Ланджевеновский подход к теории прохождения быстрых заряженных частиц через кристаллы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, доктор физико-математических наук Кощеев, Владимир Петрович

• Кощеев, Владимир Петрович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кощеев, Владимир Петрович

Введение

1 Непрерывный потенциал и корреляционная функция флуктуаций потенциала атомной цепочки и плоскости

1.1 Электрический потенциал изолированного атома и кристаллической решетки

1.2 Непрерывный потенциал атомной цепочки

1.3 Корреляционная функция флуктуаций потенциала атомной цепочки

1.4 Непрерывный потенциал и корреляционная'функция флуктуаций потенциала атомной плоскости.

1.5 Корреляционная функция и коэффициент диффузии быстрых заряженных частиц, движущихся в кристалле и аморфной среде.

2 Теория осевого каналирования

2.1 Основные уравнения теории осевого каналирования

2.2 Обоснования возможности перехода от потенциала атомной цепочки к непрерывному потенциалу.

2.3 Явление стохастической неустойчивости поперечного движения каналированных частиц

2.4 Исследование стохастических длин деканалирования протонов и антипротонов в < 110 > осевом канале кристалла кремния

2.5 Уравнение эволюции флуктуаций поперечной энергии каналированных частиц.

2.6 Решение нелинейного стохастического уравнения движения методом компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц.

3 Теория плоскостного каналирования

3.1 Основные уравнения теории плоскостного каналирования

3.2 Стохастическая неустойчивость поперечного движения быстрых заряженных частиц в плоскостных каналах кристалла

3.3 Численное исследование эволюции потока протонов и антипротонов

3.4 Квантовая теория плоскостного каналирования релятивистских электронов и позитронов.

4 Ланжевеновский подход к теории излучения и деполяризации релятивистских каналированных частиц

4.1 Спектрально - угловая плотность энергии излучения каналированных релятивистских электронов и позитронов

4.2 Спектральная интенсивность излучения каналированных релятивистских электронов и позитронов

4.3 Полная интенсивность излучения релятивистских каналированных электронов и позитронов.

4.4 Прецессия спина релятивистских частиц в изогнутом кристалле

5 Теоретическое и экспериментальное исследование процесса деканалирования ускоренных ионов в совершенных и нарушенных кристаллах

5.1 Методика эксперимента. Источник ионов и камера рассеяния

5.2 Методика приготовления образцов.

5.3 Геометрия эксперимента.

5.4 Функция деканалирования быстрых положительно заряженных частиц в области больших глубин проникновения

5.5 Деканалирование ионов водорода и гелия из осевых и плоскостных каналов кремния и арсенида галлия

5.6 Деканалирование ионов гелия в радиационно нарушенных кристаллах арсенида галлия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ланджевеновский подход к теории прохождения быстрых заряженных частиц через кристаллы»

Актуальность проблемы

Хорошо известно, что периодическое расположение атомов кристалла не оказывает никакого влияния на характер движения пучка быстрых заряженных частиц за исключением случая эффекта каналирования, когда заряженные частицы движутся под малым углом к заданному кристаллографическому направлению. Движение быстрых заряженных частиц в кристаллах является стохастическим процессом, так как тепловые колебания атомов кристалла и квантовые флуктуации, которые испытывают атомные электроны, изменяют случайным образом значение поперечной силы, приводящей к малоугловому рассеянию. Известно, что стохастические процессы могут быть описаны с помощью метода кинетических уравнений движения, метода интегрирования в функциональных пространствах и метода ланжевеновских уравнений движения. Преимущественное развитие теории эффекта каналирования происходило в рамках метода кинетических уравнений движения, описывающих эволюцию плотности потока каналированных частиц как в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей, так и в пространстве поперечных энергий [1] - [11]. Метод интегрирования в функциональных пространствах был впервые использован для описания эффекта каналирования в работе [12]. Первоначально в расчетах и эксперименте использовались ионы с энергиями в десятки и сотни килоэлектроновольт, но к концу семидесятых годов энергии частиц уже достигали десятков гигаэлектро-новольт. Было обнаружено, что в условиях эффекта каналирования кристаллическая решетка- оказывает различное влияние на характер движения легких и тяжелых, положительно и отрицательно заряженных частиц. Как было показано М.А.Кумаховым, движение легких заряженных частиц высоких энергий сопровождается жестким,, монохроматическим электромагнитным излучением. В семидесятых годах Э.Н.Цыгановым [13] и В.Г.Барышевским [14] были предсказаны новые физические явления - поворот пучков частиц высоких энергий и поворот спина релятивистской частицы электрическим полем изогнутого кристалла, соответственно. Уравнение диффузионного типа, описывающее эффект канали-рования, было впервые рассмотрено Линдхардом более тридцати лет тому назад. Результаты кинетического подхода к теории прохождения быстрых заряженных частиц через кристаллы достаточно подробно отражены в монографиях Кумахова и Ширмера (1980), Оцуки (1985), Кумахо-ва (1986), Базылева и Жеваго (1987), Ахиезера и Шульги (1993), Рябова (1994). В рамках кинетического подхода была поставлена, но не решена проблема устойчивости движения каналированных частиц, которая от-носитея к числу актуальных физических проблем, таких как неустойчивость Рэлея - Бенара в гидродинамических задачах и ее аналог в физике плазмы (см.,например, Кадомцев (1988)). Итак, с одной стороны, в работах Базылева и др. [15] (см. также [5]) было установлено, что уравнение диффузионного типа в пространстве поперечных энергий неприменимо к описанию эффекта каналирования отрицательно заряженных частиц (релятивистские электроны, 7Г~ мезоны, антипротоны и т.д.), так как возрастание среднего квадрата флуктуаций поперечной энергии на одном периоде колебаний сравнимо с квадратом глубины потенциальной ямы. Это обстоятельство нарушает условие применимости адиабатического приближения , в рамках которого были получены как уравнения движения диффузионного типа, так и диффузионные коэффициенты. С другой стороны, в работах Ахиезера и Шульги ([11], [16] - [18]) было установлено, что в пределах области отрицательной гауссовой кривизны потенциала осевого или плоскостного канала возникает явление динамического хаоса с экспоненциально быстрым разбеганием траекторий каналированных частиц. Попытки обойти решение этой проблемы с помощью метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц нельзя признать удачными, поскольку закон приращения среднего квадрата угла многократного рассеяния на небольших отрезках траектории вводится эмпирически. К этому кругу проблем относится задача излучения каналированных электронов с энергией меньше одного гигаэ-лектроновольта в тонких кристаллах. При меньших и больших энергиях каналированных электронов движение их будет устойчивым за счет кван-товомеханического характера движения и потерь энергии на излучение, соответственно. В рамках кинетического подхода не удалось объяснить отсутствие деполяризации пучка релятивистских Е+ - гиперонов, движущихся в изогнутом кристалле кремния.

Цель диссертационной работы состоит в разработке основ и принципов построения нового метода исследования - ланжевеновского подхода, с помощью которого может быть изучено влияние многократного рассеяния на любой физический процесс, происходящий с быстрыми заряженными частицами в кристаллах. На первом этапе исследования нового метода следовало показать его непротиворечивость кинетическому подходу на примере тех задач, где достоверность последнего не вызывает сомнения, а на втором этапе исследования нового метода следовало продемонстрировать его преимущества при разработке ряда проблем, которые так и не нашли своего решения в рамках кинетического подхода.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые:

1. Предложен новый подход к задаче вычисления диффузионных коэффициентов, в котором не применялось адиабатическое приближение. В рамках этого подхода получены траекторно - зависящие компоненты диффузионной матрицы, которые вызваны многократным рассеянием ка-налированных частиц на электронах и ядрах в осевых и плоскостных каналах кристалла.

2. Предложен новый подход к теории прохожденйя быстрых заряженных частиц через кристаллы, основанный на нелинейном стохастическом уравнении движения ланжевеновского типа, которое для одной реализации случайного процесса, то есть в случае движения одной заряженной частицы, имеет вид классического уравнения движения.

3. Предложена процедура линеаризации нелинейного стохастического уравнения движения, основанная на методе малого шума, роль которого играет флуктуация поперечной силы. Исследование устойчивости решений линеаризованных стохастических уравнений движения привело к обнаружению нового физического эффекта: явлению стохастической неустойчивости поперечного движения каналированных частиц, согласно которому средние квадраты флуктуаций динамических величин возрастают экспоненциально быстро на участках траектории, находящихся в области отрицательной гауссовой кривизны потенциала осевого или плоскостного канала кристалла. Обнаружено, что области стохастически устойчивого и неустойчивого движения взаимно обратны для положительно и отрицательно заряженных частиц.

4. Дано теоретическое обоснование метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц как одного из методов решения нелинейного стохастического уравнения движения. Показано, что приращение среднего квадрата угла многократного рассеяния на отрезке траектории полностью определяется решением системы дифференциальных уравнений с траекторно - зависящими коэффициентами. Эта система уравнений при больших значениях угла разориентации совпадает с системой уравнений для вторых моментов функции распределения, впервые предложенной Ферми.

5. Предложен новый подход к расчету траекторно - зависящих поправок, которые учитывают влияние многократного рассеяния на спектрально - угловую, спектральную и полную интенсивность излучения каналированных электронов и позитронов с энергией меньше одного ги-гаэлектроновольта в тонких кристаллах. Существенного изменения спектра излучения следует ожидать только для каналированных электронов вследствие параметрического усиления флуктуационных колебаний поперечной координаты.

6. Предложен новый подход к описанию процесса деполяризации пучка быстрых заряженных частиц в изогнутом кристалле, когда нелинейное стохастическое уравнение движения для одной реализации случайного процесса имеет вид уравнения Баргманна - Мишеля - Телегди. Показано, что характерная длина деполяризации лептонов и барионов много больше длины деканалирования соответствующих частиц. Для лептонов это связано с близостью гиромагнитного отношения к двойке, а для барионов — с большой массой покоя.

7. Предложена модель деканалирования, с помощью которой могут быть восстановлены профили концентрации дефектов как в пике, так и за пиком радиационных нарушений кристалла.

Автор защищает :

1. Разработку основ и принципов построения нового метода исследования - ланжевеновского подхода, с помощью которого может быть изучено влияние многократного рассеяния на любой физический процесс, происходящий с быстрыми заряженными частицами в кристаллах. Этот новый метод включает в себя принципы перехода от уравнения, описывающего движение одной частицы, к нелинейному стохастическому уравнению движения; процедуру линеаризации последнего; самосогласованную процедуру расчета компонент диффузионной матрицы, которые входят в систему уравнений для средних квадратов флуктуаций динамических величин.

2. Постановку и решение проблемы устойчивости движения быстрых заряженных частиц в осевых и плоскостных каналах кристалла в рамках ланжевеновского подхода, приведшей к обнаружению нового физического эффекта: явлению стохастической неустойчивости поперечного движения каналированных частиц, согласно которому средние квадраты флуктуаций динамических величин возрастают экспоненциально быстро на участках траектории, находящихся в области отрицательной гауссовой кривизны потенциала осевого или плоскостного канала кристалла. Обнаружено, что области стохастически устойчивого и неустойчивого движения взаимно обратны для положительно и отрицательно заряженных частиц.

3. Теоретическое обоснование метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц как одного из методов решения нелинейного стохастического уравнения движения, в рамках которого было показано, что приращение среднего квадрата угла многократного рассеяния на отрезке траектории полностью определяется решением системы дифференциальных уравнений с траекторно - зависящими коэффициентами.

Применение метода конволюции, с помощью которого разрешение по поперечной энергии (координате, скорости и т.д.), число и длины отрезков прослеживаемых траекторий каналированных частиц могут быть легко оптимизированы в зависимости от цели компьютерного эксперимента.

4. Ланжевеновский подход к описанию процесса деполяризации пучка быстрых заряженных частиц в изогнутом кристалле, в рамках которого было обнаружено, что характерная длина деполяризации лептонов и барионов много больше длины деканалирования соответствующих частиц. Для лептонов это связано с близостью гиромагнитного отношения к двойке, а для барионов - с большой массой покоя.

5. Ланжевеновский подход к расчету траекторно - зависящих поправок, учитывающих влияние многократного рассеяния на спектрально -угловую,.спектральную и полную интенсивность излучения каналированных электронов и позитронов с энергией меньше одного гигаэлек-троновольта в тонких кристаллах, в рамках которого было обнаружено, что существенного изменения спектра излучения следует ожидать только для каналированных электронов вследствие параметрического усиления флуктуационных колебаний поперечной координаты.

6. Результаты эксперимента и модель деканалирования, построенную в рамках ланжевеновского подхода, с помощью которой могут быть восстановлены профили концентрации дефектов как в пике, так и за пиком радиационных нарушений кристалла.

Полный объем выполненных исследований дает начало новому научному направлению: "Ланжевеновский подход к теории прохождения быстрых заряженных частиц через вещество".

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации теоретических результатов основана на том, что в качестве исходной посылки были выбраны уравнения (уравнение Ньютона, уравнение Баргманна - Мишеля - Телегди и т.д.), описывающие движение одной заряженной частицы в кулоновском потенциале электронов и ядер атомов кристалла. Флуктуации потенциала и корреляционные функции флуктуаций потенциала были определены в рамках общепринятой теории. Усреднение по независимым тепловым колебаниям атомов кристалла осуществлялось с помощью функции распределения Гаусса, а по квантовым флуктуаци-ям, которые испытывают атомные электроны, — методом, который Бете предложил использовать для вычисления атомных форм - факторов. Решения уравнений движения искались с помощью метода малого шума и метода многих масштабов. Устойчивость решений линеаризованных стохастических уравнений движения исследовалась методом Ляпунова.

Практическая ценность и внедрение результатов диссертационной работы заключаются в следующем:

1. В рамках данной теории получил свое развитие метод конволю-ции, с помощью которого функция распределения плотности потока ка-налированных частиц по поперечной энергии (координате, скорости и т.д.) складывается из нормированных гауссовых распределений, каждое из которых описывает распределение флуктуаций поперечной энергии (координаты, скорости и т.д.) относительно его среднего значения. Таким образом, разрешение по поперечной энергии (координате, скорости и т.д.), число и длины отрезков прослеживаемых траекторий каналиро-ванных частиц могут быть легко оптимизированы в зависимости от цели компьютерного эксперимента.

2. Разработанная модель деканалирования быстрых ионов применялась в экспериментах НИИ ЯФ ТПУ для исследования различного рода воздействий (механических, тепловых, потоков ионизирующего излучения и т.п.) на совершенство кристаллической структуры.

Краткое содержание работы

В рамках ланжевеновского подхода к теории прохождения быстрых заряженных частиц через кристаллы получены траекторно - зависящие компоненты диффузионной матрицы, которые ответственны за многократное рассеяние каналированных частиц на электронах и ядрах атомов кристалла. Исходным пунктом наших построений является электрический потенциал и(г) = ^ип(г), п который складывается из кулоновских потенциалов атомных электронов и ядер ип(г) = иГ1-(г) + Щ1-(г), расположенных в узлах кристаллической решетки

2е1 , ^ е2

К-1' (г) = Щ1(г) = -£

1 п I ^'=1 I' ' пу I где Ze - заряд атомного ядра; гп = гпо + 8гп\ вектор 8гп определяет положение атомного ядра, смещенного из узла кристаллической решетки благодаря тепловым колебаниям; = гпо + 5гп + ; вектор 8гп^ определяет положение ]-то электрона по отношению к положению п-го атомного ядра.

Вектор гпо определяет положение п-го узла кристаллической решетки. Если атомы упорядочены в виде изолированной атомной цепочки, то гпо = (0; 0;п2аг), где пг - любое целое число, а а2 - расстояние между атомами в атомной цепочке. Если атомы упорядочены в виде изолированной атомной плоскости, то гпо = (0; пуау\пгаг). Если атомы упорядочены в узлах кристаллическои решетки, то гпо = (тЬх&х, ТЬуСЬу, ). Усреднение по независимым тепловым колебаниям атомов кристалла осуществлялось с помощью функции распределения Гаусса, а по квантовым флуктуаци-ям, которые испытывают атомные электроны, — с помощью квадрата модуля волновой функции основного состояния атомов кристалла. Эти усреднения обозначаются символами < . >т и < . >е, соответственно. Электрический потенциал может быть записан в виде суммы своего среднего значения и флуктуации потенциала

U(r) = {U)etT + 8U(r), где 5U(г) = U (г) — (U) т - флуктуация потенциала, вызванная тепловыми колебаниями атомных ядер и квантовыми флуктуациями, которые испытывают атомные электроны.

Усреднение производится по координатам всех ядер и электронов, образующих атомную цепочку, плоскость или кристаллическую решетку. Флуктуация потенциала может быть выражена в виде суммы флуктуаций потенциалов атомных электронов и ядер

SU (г) =zöUnucL(r) + SUeL{r).

Корреляционная функция флуктуаций потенциала определяется как среднее от произведения флуктуаций потенциала, взятых в разных точках пространства. Компоненты диффузионной матрицы вычисляются с помощью корреляционной функции при условии, что флуктуации потенциала определены на классической траектории движения быстрой заряженной частицы, а рассеяние на изолированном атоме кристалла является малоугловым, то есть продольный переданный импульс много меньше поперечного. Эти два дополнительных условия обеспечивают дельта -коррелированность корреляционной функции 6Ъ(Г1)6Ъ(Г2) >т,е= Dij[r±(t)]5(t - t'), где i,j = х,у; SFx(r) = — d[5U(r)]/dx; S(t — t') - есть дельта - функция Дирака.

Компоненты диффузионной матрицы вычислены для случаев многократного рассеяния быстрых заряженных частиц на электронах и ядрах в осевых и плоскостных каналах кристалла. Показано, что одна из компонент диффузионной матрицы, ответственная за многократное рассеяние быстрых заряженных частиц на тепловых колебаниях атомов в плоскостных каналах кристалла, в точности совпадает с соответствующей компонентой диффузионной матрицы, полученной в рамках адиабатического приближения. Таким образом, "разрушение"всех интегралов движения при каналировании тяжелых отрицательно заряженных частиц, обнаруженное в работах (см.,например, Базылев и Жеваго (1987)), никак не сказывается на результатах адиабатического подхода к расчету диффузионных коэффициентов. Средние по поперечным координатам от компонент диффузионной матрицы для случаев осевого и плоскостного канали-рования совпадают как между собой, так и с компонентами диффузионной матрицы, которые ответственны за многократное рассеяние быстрых заряженных частиц в разориентированном кристалле. Эти компоненты диффузионной матрицы совпадают, в свою очередь, с соответствующими диффузионными коэффициентами для случаев рассеяния быстрых заряженных частиц в свободном электронном газе и газовой мишени, если температуру кристалла устремить к бесконечно большой величине. Все компоненты диффузионной матрицы определены с логарифмической точностью из - за кулоновской расходимости соответствующих интегралов.

Движение одной быстрой заряженной частицы в режиме осевого кана-лирования описывается классическим уравнением движения тх = -11х(х,у) ту = -иу(х,у), где т - релятивистская масса частицы.

При движении заряженной частицы в тонком кристалле влиянием потерь энергии на движение можно пренебречь. Уравнение движения записано для одной частицы, в то время как в эксперименте мишень облучают пучком частиц для получения статистически значимого результата. Тепловые колебания атомных ядер и квантовые флуктуации, которые испытывают атомные электроны, изменяют значение потенциала так, что не существует двух одинаковых траекторий даже для тех частиц пучка, которые имеют одно и то же значение точки и угла влета. Таким образом, имеем нелинейное стохастическое уравнение движения, которое описывает эволюцию пучка частиц, имеющих одно и то же начальное значение поперечной координаты и скорости. Усреднение по начальным значениям поперечной координаты будет произведено на завершающем этапе вычисления какой - либо динамической характеристики процесса каналйрования. Потенциал осевого канала может быть представлен в виде суммы потенциалов регулярно расположенных атомных цепочек, каждый из которых запишем в виде и, (г) = и8(х, у) + 8иг{г) + 6Щг)\ где

-I 00

ТГ8(г±) = - / (ип)егТйг

Л 7

2 —оо

- непрерывный потенциал, который имеет смысл нулевого члена разложения в ряд Фурье потенциала атомной цепочки, усредненного по тепловым колебаниям атомов; 511 г (г) = {и) т—и8(х,у) - поправка к непрерывному потенциалу, связанная с дискретностью расположения атомов в цепочке. Влияние дискретности на характер движения каналированных частиц в потенциале атомной цепочки было исследовано с помощью метода многих масштабов. Показано, что первая поправка к непрерывному потенциалу атомной цепочки не оказывает значительного влияния на характер движения каналированых частиц за исключением границы, разделяющей области стохастически устойчивого и неустойчивого движения, которые будут определены ниже. Очевидно, что флуктуация потенциала не превышает его среднего значения в случае малоуглового рассеяния каналированных частиц

511 < и.

Немногочисленные случаи рассеяния на большой угол не оказывают значительного влияния на динамику потока, так как эти частицы выбывают из режима каналирования, то есть из области действия непрерывных потенциалов атомных цепочек. Следует отметить, что среднее и флуктуация потенциала в этом неравенстве вычисляются вдоль классической траектории для частиц, имеющих одно и то же значение угла и точки влета. Влияние флуктуации потенциала 511 (г) на характер движения каналированных частиц в потенциале атомной цепочки было исследовано с помощью метода малого шума. Нелинейное стохастическое уравнение движения было линеаризовано с помощью разложения в ряд по малому параметру, роль которого играет флуктуация поперечной силы. Решение нелинейного стохастического уравнения движения ищем в виде суммы независимых движений по регулярной и хаотической траекториям х = х + 5х у = у + 5у.

Выражение для потенциала также разложим в ряд по степеням 5х и 5у в окрестности регулярной траектории и, учитывая только линейные по 5х и 5у члены, получим два уравнения, одно из которых описывает движение по регулярной траектории тТ + V х (ж, у) = О т$+иу(х,у) = О, а другое - по хаотической: тбх -I- 11хх(х,у)6х + иху(х,у)6у = 6Рх(х,у) тбу + иух(х, у)5х + иуу(х,у)8у = 6Гу(х,у).

С помощью данной системы линеаризованных стохастических уравнений с траекторно - зависящими коэффициентами была построена система из десяти дифференциальных уравнений для десяти вторых моментов функции распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости. Входящие в состав этой системы из десяти дифференциальных уравнений корреляционные функции флуктуаций поперечной силы и координаты равны нулю, а поперечной силы и скорости равны соответствующим компонентам диффузионной матрицы, которая была определена нами выше. Исследование устойчивости решений системы линеаризованных стохастических уравнений и системы уравнений для вторых моментов функции распределения приводит к одному и тому же характеристическому уравнению тр2 + ихх)(тр2 + иуу) - (иху)2 = 0.

Анализ показывает, что корни характеристического уравнения р*. могут быть как действительными, так и мнимыми величинами. Известно, что в классической механике запрещены те корни характеристического уравнения, квадраты которых отрицательны, так как это приводит к нарушению закона сохранения энергии. Однако в настоящей работе корни характеристического уравнения вводятся не для средних значений, а для флуктуаций соответствующих динамических величин. Таким образом, допустимы как положительные, так и отрицательные значения квадратов корней характеристического уравнения. Легко видеть, что экспоненциальный рост среднего квадрата флуктуаций любой из динамических величин наблюдается для тех участков траектории, которые находятся в области отрицательной гауссовой кривизны потенциала осевого канала, где корни рк = Рк являются действительными величинами. Известно,что движение считается стохастически неустойчивым, если траектории разбегаются экспоненциально быстро. Таким образом, действительные корни характеристического уравнения определяют область поперечных координат, в пределах которой поперечное движение является стохастически неустойчивым, так как величина среднего квадрата флуктуаций является мерой разбегания траекторий. Мнимые решения характеристического уравнения определяют область устойчивого движения каналированных частиц. В работе (см., например, Ахиезер и Шульга (1993)) обсуждалось характеристическое уравнение, которое полностью совпадает с приведенным выше в связи с явлением динамического хаоса в потоке каналированных частиц. Внешнее сходство явлений динамического хаоса и стохастической неустойчивости поперечного движения заключается в том, что траектории разбегаются экспоненциально быстро с одним и тем лее инкрементом локальной неустойчивости, однако мерой этого разбегания в первом случае служит расстояние между траекториями, которое не равно нулю в начальный момент времени, а во втором случае — средний квадрат флуктуаций соответствующих динамических величин, который равен нулю в начальный момент времени. Как было отмечено нами выше, для классических траекторий экспоненциально быстрое разбегание траекторий приводит к нарушению закона сохранения энергии, в то время как для флуктуаций динамических величин отсутствуют ограничения, предписываемые законами сохранения. Значительный рост флуктуаций динамических величин ограничен областью применимости линеаризованных стохастических уравнений движения. В этом случае следует учитывать обратное влияние флуктуаций на траектории каналированных частиц, что будет расмотрено нами ниже.

Было проведено численное исследование решений характеристического уравнения для протонов и антипротонов, движущихся в кристалле 5г, < 110 >, для двух аппроксимаций атомного потенциала Мольер и Дойля - Тернера . Обнаружено, что движение каналированных антипротонов является стохастически неустойчивым в пределах всего осевого канала 5г, < 110 >, за исключением двух небольших областей стохастически устойчивого движения, локализованных в пределах дна потенциальной ямы двух атомных цепочек. Движение каналированных антипротонов в этих стохастически устойчивых областях сопровождается процессом интенсивного многократного рассеяния на ядрах. Результаты расчетов для модели потенциала Мольер отличаются всего на несколько процентов от соответствующих результатов, проведенных для модели потенциала Дойля - Тернера. Из сравнения областей стохастически устойчивого и неустойчивого движения протонов и антипротонов следует, что изменение знака заряда каналированной частицы оказывает катастрофическое влияние на характер ее движения в канале кристалла. Движение канали-рованных антипротонов является абсолютно неустойчивым, а движение каналированных протонов в центральной части осевого канала является устойчивым.

Нами рассмотрено уравнение эволюции флуктуаций поперечной энергии каналированных частиц. Получено дифференциальное уравнение для среднего квадрата флуктуаций поперечной энергии каналированных частиц, движущихся в потенциале осевого канала кристалла, образованного регулярно расположенными атомными цепочками.

Показано, что метод компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц является одним из способов решения нелинейного стохастического уравнения движения. Метод компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц является в настоящее время единственным методом, позволяющим планировать новые экспериментальные исследования на количественном уровне. Тем не менее, средний квадрат флуктуаций поперечной скорости, являющийся в данном методе единственной характеристикой процесса рассеяния каналированных частиц на флуктуациях потенциала, вводится эмпирически. Разобьем мысленно толстый кристалл на стопку тонких кристаллов. В этом случае исходное нелинейное стохастическое уравнение движения может быть линеаризовано в каждом из тонких кристаллов. Решение линеаризованного стохастического уравнения движения может быть записано как в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей, так и в пространстве поперечных энергий. С помощью линеаризованного стохастического уравнения движения учитывается влияние динамики изменения средних значений динамических величин на эврлюцию флуктуаций относительно этих средних. Обратное влияние флуктуаций на динамику изменения средних значений динамических величин будет учтено с помощью свертки функций распределения при переходе от одного тонкого кристалла к другому. В методе компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц это означает, что при переходе от одного тонкого кристалла к другому значения поперечной координаты и скорости разыгрываются с помощью функции распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости относительно своих средних значений. Таким образом, вместо одного значения среднего квадрата угла многократного рассеяния, которое используется в традиционном методе компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц, следует учитывать десять моментов функции распределения. Очевидно, что более предпочтительным является развитие метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц в пространстве поперечной энергии. В этом случае единственной характеристикой процесса рассея-ния каналированных частиц на флуктуациях потенциала является средний квадрат флуктуаций поперечной энергии. Функции распределения плотности потока каналированных частиц по поперечной энергии (координате, скорости и т.д.) складываются из нормированных гауссовых распределений, каждое из которых описывает распределение флуктуаций поперечной энергии (координаты, скорости и т.д.) относительно ее среднего значения. Этот метод получил название метода конволюции. Таким образом, разрешение по поперечной энергии (координате, скорости и т.д.), число и длины отрезков прослеживаемых траекторий каналированных частиц могут быть легко оптимизированы в зависимости от цели компьютерного эксперимента.

Уравнения движения заряженных частиц в плоскостных каналах кристалла могут быть получены с помощью основных уравнений движения теории осевого каналирования, если под символом усреднения — понимать усреднение по независимым тепловым колебаниям и квантовым флуктуациям атомов, расположенных в кристаллографической плоскости. Исследование устойчивости решений системы линеаризованных стохастических уравнений движения и системы дифференциальных уравнений для вторых моментов функции распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости приводит нас к характеристическому уравнению следующего вида тр2 + ихх(х) = 0.

Легко видеть, что в зависимости от знака II хх{х) реализуются либо устойчивые, либо неустойчивые решения характеристического уравнения. Точка перегиба графика функции потенциальной энергии находится из уравнения ихх(хс) = 0. Точка хс определяет положение максимума напряженности электрического поля атомной плоскости и разделяет области стохастически устойчивого и неустойчивого движения каналированных частиц. По порядку величины хс совпадает со значением расстояния наибольшего сближения каналированных положительно заряженных частиц с атомной плоскостью. Легко видеть, что области стохастически устойчивого и неустойчивого движения для положительно и отрицательно заряженных частиц взаимно обратны. Таким образом, имеет место катастрофическое влияние знака заряда на характер движения быстрых заряженных частиц в плоскостных каналах кристалла.

Нами установлена взаимосвязь между ланжевеновским подходом и методом -кинетических уравнений движения. Функция распределения флук-туаций поперечной координаты и скорости имеет вид

77, т), = (27гА)-1 ехр[—(т]'2(6х)2 + г)'2(8х)2 — 2г)т]8х8х)/2А2], где А2 = (8х)2(8х)2 — 8х8х .

Непосредственной проверкой можно показать, что функция распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости является решением кинетического уравнения Фоккера - Планка т дг) т дг] т1 01]г

Коэффициенты уравнения Фоккера - Планка являются траекторно - зависящими функциями, а само уравнение описывает эволюцию флуктуаций поперечной координаты и скорости относительно классической траектории. Нами проведено численное исследование перераспределения потока протонов и антипротонов по поперечным энергиям в (110) плоскостном канале тонкого кристалла кремния. Начальная энергия протонов и антипротонов была 1 ГэВ, а расходимость пучка частиц выбиралась равной нулю. Плотность потока каналированных частиц в пространстве поперечных энергий имеет вид распределения Гаусса д(Е±1 *) = [2тг{Щу}^ ехр [~(Е± - Е±0)2/2(ЩУЪ где Ею = {тх\/2) + II{хо) - начальное значение поперечной энергии. Уравнение эволюции для среднего квадрата флуктуаций поперечной энергии в этом случае имеет вид и-*,«*

Совместное интегрирование этого уравнения с классическим уравнением движения позволяет построить зависимость среднего квадрата флуктуации: поперечной энергии как функции глубины проникновения в кристалл, начального значения поперечной координаты и скорости. Показано, что средний квадрат флуктуаций поперечной энергии возрастает нелинейно на тех участках траектории, где многократное рассеяние ка-налированных частиц на электронах идёт на смену многократному рассеянию на ядрах. Именно на этих участках траектории можно наблюдать явление стохастической неустойчивости поперечного движения канали-рованных частиц. Плотность распределения каналированных частиц по поперечным энергиям в зависимости от угла влета $о = ¿о/^ и глубины проникновения г = г>£ рассчитывалась по формуле

Х0=1

Суммирование производится по равномерно распределенным точкам влета частиц в кристалл. Функция распределения плотности потока каналированных частиц по поперечной энергии строится с помощью метода конволюции. Построены распределения по поперечной энергии каналированных протонов и антипротонов на глубине 0.1 мкм и 0.5 мкм при трех различных значениях угла падения частиц на кристалл. При углах падения частиц на кристалл много больше критического угла канали-рования распределения по поперечной энергии протонов и антипротонов становятся неразличимы между собой.

Исследована устойчивость решений кинетического уравнения для слабо возмущенных квантовых систем (основное кинетическое уравнение Паули), которое используется для описания эффекта плоскостного кана-лирования релятивистских электронов и позитронов. Показано, что решения устойчивы, так как являются обратимыми вероятности переходов между квантовыми состояниями в единицу времени, которые вызваны многократным рассеянием каналированных релятивистских электронов и позитронов на тепловых и квантовых флуктуациях атомов кристалла. Показано, что заселенности квантовых состояний в асимптотике, то есть при £ —>• оо, не зависят от времени, но и не равны между собой. Именно такая картина эволюции заселенностей квантовых состояний следует из результатов численного решения уравнения для слабо возмущенных квантовых систем, которые представлены в работах (см.,например, Ба-зылев и Жеваго (1987)). Эта картина эволюции характерна для слабо возмущенных квантовых систем, когда потери энергии на излучение релятивистских электронов (или позитронов) не приводят к уменьшению числа уровней поперечного движения. Такого рода эволюция происходит в тонких кристаллах. Эволюция заселенностей квантовых состояний в толстом кристалле, который можно рассматривать как стопку тонких кристаллов, получим с помощью найденных выше решений в каждом из тонких кристаллов, переопределяя заселенности квантовых состояний на их границах.

Построена теория излучения и деполяризации релятивистских канали-рованных частиц в рамках ланжевеновского подхода. Рассмотрены спектрально - угловая плотность энергии излучения, а также спектральная и полная интенсивности илучения релятивистских электронов и позитронов с энергией меньше одного гигаэлектроновольта в осевых и плоскостных каналах тонких кристаллов. Построена теория, в рамках которой получены как когерентное, так и некогерентные слагаемые излучения при каналировании. Показано, что при больших углах разориентации некогерентные слагаемые переходят в спектр излучения бете - гайтлеровского типа. Когерентное слагаемое излучения при каналировании обусловлено движением частиц по регулярным траекториям в непрерывном потенциале осевого или плоскостного канала. Это слагаемое дает основной вклад в излучение при каналировании, и оно было подробно исследовано в ряде работ (см., например, Кумахов (1986), Базылев и Жеваго (1987), Байер, Катков, Страховенко (1989), Ахиезер и Шульга (1993), Рябов (1994)). Некогерентный фон излучения при каналировании обусловлен движением быстрых заряженных частиц по нерегулярным (хаотическим) траекториям. При больших углах разориентации практически все заряженные частицы движутся по хаотическим траекториям, а при малых углах — та часть пучка частиц, которая выбыла (деканалировала) из режима движения по регулярным траекториям. С другой стороны, те частицы, которые движутся по регулярным траекториям, также испытывают случайные отклонения вследствие рассеяния на тепловых колебаниях атомов кристалла и квантовых флуктуациях, которые испытывают атомные электроны. Некогерентная часть спектрального распределения излучения при плоскостном каналировании пропорциональна квадрату модуля компоненты Фурье от флуктуации поперечного ускорения

1 + х\ (г) х2 (ш) - х2 (г) XI (о;)] х\ (г) ¿2 (г) - х2 (т)х 1 (г)]

Дгх [х (г)] ¿Г, где х\, х2 являются линеино независимыми решениями линеиного однородного уравнения тх1г2 + ихх [х й]а?1)2 = О, а х ({) является решением классического уравнения движения тх их(х) = 0.

Когерентная часть спектрального распределения излучения при плоскостном каналировании пропорциональна квадрату модуля компоненты Фурье от поперечного ускорения х. Легко видеть, что когерентная и некогерентная части спектрального распределения излучения при плоскостном каналировании позитронов будут подобными, поскольку решения этих двух уравнений будут совпадать между собой для параболической аппроксимации потенциала плоскостного канала кристалла. При плоскостном каналировании электронов когерентная и некогерентная части спектрального распределения излучения будут существенно различны, так как для решений линейного однородного уравнения выполнены условия наступления параметрического резонанса.

Рассмотрена теория деполяризации пучка релятивистских частиц в изогнутом кристалле, учитывающая как эволюцию средних значений проекции вектора спина, так и эволюцию флуктуаций соответствующих динамических переменных. Исходным пунктом наших построений является уравнение Баргманна - Мишеля - Телегди, которое описывает движение вектора спиновой поляризации одной релятивистской частицы в электрическом поле атомных плоскостей изогнутого кристалла. Тепловые колебания атомов, кристалла и квантовые флуктуации, которые испытывают атомные электроны, изменяют случайным образом значение вектора напряженности электрического поля. Движение каналированных частиц, имеющих одинаковые начальные условия, описывается уравнением Баргманна - Мишеля - Телегди с флуктуирующим параметром, роль которого играет вектор напряженности электрического поля. Это уравнение было линеаризовано с помощью метода малого шума. Показано, что средний квадрат флуктуаций проекции вектора спина прямо пропорционален среднему квадрату флуктуаций поперечной скорости каналиро-ванных частиц. Введем в рассмотрение длину деполяризации, после прохождения которой средний квадрат флуктуаций проекции вектора спина становится равен квадрату своего среднего значения. Показано, что характерная длина деполяризации лептонов и барионов много меньше длины деканалирования соответствующих частиц. Для лептонов это связано с близостью гиромагнитного отношения к двойке, а для барионов - с большой массой покоя. Было обнаружено, что деполяризация пучка релятивистских Е+-гиперонов, движущихся в изогнутом кристалле кремния, равна 'нулю в пределах ошибки эксперимента. Этот экспериментальный результат полностью объясняется представленной выше теорией. Можно отметить, что деполяризация пучков релятивистских электронов в изогнутых кристаллах также будет незначительна, но их число будет невелико, поскольку они интенсивно деканалируют.

Экспериментальные исследования процесса деканалирования ускоренных ионов в совершенных и нарушенных кристаллах были выполнены на электростатическом ускорителе Ван - де -Графа типа ЭСГ - 2.5 и циклотроне У - 120 М (Р-7М) НИИ ядерной физики при Томском политехническом институте. Регистрация рассеянных ионов осуществлялась поверхностно - барьерным кремниевым детектором. Детектор рассеянных частиц устанавливался под углом 165° к направлению падения пучка. Энергетическое разрешение спектрометрического тракта составляло 30 кэВ. Мониторирование пучка ионов гелия осуществлялось по величине выхода частиц, рассеянных комбинированной мишенью (алюминиевая подложка с тонким слоем золота на поверхности), периодически перекрывающей пучок. Рассеянные ионы регистрировались поверхностно -барьерным кремниевым детектором. Точность мониторирования не хуже 3 процентов. Измерения были выполнены на монокристаллических образцах кремния и арсенида галлия с ориентацией < 100 >, < 110 > и < 111 >. Нормированный выход деканалированных ионов строился путем деления энергетического спектра ориентированного кристалла на энергетический спектр неориентированного кристалла. Значения тормозных способностей для ориентированного и неориентированного случая движения ионов были взяты равными между собой.

В рамках ланжевеновского подхода была построена модель деканалирования быстрых ионов из осевых и плоскостных каналов кристалла.

Решение нелинейного стохастического уравнения движения для быстрых положительно заряженных частиц было рассмотрено в области больших глубин проникновения, когда средние квадраты флуктуаций динамических величин больше квадратов их средних значений, но все еще действует принцип неощущаемости границ канала, что позволяет избежать решения задачи на собственные значения. Были введены следующие упрощающие предположения:

1. Частицы считаются деканалированными, если они попадают в область стохастически неустойчивого поперечного движения.

2. Используется параболическая аппроксимация потенциала центральной части плоскостного или осевого канала, то есть область стохастически устойчивого движения.

Функция деканалирования из осевых каналов кристалла имеет вид где Хшш - минимальный выход, то есть доля частиц, попавших первоначально в стохастически неустойчивую область поперечного движения. Скорость изменения с глубиной параметра е равна обратной длине деканалирования где длина деканалирования определяется из условия равенства среднего квадрата угла многократного рассеяния квадрату критического угла каналирования.

Эффект каналирования широко используется в исследованиях динамики различного рода воздействий на совершенство кристаллической структуры. Наше исследование было посвящено как восстановлению профиля концентрации дефектов в пике радиационных нарушений, так и за пиком радиационных нарушений. Функция деканалирования была дополнена слагаемым, учитывающим прямое рассеяние каналированных ионов на смещенных атомах кристалла. Многократное рассеяние каналированных частиц на смещенных атомах кристалла учитывалось стандартным образом с помощью переопределенной длины деканалирования, которая состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое определяется из эксперимента на ненарушенной части образца, а второе слагаемое имеет смысл 1 и = тх длины деканалирования на ядрах кристалла с неизвестной концентрацией. Нами исследовано воздействие импульсных электронных и ионных пучков наносекундной длительности на структуру полупроводниковых материалов с целью изучения процессов генерации и отжига дефектов в объеме образца и рассмотрено влияние термического отжига на структуру кристалла арсенида галлия, облученного ионами серы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на X — XXI Всесоюзных Совещаниях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, МГУ, 1979 — 1991 г.), XXII — XXIII Межнациональных Совещаниях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, МГУ, 1992 — 1993 г.), 44 Международном совещании по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра (Санкт - Петербург, 1994 г.), Third Biennial Conference on Low -Energy Antiprotons Physics (Словения, Блед, 1994 г.), XXIV — XXVIII Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, МГУ, 1994 — 1998 г.). Основные материалы диссертации опубликованы в работах: [21] — [46].

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Кощеев, Владимир Петрович

Заключение

Разработаны основы и принципы построения нового метода исследования - ланжевеновского подхода, с помощью которого может быть изучено влияние многократного рассеяния на любой физический процесс, происходящий с быстрыми заряженными частицами в кристаллах. Теория прохождения быстрых заряженных частиц через кристаллы построена на основе нелинейного стохастического уравнения движения ланжевеновского типа, которое для одной реализации случайного процесса, то есть в случае движения одной заряженной частицы, имеет вид классического уравнения движения. Линеаризация нелинейного стохастического уравнения движения выполнена с помощью метода малого шума, роль которого играет флуктуация поперечной силы. Источником флуктуаций в классических и квантовых уравнениях движения служат тепловые колебания атомов кристалла и квантовые флуктуации, которые испытывают атомные электроны.

В рамках ланжевеновского подхода получены траекторно - зависящие компоненты диффузионной матрицы, которые вызваны многократным рассеянием каналированных частиц на электронах и ядрах в осевых и плоскостных каналах кристалла. Показано, что малоугловое рассеяние быстрых заряженных частиц на тепловых и квантовых флуктуациях атомов кристалла является дельта - коррелированным, а рассеяние на большие углы не является дельта - коррелированным. С помощью линеаризованных стохастических уравнений движения построена система уравнений для средних квадратов флуктуаций динамических величин, которая при больших значениях угла разориентации совпадает с системой уравнений для вторых моментов функции распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости, впервые предложенной Ферми.

Показано, что функция распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости является также решением кинетического уравнения движения типа Фоккера - Планка, коэффициенты которого являются траекторно - зависящими функциями.

Приведены результаты численных расчетов плотности потока быстрых заряженных частиц по поперечным энергиям в плоскостных каналах кристалла при различных значениях угла разориентации.

Поставлена и решена проблема устойчивости движения быстрых заряженных частиц в осевых и плоскостных каналах кристалла в рамках ланжевеновского подхода, приведшая к обнаружению нового физического эффекта: явлению стохастической неустойчивости поперечного движения каналированных частиц, согласно которому средние квадраты флук-туаций динамических величин возрастают экспоненциально быстро на участках траектории, находящихся в области отрицательной гауссовой кривизны потенциала осевого или плоскостного канала кристалла. Обнаружено, что области стохастически устойчивого и неустойчивого движения взаимно обратны для положительно и отрицательно заряженных частиц. Явление стохастической неустойчивости поперечного движения отличается от явления динамического хаоса тем, что средние квадраты флуктуаций, которые являются мерой экспоненциально быстрого разбе-гания траекторий, равны нулю в отсутствие случайных сил.

Исследована устойчивость решений кинетического уравнения для слабо возмущенных квантовых систем (основное кинетическое уравнение Паули), которое используется для описания эффекта плоскостного кана-лирования релятивистских электронов и позитронов. Показано, что решения устойчивы, так как являются обратимыми вероятности переходов между квантовыми состояниями в единицу времени, которые вызваны многократным рассеянием каналированных релятивистских электронов и позитронов на тепловых и квантовых флуктуациях атомов кристалла.

Дано теоретическое обоснование метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц как одного из методов решения нелинейного стохастического уравнения движения, в рамках которого было показано, что приращение среднего квадрата угла многократного рассеяния на отрезке траектории полностью определяется решением системы дифференциальных уравнений с траекторно - зависящими коэффициентами. Введен в рассмотрение метод конволюции,.с помощью которого разрешение по поперечной энергии ( координате, скорости и т.д.), число и длины отрезков прослеживаемых траекторий каналированных частиц могут быть легко оптимизированы в зависимости от цели компьютерного эксперимента.

Рассмотрено применение ланжевеновского подхода к описанию процесса деполяризации пучка быстрых заряженных частиц в изогнутом кристалле, в рамках которого было обнаружено, что характерная длина деполяризации лептонов и барионов много больше длины деканалирования соответствующих частиц. Для лептонов это связано с близостью гиромагнитного отношения к двойке, а для барионов — с большой массой покоя.

Рассмотрено применение ланжевеновского подхода к расчету траек-торно - зависящих поправок, учитывающих влияние многократного рассеяния на спектрально - угловую, спектральную и полную интенсивность излучения каналированных электронов и позитронов с энергией меньше одного гигаэлектроновольта в тонких кристаллах, в рамках которого было обнаружено, что существенного изменения спектра излучения следует ожидать только для каналированных электронов вследствие параметрического усиления флуктуационных колебаний поперечной координаты.

Представлены результаты эксперимента и модель деканалирования, с помощью которой были восстановлены профили концентрации дефектов как в пике, так и за пиком радиационных нарушений кристалла.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кощеев, Владимир Петрович, 1999 год

1. Линдхард Й. // УФН, 1969, т. 99, вып. 2, с. 249.

2. Gemmel D.S. // Rev. Mod. Phys., 1974, v.46, p.129.

3. Кумахов M.А. Излучение каналированных частиц в кристаллах. -М.: Энергоатомиздат, 1986.

4. Оцуки Е-Х. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами .-М.: Мир, 1985.

5. Базылев В.А., Жеваго Н.К. Излучение быстрых частиц в веществе и во внешних полях. М.: Наука, 1987.

6. Байер В.Н., Катков В.М., Страховенко В.М. Электромагнитные процессы при высоких энергиях.- Новосибирск: Наука, 1989.

7. Рябов В.А. Эффект каналирования.- М.: Энергоатомиздат, 1994.

8. Ольховский И.И., Эпендиев М.Б., Садыков Н.М.// Изв. вузов. Физика, 1977, N.4, с.79.

9. Кашлев Ю.А., Садыков Н.М. // ТМФ, 1997, т.111, п.З, с. 483.

10. Urmanov A.R. et at. // Phys. Stat. Sol. (b), 1986, v.136, p.37.

11. Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе.- М.: Наука, 1993.

12. Рябов В.А. // ЖЭТФ, 1972, т. 64, вып.3(9), с. 1096.

13. Tsyganov E.N. Fermilab ТМ 682, ТМ - 684 (Batavia, 1976).

14. Барышевский В.Г. // Письма в ЖТФ, 1979, т-.5, с.182.

15. Базылев В.А., Глебов В.И., Головизнин В.В. // ЖЭТФ, 1986, т.91, Вып.1(7), с. 25.

16. Болотин Ю.Л., Гончар В.Ю., Трутень В.И., Шульга Н.Ф. // Тезисы докладов 15 Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. М.: Изд .- во МГУ,1985, с. 71.

17. Akhiezer A.I., Truten' V.l., Shul'ga N.F. // Phys. Rep., 1991, v.203, p. 289.

18. Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф., Трутень В.И., Гриненко A.A., Сыщен-ко В.В. // УФН, 1995, т.165, с. 1145.

19. Khodyrev V.A. // Phys. Lett., 1985, v.lllA, p. 63.

20. Ellison J.A. in : Local and Global Methods of Nonlinear Dinamics (Eds. A.E. Saenz et. al.) . Berlin: Springer - Verlag, 1986.

21. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1983, т.4, с. 42.

22. Кощеев В.П., Боярко Е.Ю., Веригин A.A., Крючков Ю.Ю., Малютин В.М. // Письма в ЖТФ, 1986, т.12, Вып.22, с.1361.

23. Кощеев В.П.Дрючков Ю.Ю., Боярко Е.Ю., Веригин A.A., Малютин В.М. // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Общая и ядерная физика., 1987, Вып. 1(37), с.43.

24. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1989, т.11, с. 95.

25. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1990, N.4, с. 123.

26. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика, 1991, N.8, с. 83.

27. Кощеев В.П. // ЖТФ, 1990, т.60, в.7, с. 175.

28. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1995, N.1,- с. 100.

29. Кощеев В.П., Кривошеев О.Э. // Изв. РАН. Сер. физ., 1995, т.59, п.5, с.198.

30. Кощеев В.П., Кривошеев О.Э. // Изв. вузов. Физика., 1995, N.5, с. 66. '

31. Кощеев В.П., Кривошеев О.Э. //Поверхность. Физика, химия, механика, 1995, N.5, с.62.

32. Кощеев В.П. // Поверхность. Физика, химия, механика, 1995, N.12, с.29.

33. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1997, N.8, с. 32.

34. Кощеев В.П., Моргун Д.А. // Изв. вузов. Физика., 1997, N.9, с. 9.

35. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1997, N.9, с. 42.

36. Кощеев В.П., Моргун Д.А. // Поверхность. Рентгеновские, синхро-тронные и нейтронные исследования, 1998, N.5, с. 5.

37. Bojarko E.Yu., Verigin A.A., Koscheev V.P., Krjuchkov Yu.Yu., Pogrebnjak A.D. // Nucl.Instr.Meth. in Phys. Res. 1986. v.B17. p.162.

38. Воробьев С.А., Плотников C.B., Цехановский И.А., Кощеев В.П. // Изв. АН СССР. Сер. физ., 1976, т.40, п.8, с.1662.

39. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1985, т.Ю, с. 95.

40. Кощеев В.П. // Изв. вузов. Физика., 1982, т.З, с. 93.

41. Кощеев В.П. // Тезисы докладов 28 Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами.- М.: Изд во МГУ,1998, с. 51.

42. Кощеев В.П. // Сборник научных трудов Сургутского государственного университета. Выпуск 4. Естественные науки.- Сургут: Изд-во СурГУ, 1998, с.122.

43. Кощеев В.П., Веригин A.A., Боярко Е.Ю., Крючков Ю.Ю., Малютин В.М. // Материалы VIII Всесоюзной конференции "Взаимодействие атомных частиц с твердым телом".- Минск: Изд-во Минского радиотехнического института, 1987, с.259.

44. Веригин A.A.,Кощеев В.П.Дрючков Ю.Ю., Боярко Е.Ю. // Материалы XVI Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами.- М.: Изд во МГУ, 1987, с. 25.

45. Крючков Ю.Ю.; Кощеев В.П., Боярко Е.Ю., Веригин A.A., Ар-дышев В.М. // Материалы XV Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами.- М.: Изд во МГУ, 1986, с. 106.

46. Веригин А.А.,Кощеев В.П.,Крючков Ю.Ю., Боярко Е.Ю. // Поверхность. Физика, химия, механика, 1986, т.9, с. 143.

47. Мартыненко Ю.В. // ФТТ, 1971, т. 13, N4, с.1055.

48. Doyle P.A., Turner P.S. // Acta Crystallog., 1968, v.24A, No.2, p.390.

49. Andersen J.U. et al. // Phys. Scr. 1983, v. 28, p.308.

50. Соколов A.A., Тернов И.M. Релятивистский электрон.-M.: Наука, 1983.

51. Ольховский И.И., Садыков Н.М.// Труды 10 Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами, ч.1.- М.: Изд во МГУ, 1980, с.173.

52. Kitagawa M., Ohtsuki Y.H. // Phys. Rev., 1973, v.B8, N8, p.3117.

53. Bäk J.F. et al. // Nucl. Phus., 1982, v.A389, p.533.

54. Гардинер K.B. Стохастические методы в естественных науках.- M.: Мир, 1986.

55. Ван Кампен. Стохастические процессы в физике и химии.- М.: Высшая школа, 1990.

56. Duncan D.B. // Journ. Appl. Phys., 1953, v.24, n.5, p.609.

57. Рытов С.M. Введение в статистическую радиофизику, часть I. М.: Наука, 1976.

58. Rowlands G. // J. Phys. С: Solid St. Phys. 1980, p.13, p.9.

59. Найфэ А. Введение в методы возмущений.-М.: Мир,1984.

60. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика.- М.: Наука, 1973.

61. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.

62. Barrett J.H., Appleton B.R., Noggle T.S., Moak S.D., Biggerstaff J.A., Datz S., Behrisch R. // Atomic Collision Phenomena in Solids. Ed. by Datz S. et al. Plenum Press, N - Y. and London, 1975, N2, p.645.

63. Chadderton L.T. // J. Appl. Cryst., 1970, v.3, p.429.

64. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. M.: ТОО "Янус", 1995.

65. Дирак П. Принципы квантовой механики.М.: Наука. 1979.

66. Kimball J.С., Cue N., Belkacem A. // Nucl.Instr.Meth. in Phys. Res. 1986. v.B13. p.l.

67. Барышевский В.Г. Каналирование, излучение и реакции в кристаллах при высоких энергиях.- Минск: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина. 1982.

68. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 3. ч. 1. М.: Наука. 1967. с. 137.

69. Тулупов А.В. // ЖЭТФ. 1984. т. 86. вып. 4. с. 1365.

70. Gershgorin S. // Izv. Akad. Nauk SSSR. 1931, v.7, p.749.

71. Fuschini E., Uguzzoni A., Gartner K., Hehl K. // Nucl.Instr.Meth. in Phys. Res. 1985. v.B12. p.334.

72. Ландау Л.Д., Померанчук И.Я. // ДАН СССР, 1953, т.92, с.535.

73. Ландау Л.Д., Померанчук И.Я. // ДАН СССР, 1953, т.92, с.735.

74. Baier V.N., Katkov V.M. // Book of Abstracts. Third Internartional Symposium "RREPS 97" Radiation of Relativistic Electrons in Periodical Stractures. - Nuclear Physics Institute, Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia, 1997.

75. Fomin S.P., Shyl'ga N.F.// Book of Abstracts: Third Internartional Symposium "RREPS 97"Radiation of Relativistic Electrons in Periodical Stractures.- Nuclear Physics Institute, Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russia, 1997.

76. Шульга Н.Ф., Фомин С.П. // ЖЭТФ, 1998, т.113, с. 58.

77. Мигдал А.Б.// ДАН СССР, 1954, т.96, с.49.

78. Тер-Микаелян М-.Л. Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях. Ереван : Изд. АН. Армянской ССР, 1968.

79. Antony P.L. et al. // Phys. Rev. Lett., 1995, v.75, p.1949.

80. Зимин Н.И. Моделирование процессов прохождения и излучения релятивистских электронов и позитронов при осевом каналировании в кристаллах // ОИЯИ, 1-84-372, Дубна, 1983.

81. Bloom S.D. et al. // Nucl. Instr. Meth., 1982, v.194, p.229.

82. Vyatkin E.G., Pivovarov Yu.L., Vorobiev S.A. // Nucl. Instr. Meth. in Phys. Res., 1986, v.B17, p.30.

83. Вяткин Е.Г., Пивоваров Ю.Л. // Изв. вузов. Физика., 1986, т.11, с. 63.

84. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965.

85. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Иностранная литература, 1959.

86. Барышевский В.Г. // Материалы 14 зимней школы ЛИЯФ, 1979, Ленинград.

87. Chen D. et al. // Pys. Rev. Lett., 1992, v.69, N.23, p.3286.

88. Бирюков B.M., Котов В.И., Чесноков Ю.А. // УФН, 1994, т.164, N10, с.1017.

89. Khanzadeev A.B., Samsonov V.M., Carrigan R.A., Chen D. // Nucl.Instr.Meth. in Phys.Res., 1996, v.B119, p.266.

90. Samsonov V.M. // Nucl.Instr.Meth. in Phys.Res., 1996, v.B119, p.271.

91. Любошиц В.Л // ЯФ, 1980, т.31, c.986.

92. Любошиц В.Л // ЯФ, 1980, т.32, с.702.

93. Кудряшов H.A., Петровский С.В., Самсонов В.М., Стриханов М.Н. // Материалы XIX Всесоюзного совещания по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. М.: МГУ, 1990, с.40.

94. Кривошеев О.Э. Проблемы применения эффектов каналирования частиц кристаллами в физике высоких энергий // Материалы Всесоюзного совещания. Протвино, 1991, с.41.

95. Baryshevsky V.G.' // Nucl.Instr.Meth. in Phys.Res., 1990, v.B44, p.266.

96. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика, М.: Наука, 1980.

97. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.- М.: Наука, 1973.

98. Fujimoto F. et al. // Radiat. Eff., 1972, v.13, p.43.

99. Крючков Ю.Ю., Чернов И.П. // Итоги науки и техники. Серия: Пучки заряженных частиц и твердое тело. т.2, М.: ВИНИТИ, 1990, с.74.

100. Буренков А.Ф. и др. Таблицы параметров пространственного распределения ионно имплантированных примесей. - Минск: Изд - во Б ГУ, 1980.

101. Кумахов М.А., Ташлыков И.С. // Поверхность. Физика, химия, механика, 1983, N2, с.5.

102. Коваль Б.А., Месяц Г.А., Озур Г.Е., Проскуровский Д.И., Янкеле-вич Е.Б. // Письма в ЖТФ, 1983, т.12, Вып.7, с.1277.