Математические модели и алгоритмы для определения реакций гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических погрешностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Слепова, Светлана Владимировна

• Слепова, Светлана Владимировна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Слепова, Светлана Владимировна

Введение.

Глава 1. Приближенные уравнения относительного движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подвеса шарового гироскопа

1.1. Постановка задачи об относительном движении жидкости в зазоре подвеса.

1.2. Приближенные уравнения относительного движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подвеса с учетом сил инерции.

1.3. Анализ влияния инерции жидкости при установившемся движении и осевом смещении ротора на реакции гидродинамического подвеса.

1.3.1. Применение метода малых возмущений для нахождения гидродинамического давления

1.3.2. Применение метода осреднения сил инерции по толщине слоя жидкости для нахождения гидродинамического давления.

1.3.3. Численные результаты моделирования распределения избыточного давления.

1.3.4. Оценка влияния инерции жидкости на реакции гидродинамического подвеса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и алгоритмы для определения реакций гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических погрешностей»

Актуальность темы. Одной из определяющих тенденций развития современных систем инерциальной навигации и управления движением объектов различного назначения является их миниатюризация. Разработка перспективных навигационных систем предполагает создание гироскопических датчиков, обладающих малой массой и габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением, достаточно высокой надежностью [47, 70].

Один из вариантов реализации таких приборов предложен в НПО электромеханики и основан на использовании миниатюрного шарового гироскопа в гидродинамическом подвесе (автор и руководитель проекта - А.С. Золотухин [1]). Ротор шаровой формы, представляющий собой постоянный двухполюсный магнит, заключен в заполненную маловязкой немагнитной жидкостью сферическую полость каркаса статора, сообщающуюся через отверстия с камерой, в которой жидкость находится под давлением (рис. 0.1). Величина зазора между поверхностями ротора и полости в радиальном направлении мала по сравнению с радиусами каждой из поверхностей.

Ротор приводится в быстрое вращение магнитным полем электрических обмоток 1, 5, расположенных на каркасе статора (рис. 0.2). Прибор, включающий в себя датчик угла 4, датчик момента 3 и синхронизирующие обмотки 2, 6, может служить чувствительным элементом гиростабилизатора. Сигналы с датчика угла 4 и синхронизирующих обмоток 2, 6 подаются на усилительно-преобразовательный блок (УПБ), с помощью которого формируются сигналы р управления двигателями стабилизации Дь Д2.

Датчик момента 3 используется для компенсации постоянных составляющих возмущающих моментов и для начальной выставки платформы. Сферический гидродинамический подвес создает возможность самоцентрирования и демпфирования ротора и обладает большой несущей способностью.

Каркас статора Корпус

Рис. 0.1. Схема подвеса

Рис. 0.2. Функционально-кинематическая схема двухосного гиростабилизатора

Уравнения относительного движения шарового гироскопа - чувствительного элемента гиростабилизатора в первом приближении в проекциях на оси Резаля можно записать в виде:

А а + Ъа + Н/? + кха + k2J3 = - Н со^ - А со^ + + М^,,

А р + Ь/3-Нсс-к2а + к];3 = На)у - A(by++ М^, где

А - экваториальный момент инерции шарового ротора; Н - кинетический момент гироскопа в собственном вращении; b - коэффициент сопротивления вращению в гидроподвесе; к\, к2- коэффициенты электромагнитных моментов, характеризующих взаимодействие намагниченного ротора с электрическими обмотками статора [40]; проекции возмущающих моментов со стороны гидроподвеса на оси Резаля;

Мру,, Моу2 - проекции возмущающих моментов, обусловленных другими факторами;

Сь £,2, Сз ~ °си, связанные с платформой; о)^\,а>п ~ составляющие угловой скорости платформы; а, (3 - углы поворота гироскопа относительно платформы.

При позиционной цепи стабилизации электромагнитные моменты вызывают дрейф. Введением интегрально-позиционной цепи стабилизации влияние этих моментов на дрейф платформы в установившемся режиме (а = 0, (3 = 0) исключается. Представляет практический интерес изучение возмущающих гидродинамических моментов М2^, обусловленных технологическими погрешностями вследствие условий изготовления и сборки каркаса статора. К ним относятся геометрические погрешности в виде несферичности формы, сдвига центров и усечения сегментов каркаса. Актуальной задачей является анализ таких возмущающих моментов и оценка величины дрейфа, вызванного ими.

Следует учесть особенности задачи, связанные с миниатюризацией. Рассматриваются модели гидродинамического подвеса, радиус R шарового ротора которого может принимать значения в интервале 1-5 мм. Величина радиального зазора 8 между поверхностями статора и ротора при концентричном положении сфер составляет 5-10 мкм. В соответствии с указанными параметрами подвеса слой жидкости, заполняющей зазор, может называться тонким, геометрически соответствующим смазочному слою: относительная толщина зазора S/R имеет порядок 10"3-10"2. При этом заметим, что в гидродинамической теории смазки значения S/R обычно входят в диапазон 10-4-10"3.

При изучении течения тонкого слоя жидкости в задачах гидродинамической теории смазки силами инерции жидкости по сравнению с силами вязкости пренебрегают, если приведенное число Рейнольдса * 2 2 /

Re =ц/ Re = сод / v (где у — кинематический коэффициент вязкости) значительно меньше единицы [71]. Тогда для описания течения жидкости в зазоре применяют приближенные уравнения, полученные из уравнений Навье-Стокса - уравнения Рейнольдса. Большая скорость собственного вращения ротора со: 3,14" 103—1,88* 104 рад/с, необходимая для обеспечения достаточно большого кинетического момента гироскопа при его малых размерах, приводит к тому, что значения числа Re находятся в интервале 0,1-1,2. Поэтому требуется исследовать возможность применения уравнений Рейнольдса для определения распределения давления слоя жидкости и результирующих реакций подвеса.

Отмеченные особенности определяют цель диссертационной работы.

Цель работы - разработка математических моделей, алгоритмов и программ для определения сил и моментов сферического гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических технологических погрешностей.

Цель достигается решением следующих задач:

1. Обосновать применение приближенных дифференциальных уравнений относительного движения жидкости в зазоре подвеса миниатюрного шарового быстровращающегося гироскопа. Оценить влияние инерции жидкости при установившемся движении на реакции гидродинамического подвеса.

2. Изучить особенности определения гидродинамических сил и моментов в случае гироскопа, установленного на подвижном основании.

3. Разработать математические модели и алгоритмы для определения функции давления и гидродинамических реакций сферических подвесов с полюсными отверстиями, имеющих геометрические погрешности.

4. Создать программное обеспечение для численного моделирования характеристик подвесов: распределения давления по поверхности ротора, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления жидкости и возмущающих моментов, приложенных к ротору.

5. Исследовать зависимости значений результирующих гидродинамических сил и моментов от параметров геометрических технологических погрешностей и определить допустимые величины геометрических погрешностей подвеса ротора гироскопа.

Краткий обзор предшествующих работ. Для анализа возмущающих моментов, определяющих уровень точности гироскопического устройства, необходимо решить соответствующую гидродинамическую задачу. Отметим, что рассматриваемый прибор не относится ни к поплавковым, ни к гидродинамическим гироскопам. Особенностью прибора является то, что поверхность быстровращающегося шарового ротора может рассматриваться как опорная поверхность сферического гидродинамического подшипника, в котором жидкость выполняет роль смазочного, поддерживающего и демпфирующего слоя.

Задача о течении смазки в сферическом подшипнике описана в известной монографии Л.Г. Лойцянского [41]. Рассматривается движение жидкости в замкнутой полости между двумя эксцентрично расположенными сферами. Внешняя сфера неподвижна, внутренняя сфера - ротор выполняет поступательное и сферическое движения в пространстве зазора. Приведены аналитические выражения для распределения давления по поверхности внутренней сферы, для главного вектора реакций жидкости и главного момента сил вязкого трения, приложенных к поверхности ротора. Подход Л.Г. Лойцянского используется во второй главе представленной диссертации для определения приложенных к ротору реакций замкнутого сферического гидродинамического подвеса, установленного на подвижном основании.

Расчет сферического гидродинамического подвеса с подачей и выводом смазки через два диаметрально противоположных отверстия с радиусами, соизмеримыми с величиной зазора, приводится в работах Ахвердиева К.С., Ветер B.C., Никитина А.К., Остроухова Б.И. и Хапиловой В.Е. [19, 44, 45]. В диссертации рассматривается подвес, у которого диаметр отверстий на порядок больше величины зазора. Отверстия не являются ограничителями расхода, они обеспечивают сообщение слоя жидкости с камерой, в которой жидкость поддерживается под давлением.

Исследованию моделей сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями формы и анализу влияния этих погрешностей на характеристики подвесов посвящены работы [8, 10, 17, 18, 24]. Ахвердиевым К.С. [10] рассмотрено неустановившееся движение жидкости, заполняющей все пространство между вращающимся валом и неподвижным подшипником, близким к сферическому. Несферичность рабочих поверхностей камеры и поплавка учтена в работе Андрейченко К.П. и Рогожникова Ю.Ф. [8]. Решение системы уравнений Навье-Стокса и неразрывности в [10] было найдено в виде рядов по положительным степеням относительного эксцентриситета. В [8] исходные уравнения движения жидкости в зазоре подвеса решены с помощью метода асимптотического разложения по малому параметру, равному отношению средней амплитуды несферичности к разности радиусов идеальных сфер, искомых составляющих вектора скорости и давления. В рефератах Быкова В.М. и Дементьева О.Н. [17, 18, 24] сообщается о влиянии погрешностей формы сферической полости на поле скоростей жидкости и устойчивость шарового ротора. В отмеченных публикациях поверхности подвеса при учете несферичности его формы имеют непрерывную гладкую геометрию. В представленной работе сдвиг центров и усечение сегментов полости каркаса приводят к кусочно-гладкой геометрии внешней поверхности подвеса и к несимметрии гидродинамического слоя, что усложняет решение задачи.

Многие исследователи решение краевой задачи для распределения давления при сложной конфигурации зазора находят численно, используя конечно-разностные методы: Барсуков В.Н. и Панкратов В.М. [11]; Киселев

A.Г., Либин A.M., Приходько О.Б., Шашков В.Я.[27]; Киреев А.С., Лапин А.А., Павловский М.А., Радыш Ю.В., Юрокин А.И. [28, 30]; Токарь И.Я., Данильцев

B.Г., Урасов П.Г., Найдис Н.М. [68].

Метод конечных элементов (МКЭ) начали применять к решению задач теории смазки в конце 60-х - начале 70-х годов XX века. В работе Редди [49] предложен численный метод для расчета подшипников на основе совместного использования принципа минимума и МКЭ. Конечноэлементный анализ гидродинамических опор различных типов: ступенчатой опоры скольжения, полусферического и радиального подшипников, радиального подшипника с шевронными канавками и комбинированного радиального и упорного подшипника с плавающим промежуточным элементом приведен в работах Букера, Генки, Хюбнера [14, 20], Аллейра, Николаса и Гантера [2], Zirkelback Nikole, Andres Luis San [81], Hua Shao-jie, Guo Hong, Xia Bo-qian, Zhang Shao-lin, Qi Jian-zhong, Cen Shao-qi [77]. В статьях Зернина M.B., Ефимова К.В [26] и Мишина А.В. [43] на основе конечноэлементных моделей ламинарного течения жидкости между двумя поверхностями вычислены характеристики динамически нагруженных опор скольжения. Имеется ряд работ, относящихся к конечно-элементным исследованиям газодинамических подшипников. Среди них статья Болдырева Ю.Я., Григорьева Б.С. [13] об определении осевой несущей способности сферической опоры с микроканавками. Методика применения метода конечных элементов в формулировке Галеркина к решению стационарных и нестационарных гидродинамических задач подробно описана в книге Флетчера JI. [69]. МКЭ позволяет легко учитывать нерегулярности геометрических и физических свойств гидродинамических подвесов.

В ряде работ рассмотрено влияние сил инерции жидкости на характеристики гидродинамического слоя. Метод осреднения инерционных сил по толщине смазочного слоя, предложенный Слезкиным Н.А. и Таргом С.М. [58], применен в исследованиях Полецкого А.Т. [48], Бургвица А.Г., Завьялова Г.А. [15, 16], Андрейченко К.П. [3-7], Александрова В. [74], Bourgin Patrick, Tichy John [75]. Методом разложения в ряд по малому параметру проекций скоростей и гидродинамического давления строились решения уравнений Навье-Стокса в работах [23, 45, 46, 50, 72, 73, 79]. Приведенное число Рейнольдса использовано в качестве малого параметра в исследованиях Овсеенко Ю.Г [46]. Якушина В.И. [72, 73], Рейнхарта, Лунна [50], Никитина А.К., Ахвердиева К.С., Остроухова Б.И. [44], Sato Yuichi, Tamura Akiyoshi [79]. Городецким O.M. и Климовым Д.М. [23] выбраны два малых параметра: величина относительного эксцентриситета и параметр, зависящий от периода движения центра поплавка в камере. Смирновым Б.И. [65] к задаче гидродинамической теории смазки применена идея метода обобщенного подобия Лойцянского Л.Г. расчета пограничного слоя. В работах Сестьери и Пива [56], Анисимова В.Н., Анисимовой Н.В. [9], Kakoty S.K., Majumdar B.C. [78], Cen Shao-qi, Yang Jin-feng, Guo Hong, Zhang Shao-lin [76], Walicki E., Walicka A. [80] анализ влияния сил инерции в стационарных и нестационарных слоях смазки выполнен на основе численного интегрирования уравнений Навье-Стокса.

В статьях Овсеенко Ю.Г [46], Городецкого О.М. и Климова Д.М. [23] приведены численные оценки влияния сил инерции на реакции гидродинамического слоя: при приведенных числах Рейнольдса от 1 до 10 значения гидродинамических сил и моментов изменяются не более чем на 10%. Сестьери и Пива [56] утверждают, что инерционные эффекты в слоях смазки заметны при Re* > 1. Параметры изучаемого подвеса таковы, что число Re* может принимать значения порядка 1, поэтому необходимо оценить влияние инерции жидкости на его характеристики.

На основании выполненного обзора литературных источников выбраны методы решения поставленных задач.

Методы исследования. При исследовании задач гидродинамики тонкого слоя жидкости использованы приближенные аналитические методы - метод осреднения конвективных инерционных слагаемых по толщине слоя и метод малых возмущений и численные методы - конечно-разностный метод для решения систем краевых задач, описанных обыкновенными дифференциальными уравнениями, и метод конечных элементов в формулировке Галеркина для решения двумерной краевой задачи. В работе использованы алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с матрицами ленточной и разреженной структуры.

Программы численного моделирования характеристик гидродинамического подвеса разработаны в среде Турбо Паскаль 7.0; при представлении результатов расчета применены системы математических расчетов MathCad 2000 Professional и электронных таблиц EXCEL.

Научная новизна результатов диссертации.

1. Построены математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.

2. Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с различными видами геометрических погрешностей, содержащая вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя жидкости, и пакет прикладных программ для определения результирующих сил и моментов подвеса.

3. Получены приближенные аналитические решения задачи о гидродинамических реакциях сферического подвеса при осевом движении центра ротора с учетом сил инерции жидкости. Определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых является обоснованным применение уравнений Рейнольдса, не содержащих конвективных инерционных слагаемых.

4. Определены равновесные положения центра ротора в подвесе и количественные оценки влияния переносного ускорения на результирующую гидродинамическую силу на основе аналитического решения задачи о реакциях замкнутого сферического подвеса при произвольном движении центра ротора с учетом ускоренного поступательного движения основания.

5. Получены численные оценки возмущающих моментов и угловых скоростей дрейфа платформы гиростабилизатора, обусловленных геометрическими погрешностями подвеса, для класса миниатюрных шаровых гироскопов с гидродинамическими подвесами.

Практическая значимость работы.

1. Создан пакет прикладных программ, предназначенный для численного моделирования распределения давления слоя жидкости и действующих на ротор результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов с учетом геометрических погрешностей.

2. Представлена инженерная методика применения разработанного программного обеспечения, позволяющая решать задачи анализа и синтеза при проектировании миниатюрного шарового гироскопа.

3. Результаты исследования применены при проектировании миниатюрных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс).

Достоверность полученных результатов обосновывается выбором корректных вычислительных схем решения краевых задач, анализом точности дискретной аппроксимации дифференциальных уравнений; сопоставлением численных решений тестовых задач с имеющимися аналитическими решениями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции «Вклад молодых ученых и специалистов в решение задач технического перевооружения предприятий области» (Челябинск, 1989), на XVII-ой межотраслевой научно-технической конференции памяти Н.Н. Острякова (Ленинград, 1991), на Всесоюзной школе-семинаре «Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин» (Ростов-на-Дону, Москва, 1991), на Всероссийской научно-технической конференции «Гироскопические системы и их элементы» (Саратов, 1992), на XXIII-й Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, 2003), на ежегодных научно-технических конференциях ЮУрГУ.

Публикации. По теме диссертации имеется 16 публикаций, в том числе 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ, 9 статей, 5 тезисов докладов на Всесоюзных, Всероссийских, межотраслевых научно-технических конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложена на 177 страницах, включая 88 рисунков, 11 таблиц и библиографический список, содержащий 81 наименование.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Слепова, Светлана Владимировна

8. Результаты исследования использованы при проектировании миниатюрных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс Челябинской обл.).

Заключение

1. На основе уравнений Рейнольдса движения жидкости разработаны математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.

2. Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями, содержащая:

- построенные с применением методов конечных разностей и конечных элементов вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя вязкой жидкости; модификацию алгоритма Томаса (многократной прогонки), учитывающую почти ленточную разреженную структуру системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка; оценку числа арифметических операций алгоритма;

- алгоритмы и пакет прикладных программ для определения характеристик гидродинамического подвеса: распределения давления, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов, действующих на ротор гироскопа.

3. Пакет прикладных программ «Анализ погрешностей геометрии сферического гидродинамического подвеса гироскопа» и программный модуль «Модифицированный метод Томаса решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида» зарегистрированы соответственно в РосАПО и в ОФАП.

4. Численные оценки гидродинамических характеристик подвесов, полученные с применением пакета программ, показали, что наибольшее влияние на возмущающие моменты и, следовательно, дрейф платформы гиростабилизатора оказывает погрешность в виде сдвига центров сегментов каркаса статора. В случае миниатюрного гироскопа даже малые сдвиги приводят к значительному дрейфу, поэтому рассмотренные возмущающие моменты необходимо компенсировать с помощью сигналов, подаваемых на датчики моментов гироскопического прибора.

5. Сформулирована методика применения разработанного программного обеспечения для определения гидродинамических характеристик и допустимых погрешностей геометрии подвеса при проектировании шарового гироскопа.

6. Получены приближенные аналитические решения методами осреднения и малых возмущений уравнений движения тонкого слоя жидкости с учетом конвективных сил инерции при смещении центра ротора вдоль оси вращения. На основе этих решений определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых течение жидкости можно принять безинерционным и применять уравнения Рейнольдса.

7. Установлено, что величины результирующей гидродинамической силы и эксцентриситеты ротора в равновесных положениях его оси, вычисленные с учетом и без учета переносного ускоренного движения основания, отличаются на 20%. Следовательно, в миниатюрных сферических подвесах с маловязкой тяжелой жидкостью при определении результирующей гидродинамической силы необходимо учитывать инерционные массовые силы от переносных ускорений основания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Слепова, Светлана Владимировна, 2006 год

1. А.с. 253470. Гироприбор. / НПО электромеханики, авторы Золотухин А.С., Дубских Н.И., Богатырев В.В., Кротков С.А. Заявлено 27.12.85 № 3131041 MKHG01 С 19/20.

2. Аллейр, Николас, Гантер. Система конечных элементов для подшипников конечной длины. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1977, № 2, с. 45-57.

3. Андрейченко К.П. Исследование сдавливания тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подшипника. // Машиноведение, 1978, № 4, с. 117-122.

4. Андрейченко К.П. К теории демпферов с тонкими слоями жидкости. // Машиноведение, 1978, № 1, с. 69-75.

5. Андрейченко К.П. К теории жидкостного демпфирования в поплавковых приборах. // Изв. АН СССР МТТ, 1977, № 5, с. 13-23.

6. Андрейченко К.П. К теории слабонагруженного сферического гидродинамического подвеса. // Изв. АН СССР МТТ, 1977, № 1, с. 17-24.

7. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. М.: Машиностроение, 1987. 126 с.

8. Ахвердиев К.С. Исследование работы подшипника, близкого к сферическому. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1979, № 7, с. 26-30.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учебное пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.

10. Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С. Численное решение уравнения Рейнольдса газовой смазки с помощью МКЭ. // Машиноведение, 1982, № 5, с. 78-84.

11. Букер, Хюбнер. Применение метода конечных элементов в теории смазки: инженерный подход. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1972, №4, с. 22-33.

12. Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А. К интегрированию уравнений Прандтля для случая неустановившегося движения вязкой жидкости в слое смазки. // Изв. АН СССР Механика и машиностроение, 1964, № 1, с. 155-158.

13. Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость шипа в подшипнике конечной длины. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1963, № 12, с. 38-48.

14. Быков В.М. Влияние погрешности формы камеры на силы и моменты, действующие со стороны вязкой жидкости на сферический ротор. // Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин. Тезисы докладов. М.: 1991, с. 17.

15. Ветер B.C., Никитин А.К. Гидродинамический расчет сферического подвеса. // Машиноведение, 1969, № 2, с. 70-74.

16. Генка, Букер. Сферические подшипники. Статический и динамический анализ МКЭ. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1980, № 3, с. 48-59.

17. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). -М.: Наука, 1977.-400 с.

18. Горенштейн И.А. Гидродинамические гироскопы. М.: Машиностроение, 1972. - 112 с.

19. Городецкий О.М., Климов Д.М. О применимости квазистационарного метода для изучения динамики гироскопа с жидкостным подвесом. // Изв. АН СССР МТТ, 1982, № 4, с. 10-20.

20. Дементьев О.Н. Устойчивость тонких слоев сплошных сред и влияние осложняющих факторов. // Автореферат диссертации на соискание степени доктора физико-математических наук. Пермский государственный университет. Пермь. 1999.

21. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

22. Зернин М.В., Ефимов К.В. Двухмерные конечноэлементные модели течения масла в зазоре опор жидкостного трения. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. науч. тр. Брянского гос. техн. унив-та. -Брянск: Изд-во БГТУ, 1997, с. 169-176.

23. Киселев А.Г., Либин A.M., Приходько О.Б., Шашков В.Я. Теоретические основы расчета гидродинамических сферических подшипников. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1979, № 2, с. 34-38.

24. Киреев А.С., Радыш Ю.В., Юрокин А.И. Исследование вращения твердого тела в поплавковом подвесе. // Механика гироскопических систем. Киев, 1989, №8.-С. 38^3.

25. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

26. Лапин А.А., Павловский М.А., Радыш Ю.В. К динамике твердого тела в поплавковом подвесе типа сфера в сфере. // Изв. АН СССР МТТ, 1990, № 5, с. 9-15.

27. Левина Г.А. Устойчивость стационарного вращения сферического ротора в гидродинамическом подвесе. // Управление и микропроцессорная техника автоматических систем: Тем. сб. науч.тр. Челябинск: ЧГТУ, 1993

28. Левина Г.А., Лысов А.Н., Слепова С.В. Специальное. // Материалы XVII-й межотраслевой научно-технической конференции памяти Н.Н. Острякова. Л.: ЦНИИ "Румб", 1991.

29. Левина Г.А., Слепова С.В. Влияние погрешностей геометрии статора на реакции гидродинамического подвеса шарового гироскопа. // ЧГТУ. Челябинск, 1993, 12 с. Деп. в ВИНИТИ 29.07.93, № 2166 В93.

30. Левина Г.А., Слепова С.В. К оценке влияния инерционных эффектов в слое жидкости на реакции сферического гидродинамического подвеса. // Системы автоматики и их элементы: Тем. сб. науч. тр. Челябинск: ЧГТУ, 1991.-С. 70-74.

31. Левина Г.А., Слепова С.В. Численная схема определения реакций гидродинамического подвеса на основе метода конечных элементов. // Вестник ЮУрГУ, №4, 2003. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника», выпуск 2, с.99-106.

32. Левина Г.А., Слепова С.В. Численное моделирование реакций гидродинамического подвеса сферического гироскопа с учетом технологических погрешностей. // Авиакосмическое приборостроение, 2003, № 12, с. 2-6.

33. Лойцянский JI. Г. Механика жидкости и газа. М: Дрофа, 2003.840 с.

34. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М: Мир, 1981. -216 с.

35. Мишин А.В. Расчет динамически нагруженных опор скольжения методом конечных элементов. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. науч. тр. Брянского гос. техн. унив-та. Брянск: Изд-во БГТУ, 2002, с. 174-182.

36. Никитин А.К., Ахвердиев К.С., Остроухов Б.И. Гидродинамическая теория смазки и расчет подшипников скольжения, работающих в стационарном режиме. М.: Наука, 1981.-316 с.

37. Никитин А.К., Хапилова B.C. Нелинейная задача о сферическом подвесе. // Изв. АН СССР МЖГ, 1966, № 2, с. 102-107.

38. Овсеенко Ю.Г. О движении вязкой жидкости между двумя вращающимися сферами. // Изв. ВУЗов Математика, 1963, № 4, с. 129.

39. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала XXI века. // Гироскопия и навигация, 2003, № 4, с. 5-18.

40. Полецкий А.Т. Интегрирование дифференциальных уравнений течения смазки с учетом квадратичных членов инерции. // В сб. Расчет и конструирование машин. Москва, Свердловск: Изд-во Машгиз, 1957, с. 58-70.

41. Редди. Решение задачи о несжимаемой смазке методом конечных элементов // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1969, № 3, с. 169-179.

42. Рейнхарт, Лунн. Влияние сил инерции жидкости на динамические характеристики радиальных подшипников. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1975, № 2, с. 15-23.

43. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М: Мир, 1989.-192 с.

44. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

45. Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. - 315 с.

46. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в РосАПО № 970233 от 27.05.97./ Анализ погрешностей геометрии сферического гидродинамического подвеса гироскопа (АПГ — СГПГ). Авторы: Слепова С.В., Левина Г.А.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т II. М.: Наука, Гл. редак. физ.-мат. лит, 1984. - 560 с.

48. Сестьери, Пива. Влияние инерции жидкости в нестационарных слоях смазки. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1974, № 1, с. 76-88.

49. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. - 519 с.

50. Слезкин Н.А., Тарг С.М. Обобщенные уравнения Рейнольдса. // ДАН СССР, 1946, т. 54, № 3, с. 205-208.

51. Слепова С.В. Модифицированный алгоритм Томаса для численного решения одной краевой задачи гидродинамической теории смазки. // ЧГТУ. Челябинск, 1995, 13 с. Деп. в ВИНИТИ 6.09.95, № 2530 В95.

52. Слепова С.В. Применение метода конечных элементов к решению одной задачи гидродинамической теории смазки. // Элементы и приборы систем управления: Тем. сб. науч. тр. Челябинск: ЧГТУ, 1996. - С. 88-94.

53. Слепова С.В. Программа для ЭВМ: «Модифицированный метод Томаса решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида.» // № ОФАП 1801, № гос. регистрации - 50200100528. от 21.12.2001.

54. Слепова С.В. Определение реакций гидродинамического подвеса шарового гироскопа с учетом геометрических погрешностей статора. // ЧГТУ. Челябинск, 1996, 15 с. Деп. в ВИНИТИ 6.12.96, № 3551 В96.

55. Слепова С.В. Уравнения для определения реакций слоя жидкости гидродинамического подвеса сферического гироскопа. // Информационные и управляющие устройства, системы технологических процессов: Тем. сб. науч. тр. Челябинск: ЧГТУ, 1990. - С. 40-43.

56. Смирнов Б.И. К гидродинамической теории сферического подшипника с учетом конвективного ускорения смазки. // Машиноведение, 1982, № 3, с. 70-77.

57. Теоретическое и экспериментальное исследование шарового гироскопа и его подвесов. Научно-технический отчет, авторы Лысов А.Н., Левина Г.А., Слепова С.В. / ЧГТУ. Челябинск, 1991. - № гос. регистрации 01920007018, инвентарный № 02920007658.

58. Токарь И.Я., Данильцев В.Г., Урасов П.Г., Найдис Н.М. Нестационарная задача смазки сферических опор трения. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1979, № 3, с. 28-32.

59. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 504 с.

60. Шебшаевич Б.Н. Основные тенденции развития аппаратуры потребителей глобальных навигационных спутниковых систем. // Гироскопия и навигация, 2002, № 1, с. 3-12.

61. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем.- М.: Наука, 1974. -711 с.

62. Якушин В.И. О неустойчивом движении жидкости в тонком шаровом слое. // Изв. АН СССР МЖГ, 1969, № 1, с. 119-123.

63. Якушин В.И. О неустойчивости движения жидкости между двумя вращающимися сферическими поверхностями. // Изв. АН СССР МЖГ, 1970, № 4, с. 155-156.

64. Александров В. Равнинно установено движение на смазката при еластохидродинамични плъзгащи лагери с отчитане на влиянието на инерци-онните сили. // Теория и приложения механики, 1985, 16, № 2, с. 84-90 (болг.).

65. Bourgin Patrick, Tichy John. Lubricating films of a viscoelastic fluid, including fluid inertia, studied by a linearization method. // Int. J. Eng. Sci., 1985, 23, № 10, с. 1135-1149 (англ.).

66. Cen Shao-qi, Yang Jin-feng, Guo Hong, Zhang Shao-lin. Расчет распределения давлений с учетом инерции жидкости в цилиндрическом подшипнике с плавающим кольцом. // Zhengzhou gongue daxue xuebau=J. Zhengzhou Univ. Technol. 2001, 22. № 3, c. 6-8 (англ.).

67. Kakoty S.K., Majumdar B.C. Effect fluid inertia on stability of oil journal bearings. // Trans. ASME J. Tribol., 2000, 122, № 4, c. 741-745 (англ.).

68. Sato Yuichi, Tamura Akiyoshi. Fluid inertia effects on the characteristics of spherical hydrostatic bearings. // Bull JSME, 1983, 26, № 216, c. 1059-1071 (англ.).

69. Walicki E., Walicka A. Rotational inertia effect in a curvilinear bearing lubricated by generalized second grade fluids of power-law type. // Int. J. Appl. Mech. and Eng., 2002, 7, № 3, c. 1045-1056 (англ.).

70. Zirkelback Nikole, Andres Luis San. Finite element analysis of herringbone groove journal bearings: A parametric study. // Trans. ASME J. Tribol., 1998, 120, № 2, c. 234-240 (англ.).