Квантование нелагранжевых теорий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Куприянов, Владислав Геннадьевич

• Куприянов, Владислав Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куприянов, Владислав Геннадьевич

Введение

1 Обратная вариационная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1 Введение.

1.2 Функционал действия для систем уравнений второго порядка.

1.3 Примеры.

1.4 Вариационный принцип в формализме первого порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантование нелагранжевых теорий»

2.2 Обратная вариационная задача для классического уравнения Лоренца-Дирака .40

2.3 Пертурбативное понижение порядка в уравнении Лоренца-Дирака . 43

2.4 Принцип действия для редуцированного уравнения Лоренца-Дирака . 45

2.4.1 Формализм второго порядка.45

2.4.2 Формализм первого порядка.47

2.5 Заключение.49

3 Каноническое квантование нелагранжевых теорий 51

3.1 Введение.51

3.2 Гамильтонова формулировка.52

3.3 Каноническое квантование.53

3.4 Квантование линейных динамических систем.56

3.5 Примеры.59

3.5.1 Квантование гармонического осциллятора с трением.59

3.5.2 Квантование излучающего точечного заряда.63

3.6 Заключение.65

4 Деформационное квантование линейных динамических систем 69

4.1 Введение.69

4.2 Псевдо-гамильтонова формулировка линейных динамических систем . 70

4.3 Деформационное квантование.72

4.4 Примеры.76

4.4.1 Линейный осциллятор с трением .77

4.4.2 Заряженная частица в однородном магнитном поле, с учетом реакции излучения.80

4.5 Заключение.85

5 Заключение 87

6 Аппендикс - интегрирующий множитель 91

Введение

Существует широкий класс интересных физические систем, классические уравнения движения которых не допускают вариационной формулировки. В числе примеров можно упомянуть самодуальные поля Янга-Миллса, уравнения безмассовых полей высших спинов, теорию кираль-ных бозонов, максвелловскую электродинамику с монополями, а также различные диссипативные системы. Назовём все такие системы нелагран-жевыми. Хотя задание уравнений движения полностью определяет динамику классической системы, традиционный переход к квантовомехани-ческому описанию опирается на существование функционала действия, из которого данные уравнения движения получаются варьированием. Именно этим определяется важность вариационной формулировки для физических систем.

Задача построения функционала действия для заданной системы дифференциальных уравнений, в литературе известная как обратная вариационная задача Ньютоновской механики, представляет определенный интерес в физике на протяжении уже более ста лет. Ещё в 1887 году Гельмгольц [1] сформулировал известный критерий лагранжевости систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратная вариационная задача для одномерного движения была полностью решена Дарбу [2]. Случай двух степеней свободы был рассмотрен Дугласом [3] в 1941, в частности, он представил примеры систем уравнений второго порядка, которые не могут быть получены из вариационного принципа. После этого многие авторы (см. [4]-[19] и ссылки там) исследовали проблему построения вариационного принципа для многомерных систем.

В 1974 году Хавас [20] предложил рассматривать обратную вариационную задачу в формализме первого порядка, для этого, ввведением вспомогательных переменных, необходимо перейти от исходных уравнений движения к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. В работах [20]-[22] было доказано, что действие в формализме первого порядка существует (по крайней мере локально) для любой системы дифференциальных уравнений. Однако, все существующие на эту тему работы можно рассматривать лишь только как теорему существования, поскольку ни одна из них не даёт конструктивного алгоритма построения функционала действия по заданной системе уравнений первого порядка.

Даже в случае когда обратная задача разрешима ее решение может содержать большой произвол, не сводящийся к добавлению полной производной по времени. В 1950 году Вигнер [23] поставил вопрос: "Определяют ли классические уравнения движения квантовомеханические коммутационные соотношения?" В своей работе [23] Вигнер предположил, что ответ на этот вопрос зависит от формы гамильтониана и для некоторых систем может быть отрицательным. Детальное изучение проблемы (см. [24]-[31]) показало, что ответ на поставленный Вигнером вопрос действительно отрицателен и вид квантовомеханических коммутационных соотношений существенно зависит от выбора функции Лагранжа. Тем не менее, полное описание имеющегося здесь произвола известно только в случае одномерных систем и было дано еще Дарбу [2]. А именно, существует столько неэквивалентных лагранжианов сколько функций от двух переменных.

Проблема квантовомеханического описания нелагранжевых систем притягивает интерес физиков на протяжении десятков лет и имеет не мало важных приложений (см. например [32]-[70] и цитируемую там литературу) . Если нелагранжевы уравнения описывают некую диссипативную систему, в которой диссипация является следствием взаимодействия с окружающей средой (резервуаром), разумно рассматривать систему и резервуар как две взаимодействующие подсистемы одной замкнутой системы. Тогда квантовое описание диссипативной системы может быть получено из квантовой теории общей системы усреднением по резервуару. Этот подход был предложен Фейнманом и Верноном в 1963г. [32] и далее использовался во многих работах (см., например, [33]-[46]). Недостатками данного подхода является его чрезвычайная громоздкость, необходимость предварительной фиксации некоторой модели резервуара, а также зависимость результата квантования от самой модели резервуара. В простейшем случае, когда резервуар моделируется бесконечным числом осцилляторов, в окончательный ответ входят такие его параметры, как температура Т и собственные частоты осцилляторов Uk- Кроме того, этот подход применим только для квантования диссипативных систем, когда причиной нелагранжевости уравнений движения является диссипация, то есть взаимодействие системы с окружающей средой. Если же нелагранжевость уравнений движения имеет иную природу (как в случае, например, с монополем Дирака [47, 48]) рассматриваемая схема квантования теряет физический смысл.

Альтернативный метод квантования диссипативных систем известен как бэйтмановское квантование. Предложенное Бэйтманом в 1931 г. [49], оно основывается на идее вложения исходной нелагранжевой динамики в более широкую лагранжеву модель. В качестве лагранжиана расширенной системы берется сумма исходных уравнений движения с соответствующими лагранжевыми множителями. Варьирование такого лагранжиана по лагранжевым множителям приводит к исходным уравнениям движения, однако, варьирование по исходным переменным даёт новые динамические уравнения на введенные лагранжевы множители. Таким образом, лагранжевы множители трактуются как новые степени свободы. При этом, не всегда понятно какой физический смысл можно придать этим новым степеням свободы. На квантовом уровне подобный подход также сталкивается с определенными трудностями. Так например, построенная таким образом квантовая теория гармонического осциллятора, как с трением, так и без него, характеризуется непрерывным спектром энергий и невозможностью корректно определить гильбертово пространство состояний системы (индефинитная метрика) [50]-[58].

Наконец, имеется подход, стартующий с функционала действия в формализме второго порядка. Для построения действия используется метод интегрирующего множителя. Как отмечалось выше, такой множитель не всегда существует, а когда существует может содержать изрядную долю произвола. Возникающие при этом трудности можно проиллюстрировать на примере нерелятивистского уравнения Лоренца-Дирака. А именно, в работе [72] было показано, что несмотря на существование вариационного принципа для уравнений второго порядка, описывающих движение излучающего точечного нереляивистского заряда в однородном магнитном иоле, ни один из возможных лагранжианов не переходит в пределе отключения взаимодействия с электромагнитным полем в лагранжиан свободной частицы. Таким образом, в случае более чем одной степени свободы малая деформация уравнений движения (коей обычно и является диссипация) может не представляться как малая деформация соответствующего функционала действия в формализме второго порядка. Как следствие, и квантовая теория многомерных диссипативных систем, построенная квантованием подобного действия будет входить в противоречие с пертурбативной трактовкой диссипации. Кроме того, известны примеры многомерных динамических систем (Дуглас, 1941 г. [3]), урав-' нения движения, которых просто не допускают существование интегрирующего множителя, а как следствие, и действия в формализме второго порядка. Отметим, что идея квантования нелагранжевых систем, путем подбора интегрирующего множителя, активно использовалась во многих работах для квантования гармонического осциллятора с трением и некоторых других одномерных моделей [59]- [65]. Однако, поскольку гармонический осциллятор одномерен, упомянутые выше проблемы здесь просто не возникают.

Таким образом, ни один из перечисленных подходов к квантованию нелагранжевых систем не лишён внутренних трудностей. А потому, многие вопросы, связанные с квантованием не гамильтоновых и диссипативных систем до сих пор остаются открытыми. Так например, интересным является изучение влияния диссипации на такие квантовомеханиче-ские явления как тунелирование и квантовая интерференция. Возможное проявление квантового тунелирования на макроскопическом уровне, где имеет место явление диссипации, в физике низких температур было описано Леггетом в 1978 г. [67]. Влияние диссипации на квантовое тунелирование в макроскопических системах впервые было рассмотрено Калдейрой и Легетом в работах [68, 69], где было показано, что в присутствии диссипации вероятность тунелирования макроскопической системы начинает зависеть от феноменологического коэффициента трения. Квантовая интерференция в присутствии диссипации рассматривалась теми же авторами в работе [70]. Однако, в обоих случаях авторы пользовались подходом трактующим диссипацию как взаимодействие системы с тепловым резервуаром, недостатки которого обсуждались выше.

Существует множество других интересных физических проблем связанных с квантованием нелагранжевых систем. Отметим только две из них: (i) квантовомеханическое описание реакции излучения, альтернативное теоретико-полевому подходу и основанное на квантовании соответствующих нелагранжевых уравнений движения, описывающих эффективную динамику заряженных объектов (частиц, струн и т.д.) во внешних полях, а также (и) квантовомеханическое описание монополя Дираком. [47, 48]. Предложенный Дираком метод квантования магнитного заряда для решения проблемы нелагранжевости уравнений движения электрического заряда в поле магнитного предполагал использовать так называемое "вето Дирака запрещающем электрическому заряду находиться на нити - траектории магнитного заряда. Заметим, однако, что дираковская теория магнитного заряда с "нитями"не лишена критики (см., например [71]).

Таким образом, иметься необходимость в развитии новых подходов и методов квантования динамических систем, заданных классическими уравнениями движения, и не привлекающих ни дополнительных нефизических степеней свободы, ни вспомогательные конструкции подобно тепловому резервуару или нефизическим "нитям". Помимо широкого спектра приложений решение данной задачи имеет и чисто теоретическое значение, так как расширяет наши представления об области применимости квантовой теории и обогащает ее новыми конструкциями и методами.

Исходя из этого были сформулированы цели диссертационной работы:

1. Разработка методов решения обратной вариационной задачи для динамических систем общего вида.

2. Развитие общих методов квантования физических систем, заданных классическими уравнениями движения.

На этом пути были достигнуты следующие основные результаты:

1. Разработан новый конструктивный метод построения функционала действия по известным классическим уравнениям движения системы. Построенная модель содержит информацию только о рассматриваемой физической системе и вовлекает в качестве дополнительного ингредиента, ответственного за квантование, произвольную симплектическую структуру на фазовом пространстве. При этом, любая малая деформация исходных уравнений движения оказывается всегда представима как соответствующая малая деформация построенного действия.

2. Разработан подход канонического квантования нелагранжевых теорий, основанный на предложенной лагранжевой формулировке эквивалентной системы уравнений первого порядка. Построено каноническое квантование линейных динамических систем. Показано, что квантовая эволюция рассматриваемых систем полностью определяется классической.

3. Предложен новый подход деформационного квантования нелагранжевых теорий, основанный на псевдо-гамильтоновой формулировке нелагранжевых уравнений движения первого порядка. Построено квантование важных примеров диссипативных систем: линейного затухающего осциллятора и излучающего точечного заряда. Получены точные выражения для эволюции средних значений энергии и углового момента в рассмотренных примерах. Проведён сравнительный анализ двух предложенных подходов.

4. Впервые получены: a) Явный вид лагранжиана для систем дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают существование интегрирующего множителя, то есть такой невырожденной матрицы, умножение на которую сводит рассматриваемую систему уравнений движения к стандартной форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Из простых соображений, не апелирующих к функциональному анализу, получены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя. Предложенный метод решения обратной вариационной задачи проиллюстрирован на различных примерах. Построено лагранжево действие в формализме второго порядка для многомерных диссипативных систем. Также приводится пример линейной динамической системы, уравнения движения которой не допускают существование интегрирующего множителя. b) Явная процедура построения функционала действия для систем уравнений первого порядка по решению задачи Коши рассматриваемых систем. Получено полное описание нетривиального произвола (не сводимого к добавлению полной производной по времени) в определении функции Лагранжа для заданных систем дифференциальных уравнений первого порядка. Построен квадратичный функционал действия для линейных динамических систем, которые описываются линейными, в общем случае неоднородными дифференциальными уравнениями с непостоянными коэффициентами. c) Доказательство несуществования вариационного принципа для классического уравнения Лоренца-Дирака, равно как и для его нерелятивистского предела. Предложено редуцированное уравнение Лоренца-Дирака, описывающее эффективную динамику излучающего заряда в электромагнитном поле и свободного от нефизических решений. Для этого уравнения обратная вариационная задача может иметь множество решений. В качестве примера рассмотрен нерелятивистский точечный заряд в постоянном однородном магнитном поле с учетом реакции излучения. Показано, что хотя эта система и допускает существование функционала действия в формализме второго порядка, ни один из возможных лагранжианов не даёт в пределе отключения взаимодействия обычный лагранжиан свободной частицы. Удовлетворительное физическое описание удаётся построить для эквивалентной системы уравнений первого порядка. d) Подход канонического квантования физических систем с нелагран-жевыми уравнениями движения, основанный на предложенной лагранжевой формулировке эквивалентной системы уравнений первого порядка. Гамильтонизация и каноническое квантование построенного лагранжева действия является не тривиальной проблемой, поскольку рассматриваемая теория имеет связи зависящие от времени. Общий подход гамильтонизации и канонического квантования теорий со связями зависящими от времени (Гитман, Тютин 1990) применяется к рассматриваемому случаю. Предложенная схема квантования проиллюстрирована на примере линейных динамических систем. В дополнении рассмотрено каноническое квантование гармонического осциллятора с трением, и излучающего заряда. e) Псевдо-гамильтонова формулировка для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами. В отличии от обычной канонической гамильто-новой механики наш подход основан на использовании нестационарных скобок Пуассона и "обобщённой"производной по времени Dt = dt + • • •, которая дифференцирует введенные скобки Пуассона. Получено модифицированное уравнение Лиувиля, определяющее зависимость от времени классической функции распределения. f) Последовательная процедура деформационного квантования линейных динамических систем, основанная на предложенной псе-вдо-гамильтоновой формулировке. Рассматриваемая процедура вовлекает нестационарное звездочка-произведение щ. Предложенная "обобщённая"производная по времени Dt = dt + • • •, дифференцирует ^-произведение. Показано, что как и в обычном случае *галгебра физических наблюдаемых допускает единственный (зависящий от времени) следовой функционал Тг^. Используя перечисленные ингредиенты мы строим последовательное самосогласованное квантовомеханическое описание для произвольных линейных динамических систем. Предложенный метод деформационного квантования иллюстрируется на примере линейных диссипативных систем, таких как гармонический осциллятор с трением и излучающий точечный заряд.

Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с известными опубликованными работами.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы. Материал изложен на 102 страницах, включает список литературы из 107 наименований. Текст диссертации набран в издательской системе ЖГ^Х.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Куприянов, Владислав Геннадьевич

5 Заключение

В заключение подведем основные итоги проведенного в этой работе исследования квантования нелагранжевых теорий:

1. Разработан новый конструктивный метод построения вариационного принципа для заданных физических систем по известным уравнениям движения. В том случае если исходные уравнения движения второго порядка не могут быть представлены в виде уравнений Эйлера-Лагранжа определенного действия, всегда возможно переписать их в виде эквивалентной системы дифференциальных уравнений первого порядка, для которых всегда может быть найден функционал действия. Мы явно строим это действие.

2. Разработан подход канонического квантования нелагранжевых теорий, основанный на предложенной лагранжевой формулировке эквивалентной системы уравнений первого порядка. Построено каноническое квантование линейных динамических систем. Показано, что квантовая эволюция рассматриваемых систем полностью определяется классической.

3. Предложен новый подход деформационного квантования нелагранжевых теорий, основанный на псевдо-гамильтоновой формулировке нелагранжевых уравнений движения первого порядка. Построено квантование важных примеров диссипативных систем: линейного затухающего осциллятора и излучающего точечного заряда. Получены точные выражения для эволюции средних значений энергии и углового момента в рассмотренных примерах. Проведен сравнительный анализ двух предложенных подходов.

4. Впервые получены: а) Явный вид лагранжиана для систем дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают существование интегрирующего множителя, то есть такой невырожденной матрицы, умножение на которую сводит рассматриваемую систему уравнений движения к стандартной форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Из простых соображений, не апелирующих к функциональному анализу, получены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя. Предложенный метод решения обратной вариационной задачи проиллюстрирован на различных примерах. Построено лагранжево действие для многомерных диссипативных систем. Также приводится пример линейной динамической системы, уравнения движения которой не допускают существование интегрирующего множителя. b) Явная процедура построения функционала действия для систем уравнений первого порядка по решению задачи Каши рассматриваемых систем. Получено полное описание нетривиального произвола (не сводимого к добавлению полной производной по времени) в определении функции Лагранжа для заданных систем дифференциальных уравнений первого порядка. Построен квадратичный функционал действия для линейных динамических систем, динамика которых описывается линейными, в общем случае неоднородными дифференциальными уравнениями с непостоянными коэффициентами. c) Доказательство несуществования вариационного принципа для классического уравнения Лоренца-Дирака, равно как и для его нерелятивистского предела. Предложено редуцированное уравнение Лоренца-Дирака, описывающее эффективную динамику излучающего заряда в электромагнитном поле и свободного от нефизических решений. Для этого уравнения обратная вариационная задача может иметь множество решений. В качестве примера рассмотрен нерелятивистский точечный заряд в постоянном однородном магнитном поле с учетом реакции излучения. Показано, что хотя эта система и допускает существование функционала действия в формализме второго порядка, ни один из возможных лагранжианов не даёт в пределе отключения взаимодействия обычный лагранжиан свободной частицы. Удовлетворительное физическое описание удаётся построить для эквивалентной системы уравнений первого порядка. d) Подход канонического квантования физических систем с нелаг-ранжевыми уравнениями движения, основанный на предложенной лагранжевой формулировке эквивалентной системы уравнений первого порядка. Гамильтонизация и каноническое квантование построенного лагранжева действия является не тривиальной проблемой, поскольку рассматриваемая теория имеет связи зависящие от времени. Общий подход гамильтонизации и канонического квантования теорий со связями зависящими от времени (Гитман, Тютин 1990) применяется к рассматриваемому случаю. Предложенная схема квантования проиллюстрирована на примере линейных динамических систем. В дополнении рассмотрено каноническое квантование гармонического осциллятора с трением, и излучающего заряда. e) Псевдо-гамильтонова формулировка для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с непостоянными коэффициентами. В отличии от обычной канонической гамильто-новой механики наш подход основан на использовании нестационарных скобок Пуассона и "обобщённой" производной по времени Dt = dt + • • •, которая дифференцирует введённые скобки Пуассона. Получено модифицированное уравнение Лиувиля, определяющее зависимость от времени классической функции распределения. f) Последовательная процедура деформационного квантования линейных динамических систем, основанная на предложенной псе-вдо-гамильтоновой формулировке. Рассматриваемая процедура вовлекает нестационарное звездочка-произведение *t. Предложенная "обобщённая" производная по времени Д = dt + • • •, дифференцирует ^-произведение. Показано, что как и в обычном случае *<-алгебра физических наблюдаемых допускает единственный (зависящий от времени) следовой функционал Тгг. Используя перечисленные ингредиенты мы строим последовательное самосогласованное квантовомеханическое описание для произвольных линейных динамических систем. Предложенный метод деформационного квантования иллюстрируется на примере линейных диссипативных систем, таких как гармонический осциллятор с трением и излучающий точечный заряд.

6 Аппендикс - интегрирующий множитель

В этом параграфе мы рассматриваем теорию интегрирующего множителя для уравнений первого порядка, то есть такой невырожденной матрицы Q умножение на которую сводит исходную систему дифференциальных уравнений да [t] — 0 к вариационной производной

6S

9а И = И

5хс

0.

6.1)

Поскольку да [t] - вариационная производная, она должна удовлетворять следующему условию

Лл. Г/1 ы

6.2) $9а М % [s]

5xP(s) 5ха (t)'

В литературе это условие известно как критерий Гельмгольца [1]. Мы будем использовать это условие для того чтобы найти интегрирующий множитель для системы уравнений первого порядка да [£] = xa—fa(t, х). В общем случае можно предположить, что Q зависит от времени координат ха и производных по времени до т порядка (т - некоторое натуральное число), то есть. да [£] = да (t, х,., х^). Учитывая этот вид да можно переписать (6.2) как

Efelb'-'J-EfeB^*-'). i=0 i=o

6.3) поскольку 6 0,1,.

Дифференцируя тождество / (t) 5 (t — s) = / (5) 6(s — t) по времени t находим f (s) № (s-t) = (-1)* £ Ctf® (t) 5M (t - s)

1=0

Используя (6.4) запишем (6.2) как m q г,1 m j i=0 j=0 /=0 dXdgp{t} dt) dx*W r* kl

6.4)

6{j~l) (t-s).

6.5)

Сравнивая в (6.5) коэффициенты при (t — s) получаем уравнения на да (t,x, При к = О имеем ш-ь-йшШ^- ^ j=0 х '

Поскольку да [t] зависит только от производных до порядка га, в уравнении (6.6) коэффициент при старших производных £Q(2m) должен обращаться в нуль. Этим коэффициентом является (—1 )т d2gp/dxa^dx^m\ что в свою очередь означает, что ga [t] должна быть линейна по старшим производным, то есть

М = а^ .xf"-1)) я^М +ЬЛ .ж^-1)) , где аар и Ьа - некоторые функции обозначенных аргументов. Так как О, невырождена, (6.1) должно быть уравнением первого порядка, то есть т = 1 и П = Q (£, х).

Теперь сравнивая в (6.5) коэффициенты при (t — s) получим: ар = -ftfla ■ (6.7)

Затем из (6.6) имеем dp (^а7/7) - да (ПруГ) + д$1ар + X7 (дрПау - да^р7 + д7Ц?а) = 0 •

Поскольку О, не зависит от скоростей х получаем следующие уравнения на О,: да£1рч + дрЪЦа + д^ар = 0 (6.8) и

Wop + £fSlap = 0 , (6.9) где £f£lap ~ производная Ли от Qap вдоль векторного поля /7. Таким образом, интегрирующим множителем для системы уравнений первого порядка является невырожденная матица, зависящая от времени t и координат ха и удовлетворяющая условиям (6.7), (6.8) и (6.9).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куприянов, Владислав Геннадьевич, 2007 год

1. Н. von Helmholtz, Journ. f. d. reine u. angew. Math., 100 (1887) 137.

2. G. Darboux, Lesons sur la Theorie Generate des Surfaces (Gauther-Villars, Paris, 1894).

3. J. Douglas, Solution of the inverse problem of the calculus of variations, Trans. Am. Math. Soc.50, N 71 (1941) 71.

4. P. Havas, The range of application of the Lagrange formalism. I. Nuovo Cimento Suppl. 3 (1957) 363.

5. W. Sarlet, Invariance and conservation laws for Lagrangian systems with one degree of freedom, J. Math. Phys. 19 (1978) 1049.

6. W. Sarlet, The Helmholtz conditions revisited. A new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics, J. Phys. A Math. Gen. 15 (1982) 1503

7. V.V. Dodonov, V.I. Man'ko and V.D. Skarzhinsky, Arbitrariness in the choice of action and quantization of the given classical eqations of motion, preprint of P.N. Lebedev Physical Institute (1978).

8. V.V. Dodonov, V.I. Man'ko and V.D. Skarzhinsky, The Inverse Problem Of The Variational Calculus And The Nonuniqueness Of The Quantization Of Classical Systems, Hadronic J. 4 (1981) 1734-1804.

9. V.V. Dodonov, V.I. Man'ko and V.D. Skarzhinsky, Inverse Variational Problem And Ambiguities Of Quantization For A Particle In A Magnetic Field, Hadronic J. 6 (1983) 159-179.

10. M. Henneaux, Equations of motion, commutation relations and ambiguities in the Lagrangian formalism, Ann. Phys, 140 (1982) 45.

11. Anderson, I. and Thompson, G. The inverse problem of the calculus of variations for ordinary differential equations. (1982). Mem. Am. Math. Soc. 98, 1Ц24.

12. I. A. Pedrosa, Canonical transformations and exact invariants for dissipative systems, J. Math. Phys. 28 (1987) 2662.

13. F. Pardo, The Helmholtz conditions in terms of constants of motion in classical mechanics, J. Math. Phys. 30 (1989) 2054-2061.

14. G. Morandi, C. Ferrario, G. Lo Vecchio, G. Marmo and C. Rubano, The inverse problem in the calculus of variations and the geometry of the tangent bundle, Phys. Rep. 188 (1990) 147.

15. S. Hojman and F. Pardo, Lagrangians for differential equations of any order, J. Math. Phys. 33 (1992) 584-590.

16. B. Talukdar, S. Ghosh, U. Das, Inverse variational problem and canonical structure of Burgers equations, J. Math. Phys. 46 (2005) 043506.

17. D. Michal, Looking for a time independent Hamiltonian of a dynamical system, physics/0606197

18. V.K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan, A simple and unified approach to identify integrable nonlinear oscillators and systems, J. Math. Phys. 47 (2006) 023508.

19. V.K. Chandrasekar, M. Senthilvelan, and M. Lakshmanan, On the Lagrangian and Hamiltonian description of the damped linear harmonic oscillator, J. Math. Phys. 48 (2007) 032701.

20. P. Havas, The connection between conservation laws and invariance groups folklore, fiction, and fact. Actra. Phys. Aust. 38 (1973) 145.

21. R. Santilli, Necessary and sufficient conditions for the existence of a Lagrangian in field theory. I: Variational approach to selfadjointness for tensorial field equations, Ann. Phys. (NY)103 (1977) p.354.

22. S. Hojman and L. Urrutia, On the inverse problem of the calculus of variations, J. Math. Phys. 22 (1981) 1896.

23. E.P. Wigner, Do the Equations of Motion Determine the Quantum Mechanical Commutation Relations? Phys. Rev. 77 (1950) 11

24. A.P.Balachandran, T.R.Govindrajan and B.Vijayalakshimi, Particles of half-integral or integral helicity by quantization of a nonrelativistic free particle, and related topics, Phys. Rev. D18 (1978) 1950.

25. S.Okubo, Does the equation of motion determine commutation relations? Phys. Rev. D22 (1980) 919.

26. S.Hojman and H.Handerston, Equivalent Lagrangians: Multidimensional case, J. Math. Phys. 22 (1981) 1414.

27. M.Henneaux, L.Sheplley, Lagrangians for spherically symmetric potentials, J. Math. Phys 23 (1982) 2101.

28. S.A. Hojman and L.C. Shepley, No Lagrangian? No quantization! J. Math. Phys. 32 (1991) 142-146,

29. S.A. Hojman, L.F. Urrutia, Comments on Physical consequences of the choice of Lagrangian, Phys. Rev. D26 (1982) 527-528.

30. J. Cislo and J. Lopuzanski, To what extent do the classical equations of motion determine the quantization scheme? J. Math. Phys. 42 (2001) 5163.

31. P. Tempesta, E. Alfinito, R.Leo and G.Soliani, Quantum models related to fouled Hamiltonians of the harmonic oscillator, J. Math. Phys. 43 (2002) 3583.

32. R.P. Feynman and F.L. Vernon, The theory of a general quantum system interacting with a linear dissipative system, Ann.Phys. 24 (1963) 118.

33. I.R. Senitzky, Dissipation in quantum mechanics. The harmonic oscillator, Phys. Rev. 119 (1960) 670.

34. H. Haken, Cooperative phenomena in systems far from thermal equilibrium and in nonphysical systems, Rev. Mod. Phys. 47 (1975) 68.

35. H. Dekker, Quantization of the linearly damped harmonic oscillator, Phys.Rev. A16 (1977) 2116.

36. A. Caldeira and A. Leggett, Path integral approach to quantum Brownian motion, Physica A121 (1983) 587.

37. I.A. Pedrosa and B. Baseia, Coherent states and dissipative systems, Phys.Rev. D30 (1984) 765.

38. D. Walls, G. Miburn, Effect of dissipation on quantum coherence, Phys. Rev. A31 (1985) 2403.

39. H. Grabert, P. Shramm and G. Ingold, Quantum Brownian motion: The functional integral approach, Phys. Rep 168 (1988) 115.

40. Li Hua Yu, Chang-Pu Sun, Evolution of the wave function in a dissipative system, Phys. Rev. A49 (1994) 592.

41. Hirotaka Kanasugi and Hidehiko Okada, Systematic Treatment of General Time-Dependent Harmonic Oscillator in Classical and Quantum Mechanics, Prog. Theor. Phys. 93 (1995) 949-960

42. A.H. Neto and A.O. Caldeira, New Model for Dissipation in Quantum Mechanics, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 1960.

43. Hirotaka Kanasugi, Symmetry of General Time-Dependent Harmonic Oscillator, Prog. Theor. Phys., 97 1997) 617-633

44. I. Joichi, S. Matsumoto and M. Yoshimura, Quantum Dissipation in Open Harmonic Systems. Operator Solution and Application to Decay Process, Prog. Theor. Phys., 98 (1997) 9.

45. M. Rosenau, A. Caldeira, S. Dutra, H. Westfahl, Exact diagonalization of two quantum models for the damped harmonic oscillator, Phys. Rev. A61 (2000) 022107.

46. M.B. Mensky, Dissipation and decoherence of quantum systems, (in Russian) Usp. Fiz. Nauk. 173 (2003) 1199.

47. P.A.M. Dirac, Quantised singularities in the electromagnetic field, Proc.Roy.Soc. A133 (1931) 60.

48. P.A.M. Dirac, The Theory of Magnetic Poles, Phys. Rev. 74 (1948) 817

49. H. Bateman, On Dissipative Systems and Related Variational Principles, Phys. Rev. 38 (1931) 815.

50. H. Feshbach and Y. Tikochinsky, Quantization of the damped harmonic oscillator, Trans. N.Y. Acad. Sci., Ser. II 38 (1977), p. 44.

51. H. Dekker, Classical and quantum mechanics of the damped harmonic oscillator, Phys.Rep. 80 (1981) 1.

52. E. Celeghini, M. Rasetti and G. Vitello, Quantum dissipation, Ann.Phys. 215 (1992) 156.

53. R. Banerjee and P. Mukherjee, A canonical approach to the quantization of the damped harmonic oscillator, J. Phys. A35 (2002) 5591.

54. M. Blasone and P. Jizba, Bateman's dual system revisited: quantization, geometric phase and relation with the ground-state energy of the linear harmonic oscillator, Ann.Phys. 312 (2004) 354.

55. D.C. Latimer, Quantizing the damped harmonic oscillator, J. Phys. A 38 (2005), pp. 2021-2027

56. D. Chruscinski, Quantum damped oscillator. I: Dissipation and resonances, Ann. Phys. 321 (2006) 840.

57. D. Chruscinski, Quantum damped oscillator II: BatemanPs Hamiltonian vs. 2D parabolic potential barrier, Ann. Phys. 321 (2006) 854.

58. A.C.R. Mendes, F.I. Takakura, C. Neves and W. Oliveira, An alternative approach to canonical quantizationof the radiation damping, Eur. Phys. J. С 45 (2006), pp. 257-261

59. E. Kanai, On the Quantization of the Dissipative Systems, Progr. Theor. Phys., 3 (1948) 440.

60. W.E. Brittin, A note on the quantization of dissipative systems, Phys. Rev. 77(1950)396.

61. N.A. Lemos, The Heisenberg picture is not privileged for the canonical quantization of dissipative systems, Phys. Rev. D24 (1981) 2338.

62. R. Hasse, On the quantum mechanical treatment of dissipative systems, J. Math. Phys. 16 (1975) 2005.

63. D.C. Khandekar and S.V. Lavande, Exact solution of a time-dependent quantal harmonic oscillator with damping and a perturbative force, J. Math. Phys. 20 (1979) 1870.

64. C.I. Urn, K.H. Yeon, W.H. Kahng, On the Quantum Theory of the Damped Driven Harmonic Oscillator 1. Exact evaluation of the propagator and the wave function, J. Korean Phys. Soc. 19 (1986) 17.

65. D. Giuseppe, T. Francisco, The damped harmonic oscillator in deformation quantization, Phys. Lett. A 352 309 (2006)

66. L.D. Landau and E.M. LIfshitz, Mechanics, Oxford:Pergamon, 1962.

67. A.J. Leggett, J.Phys. (Paris), Colloq. 39, c6-1264 (1978)

68. A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Influence of Dissipation on Quantum Tunneling in Macroscopic Systems, Phys.Rev.Lett. 46 (1981)211

69. A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Quantum tunneling in a dissipative system, Ann. Phys. (N.Y.) 149 (1983) 374

70. A.O. Caldeira and A.J. Leggett, Influence of damping on quantum interference: An exactly soluble model, Phys. Rev. A 31 (1985) 1059.

71. A. Peres, Rotational Invariance of Magnetic Monopoles, Phys.Rev. 167 (1968) 1449

72. V.G. Kupriyanov, S.L. Lyakhovich and A.A. Sharapov, Deformation quantization of linear dissipative systems, J. Phys. A38 (2005) 8039.

73. V.G. Kupriyanov, Hamiltonian Formulation and Action Principle for the Lorentz-Dirac System, Int. J. Theor. Phys. 45 (2006) 1129.

74. D.M. Gitman, V.G. Kupriyanov, Action principle for so-called non-Lagrangian systems, PoS(IC2006)016

75. D.M. Gitman, V.G. Kupriyanov, Quantization of theories with non-Lagrangian equations of motion, Journal of Mathematical Sciences, 141, N 4 (2007) 1399-1406

76. D.M. Gitman, V.G. Kupriyanov, Canonical quantization of so-called non-Lagrangian theories, Eur. Phys. J. C50 (2007) 691-700.

77. D.M. Gitman, V.G. Kupriyanov, On the action principle for a system of differential equations, J. Phys. A40 (2007) 10071-10081.

78. P.A.M. Dirac, Classical theory of radiating electrons, Proc. R. Soc. 167 (1938) 148-169.

79. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The classical theory of fields, Pergamon, Oxford, 1962.

80. V.L. Ginzburg, Theoretical Physics and Astrophysics, Moscow: Nauka, 1987 (in russian).

81. E. Poisson, An introduction to the Lorentz-Dirac equation, preprint gr-qc/9912045.

82. P.O. Kazinski and A.A. Sharapov, Radiation reaction for a massless charged particle, Class. Quant. Grav. 20 (2003) 2715.

83. D.M. Gitman and I.V. Tyutin, Quantization of Fields with Constraints, Springer-Verlag 1990.

84. F.A. Berezin and M.A. Shu bin, Schrddinger Equation (Kluwer Publ., New York, Amsterdam 1991)

85. H.R. Lewis, Classical and Quantum Systems with Time-Dependent Harmonic-Oscillator-Type Hamiltonians, Phys. Rev. Lett. 18 (1967) 510-512

86. H.R. Lewis, Motion of a Time-Dependent Harmonic Oscillator, and of a Charged Particle in a Class of Time-Dependent, Axially Symmetric Electromagnetic Fields, Phys. Rev. 172 (1968) 1313-1315

87. H.R. Lewis and W.B. Riesenfeld, An Exact Quantum Theory of the Time-Dependent Harmonic Oscillator and of a Charged Particle in a Time-Dependent Electromagnetic Field, J. Math. Phys. 10 (1969) 1458.

88. N.A.Chernikov, The system whose hamiltonian is a time-dependent quadratic form in coordinates and momenta, communications of the Joint Institute for Nuclear Research, Dubna (1990).

89. J.K. Kim arid S.P. Kim, One-parameter squeezed Gaussian states of a time-dependent harmonic oscillator and the selection rule for vacuum states, J. Phys. A32 (1999) 2711.

90. H. Kim and J, Yee, Time-dependent driven anharmonic oscillator and adiabaticity, Phys. Rev. A66 (2002) 032117.

91. Kyu Hwang Yeon, Chungin U, T.F.George, Time-dependent general quantum quadratic Hamiltonian system, Phys. Rev. A68 (2003) 052108.

92. S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov, BRST theory without Hamiltonian and Lagrangian, JHEP 0503:011, 2005.

93. P.O. Kazinski, S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov, Lagrange structure and quantization, JHEP 0507:076,2005.

94. S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov, Schwinger-Dyson equation for non-Lagrangian field theory, JHEP 0602:007, 2006.

95. S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov, Quantizing non-Lagrangian gauge theories: An Augmentation method, JHEP 0701:047, 2007.

96. S.L. Lyakhovich, A.A, Sharapov, Quantization of Donaldson-Uhlenbeck-Yau theory, e-Print: arXiv:0705.1871 hep-th]

97. F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Deformation theory and quantization, I and II, Ann. Phys. Ill (1977) 61-151.

98. G. Dito and D. Sternheimer, Deformation Quantization: Genesis, Developments and Metamorphoses, IRMA Lectures in Math. Theoret. Phys. 1, Walter De Gruyter, Berlin 2002, pp. 9-54; math.QA/0201168.

99. B.V. Fedosov, Deformation Quantization and Index Theory, Akademie-Verlag, Berlin, 1996.

100. Maxim Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds. 1, Lett.Math.Phys.66 (2003) 157-216.

101. H. Weyl, The theory of groups and Quantum Mechanics. N. Y., (1931) P- 214,

102. J. Moyal, Quantum mechanics as a statistical theory, Proc. Cambridge Phylos. Soc. 45 (1949) 91.

103. E.P. Wigner, On the quantum correction for thermodynamic equilibrium, Phys. Rev. 40 (1932) 749-760.

104. M. Hillery, R.F. O'Connell, M.O. Scullyd, E.P. Wigner, Distribution functions in physics: Fundamentals. Phys. Rept. 106 (1984) 121-167.

105. A. Cattaneo, G. Felder, A Path integral approach to the Kontsevich quantization formula, Commun. Math. Phys. 212 (2000) 591-611.

106. V. Dolgushev, A proof of a Tsigan formality conjecture for an arbitrary smooth manifold, math.qa/0504420