Квадратичные характеры в проблеме распределения целых точек в шаре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Архипова, Людмила Геннадьевна

• Архипова, Людмила Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Архипова, Людмила Геннадьевна

Введение

Глава 1. Сферические суммы в проблеме шара

1.1 Вывод "сглаженной"формулы для числа целых точек в шаре

1.2 Кратное применение формулы суммирования Пуассона.

Глава 2. Суммы, скрученные с квадратичным характером

2.1 Представление сферических через суммы, скрученные с символом Якоби.

2.2 Выделение основного промежутка изменения параметров в гибридных суммах.

2.3 Применение формулы обращения Виноградова - Корпута

2.4 Специальное представление гибридной суммы.

2.5 Оценка суммы Т(ЛГ, К).

2.6 Применение метода экспоненциальных пар.

2.7 Оценка гибридной суммы по современной экспоненциальной паре

2.8 Выбор значения целевого параметра.

2.9 Анализ полученных оценок.

Глава 3. О некоторых приложениях гибридных сумм

3.1 Новое неравенство типа Вейля - Корпута.

3.2 Новое доказательство закона взаимности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квадратичные характеры в проблеме распределения целых точек в шаре»

Квадратичный характер — это функция целого аргумента, периодическая по некоторому натуральному числу га, квадрат которой равен 1 для всех чисел, взаимно простых с га, и равен нулю в противном случае. Еще предполагается, что эта функция мультипликативна, то есть ее значение для произведения целых аргументов, взаимно простых между собой, равно произведению значений. Исследования по применению квадратичных характеров в теории чисел ведутся на протяжении более двухсот лет, начиная с работ Л. Эйлера, К.Ф. Гаусса и Ж.Л. Лагранжа. В настоящей диссертации исследуются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами, скрученными с квадратичным характером. Другими словами, рассматриваются тригонометрические суммы, каждое слагаемое которых представляет собой произведение квадратичного характера на экспоненту от некоторой комплекснозначной функции. В качестве квадратичного характера мы рассматриваем символ Якоби или его частный случай — символ Лежандра.

Основная цель диссертации состоит в выводе новых форм остаточного члена в проблеме шара, выраженных через сферические тригонометрические суммы, а также суммы, скрученные с квадратичным характером, и получении новых равномерных оценок сферических сумм.

Проблемой шара называют задачу о выводе асимптотической формулы для Т(а) — числа узлов трехмерной целочисленной решетки, лежащих внутри шара растущего радиуса а с центром в начале координат, а также возможно более точной оценке остаточного члена И(а) данной асимптотики.

Из рассуждений К.Ф. Гаусса, касающихся проблемы круга, легко следует асимптотическая формула для количества Т(а) вида Т(а) = §7гй3 + R(a), R(a) а2. Главный член этой формулы есть просто объем шара радиуса а, а остаток имеет тот же порядок, что и площадь сферы радиуса а. В 1926 году венгерский математик Сеге доказал (см.[1]), что R(a) есть f2(aVlna). В 1935 году И.М. Виноградов свел проблему оценки остатка R(a) к сферическим суммам и применил к ним свой метод (см.[2], [3])оценок тригонометрических сумм, разработанный для исследования числа классов квадратичных форм отрицательного дискриминанта и для исследований по проблеме Варинга (см.[4]), и получил первое со времен Гаусса улучшение оценки остаточного члена в проблеме шара (см.[5]). Оценка Виноградова имела вид R(a) а1,4+е. В дальнейшем он же неоднократно улучшал этот результат. В 1949 году в работе [6] была получена оценка R(a) Оценка 1955

11 19 года (см.[7]) имеет вид R(a) <С а~*+е. Оценка 1960 года (см.[8]) R(a) <С ап+е. И, наконец, в 1963 году И.М. Виноградов оценил остаток R(a) величиной at In6 а (см. [9]). Более совершенное изложение последнего результата содержится в монографии "Особые варианты метода тригонометрических сумм" 1976 года (см.[10]). Следует отметить, что несколько позднее И.М. Виноградова, но независимо от него известный китайский математик Чен Джин Ран в работе [11] также получил оценку вида R(a) <С а%+е.

Метод Виноградова, использованный в работе [9], по существу состоит в сведении задачи к оценке сферической тригонометрической суммы Р(а) вида e2TTÍaVl2+m2+n2

Pia) = а V -г-5-т .

Z2+m2+n2xa° при условии, что параметр а меняется в промежутке Е — (0; |). При каждом значении а сумма Р(а) оценивается и применяется к исследованию остатка R(a) в асимптотической формуле. В современном виде зависимость оценки суммы Р(а) от а приведена в работе [12]. В диссертации приводится явное аналитическое и графическое представление этой оценки.

До 1995 года результат И.М. Виноградова в проблеме шара оставался наилучшим. Лишь в 1995 году Г. Иванец и Ф.Чамизо доказали(см. [12]), что

29

R(a) <С а.22+е. Идея данной работы состоит в том, чтобы найти асимптотическую формулу для количества целых точек в узком шаровом слое вида а2 «С I2 + т2 + п2 «С (а + h)2, где h — маленькое число, являющееся отрицательной степенью числа а, и за счет этого учитывать вместе с точками внутри шара точки, лежащие вне его, но с коэффициентом, гладко убывающим от единицы к нулю с ростом радиуса внутри этого слоя. Такое "сглаживание" позволяет вместо отрезка Е = (0; при оценке суммы Р(а) ограничиться отрезком Ery = (О; | — 7), где 7 > 0 — некоторая постоянная. На новом отрезке сумма Р(ое) по Виноградову оценивается лучше, чем на Е, тем самым улучшается оценка остатка R(a).

В 1997 году Д.Р. Хис-Браун усилил результат работы [12]. Он доказал (см. [13]), что R(a) <С С помощью новых соображений он увеличил значение параметра h и благодаря этому еще более сузил промежуток Ery до величины i?7=L = (О; | — -j^) = (О; |). Оценка Виноградова для Р(а) на уменьшенном промежутке лучше, чем на старом. В указанной работе Хис-Браун утверждает, что правый конец а = | — точку Хис-Брауна — промежутка jЕ1 можно еще несколько уменьшить. Однако это уже не ведет к улучшению оценки для R(a), поскольку показатель степени в виноградовской оценке для Р(а) в точке а = 1 имеет локальный максимум, равный который вместе с точкой а = | является глобальным на E1=i = (0; |).

Основной результат данной диссертации состоит в получении новой оценки суммы Р{а) в фиксированной окрестности точки а = 1. Здесь доказано, что при а £ (0; Ц) сумма Р(а) оценивается так

Р(а) <С 2+е.

Хотя из этой оценки не следует улучшение оценки остатка R(a) в проблеме шара, однако реализация схемы Хис-Брауна, направленная на дальнейшее уменьшение длины промежутка Е1, вместе с нашей оценкой позволяет рассчитывать на получение новых оценок остатка R(a).

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам.

В первой главе находится аналитическое представление для выражения остатка асимптотической формулы для числа целых точек в шаре через сферическую тригонометрическую сумму, то есть тройную сумму по целым точкам, лежащим на сфере переменного радиуса. Подобное представление ранее получалось И.М. Виноградовым разбиением шара на 48 частей и выражением остатка через дробные доли арифметических функций с последующим разложением "сглаженной" дробной доли в ряд Фурье. Г. Иванец и Ф. Чамизо для тех же целей применяли кратную формулу суммирования Пуассона, но делали это формально и без оценки остатка. Наш вывод основан на троекратном применении одномерной формулы суммирования Пуассона с остаточным членом. Кроме того, оценка остатка проводится в явном виде. Здесь же следует сказать, что мы ради простоты изложения не пользуемся "сглаживанием" количества целых точек по шаровому слою, оценивая их количество тривиально. Из-за этого параметр а в нашем случае выходит за пределы отрезка Е = (0; |), что в данном случае несущественно, поскольку наши дальнейшие усилия направлены в основном на оценку величины Р(а) в окрестности точки а = 1.

Во второй главе диссертации мы сводим вопрос об оценке сферических сумм к тригонометрическим, скрученным символом Якоби, которые мы далее называем гибридными суммами. Для этих сумм мы находим новые представления, которые, на наш взгляд, могут быть использованы для улучшения существующих оценок остаточного члена асимптотики в проблеме шара. Далее в этой главе получены новые оценки для величины Р(а) на различных промежутках изменения параметра а. Мы вводим величину = а~1Р(а), то есть

Щ<*) = Е

2тгга\/I2 +т2 +п2

12 + га2 -+- п2

Р+т2+п2~аа

Показываем, что оценка И.М. Виноградова для величины \¥(а) на отрезке Е = (0; |) может быть записана в виде

IV(а) < а' ф(а)+е где ф(а) = < а 2 при 0<а<М

7 24 < + — ^ 48 при й<а<1

3 8 а 16 при 1 <а<|, а и при

Наша оценка, полученная в главе 2, имеет вид

Иг (а) < ак(о)+е, где к(а) = < а 2 при 0<а<§,

65 224 , 9а "1" 448 при 26 < < 38 43 —37 '

3 8 а ' 16 при 38 < а < 406 37 — 333 а 2 3 ^ 222 при 406 < <4 333 — 3 '

Сравнение этих оценок показывает, что наша оценка лучше оценки И.М. Виноградова на промежутках Е' = (||; ||) и Е" = (|; Следует отметить, что вир0(а) = вир ф(а) и зир</»(о;) — 8ирк(а) = нно > 0. Поэтому сужение

Е'

0;|)

Е'

Е' отрезка Е1 за точку Хис-Брауна а = | позволило бы из нашего результата получить новое степенное понижение в остаточном члене асимптотической формулы в проблеме шара.

Третья глава диссертации посвящена приложению рациональных тригонометрических сумм, скрученных символом Лежандра к выводу нового доказательства квадратичного закона взаимности. Кроме того в этой главе мы выводим новою форму известного неравенства Вейля-Корпута, полезную для оценок тригонометрических сумм от функций, принадлежащих классу Корпута - Виноградова, к которым относятся и суммы, рассматриваемые в данной диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем диссертации 79 страниц. Список литературы включает 29 названий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Архипова, Людмила Геннадьевна, 2012 год

1. G. Szego, Beitrage zur Theorie der Laguerreschen Polynome, 1., Zahlentheoretische Anwendungen, Math. Z., 25 (1926), 388-404

2. И. M. Виноградов, О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя, Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918 т. 16, №1-2, с. 10-38

3. И. М. Виноградов, Докторская диссертация,

4. И. М. Виноградов, О верхней границе G(n) в проблеме Варинга, Изв. АН СССР, ОМЕН, 1934, №10, с. 1455-1469. Рез. на англ. яз.

5. И. М. Виноградов, Число целых точек в шаре, Тр. мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 17-38

6. И. М. Виноградов, Улучшение остаточного члена одной асимптотической формулы, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1949, т. 13, №2, с. 97-110

7. И. М. Виноградов, Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1955, т. 19, №1, с. 3-10

8. И. М. Виноградов, К вопросу о числе целых точек в заданной области, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1960, т. 24, №6, с. 777-786

9. И. М. Виноградов, К вопросу о числе целых точек в шаре, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1963, т. 27, №5, с. 957-968

10. И. М. Виноградов, Особые варианты метода тригонометрических сумм, Москва, Наука, 1976.

11. Chen Jing-Run, Improvement on the asymptotic formulas for the number of lattice points in a region of the three dimentions, Sci. Sinica, 12, 1963, 751-764

12. F. Chamizo and H. Iwaniec. On the Sphere Problem, Rev. Mat. Iberoamericana Vol.11, 2,1995, 417-429.

13. D. R. Heath-Brown Lattice points in the sphere, Number theory in progress. Pr. Int. conference. Zacopane, Poland, 30.06-09.07, 1997. Vol.2: Elem. And anal. numb. Theory. Berlin: de Gruyter. 883-892 (1999)

14. Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.H.Чубариков, Лекции по математическому анализу, Москва, Дрофа, 2004г.

15. D. R. Heath-Brown A mean value estimate for real character sums, Acta Arith. 72(1995), 235-275

16. И. M. Виноградов, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Москва, Наука, 1971

17. S.W.Graham, G.Kolesnik Van der Corput's method of exponential sums, Cambridge, Cambridge university press, 1991.

18. И. M. Виноградов, Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел, Док. АН СССР, 1941 т.ЗО №8

19. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана, М.: Ин.лит.,1953

20. А. А. Карацуба Основы аналитической теории чисел, Москва, Наука,

21. К. Айерленд ,М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел, Москва, Мир, 1987

22. И. М. Виноградов, Основы теории чисел, Москва, Наука, 1965

23. J1. Г. Архипова, О квадратичном законе взаимности, Чебышевский сб., т. I , вып. 1(17), с. 155-163,Тула, 2006 г.

24. JI. Г. Архипова, О числе целых точек в сфере, Вестник МГУ, вып. 5, с. 59-61, 2008г.

25. JL Г. Архипова, Об оценках экспоненциальных сумм, связанных с распределением целых точек в трехмерных областях, Изд. Р&С Dynamics. Тез. док. XVI межд. конф. сер. МКО, Пущино, 19-24 янв. 2009г., Вып. 16, Ч. 1, с. 14.

26. Л. Г. Архипова, Новые продвижения в проблеме шара, Тез. док. VII межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб, и прилож., Тула 11-15 мая 2010г. Тула, изд-во ТГПУ им. JI.H. Толстого, 2010, с. 30-31.

27. Л. Г. Архипова, Оценка тригонометрической суммы, скрученной символом Лежандра, Тез. док. межд. конф. Компл. ан. и его прилож. в дифф. ур-ях и т.ч., Белгород, 17-21 окт., 2011, с. 14-15.

28. JI. Г. Архипова, Новый вариант неравенства Вейля Корпута в методе тригонометрических сумм, Тез. док. X межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб, и прилож., Волгоград 10-16 сен. 2012г. Изд. ВГСПУ Перемена, с. 5.

29. JI. Г. Архипова, Новые оценки сферических сумм И.М. Виноградова, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №4(48), 2012, с. 19-28.1983