Линеарнзированные течения вязкопластических тел с учетом сил инерции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Санаева, Татьяна Александровна

• Санаева, Татьяна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Санаева, Татьяна Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Устойчивость течения вязкопластической

полосы при наличии сил инерции

§1. Возмущенное течение вязкопластической полосы при

начальном деформировании отличном от нуля (е° Ф 0). 13 §2. Возмущенное течение вязкопластической полосы в

случае отсутствия начального деформирования (е° = 0)

Глава II. О растяжении прямоугольного бруса из ;

вязкопластического материала с учетом сил инерции. 32 §1. Вязкопластическое течение прямоугольного бруса при

начальном деформировании отличном от нуля ф 0). 35 §2. Вязкопластическое течение прямоугольного бруса в

случае отсутствия начального деформирования (в,0 = 0 )

Заключение

Литература

59

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линеарнзированные течения вязкопластических тел с учетом сил инерции»

ВВЕДЕНИЕ

Использование конструктивных материалов в экстремальных условиях нагружения требует учета различных механических свойств тел. Металлы в условиях высоких температур изменяют свои свойства со временем, обнаруживают текучесть и со временем могут накапливать большие деформации (явление ползучести).. Учет вязкости нередко необходим при быстрых движениях (например, связанных с колебаниями, ударами).

В современной технике все больше используются сложные механические свойства высокополимеров. Для таких материалов характерна важная роль времени: процессы деформации здесь являются неравновесными.

Механические свойства сложных сред с достаточной степенью точности можно описать при помощи механических моделей. Для простоты рассмотрим одноосное напряженное состояние (растяжение стержня); обозначим через ст - напряжение, е - относительное удлинение.

Упругий элемент, подчиняющийся закону Гука а = Ее, изображается в виде пружины (рис. 1а).

Вязкий элемент, следующий закону вязкости Ньютона а = |х—,

Л

изображается в виде поршня, двигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 16).

Жесткопластический элемент изображается в виде элемента с сухим трением. Такое тело не испытывает деформации при напряжениях ниже

предела текучести; деформирование развивается только при напряжениях, удовлетворяющих условию текучести (а = к) (рис. 1в).

Комбинируя простые модели, можно рассматривать различные модели сложных Сред.

При параллельном соединении упругого и вязкого элементов

йг

получается упруговязкая среда Фойхта а = Ее + ц— (рис.2а).

си

При последовательном соединении упругого и вязкого элементов складываются скорости деформации, отвечающие одному и тому же направлению. Закон деформации такой среды впервые получил

Масквелл — = —— + — (рис. 26). Л ЕЛ ц

Последовательное соединение вязкого и пластического элементов приводит к ползуче-пластической среде. Такая среда представляет большой интерес в теории ползучести металлов (рис.За).

Параллельное соединение вязкого и пластического элементов дает вязкопластическую среду, закон деформации которой имеет вид

Iе*8 ^,

<т = к + и.— при ст>к; ск Р

при ст<к среда не деформируется (рис.3б).

Вязкопластическую среду рассматривали Ф.Н. Шведов (1890), Бингам и Грин (1919). Бингам и Грин ввели понятие идеализированного пластического тела, которое сопротивляется пластической деформации за счет своего предела текучести и за счет вязкости, называемой пластической вязкостью. Такое тело именуется в настоящее время телом Бингама.

Для многих веществ заметное течение появляется лишь при определенной нагрузке; вязкость среды при этом влияет на скорость течения. Вязкопластическими свойствами характеризуются многие реальные вещества - металлы при достаточно высокой температуре, различные густые смазочные материалы, краски и т.д. Совершенствование многих технологических процессов (горячая обработка металлов, перемещений различных пластических масс в машинах, трубопроводах и т.д.) требует изучение движения вязкопластических материалов; гидродинамическая теория смазки при густых смазочных материалах также основывается на уравнениях вязкопластического течения. Прочностный расчет элементов конструкций, стержней, пластин, оболочек, труб при учете вязкопластических свойств, принадлежит к числу актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Настоящая работа посвящена линеаризированным задачам теории вязкопластических изотропных тел с учетом сил инерции. Линеаризация проводится методом малого параметра.

Постановка задачи об устойчивости вязкопластического течения принадлежит A.A. Ильюшину [20-22]. А.А.Ильюшин предложил дифференциальные уравнения, описывающие возмущенное поведение вязкопластических сред, и определил соответствующие граничные условия, решил задачи о течениях близких к плоскому равномерному деформированию полосы и плоскому деформированию цилиндра. При этом A.A. Ильюшин использовал лагранжевый метод описания движения сплошной среды.

Дальнейшее развитие устойчивости течений вязкопластической среды получила в работах А.Ю. Ишлинского [24-28]. А.Ю. Ишлинский

применил эйлеровый способ рассмотрения течения вязкопластического тела, получил уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды. Им был решен ряд конкретных задач: об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута, боковая поверхность которого имеет периодическое осесимметрические возмущения; о вязкопластическом течении круглой пластины под действием нормальных сил, приложенных по ее цилиндрической границе; об ударе о жесткую преграду вязкопластического стержня конечной длины; о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения и др.

Решения ряда задач по теории вязкопластических тел проводятся в работах В.А. Знаменского [12-13], П.П.Мосолова и В.П.Мясникова [3239], Г.И.Быковцева и А.Д.Чернышова [3], П.М.Огибалова и А.Х.Мирзаджанзаде [41], П. Пежиной [43], Т.И.Рыбаковой [45-46] и др.

Метод возмущений для решения задач жесткопластического анализа применили Онат Е. и Прагер В. [42], в работе определено поле напряжений, поле скоростей для растягиваемой полосы, ослабленной пологими выточками, решение получено в виде полиномов. Задача о течении полосы из идеального жесткопластического материала при малых возмущениях границы следует, как частный случай, из решения А.Ю. Ипшинского [24] о течении вязкопластической полосы при равенстве нулю коэффициента вязкости. Позднее А.Ю. Ишлинский дал решение задачи [30], решение получено в виде тригонометрических рядов.

Малый параметр может быть введен в теории пластичности различным образом. Он может характеризовать возмущение как статических, так и геометрических краевых условий. В качестве малого

параметра А.А.Ильюшин [23] использовал величину, обратную модулю объемного сжатия, и исследовал напряженное состояние балки при чистом сдвиге за пределом упругости.

Линеаризацию по параметру, характеризующему геометрию тела, предложил A.M. Качанов [31]. Им исследовано кручение круглых стержней переменного диаметра и ползучесть овальных и разностенных труб.

Л.В. Ершов и Д.Д. Ивлев в [11], И.П. Григорьев [4] предложили использовать в качестве параметра величину, характеризующую различие между плоским деформированным и осесимметричным состояниями тела.

Малый параметр, характеризующий свойства пластического материала, предложен в работах Л.А. Толоконикова и его сотрудников [47-49]. Используя метод приближений, Б.А. Друянов [7-8] учел неоднородность пластического материала. Малый параметр характеризовал возмущение условия пластичности. А.Н. Гузь [6] рассмотрел метод малого параметра напряженно-деформированное состояние композитных материалов мелкомасштабными искривлениями в структуре.

Дальнейшее развитие метод малого параметра получил в работах Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [16]. Получены общие соотношения для плоских и осесимметричных задач теории идеальной пластичности и теории малых упругопластических деформаций. Решен ряд конкретных задач: о вдавливании тонкого тела в жесткопластическую среду, о деформировании конической, эллиптической, искривленной труб, находящихся под действием нормального давления, о двуостном растяжении толстой и тонкой пластины с круговым и эллиптическим

отверстиями и др. В частности, произведен учет упругой сжимаемости для упругопластических тел за счет разложения в ряд коэффициента Пуассона.

При описании поведения сложных сред возникают характерные трудности. Деформационные теории, как правило, используют лагранжево представление о поведении среды, в теориях течения может быть использовано эйлерово представление. Задачей описания совместного течения и деформирования элементов сложных сред является формулировка всех соотношений в одной системе координат: лагранжевой или эйлеровой. А.Н. Гузь [5] рассмотрел четыре класса задач о совместном движении упругих или твердых тел и сжимаемой вязкой жидкости. И показал, что для малых колебаний (малых движений) эйлеровы и лагранжевы координаты можно отождествлять, пренебречь конвективной составляющей для материальной производной

О б/ d

: — = — + V V* » — •

Ж

В данной работе рассматриваются некоторые динамические задачи вязкопластического течения тел на основе идей работ А.Ю.Ишлинского. В настоящей работе малый параметр характеризует возмущение геометрических граничных условий.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости линеаризированного течения вязкопластических тел, ослабленных пологими выточками, с учетом сил инерции.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе в постановке А.Ю.Ишлинского исследуется вязкопластическое состояние растягиваемой полосы с возмущенной границей с учетом инерционных сил. Рассматриваются два случая.

В первом случае компоненты скорости исходного движения отличны от нуля, т.е. и® Ф 0. При р = 0 получаем решение А.Ю.Ишлинского.

Во втором случае в исходном состоянии движение отсутствует и возникает только за счет возмущений: иг° = 0, и\ * 0, где мг° -компоненты скорости исходного движения, и\ - компоненты скорости возмущенного состояния движения. Рассмотрен случай при р = 0.

Во второй главе исследуется предельное состояние растягиваемого изотропного бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из вязкопластического материала с малым возмущением поверхности с учетом сил инерции.

В первом случае начальное деформирование отлично от нуля ф 0), где компоненты деформации исходного движения. Во втором случае начальное деформирование отсутствует (е,° = 0,8- ф 0), где г'{- компоненты деформации возмущенного состояния движения.

Всюду рассматривается первое приближение. На защиту выносятся следующие результаты:

- решение задачи о растяжение вязкопластической полосы с учетом сил инерции при условии равенства нулю скоростей перемещения в начальном состоянии;

- дано обобщение задачи А.Ю. Ишлинского об устойчивости течения растягиваемой полосы из вязкопластического материала с возмущенной границей на случай учета инерционных сил;

- решение задачи об устойчивости вязкопластического пространственного течения прямоугольного бруса с учетом сил

инерции при условии равенства нулю скоростей перемещения в начальном состоянии;

- исследование вязкопластического пространственного течения растягиваемого прямоугольного изотропного бруса с учетом сил инерции, ослабленный пологими выточками.

Полученные результаты могут быть использованы при расчетах вязкопластического состояния изотропных тел.

Результаты диссертации опубликованы в работах [52-58].

Отдельные результаты диссертации и работы в целом докладывались

- на семинарах по механике деформируемого твердого тела, под руководством профессора Д.Д.Ивлева (Чебоксары, ЧГПУ, 19981999г.);

- на аспирантских и общеинститутских конференциях ЧГПУ им. И.Я.Яковлева (Чебоксары, 1998-1999г.);

- на международной конференции "Итоги развития механики в Туле" (Тула,12-15.10.98).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Санаева, Татьяна Александровна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты и выводы.

1.Дано обобщение задачи А.Ю. Ишлинского об устойчивости течения растягиваемой полосы из вязкопластического материала с возмущенной границей на случай учета инерционных сил.

2. Рассмотрен частный случай плоской задачи при условии равенства нулю компонент скоростей в исходном состояния. Получено уравнение для определения собственных значений параметра, определяющего длину возмущений вязкопластической полосы.

3. Найдено условие, при котором, следуя А.А.Ильюшину, возмущенное движение вязкопластической полосы становится неустойчивым.

4. Исследовано предельное состояние растягиваемого прямоугольного изотропного бруса из вязкопластического материала с учетом сил инерции

5. Рассмотрена задача об устойчивости вязкопластического течения прямоугольного бруса с учетом сил инерции, когда компоненты скорости исходного движения равны нулю.

6. Приведены аналитические выражения для определения в первом приближение компонент напряжений, деформации и скоростей перемещений для вязкопластических полосы и прямоугольного бруса поперечного сечения при растяжении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Санаева, Татьяна Александровна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1985.- 142 с.

2. Артемов М.А., Ивлев Д.Д. О влиянии внутреннего механизма вязкости на идеальнопластическое поведение материала // ПММ. - 1983. -Т. 47, вып. 3.-С. 43 -45.

3. Быковцев Г.И., Чернышов А.Д. О вязкопластическом течении в некруговых цилиндрах при наличии перепада давления // ПМТФ. -1961.

- №5. - С.76 - 87.

4. Григорьев И.П. Сдавливание круглого в плане пластического слоя шероховатыми плитами // Препринт, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, Чебоксары, 1998 г.-С.1 -24.

5. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости // НАНУ. Институт механики им. С.П. Тимошенко. - Киев: А.С.К., 1998. - 350 с.

6. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. - Киев: Выша школа, 1989. - 226 с.

7. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Известие АН СССР. ОТН. -1960. -№ 6.

8. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности.

- М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

9. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. - М.: Наука, 1978.-352 с.

Ю.Ершов JI.B. Об образовании шейки в плоском образце при растяжении//ПМТФ. - 1961.-№1.

П.Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. Упругопластическое напряженное состояние полого толстостенного тора, находящегося под действием внутреннего давления // Изв. АН СССР. ОТН. - 1957. - №7.

12.Знаменский В.А., Воронкова Г.В. О движении вязкопластической среды в трубе с деформирующейся стенкой // Тр. науч. - исслед. ин-та математики ВГУ. - Воронеж, 1972. - Вып.6.

13.Знаменский В.А., Зубов В.П. Движение вязкопластической среды в круглой трубе при переменном перепаде давления // Прикладная механика. - Киев, 1970. - Т.6, вып.З.

14.Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. - М: Наука, 1966. - 231с.

15.Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. - М.: Наука, 1971. - 232 с.

16.Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластиче-ского тела. - М.: Наука, 1978. - 208 с.

17.Ивлев Д.Д., Чернышов А.Д. Об уравнениях теории идеальной пластичности в компонентах скоростей перемещений // ПММ. - 1971. -Т.35.

18.Ивлев Д.Д., Шитова Л.Б. Об образовании шейки при растяжении плоского образца с учетом влияния среднего давления // Краевые задачи и их приложение: Сб. статей / Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та, 1989. -С.117- 120.

19.Ивлев Д.Д., Шитова Л.Б. Об изгибе жесткопластической полосы, ослабленной пологими выточками // Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами: Сб. статей / Чебоксары: Изд-во Чуваш, унта, 1987. - С.57 - 60.

20.Ильюшин A.A. К вопросу о вязкопластическом течении материала // Тр. Конф. По пластическим деформациям. - М. - Л.: Изд-во АН СССР,

1938.-С.5-18.

21.Ильюшин А.А Деформация вязкопластического тела // Уч. записки МГУ. - 1940. - Вып.39. - С.З - 81.

22.Ильюшин А.А Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

23.Ильюшин A.A. Нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе

л

плит // Инженерный сб. - 1954. - Т. 19.

24.Ипшинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластической полосы и круглого прута // ПММ. - 1943. - Т.7, вып.2. - С.109 - 130.

25.Ишлинский А.Ю Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины // ПММ. - 1943. - Т.7, вып.6. - С.405 - 412.

26.Ишлинский А.Ю. Задача о медленном течении вязкой жидкости в круглой трубе переменного сечения // ПММ. - 1944. - Т.8, вып.5. -С.395 - 400.

27.Ишлинский А.Ю. Об уравнениях пространственного деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. -1945. -№3.-С.250 -260.

28.Ишлинский А.Ю. Уравнения деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР. ОТН. - 1945. - №1/2. - С.34 -45.

29.Ишлинский А.Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом упругости II Уч. записки МГУ. - 1946. - Вып. 117.

30.Ишлинский А.Ю Растяжение бесконечно длинной идеальной пластической полосы переменного сечения // Докл. АН УССР. - Киев, 1958. -№1. - С.12-15.

31.Качанов JIM. Основы теории пластичности. - М.: Наука,1969. - 420 с.

32.Мосолов П.П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластических сред // ПММ. - 1978. - Т.42, вып.4. - С.737 -746.

33.Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационный методы в теории течений жестко-вязкопластических сред // ПМТФ. -1961. - №2. - С.54- 60.

34.Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационный методы в теории течений вязкопластической среды // ПММ. - 1965. - Т.29, вып.З,- С.468 -492.

*

35.Мосолов П.П., Мясников В.П О застойных зонах течения вязкопластической среды в трубах // ПММ. - 1966. - Т.30, вып.4. - С.706 - 717.

36.Мосолов П.П., Мясников В.П О качественных особенностях течения вязкопластической среды в трубах // ПММ. - 1967. - Т.31, вып.З. -С.581 - 585.

37.Мосолов П.П., Мясников В.П О прямолинейных стационарных движениях вязкопластическфй среды // ДАН СССР. - 1967. - Т. 174, №2. -

* •

С.312 - 314.

38.Мясников В.П. Некоторые точные решения для прямолинейных движений вязкопластической среды // ПМТФ. -1961. - №27. - С.54 -60.

39.Мясников В.П Течение вязкопластической среды при сложном сдвиге // ПМТФ. -1961. - №5. - С.76 - 87.

40.Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: Мир, 1969. -Т.2. - 863 с.

41.0гибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластических сред. - М.: Изд-во МГУ, 1977.

42.0нат Е., Прагер В. Об образовании шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца // Сб. переводов «Механика». Ил. Москва, 1955. - №4. - С.93 - 97.

43.Пежина П. Основные вопросы вязкопластичности. - М.: Мир. - 1968. -176 с.

44.Рейнер М. Реология. - М.: Наука, 1965. - 224 с.

45.Рыбакова Т.И. Об устойчивости вязкопластического течения анизотропной полосы // Изв. ИТА ЧР. - 1996. - №1(2). - С.41 - 45.

46.Рыбакова Т.И. Об устойчивости вязкопластического течения толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв. ИТА ЧР. - 1996. - №2(3). - С.36 - 40.

47.Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // Прикладная механика. - 1966. - Т.2,- №2.

48.Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале // В сб. концентрация напряжений. - Киев: Наукова думка,- 1962. - Вып. 1.

49.Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Высш. шк., 1979. -318 с.

50.Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. - М. - 1964.

51.Хилл Р. Математическая теория пластичности. - М.: Гостехиздат, 1956.-407 с.

52.Санаева Т.А. О растяжении вязкопластической полосы с учетом сил инерции // Изв. ИТА ЧР. - 1997. - №3(8). - С.68 - 74.

53.Санаева Т.А. О растяжении вязкопластической полосы // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов, докторантов / ЧГПИ им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары, 1998. - Вып.З, т.1. -С.136 - 139.

54.Санаева Т.А. О возмущенном течении вязкопластической полосы с учетом сил инерции / ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары, 1999. -9с. - Деп. в ВИНИТИ 26.02.99, №604-В99.

55.Санаева Т.А. Устойчивость течения вязкопластической полосы при наличии сил инерции // Итоги развития механики в Туле: Тез. докл. межд. конф. - Тула: ТулГУ, 1998. - С.88.

56.Санаева Т.А. Растяжение вязкопластической полосы с учетом инерционных сил // Проблемы пластичности в технологии: Тез. докл. II межд. науч. - техн. конф. - Орел: ОрелГТУ, 1998. - С.30.

57.Санаева Т.А. О растяжении прямоугольного бруса из вязкопластиче-ского материала с учетом сил инерции // Механика микронеоднородных материалов и разрушений: Тез. докл. Всеросс. науч. сем. -Пермь: ПермГТУ, 1999. - С.42.

58.Санаева Т.А. Вязкопластическое течение прямоугольного бруса с учетом сил инерции // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов, докторантов / ЧГПИ им. И.Я. Яковлева. - Чебоксары, 1999. - Вып.4, т.1.