Двухточечная краевая периодическая задача для дифференциальных уравнений с максимумами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кирюшкин, Василий Владимирович

• Кирюшкин, Василий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирюшкин, Василий Владимирович

Введение.

Глава I. Структура решений дифференциальных уравнений с максимумами

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Свойства максимума.

§ 1.3. Существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных и параметра.

§ 1.4. Структура решений.

Глава II. Решение двухточечной краевой периодической задачи по виду линейной части.

§ 2.1. Необходимое условие существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи.

§ 2.2. Исследование специального класса систем алгебраических уравнений.

§ 2.3. Определение условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи методом линеаризации главной части оператора.

Глава III. Исследование проблемы разрешимости двухточечной краевой периодической задачи, полученные с использованием нелинейности.

§ 3.1. Условия отсутствия и существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи.

§ 3.2. Дифференцируемость по параметру максимума функции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухточечная краевая периодическая задача для дифференциальных уравнений с максимумами»

Актуальность темы. При исследовании динамических систем с отклонением большое значение уделяется различным колебательным процессам [9, 10, 12, 16], поскольку подобные процессы могут в одних случаях оказаться полезными и необходимыми, а в других случаях - вредными и нежелательными. Поэтому проблеме нахождения и определения параметров колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках. Центральным направлением теории колебаний является поиск периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач с известным промежутком периодичности). Таким решениям в практических задачах соответствуют различные циклические процессы, значение которых в многообразии сфер деятельности человечества трудно переоценить.

В последнее время особый интерес вызывают уравнения с отклонением, значение которого априори неизвестно. К таким типам уравнений относятся дифференциальные уравнения с максимумами, в которых отклонение аргумента зависит от искомой функции. Подобные уравнения все чаще возникают в теории автоматического регулирования, при решении экономических различных задач.

Основополагающий вклад в становление и развитие теории дифференциальных уравнений с максимумами внесли Н.В. Азбелев, Л.Ф. Рахма-туллина, П.М. Симонов, В.П. Максимов, М.Б. Ермолаев, А.Р. Магомедов, Ю.А. Рябов, В.Р. Петухов, С.А. Вавилов, Д.Д. Байнов, П. Гонсалес, М. Пинто.

На данный момент достаточно глубоко разработана теория устойчивости уравнений с максимумами, но слабо изученным остается вопрос, касающийся нахождения периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) для таких уравнений. Используемые для исследования данной проблемы методы имеют ограниченное применение и не позволяют решать широкий спектр задач. Настоящая диссертационная работа посвящена определению условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для дифференциальных уравнений с максимумами.

В теории дифференциальных уравнений с отклонением исследуются проблемы существования решений в различных классах функций, в том числе в классах кусочно-непрерывных и абсолютно непрерывных функций. В работе вследствие того, что правая часть уравнения с максимумами непрерывна по совокупности переменных, и необходимости решения задач прикладного характера, исследуется проблема существования решения двухточечной периодической задачи уравнения с максимумами в классе непрерывно дифференцируемых функций.

Не изученным остается вопрос о существовании на заданном промежутке решений в классе непрерывно дифференцируемых функций, а, следовательно, не исследована проблема разрешимости двухточечной краевой периодической задачи для нелинейных уравнений с максимумами. В частности, не изучен вопрос о существовании решения двухточечной краевой периодической задачи при условии, что матрица монодромии системы линейного приближения уравнения с максимумами имеет собственное значение равное единице, а правая часть уравнения зависит от векторного параметра.

Наиболее эффективным методом решения двухточечной краевой периодической задачи является метод построения операторного уравнения, условия существования которого определяют условия разрешимости краевой задачи.

Для построения операторного уравнения необходимо существование решений уравнения с максимумами, продолжимых на заранее заданный промежуток, определенная структура решений, дифференцируемость по параметру максимума функции.

Таким образом, как для теории двухточечных краевых периодических задач, так и для решения задач прикладного характера актуальным являются проблема определения условий существования на заранее заданном промежутке непрерывно дифференцируемых решений нелинейных уравнений с максимумами, разработка структуры решения уравнения с максимумами с целью построения операторного уравнения с известным (не обязательно линейным) первым приближением и получение нетривиальных условий его разрешимости.

Цель работы заключается в получении условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для дифференциальных уравнений с максимумами вида x{t) = A{t)x{t) + B{t,l) max х(т) + f(t,x(t), max х(т),А), (0.1) тФСМ тф(0,1] где А, В - (ихи)-матрицы, / - «-мерная вектор-функция, И - скалярная функция, влияющая на отклонение аргумента.

Методика исследования.

С помощью методов общей теории дифференциальных уравнений проблема определения условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи сводится к проблеме разрешимости системы уравнений относительно начального значения и параметра.

Доказательство существования решения системы уравнений проводится методом неподвижной точки с использованием предложенного в диссертационной работе способе линеаризации по параметру главной части системы уравнений, линейной по начальному значению, разложения в степенной ряд нелинейной как по начальному значению, так и по параметру главной части системы уравнений.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Дифференциальные уравнения с максимумами относятся к классу дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Началом систематического исследования дифференциальных уравнений с отклонением, явилась работа А.Д. Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом" (1949-1950). Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Н.В. Азбелев [1-7], Л.Ф. Рахматуллина [5], В.П. Максимов [3-5], П.М. Симонов [2, 6, 7, 8, 56], Л.Э. Эльсгольц [78-79], В.П. Рубаник [52], Ю.А. Митропольский [14,45] и многие другие.

Основными методами исследования большинства работ по изучению уравнений с отклоняющимся аргументом [1, 15, 21-22, 34, 53-55, 58-61, 63, 65-73] являются методы малого параметра и усреднения, асимптотические методы, методы функций Грина.

Результаты исследований, посвященных дифференциальным уравнениям с отклонением, нельзя автоматически перенести на дифференциальные уравнения с максимумами, поскольку правые части подобных уравнений являются функционалами или операторами, не обладающими свойствами линейности, даже в случае линейных уравнений.

Исследованием дифференциальных уравнений с максимумами занимались Н.В. Азбелев [7-8], П.М. Симонов [7-8, 56], М.Б. Ермолаев [8, 2426], А.Р. Магомедов [38-43, 55], Ю.А. Рябов [42-43, 55], В.Р. Петухов [49], С.А. Вавилов [86], Е. Степанов [86], П.Гонсалес [80-81], М.Пинто [80-81], Д.Д. Байнов [87], Г.Д. Вулов [87] и другие.

В работе В.Р. Петухова [48] доказана локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с максимумами x(t) = F(t,x(t), max х(т), max х(*о) = *0и рассмотрены условия существования периодических решений.

Наиболее широко вопросы качественного исследования дифференциальных уравнений с максимумами рассмотрены азербайджанским математиком А.Р. Магомедовым. В частности в его совместной с Ю.А. Рябовым работе [42] изучается проблема существования периодических решений уравнения x(t) = F(t,x(t), max х(т)),

T€[t-h,l] где F(t,u,v) - аналитическая вектор-функция своих аргументов и 2п - периодическая по t. Методом итераций доказано существование единственного периодического решения при достаточно малом значении h и построен алгоритм нахождения этого решения.

Чилийские математики П. Гонсалес и М. Пинто в работе [80] изучают класс дифференциальных уравнений с максимумами с точки зрения асимптотической устойчивости. Ими рассматривается уравнение x(t) = F(t, x(t), max x(u)), если t e [0, b),

U£[t-h,t] x(0 = (p(t), если t e [-h,0], где 6e[0,oo). Вводится определение асимптотически устойчивого уравнения данного класса и доказываются теоремы существования и представления решения для уравнений, обладающих данным свойством.

Проблема устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами изучается в работах Азбелева Н.В. [7, 8], П.М. Симонова [7, 8, 56] и М.Б. Ермолаева [8, 24-25]. Рассмотрена теория устойчивости для дифференциальных уравнений с максимумами, изучены различные типы устойчивости и получены признаки устойчивости некоторых классов таких уравнений.

Вопросами бифуркации дифференциальных уравнений с максимумами занимались С.А. Вавилов и Е. Степанов. В их совместной работе [86] с помощью метода линеаризации доказаны теоремы существования бифуркационных значений параметров для дифференциальных уравнений с максимумами частного вида и произведена их оценка.

Содержание работы. В настоящей диссертации изучается дифференциальное уравнение с максимумами (0.1) в классе непрерывно дифференцируемых функций. Целью исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения. Рассматриваемое в диссертации уравнение имеет векторный параметр, а влияющая на отклонение функция h имеет произвольный вид. Исследуемое дифференциальное уравнение отличается от линейных уравнений с максимумами, рассмотренных в работах [39, 41], наличием нелинейной составляющей.

Конструктивные методы, используемые авторами [27, 82-85] для исследования краевых задач, к решению поставленной проблемы неприменимы. Исследования, связанные с применением конструктивных методов, предполагают возможность разбиения основного промежутка на части, на каждой из которых в соответствии с методом шагов уравнение с отклонением аргумента заменяется уравнением без отклонений аргумента. В случае неизвестного поведения отклонения, что и имеет место для рассматриваемого уравнения, воспользоваться данным методом нельзя. Поэтому применение известных теорем существования и единственности решения задачи Коши, основанных на методе шагов, становится невозможным. Доказанная в настоящей работе теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра, послужила основой для исследований, посвященных определению условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи.

В работе не используется метод представления решения в виде тригонометрического многочлена [13, 36]. Предложены два независимых метода решения поставленной проблемы, что позволяет решать более широкий спектр задач. В основу исследований лег специальным образом построенный вид решения уравнения (0.1), что позволило существенным образом привлечь свойства нелинейных членов правой части уравнения для решения поставленной задачи.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 98 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кирюшкин, Василий Владимирович

Заключение

Работа посвящена изучению дифференциальных уравнений с максимумами вида x(t) = A{t)x{t) + B(t,X) max х(т) +f(t,x(t), max х(т),Л), (0.1) тф(ф] тф(ф] где А, В - («хп)-матрицы, / - «-мерная вектор-функция, h - скалярная функция, влияющая на отклонение аргумента.

Цель работы заключалась в определении условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения.

В работе получены следующие основные результаты:

1) доказана нелокальная теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения с максимумами от начальных данных и параметра;

2) получена структура решений нелинейного дифференциального уравнения с максимумами (0.1);

3) предложена новая схема исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора;

4) на основе разработанного подхода получены эффективные признаки существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, сводящиеся к анализу величин, определяемых линейной составляющей правой части уравнения (0.1).

5) установлены новые условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, полученные с привлечением нелинейных членов правой части уравнения (0.1).

В работе рассмотрено 7 различных численных примеров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирюшкин, Василий Владимирович, 2007 год

1. Азбелев Н.В. Краевая задача для одного класса квазилинейных уравнений // Труды МИХМа. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. -М., 1975. - Вып.64. - С. 52-54.

2. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 5. - С. 745-754.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. -№ 10.-С. 1731-1747.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - № 12. - С. 2027-2050.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.-280 с.

6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 6. - С. 316.

7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Функционально-дифференциальные уравнения и теория уравнений с последействием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 2002. - С. 52-69.

8. Азбелев Н.В., Ермолаев М.Б., Симонов П.М. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению // Известия высших учебных заведений. Математика. 1995.-№5.-С. 3-9.

9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. // Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.-915 с.

10. Бовшеверов В.М. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // Журн. техн. физики. 1936. - Т. 6. - Вып. 9.

11. Богатова С.В. Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений с малым постоянным запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - № 4. - С. 1421.

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. // М.: Гостехиздат, 1955. 344 с.

13. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев: Наук, думка, 1990. - 96 с.

14. Бычков С.И., Буренин Н.И., Сафаров Р.Т. Стабилизация частоты генераторов СВЧ // Изд. Сов. радио. 1962.

15. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 528 с.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. -М.: Наука, 1984.-320 с.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. - 492 с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. -271 с.

19. Гребенщиков Б.Г. О почти периодических решениях одной нестационарной системы с линейным запаздыванием // Сиб. мат. журн. -1999. Т. 40. - № 3. - С. 531-537.

20. Гребенщиков Б.Г., Рожков В.И. Об асимптотических свойствах решения одной квазилинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - № 9. - С. 1286-1288.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967.- 472 с.

22. Ермолаев М.Б. О разрешимости задачи Коши для особого класса уравнений с отклонением, зависящим от неизвестной функции. // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 5. - С. 40 -42.

23. Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием, зависящим от неизвестной функции // Изв. вузов. Математика. 1994. -№6.-С. 60-63.

24. Ермолаев М.Б. Экономико-математические модели анализа и прогнозирования реального пункта труда. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук. Иваново, 2005

25. Каменский Г.А. Краевая задача для нелинейных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высш. школы, физ-матем. науки.- 1958.-№2.-С. 60-66.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-572 с.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.

28. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 332 с.

29. Красовский Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени. // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 114.-№2.

30. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. - 356 с.

31. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. - 432 с.

32. Кюн О.И. Краевая задача для системы нейтральных уравнений нейтрального типа // Труды МИХМа. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. М., 1975. - Вып. 64. - С. 8-11.

33. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 269 с.

34. Лукьянова Г.С. Периодические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с малым параметром // Ряз. гос. рад.-техн. акад. Рязань, 2003. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.11.2003, № 1901-В2003.

35. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-510 с.

36. Магомедов А.Р. Некоторые вопросы качественного поведения решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1972. - № 3. - С. 120 -125.

37. Магомедов А.Р. Теорема существования и единственности решений линейных дифференциальных уравнений с максимумами» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1979. - № 5. - С. 116 -118.

38. Магомедов А.Р. О некоторых вопросах дифференциальных уравнений с максимумами» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1977. - Я» 1.-С. 104-108.

39. Магомедов А.Р. Исследование решений линейных дифференциальных уравнений с максимумами» // ДАН Азерб. ССР. 1980. - Т. 36. -№1.-С. 11-14.

40. Магомедов А.Р., Рябов Ю.А. Дифференциальные уравнения с максимумами. Баку: Институт космических исследований природных ресурсов Научно-производственного объединения АН Азербайджанской ССР.- 1964.-42 с.

41. Магомедов А.Р., Рябов Ю.А. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1975. -№ 2. - С. 76 -83.

42. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. -532 с.

43. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1979.-247 с.

44. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

45. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1950. - Вып. 5. - № 2 (36).-С. 148-154.

46. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. - 550 с.

47. Петухов В.Р. Вопросы качественного исследования решений уравнений с «максимумами» // Изв. вузов. Математика. 1964. - № 6. -С. 116-119.

48. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 137. - №5. - С. 1060- 1073.

49. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

50. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1969.-288 с.

51. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом Ун-та дружбы народов им. П.Лумумбы. 1962. - № 1. - С. 103-113.

52. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН СССР. 1960. - Т. 133. - № 2. - С. 288-292.

53. Рябов Ю.А., Магомедов А.Р. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами» // Мат. физика АН УССР. 1978. - № 23. - С. 3 -9.

54. Симонов П.М., Метод элементарных моделей в динамических системах с запаздыванием // Док. диссертация. 2002.

55. Теняев В.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. -№ 4. - С. 103-107.

56. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19.-№4.-С. 597-603.

57. Терехин М.Т. О существовании неподвижной точки одного нелинейного оператора // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20. - № 9. - С. 1561-1565.

58. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 10 (449).-С. 37-42.

59. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. 1997. - Т. 49. - № 6. - С. 799-805.

60. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

61. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-Киев, 1981.-432 с.

62. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. - Т. 2. - 608 с.

63. Фодчук В.И. О построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Укр. мат. журн. 1962. - Т. 14. - № 4. - С. 435-440.

64. Фодчук В.И. К вопросу обоснования принципа усреднения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Коп-ferenz uber nictlineare Schwingungen, Akademi Verlag. - Berlin, 1965.- C. 45-50.

65. Халанай А. Автономные системы с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1962. - T. 7. -№ l.-C. 81-89.

66. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR.- 1959. T. 4. - № 3. - C. 467-483.

67. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Изд. АН УССР. Киев, 1961. - № 2. - С. 394-408.

68. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти периодических систем с запаздыванием // Rev. Roumaine Math, pures et appl. 1964. - T. 9. - № 7. - C. 667-675.

69. Халанай А. Периодические и почти периодические решения некоторых сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Rev. Math, pur. appl. Ac. RPR. 1963. - T. 8. - № 2. - C. 285-292.

70. Халанай А. Системы канонического типа с отклоняющимся аргументом и с периодическими коэффициентами // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. - T. 8. - № 4. c. 569-573.

71. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем (Под ред. Рубаника В.П.). М.: Мир, 1971.-313 с.

72. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

73. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984.-421 с.

74. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Метод линеаризации нелинейных систем дифференциальных уравнений // Нелинейный динамический анализ. Материалы II Международного конгресса. М.: Изд-во МАИ, 2002.-С. 204.

75. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. - 128 с.

76. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. -М.: Гостехиздат, 1955. 300 с.

77. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М.: Наука, 1971.-296 с.

78. Gozalez P., Pinto М. Asymptotic equilibrium for certain type of differential equation with maximum. // J. Math. Anal. Appl. 2002. - № 1. - P. 9 -19.

79. Gozalez P., Pinto M. Stability properties of the asolutions of the nonlinear functional differential systems. // J. Math. Anal. Appl. 1994. - № 2. -P. 562-573.

80. Kaucher E.W., Miranker W.L. Self-validating numerics for function space problems. New York: Academic Press, 1984.

81. Kaucher E.W., Miranker W.L. Validating computation in a function space // Reability in computing. New York: Academic Press, 1988. - P. 403-425.

82. Moore R.E. Shen Zuhe interval methods for operator equations // Reability in computing. New York: Academic Press, 1988. - P. 379-389.

83. Plum M. Computer-assisted existence proofs for two-point boundary value problems // Computing. Springer-Verlag. -1991.

84. Stepanov E., Vavilov S.A. Bifurcation of nontrivial solutions for systems with «maxima»

85. Voulov H.D., Bainov D.D. On the asymptotic stability of differential equations with «maxima» // Tomo XL. Palermo:Rend. Circ. Mat., 1991. -Serie II.-P. 385-420.

86. Кирюшкин В.В. Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений с максимумами // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2005. №9. - С. 11-18.

87. Кирюшкин В.В. О представлении решения системы дифференциальных уравнений с максимумами // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2005. №9. - С. 19-23.

88. Кирюшкин В.В. Системы алгебраических уравнений специального вида // Информатика и прикладная математика: Межвуз. Сб. науч. Тр., Ряз.гос.пед.ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2005. - С. 135-139.

89. Кирюшкин В.В. О непрерывной дифференцируемости функцииmax v(r,/?) по параметру // Известия Тульского Государственного «0,0

90. Университета. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - С. 40-45.