Развитие универсального калибровочно-инвариантного подхода к построению лагранжевой формулировки теории полей высших спинов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Крыхтин, Владимир Александрович

• Крыхтин, Владимир Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Крыхтин, Владимир Александрович

Оглавление

Введение

1 БРСТ-подход к построению лагранжианов: простая модель

2 Массивные полностью симметричные бозонные поля в пространстве Минковского

2.1 Алгебра, генерируемая связями

2.2 Новые выражения для операторов и БРСТ оператор

2.3 Построение лагранжиана массивного бозонного поля

2.4 Лагранжиан для массивного поля спина 3

3 Массивные бозонные поля со смешанной симметрией индексов в пространстве Минковского

3.1 Алгебра, генерируемая связями

3.2 Новые выражения для операторов

3.3 Построение БРСТ оператора и лагранжиана

3.4 Воспроизведение начальных уравнений

3.4.1 Фиксация калибровки

3.4.2 Удаление вспомогательных нолей при помощи уравнений движения

3.5 Примеры

3.5.1 Полностью симметричное поле — спин (з. 0)

3.5.2 Антисимметричное тензорное иоле второго ранга

3.6 Обобщение на случай произвольной таблицы Юнга

4 Полностью симметричные фермионные поля в пространстве Минковского

4.1 Алгебра операторов, генерируемая связями

4.2 Новые выражения для операторов

4.3 Построение лагранжиана для массивных фермионных полей

4.4 Лагранжиан для массивного поля спина 3/2

5 Массивные полностью симметричные бозонные поля в пространстве анти де Ситтера

5.1 Пространство Фока для полей высших спинов в АдС

5.2 Алгебра, генерируемая связями

5.3 Метод нахождения алгебры дополнительных частей и алгебры новых операторов

5.4 Построение дополнительных частей

5.5 Алгебра удлинённых операторов и БРСТ оператор

5.6 Построение лагранжиана

5.7 Удаление вспомогательных полей

5.7.1 Фиксация калибровки

5.7.2 Удаление вспомогательных полей с помощью уравнений движения

5.8 Лагранжиан для массивного поля спина 2

6 Массивные фермионные полностью симметричные поля

в АдС

6.1 Алгебра операторов генерируемая связями

6.2 Дополнительные части операторов

6.3 Супералгебра удлинённых операторов и БРСТ оператор

6.4 Построение лагранжиана

6.5 Фиксация калибровки и воспроизведение начальных уравнений

6.5.1 Фиксация калибровки

6.5.2 Удаление вспомогательных полей с помощью уравнений движения

6.6 Лагранжиан для поля спина 3/2

7 Построение лагранжианов для бозонных антисимметричных полей в искривленном пространстве

7.1 Построение лагранжианов для безмассовых полей

7.2 Построение лагранжианов для массивных антисимметричных полей

8 Лагранжева формулировка массивных фермионных полностью антисимметричных тензорных полей в пространстве анти де Ситтера

8.1 Согласованность динамики фермионных полей в искривленном пространстве

8.2 Алгебра операторов для фермионных полей в пространстве AdSd

8.3 Дополнительные части

8.4 Деформированная алгебра и БРСТ оператор

8.5 Построение лагранжианов

8.6 Воспроизведение начальных неприводимых соотношений

8.6.1 Фиксирование калибровки

8.6.2 Удаление вспомогательных полей с помощью уравнений движения

8.7 Упрощение лагранжианов

9 Построение лагранжианов для полей спинов 2 и 3/2 в

пространстве Эйнштейна

9.1 Общая схема построения лагранжианов

9.2 Построение лагранжиана для поля спина 1

9.3 Построение лагранжиана для поля спина 2

9.4 Причинное распространение массивного поля спина 2

9.5 Согласованное описание поля спина 3/2 в искривленном пространстве

9.6 Построение лагранжиана для поля спина 3/2

9.7 Причинное распространение поля спина 3/2

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие универсального калибровочно-инвариантного подхода к построению лагранжевой формулировки теории полей высших спинов»

Введение

Одной из самых привлекательных идей теоретической физики высоких энергий последнего времени является идея построения единой теории всех фундаментальных взаимодействий. Представляется, что такая теория призвана свести все многообразие свойств элементарных частиц и их взаимодействий к небольшому числу универсальных принципов.

Первым примером объединения различных физических явлений можно считать механику Ньютона показавшую, что движение небесных и земных тел подчиняется одним и тем же законам. Позже были объеденины с помощью уравнений Максвелла электромагнитные и оптические явления. Современный прогресс, связанный с проблемой объединения фундаментальных взаимодействий, в значительной степени обусловлен принципом локальной калибровочной инвариантности, согласно которому глобальная симметрия теории может быть расширена до локальной с помощью введения векторных калибровочных полей. На основе этого принципа Глэшоу, Вайнбергом и Саламом была построена объединенная теория электромагнитного и слабого взаимодействия (см. например [1-4]), важнейшее предсказание которой — наличие трех тяжелых векторных частиц, играющих роль переносчиков слабого взаимодействия — было подтверждено экспериментально в 1983 г.

Позже теория электрослабого взаимодействия была объединена с квантовой хромодинамикой — теорией описывающей сильное взаимодействие (см. например [5-8]) — в единую теорию этих взаимодействий, получившую название теории Великого объединения (см. например [9,10]). Это объединение проведено на основе идеи о том, что сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия являются низкоэнергетическим остатком единого калибровочного взаимодействия с более широкой группой локальной симметрии (см. например [3,4,8-12]).

Попытки объединения гравитации с другими взаимодействиями наталкиваются на принципиальные трудности. Более того, до сих пор не существует удовлетворительной во всех отношениях квантовой теории гравитации.

Необходимость квантования гравитации вызвана тем, что элементарные частицы — объекты квантовой природы и соединение классического взаимодействия и квантовых источников представляется непоследовательным. Также к необходимости квантования гравитации приводит идея инфляционного сценария образования Вселенной. Согласно этому сценарию Вселенная образовалась за счет быстрого расширения области размером порядка 1Р ~ 10-33см (см. например [13]), в которой существенную роль играют квантовые эффекты. Поскольку гравитационное взаимодействие универсально (т.е. присуще всем видам материи), то считается, что построение полной, законченной квантовой теории гравитации неотделимо от построения единой квантовой теории всех физических полей.

В настоящее время одним из основных претендентов на роль теории описывающей все взаимодействия является теория суперструн (см. например [14-18]). На этом пути действительно можно получить теорию содержащую все фундаментальные взаимодействия, однако непротиворечивые теории суперструн существуют только в 10-мерном пространстве-времени и пока не ясно какой именно механизм единым универсальным образом приводит к наблюдаемому четырёхмерному простр анству-времени.

Другим возможным претендентом на роль теории, объединяющей все взаимодействия может служить теория полей высших спинов. Проблема построения теории полей высших спинов является одной из наиболее фундаментальных проблем теоретической физики (см., например, обзоры [19-28]). Актуальность проблем теории полей с высшими спинами обусловлена как чисто теоретическим интересом к нахождению новых возможностей и развитию новых методов теории поля, так и надеждами открытия новых подходов к объединению всех фундаментальных взаимодействий (включая гравитационное). Несмотря на значительные усилия, общая лагранжева теория взаимодействующих произвольных полей высших спинов до сих пор не сформулирована. Можно ожидать, что если такая формулировка все же будет найдена, то это откроет новые возможности в теории фундаментальных взаимодействий.

Поля высших спинов естественным образом возникают в моделях теории суперструн, при этом взаимодействие суперструн означает по существу взаимодействие полей высших спинов. Кроме того, экспериментально установлено существование так называемых резонансных состояний, которые в определенном диапазоне энергий ведут себя как

элементарные частицы с высшими спинами. Поэтому построение теории полей высших спинов может предоставить новые возможности для описания резонансных состояний в физике элементарных частиц.

Ещё одна мотивация для изучения полей высших спинов обусловлена новыми задачами Ас18/СРТ соответствия (описанием низкоэнергетических эффектов в теории суперструн в терминах суперконформной теории поля, см., например [29-31]). Известно, что четырехмерная N=4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса позволяет построить сохраняющиеся токи с высшими спинами (см., например [32,33]), что ведет к проблеме нахождения лагранжианов взаимодействующих полей высших спинов в пространстве анти де Ситтера высших размерностей. Таким образом, проблемы теории полей высших спинов непосредственно связаны с тенденциями развития современной теоретической физики высоких энергий.

Теория полей высших спинов берёт своё начало с работ Дирака [34], Вигнера [35], Фирца и Паули [36], Рариты и Швингера [37] и Баргмана и Вигнера [38], в которых впервые был поднят вопрос о построении лагранжианов для полей высших спинов.

В настоящее время существует два подхода к описанию полей высших спинов: метрический и реперный. Названия этих подходов связаны с двумя подходами к описанию гравитации. В метрическом формализме в теории гравитации основным объектом является симметричный тензор второго ранга д11г/ — метрика, которую в пределе слабого поля можно разложить на метрику плоского фона и возмущение <?//,V = + /V" Разложение действия эйнштейновской гравитации в ряд по Кру в квадратичном порядке даст действие для безмассового поля спина 2. В четырёхмерном пространстве все неприводимые представления группы Пуанкаре можно описать используя только полностью симметричные тензоры и по аналогии с метрическим описанием гравитации описание полей высших спинов с помощью полностью симметричных тензоров называется метрическим подходом. Отметим, что в пространствах с размерностью (1 > 4 для описания всех неприводимых представлений группы Пуанкаре необходимо рассматривать не только полностью симметричные поля, но и поля со смешанной симметрией индексов. В этом случае также говорят о метрическом подходе к описанию полей высших спинов. (См., например в качестве обзора по метрическому подходу к теории полей высших спинов [21,25].)

В реперном подходе к описанию теории гравитации используются поля е»а — тетрада и — лоренцевская связность. Физическим полем

в этом подходе является тетрада, а лоренцевская связность представляет собой вспомогательное поле, которое выражается через тетраду с помощью уравнений движения. В этом подходе тетрада не обладает никакой симметрией индексов и безмассовое поле спина 2 описывается с помощью симметричной части тетрады. Обобщение такого описания на поля высших спинов было впервые развито Васильевым [39]. В этом подходе используется поле е^-^-г (аналог тетрады) и некоторое обобщение лоренцевской связности. При этом у физического поля е^1'"0"-1, бесследового по а.и симметрия индексов а, описывается с помощью какой-либо таблицы Юнга, но по всем индексам поле е^1-0*-1 не обладает симметрией, которой можно было бы сопоставить таблицу Юнга. Путём частичной фиксации калибровки реперный подход к описанию свободных полей высших спинов воспроизводит метрический подход. (См., например в качестве обзора по тетрадному подходу к теории полей высших спинов [24,27].)

Впервые лагранжианы для поля произвольного спина были построены Сингом и Хагеном [40, 41] для массивных полей в плоском пространстве-времени. В работе [36] было отмечено, что для построения лагранжианов полей высших спинов необходимо вводить вспомогательные поля, которые должны исчезать на уравнениях движения, однако их количество и тензорную структуру для произвольного спина определить не удалось. Позднее Синг и Хаген решили эту задачу в общем виде для массивных полей. В частности, для построения лагранжиана [40] бозонного поля спина 5, помимо основного поля —полностью симметричного бесследового поля ранга й — Синг и Хаген ввели 5 — 1 вспомогательных полей (полностью симметричных бесследовых полей рангов 5 — 2, 5 — 3, ..., 1, 0). Аналогично и для фермионно-го случая. Для построения лагранжиана фермионного поля [41] спина 5 = п 4- помимо основного поля т/Тп-^п — полностью симметричного гамма-бесследового = 0 спинорного поля тензорного ранга п — было введено 2п — 1 вспомогательных полей (одно спинорное гамма-бесследовое поле тензорного ранга п— 1 и по два экземпляра полностью симметричных гамма-бесследовые спииорных полей тензорных рангов п — 2, п — 3, ..., 1, 0). Полученные Сингом и Хагеном лагранжианы соответствуют произвольным массивным полям высших спинов и в частных случаях полностью совпадают с ранее известными лагранжианов: для поля спина § с лагранжианом Рариты и Швингера [37], для поля спина 2 с лагранжианом Фирца и Паули [36] и для полей спинов 3, 4 с лагранжианами, полученными Чангом [42].

На основе лагранжианов для массивных полей высших спинов позднее были получены лагранжианы для безмассовых бозонных полей высших спинов Фронсдалом [43] и для безмассовых фермионных полей Фангом и Фронсдалом [44]. Оказалось, что в безмассовом пределе в бозонном случае поля рангов в и б — 2 отщепляются от остальных полей, при этом полученный таким образом лагранжиан обладает калибровочной симметрией (с калибровочным параметром — бесследовым тензорным полем ранга 5 — 1) и описывает безмассовые поля спина 5. Объединяя два бесследовых тензорных поля рангов 5 и 5 — 2 в одно дважды бесследовое поле ранга б, Фронсдал получил лагранжево описание безмассовых полей с помощью одного поля.

Аналогично Фангом и Фронсдалом [44] был получен лагранжиан для безмассовых фермионных полей в плоском пространстве. В безмассовом пределе в лагранжиане Синга и Хагена отщепляются три гамма-бесследовых спинорных поля тензорных рангов п, п — 1 и п — 2, которые можно объединить в одно трижды гамма-бесследовое поле и при этом полученный лагранжиан также будет обладать калибровочной симметрией с калибровочным параметром — гамма-бесследовым спинором тензорного ранга п — 1.

Помимо пространства Минковского представляет интерес построение теории полей высших спинов в пространстве анти-де Ситтера (АдС). Как и пространство Минковского, пространство АдС является максимально симметричным решением уравнений Эйнштейна в вакууме, но с отрицательной космологической постоянной, и в отличие от пространства Минковского, группа симметрии является простой. Также как и в плоском пространстве, в пространстве АдС элементарные частицы интерпретируются как неприводимые представления группы пространственно-временных симметрий.

Построение лагранжианов для свободных безмассовых полей в пространствах постоянной кривизны (в пространстве АдС) было сделано в работах Фронсдала и Фанга [45,46]. В этом случае для описания использовались те же наборы полей и калибровочных параметров, как и в плоском пространстве [43,44], и в плоском пределе получались известные лагранжианы. Построение лагранжианов для массивных полей высших спинов в пространствах постоянной кривизны было сделано относительно недавно. Лагранжианы для массивных бозонных полей были построены в работе Зиновьева [47] и для фермионных в работе Мецаева [48], при этом в обоих случаях использовалась калибровочно-инвариантное описание полей и в плоском пределе эти лагранжианы не

переходили в лагранжианы, полученные Сингом и Хагеном [40,41]. Отметим также работу [49], в которой исследовались свободные полностью симметричные массивные поля высших спинов (бозоны и фермионы) в пространстве анти-де Ситтера в калибровке светового конуса и было построено действие для рассматриваемого случая.

Как уже отмечалось ранее, для описания полей высших спинов существует возможность использовать не только метрический подход, но реперный. Развитие этого подхода началось с работ Фрадкина и Васильева, в которых поля высших спинов описывались с помощью несимметричных тензоров (бозоны) и спин-тензоров (фермионы), аналогичных тетрадному полю в гравитации и полю гравитино в супергравитации соответственно. Лагранжианы для свободных безмассовых полей высших спинов в четырёхмерном пространстве Минковского в этом подходе были построены Васильевым в работе [39], а в пространстве анти де Ситтера (АдС) произвольной размерности Васильевым и Лопатиным для бозонов [50] и Васильевым для фермионов [51] (см. также [52-57]).

Дальнейший прогресс в этом подходе связан с построением взаимодействующих безмассовых полей всех высших спинов (бозонов и фермионов). В работах Васильева и Фрадкина было найдено непротиворечивое лагранжевое гравитационное взаимодействие полей высших спинов в четырёхмерном пространстве в первом нетривиальном порядке по взаимодействию [58-62] (см. также [63,64] для пятимерного пространства). Ключевой момент состоял в том, что динамика полей высших спинов формулировалась не над плоским фоном как в [65-68], а над антидеситтеровским фоном. При этом построенное взаимодействие является неаналитичным по кривизне фонового пространства анти-де Ситтера, не допуская перехода к плоскому пределу.

Описанный в этих работах формализм оказался продуктивным и для построения совместных уравнений движения для взаимодействующих полей высших спинов во всех порядках по ваимодействию в четырёхмерном пространстве [69-74], однако эти уравнения не были получены из лагранжиана. Что касается непротиворечивых уравнений движения в пространстве произвольной размерности, то они были построены позже [75] и включают только бозонные поля (см. также обзоры [20,76-81]). Лишь недавно были предложены два вида действия для взаимодействующих безмассовых бозонных полей высших спинов в четырёхмерном пространстве [82,83], однако до сих пор не ясно как эти действия воспроизводят стандартные действия для свободных полей.

(См. также [84].)

Фундаментальный результат теории полей высших спинов состоит в том, что нелинейные уравнения движения калибровочных полей высших (я > 2) спинов обязаны включать бесконечную башню полей с высшими спинами и производные высших порядков. Следует также отметить, что построение нелинейных уравнений движения и кубической вершины в реперном подходе основаны на специфической калибровочной алгебре полей высших спинов [85-90].

В настоящее время реперный подход к полям высших спинов бурно развивается по различным направлениям. Отметим только некоторые из них: поля со смешанной симметрией индексов исследовались, например, в работах [91-99] явление частичной безмассовости изучалось, например, в [100], массивные поля в [101-104] и кубичные вершины, например, в работах [105-111].

В метрическом подходе к описанию полей высших спинов поиск решения проблемы построения взаимодействия можно разделить ещё на два подхода: ковариантный и в калибровке светового конуса.

Впервые в калибровке светового конуса неминимальные взаимодействия для полей высших спинов были рассмотрены в работах [112,113]. В этих работах были построены кубичные вершины самодействия безмассовых бозонных полей произвольной спиральности в пространстве Минковского. В дальнейшем в подходе светового конуса рассматривалось построение вершин взаимодействия для полей различных типов, см. например, [114-121]. Среди этих работ отметим две [120] и [121]. В работе [120] были получены производящие функции для кубичных вершин массивных и безмассовых бозонных полей с произвольной симметрией индексов, а также было получено ограничение на количество производных в кубической вершине (сохраняющей чётность) для случая безмассовых полностью симметричных бозонных полей в плоском пространстве. Так если спины полей ^ 52 ^ 53, то количество производных в рассматриваемом типе вершин должно лежать в пределах от 51+52—53 до 51+52+53, в случае размерности пространства-времени й > 4 И МОЖеТ быТЬ раВНЫМ ТОЛЬКО 51 + 52 — 5з ИЛИ 51 + 52 + 53 в случае ё, = 4. В работе [121] результаты работы [120] были обобщены на случай кубичных вершин в которых содержаться два фермионных и одно бозонное поле.

Изучение полей высших спинов в калибровке светового конуса является эффективным на классическом уровне, но для исследования возможных квантовых аспектов такая формулировка может оказаться

достаточно громоздкой и желательным является развитие явно ковари-антной формулировки. Изучение взаимодействия полей высших спинов в ковариантном подходе (метрическое описание) изучалось многими авторами, см., например, [32,33,67,68,122-153,155-164,213,214] В этих работах изучались различные вопросы построения взаимодействия полей высших спинов (массивных и безмассовых) как между собой, так и с электромагнитным и гравитационным полями. Несмотря на значительные усилия, построение теории взаимодействующих полей высших спинов пока остаётся до конца не решённой проблемой. Задача состоит в построении лагранжиана, описывающего взаимодействующие поля высших спинов, так чтобы при «выключении» взаимодействия из лагранжиана следовали уравнения движения, определяющие неприводимые представления группы Пуанкаре или АдС для частиц различных спинов.

В диссертационной работе развивается универсальный подход к построению лагранжианов для различных моделей полей высших спинов. В основе этого подхода лежит БРСТ (Бекки, Руэ, Стора, Тютин)-ВФВ (Баталин, Фрадкин, Вилковыский) конструкция [171-178]. Применение данной конструкции в теории полей высших спинов было инициировано работами [165, 166], где рассматривались безмассовые бо-зонные поля высших спинов в плоском пространстве и использовалась некоторая аналогия с ковариантной полевой теорией открытых струн [18,167-169] (см. так же работы о связи теории струн с теорией полей высших спинов [134,150,170]). При этом ряд принципиальных проблем, связанных со специфическими особенностями БРСТ-БФВ конструкции в теории полей высших спинов оставался открытым. Здесь в первую очередь следует отметить описание в рамках БРСТ-БФВ конструкции фермионных полей высших спинов, массивных полей высших спинов, полей высших спинов со смешанной симметрией индексов и полей высших спинов в пространстве АдС. Данная диссертация посвящена решению этих проблем.

Следует специально отметить, что первоначально БРСТ-БФВ конструкция формулировалась не для вывода лагранжианов в классической теории, а качестве метода квантования калибровочных систем. БРСТ метод [171-173] применяется для ковариантного квантование калибровочных теорий, тогда как БФВ метод [174-178] применяется для канонического квантования. Общим свойством БРСТ и БФВ методов является введение в рассмотрение гостовских полей, статистика которых противоположна статистике исходных калибровочных полей. В ли-

тературе для обоих методов квантования укоренился термин БРСТ метод, мы будем далее в основном использовать этот термин, хотя в в теории полей высших спинов применяется именно БФВ конструкция.

Основные положения БВФ метода состоят в следующем. Рассмотрим калибровочную теорию с некоторым ланранжианом. Отсюда по известной процедуре (см. например, [179]), строится гамильтонова формулировка теории, которая содержит связи первого родаТа, находящиеся в инволюции [Та, Ть] = /аь^с- При квантовании в простейшем случае, когда структурные функции высших порядков равны нулю, на основе алгебры связей строится эрмитов нильпотентный БФВ заряд

Я = ^Та + ^Кь-Рс, д2-0, (1)

где г]а и Ра - канонически сопряженные гостовские переменные (здесь рассматривается случай дН(Т) = 0, тогда д!г(г)а) = 1, дК{ра) = — 1) удовлетворяют соотношению {77я, Ть\ = который действует в расширенном пространстве состояний |Ф), включающем гостовские степени свободы. Физические состояния в расширенном пространстве определяются (в частности) уравнением |Ф) = 0. В силу нильпотентности БФВ оператора С^2 = 0 физические поля могут быть определены с точностью до преобразования |Ф') = |Ф) + ф|А), которое представляет собой калибровочное преобразование в данном подходе.

Применение БФВ конструкции в теории полей высших спинов является в определенном смысле обратным к ее применению к проблеме квантования. Если в проблеме квантования в качестве исходных объектов являются лагранжиан или гамильтониан, то в теории полей высших спинов именно построение лагранжиана есть основная проблема. Поэтому в буквальном виде БФВ конструкция здесь не может быть использована. В теории полей высших спинов исходными являются соотношения, описывающие неприводимые представления групп Пуанкаре или АдС в пространстве полей. Применение БФВ конструкции основывается на интерпретации этих соотношений как связей первого рода некоторой неизвестной лагранжевой калибровочной теории. Эти связи реализуются как операторы, действующие в некотором пространстве Фока с векторами |Ф), используя эти операторы строится соответствующий БФВ оператор и постулируется уравнение движения полей высших спинов ф|Ф) =0. Ключевым элементов рассматриваемой процедуры является доказательство, что введенное уравнение движения воспроизводит первоначальные связи. Следует однако отметить, что описанная процедура в буквальном виде может быть применима толь-

ко к безмассовым теориям (без условия бесследовости), ее применение к теориям массивных полей высших спинов требует дополнительного развития, кроме того, применение к фермионным полям высших спинов также требует дополнительного развития.

Как уже отмечалось ранее, БРСТ подход к построению лагранжианов в теории полей высших спинов берёт своё начало с работ [165,166]. В работе [165] были построены лагранжианы для безмассовых бозонных полей высших спинов в пространстве Минковского, которые не воспроизводили уравнения движения для неприводимых представлений группы Пуанкаре ввиду отсутствия условия бесследовости. В работе [166] этот недостаток был устранен путём наложения на поля некоторых связей, помимо уравнений движения. Построить лагранжиан, из которого в качестве уравнений движения получались все условия, определяющие неприводимое представление группы Пуанкаре, удалось в работе [180]. Обобщение на случай пространства постоянной кривизны было проведено в работе [181]. Следует отметить, что переход к безмассовым полям в пространстве АдС потребовал существенного развития БФВ конструкции, поскольку соответствующий БФВ заряд в этом случае отвечал нелинейной алгебре связей, для которой общий рецепт построения такого заряда отсутствует (хотя имеется теорема существования) (см. также [182-186,211,212]).

Развиваемый в данной диссертационной работе БРСТ подход к теории к теории полей высших спинов, позволяет исследовать с общих позиций одну из основных проблем теории полей высших спинов — построение вершин взаимодействия таких полей (см., например [25,187193]).

В данной диссертационной работе БРСТ подход к построению лагранжианов полей высших спинов применяется для вывода лагран-жевых формулировок для массивных бозонных полей высших спинов и для фермионных (массивных и безмассовых) полей высших спинов с произвольной симметрией индексов как в плоском пространстве так и в пространствах постоянной кривизны. Помимо этого, используя специфические особенности БРСТ метода для построения лагранжианов, дается вывод лагранжианов для полей спина 3/2 и 2 в произвольных пространствах Эйнштейна. Кроме того, БРСТ подход применяется для вывода лагранжианов бозонных и фермионных массивных и безмассовых полностью антисимметричных тензорных полей.

Применение БРСТ конструкции к массивным полям высших спинов требует значительного обобщения по сравнению с безмассовыми

полями. Отметим развитую в диссертации общую схему БРСТ метода применительно к массивным полям высших спинов. Связи, определяющие неприводимое представление группы Пуанкаре или АДС с заданным спином и массой (см. например [194]), рассматриваются как операторы связей первого рода в фоковском пространстве состояний. Однако, вследствие того, что в теории полей высших спинов часть этих связей не являются эрмитовыми операторами, для построения эрмито-вого БРСТ оператора необходимо ввести в рассмотрение операторы, которые являются эрмитово сопряженными к исходным операторам связей и которые не являются связями. Тогда, для того чтобы алгебра связей стала замкнутой необходимо к полному набору операторов добавить еще некоторые операторы, которые также не являются связями1. Из-за присутствия операторов, которые не являются связями, стандартная БРСТ конструкция не может быть применена. В данной диссертационной работе показывается, как проблема построения ниль-потентного БРСТ оператора решается для массивных полей высших спинов и строятся соответствующие лагранжианы.

Диссертационная работа организована следующим образом.

В первой главе на основе простой модели излагается метод построения БРСТ заряда и вывода лагранжианов. Покзано, что в общем случае получающиеся теории являются приводимыми калибровочными моделями, при этом на поля и калибровочные параметры не накладываются никакие дополнительные условия. Изложение в основном следует работе [216] с небольшими дополнениями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крыхтин, Владимир Александрович, 2013 год

Литература

Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий. Нобелевская лекция по физике 1970 года. / Вайнберг С. // Успехи физических наук.- 1980г.- Т. 132, вып. 2.- С. 201-218.

Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных сил. Нобелевская лекция по физике 1970 года. / Салам А. // Успехи физических наук,- 1980г.- Т. 132, вып. 2.- С. 229-254.

Окунь JI.B. Лептоны и кварки./ Окунь Л.Б. - М.: Наука, 1981304 с.

Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц / Окунь Л.Б. - М.: Наука, 1988.- 372 с.

Славнов A.A. Введение в квантовую теорию калибровочных полей / Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. -М.: Наука, 1978.- 240 с.

Коноплёва Н.П. Калибровочные поля / Коноплёва Н.П., Попов В.Н. - М.: Атомиздат, 1972.- 238 с.

Вайнберг С. Квантовая теория поля в 3-х т / Вайнберг С. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003,- т. 1:648 е.; т.2:528 е.; т.3:458 с.

Волошин М.Б. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц /Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А- М.: Энерго-атомиздат, 1984.- 269 с.

Mohapatra R. Unification and supersymmetry: the frontiers of quark-lepton physics / Mohapatra, R. // Springer, 2003.- 441pp.

Langacker P. Grand unified theories and proton decay / Langacker, P. // Physics Reports.- 1981,- v.72.- p. 185-385.

Кейн Г. Современная физика элементарных частиц / Г. Кейн // М.: Мир, 1990.- 358 с.

12] Pierre R. The Standard Model / R. Pierre , B. Journeys // Westvien Press, 2004.- 372 p.

13] Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология /Линде А.Д.- М.: Наука, 1990.- 275 с.

14] Грин М. Теория суперструн: В 2-х т./ Грин М., Шварц Дж., Вит-тен Э.- М.: Мир, 1990,- т. 1: 518 е.; т. 2: 656 с.

15] Бринк Л. Принципы теории струн / Бринк Л., Энно M.- М.: Мир, 1991.- 269 с.

16] Polchinski J. String Theory / Polchinski J. Cambridge University Press, 1998.- Vol. 1: 402 p, Vol. 2: 531 p.

17] Zwiebach B. A First Course in String Theory / B. Zwiebach Cambridge University Press, 2004.- 558 p.

18] Siegel W. Introduction to string field theory / W. Siegel, World Scientific, 1988.- 247 p.

19] Васильев M. Калибровочная теория высших спинов / Васильев М.А. // Успехи Физических Ннаук.- 2003.- т.173,- с.226-232.

20] Vasiliev M. Higher Spin Gauge Theories in Various Dimensions / M. Vasiliev // Fortschschritte der Physik.- 2004.- v.52.- P. 702-717.

21] Sorokin D. Introduction to the Classical Theory of Higher Spins / D. Sorokin // AIP Conference Proceedings 767.- 2005.- P. 172-202. hep-th/0405069;

22] Bouatta N. An Introduction to Free Higher-Spin Fields / N. Bouatta, G. Compère and A. Sagnotti, hep-th/0409068.

23] Sagnotti A. On higher spin with a strong Sp(2) conditions / A. Sagnotti, E. Sezgin, P. Sundell, hep-th/0501156.

24] Bekaert X. Nonlinear higher spin theories in various dimensions / X. Bekaert, S. Cnockaert, C. Iazeolla, M.A. Vasiliev, hep-th/0503128.

25] Fotopoulos A. Gauge Invariant Lagrangians for Free and Interacting Higher Spin Fields. A Review of the BRST formulation / A. Fotopoulos and M. Tsulaia // International Journal of Modern Physics A.- 2009.- v.24.- p. 1-60.

Bekaert X. How higher-spin gravity surpasses the spin two barrier: no-go theorems versus yes-go examples / X. Bekaert, N. Boulanger and P. Sundell // Reviews of Modern Physics.- 2012,- v.84.- p.987-1009.

Васильев M. B.JI. Гинзбург и поля высших спинов / Васильев М.А. // Успехи Физических Наук.- 2011.- т.181,- с.665-672.

Sagnotti A. Notes on Strings and Higher Spins / A. Sagnotti // arXiv: 1112.4285 [hep-th].

Maldacena J. M. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity / J. M. Maldacena // Advances in Theoretical and Mathematical Physics- 1998.- v.2.- p.231-252.

Gubser S. S. Gauge theory correlators from noncritical string theory / S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov // Physics Letters В.- 1998.- v.428.- p.105-114.

Witten E. Anti-de Sitter space and holography / E. Witten // Advances in Theoretical and Mathematical Physics- 1998.- v.2.-p.253-291.

Bianchi M. Higher spin symmetry (breaking) in N = 4 SYM and holography / M. Bianchi // Comptes Rendus Physique- 2004.- v.5.-p.1091-1099.

Bianchi M. Higher spins and stringy AdS5 x g5 / M. Bianchi // Fortschschritte der Physik.- 2005.- v.53.- P. 665-591.

Dirac P. Relativistic wave equations / Paul A.M. Dirac // Procedings of the Royal Society, London 155A.- 1936.- P. 447-459.

Wigner E. Unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group / E.P. Wigner // Annals of Mathematics Vol.40. N 1.- 1939.-P. 149-204.

Fierz M. On relativist wave equations for particles of arbitrary spin in electromagnetic field / M. Fierz, W. Pauli // Procedings of the Royal Society, London 173А,- 1939.- P. 211-232.

Rarita W. On a theory of particles with half integral spin / W. Rarita and J. Schwinger // Physics Review 60.- 1941.- P. 61.

Bargmann V. Group theoretical discussion of relativistic wave equations V. Bargmann, E.P. Wigner // Proceedings of the National Academy of Sciences (USA) N 4.- 1948.- P. 211-221.

Васильев М. «Калибровочная» форма описания безмассовых полей произвольного спина / М.А. Васильев // Ядерная физика.-1980.- вып. 3(9).- с. 855-861.

Singh L. P. S. Lagrangian formulation for arbitrary spin. 1. The boson case / L. P. S. Singh and C. R. Hagen // Physical Review D. - 1974.-V.9.- p.898-909.

Singh L. P. S. Lagrangian formulation for arbitrary spin. 2. The fermion case / L. P. S. Singh and C. R. Hagen // Physical Review D. - 1974.- V.9.- p.910-920.

Chang S. Lagrange Formulation for Systems with Higher Spin / S.J. Chang // Physics Review 161.- 1967,- P.1308-1315.

Fronsdal C. Massless Fields with Integer Spin / C. Fronsdal // Physical Review D. - 1978.- V.18.- p.3624-3629.

Fang J. Massless Fields with Half Integral Spin / J. Fang and C. Fronsdal // Physical Review D. - 1978.- V.18.- p.3630-3642.

Fronsdal C. Singletons and Massless, Integral Spin Fields on de Sitter Space (Elementary Particles in a Curved Space. 7. / C. Fronsdal // Physical Review D. - 1979.- V.20.- p.848-856.

Fang J. Massless, Half Integer Spin Fields In De Sitter Space / J. Fang and C. Fronsdal // Physical Review D. - 1980.- V.22.- p.1361-1370.

Zinoviev M. On Massive High Spin Particles in (A)dS / Yu. M. Zinoviev // hep-th/0108192.

Metsaev R. Gauge invariant formulation of massive totally symmetric fermionic fileds in (A)dS space / R.R. Metsaev // Physics Letters B.-2006.- v.643.- p.205-212.

Metsaev R Massive totally symmetric fields in AdS(d) / R.R. Metsaev // Physics Letters В.- 2004.- v.590.- p.95-104.

Lopatin V. Free massless bosonic fields of arbitrary spin in D-dimensional de Sitter space / V.E. Lopatin, M.A. Vasiliev // Modern Physics Letters A.- 1988.- v.3.- p.257-270.

Vasiliev M. Free massless fermionic fields of arbitrary spin in D-dimensional anti-de Sitter space / M.A. Vasiliev // Nuclear Physics В.- 1988.- V.301.- p.26-68.

[52] Васильев М. Свободные безмасовые поля произвольного спина в пространстве де Ситера и начальные условия для супералгебры высших спинов / Васильев М.А. // Ядерная физика - 1987.- т.-45.-вып. 6.- с. 1784-1797.

[53] Vasiliev М. Free Massless Fields of Arbitrary Spin in the de Sitter space and Initial data for a Higher Spin Superalgebra / M.A. Vasiliev // Fortschschritte der Physik.- 1987.- v.35(ll).- P. 741-770.

[54] Васильев M. Линеаризованные кривизны вспомогательных полей в пространстве анти-де-Ситтера / Васильев М.А. // Ядерная физика.- 1988.- т.-47.- вып. 3.- с. 831-843.

[55] Васильев М. Уравнения движения калибровочных полей высших спинов как свободная дифференциальная алгебра / Васильев М.А. // Ядерная физика,- 1988.- т.-48.- вып. 5(11).- с. 14781487.

[56] Alkalaev К. Free fermionic higher spin fields in AdS(5) / К. B. Alkalaev // Physics Letters В.- 2001.- v.519.- p. 121-128.

[57] Alkalaev K. On manifestly sp(2) invariant formulation of quadratic higher spin Lagrangians / К. B. Alkalaev // Journal of High Energy Physics.- 2008,- v.0806.- p.081.

[58] Васильев M. Гравитационное взаимодействие полей высших спинов (5 > 2) / М.А. Васильев, Е.С. Фрадкин // Письма в ЖЭТФ.-1986.- Т.-44.- вып. П.- с. 484-488.

[59] Fradkin Е. On the gravitational interaction of massless higher-spin fields / E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev // Physics Letters В.- 1987.-V.189.- p.89-95.

[60] Fradkin E. Cubic interaction in extended theories of massless higherspin fields / E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev // Nuclear Physics В.- 1987.-V.291.- p.141-171.

[61] Vasiliev M. Consistent equations for interacting massless fields of all spins in the first order in curvature / M.A. Vasiliev // Annals of Physics.- 1989,- V.190.- p.59-106.

[62] Vasiliev M. Dynamics of massless higher spin fields in the second order in curvature / M.A. Vasiliev // Physics Letters В.- 1990.- v.238.-p.305-314.

Vasiliev M. Cubic interactions of bosonic higher spin gauge fields in AdS(5) / M. A. Vasiliev // Nuclear Physics B.- 2001.- v.616.- p. 106162. [Erratum-ibid. B.- 2003.- v.652.- p407.]

Alkalaev K. N=1 Supersymmetric Theory of Higher Spin Gauge Fields in AdS(5) at the Cubic Level / K.B. Alkalaev, M.A. Vasiliev // Nuclear Physics В.- 2003.- v.655.- p.57-92.

Aragone C. Consistency Problems of Hypergravity / Aragone C., Deser S. // Physics Letters В.- 1979.- v.-86.- p.161-163.

Christensen S. New Gravitational Index Theorems and Supertheorems / Christensen S., Duff M. // Nuclear Physics В.- 1979.- v. 154.- p.301-342.

Berends F. On Spin 5/2 Gauge Fields / F. A. Berends, J. W. van Holten, B. de Wit and P. van Nieuwenhuizen // Journal of Physics

A.- 1980.- v.13.- p. 1643-1649.

de Wit B. Systematics of Higher Spin Gauge Fields / B. de Wit and D. Z. Freedman // Physical Review D.- 1980.- v.21.- p.358-367.

Васильев M. Уравнеиния движения калибровочных полей высших спинов как свободная дифференциальная алгебра / М.А. Васильев // Ядерная физика,- 1988 - том 48, вып. 5(11).- стр. 1478-1487.

Васильев М. Замкнутые уравнеиния взаимодействующих калибровочных полей всех спинов / М.А. Васильев // Письма в ЖЭТФ,- 1990.- том 51, вып. 9.- стр.446-449.

Vasiliev М. Consistent equations for interacting gauge fields of all spins in (3+l)-dimensions / M.A. Vasiliev // Physics Letters B.-1990.- v.243.- p.378-382.

Vasiliev M. Properties of equations of motion of interacting gauge fields of all spins in (3+l)-dimensions / M.A. Vasiliev // Classical and Quantum Gravity.- 1991.- v.8.- p. 1387-1417.

Vasiliev M. Algebraic aspects of the higher-spin problem / M.A. Vasiliev // Physics Letters В.- 1991.- v.257.- p.111-118.

Vasiliev M. More on equations of motion for interacting massless fields of all spins in (3+l)-dimensions / M.A. Vasiliev // Physics Letters

B.- 1992,- v.285 - p.225-234.

[75] Vasiliev М/ Nonlinear equations for symmetric massless higher spin fields in (A)dS(d) / M. A. Vasiliev // Physics Letters В.- 2003.- v.567.-p.139-151.

[76] Vasiliev M. Higher spin gauge theories in four-dimensions, three-dimensions, and two-dimensions / M.A. Vasiliev // International Journal of Modern Physics D.- 1996.- v.5.- p.763-797.

[77] Vasiliev M. Higher spin gauge theories: Star product and AdS space / M. A. Vasiliev // In *Shifman, M.A. (ed.): The many faces of the superworld*.- p.533-610; [hep-th/9910096].

[78] Vasiliev M. Higher spin symmetries, star product and relativistic equations in AdS space / M.A. Vasiliev // hep-th/0002183.

[79] Vasiliev M. Progress in Higher Spin Gauge Theories / M.A. Vasiliev // Proceedings of the International Conference «Quantization, Gauge Theory and Strings», Moscow, June 5-10, 2000, Scientific World.-2001.- Vol 1 p.452-471, [hep-th/0104246].

[80] Vasiliev M. Higher spin gauge theories in any dimension / M. A. Vasiliev // Comptes Rendus Physique.- 2004.- v.5.- p. 1101.

[81] Bekaert X. Nonlinear higher spin theories in various dimensions / X. Bekaert, S. Cnockaert, C. Iazeolla and M. A. Vasiliev // hep-th/0503128.

[82] Boulanger N. An action principle for Vasiliev's four-dimensional higher-spin gravity / N. Boulanger and P. Sundell // Journal of Physics A.- 2011.- v.44- p.495402

[83] Doroud N. An Action for higher spin gauge theory in four dimensions / N. Doroud and L. Smolin // arXiv: 1102.3297 [hep-th].

[84] Vasiliev M. Actions, charges and off-shell fields in the unfolded dynamics approach / M. A. Vasiliev // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics.- 2006.- v.3.- p.37-80.

[85] Васильев M. Супералгебры высших спинов / M.A. Васильев, E.C. Фрадкин // Доклады Академии наук СССР.- 1986.- т.291 №5.-с.1100-1103.

[86] Fradkin Е. Candidate to the Role of Higher Spin Symmetry / E. S. Fradkin and M. A. Vasiliev // Annals of Physics.-1987.- v.177.-p.63-112.

[87] Konstein S. Massless representations and admissibility condition for higher spin superalgebras / S. E. Konstein and M. A. Vasiliev // Nuclear Physics В.- 1989.- v.312.- p.402-418.

[88] Konstein S. Extended Higher Spin Superalgebras And Their Massless Representations / S. E. Konstein and M. A. Vasiliev // Nuclear Physics В.- 1990,- V.331.- p.475-499.

[89] Vasiliev M. Higher spin superalgebras in any dimension and their representations / M. A. Vasiliev // Journal of Higher Energy Physics.-2004.- v.0412.- p.046.

[90] Vasiliev M. Multiparticle extension of the higher-spin algebra / M. A. Vasiliev // arXiv: 1212.6071 [hep-th].

[91] Alkalaev K. On the frame - like formulation of mixed symmetry massless fields in (A)dS(d) / К. B. Alkalaev, О. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev // Nuclear Physics В.- 2004.- v.692.- p.363-393.

[92] Алкалаев К. Двухстолбцовые безмассовые поля высших спинов на пространстве AdS^ / К.Б Алкалаев // Теоретическая и математическая физика.- 2004.- т. 140, №3.- с.424-436.

[93] Алкалаев К. Безмассовые калибровочные поля смешанного типа симетрии в AdSs / К.Б Алкалаев // Теоретическая и математическая физика.- 2006.- т. 149, №1.- с.47-59.

[94] Alkalaev К. Lagrangian formulation for free mixed-symmetry bosonic gauge fields in (A)dS(d) / К. B. Alkalaev, О. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev // Journal of High Energy Physics.- 2005.- v.0508.-p.069.

[95] Alkalaev K. Frame-like formulation for free mixed-symmetry bosonic massless higher-spin fields in AdS(d) / К. B. Alkalaev, О. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev // hep-th/0601225.

[96] Skvortsov E. Mixed-Symmetry Massless Fields in Minkowski space Unfolded / E. D. Skvortsov // Journal of High Energy Physics.- 2008.-v.0807.- p.004.

[97] Skvortsov E. Frame-like Actions for Massless Mixed-Symmetry Fields in Minkowski space / E. D. Skvortsov // Nuclear Physics В.- 2009.-v.808.- p.569-591.

[98] Zinoviev Y. Frame-like gauge invariant formulation for mixed symmetry fermionic fields / Y. .M. Zinoviev // Nuclear Physics B.-2009.- V.821.- p.21-47.

[99] Skvortsov E. Frame-like Actions for Massless Mixed-Symmetry Fields in Minkowski space. Fermions / E. D. Skvortsov and Y. .M. Zinoviev // Nuclear Physics B.- 2011.- v.843.- p.559-569.

[100] Skvortsov E. Geometric formulation for partially massless fields E. D. Skvortsov and M. A. Vasiliev // Nuclear Physics B.- 2006.-V.756.- p.117-147.

[101] Zinoviev Y. Frame-like gauge invariant formulation for massive high spin particles / Y. .M. Zinoviev // Nuclear Physics B.- 2009.- v.808.-p. 185-204.

[102] Zinoviev Y. Toward frame-like gauge invariant formulation for massive mixed symmetry bosonic fields / Y. .M. Zinoviev // Nuclear Physics B.- 2009.- v.812.- p.46-63.

[103] Zinoviev Y. Towards frame-like gauge invariant formulation for massive mixed symmetry bosonic fields. II. General Young tableau with two rows / Y. .M. Zinoviev // Nuclear Physics B.- 2010.- v.826.-p.490-510.

[104] Ponomarev D. Frame-Like Action and Unfolded Formulation for Massive Higher-Spin Fields / D. S. Ponomarev and M. A. Vasiliev // Nuclear Physics B.- 2010.- v.839.- p.466-498.

[105] Zinoviev M. Spin 3 cubic vertices in a frame-like formalism / Y. .M. Zinoviev // Journal of High Energy Physics.- 2010.- v. 1008.-p.084.

[106] Zinoviev M. On electromagnetic interactions for massive mixed symmetry field / Y. .M. Zinoviev // Journal of High Energy Physics.-2011.- V.1103.- p.082.

[107] Boulanger N. Higher-spin algebras and cubic interactions for simple mixed-symmetry fields in AdS spacetime / N. Boulanger and E. D. Skvortsov // Journal of High Energy Physics.- 2011- v. 1109.-p.063.

[108] Boulanger N. Gravitational cubic interactions for a simple mixed-symmetry gauge field in AdS and flat backgrounds / N. Boulanger,

E. D. Skvortsov and Y. .M. Zinoviev // Journal of Physics A.- 2011 v.44.- p.415403.

[109] Zinoviev, M. Gravitational cubic interactions for a massive mixed symmetry gauge field / Y. .M. Zinoviev // Classical and Quantum Gravity.- 2012. v.29.- p.015013

[110] Vasiliev M. Cubic Vertices for Symmetric Higher-Spin Gauge Fields in (A)dSd / M. A. Vasiliev // Nuclear Physics B.- 2012.- v.862.- p.341-408.

[111] Buchbinder I. Cubic interaction vertex of higher-spin fields with external electromagnetic field / I. L. Buchbinder, T. V. Snegirev and Y. .M. Zinoviev // Nuclear Physics B.- 2012,- v.864.- p.694-721.

[112] Bengtsson A. Cubic Interaction Terms For Arbitrary Spin /

A. K. H. Bengtsson, I. Bengtsson and L. Brink // Nuclear Physics

B.- 1983.- v.227.- p.31-40.

[113] Bengtsson A. Cubic Interaction Terms For Arbitrarily Extended Supermultiplets / A. K. H. Bengtsson, I. Bengtsson and L. Brink // Nuclear Physics B.- 1983,- v.227.- p.41-49.

[114] Bengtsson A. Interacting Higher Spin Gauge Fields On The Light Front / A. K. H. Bengtsson, I. Bengtsson and N. Linden // Classical and Quantum Gravity - 1987,- v.4.- p. 1333-1345.

[115] Fradkin E. A Cubic interaction of totally symmetric massless representations of the Lorentz group in arbitrary dimensions / E. S. Fradkin and R. R. Metsaev // Classical and Quantum Gravity - 1991.- v.8.- p.L89-L94.

[116] Metsaev R. Poincare invariant dynamics of massless higher spins: Fourth order analysis on mass shell / R. R. Metsaev // Modern Physics Letters A.- 1991.- v.6.- p.359-367.

[117] Metsaev R. Generating function for cubic interaction vertices of higher spin fields in any dimension / Modern Physics Letters A.- 1993.- v.8 -p.2413-2426.

[118] Metsaev R. Note on the cubic interaction of massless representations of the Poincare group in D=5 space-time / R. R. Metsaev // Classical and Quantum Gravity - 1993.- v. 10.- p.L39-L42.

[119] Metsaev R. Cubic interaction vertices of totally symmetric and mixed symmetry massless representations of the Poincare group in D = 6 space-time / R. R. Metsaev // Physics Letters B.- 1993.- v.309.- p.39-44.

[120] Metsaev R. Cubic interaction vertices of massive and massless higher spin fields / R. R. Metsaev // Nuclear Physics B.- 2006.- v.759.-p. 147-201.

[121] Metsaev R. Cubic interaction vertices for fermionic and bosonic arbitrary spin fields / R. R. Metsaev // Nuclear Physics B.- 2012.-v.859.- p.13-69.

[122] Berends F. On Spin Three Selfinteractions / F. A. Berends, G. J. H. Burgers, H. van Dam // Zeitschrift fiir Physik C.- 1984.-v.24.- p.247-254.

[123] Berends F. On The Theoretical Problems In Constructing Interactions Involving Higher Spin Massless Particles / F. A. Berends, G. J. H. Burgers, H. van Dam // Nuclear Physics B.- 1985.- v.260.-p.295-322.

[124] Berends F. Explicit Construction Of Conserved Currents For Massless Fields Of Arbitrary Spin / F. A. Berends, G. J. H. Burgers, H. van Dam // Nuclear Physics B.- 1986,- v.271.- p.429-441.

[125] Brink L. How massless are massless fields in AdSd / L. Brink, R.R. Metsaev, M.A. Vasiliev // Nuclear Physics B.- 2000.- v.586.-p. 183-205.

[126] Buchbinder I. New 4D, N = 1 Superfield Theory: Model of Free Massive Superspin-| Multiplet / I.L. Buchbinder, S. James Gates, Jr., W.D. Linch, III and J.Phillips // Physics Letters B.- 2002.- v.535.-p.280-288.

[127] Buchbinder I. Dynamical Superfield Theory of Free Massive Superspin-1 Multiplet / I.L. Buchbinder, S. James Gates, Jr., W.D. Linch, III and J.Phillips // Physics Letters B.- 2002.- v.549.-p.229-236.

[128] Francia D. Free geometric equations for higher spins / D. Francia, A. Sagnotti // Physics Letters B.- 2002.- v.543.- p.303-310.

[129] Francia D. On the geometry of higher-spin gauge fields / D. Francia, A. Sagnotti // Classical and Quantum Gravity- 2003.- v.20.- p.S473-S486.

[130] Medeiros P. Exotic tensor gauge theory and duality / P. de Medeiros,

C. Hull // Communications in Mathematical Physics- 2003.- v.235.-p.255-273.

[131] Metsaev R. Massless arbitrary spin fieds in AdS(5) / R.R. Metsaev // Physics Letters B.- 2002.- v.531.- p. 152-160.

[132] Bekaert X. On geometric equations and duality for free higher spins / X. Bekaert, N. Boulanger // Physics Letters B.- 2003.- v.561.- p. 183190.

[133] Plyushchay M. GL Flatness of OSp(l\2n) and Higher Spin Field Theory from Dynamics in Tensorial Space / M. Plyushchay,

D. Sorokin and M. Tsulaia // hep-th/0310297.

[134] Sagnotti A. On higher spins and the tensionless limit of String Theory, A. Sagnotti, M. Tsulaia // Nuclear Physics B.- 2004.- v.682.- p.83-116.

[135] Shaynkman O. Unfolded form of conformal equations in M dimensions and o(M-f 2)-modules / O.V. Shaynkman, I.Yu. Tipunin, M.A. Vasiliev // Reviews in Mathematical Physics- 2006.- v. 18.-p.823-886.

[136] Boulanger N. Consistent deformations of [p,p]-type gauge field theories / N. Boulanger, S. Cnockaert // Journal of High Energy Physics.- 2004.- v.0403.- p.031.

[137] Ciobirca C. Cohomological BRST aspects of the massless tensor field with the mixed symmetry (k, k) / C.C. Ciobirca, E.M. Cioroianu, S.O. Saliu // International Journal of Modern Physics A.- 2004.- v. 19.-p.4579-4620.

[138] Bengtsson A.K.H. An Abstract Interface to Higher Spin Gauge Field Theory / A.K.H. Bengtsson // Journal of Mathematical Physics-2005.- v.46.- p.042312.

[139] Barnich G. Parent field theory and unfolding in BRST first-quantized terms / G. Barnich, M. Grigoriev, A. Semikhatov, I. Tipunin // Communications in Mathematical Physics- 2005.- v.260 - p. 147-181. hep-th/0406192;

[140] Bandos I. Superfields Theories in Tensorial Superspace and the Dynamics of Higher Spin Fields / I. Bandos, P. Pasti, D. Sorokin and Mario Tonin // Journal of High Energy Physics.- 2004.- v. 0411.-p.023.

[141] Deser S. Arbitrary Spin Representations in de Sitter from dS/CFT with Applications to dS Supergravity / S. Deser and A. Waldron // Nuclear Physics B.- 2003.- v.662.- p.379-392.

[142] Sathiapalan B. Loop Variables and the (Free) Open String in a Curved Background / B. Sathiapalan // Modern Physics Letters A.- 2005.-v.20.- p.227-242.

[143] Sathiapalan B. Loop Variables and the Interacting Open String in a Curved Background / B. Sathiapalan // Modern Physics Letters A.-2005.- v.20.- p.1037-1046.

[144] Medeiros P. Non-associative gauge theory and higher spin interactions / P. de Medeiros, S. Ramgoolam // Journal of High Energy Physics.-2005.- v.0503.- p.072.

[145] Bandos I. Dinamics of higher spin field and tensorial space / I. Bandos, X. Bekaert, J.A. de Azcarraga, D. Sorokin, M. Tsulaia // Journal of High Energy Physics.- 2005.- v.0505.- p.031.

[146] Barnich G. From BRST to light-cone description of higher spin gauge fields / G. Barnich, G. Bonelli, M. Grigoriev // hep-th/0502232.

[147] Raindani S.D. Dimensional reduction of symmetric higher spin actions. 1. Bosons. / S.D. Raindani, D. Sahdev, M. Sivakumar // Modern Physics Letters A.- 1989.- v.4.- p.265-273.

[148] Raindani S.D. Dimensional reduction of symmetric higher spin actions. 2. Fermions. / S.D. Raindani, M. Sivakumar, D. Sahdev // Modern Physics Letters A.- 1989.- v.4.- p.275-281.

[149] Buchbinder I.L. Causality of massive spin-2 field in external gravity / I. L. Buchbinder, D. M. Gitman and V. D. Pershin // Physics Letters B.- 2000.- v.492.- p.161-170.

[150] Buchbinder I.L. Gravitational interaction of higher spin massive fields and string theory / I. L. Buchbinder and V. D. Pershin // arXiv:hep-th/0009026.

151] Medeiros P. Massive gauge-invariant field theories on space of constant curvature / P. de Medeiros // Classical and Quantum Gravity.- 2004-v.21.- p.2571-2593.

152] Metsaev R. Mixed symmetry massive fields in AdS(5) / R.R. Metsaev // Classical and Quantum Gravity- 2005,- v.22,- p.2777-2796.

153] Buchbinder I.L. Massive 4Д Л/", Superspin 1 & 3/2 Multiplets and Dualities / I.L. Buchbinder, S. James Gates, Jr., S.M. Kuzenko, J. Phillips // Journal of High Energy Physics.- 2005.- v.0502.- p.056.

154] Zinoviev Yu. Massive spin-2 supermultiplets / Yu.M. Zinoviev // hep-th/0206209.

155] Zinoviev Yu. On massive mixrd symmetry tensor fields in Minkowski space and (A)dS // Yu.M. Zinoviev // hep-th/0211233.

156] Zinoviev Yu. First order formalism for mixed symmetry tensor fields / Yu.M. Zinoviev // hep-th/0304067.

157] Zinoviev Yu. First order formalism for massive mixed symmetry tensor fielfs in Minkowsi and (A)dS spaces / Yu.M. Zinoviev // hep-th/0306292.

158] Zinoviev Yu. On dual formulations of massive tensor fields / Yu.M. Zinoviev // Journal of High Energy Physics.- 2005 - v.0510.-p.075.

159] Bianci M. More on La Grande Bouffe / M. Bianci, P.J. Heslop, F. Riccoioni // Journal of High Energy Physics.- 2005.- v.0508.- p.088.

160] Клишевич С. О электромагнитном взаимодействии массивных частиц спина 2 / С.М. Клишевич, Ю.М. Зиновьев // Ядерная физика.- 1998,- т.61,- с.1638-1648.

161] Klishevich S.M. Massive Fields with Arbitrary Integer Spin in Homogeneous Electromagnetic Field / S.M. Klishevich // International Journal of Modern Physics A - 2000 - v. 15.- p.535-552.

162] Klishevich S.M. Massive Fields of Arbitrary Half-Integer Spin in Constant Electromagnetic Field / S.M. Klishevich // International Journal of Modern Physics A.- 2000.- v.15.- p.609-624.

163] Klishevich S.M. Massive Fields of Arbitrary Integer Spin in Symmetrical Einstein Space / S.M. Klishevich // Classical and Quantum Gravity.- 1999.- v. 16.- p.2915-2927.

[164] Hallowell K. Constant Curvature Algebras and Higher Spin Action Generating Functions / K. Hallowell, A. Waldron // Nuclear Physics B.- 2005.- v.724.- p.453-486.

[165] Ouvry S. Gauge fields of any spin and symmetry / S. Ouvry and J. Stern // Physics Letters B.- 1986.- v. 177.- p.335-340.

[166] Bengtsson A.K.H. A unified action for higher spin gauge bosons from covariant string theory / A.K.H. Bengtsson // Physics Letters B.-1986.- V.182.- p.321-325.

[167] Witten E. Noncommutative Geometry and String Field Theory, E. Witten // Nuclear Physics B.- 1986.- v.268.- p.253-294.

[168] Charles B. String Field Theory / B. Charles, C.B. Thorn // Physics Report- 1989.- v.175.- p.1-101.

[169] Taylor W. .D-branes, Tachyons, and String Field Theory / W. Taylor,

B. Zwiebach // hep-th/0311017.

[170] Bonelli G. On the tensionless limit of bosonic strings, infinite symmetries and higher spins / G. Bonelli // Nuclear Physics B.- 2003.-v.669.- p.159-172.

[171] Becchi C. Renormalization Of The Abelian Higgs-Kibble Model /

C. Becchi, A. Rouet, R. Stora // Communications in Mathematical Physics- 1975.- v.42.- p.127-162.

[172] Becchi C. Renormalization Of Gauge Theories / C. Becchi, A. Rouet, R. Stora // Annals of Physics- 1976.-v.98 p.287-321.

[173] Tyutin I.V. Gauge invariance in field theory and statistics in operator formulation / I.V. Tyutin // Preprint FIAN, No. 39, 1975.

[174] Fradkin E.S. Quantization of relativistic systems with constraints / E.S. Fradkin, G.A. Vilkovisky // Physics Letters B.- 1975,- v.55.-p.224-226.

[175] Batalin I.A. Relativistic 5-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints / I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky // Physics Letters B.- 1977.- v.69.- p.309-312.

[176] Batalin I.A. Operator qunatization of relativistic dynamical system subject to first class constraints / I.A. Batalin, E.S. Fradkin // Physics Letters B.- 1983,- v.128.- p.303-308.

[177] Batalin I.A. Operator quantizatin method and abelization of dynamical systems subject to first class constraints / I.A. Batalin, E.S. Fradkin // Rivista del Nuovo Cimento- 1986.- v.9, No 10.- p.l-48.

[178] Batalin I.A. Operator quantization of dynamical systems subject to constraints. A further study of the construction / I.A. Batalin, E.S. Fradkin // Annales Henri Poincare A.- 1988.- v.49.- p. 145-214.

[179] Гитман Д. Каноническое квантование полей со связями / Д.М. Гитман, И.В. Тютин -М.: Наука, 1986.- 216 с.

[180] Pashnev A. Description of the higher massless irreducible integer spins in the BRST approach / A. Pashnev, M. Tsulaia // Modern Physics Letters A.- 1998.- v. 13.- p. 1853-1864.

[181] Buchbinder I.L. Lagrangian formulation of the massless higher integer spin fields in the AdS background / I.L. Buchbinder, A. Pashnev and M Tsulaia // Physics Letters В.- 2001.- v.523.- p.338-346.

[182] Burdik C. Auxiliary representations of Lie algebras and the BRST construction / C. Burdik, A. Pashnev, M. Tsulaia // Modern Physics Letters A.- 2000.- v.15.- p.281-292.

[183] Burdik C. On the mixed symmetry irreducible representations of the Poincare group in the BRST approach / C. Burdik, A. Pashnev, M. Tsulaia // Modern Physics Letters A.- 2001.- v.16.- p.731-746.

[184] Buchbinder I.L. Massless Higher Spin Fields in the AdS Background and BRST Constructions for Nonlinear Algebras / I.L. Buchbinder, A. Pashnev and M Tsulaia // hep-th/0206026.

[185] Bekaert X. On Higher Spin Theory: Strings, BRST, Dimensional Reductions / X. Bekaert, I.L. Buchbinder, A. Pashnev, M. Tsulaia // Classical and Quantum Gravity.- 2004.- v.21.- p.S1457-1464.

[186] Fotopoulos A. Lagrangian Formulation Of Higher Spin Theories On Ads Space / A. Fotopoulos, K.L. Panigrahi, M. Tsulaia // Physical Review D. - 2006.- V.74.- p.085029.

[187] Bengtsson A.K.H. BRST approach to interacting higher spin fields / A.K.H. Bengtsson // Classical and Quantum Gravity.- 1988.- v.5.-p.437-452.

188] Cappiello L. BRST Construction of Interacting Gauge Theories of Higher Spin Fields / L. Cappiello, M. Knecht, S. Ouvry, and J. Stern // Annals of Physics- 1989.- v. 193.- p. 10-39.

189] Fougère F. Algebraic construction of higher spin interaction vertices / F. Fougère, M. Kneht and J. Stern // preprint LAPP-TH-338/91.

190] Buchbinder I.L. Constructing the cubic interaction vertex of higher spin gauge fields / I. L. Buchbinder, A. Fotopoulos, A. C. Petkou and M. Tsulaia // Physical Review D. - 2006.- V.74.- p. 105018.

191] Fotopoulos A. Interacting higher spins and the high energy limit of the bosonic string / A. Fotopoulos and M. Tsulaia // Physical Review D. - 2007.- V.76.- p.025014.

192] Fotopoulos A. Higher-Spin Gauge Fields Interacting with Scalars: The Lagrangian Cubic Vertex / A. Fotopoulos, N. Irges, A. C. Petkou and M. Tsulaia // Journal of High Energy Physics.- 2007.- v.0710.- p.021.

193] Metsaev R.R. BRST-BV approach to cubic interaction vertices for massive and massless higher-spin fields / R. R. Metsaev // Physics Letters B.- 2013,- v.720.- p.237-243.

194] Buchbinder I.L. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko.- IOP Publ., Bristol and Philadelphia, 1988,- 643p.

195] Burdik C. The Lagrangian description of representations of the Poincare group / C. Burdik, A. Pashnev and M. Tsulaia // Nuclear Physics B - Proceeding Supplements- 2001.- v. 102.- p.285-292.

196] Burdik C. On the Fock Space Realizations of Nonlinear Algebras Describing the High Spin Fields in AdS Spaces / C. Burdik, O. Navratil, A. Pashnev // hep-th/0206027.

197] Burdik C. Realizations of the real simple lie algebras: the method of construction / C. Burdik // Journal of Physics A.- 1985.- v. 18.-p.3101-3111.

198] Henneaux M. Quantization of Gauge Systems / M. Henneaux, C. Teitelboim.- Princeton University Press, 1992,- 520p.

199] Schoutens K. Quantum BRST Charge for Quadratically Nonlinear Lie Algebras / K. Schoutens, A.Sevrin and P. van Nieuwenhuizen // Communications in Mathematical Physics- 1989.- v. 124.- p.87-103.

Deser S. Gauge Invariances and Phases of Massive Higher Spins in (A)dS / S. Deser, A. Waldron // Physical Review Letters- 2001.-V.87.- p.031601.

Deser S. Partial Masslessness of Higher Spins in (A)dS / S. Deser, A. Waldron // Nuclear Physics B.- 2001.- v.607.- p.577-604.

Deser S. Null Propagation of Partially Massless Higher Spins in (A)dS and Cosmological Constant Speculations / S. Deser, A. Waldron // Physics Letters B.- 2001.- v.513.- p. 137-141.

Metsaev R. Fermionic fields in the d-dimensional anti-de Sitter spacetime / R.R. Metsaev // Physics Letters B.- 1998.- v.419.- p.49-56.

Zinoviev Yu. Note on antisymmetric spin-tensors / Yu. M. Zinoviev // Journal of High Energy Physics.- 2009.- v.0904.- p.035.

Velo G. Anomalous behaviour of a massive spin two charged particle in an external electromagnetic field / G. Velo // Nuclear Physics B.-1972.- v.43.- p.389-401.

Zwanziger D. Method of Characteristics in the External Field Problem Or How to Recognize an Acausal Equation When You See One / D. Zwanziger // Lecture Notes in Physics- 1978.- v.73 - p.143-164.

Shamaly A. Propagation of interacting fields / A. Shamaly and A. Z. Capri // Annals of Physics- 1972,- v.74.- p.503-523.

Kobayashi M. Minimal electromagnetic coupling for massive spin-2 fields / M. Kobayashi and A. Shamaly // Physical Review D.- 1978.-v.l7.- p.2179-2181.

Kobayashi M. The tenth constraint in the minimally coupled spin-2 wave equations / M. Kobayashi and A. Shamaly // Progress in Theoretical Physics- 1979 v.61.- p.656-660.

Deser S. Inconsistencies of massive charged gravitating higher spins / S. Deser and A. Waldron // Nuclear Physics B.- 2002,- v.631.- p.369-387.

Buchbinder I. BRST approach to higher spin field theories / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin // hep-th/0511276.

[212] Buchbinder I. Progress in Gauge Invariant Lagrangian Construction for Massive Higher Spin Fields I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin // hep-th/0710.5715.

[213] Buchbinder I. On consistent equations for massive spin two field coupled to gravity in string theory / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, V. D. Pershin // Physics Letters B.- 1999.- v.466.- p.216-226.

[214] Buchbinder I. Equations of motion for massive spin-2 field coupled to gravity / I. L. Buchbinder, D. M. Gitman, V. A. Krykhtin, V. D. Pershin // Nuclear Physics B.- 2000.- v.584.- p.615-640.

[215] Buchbinder I. BRST approach to Lagrangian construction for fermionic massless higher spin fields / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, A. Pashnev // Nuclear Physics B.- 2005,- v.711.- p.367-391.

[216] Buchbinder I. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic higher spin fields in D dimensions / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin // Nuclear Physics B.- 2005.- v.727.- p.537-563.

[217] Buchbinder I. Gauge invariant Lagrangian construction for massive higher spin fermionic fields / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, L.L. Ryskina, H. Takata // Physics Letters B.- 2006,- v.641.- p.386-392.

[218] Buchbinder I. Gauge invariant Lagrangian formulation of higher massive bosonic field theory in AdS space / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, P.M. Lavrov // Nuclear Physics B.- 2007.- v.762.- p.344-376.

[219] Buchbinder I. Quartet unconstrained formulation for massless higher spin fields / I. L. Buchbinder, A. V. Galajinsky, V. A. Krykhtin // Nuclear Physics B.- 2007.- v.779.- p.155-177.

[220] Buchbinder I. BRST approach to Lagrangian construction for fermionic higher spin fields in AdS space / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, A.A. Reshetnyak // Nuclear Physics B.- 2007.- v.787.-p.211-240.

[221] Buchbinder I. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic mixed symmetry higher spin fields / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, H. Takata // Physics Letters B.- 2007,- v.656.- p.253-264.

[222] Buchbinder I. BRST approach to Lagrangian formulation of bosonic totally antisymmeric tensor fields in curved space / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, L.L. Ryskina // Modern Physics Letters A.- 2009.-V.24.- p.401-414.

[223] Buchbinder I. Lagrangian formulation of massive fermionic totally antisymmetric tensor field theory in AdSd space / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, L.L. Ryskina // Nuclear Physics B.- 2009.- v.819.-p.453-477.

[224] Buchbinder I. BRST Lagrangian construction for spin-2 field in Einstein space / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin, P. M. Lavrov / Physics Letters B.- 2010,- v.685.- p.208-214.

[225] Buchbinder I. BRST Lagrangian construction for spin-3/2 field in Einstein space / I. L. Buchbinder and V. A. Krykhtin // Modern Physics Letters A.- 2010.- v.25.- p. 1667-1677.

[226] Buchbinder I. On manifolds admitting the consistent Lagrangian formulation for higher spin fields / I. L. Buchbinder, V. A. Krykhtin and P. M. Lavrov // Modern Physics Letters A.- 2011.- v.26.- p.1183-1196.

[227] Krykhtin V.A. BRST approach to Lagrangian Construction for Massive Higher Spin Fields / V.A. Krykhtin // TSPU press (2008) 239-247. (in book "Problems of Modern Theoretical Physics Editor V. Epp).

[228] Krykhtin V.A. BRST approach to Lagrangian construction for higher spin fields in AdS space / V.A. Krykhtin // Supersymmetries and quantum symmetries (SQS'07) Proceedings of International Workshop (Dubna, Russia, July 30 - August 4, 2007) Dubna, JINR-2008.- p.82-89.

[229] Buchbinder I.L. BRST approach to higher spin field theories / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin // QUARKS-2006: Proceedings of 14th international seminar (St. Petersburg, Russia, 19-25 May, 2006) Institute for Nuclear Research, RAS.- 2006.- V.2 p. 166-175.

[230] Buchbinder I.L. BRST Approach to Higher Spin Field Theories / I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin // Supersymmetries and quantum symmetries (SQS'05) Proceedings of International Workshop (Dubna, Russia, July 27-31, 2005) Dubna, JINR.- 2006.- p.47-57.

[231] Krykhtin V.A. BRST approach to Lagrangian Construction for Massive Higher Spin Fields / V.A. Krykhtin // QUARKS-2008: Proceedings of 15th International seminar (Sergiev Posad, Russia, May 23-29, 2008) Institut for Nuclear Research, RAS- 2009.- V.2 p.206-213.

[232] Krykhtin V.A. Review of BRST approach to higher spin field theory / V.A. Krykhtin // Proceedings of International Conference "Quantum Field Theory and Gravity" (QFTG'12, Tomsk, July 31- August 4, 2012) TSPU Bulletin- 2012,- v,13(128).- p.93-97.