // J. Appl. Phys. - 1950. - Vol. 21. - P. 1119-1128.

22. Goubau, G. Open Wire Lines / G. Goubau // IRE Trans. Microwave Theory and Technique. - 1956. - Vol. 4. - P. 197-200.

23. Harms, F. Elektromagnetische wellen an einem draht mit isolierender zylindrischer hülle / F. Harms // Ann. Phys. 1907. V. 6. P. 44-60.

24. Sommerfeld, A. Über die Fortpflanzung elektrodynamischer Wellen langs eines Drahtes / A. Sommerfeld // Ann. Phys. - 1899. - Vol. 67. - P. 233-290.

25. Marcuvitz, N. On field representations in terms of leaky modes or eigenmodes / N. Marcuvitz // IRE Trans. Antennas Propag. - 1956. - Vol. 4, № 3. - P. 192-194.

26. Oliner, A. A. Leaky waves: Basic properties and applications / A. A. Oliner // Proc. Asia-Pacific Microw. Conf. - 1997. - Vol. 1. - P. 397-400.

27. Monticone, F. Leaky-wave theory, techniques, and applications: from microwaves to visible frequencies / F. Monticone, A. Alu // Proceed. of the IEEE. - 2015. -Vol. 103, №5. -P. 793-821.

28. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 8: Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - Москва : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 656 с.

29. Шен, И. Р. Принципы нелинейной оптики / И. Р. Шен. - Москва : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 560 с.

30. Ахмедиев, Н. Н. Солитоны / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. - Москва : Физ-матлит, 2003. - 299 с.

31. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособие / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова. - Москва : Высш. шк., 1994. - 544 с.

32. Smirnov, Yu. On the existence of non-polarized azimuthal-symmetric electromagnetic waves in circular dielectric waveguide filled with nonlinear isotropic homogeneous medium / Yu. Smirnov, E. Smolkin // Wave Motion. - 2018. - Vol. 77. - P. 77.

33. Smolkin, E. Guided electromagnetic waves propagating in a two-layer cylindrical dielectric waveguide with inhomogeneous nonlinear permittivity / E. Smolkin, D. Valovik // Adv. Math. Phys. - 2015. - Vol. 2015. - ID 614976.

34. Smirnov, Yu. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide / Yu. Smirnov, E. Smolkin, V. Kurseeva // Applicable Analys. - 2019. - Vol. 98, № 3. - P. 483-498.Smirnov Yu. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide / Yu. Smirnov, E. Smolkin, V. Kurseeva // Applicable Analys. 2019. V. 98. V. 3. P. 483-498.

35. Smolkin, E. Goubau line filled with nonlinear medium: Numerical study of TM-polarized waves / E. Smolkin // Proceed. of the 2015 Inter. Conf. on Electromagnet. in Adv. Appl. ICEAA. - 2015. - P. 1-4. - doi: 10.1109/ICEAA.2015.7297390

36. Smolkin, E. Numerical solution of the problem of propagation of TM-polarized electromagnetic waves in a nonlinear two-layered dielectric cylindrical waveguide / E. Smolkin, D. Valovik // MMET'2012 Proceed. - 2012. - P. 68-71. - doi: 10.1109/MMET.2012.6331288

37. Smolkin, E. The azimuthal symmetric hybrid waves in nonlinear cylindrical waveguide / E. Smolkin // Progress in Electromagnet. Res. Symp. PIERS 2017 Proceed. - 2017. - P. 348-353. - doi: 10.1109/PIERS.2017.8261763

38. Smirnov, Yu. Nonlinear double-layer bragg waveguide: analytical and numerical approaches to investigate waveguiding problem / Yu. Smirnov, E. Smolkin, D. Valovik // Adv. Numeric. Analys. - 2014. - Vol. 2014. - P. 1-11.

39. Smolkin, E. Calculation of the propagation constants of inhomogeneous nonlinear double-layer circular cylindrical waveguide by means of the Cauchy problem method / E. Smolkin, D. Valovik //J. Communicat. Technology and Electron. - 2013. - Vol. 58, № 8. - P. 762-769.

40. Smolkin, E. Y. On the problem of propagation of nonlinear coupled TE-TM waves in a double-layer nonlinear inhomogeneous cylindrical waveguide / E. Y. Smolkin // Proceed. of the Inter. Conf. Days on Diffraction. - 2015. - P. 318-322. -doi: 10.1109/oTg.2015.7354884

41. Schiirmann, H.W. Propagation of TE waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides / H.W. Schiirmann, Y. Smirnov, Y. Shestopalov // Phys. Rev. E. -2005. - Vol. 71, № 1. - P. 016614.

42. Smirnov, Y. Integral equation approach for the propagation of te-waves in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide / Y. Smirnov, H. W. Schiirmann, Y. Shestopalov //J. Nonlin. Math. Phys. - 2004. - Vol 11, № 2. - P. 256-268.

43. Smirnov, Yu. Nonlinear effects of electromagnetic TM wave propagation in anisotropic layer with Kerr nonlinearity / Yu. Smirnov, D. Valovik // Adv. Math. Phys. - 2012. - P. 609765. - doi: 10.1155/2012/609765

44. Smirnov, Yu. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr nonlinearity / Yu. Smirnov, D. Valovik //J. Math. Phys. - 2012. - Vol. 53, № 12. - P. 123530.

45. Smirnov, Yu. Coupled electromagnetic transverse-electric-transverse magnetic wave propagation in a cylindrical waveguide with Kerr nonlinearity / Yu. Smirnov, D. Valovik //J. Math. Phys. - 2013. - Vol. 54, № 4. - P. 043506.

46. Eleonskii, P. N. Cylindrical nonlinear waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, V. P. Silin // Sov. Phys. JETP. - 1972. - Vol. 35, № 1. - P. 44-47.

47. Валовик Д.В. Нелинейное распространение связанных электромагнитных волн в круглом цилиндрическом волноводе / Д.В. Валовик, Е.Ю. Смолькин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. V. 57. N0. 8. Р. 1304-1320.

48. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - Москва : Наука, 1980. - С. 496.

49. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. - Москва : Наука, 1969. - 526 с.

50. Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. - Москва : МГУ, 1984. - 296 с.

51. Смолькин, Е. Ю. О дискретности спектра вытекающих волн открытого неоднородного металло-диэлектрического волновода кругового сечения / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Дифференциальные уравнения. - 2020. - Т. 56, № 8. - С. 1095-1102.

52. Смолькин, Е. Ю. Численный метод решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / Е. Ю. Смолькин, М. О. Сне-гур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 32-43.

53. Лапич, А. О. Численный метод решения задачи о распространении вытекающих ТЕ-поляризованных волн в многослойном волноводе кругового сечения / А. О. Лапич, Е. Ю. Смолькин, А. С. Шутков, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 3 (55). - С. 114-126.

54. Смолькин, Е. Ю. Численное исследование спектра нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода / Е. Ю. Смолькин, М. О. Сне-гур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - С. 72-82.

55. Снегур, М. О. Сравнение волновых спектров открытого и закрытого неоднородных волноводов / М. О. Снегур // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : материалы XV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2021. - С. 48-55.

56. Smolkin, E. Leaky waves in a nonlinear metamaterial rod / E. Smolkin, Y. Smirnov, M. Snegur // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. -2020. - Vol. 34, № 12. - P. 1680-1690.

57. Смолькин, Е. Ю. Численное исследование спектра нормальных волн открытого неоднородного волновода с круговым сечением / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 76-86.

58. Смирнов, Ю. Г. О дискретности спектра в задаче об азимутальных симметричных волнах открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 3 (43). - С. 50-64.

59. Smolkin, E. Numerical method for electromagnetic wave propagation problem in a cylindrical anisotropic inhomogeneous waveguide with longitudinal magnetization / E. Smolkin, M. Snegur, Y. Shestopalov // Progress in Electromagnetics Research Symposium. Proceedings. - 2017. - P. 299-305. doi: 10.1109/piers-fall.2017.8293153

60. Снегур, М. О. Электромагнитные волны в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / М. О. Снегур // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : материалы XI Международной научно-технической

конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2017. - С. 24-29.

61. Снегур, М. О. Электромагнитные волны в цилиндрическом изотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / М. О. Снегур // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : материалы XII Международной научно-технической конференции. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2017. - С. 154-159.

62. Smolkin, E. Diffraction of tm polarized electromagnetic waves by a nonlinear inhomogeneous metal-dielectric waveguide / E. Smolkin, M. Snegur, Y. Shestopalov // Proceedings of the 2017 19th International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA. - 2017. - Vol. 19. - P. 1288-1291. - doi: 10.1109/ICEAA.2017.8065508

63. Смолькин, Е. Ю. Метод оператор-функций в задаче о нормальных волнах анизотропного экранированного волновода произвольного сечения / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 52-63.

64. Smolkin, E. Diffraction of tm polarized em waves by a nonlinear inhomogeneous dielectric cylinder / E. Smolkin, M. Snegur, Y. Sbestopalov // Progress in Electromagnetics Research Symposium. PIERS-Toyama 2018 - Proceedings. -2018. - P. 66-70. doi: 10.23919/ПИРС.2018.8598028

65. Shestopalov, Y. TE-polarized wave diffraction by a cylinder covered with nonlinear dielectric layer / Y. Shestopalov, E. Smolkin, M. Snegur // Proceedings of the 2018 IEEE 7th Asia-Pacific Conference on Antennas and Propagation, APCAP. - 2018. - Vol. 7. - P. 321-322. - doi: 10.1109/APCAP.2018.8538309

66. Снегур, М. О. Метод оператор-функций в задаче о нормальных волнах анизотропного волновода / М. О. Снегур // Математическое и компьютерное

моделирование естественно-научных и социальных проблем : материалы XII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов / под ред. И. В. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2018. С. 264-269.

67. Smolkin, E. Nonlinear hybrid waves in a cylindrical anisotropic metal-dielectric waveguide / E. Smolkin, M. Snegur, Y. Shestopalov // Progress in Electromagnetics Research Symposium. PIERS-Toyama 2018 - Proceedings. -2018. - P. 1948-1954. - doi: 10.23919/PIERS.2018.8597676

68. Shestopalov, Y. Numerical study of multilayer nonlinear inhomogeneous Goubau lines / Y. Shestopalov, E. Smolkin, M. Snegur // Proceedings of the 2018 20th International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA. - 2018. - Vol. 20. - P. 126-129. - doi: 10.1109/ICEAA.2018.8520464

69. Снегур, М. О. Об одной задаче распространения гибридных нелинейных азимутально-симметричных волн в экранированном волноводе с нелинейным неоднородным заполнением / М. О. Снегур, В. Ю. Курсеева // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : материалы XIII Международной научно-технической конференции / под ред. И. В. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2018. - С. 11-16.

70. Снегур, М. О. Гибридные волны экранированного волновода с нелинейным неоднородным заполнением / М. О. Снегур, В. Ю. Мартынова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 4 (52). - С. 95-104.

71. Смолькин, Е. Ю. Исследование нелинейных задач на собственные значения для системы уравнений Максвелла, описывающие распространение электромагнитных волн в регулярных неоднородных экранированных (закрытых) волноведущих структурах кругового сечения с поглощением / Е. Ю.

Смолькин, М. О. Снегур, А. О. Лапич, Л. Ю. Гамаюнова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 3 (51). - С. 36-46.

72. Shestopalov, Y. New propagation regimes of tm waves in a waveguide filled with a nonlinear dielectric metamaterial / Y. Shestopalov, E. Smolkin, M. Snegur // 2019 URSI International Symposium on Electromagnetic Theory, EMTS. -2019. - P. 8931548. - doi: 10.23919/URSI-EMTS.2019.8931548

73. Shestopalov, Y. New propagation regimes of TE waves in a waveguide filled with a nonlinear dielectric metamaterial / Y. Shestopalov, E. Smolkin, M. Snegur // 2019 URSI Asia-Pacific Radio Science Conference, AP-RASC. - 2019. - P. 8738241. - doi: 10.23919/URSIAP-RASC.2019.8738241

74. Снегур, М. О. Численное исследование спектра волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием / М. О. Сне-гур, А. О. Лапич // Математическое моделирование в электродинамике: теория, методы и приложения : тезисы докладов Международной научной конференции / под редакцией Ю. Г. Смирнова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2019. - С. 80-82.

75. Smolkin, E. Hybrid waves in a cylindrical anisotropic inhomogeneous metal-dielectric waveguide / E. Smolkin, M. Snegur, Y. Shestopalov // 2019 PhotonIcs & Electromagnetics Research Symposium - Spring (PIERS-Spring). - 2019. -P. 1757-1764. - doi: 10.1109/PIERS-Spring46901.2019.9017236

76. Shestopalov, Y. Numerical study of nonlinear metamaterial rod / Y. Shestopalov, E. Smolkin, M. Snegur // Proceedings of the 2019 21st International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA. - 2019. - Vol. 21. - P. 162-164. - doi: 10.1109/ICEAA.2019.8879337

77. Smolkin, E. Surface waves in a nonlinear metamaterial rod / E. Smolkin,

M. Snegur, Y. Shestopalov // Radio Science. - 2020. - Vol. 55, № 10. - P. e2020RS007101.

78. Smirnov, Yu. Mathematical theory of normal waves in an anisotropic rod / Yu. Smirnov, E. Smolkin, M. Snegur // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2020. - Vol. 41, № 7. - P. 1404-1415.

79. Smolkin, E. Mathematical theory of surface waves in an inhomogeneous waveguide / E. Smolkin, M. Snegur // 2020 33rd General Assembly and Scientific Symposium of the International Union of Radio Science, ÜRSI GASS. - 2020. -Vol. 33. - P. 9232273. - doi: 10.23919/ÜRSIGASS49373.2020.9232273

80. Snegur, M. Diffraction of TE polarised electromagnetic waves by a nonlinear metamaterial waveguide / M. Snegur, E. Smolkin // 2020 33rd General Assembly and Scientific Symposium of the International Ünion of Radio Science, ÜRSI GASS. - 2020. - Vol. 33. - P. 9232138. - doi: 10.23919/ÜRSIGASS49373.2020.9232138

81. Евстигнеев, Р. О. Численный метод исследования спектра поверхностных волн открытого неоднородного прямоугольного диэлектрического волновода / Р. О. Евстигнеев, Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : материалы XV Международной научно-технической конференции. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2020. - С. 79-85.

82. Смолькин, Е. Ю. Численный метод решения задачи распространения электромагнитных волн в неоднородном прямоугольном металло-диэлектрическом волноводе / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : материалы XV Международной научно-технической конференции. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2020. - С. 50-55.

83. Снегур, М. О. Метод оператор-функций в задаче о вытекающих волнах

неоднородного волновода / М. О. Снегур, Е. Ю. Смолькин // Своремен-ные методы теории краевых задач : материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения - XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения). - Воронеж : Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2020. - С. 203-204.

84. Снегур, М. О. Метод оператор-функций в задаче о нормальных волнах неоднородного закрытого (экранированного) волновода / М. О. Снегур, Е. Ю. Смолькин // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : материалы XIV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов / под ред. И. В. Бойкова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2020. - С. 18-23.

85. Снегур, М. О. Численное исследование спектра комплексных волн плоского волновода / М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - № 4 (60). - С. 46-56.

86. Смолькин, Е. Ю. Метод операторных пучков и оператор-функций в задаче о нормальных волнах закрытого регулярного неоднородного диэлектрического волновода произвольного сечения / Е. Ю. Смолькин, М. О. Сне-гур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - № 2 (58). - С. 77-89.

87. Деревянчук, Е. Д. Численный метод решения задачи о распространении ТЕ-поляризованных волн в многослойном неоднородном волноводе кругового сечения, заполненном метаматериалом / Е. Д. Деревянчук, А. О. Лапич, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - № 1 (57). - С. 102-111.

88. Смолькин, Е. Ю. Численное исследование ТЕ-поляризованных комплексных электромагнитных волн в открытом неоднородном слое / Е. Ю. Смоль-

кин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - № 1 (57). - С. 10-19.

89. Smolkin, E. Surface TE-polarized waves in an inhomogeneous dielectric layer / E. Smolkin, Y. Smirnov, M. Snegur // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. - 2021. - Vol. 35, № 2. - P. 208-219.

90. 94. Судаков, М. Н. Аналитическое исследование спектра комплексных волн плоского волновода / М. Н. Судаков, М. О. Снегур // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : материалы XV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2021. - С. 75-80.

91. Скворцов, О. С. Расчет комплексных TE-поляризованных волн метаматери-ального слоя / О. С. Скворцов, О. В. Кондырев, М. О. Снегур // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : материалы XV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2021. - С. 3-7.

92. Shestopalov, Y. Nonlinear TE-waves in nonhomogeneous Goubau line / Y. Shestopalov, E. Smolkin, M. Snegur // 2021 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA. - 2021. - Vol. 22. - P. 352-355. - doi: 10.1109/ICEAA52647.2021.9539799

93. Снегур, М. О. Метод оператор-функций в задаче о поверхностных волнах неоднородного прямоугольного диэлектрического волновода / М. О. Сне-гур, А. О. Лапич, Е. Ю. Смолькин // Современные методы теории краевых задач : материалы Международной конференции. - Воронеж : Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2021. - С. 229-231.

94. Ванчугов, Д. А. Метод операторных пучков и оператор-функций в задаче

о нормальных волнах закрытого регулярного неоднородного диэлектрического волновода произвольного сечения / Д. А. Ванчугов, М. О. Снегур // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : материалы XV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2021. - С. 20-26.

95. Смолькин, Е. Ю. Расчет комплексных волн диэлектрического слоя / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // V научный форум телекоммуникации: теория и технологии ТТТ-2021 : материалы XIX Международной научно-технической конференции. - Самара : Изд-во Поволж. гос. ун-та телекоммуникаций и информатики, 2021. - С. 20-21.

96. Snegur, M. Numerical method for studying the spectrum of surface waves of an open inhomogeneous rectangular dielectric waveguide / M. Snegur, E. Smolkin // 2021 34th General Assembly and Scientific Symposium of the International Union of Radio Science, URSI GASS. - 2021. - Vol. 34. - doi: 10.23919/URSIGASS51995.2021.9560249

97. Shestopalov, Y. Numerical method electromagnetic waves propagation problem in an inhomogeneous chiral media / Y. Shestopalov, M. Snegur, E. Smolkin // 2021 34th General Assembly and Scientific Symposium of the International Union of Radio Science, URSI GASS. - 2021. - Vol. 34. - doi: 10.23919/URSIGASS51995.2021.9560555

98. Snegur, M. Comparison of the wave spectra of open and closed inhomogeneous waveguides / M. Snegur, E. Smolkin, Y. Shestopalov // 2021 34th General Assembly and Scientific Symposium of the International Union of Radio Science, URSI GASS. - 2021. - Vol. 34. - doi: 10.23919/URSIGASS51995.2021.9560334

99. Смирнов, Ю. Г. Исследование спектра азимутально-симметричных волн открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничи-

ванием / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2018. - Т. 58, № 11. - С. 1955-1970.

100. Смолькин, Е. Ю. Численное исследование ТЕ-поляризованных комплексных электромагнитных волн в открытом неоднородном слое / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2021. - № 1 (57). - С. 10-19.

101. Smirnov, Y.G. Analysis of the spectrum of azimuthally symmetric waves of an open inhomogeneous anisotropic waveguide with longitudinal magnetization / Y.G. Smirnov, E.Y. Smolkin, M.O. Snegur // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2018. - Т. 58, № 11. - С. 1887-1901.

102. Smolkin, E.Y. Discreteness of the leaky wave spectrum of an open inhomogeneous metal-dielectric circular-section waveguide / E.Y. Smolkin, M.O. Snegur // Differential Equations. - 2020. - Т. 56. № 8. - С. 1072- 1080.

103. Smirnov, Y.G. Numerical Study of Propagation of Nonlinear Coupled Surface and Leaky Electromagnetic Waves in a Circular Cylindrical Metal-Dielectric Waveguide / Y.G. Smirnov, E.Y. Smol'kin, M.O. Snegur // (2021) Computational Mathematics and Mathematical Physics, 61 (8), pp. 1353-1363.

Приложение A. Программный код

Файл Main.cpp

#include <iostream> #include <math.h> #include <iomanip> #include <cmath> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <Windows.h> #include <vector> #include "complex.h"

using namespace s

double bf( double {

double a = h*i; double b = h*(i + double c = h*(i +

r, double h, int n,

1); 2);

int i, double x)

double l1 = (x-a) / (b - a) ; double l2 = (x-c) / (b - c) ;

double res = 0.0;

if (i==n-1) {

if (x < r - h) {

res = 0.0; }

if ((x >= r - h) && (x <= r)) {

res =l1;

}

if (x > r) {

res = 0.0; }

}

if ((i >= 0)&&(i<=n-2)) {

if (x < a)

{

res = 0.0; }

if ((x >= a) && (x < b)) {

res = l1;

}

if (x == b) {

res = 1.0; }

if ((x > b) && (x <= c)) {

res = l2;

}

if (x > c) {

res = 0.0; }

}

return res; }

double dbf(double r, double h, int n, int i, double x) {

double a = h*i; double b = h*(i + 1); double c = h*(i + 2);

double l1 = 1 / h; double l2 =- 1 / h;

double res = 0.0;

if (i == n - 1) {

if (x < r - h) {

res = 0.0; }

if ((x >= r - h) && (x <= r)) {

res = 1/h; }

if (x > r) {

res = 0.0; }

}

if ((i >= 0) && (i <= n - 2)) {

if (x < a) {

res = 0.0; }

if ((x >= a) && (x < b)) {

res = l1; }

if (x == b) {

res = 1.0; }

if ((x > b) && (x <= c)) {

res = l2; }

if (x > c) {

res = 0.0; }

}

return res; }

double k1(double gamma, double eps11, double eps22, double eps33, double omega) {

double res = pow(gamma, 2.0) - pow(omega, 2.0)*eps11;

return res; }

double k2(double gamma, double eps11, double eps22, double eps33, double omega) {

double res = pow(gamma, 2.0) - pow(omega, 2.0)*eps22;

return res; }

double pe(double gamma, double eps11, double eps22, double eps33, double x,