Макроскопическая теория электрофизических свойств бинарных композитов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 02.00.04, доктор физико-математических наук Балагуров, Борис Яковлевич

• Балагуров, Борис Яковлевич
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Балагуров, Борис Яковлевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПРОВОДИМОСТЬ ИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТОВ И ПАРЦИАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

§ 1.1. Предварительные замечания

§ 1.2. Основные положения теории проводимости неоднородных сред

§ 1.3. Квадратичные эффективные характеристики

§ 1.4. Структурные флуктуации поля и тока

§ 1.5. Высшие моменты напряженности электрического поля

§ 1.6. Проводимость систем с малой концентрацией включений

Глава И. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И НИЗКОЧАСТОТНАЯ ДИСПЕРСИЯ ПРОВОДИМОСТИ ИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТОВ

§ 2.1. Предварительные замечания

§ 2.2. Аналитические свойства функции f{p,Q

§ 2.3. Дисперсия проводимости

§ 2.4. Решеточная L С-модель

§ 2.5. Локальные колебания в LC-модели

§ 2.6. Неупорядоченная двумерная модель

§ 2.7. Двумерная модель Рэлея

Глава III. ПРОВОДИМОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТОВ

§ 3.1. Предварительные замечания

§ 3.2. Двумерный случай

§ 3.3. Соотношения взаимности

§ 3.4. Трехмерный случай

§ 3.5. Критическая область

§ З.б. Размерные эффекты

§ 3.7. Метод эффективной среды

Глава IV. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТОВ

§ 4.1. Предварительные замечания

§ 4.2. Исходные уравнения и эффективные характеристики

§ 4.3. Линейное по а(г) приближение

§ 4.4. Соотношения изоморфизма

§ 4.5. Критическая область

§ 4.6. Другие модели

Глава V. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТОВ. ТРЕХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

§ 5.1. Предварительные замечания

§ 5.2. Феноменологическое рассмотрение

§ 5.3. Коэффициент Холла

§ 5.4. Магнитосопротивление

§ 5.5. Вычисление функций Xx(p,h) и Xz(p,h)

§ 5.6. Проводимость композитов в сильном магнитном поле

Глава VI. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТОВ. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

§ 6.1. Предварительные замечания

§ 6.2. Слабое магнитное поле

§ 6.3. Произвольные магнитные ноля

§ 6.4. Анализ общих выражений для ахе и оае

§ 6.5. Анизотропные пленки

Глава VII. ТЕРМОГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КОМПОЗИТОВ

§ 7.1. Предварительные замечания

§ 7.2. Трехмерный случай

§ 7.3. Двумерный случай

Глава VIII. ДВУМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

§ 8.1. Предварительные замечания

§ 8.2. Простейшая двояконериодическая модель

§ 8.3. Мультинольные поляризуемости

§ 8.4. Общий метод

§ 8.5. Двумерная модель Рэлея

Глава IX. ДИФФУЗИЯ ЧАСТИЦЫ В СРЕДЕ С ЛОВУШКАМИ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Макроскопическая теория электрофизических свойств бинарных композитов»

В настоящее время композиты широко применяются в практических целях — от конструкционных материалов в авиастроении, автомобильной промышленности и т.д. до различных приборов микроэлектроники, в которых используются тонкие пленки со случайным или регулярным расположением включений, полупроводниковые гетероструктуры и т.н. Поэтому изучение композитов, свойства которых могут существенно отличаться от свойств отдельных компонент, является актуальной задачей теории и эксперимента. Исследование подобных систем представляет и общефизический интерес, так как в них возможны, например, фазовые переходы типа металл-диэлектрик.

Теоретическое изучение различных свойств композитов со случайным распределением компонент наталкивается на известные трудности принципиального характера. Так, например, в задаче о проводимости необходимо решить уравнение Лапласа для электрического потенциала в многосвязных областях произвольной формы внутри каждой из компонент и затем удовлетворить стандартным условиям на границе раздела. Ясно, чго такая задача в общем виде аналитическими методами не может быть решена.

В связи с Э1им основным источником информации о проводимости (теплопроводности, диэлектрической проницаемости и т.д.) неупорядоченных сред являются модельные и численные эксперименты. В частности, исследование окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик численными меюдами позволяет определить так называемые критические индексы — основные характеристики проводимости в рамках гипотезы подобия. В то же время по изложенным причинам теория проводимости композитов крайне бедна аналитическими результатами.

Упомянутые трудности многократно возрастают при переходе к более сложным задачам — о термоэлектрических, гальваномагнитных и термогальваномаг-нитных свойствах композитов. Здесь также наблюдается серьезный дефицит в аналитических результатах, а численный эксперимент затруднителен из-за большого количества входящих в эти задачи параметров. Поэтому эти электрофизические характеристики и их критическое поведение изучены явно недостаточно. Таким образом, дальнейшее развитие теории электрофизических свойств композитов является актуальной задачей и представляет несомненный интерес как с практической, так и с общефизической точек зрения.

Целью настоящей работы является построение в рамках макроскопической электродинамики последовательной теории (на примере бинарных композитов) электрофизических свойств гетерогенных сред в широкой области изменения параметров и исследование, в частости, критического поведения соответствующих эффективных характеристик в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик. Эта теория должна, в том числе, включить в себя и упорядочить разрозненные результаты других авторов.

В главе I рассматривается задача о проводимости (электропроводности) изотропных композитов. Дан краткий обзор основных положений существующей теории : проводимость слабонеоднородной среды, линейное по концентрации приближение, описание в рамках гипотезы подобия критического поведения проводимости в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик (МД-перехода), соотношение взаимности, модели с периодической структурой. Далее устанавливается связь парциальных моментов напряженности электрическою поля второго порядка и структурных флуктуаций поля и тока с эффективной проводимостью композита. Определение этих величин численными методами позволило более полно, чем обычно, исследовать критическое поведение проводимости и тем самым провести детальную проверку i ипотезы подобия. Дано описание критического поведения моментов высшего порядка и даны оценки соответствующих индексов. В квадратичном по малой концентрации включений круговой формы вычислена проводимость соответствующей неупорядоченной двумерной модели.

Во второй главе изучакися аналитические свойства безразмерной эффективной проводимости / изотропного бинарного композита как функции комплексного аргумента h — отношения проводимостей компонент. Показано, что функция / аналитична на всей комплексной плоскости h, разрезанной вдоль действительной отрицательной полуоси. Выведено дисперсионное соотношение, позволяющее при любом комплексном h определить функцию / по её мнимой части на верхнем берегу разреза. Рассмотрена низкочастотная дисперсия проводимости и диэлектрической проницаемости. Дана физическая интерпретация особенностей функции / на разрезе с помощью так называемой LC- модели — решетки, связи которой обладают либо чисто индуктивным, либо чисто емкостным импедансом. Оказывается,что особенностям функции / отвечает в LC- модели зона примесных колебаний. Полученные результаты иллюстрируются двумя примерами: неупорядоченной моделью, рассмотренной в первой главе (непрерывный спектр колебаний), и моделью Рэлея — двумерной системой с двоякопериодическим расположением включений круговой формы (дискретный спектр колебаний).

Трет ья глава посвящена исследованию проводимости анизотропных одноосных композитов — нитевидных (типа TCNQ) и слоистых (типа графита). Рассмотрены механизмы протекания тока в подобных средах при сильной анизотропии и дана качественная теория их проводимости. Показано, что для нитевидного кристалла со случайным распределением включений (диэлектрических или идеально проводящих) при сильной анизохропии матрицы 7 > 1 линейное по концентрации с приближение для эффективной проводимости применимо при весьма малых с: с 7-1 1. Нарушение этою приближения (пригодного для изотропных композитов для всех с 1) при с ~ 7"1 <С 1 связано с особенностями обтекания током препятствий в сильно анизотропном случае.

Противоположный предельный случай рассмотрен качественно, но порядку величины, с помощью так называемой диффузионной аналогии. В промежуточной области концентраций (7-1 С с «С 1) продольная проводимость нитевидных кристаллов с диэлектрическими включениями резко надает. Если же включения идеально проводящие, то при переходе от сг/ 1 к сг/ 1 резко возрастает поперечная проводимость. В обоих случаях при 07 > 1 происходит заметная изогропизация среды — анизотропия сис1емы в целом значительно меньше, чем анизотропия матрицы.

При приближении к критической концентрации (точке МД-перехода) изотро-пизация таких систем становится практически полной и их свойства в этой области концентраций во многом схожи со свойствами изотропных сред. У них, в частности, совпадают критические индексы, величина которых определяется геометрическим фактором — случайным распределением компонент, одинаковым как для изотропных, так и для анизоторопных систем. Отмечено, что в сильно анизотропных слоистых кристаллах с диэлектрическими включениями имеется две точки фазового перехода металл-диэлектрик — при двумерной и при трехмерной критических концентрациях.

В четвертой главе рассмотрены термоэлектрические свойства композитов. В случае слабой термоэлектрической связи выведено выражение для термоэдс ае, справедливое для произвольной неоднородной среды. Для изотропных бинарных композитов выведены точные формулы для эффективных проводимости сге, теплопроводности хе и термоэлектрического коэффициента ае при произвольном параметре термоэлектрической связи. Установлено соотношение общего вида между величинами ае, хе и ае, не зависящее ни от концентрации, ни от от конкретной структуры композита. Показано, что в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик у термоэдс ае может наблюдаться два типа критического поведения и определены соответствующие индексы.

Пятая глава посвящена исследованию гальваномагнитных свойств трехмерных неоднородных сред. Для бинарных композитов выяснена структура (зависимость от гальваномагнитных характеристик отдельных компонент) эффективного тензора проводимосхи де в слабом магнитном поле. Численными методами определены и затабулированы в графическом виде все входящие в выражение для ае двухпа-раметрические функции, проанализировано их критическое поведение и найдены соответствующие индексы. Это позволяет, тем самым, дать последовательное описание (в рамках гипотезы подобия) коэффициента Холла и магнитосопротивления в окрестности точки МД-перехода. В пределе сильных магнитных полей исследованы механизмы протекания тока через композит и даны качественные оценки для составляющих тензора ае.

В шестой главе выведены общие точные формулы для составляющих эффективного тензора проводимое! и сте, справедливые (при произвольных машитных полях) для двумерных двухкомпонентных систем любой структуры — как регулярных, так и неупорядоченных. Рассмотрено поведение составляющих тензора сте двумерного композита в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик и выяснена область существования аномальной проводимости, предсказанной A.M. Дыхне.

В седьмой главе рассмотрена задача о термогальваномагнитных свойсгвах бинарных композитов. В линейном по магнитному полю приближении выведено точное выражение для коэффициента Нернста в случае слабой термоэлектрической связи. Показано, что у коэффициента Нернста возможны два типа критического поведения. Для двумерных двухкомпонентных систем дана строгая теория этих свойств, справедливая при произвольных магнитных полях и любой термоэлектрической связи.

В восьмой главе исследуются электрофизические характеристики двумерных регулярных структур. Для двоякопериодических сисгем с включениями произвольной формы предложен общий метод вычисления их проводимости и других эффективных величин, основанный на введении матрицы мультипольных поляри-зуемостей этих включений. Рассмотрены две конкретные двумерные регулярные модели и определены их эффективные характеристики.

Заключительная, девятая, глава посвящена рассмотрению диффузии частицы в среде с ловушками. Дано строгое решение этой задачи для одномерного случая. Для двумерных и трехмерных систем с экспоненциальной точностью найдено асимптотическое выражение для вероятности выживания частицы при больших временах.

Заключение диссертации по теме «Физическая химия», Балагуров, Борис Яковлевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. В задаче об электропроводности изотропных композитов установлена связь парциальных моментов напряженности электрического поля второго порядка, а также структурных флуктуации поля и тока, с эффективной проводимостью среды. Определение этих величин численными методами позволило более полно, чем обычно, исследовать поведение проводимости и провести детальную проверку гипотезы подобия. Дано описание критического поведения парциальных моментов высшею порядка и произведены оценки соответствующих критических индексов. Вычислена проводимость неупорядоченной модели с круговыми включениями в квадратичном по концентрации приближении.

2. Изучены аналитические свойства безразмерной эффективной проводимости / изотропною бинарного композита как функции комплексного аргумента h — отношения проводимостей компонент. Показано, что функция / аналитична во всей комплексной плоскости h, разрезанной вдоль отрицательной вещественной полуоси. Выведено дисперсионное соотношение, позволяющее при произвольном комплексном h определять функцию / по её мнимой части на разрезе. Дана физическая интерпретация особенностей /: им отвечают примесные колебания в LC-модели — решетки, связи которой имеют либо емкостное, либо индуктивное сопротивление. Рассмотрена низкочастотная дисперсия проводимости и диэлектрической проницаемости. Достаточно подробно исследованы аналитические свойства функции / для двух конкретных двумерных моделей.

3. Рассмотрена проводимость одноосных кристаллов — нитевидных (типа TCNQ) и слоистых (типа графита) — с макроскопическими включениями (диэлектрическими или идеально проводящими). Показано, что для сильно анизотропного (с параметром анизотропии 7 1) нитевидного кристалла со случайным распределением включений линейное но концетрации с приближение для эффективной проводимости пригодно при весьма малых с : с< 7"1 < 1, Выяснена причина нарушения этою приближения (применимого для изотропных композитов при всех с<1) при с ~ 7"1 < 1, связанная с особенностью обтекания током включений в этом случае. В области концентраций с7 1 дана физическая картина протекания тока через сильно анизотропный неоднородный образец и на её основании предложена качественная теория проводимости таких сред. В промежуточной области концентраций 7"1 <с<С 1 происходит существенная изотропизация подобной среды — анизотропия системы в целом значительно меньше, чем анизотропия матрицы. При приближении к точке фазового перехода изотропизация таких систем становится практически полной и их свойства в критической области близки к свойствам изотропных сред. Отмечено, что в сильно анизотропных слоистых кристаллах с диэлектрическими включениями имеются две точки фазового перехода металл-диэлектрик — при двумерной и при трехмерной критических концентрациях.

4. При изучении термоэлектрических свойств изотропных бинарных композитов использование преобразования симметрии позволило установить изоморфизм исходной задачи и стандартной задачи о проводимости в отсутствие термоэлектрических эффектов. С помощью соответствующих соотношений изоморфизма многопараметрические эффективные характеристики — проводимость ае, теплопроводность хе и термоэдс ае выражены через термоэлектрические свойства отдельных компонент и двухпараметрическую функцию /. Исключение из этих выражений функции / приводит к соотношению общего вида между величинами сге, хе и ае, не зависящему ни от концентрации, ни от конкретной структуры композита. Показано, что у термоэдс ае возможны два типа критического поведения и соответствующие критические индексы выражены через индексы стандартной эффективной проводимости, т.е. функции /. Произведено обобщение полученных формул на некоторые другие модели.

5. В задаче о гальваномагнитных свойствах изотропных бинарных композитов (трехмерный случай) выяснена структура — зависимость от гальваномагнитных характеристик отдельных компонент — эффективного тензора проводимости <те в слабом магнитном поле Н. Коэффициентами в этом разложении являются двухпараметрические функции, для которых найдено явное выражение через напряженность электрического поля в среде. Эти функции определены численными методами во всем диапазоне изменения концентрации, проанализировано их поведение в окрестности точки фазового перехода металл-диэлектрик и найдены соответствующие критические индексы. В рамках гипотезы подобия дано, тем самым, последовательное описание критическою поведения как коэффициента Холла, так и магнитосопротивления изотропных композитов. В случае сильного магнитного поля рассмотрена картина протекания тока через анизотропный композит с учетом наличия холловских составляющих тензора проводимости матрицы и даны качественные оценки для составляющих тензора <те.

6. Для композита с произвольной двумерной структурой с помощью преобразования симметрии установлен изоморфизм задачи о гальваномагнитных свойствах (при произвольных Н) и задачи о проводимости при Н = 0. Соотношения изоморфизма позволили выразить составляющие эффективного тензора проводимости <7е через гальваномагнитные характеристики отдельных компонент и двухпараметрическую функцию /, описывающую проводимость системы при Н = 0. Рассмотрено поведение составляющих тензора де как функций Н в окрестности критической концентрации (порога протекания). Показано, что аномальная проводимость может иметь место только вблизи порога протекания и, вообще говоря, в конечном диапазоне магнитных полей. Произведено обобщение полученных результатов на анизотропные системы, что позволило рассмотреть задачу о гальваномагнитных свойствах тонкой двухкомнонентной пленки в наклонном магнитном ноле.

7. В задаче о термогальваномагнитных свойствах изотропных бинарных композитов в линейном по Н и термоэдс а приближении выведено общее выражение для эффективного коэффициента Нернста Ne, в которое входит одна неопределенная трехпараметрическая функция Ф. Для величины Ф получена формула, содержащая напряженности электрического и температурного полей в среде при Н = 0 и а = 0, что дает возможность определить Ф при численном изучении проводимости, т.е. функции /. Показано, что в двух частных случаях величина Ф редуцируется до уровня двухпараметрических функций, что позволяет дать последовательное описание критического поведения эффективного коэффициента Нернста в окрестности порога протекания. В двумерном случае с помощью обобщенного преобразования симметрии установлен изоморфизм задачи о термогальваномагнитных свойствах и задачи о проводимости (при Н = 0 и а = 0). Для двумерных систем величина Ф выражается через функцию /.

8. Для двумерных двоякопериодических систем с произвольной (но достаточно симметричной) формой включений предложен общий метод вычисления проводимости и других эффективных электрофизических характеристик. Метод основан на введении мультипольных поляризуемостей включения — коэффициентах в его отклике на различные, в общем случае неоднородные, внешние электрические поля. Исследованы некоторые общие свойства матрицы мультипольных поляризуемостей и найдено для неё, в частности, соотношение симметрии. Для включения эллиптической формы мультипольные поляризуемости найдены в явном виде. Дано решение задачи о проводимости одной из простейших моделей — двумерной системы с включениями крестообразной формы, расположенных в узлах квадратной решетки. Достаточно подробно исследованы проводимость и другие характеристики двумерной модели Рэлея — регулярной системы с включениями круговой формы.

9. В задаче о диффузии частицы в среде с поглощающими ловушками дано строгое решение для одномерного случая. Для двумерных и трехмерных систем найдено с экспоненциальной точностью асимптотическое выражение для вероятности выживания частицы при больших временах и определены границы применимости так называемого газового приближения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Балагуров, Борис Яковлевич, 2006 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // М.: Наука, 1992. 664 с.

2. Kirkpatrick S. Percolation and Conduction // Rev. Mod. Phys. 1973. Vol.45. №4. P. 574 588.

3. Isichenko M.B. Percolation, Statistical Topography, and Transport in Random Media // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol.64. №4. P.961 1043.

4. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред // УФН. 1975. Т. 117. Вын.З. С. 401 435.

5. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных полупроводников // М.: Наука, 1979. 416 с. Глава 5.

6. Эфрос А.Л. Физика и юометрия беспорядка // М.: Наука, 1982. 175 с.

7. Eftos A.L., Shklovskii B.I. Critical Behaviour of Conductivity and Dielectric Constant near the Metal-Non-Metal Transition Threshold // Phys. Stat. Sol.(b). 1976. Vol.76. №2. P.475 -485.

8. Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. Вып. 1(7). С. 110- 115.

9. Емец Ю.П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой // Киев:Наукова думка, 1986. 192 с.

10. Lord Rayleigh On the Influence of Obstacles arranged in Rectangular Order upon the Properties of a Medium // Phil. Mag. S.5.1892. Vol.34. №211. P. 481 502.

11. Straley J.P. Critical Phenomena in Resistor Networks // J. Phys. C. 1976. Vol.9. №5. P.783 795.

12. Keller J.B. A Theorem on the Conductivity of a Composite Medium // J. Math. Phys. 1964. Vol.5. №4. P.548 549.

13. Mendelson K.S. Effective Conductivity of Two-Phase Material with Cylindrical Phase Boundaries // J. Appl. Phys. 1975. Vol.46. №2. P.917 918.

14. Mendelson K.S. A Theorem on the Effective Conductivity of a Two-Dimensional Heterogeneous Medium // J. Appl. Phys. 1975. Vol.46. №11. P.4740 4741.

15. Meredith R.E., Tobias C.W. Resistance to Potential Flow through a Cubical Array of Spheres // J. Appl. Phys. 1960. Vol.31. №7. P. 1270 1273.

16. Doule W.T. The Clausius-Mossotti Problem for Cubic Arrays of Spheres // J. Appl. Phys. 1978. Vol.49. №2. P.795 797.

17. McPhedran R.C., McKenzie D.R. The Conductivity of Lattices of Spheres. I.The Simple Cubic Lattice // Proc. R. Soc. Lond. 1978. Vol. A 359. P. 45 63.

18. Perrins W.T., McKenzie D.R., McPhedran R.C. Transport Properties of Regular Arrays of Cylinders // Proc. R. Soc. Lond. 1979. Vol. A 369. P. 207 225.

19. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Проводимость двумерной системы с периодическим расположением включений круювой формы // ЖЭТФ. 2000. Т. 117. Вып. 5. С. 978 989.

20. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. О проводимости двумерной системы с двояко-периодическим расположением круювых включений // ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып.1. С.106 111.

21. Балагуров Б.Я. Гальванома1 нитные свойства неоднородных сред в слабом магнитном поле // ЖЭТФ. 1987. Т. 93. Вып. 5(11). С. 1888 1903.

22. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Среднеквадратичные характеристики полей в задаче о прводимости двухкомпонентныхсред. Численный эксперимент на плоской неупорядоченной решетке // ЖЭТФ. 1994. Т. 106. Вып. 3(9). С. 811 827.

23. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Квадратичные эффективные характеристики в задаче о проводимости двухкомпонентных сред. Численный эксперимент на трехмерной неупорядоченной решетке // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. Вып. 3(9). С. 1001 1017.

24. Dubson М.А., Garland J.C. Measurement of the Conductivity Exponent in Two-Dimensional Percolating Networks: Square Lattice Versus Random-Void Continuum // Phys. Rev. B. 1985. Vol.32. №11. P.7621 7623.

25. Frank D.J., Lobb C.J. Highly Efficient Algorithm for Percolative Transport Studies in Two Dimensions // Phys. Rev. B. 1988. Vol.37. №1. P.302 307.

26. Soliman M.A., Ahmed E. d-Dimensional Conductivity, Conductivity Exponent, and Critical Concentration in the Site Problem // Phys. Rev. B. 1990. Vol.41. №1. P. 782 785.

27. Straley J.P. Critcal Exponents for the Conductiion of Random Resistor Lattices // Phys. Rev. B. 1977. Vol. 15. № 12. P. 5733 5737.

28. Gingold D.B., Lobb C.J. Percolative Conduction in Three Dimensions // Phys. Rev. B. 1990. Vol.42. №13. P.8220 8224.

29. Levy O., Bergman D.J. Critical Behavior of the Weakly Nonlinear Conductivity and Fliker Noise of Two-Component Composites // Phys. Rev. B. 1994. Vol.50. №6. P. 3652 3660.

30. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Структурные флуктуации поля и тока в задаче о проводимости неоднородных сред. Теория и численный эксперимент // ЖЭТФ. 2003. Т. 124. Вып. 5(11). С. 1138 1148.

31. Stroud D., Hui P.M. Nonlinear Susceptibilities of Granular Matter // Phys. Rev. B. 1988. Vol.37. № 15. P.8719 8724.

32. Bergman D.J. Nonlinear Behavior and 1// Noise near a Conductivity Threshold: Effects of Local Microgeometry // Phys. Rev. B. 1989. Vol.39. №7. P.4598 4609.

33. Балагуров Б.Я. О парциальных моментах напряженности электрического поля в задаче о проводимосги бинарных композитов // ЖЭТФ. 2001. Т. 120. Вып. 4(10). С. 945 -953.

34. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Парциальные моменты напряженном! и электрического поля в задаче о проводимости бинарныхкомпозиюв. Численный эксперимент на плоской неупорядоченной решетке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. Вып. 4(10). С. 926 935.

35. Rammal R., Tannous С., Breton P., Tremblay A.-M.S. Flicker (1//) Noise in Percolation Networks: F New Hierarchy of Exponents // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol.54. №15. P. 1718- 1721.

36. Rammal R., Tannous C., Tremblay A.-M.S. 1// Noise in Random Resistor Network: Fractals and Percolating Systems // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31. № 4. P. 2662 2671.

37. Tremblay A.-M.S., Feng S., Breton P. Exponents for 1// Noise near a Continuum Percolation Threshold // Phys. Rev. B. 1986. Vol.33. №3. P.2077 2080.

38. Сатанин A.M., Хорьков С.В., Угольников А.Ю. Нелинейная проводимость неупорядоченной среды на пороге протекания // Письма в ЖЭТФ. 1995. Т. 62. Вып. 4. С. 301 304.

39. Финкельберг В.М. Вириальное разложение в задаче об электростатической поляризации системы многих тел // ДАН СССР. 1963. Т. 152. Вып. 2. С. 320 323.

40. Финкельберг В.М. Диэлектрическая проницаемость смесей // ЖТФ. 1964. Т. 34. Вып. 3. С. 509 518.

41. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов // М.: УРСС, 2001. 206 с.

42. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного // М.: Наука, 1965. 716 с.

43. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений // М.: ИЛ, 1963. 406 с.

44. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики // М.: Наука, 1980. 448 с.

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика // М.: Наука, 1988. 736 с.

46. Балагуров Б.Я. О проводимости сред с малой концентрацией включений неэллипсоидальной формы // ЖТФ. 1982. Т. 52. Вып. 5. С. 850 857.

47. Балагуров Б.Я. О проводимости неоднородных сред с малой концентрацией включений // ЖЭТФ. 1985. Т. 89. Вып. 5(11). С. 1796 1809.

48. Кепдалл М., Моран П. Геометрические вероятности // М.: Наука, 1972. 192 с.

49. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т.И // М.: ИИЛ, 1960. 896 с.

50. Castner T.G., Lee N.K., Cieloszyk G.S. and Salinger G.L. Dielectric Anomaly and the Metal-Insulator Transition in n-Type Silicon // Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 34. JV°26. P. 1627- 1630.

51. Zylbersztejn A., Pannetier B. and Merenda P. Fast Pulse Measurements of the Dielectric Constant of Semiconducting V02 // Phys. Lett. 1975. Vol.54A. JV«2. P. 145 147.

52. Дубров В.E., Ленинштейн М.Е., Шур М.С. Аномалия диэлектрической проницаемости при переходе металл-диэлектрик. Теория и моделирование // ЖЭТФ. 1976. Т. 70. Вып. 5. С. 2014 2024.

53. Виноградов А.П., Каримов A.M., Кунавин А.Т. и др. Исследование критического поведения диэлектрической проницаемости гетерогенных смесей // ДАН. 1984. Т. 275. Вып.З. С. 590 592.

54. Балагуров Б.Я. К теории дисперсии проводимости двухкомпонентных сред // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып. 5. С. 1664 1675.

55. Балагуров Б.Я. Спектральное представление тензора поляризуемости макроскопических тел // ЖЭТФ. 1987. Т. 93. Вып. 1(7). С. 316 329.

56. Балагуров Б.Я. К теории поляризуемости макроскопических тел // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. Вып. 1(7). С. 95 108.

57. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (Нерелятивистская теория) // М.: Наука, 1989. 768 с.

58. Балагуров Б.Я. О проводимости двумерных систем с макроскопическими неоднородности // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. Вып. 4(10). С. 1561 1572.

59. Bergman D.J. The Dielectric Constant of a Composite Material — a Problem in Classical Physics // Phys. Rep. 1978. Vol.43. №9. P.377 407.

60. Bergman D.J. Rigorous Bounds for the Complex Dielectric Constant of a Two-Component Composite // Ann. Phys. 1982. Vol.138. P. 78 114.

61. Лифшиц И.М. О структуре энергетического спектра и квантовых состояниях неупорядоченных конденсированных систем // УФН. 1964. Т. 83. Вып. 4. С.617 663.

62. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Исследование аналитических свойств эффективной диэлектрической проницаемости двумерной модели Рэлея // ЖЭТФ. 2005. Т. 127. Вып. 4. С. 827-837.

63. Дрейзин Ю.А., Дыхне A.M. Магнетосопротивление поликристаллов и его размерный эффект // Письма в ЖЭТФ. 1971. Т. 14. С. 101 105.

64. Дрейзин Ю.А., Дыхне A.M. Аномальная проводимость неоднородных сред в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. 1972. Т. 63. Вып. 1(7). С. 242 260.

65. BaiiaiypoB Б.Я. О проводимости анизотропных неоднородных сред // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 6. С. 2053 2067.

66. Балагуров Б.Я. К теории проводимости анизотропных двухкомпонентных сред // ФТТ. 1985. Т. 27. Вып. 8. С. 2375 2382.

67. Балагуров Б.Я. Протекание тока через тонкие пленки с топологической структурой // ЖТФ. 1981. Т. 51. Вып. 6. С. 1146 1151.

68. Балагуров Б.Я. О проводимости тонких пленок с анизотропной топологической структурой // ЖТФ. 1983. Т. 53. Вып.З. С. 428 435.

69. Балагуров Б.Я., Виноградов Г.А. Транспортные процессы в композитах с включениями иглообразной формы. 1.Качественное рассмотрение //Хим. физика. 2004. Т. 23. Вып. 10. С. 62 69.

70. Балагуров Б.Я., Виноградов Г.А. Транспортные процессы в композитах с включениями иглообразной формы. 2.Теория эффективной среды // Хим. физика. 2004. Т. 23. Вып. И. С. 73 77.

71. Balagurov B.Ya., El'yashevich М.М. and Vinogradov G.A. On the percolation model of conductivity of anisotropic polymer structures // Mater. Sci. 1988. Vol.14. №1-3. P.157 168.

72. Рязанов Г.В. Случайные блуждания на плоской решетке с ловушками // ТМФ. 1972. Т. 10. Вып. 2. С. 271 274.

73. Балагуров Б.Я., Вакс В.Г. О случайных блужданиях частицы по решетке с ловушками // ЖЭТФ. 1973. Т.65. Вып.5(11). С. 1939 1946.

74. Shklovskii B.I. Anisotropy of Percolation Conduction // Phys. Stat. Sol. (b). 1978. Vol.85. №2. P.Kill -K114.

75. Шкловский Б.И. Анизотропия перколяционной электропроводности смесей двух анизотропных сред // Письма в ЖТФ. 1981. Т. 7. Вып. 21. С. 1312 1315.

76. Han К.Н., Lee J.O., Lee S.I. Confirmation of the Universal Conductivity Critical Exponent in a Two-Dimensional Anisotropic System // Phys. Rev. B. 1991. Vol.44. №13. P.6791 6793.

77. Вакс В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков // М.: Наука, 1973. 328 е.; § 17.

78. Bernasconi J. Conduction in anisotropic disordered systems: Effective-medium theory // Phys. Rev. B. 1974. Vol.9. №10. P.4575 4579.

79. Webman I., Jortner J. and Cohen M.H. Thermoelectric Power in Inhomogeneous Materials // Phys. Rev. B. 1977. Vol. 16. №6. P. 2959 2964.

80. Troadec J. and Bideau D. Thermoelectric Power and Percolation // J. Phys. C. 1983. Vol. 16. №7. P. 1169 1177.

81. Скал A.C. Вычисление термоэде в моделях теории протекания // ЖТФ. 1982. Т. 52. Вып. 2. С. 405 406.

82. Скал А.С. Критическое поведение термоэде бинарных композитных материалов // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып. 2. С. 516 521.

83. Halpern V. The thermopower of binary mixtures // J. Phys. C. 1983. Vol. 16. №7. P.L217- L220.

84. Аброян И.А., Величко В.Я., Чудновский Ф.А. Электропроводность и термоэдс в области двумерного протекания при фазовом переходе металл-полупроводник // ФТТ. 1985. Т. 27. Вып. 6. С. 1667 1670.

85. Балагуров Б.Я. Соотношения взаимности в двумерной теории протекания // ЖЭТФ. 1981. Т. 81. Вып. 2(8). С. 665 671.

86. Балагуров Б.Я. О термоэлектрических свойствах неоднородных тонких пленок // ФТП. 1982. Т. 16. Вып. 2. С. 259 265.

87. Балагуров Б.Я. Об изоморфизме некоторых задач теории протекания // ЖЭТФ. 1983. Т. 85. Вып. 2(8). С. 568 584.

88. Herring С. Effect of Random Inhomogeneities on Electrical and Galvanomagnetic Measurements // J. Appl. Phys. 1960. Vol.31. №11. P. 1939 1953.

89. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П. Физическая кинетика // М.: Наука, 1979. 528 с.

90. Балагуров Б.Я. О вычислении термоэдс неоднородных сред // ФТП. 1987. Т. 21. Вып. 11. С. 1978 1982.

91. Балагуров Б.Я. К теории термоэлектрических свойств двухкомпонентных сред // ФТП. 1986. Т 20. Вып. 7. С. 1276 1280.

92. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, часть 1. М.: Наука -Физматлит, 1995. 606 с. § 120.

93. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

94. Грязнов О.С., Мойжес Б.Я., Немчинский В.А. Обобщенная термоэлектрическая эффективность // ЖТФ. 1978. Т. 48. Вып. 8. С. 1720 1728.

95. Гудкин Т.С., Иорданишвили Е.К., Кудинов В.А., Фискинд Е.Э. Термоэлектрические, гальвано- и термомагнитные свойства гетерогенных слоистых сред // ФТП. 1982. Т. 16. Вып. 9. С. 1620 1624.

96. Бабин В.П., Гудкин Т.С., Дашевский З.М. и др. Искусственно-анизотропные термоэлементы и их предельные возможности // ФТП. 1974. Т. 8. Вып. 4. С. 748 -753.

97. Балагуров Б.Я. О термоэлектрических свойствах геометрически анизотропных сред // ФТП. 1985. Т. 19. Вып. 1. С. 133 135.

98. Балагуров Б.Я. О термоэлектрических свойствах поликристаллов // ФТП. 1985. Т. 19. Вып. 5. С. 968 970.

99. Балагуров Б.Я. О термоэлектрических свойствах тонких поликрисгалли-ческих пленок // ФТП. 1982. Т. 16. Вып. 10. С. 1870 1872.

100. Шкловский Б.И. Критическое поведение коэффициента Холла вблизи порога протекания // ЖЭТФ. 1977. Т. 72. Вып. 1. С. 288 295.

101. Скал А.С. Вычисление эффекта Холла в моделях теории протекания // ДАН СССР. 1981. т. 260. Вып.З. С. 602 604.

102. Skal A.S., Andreev А.А., Tbchirner H.U. Percolation theory and transport coefficients in disordered systems // Phil. Mag. B. 1982. Vol.45. №3. P.323 333.

103. Skal A.S. Topology of a two-component disordered system below and above the percolation threshold // Phil. Mag. B. 1982. Vol.45. №3. P.335 346.

104. Bergman D.J., Kantor Ya., Stroud D., Webman I. Critical Behavior of the Low-Field Hall Conductivity at a Percolation Threshold // Phys.Rev.Lett. 1983. Vol. 50. №19. P. 1512 1515.

105. Bergman D.J., Stroud D. Scaling theory of the low-field Hall effect near the percolation threshold // Phys. Rev. B. 1985. Vol.32. №9. P.6097 6099.

106. Левинштейн M.E., Шур M.C., Эфрос А.Л. Гальваномагнитные явления в неупорядоченных системах. Теория и моделирование // ЖЭТФ. 1975. Т. 69. Вып.6(12). С. 2203 2211.

107. Webman I., Jortner J., Cohen M.H. Numerical simulations of the Hall effect in inhomogeneous materials // Phys. Rev. B. 1977. Vol. 15. №4. P. 1936 1940.

108. Cohen M.H., Jortner J. Effective Medium Theory for the Hall Effect in Disordered Materials // Phys. Rev. Lett. 1973. Vol.30. №15. P.696 698.

109. Skal A.S. Percolation and critical behaviour of kinetic coefficients // J. Phys. C. 1985. Vol. 18. № 18. P. 3483 3495.

110. Скал A.C. Переход металл-неметалл в моделях теории протекания: эффект Холла // ФТТ. 1985. Т. 27. Вып. 5. С. 1407 1413.

111. Dai U., Palevski A., Deut&cher G. Hall effect in a three-dimensional percolation system // Phys. Rev. B. 1987. Vol.36. № 1. P. 790 792.

112. Sarychev A.K., Vinogradov A.P. Effective Medium Theory for the Magneto-conductivity Tensor of Disordered Materials // Phys. Stat. Sol. (b).1983. Vol.117. P.K113-K118.

113. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. К теории магнитосопротивления бинарных композитов в слабом магнитном поле. Результаты численного эксперимента // ЖЭТФ. 2002. Т. 121. Вып.З. С.770 778.

114. Балагуров Б.Я. О проводимости неоднородных сред в сильном магнитном поле // ФТТ. 1986. Т. 28. Вып. 10. С. 3012 3019.

115. Корж С.А. О сопротивлении поликристаллов в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. Вып. 2(8). С. 510 515.

116. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов // М.: Наука, 1971. 416 с.

117. Дыхне A.M. Аномальное сопротивление плазмы в сильном магнитном поле // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. Вып. 2(8). С. 641 647.

118. Балагуров Б.Я. Гальваномагнитные свойства тонких неоднородных пленок // ФТТ. 1978. Т. 20. Вып. 11. С. 3332 3335.

119. Stroud D., Bergman D.J. New exact results for the Hall coefficient and magneto-resistance of inhoinogeneous two-dimensional metals// Phys. Rev. B. 1984. Vol.30 № 1. P. 447-449.

120. Балагуров Б.Я. Гальваномагнитные свойства двумерных двухкомпонентных систем // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 4 С. 1333 1346.

121. Балагуров Б.Я. К теории гальваномагнитных свойств двумерных двухкомпонентных систем // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. Вып. 6(12). С. 2202 2215.

122. Dykhne A.M., Ruzin I.M. Theory of the fractional quantum Hall effect: The two-phase model // Phys. Rev. B. 1994. Vol.50. №4 . P.2369 2379.

123. Балагуров Б.Я. О гальванома1 нитных свойствах тонких неоднородных пленок // ФТТ. 1982. Т. 24. Вын. 11. С. 3492 3494.

124. Балагуров Б.Я. Термогальваномагнитные свойства неоднородных сред в слабом магнитом поле // ФТТ. 1988. Т. 30. Вып. И. С. 3501 3502.

125. Балагуров Б.Я. О коэффициенте Нернста бинарных композитов в слабом магнитном поле // ФТП. 2003. Т. 37. Вып. 9. С. 1094 1099.

126. Балагуров Б.Я. Термогальваномагнитные свойства двумерных двухкомпонентных систем // ФТТ. 1986. Т. 28. Вып. 7. С. 2068 2074.

127. Натансон Х.С., Гольдберг Я. Физика тонких пленок // М.: Мир, 1978. Вып. 8. 264 с.

128. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменною и некоторве их приложения // М.: Наука, 1964. 388 с.

129. Балагуров Б.Я. Эффективные электрические характеристики двумерной трехкомпонентной двоякопериодической системы с включениями круговой формы // ЖЭТФ. 2001. Т. 119. Вып. 1. С. 142 153.

130. Балагуров Б.Я. К теории проводимости композитов с двумерной периодической структурой // ЖЭТФ. 2001. Т. 120. Вып. 3(9). С. 668 677.

131. Балагуров Б.Я. К теории проводимости трехкомнонентных композиционных пленок с двухподрешеточной структурой // ЖЭТФ. 2002. Т. 122. Вып. 2(8). С. 419 428.

132. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений // М.: Наука, 1962. 1100 с.

133. Бейтмеп Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. III // М.: Наука, 1967. 300 с.

134. Справочник по специальным функциям под ред. Абрамовича М. и Стиган И. // М.: Наука, 1979. 832 с.

135. Балагуров Б.Я. О поляризуемости пары цилиндров в поперечном электрическом поле // ЖТФ. 2003. Т. 73. Выи. 8. С. 7 12.

136. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Исследование электрофизических характеристик двумерных трехкомпонентных моделей// ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 10. С. 1 9.

137. Montroll E.W., Weiss G.H. Random Walks on Lattices. II // J. Math. Phys. 1965. Vol.6. №2. P. 167- 181.

138. Монтролл Э. В. Статистика решеток — в сборнике под ред. Э. Беккенбаха "Прикладная комбинаторная математика"// М.: Мир, 1968. 362 с

139. Овчинников А.А., Белый А.А. О кинетике гибели радикалов в полимерах // Теоретическая и экспериментальная химия. 1966. Т. 2. Вып. 4. С. 538 542.

140. Rosenstock Н.В. Random Walks on Lattices with Traps // J. Math. Phys. 1970. Vol. 11. №2. P. 487- 490.

141. Grassberger P., Procaccia I. The long time properties of diffusion in a medium with static traps // J. Chem. Phys. 1982. Vol.77. JV« 12. P.6281 -6284.

142. Kayser R.F., Hubbard J.B. Diffusion in a Medium with a Random Distribution of Static Traps // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.51. JV«2. P. 79 82.

143. Onipko A.I. Application of the Cluster Size Distribution in Binary Randomly Disordered Finite Chains // Phys. Stat. Sol. (b). 1984. Vol. 123. № 1. P. 37 44.

144. Lubensky T.C. Fluctuations in random walks with random traps // Phys. Rev. A. 1984. Vol.30. №5. P.2657 2665.

145. Овчинников A.A., Пронин K.A. Самосогласованное приближение эффективной среды для блужданий на решетке со случайными ловушками // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. Вып.З. С. 921 936.

146. Renn S.R. Statistics of random walks on trapped lattices // Nuclear Physics B. 1986. Vol.275. JV°2. P.273 295.