Определение условий существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с матрицей при производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лукьянова, Галина Сергеевна

• Лукьянова, Галина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукьянова, Галина Сергеевна

Оглавление

Введение

ГЛАВА 1. Существование периодических решений систем дифференциальных уравнений с матрицей при производной

§1.2. Разбиение пространства на прямую сумму двух подпространств в случае выполнения первого и не выполнения второго условия теоремы 1.2

§1.3. Разбиение пространства на прямую сумму двух подпространств в случае выполнения второго условия теоремы 1.2

§2.1. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае неособенной матрицы

при первой производной

§2.2. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае нулевой матрицы при

первой производной

§2.3. Разрешение нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае особенной матрицы при

первой производной

ГЛАВА 3. Некоторые способы поиска ненулевых решений нелинейных векторных уравнений

§3.1. Поиск ненулевого решения нелинейного векторного уравнения с помощью определения собственных векторов переменных

матриц

§3.2. Выделение параметра для поиска ненулевого решения нелинейного векторного уравнения

§3.3. Приложение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу о существовании ненулевых периодических решений

систем дифференциальных уравнений

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение условий существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с матрицей при производных»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В данной работе изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производной и нелинейной правой частью. Предполагается, что матрица при производных постоянна. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых 2к -периодических решений рассматриваемых систем.

Решение данной проблемы имеет важное значение как для качественной теории дифференциальных уравнений, так и для исследования различных математических моделей. Системы дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных моделируют многие процессы в физике, химии, биологии, статистике и других науках [2, 15, 25, 37-38, 46-49, 57]. Системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных возникают при анализе линейных электрических цепей [8, 50], служат моделями в теории автоматического регулирования; поставщиком таких систем является также метод слабой аппроксимации [70] и метод сферических гармоник [39, 56].

Изучению ненулевых периодических решений посвящено много работ, но даже в случае неособенной матрицы при производных не существует общего подхода к решению поставленной задачи. В частности недостаточно исследована проблема ненулевых периодических решений автономных систем, когда матрица линейного приближения критическая или требуется знать свойства нелинейной части. В случае же сингулярных систем (систем с особенной матрицей при производных) даже существование решений в смысле классического определения остается под вопросом. Поэтому задача поиска условий существования ненулевых решений автономных систем, зависящих от параметра, с матрицей при про-

изводных является достаточно важной. Все это подтверждает актуальность предлагаемой работы, посвященной поиску достаточных условий существования ненулевых периодических решений систем, имеющих матрицу при производных и нелинейную правую часть, зависящую от параметра.

Цель работы. Пусть задана система дифференциальных уравнений

вида:

Sx + Qx + f(x,;l)=0, (0.1)

где 5 и g ■ (тхт) матрицы, матрица S может быть как особенной так и неособенной, xeRm, Я е Rp - параметр, (x5/t)eRm+p, вектор-функция f(x. Я) непрерывна по х и по Я, и для любого Я е Rp /(О, Я)= 0 . Пусть функция /(х, Л) допускает представление /(х, Л)= С(х, Л)+ D(x, Л), где С(х, Л) - полином степени s > 1 относительно переменных х, Л,

C(tx,a) = fC(x, Я), (0.2)

¡Cfo, я)- с(х2, л}\ < /оСг^Цл-,-х2\1 (¡(х^лщх^л^а), (0.3) а функция D(x, Я) представима в виде конечной суммы полиномов степени выше, чем s по (х, Л),

= (0.4)

|/>(v,. Д>- . Л1 ^(crjv,-x,l dCv^K-^JM (°-5>

В данной работе ставится задача поиска условий существования ненулевых lit -периодических решений системы (0.1) в гильбертовом пространстве, когда данное решение представимо в виде ряда Фурье.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной

проблеме.

Вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с неособенной матрицей при производных получили большое освещение. К примеру проблемы существования периодических решений и их бифуркаций рассматривали Е. Хопф [77], А. Пуанкаре [45],

A. М. Ляпунов [30], В.В. Немыцкий, В.В. Степанов [40], H.A. Бобылев [45], М.А. Красносельский [21-23], И.Г. Малкин [31-33], Ю.В. Малышев и

B.П. Захаров [34-36], М.Т. Терехин [58-59] и другие авторы [1, 6-7, 11-12, 14, 28-29, 42-43, 62-63, 76, 78].

Вопросы существования ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных получили гораздо меньшее освещение, поэтому остановимся подробнее на литературе, посвященной сингулярным системам дифференциальных уравнений.

Большинство авторов [8-10, 13, 17, 24, 41, 65, 71-75, 80] рассматривали так называемые линейные дифференциально-алгебраические уравнения, то есть уравнения вида Ах + Вх = /. При этом используют как точные, так и приближенные методы.

Все точные методы решения дифференциально-алгебраического уравнения основаны на его разбиении на систему уравнений, одно из которых является обыкновенным дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. В ряде работ [8, 24, 74, 75, 80] рассматриваются однородные сингулярные уравнения Ах = Вх. При этом на матрицы А и В накладываются различные условия.

Так в работе С.Г. Крейна и В.Б. Осипова [24] рассматривается только тот случай, когда матрица В не вырожденна, а матрица А вырож-денна. При этих условиях авторы находят множество решений данного

уравнения и доказывают теорему о существовании положительно определенной квадратичной формы, невозрастающей на всех решениях уравнения Ах-Вх, которая используется ими в дальнейшем при исследовании систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени.

В работах [74] и [75] рассмотрен так же случай, когда й&А = 0 и с^В = 0. При этом исходная система может приводиться как к системе дифференциальных, так и алгебраических линейных уравнений.

Один из точных методов основан на приведении произвольного пучка матриц к каноническому виду. Ф.Р. Гантмахер [13] с помощью строго эквивалентных преобразований приводит пучок матриц ЛА +В к канонической квазидиагональной форме. При этом исходное уравнение распадается на несколько независимых подсистем, каждая из которых решается отдельно, причем может оказаться и несовместной. Проведенный Гантмахером Ф.Р. анализ показывает, что для совместности исходной системы Ах + Вх = / в общем случае должны выполняться некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений. Если эти условия выполнены, то общее решение системы содержит линейно как произвольные постоянные, так и произвольные функции. Характер условий совместности и характер решений определяются минимальными индексами и элементарными делителями пучка ЯА + В, так как от них зависит каноническая форма этой системы. В отличие от данной работы в статье [41] для решения уравнения Ах + Вх- / осуществляются не строго эквивалентные преобразования матричного пучка ЯА + В, а преобразования с помощью унимодулярных матриц [26. С. 371]. При этом решение исходного уравнения значительно облегчается так как бло-

ки, содержащие бесконечные элементарные делители пучка ЛА + В, будут иметь единичный размер.

Несколько другой метод решения сингулярных уравнений был использован В.Ф. Чистяковым. В статье [65] автор изучает линейные системы с вырожденной или прямоугольной матрицей при производной искомой вектор-функции. Для получения решения используется метод исключения неизвестных, который основан на преобразовании исходной систе-

мы Ах = Вх + /, где А и В - (m х и)-матрицы к виду

х = Вх + f. При

этом полученные решения непрерывно дифференцируемы. Чистяковым доказаны условия совместности изучаемой системы: если 1) т<п, 2) /(i)eC*, 3) существует X такое, что rang(AX - В)= m, то система Ах = Вх + / совместна. Полученное решение в общем случае содержит произвольные постоянные и функции.

В работе [75] для поиска решений сингулярной системы дифференциальных уравнений Ах = Вх + f авторы использовали матрицу Дразина и разбивали основное пространство, где искались решения, на два подпространства, инвариантные относительно оператора А. При этом предполагалось, что матрицы А и В- перестановочные. На вектор-функцию / накладывалось условие существования indA -1 раз дифференцируемой части, лежащей в подпространстве, содержащем ker^4. Однако полученное решение не обязательно было дифференцируемым.

Наиболее полно дифференциально-алгебраические уравнения исследованы в монографиях Ю.Е. Бояринцева [9-10]. В них автор исследует системы вида A(t)x = B(t)x + fit). При этом матрицы A(t) и B(t) могут оказаться прямоугольными, а на решения накладываются дополнитель-

ß

ные условия j (da(sJ)C(s')>c (s) = а, где а - заданный вектор, C(s) - задана

ная матрица с непрерывными на [а, ß\ элементами, a(s) - заданная матрица, элементы которой - вещественные на [а, ß\ функции с ограниченной полной вариацией. С помощью обратных матриц Дразина Бояринцев доказывает теоремы о существовании решений исходного уравнения, исследует вопросы управляемости и наблюдаемости подобных систем.

Во всех предыдущих работах рассматривались сингулярные системы дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах. В статье [51] Сидоров H.A. рассматривает произвольное банахово пространство и производит разбиение этого пространства на бесконечномерные части. В статье [19] С.П. Зубова изучает зависимость решений сингулярных систем дифференциальных уравнений от параметра.

В работах В.П. Скрипника [52-55] исследуются системы вида (а(^)х) + F(t, jc)= 0. В работах [53-55] существование решений подобных уравнений доказывалось при помощи построения семейства невырожденных систем, которое сходится к вырожденной системе. В статье [52] существование решений системы (A(t)x) + F(t, х)= 0 доказывается непосредственно. При этом решение х предполагается условно абсолютно непрерывным или условно дифференцируемым, то есть оно не является дифференцируемым, но дифференцируемой является вектор-функция A(t)x. Доказательства проводятся при условии, что A(t) имеет особую структуру, абсолютно непрерывна и имеет ограниченную производную.

Несколько статей посвящено численному решению сингулярных систем. В работе [64] Бояринцев Ю.Е. рассматривает линейную систему вида = B(f)ßc + fit), которую решает приближенно с помощью раз-

ностных методов. При этом предполагается, что все матрицы и векторы достаточно гладкие, и существует единственное тоже достаточно гладкое решение исходной задачи. Автор использует обобщенные обратные матрицы, в том числе матрицы Дразина, и на функцию f(t) накладывает условие существования производных до к-1 порядка включительно, где indA(t)<к = const. Основное внимание уделяется системам, где к<2.

В статье [16] В.А. Данилов рассматривает трудности, возникающие при численном интегрировании систем вида Mx(t)= <p(t). Автор анализирует различные методы численного решения систем дифференциальных уравнений на их применимость к сингулярным системам. Он доказывает возможность применения явного и неявного методов Эйлера для численного интегрирования систем вида Mx(t)= x(t)~ <p(t).

В нескольких статьях рассматриваются нелинейные сингулярные системы. В работах [66-67] В.Ф. Чистяков сформулировал и доказал локальную теорему существования и единственности для решений нелинейной задачи Ах = f(t,x) в случае, когда каноническое представление матричной пары (А, /ж') не содержит нильпотентных блоков степени выше единицы. При этом на систему накладывалось условие совместности rang(A)= rang(A, /). Так же установлена сходимость модифицированного метода Ньютона, если в равномерной метрике приближение выбрано достаточно близко к решению.

Н.В. Зубов [18] доказал теорему существования и единственности решения системы вида Ax~F(t,x), где F(t, х) - вещественная, дважды непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам вектор-функция. При этом решение получается как предел специально организованных последовательных приближений.

В работе Логинова Б.В. и Русак Ю.Б. [27] для решения уравнения Ау = Ву + /(у, х) используется понятие обобщенной жордановой структуры, с помощью которого определен проектор на корневое подпространство и доказана асимптотическая устойчивость тривиального решения.

В нескольких работах [68-69, 79] рассматриваются периодические решения сингулярных систем дифференциальных уравнений. Так в работе [68] Ю.Д. Шлапак рассматривал линейные системы вида = , где «-мерные матрицы и имеют производные всех порядков для любого I и являются периодическими по ? периода 1. Он исследовал задачу приведения данной системы с помощью периодической невырожденной замены переменных к системе Р0у = Аь([)у, где Р0 - постоянная матрица. Затем полученное уравнение разбивается на систему двух уравнений, одно из которых алгебраическое, а второе - дифференциальное, разрешенное относительно производных. При этом вопрос о периодических решениях сингулярной системы сводится к вопросу о периодических решениях системы обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. В статье [79] для системы Ах + Вх = /(?, х) доказано условие существования и единственности со -периодического решения. При этом предполагалось, что для некоторого Л существует (ЛА + ву1 и использовалась перестановочность матриц (Ы + ВУА и (ЛА + вув.

Методика исследования. Задача поиска ненулевого 2к~ периодического решения системы (0.1) сводится к поиску решения в виде ряда Фурье, разбиению основного пространства на два подпространства и отысканию некоторого тригонометрического многочлена и параметра, которые определяются через ненулевые решения нелинейного векторного

уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения производится с помощью разложения некоторых форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.

Содержание работы. Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов, полученных другими авторами, приводится методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена нахождению необходимого и достаточных условий существования ненулевых периодических решений уравнения (0.1) при условиях (0.2) - (0.6). Решения х ищутся в гильбертовом пространстве Ь2 в виде рядов Фурье

00

х = а0 + ^апсоШ + Ьп$т.п1. (0.7)

п-\

Путем разбиения пространства на прямую сумму двух подпространств получены условия существования ненулевых периодических решений исходной системы.

В §1.1 на множестве всех тригонометрических рядов М рассмотрены свойства оператора В, определяемого равенством Вх = 8х + £)х. В теореме 1.1 доказано условие существования во множестве М оператора В'1, обратного оператору В. В теореме 1.2 дано необходимое и достаточное условие существования собственных векторов, соответствующих нулевому собственному значению оператора В. Далее дано определение решения системы дифференциальных уравнений с матрицей при производных в пространстве Ь2. В отличие от классического определения решения системы дифференциальных уравнений (см. например [3, 44]), в данном определении решение не дифференцируемо, а только интегрируемо с квадратом.

В §1.2 и §1.3 находятся поверхности точек, подозрительных на решение данной системы при различных свойствах ее линейной части. При этом основное пространство Ь2 разбивается на два подпространства, одно из которых содержит конечную часть ряда (0.7), а другое - бесконечную. Разбиение пространства Ь2 производится в зависимости от свойств оператора В. При этом уравнение (0.1) заменяется эквивалентной ему системой. В отличие от работы [22], где рассматривается аналогичное операторное уравнение, параметр X е Лр. В отличие от [10, 17, 65, 67, 72] рассматриваются системы с нелинейной правой частью. В отличие от [75], в данной работе не ставится условие коммутативности матриц 5 и Для доказательства достаточных признаков существования ненулевых периодических решений уравнения (0.1) предварительно рассматриваются некоторые свойства пространств 1Х и /2.

Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [44, 62], по функциональному анализу - из [20, 22, 61], по линейной алгебре [26], по рядам Фурье - из [60].

Во второй главе рассматривается нелинейное векторное уравнение с параметром

С(а, Л)+£>(«, Л) = 0, (0.8)

удовлетворяющее условиям (0.2) - (0.6). С помощью разложения формы С, ^ -ого порядка, в степенной ряд в окрестности точки, в которой данная форма обращается в нуль, получена классификация нелинейных уравнений и найдены условия существования их ненулевых решений.

В §2.1 рассматривается случай неособенной матрицы при первой производной. Теорема 2.1 дает необходимое условие существования ненулевого решения уравнения (0.8). В теореме 2.2 доказано достаточное

условие существования ненулевого решения уравнения (0.8) в случае неособенной матрицы при первой производной.

В §2.2 рассматривается случай нулевой матрицы при первой производной. Достаточное условие существования ненулевого решения уравнения (0.8) доказывается в теореме 2.3.

В §2.3 рассматривается случай особенной матрицы при первой производной. При этом вводится замена переменных, позволяющая свести данный случай к рассмотренному в §2.2.

В третьей главе исследуется нелинейное векторное уравнение с параметром, доказаны теоремы существования ненулевых 2;г-периодических решений дифференциальных уравнений с матрицей при производных и решается вопрос об их непрерывности по ?.

В §3.1 доказываются необходимые и достаточные условия существования ненулевых решений векторного уравнения в случае, когда оно преобразуется в однородное относительно вектора а, то есть в уравнение вида Г(йг,Л)а = 0. В теореме 3.1, 3.3 и 3.4 доказаны необходимые и достаточные условия существования ненулевого решения а этого уравнения при произвольном параметре Л и разных предположениях относительно вида а. В теореме 3.2 - необходимое условие, а в теореме 3.5 - достаточное.

В §3.2 доказана теорема 3.6 о существовании ненулевых решений уравнения (0.8), когда оно может быть записано в виде Т(а,Х)Л + 0(сс, Л)=0.

В §3.3 доказаны достаточные условия существования ненулевых 2;г - периодических решений дифференциальных уравнений с матрицей при производных при разных условиях, наложенных на форму С(х, Л), В

отличие от [53] существование решения доказывается без аппроксимации матрицы при производных обратимыми матрицами. По сравнению с [18] рассматриваются только ненулевые периодические решения системы (0.1). В теореме 3.9 доказано условие существования в некоторой окрестности нуля области, не содержащей ни одного 2к - периодического решения уравнения (0.10). Получен вид ненулевого периодического решения дифференциальных уравнений с параметром и в теореме 3.10 доказана непрерывность этого решения по t. Приведены примеры существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, с матрицей при производных. Рассмотрена система дифференциальных уравнений вида х = f(x, Я), для которой получено достаточное условие существования 2л: - периодического решения.

Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Третьей Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, в IV Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алушта, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Лукьянова, Галина Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассматривалась система дифференциальных уравнений вида 8х + ()х + / (х, Л)= О, где 5 и О - (тх/н) матрицы, х е И"', Л е Кр, (хД)еГ+р, функция /(х, Л) непрерывна по х и по Л, /(О, А)=0 и /(х,Л)=С(х,Л)+П(х,Л), где С(х,Л) - однородная форма 5-го порядка по (х, Л).

Для данной системы было дано определение решения и доказаны достаточные условия существования ненулевых 2ж -периодических решений, представленных в виде рядов Фурье.

В качестве дополнительного результата были доказаны некоторые свойства пространств 1Х и /2, а так же найдены необходимое и достаточные условия существования ненулевых решений нелинейного векторного уравнения вида С (а, Л)+ Э(рс,Л)= 0, где С (а, Л) - однородная форма 5 -го порядка по (а, Л).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукьянова, Галина Сергеевна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов B.B. Существование ненулевого периодического решения автономной системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае // Дифференц. уравнения (качественная теория): Сб. науч. тр. / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1995. С.3-11.

2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

3. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. ж, 1991. 303 с.

4. Бобылев H.A., Булатов A.B., Коровин С.К., Кутузов A.A. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32. № 1.С. 3-8.

5. Бобылев H.A., Коровин С.К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференц. уравнения 1996. Т.32. № 3. С.301-306.

6. Бойчук A.A. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: Наук, думка. 1990. 96 с.

7. Бойчук A.A., Журавлёв В.И., Чуйко В.Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. мат. журнал. 1990. Т.42. №9. С.1180-1187.

8. Бойчук JIM. Структурно-динамическая вырожденность в природных, электрических и автоматических системах. // IV Крымская Международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения». Тезисы докладов. Крым. Алушта, 5-12 сентября 1998 г. Симферополь: Изд-во СГУ, 1998.

9. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1988.

10.Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск, Наука, 1980.

П.Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1979. 253 с.

12.Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 528 с.

13.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967. 576 с.

14.Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. 1979. 431 с.

15.Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Отображение Пуанкаре в моделях лазера// Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 1. С.16-23.

16.Данилов В.А. Причины трудностей численного интегрирования некоторых жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, близких к вырожденным. - В кн. Динамика нелинейных систем. Новосибирск, 1983.С. 173-182.

17.Еременко В.А. О редукции линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных. // Укр. мат. журн., 1980, 32. № 2. С. 168-174.

18.3убов Н.В. Решение нелинейных систем уравнений, неприводимых к нормальному виду. // Тезисы докладов Второй Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 1996.

19.Зубова С.П. О роли возмущений в одном дифференциальном уравнении //Труды математического факультета /Воронежский государственный университет. 1996. № 1 (новая серия). С. 47-50.

Ю.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984. 572 с.

21 .Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966. 332 с

22.Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. 1962. 457 с.

23.Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 511 с.

24.Крейн С.Г., Осипов В.Б. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных. // Дифференц. уравнения. 1970, 6. № 11. С. 2053-2061.

25 .Куликов А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теоремы Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29. № 5. С. 548-554.

26.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М., Наука. 1968.

27.Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной. // Труды Третьей Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения»: Саранск, 19 - 21 мая 1998 г. Саранск, 1998. С. 44.

28.Любасова Г.Ю. О бифуркации периодических решений из сложного фокуса // Нелинейные операторы в глобальном анализе: Воронеж. 1991. С.136-141.

29.Любасова Г.Ю. О бифуркации циклов из сложного фокуса при двукратном вырождении со слабым резонансом // Глобальный анализ и математическая физика: Сб. науч. статей. Воронеж. 1987. С. 172-177.

30.Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиз-

дат. 1950. 471 с.

31 .Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. 1949.

32.Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. 1956. 365 с.

33. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966.532 с.

34.Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 2. С.212-216.

35.Малышев Ю.В., Захаров В.П. Об отыскании предельного цикла в системе дифференциальных уравнений, описывающей модель брюсселя-тора//Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. № 12. С. 2173-2175.

36.Малышев Ю.В., Захаров В.П. Функции Ляпунова и автоколебания // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. № 4. С. 722-724.

37.Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир. 1983. 397 с.

38.Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир. 1980. 367 с.

39.Марчук Г.И. Численные методы расчета ядерных реакторов. М„. Атомиздат, 1958.

40.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат. 1949. 550 с.

41.0вчаренко В.В., Макарущешсо Н.П. О приведении регулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме. // Укр. мат. журн., 1986,38. № 4. С. 520-524.

42.Панфилова Т.Д. О периодических решениях автономных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качест-

венная теория) : Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997.

43 .Панфилова Т.Л. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : Сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997.

44.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1974. 332 с.

45.Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т.1. 771 с.

46.Ранцевич В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 2

47.Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука. 1984. 304 с.

48.Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Что такое биофизика. М.: Просвещение. 1971. 135 с.

49.Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1979. 352 с.

50.Сенди К. Современные методы анализа электрических систем. М., Энергия, 1971.

51.Сидоров H.A. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1972, 8. № 8. С. 1521-1524.

52.Скрипник В.П. Вырожденные линейные системы. // Изв. Вузов. Ма-тем., 1982. № 3. С. 62-67.

53.Скрипник В.П. Вырожденные системы и малый параметр при производной. // Дифференц. уравнения. 1980,16. № 3. С. 454-461.

54.Скрипник В.П. Вырожденные системы и малый параметр при старшей производной. // Матем. сб., 1964, 65(107). № 3. С. 338-356.

55.Скрипник В.П. О вырожденных системах и малом параметре при про-

изводных. // Дифференц. уравнения. 1968, 4. № 4. С. 646-658.

56.Смслов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1972.

57.Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Абалкин В.И., Аксенов Е.П., Рябов Ю.А. и др.; Под ред. Дубошина Г.Н. М.: Наука. 1976. 862 с.

58.Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. 1989. 87 с.

59.Терехин М.Т. К теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. матем. журнал. 1984. Т.36. № 5. С. 666-669.

60.Толстов Г.П. Ряды Фурье. - М., Наука. 1980.

61.Треногин В.А. Функциональный анализ. 1980. 496 с.

62.Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1980. 720 с.

63.Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. 1966. 230с.

64. Численные методы решения сингулярных систем./ Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов A.A., Чистяков В.Ф. - Новосибирск, 1989.

65.Чистяков В.Ф. К методам решения сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - В кн. Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. / Отв. ред. Бояринцев Ю.Е.. Новосибирск, 1982. С. 37-65.

66.Чистяков В.Ф. О линеаризации вырожденных систем квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. С. 146-157.

67.Чистяков В.Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - В кн. Динамика нели-

нейных систем. Новосибирск, 1983. С. 164-173.

68.Шлапак Ю.Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных. // Укр. мат. журн., 1975, 27. № 1. С. 137-140.

69.Яковец В.П. Некоторые свойства вырожденных линейных систем. // Укр. мат, журн. - 1997. - 49, № 9. С. 1278-1296.

70.Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1967.

71.Campbell, S.L.: Singular systems of differential equations II. - San Francisco; London; Melbourne; Pitman, 1982.

72.Campbell, S.L.: Singular systems of differential equations. - San Francisco; London; Melbourne; Pitman, 1980.

73.Campbell, S.L.; Petzold, L.R.: Canonical forms and solvable singular systems of differential equations. - SLAM J. Alg. And Discrete Methods 4(1983), p. 517-521.

74.Corduneanu A. The differential system Ay + By = 0. // Bui. Inst. Politehn. Iasi. Sec. 1. -1994. - 40, № 1 - 4. P. 51-57.

75.Griepentrog Eberhard, Marz Roswitha. Differential-algebraic equations and their numerical treatment. -1. Aufl. - Leipzig: BSB Teubner, 1986.

76.Hayl S. Hopf bifurcation for ordinary differential equations with a zero eigenvalue // J. Math. Anal, and Appl. 1980. 74. № 1. p. 212-233.

77.Hopf E. // Ber. Math.-Phus, Sachsische Akademie der Wissenshcaften, Leipzig, 1942. 94. S. 1-22.

7Я Ц\гср\т Atari an A Q fYn Aa imaltroic rvf" TJnnf hifiirP^fintl 11 Tnt T Fn(T

/ U.AAJ LJVJ XX AV. 1 XtUUUil ± l.L/« ЧУ11 UAV Ш£Ш j ÜiÜ VI A lV^l Ш1Ш LÜUU11 // U.lt. 1. J-J/il^.

Sei. 1983. 21. №3. p. 247-262.

79.Liang J., Liu Y. Periodic solutions to singular nonlinear systems. // Huanan ligong daxul xuebao. Ziran kexue ban = J.S. China Univ. Technol. Natur. Sei.

- 1996.-24, №5. P. 74-78.

BO.Willkinson J.H. The differential systems Bx = Ax and the generalized eigenvalue problem Au = XBu , //Nat. Phys. LB., Kept. NAC. - 1977. - № 73.

8¡.Лукьянова Г.С. Нахождение решения линейной системы дифференциальных уравнений, с особенной матрицей при производных, с помощью рядов Фурье. // Известия Российской Академии Естественных Наук. Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. № 1. С. 57 - 64.

82.Лукьянова Г.С. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной. // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 11. С. 1574 - 1575.

83.Лукьянова Г.С. Определение условий существования периодических решений систем дифференциальных уравнений путем разбиения пространства на прямую сумму двух подпространств. / Ряз. гос. пед. ун-т. -Рязань, 1998. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.09.98, № 2855 - В98.

84.Лукьянова Г.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной. // Труды Третьей Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения": Саранск, 19 - 21 мая 1998 г. Саранск, 1998. С. 246.

85.Лукьянова Г.С. Поиск ненулевых решений нелинейных векторных уравнений. / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 1998. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.98, № 3909 -В98.

86.Лукьянова Г.С. Приложение теории нелинейных векторных уравнений к вопросу о существовании ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений. / Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 1998. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.98, № 3910 - В98.

87.Лукьянова Г.С. Существование и единственность решений систем

дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, с особенной

матрицей при производных. /Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 1998. - 14 с. -Деп. в ВИНИТИ 25.09.98, № 2856 - В98.

88.Лукьянова Г.С. Условия периодичности решений линейных дифференциально-алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. // Известия Российской Академии Естественных Наук. Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. № 1. С. 53 - 56.

89.Лукьянова Г.С. Условия существования ненулевых периодических решении систем дифференциальных уравнении с особенной матрицей при производной. // IV Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Крым. Алушта, 5-12 сентября 1998 г. Симферополь: Изд-во СГУ, 1998. С. 42.