Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Казинский, Пётр Олегович

• Казинский, Пётр Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казинский, Пётр Олегович

Введение

1 Самодействие в линейных теориях

1.1 Общая линейная теория в плоском пространстве.

1.2 Регуляризация реакции излучения

1.3 Выводы.

2 Примеры регуляризации в линейных теориях

2.1 Регуляризация в случае электрически заряженной браны.

2.1.1 Массивная частица.

2.1.2 Безмассовая частица

2.1.3 Выводы.

2.2 Модели бран с магнитным взаимодействием.

2.2.1 Выводы.

2.3 Электрически заряженная струна с током.

2.3.1 Заряженная струна с током

2.3.2 Заряженное кольцо.

2.3.3 Абсолютно несжимаемая струна.

2.3.4 Выводы.

2.4 Локализация поля источника.

2.4.1 Выводы.

2.5 Сокращение расходимостей.

2.5.1 Выводы.

2.6 Реакция излучения мультипольных моментов.

2.6.1 Уравнения движения и мультиполи.

2.6.2 Эффективная динамика мультипольных моментов.

2.6.3 Гидродинамический подход.

2.6.4 Выводы.

3 Самодействие в нелинейных теориях

3.1 Общая постановка проблемы.

3.2 Теория возмущений и регуляризация диаграмм.

3.3 Выводы.

4 Примеры регуляризации в нелинейных теориях

4.1 Гравитирующая брана

4.2 Сингулярный ток в модели фп.

4.3 Массивная электрически заряженная частица.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля»

Описание динамики электрически заряженных низкоразмерных структур, таких как частицы, струны, мембраны является традиционным вопросом классической электродинамики. Использование таких моделей обусловлено тем, что они позволяют значительно упростить решение системы интегродифференциальных уравнений Максвелла-Лоренца. Успешное использование низкоразмерных моделей в классической электродинамике стимулировало их использование в других разделах теоретической физики: в гравитации; в теории струн; в теории космических струн; в теории сверхпроводимости, при описании вихрей; в теории дислокаций и т.д. Однако в большинстве случаев исследуется несамосогласованная динамика таких объектов, т.е. обычно считается, что влиянием поля, созданного самим заряженным объектом, можно пренебречь.

Построение уравнений движения с учетом самодействия в рамках классической электродинамики имеет уже столетнюю историю. Для точечной заряженной частицы в четырехмерном пространстве времени эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом эффектов самодействия, были получены Лоренцом [1] еще в начале прошлого века, а затем обобщены Дираком [2] в 1938 г. на релятивистский случай. Обобщение этих уравнений на произвольный кривой фон было дано ДеВиттом и Бремом [3] в 1960 г. и скорректировано Хоббсом [4] в 1968 г. Обобщения уравнений Лоренца-Дирака на случай заряженной частицы со спином были проведены в работах [5, 6] в 1987-88 гг.

Тем не менее в последние годы снова возрос интерес к получению эффективных уравнений движения в рамках классической теории поля. Это обстоятельство вызвано как ростом экспериментальных возможностей, позволяющих регистрировать влияние эффектов самодействия, так и появлением новых моделей, эффективная динамика которых еще не была исследована. К первым можно отнести изучение эффективной динамики гра-витирующих точечных масс, поскольку есть надежда зарегистрировать таким образом реакцию излучения гравитационных волн (см. [7-10] и ссылки в них). Как ни странно, но бурные исследования в этой области начались только в последнее десятилетие. Второй фактор роста интереса к эффективным моделям низкоразмерных источников полей во многом обязан теории струн, где возникли модели с дополнительным числом измерений пространства-времени, а также такие фундаментальные объекты как браны. В этой связи особое значение имеет получение самосогласованных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) в рамках классической теории поля, которые можно рассматривать как низкоэнергетический предел соответствующих кваптовополевых уравнений, поскольку последовательного квантования моделей с бранами до сих пор еще не построено. На этом направлении были получены обобщения уравнений Лоренца-Дирака на шестимерное плоское пространство-время [11], а также для частиц обладающих, помимо электрического, магнитным зарядом [12, 13]. Кроме того, были найдены ведущие вклады в силу самодействия частиц, струн и бран, взаимодействующих с различным спектром полей [14-20]. Стоит также отметить про непрекращающийся интерес к исследованию динамики сверхпроводящих космологических струн (см. обзор [21]) и струн, приближенно описывающих вихри в сверхпроводниках и плазме [22-28]. Даже в рамках классической электродинамики продолжаются исследования эффективных моделей. Особенно актуальным в этой области на данный момент является получение релятивистских эффективных моделей для неточечных (расширенных) объектов, т.е. для систем заряженных частиц, исходя из системы уравнений Максвелла-Лоренца [29-32].

Учет самодействия низкоразмерных (сингулярных) источников полей связан с определенными трудностями, как принципиального, так и технического характера. Поэтому анализ силы самодействия обычно ограничивался первыми двумя ведущими вкладами для частиц и одним ведущим вкладом для протяженных объектов (бран). Кроме того, учет самодействия сингулярных источников всегда проводился в рамках линейных (линеаризованных) моделей, т.е. для тех моделей, в которых создаваемые источником поля подчиняются линейным дифференциальным уравнениям.

Исходя из этого были сформулированы цели диссертационной работы:

1. Развитие методов вывода эффективных уравнений движения, позволяющих находить высшие поправки от самодействия, как в линейных, так и в нелинейных моделях классической теории поля.

2. Получение самосогласованных уравнений движения сингулярных источников в классической теории поля и исследование их эффективной динамики.

На этом пути были достигнуты следующие основные результаты:

1. Разработан новый ковариантный метод регуляризации силы самодействия сингулярных источников. Для линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия. Доказана лагранжевость его сингулярной части в случае невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе сингулярного источника. Для нелинейных моделей разработана пертур-бативная процедура нахождения членов асимптотического ряда силы самодействия. Найдено явное выражение для ведущей расходимости.

2. Введено понятие классической перенормируемости модели теории поля с сингулярными источниками аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказано, что линейные модели классически перенормируемы. Для нелинейных моделей указан критерий классической перенормируемости, основанный на размерности констант связи, входящих в действие модели. Найден класс перенормируемых нелинейных моделей с сингулярными источниками.

3. Впервые получены: а) Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Полученные эффективные уравнения движения обобщают уравнения Лоренца-Дирака для массивной заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени. Найдены явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Получены явные выражения для расходимостей в моделях частиц с так называемым взаимодействием Фолди. b) Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Показано, что репараметризацнонная инвариантность свободного действия струны накладывает ограничения на возможный вид тока. Получены уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. В последнем случае дана оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Найден класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током. c) Условия на константы связи в модели (п — 1)-браны на фоне rf-мерного пространства Минковского, взаимодействующей с мультиплетом полей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, - обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей. Показано, что асимптотический ряд силы самодействия сингулярного источника содержит [(d — n — 4)/2] расходящихся слагаемых. d) Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Дано релятивистски-инвариантное определение собственных мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранами). Предложен новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. В случае релятивистской заряженной пыли доказана эквивалентность описания проблемы реакции излучения мультипольных моментов в модели частиц и гидродинамической модели. Получена эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным диполъным моментом, и описана ее свободная динамика. e) Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп; браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Установлена неперенормируемостъ гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказана перенормируемость моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф3 и ф4. Для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп, найдено явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействия. Получено явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодсйствия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф*1 ехр (—(Зф2), (3 > 0, и установлена конечность этого выражения в пределе снятия регуляризации.

Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с известными опубликованными работами.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы. Материал изложен на 157 страницах, включает 7 рисунков и список литературы из 145 наименований. Текст диссертации набран в издательской системе Ш^Х.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Казинский, Пётр Олегович

4.4 Выводы

В §4.1 была рассмотрена нелинейная эффективная модель гравитирующей браны. Найдено условие применимости теории возмущений (4.1.5) над плоским фоном. Оказалось, что эффективная модель гравитирующей (щ — 1)-браны классически перенормируема, если, и только если, d — щ < 2. Более того, при выполнении этого условия в эффективная модели гравитирующей браны вообще отсутствуют расходимости. При d — щ > 2 (в частности, для гравитирующей частицы на фоне четырехмерного пространства-времени) каждая диаграмма теории возмущений расходится в пределе снятия регуляризации, причем степень расходимости диаграммы нарастает с увеличением числа источников.

В заключение была проанализирована принципиальная возможность экспериментальной проверки выполнения, или не выполнения, условия применимости теории возмущений (4.1.5). Оказалось, что если величина параметра регуляризации может быть фиксирована из каких-либо физических соображений, то такая проверка возможна, поскольку в этом случае можно экспериментально определить все параметры эффективной модели (в том числе и затравочную массу). Отметим, что для самосогласованных уравнений движения гравитирующих тел не выполнен, так называемый, слабый принцип эквивалентности, говорящий о том, что все тела в однородном гравитационном поле падают с одинаковым ускорением. В то же время поправка, нарушающая этот принцип, порядка отношения радиуса Шварцшильда рассматриваемого объекта к его характерным размерам. Требование малости этой величины возникало как необходимое условие применимости теории возмущений, в рамках которой и было получено выражение для этой поправки.

В §4.2 мы рассмотрели эффективную модель (щ - 1)-браны, взаимодействующей со скалярным безмассовым полем с вершиной фп. Было найдено условие применимости теории возмущений (4.2.6) над нулевым фоном ф = 0. Было показано, что при (п — 1)/(п — 2) > (d - щ)/2 эффективная модель является классически перенормируемой. В пограничном случае (п — 1)/(п — 2) = (d — no)/2, каждая диаграмма теории возмущений расходится как £-i/(n-2) Однако мы знаем, что ведущая расходимость может быть поглощена перенормировкой натяжения (массы) браны. После этого "пограничные" модели при п > 4 становятся конечными, при п = 3в модели остается бесконечное число расходящихся слагаемых при е-1/2 и In 5, а при п = 4 остаются только логарифмические расходимости. Модели, удовлетворяющие условию (п — 1 )/(п — 2) = (d - п0)/2, являются конформно-инвариантными, поэтому от всех расходимостей можно избавиться другим способом - переопределив константы связи, или другими словами, выбрав в качестве масштаба длины в такой модели величину параметра регуляризации.

В случае частицы на фоне четырехмерного пространства Минковского эффективная модель является классически перенормируемой если п < 4, что совпадает с известным условием перенормируемости в квантовой теории поля. В частности, при п = 3 эффективная модель в пределе снятия регуляризации становится линейной, т.е. нелинейные поправки будут давать исчезающе малый вклад.

Далее мы нашли явное выражение для ведущего вклада первой нелинейной поправки от самодействия в модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной фп на фоне пространства-времени произвольной размерности, (4.2.10), (4.2.11) и (4.2.12). Была проанализирована зависимость результата от выбора схемы регуляризации типа А или Б, где для простоты изложения мы ограничились случаем четномерного пространства-времеин. В этом случае были найдены явные выражения для наиболее существенного вклада по степеням параметра регуляризации в первую нелинейную поправку в рамках регуляризации типа Б. Также была дана асимптотическая оценка при больших п отношения ведущих вкладов, возникающих при регуляризациях типа А и Б (4.2.16). Оказалось, что в четырехмерном пространстве-времени в достаточно большом интервале чисел п обе схемы регуляризации дают практически один и тот же результат.

Ясно, что всегда можно расширить класс полученных перенормируемых моделей, добавив к ним такие модели, которые при больших значениях полей, создаваемых сингулярным источником, эффективно сводятся к известным перенормируемым. В таких моделях необходимо будет ввести такое же конечное число новых параметров, поглощающих все расходимости, как и в той перенормируемой модели, к которой она сводится при больших значениях полей.

В качестве примера перепормируемой модели, полученной в результате такого расширения, была рассмотрена модель (4.2.17) браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной ф4 ехр (~Рф2), /3 > 0. Эта модель становится линейной и безмассовой при больших значениях полей и инвариантна относительно замены ф —» —ф. В случае частицы на фоне четномерного пространства Минковского был найден ведущий вклад (4.2.18) в самодействие от всех одновершинных диаграмм данной модели в рамках регуляризации типа А. Оказалось, что этот вклад конечен в пределе снятия регуляризации и задается формулой (4.2.19). В силу того что ведущий вклад конечен, можно ожидать, что высшие поправки к нему по степеням параметра регуляризации обращаются в нуль. Такого же эффекта, по-видимому, следует ожидать и при более высоких степенях А, т.е. суммы всех двухвершинных, трехвершинных и т.д. диаграмм будут давать конечные вклады в силу самодействия.

В §4.3 была рассмотрена модель электрически заряженной частицы, взаимодействующей, помимо электромагнитных полей, с эйнштейновской гравитацией, т.е., фактически, была рассмотрена система уравнений Эйнштейна-Максвелла с сингулярным источником. Было найдено условие применимости теории возмущений (4.3.11) над фоном gMI/ = г]м1/, Ар = 0 для описания эффективной динамики такой модели. Поскольку мы использовали регуляризацию типа А, в эффективной модели возникло два параметра регуляризации £с и ед, каждый для своего типа источников. Кроме того, формулы (4.3.11) также остаются верными и для модели (п0 — 1)-браны, взаимодействующей с калибровочными полями По-форм на фоне эйнштейновской гравитации. Как и следовало ожидать, при d - щ > 2, при стремлении параметров (или даже одного параметра) регуляризации к нулю, высшие члены ряда теории возмущений будут давать большие вклады чем низшие, и для их перенормировки потребуется вводить в эффективную модель бесконечное число новых параметров, т.е. модель не является классически перенормируемой. В частности, модель заряженной частицы на фоне эйнштейновской гравитации в d = 4 не является перенормируемой.

В заключение для гравнтирующей электрически заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени были выписаны необходимые условия применимости для описания ее эффективной динамики уравнений, получающихся в рамках соответствующих линейных моделей: уравнений Лоренца-Дирака (4.3.14); и уравнений, учитывающих реакцию излучения линеаризованной гравитации (4.3.15). Если эти условия не выполнены, то линейные вклады будут перекрываться нелинейными поправками.

Заключение

В заключение подведем основные итоги проведенного в этой работе исследования эффективной динамики сингулярных источников в классической тории поля:

1. Разработан новый ковариантный метод регуляризации силы самодействия сингулярных источников. Для линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия. Доказана лагранжевость его сингулярной части в случае невырожденности метрики, индуцированной на мировом листе сингулярного источника. Для нелинейных моделей разработана пертур-бативная процедура нахождения членов асимптотического ряда силы самодействия. Найдено явное выражение для ведущей расходимости.

2. Введено понятие классической перенормируемости модели теории поля с сингулярными источниками аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказано, что линейные модели классически перенормируемы. Для нелинейных моделей указан критерий классической перенормируемости, основанный па размерности констант связи, входящих в действие модели. Найден класс перенормируемых нелинейных моделей с сингулярными источниками.

3. Впервые получены: a) Явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели электрически заряженной браны, распространяющейся на фоне пространства Минковского произвольной размерности, в частности, в моделях массивной и безмассовой заряженных частиц. Полученные эффективные уравнения движения обобщают уравнения Лоренца-Дирака для массивной заряженной частицы в четырехмерном пространстве-времени. Найдены явные выражения для расходимостей и конечной части силы самодействия в модели браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем неминимальным образом на фоне плоского пространства-времени специальной размерности. Получены явные выражения для расходимостей в моделях частиц с так называемым взаимодействием Фолди. b) Эффективные уравнения движения релятивистской электрически заряженной струны с током. Показано, что репараметризационная инвариантность свободного действия струны накладывает ограничения на возможный вид тока. Получены уравнения на внешние электромагнитные поля, при которых возможны стационарные состояния абсолютно эластичной заряженной струны, имеющей форму кольца (окружности). Найдены решения эффективных уравнений движения абсолютно эластичного заряженного кольца в отсутствии внешних полей, а также во внешнем постоянном однородном магнитном поле. В последнем случае дана оценка частоты, на которой можно наблюдать излучение создаваемое кольцом. Найден класс решений эффективных уравнений движения абсолютно несжимаемой заряженной струны с током. c) Условия на константы связи в модели (п — 1)-браны на фоне (/-мерного пространства Минковского, взаимодействующей с мультиплетом полей: антисимметричным тензорным полем, скалярным полем и линеаризованной гравитацией, - обеспечивающие сокращение двух ведущих расходимостей. Показано, что асимптотический ряд силы самодействия сингулярного источника содержит [(d — n — 4)/2] расходящихся слагаемых. d) Пуанкаре-инвариантное описание эффективной динамики локализованной системы заряженных частиц в классической электродинамике при помощи ее собственных мультипольных моментов. Дано релятивистски-инвариантное определение собственных мультипольных моментов, как для точечных систем, так и для систем, приближенно описываемых протяженными релятивистскими объектами (бранамн). Предложен новый общековариантный функционал действия для релятивистской идеальной жидкости. В случае релятивистской заряженной пыли доказана эквивалентность описания проблемы реакции излучения мультипольных моментов в модели частиц и гидродинамической модели. Получена эффективная модель для нейтральной системы заряженных частиц, обладающей собственным дипольнъш моментом, и описана ее свободная динамика. e) Условия применимости теории возмущений и соответствующих линеаризованных уравнений в моделях: гравитирующей браны; браны, взаимодействующей с безмассовым скалярным полем с вершиной фп-, браны, взаимодействующей с антисимметричным тензорным полем и эйнштейновской гравитацией. Установлена классическая неперенормируемость гравитационного самодействия браны коразмерности к > 2. Доказана классическая перенормируемость моделей частицы, взаимодействующей со скалярными полями с вершинами ф3 и ф'К Для модели частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф'\ найдено явное выражения для первой нелинейной поправки в силу самодействия. Получено явное выражение для суммы всех одновершинных вкладов в силу самодействия частицы, взаимодействующей со скалярным полем с вершиной ф*ехр(—(3ф2), (3 > 0, и установлена конечность этого выражения в пределе снятия регуляризации.

А Функции Грина уравнения Клейна-Гордона

Поскольку в литературе довольно сложно найти выражения для свободных функций Грина уравнения Клейна-Гордона в пространстве Минковского произвольной размерности, мы в этом приложении получим их явный вид и укажем некоторые свойства, которые будут использоваться при нахождении асимптотик полей, создаваемых сингулярными источниками.

Для вывода функций Грина будем исходить из хорошо известной запаздывающей функции Грина волнового оператора в d = 4 (см., например, [67])

GLoix) = ^(0, е = (А.0.1)

Применяя к этой функции Грина, так называемый, метод спуска [67] получаем для функции Грина уравнения Клейна-Гордона в d = 3 следующее выражение 00 ^ Jdz^-^'JMOJ^cos(m^). СА.0.2)

-00

Применяя в свою очередь метод спуска к (А.0.2) будем иметь 00 = ^ / cos V^) = Щ^ОЮМгпу/t), (А.0.3) оо где Jo(x) - функция Бесселя первого рода (см., например, [144]).

Теперь используя метод спуска получим рекуррентное соотношение для функций Грина в пространстве-времени высших измерений. В силу лоренц-инвариантности запаздывающих функций Грина их можно представить в виде

GdJx) = в(х0 )gdJO, (А.0.4) где <7^(0 ~ некоторая обобщенная функция. Тогда снова применяя метод спуска можем записать 00 ( gdm(0 = j dzxdzrf+2{l -z[- z!) = VJ dtgdm^(t), (A.0.5)

-OO -00 откуда следует рекуррентное соотношение

OdJ2(0 = (A.0.6)

Окончательно, для запаздывающих функций Грина уравнения Клейна-Гордона имеем d-2)/2

Gdm(x) =

1 2 г / d \ >'

-n^eixo) I 0(ОМт>Д) ПРИ четном d > 2,

-7г~2~#(:го) ( ) cos (myfa ПРИ нечетном d > 3.

2 v£

А.0.7)

Также нам будет полезно еще одно рекуррентное соотношение между функциями Грина [145]. А именно: заметим, что из определения функции Грина следует d2 + m2)gd.2(0 = 2[(d - 2)g'd2(0 + 2^'2(£)] = О, (А.0.8) где f зависит от (d — 2) переменных х'1. Поэтому + m2)^2(£) = 2[dg'd2(0 + 2^'-2(0] - 4g'd2(0, (А.0.9) где £ уже зависит от d переменных х*. Тогда из равенства (А.0.6) получаем + (А.0.10)

В Система координат Морса

Лемма 1 (Морс). Пусть / : Rd —> R1 - функция класса С2, имеющая точку 0 € Rrf своей невырожденной критической точкой. Тогда в некоторой окрестности U точки О существует такая система локальных координат {t'}, г = l,d с центром в 0, что Vi € U имеет место равенство

М = т + тт№, (В.0.1) где rjij = diag(-1,., —1,1., 1). Число отрицательных элементов матрицы щ называется индексом Морса критической точки 0 функции /.

В дальнейшем такую систему координат будем называть системой координат Морса. Также мы будем рассматривать случай, когда /(т) и функции перехода 1'(т), где {т1} исходные координаты на Rd, принадлежат классу С00.

Нашей целью является нахождение начального отрезка ряда Тейлора

71=1 связывающего произвольные координаты т в окрестности критической точки 0 функции / с морсовскими координатами t. Выполнив при необходимости линейную замену координат, можно считать, что гессиан функции /(т) в критической точке имеет вид дг]/(0) = 2r]tj.

Подставив разложение (В.0.2) в формулу (В.0.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях т\ получим цепочку рекуррентных соотношений для определения коэффициентов i)1.Jk- В частности, в первом порядке по т получим щ = tkr;kitj, и потому можно положить I'j = С учетом сделанного выбора для (псевдо)ортогональной матрицы t3t уравнения для высших порядков по г примут вид:

1 1 s=2 гДе tk,i\.in =

Лпщ, Q - биномиальный коэффициент; и круглые скобки означают симметризацию индексов.

Поскольку координаты Морса определены неоднозначно, полученная цепочка уравнений имеет множество решений. Наложив, например, дополнительное условие h,h-in-i = t(k,ii.i„-i), (В.0.4) приходим к решению, у которого коэффициенты f* . in получаются поднятием индекса у полностью симметричного тензора, стоящего в правой части уравнения (В.0.3). Например, три первых коэффициента ряда (В.0.2) даются выражениями:

U,j = Vij, hjk = £<W(0), tiJkl = ^dijkif(0) - ■^[Oilsf{0)0]kd4f{0) + cycle(i, j, k)].

B.0.5)

Если построенный по найденным производным матрицы Якоби ряд Тейлора сходится в некоторой малой окрестности критической точки функции /, то формулы (В.0.3) вместе с формулами (В.0.4) позволяют явно построить систему координат Морса. В противном случае можно лишь говорить о том, что произвольное конечное число первых производных матрицы Якоби в критической точке функции / имеют данный вид.

Можно сформулировать тривиальное обобщение леммы Морса в одномерном случае.

Лемма 2. Пусть f : IR1 —» R1 - функция класса Ск, к > 1, имеющая в точке 0 € IR1 равными нулю первые k — 1 своих производных и отличной от нуля к-ой производной. Тогда в некоторой окрестности U точки 0 существует такая система локальных координат {£} с центром в 0, что \/t 6 [/ имеет место равенство

W = /(0) + sgn(/W(0))ffc. (В.0.6)

Ясно, что если к нечетно, то знак в формуле (В.0.6) при tk всегда можно сделать положительны, совершив, при необходимости, замену t —> —t. Доказательство леммы сводится к доказательству гладкости (соответствующей степени) замены т - t = ySgn(/W(0))[/(r)-/(0)], (В.0.7) т.е., фактически, к доказательству существования первых к производных от t по г в пределе т —> 0, поскольку в остальных точках гладкость очевидна. Существование таких пределов можно доказать, например, используя непрерывность функции корня и правило Лопиталя. В разделе §2.1.2 мы будем использовать эту лемму для случая к = 4.

С Асимптотическое разложение основного интеграла

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казинский, Пётр Олегович, 2007 год

1. Lorentz Н.А. Theory of electrons. Leipzig: B.G. Teubner, 1909; Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. - М.: Гостех-теориздат, 1956. - 471с.

2. Dirac Р.А.М. Classical theory of radiating electrons//Proc. Roy. Soc. London A. 1938. - v. 167. - p. 148.

3. DeWitt B.S., Brehme RAV. Radiation damping in a gravitational field//Ann. Phys. -1960. v. 9. - p. 220.

4. Hobbs J.M. A vierbein formalism of radiation damping//Ann. Phys. 1968. - v. 47. -p. 141.

5. Rowe P.E.G., Ilo\ve G.T. The classical equations of motion for a spinning particle with charge and magnetic moment//Phys. Rep. 1987. - v. 149. - p. 287.

6. Barut A.O., Unal N. Generalization of the Lorentz-Dirac equation to include spin//Phys. Rev. A. 1989. - v. 40. - p. 5404.

7. Mino Y., Sasaki M., Tanaka T. Gravitational radiation reaction to a particle mo-tion//Phys. Rev. D. 1997. - v. 55. - p. 3457. gr-qc/9606018.

8. Quinn T.C., Wald R.M. Axiomatic approach to electromagnetic and gravitational radiation reaction of particles in curved spacetime//Phys. Rev. D. 1997. - v. 56. - p. 3381. gr-qc/9610053.

9. Detweiler S., Whiting B.F. Self-force via a Green's function decomposition//Phys. Rev. D. 2003. - v. 67. - p. 024025. gr-qc/0202086.

10. Poisson E. The motion of point particles in curved spacetiine//Living Rev. Relativity. -2004. v. 7. gr-qc/0306052.

11. Косяков Б.П. Точные решения в классической электродинамике и теории Янга-Миллса-Вонга в пространстве-времени четного числа измерений//ТМФ. 1999. -т. 119. - с. 119. hep-th/0207217.

12. Rohrlich F. Classical theory of magnetic monopoles//Phys. Rev. 1966. - v. 150. - p. 1104.

13. Chen P., Hartemann F.V., van Meter J.R., Kerman A.K. Radiative corrections in symmetrized classical eIectrodynamics//Phys. Rev. E. 2000. - v. 62. - p. 8640.

14. Barut A.O., Pavsic M. Dirac's shell model of the electron and the general theory of moving relativistic charged membranes//Phys. Lett. B. 1993. - v. 306. - p. 49.

15. Barut A.O., Pavsic M. Radiation reaction and the electromagnetic energy-momentum of moving relativistic charged membranes//Phys. Lett. B. 1994. - v. 331. - p. 45.

16. Carter В. Electromagnetic self interaction in strings//Phys. Lett. B. 1997. - v. 404. -p. 246. hep-th/9704210.17. van Holten JAV. Stability and mass of point particles//Nucl. Pliys. B. 1998. - v. 529.- p. 525. hep-th/9709141.

17. Buonanno A., Damour T. Effective action and tension renormalization for cosmic and fundamental strings//Pliys. Lett. B. 1998. - v. 432. - p. 51. hep-th/9803025.

18. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Regularization of the linearized gravitational self-force for branes//Phys. Rev. Lett. 2004. - v. 92. - p. 201305. hep-th/0312198.

19. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Linearized self-forces for branes//Phys. Rev. D. -2005. v. 71. - p. 104026. hep-th/0412053.

20. Hindmarsh M.B., T.W.B. Kibble T.W.B. Cosmis strings//Rept. Prog. Phys. 1995. -v. 58. - p. 477. hep-ph/9411342.

21. Da Rios L.S. Sul moto d'un liquido indelinito con un filetto vorticoso//Rend. Circ. Mat. Palermo. 1906. - v. 22. - p. 117.

22. Betchov R. On the curvature and torsion of an isolated vortex filament//J. Fluid. Mech.- 1965. v. 22. - p. 471.

23. Hasimoto H. A soliton on a vortex filament//J. Fluid. Mech. 1972. - v. 51. - p. 477.

24. Kleinert H. Gauge fields in condensed matter, v. 1. Superflow and vortex lines. -Singapore: World Scientific, 1989. 742 p.

25. Ricca R.L. Intrinsic equations for the kincmatics of a classical vortex string in higher dimensions//Phys. Rev. A. 1991. - v. 43. - p. 4281.

26. Isichenko M.B., Uby L., Yankov V.V. Vortex filament dynamics in plasmas and super-conductors//Phys. Rev. E. 1995. - v. 52. - p. 932; ibid. - 1996. - v. 53. - p. 4246 (erratum).

27. Schief W.K., Rogers C. The Da Rios system under a geometric constraint: The Gilbarg problem//J. Geoin. Phys. 2005. - v. 54. - p. 286.

28. Ori A., Rosenthal E. Universal self-force from an extended object approach//Phys. Rev. D.- 2003. v. 68. - p. 041701 (R).

29. Ori A., Rosenthal E. Calculation of the self force using the extended object approach//J. Math. Phys. 2004. - v. 45. - p. 2347. gr-qc/0309102.

30. Harte A.I. Self-forccs on extended bodies in electrodynamics//Phys. Rev. D. 2006. -v. 73. - p. 065006. gr-qc/0508123.

31. Sanchez J.M., Poisson E. Extended-body approach to the electromagnetic self-force in curved spacetime//gr-qc/0512111.

32. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в теории протяженных релятивистских объектов//Новейшие проблемы теории поля/Под ред. А.В. Аминовой. Казань, 2004. - т. 4. - с. 117.

33. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в классической теории поля с сингулярными источннками//ТМФ. 2005. - т. 143. - с. 375.

34. Kazinski P.O., Lyakhovich S.L., Sharapov А.А. Radiation reaction and renormalization in classical electrodynamics of a point particle in any dimension//Phys. Rev. D. 2002. - v. 66. - p. 025017. hep-th/0201046.

35. Kazinski P.O., Sharapov A.A. Radiation reaction for a massless charged particle//Class. Quant. Grav. 2003. - v. 20. - p. 2715. hep-th/0212286.

36. Казинский П.О. Эффективная динамика электрически заряженной струны с то-ком//ЖЭТФ. 2005. - т. 128. - с. 312. hep-th/0507237.

37. Kazinski P.O. Radiation reaction for multipole moments//hep-th/0604168.

38. London F., London H. The electromagnetic equations of the supraconductor//Proc. Roy. Soc. London A. 1935. - v. 149. - p. 71.

39. Balachandran A.P., Skagerstam B.S., Stern A. Gauge theory of extended objects//Phys. Rev. D. 1979. - v. 20. - p. 439.

40. Skagerstam B.S., Stern A. Magnetic superconductors and the MIT bag model//Z. Physik C. 1980. - v. 5. - p. 347.

41. Skagerstam B.S., Stern A. Superconducting extended objects and applications to the phase structure of quantum chromodynamics//Phys. Rev. D. 1982. - v. 25. - p. 1681.

42. Foldy L.L. The electromagnetic properties of Dirac particles//Phys. Rev. 1952. - v. 87. - p. 688.

43. Foldy L.L. The electron-neutron interaction//Phys. Rev. 1952. - v. 87. - p. 693.

44. Foldy L.L. Neutron-electron interaction//Rev. Mod. Phys. 1958. - v. 30. - p. 471.

45. Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotierenden Elektrons//Z. Physik. 1926. - v. 37. -p. 243.

46. Bhabha H.J., Corben H.C. General classical theory of spinning particles in a Maxwell field//Proc. Roy. Soc. London A. 1941. - v. 178. - p. 273.

47. Bargmann V., Michel L., Telegdi V.L. Precession of the polarization of particles moving in a homogeneous electromagnetic field//Phys. Rev. Lett. 1959. - v. 2. - p. 435.

48. Good R.H. Jr. Classical equations of motion for a polarized particle in an electromagnetic field//Phys. Rev. 1962. - v. 125. - p. 2112.

49. Wong S.K. Field and particle equations for the classical Yang-Mills field and particles with isotropic spin//Nuovo Cimento. 1970. - v. 65. - p. 689.

50. Halbwaches F. Lagrangian formalism for a classical relativistic particle endowed with internal structure//Prog. Theor. Phys. 1960. - v. 24. - p. 291.

51. Fradkin D.M., Good R.H. Jr. Electron polarization operators//Rev. Mod. Phys. 1961.- v. 33. p. 343.

52. Bagrov V.G., Bordovitsyn V.A. Classical spin tlieory//Russ. Phys. J. 1980. - v. 23. -p. 128.

53. Бабурова О.В., Багров В.Г., Вшивцев А.С. Фролов Б.Н. Движение цветной частицы со спином в неабелевых калибровочных полях в пространстве Римана-Картана//Препринт Л'аЗЗ томского филиала СО АН СССР, 1988.

54. Babourova O.V., Frolov B.N., Myasnikov V.P., Vshivtsev A.S. Spin particle with a color charge in a color field in Riemann-Cartan space//Phys. Atom. Nucl. 1998. - v. 61. -p. 2175. hep-th/0407153.

55. Stenholm S. The semiclassical theory of laser cooling//Rev. Mod. Phys. 1986. - v. 58. - p. 699.

56. Wilkens M. Quantum phase of a moving dipole//Phys. Rev. Lett. 1994. - v. 72. - p. 5.

57. Spavieri G. Quantum effect for an electric dipole//Phys. Rev. A. 1999. - v. 59. - p. 3194.

58. Anandan J. Classical and quantum interaction of the dipole//Phys. Rev. Lett. 2000.- v. 85. p. 1354.

59. Bordovitsyn V.A., Byzov N.N., Razina G.K., Epp V.Ya Radiation of a relativistic magneton. I//Russ. Phys. J. 1978. - v. 21. - p. 557.

60. Bordovitsyn V.A., Byzov N.N., Razina G.K. Radiation of a relativistic magneton. II//Russ. Phys. J. 1980. - v. 23. - p. 454.

61. Bordovitsyn V.A., Byzov N.N., Razina G.K. Radiation of a relativistic magneton. III//Russ. Phys. J. 1980. - v. 23. - p. 861.

62. Teitelboim C. Splitting of the Maxwell tensor: Radiation reaction without advanced fields//Phys. Rev. D. 1970. - v. 1. - p. 1572.

63. Teitelboim C. Splitting of the Maxwell tensor. II. Sources//Phys. Rev. D. 1971. - v. 3. - p. 297.

64. Курант P. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. - 830 с.

65. ДеВитт B.C. Динамическая теория групп и полей. М.: Наука, 1987. - 288 с.

66. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физ-матлит, 1959. - 470 с.

67. Giirses М., Sarioglu О. Lienard-Wiechert potentials in even dimensions//J. Math. Phys.- 2003. v. 44. - p. 4672. hep-th/0303078.

68. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир, 1970. - 224 с.

69. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1961. - 463 с.73. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Иностранная литература, 1956.- 248 с.

70. Lechner К., Marchctti P.A. Dirac branes, characteristic currents and anomaly cancellations in 5-branes//Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.). 2001. - v. 102 к 103. - p. 94. hep-th/0103161.

71. Polyakov A.M. Fine structure of strings//Nucl. Phys. B. 1986. - v. 268 - p. 406.

72. Kleinert H. The membrane properties of condensing strings//Phys. Lett. B. 1986. - v. 174. - p. 335.

73. Curtright T.L., Ghandour G.I., Zaclios C.K. Classical dynamics of strings with rigid-ity//Phys. Rev. D. 1986. - v. 34 - p. 3811.

74. Lindstrom U., Rocek M., van Nienwenhuizen P. A Weyl-invariant rigid string//Phys. Lett. B. 1987. - v. 199. - p. 219.

75. Maeda K., Turok N. Finite-width corrections to the Nambu action for the Nielsen-Olcsen string//Phys. Lett. B. 1988. - v. 202. - p. 376.

76. Itoi Ch., Kubota H. BRST quantization of the string model with extrinsic curva-ture//Phys. Lett. B. 1988. - v. 202. - p. 381.

77. Gregory R. Effective action for a cosmic string//Phys. Lett. B. 1988. - v. 206. - p. 199.

78. Barr S.M., Hocliberg D. Fine structure of local and axion strings//Phys. Rev. D. 1989. - v. 39 - p. 2308.

79. Кетов C.B. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 368 с.

80. Chervyakov A.M., Nesterenko V.V. Is it possible to assign physical meaning to field theory with higher derivatives?//Phys. Rev. D. 1993. - v. 48. - p. 5811. hep-th/9305175.

81. Polyakov A.M. Fermi-Bose transmutations induced by gauge ficlds//Mod. Phys. Lett. A. 1988. - v. 3. - p. 325.

82. Plyuschay M.S. Canonical quantization and mass spectrum of relativistic particle analogue of relativistic string with rigidity//Mod. Phys. Lett. A. 1988. - v. 3. - p. 1299.

83. Pavsic M. Classical motion of membranes, strings and point particles with extrinsic cur-vature//Phys. Lett. B. 1988. - v. 205. - p. 231.

84. Grundberg J., Isberg J., Lindstrom U., Nordstrom H. On smooth spinning particles and strings//Phys. Lett. B. 1989. - v. 231. - p. Gl.

85. Grundberg J., Isberg J., Lindstrom U., Nordstrom H. Canonical quantization of a rigid particle//Mod. Phys. Lett. A. 1990. - v. 5. - p. 2491.

86. Plyuschay M.S. The model of the relativistic particle with torsion//Nucl. Phys. B. -1991. v. 362. - p. 54.

87. Plyuschay M.S. Does the quantization of a particle with curvature lead to the Dirac equation//Phys. Lett. B. 1991. - v. 253. - p. 50.

88. Kuznetsov Yu. A., Plyuschay M.S. The model of the relativistic particle with curvature and torsion//Nucl. Phys. B. 1993. - v. 389. - p. 181.

89. Nesterenko V.V., Feoli A., Scarpetta G. Complete integrability for Lagrangians dependent on acceleration in a spacetime of constant curvature//Class. Quant. Grav. 1996. -v.13. - p. 1201. hep-th/9505064.

90. Нерсесян А.П. Лагранжева модель безмассовой частицы на пространственноподоб-ных кривых//ТМФ. 2001. - v. 126. - р. 179.

91. Gal'tsov D. V. Radiation reaction in various dimensions//Phys. Rev. D. 2002. - v. 66. -p. 025016. hep-th/0112110.

92. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Физматлит, 1979. - 760 с.

93. Yaremko Yu. Radiation reaction, rcnormalization and Poincare symmetry//SIGMA. -2005. v. 1. - p. 012. math-ph/0511075.

94. Isberg J., Lindstrom U., Sundborg В., Theodoridis G. Classical and quantized tensionless strings//Nucl. Phys. B. 1994. - v. 411. - p. 122. hep-th/9307108.

95. London F. Superfluids. v.l. New York: Jonh Wiley k. Sons, 1950.

96. Ketterson J.В., Song S.N. Superconductivity. Cambrige: Cambrige University Press, 1999. - 512 p.

97. Witten E. Superconducting strings//Nucl. Pliys. B. 1985. - v. 249. - p. 557.

98. Carter B. Intcgrable equation of state for noisy cosmic strings//Phys. Rev. D. 1990. -v. 41. - p. 3869.

99. Bento M.C., Bertolami O., Sen A.A. Generalized Chaplygin gas, accelerated expansion, and dark-energy-matter unification//Phys. Rev. D. 2002. - v. 66. - p. 043507. - p. 3869.

100. Fujita Sli., Godoy S. Theory of High Temperature Superconductivity. Netherlands: Springer, 2002. - 388 c.

101. Onsager L. Magnetic flux through a superconducting ring//Phys. Rev. Lett. 1961. -v. 7. - p. 50.

102. Bardeen J. Quantization of flux in a superconducting cylinder//Phys. Rev. Lett. -1961. v. 7. - p. 162.

103. Lipkin H.J., Peshkin M., Tassie L.J. Flux quantization and the current-carrying state in a superconducting cylinder//Phys. Rev. 1962. - v. 126. - p. 116.

104. Deaver B.S. Jr., Fairbank W.H. Experimental evidence for quantized flux in superconducting cycIinders//Phys. Rev. Lett. 1961. - v. 7. - p. 43.

105. Ehrenberg W., Siday R.E. The refractive index in electron optics and the principles of dynamics//Proc. Phys. Soc. B. 1949. - v. 62. - p. 8.

106. Aharonov Y., Bolim D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum the-ory//Phys. Rev. 1959. - v. 115. - p. 485.

107. Aharonov Y., Bohm D. Further considerations on electromagnetic potentials in the quantum theory//Phys. Rev. 1961. - v. 123. - p. 1511.

108. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. - 400 с.

109. Багров В.Г., Бисноватый-Когаи Г.С., Бордовицын В.А., Борисов А.В., Дорофеев О.Ф., Жуковский Б.Ч., Пивоваров Ю.Л., Шорохов О.В., Эпп В.Я. Теория излучения релятивистских частиц. М.: Физматлит, 2002. - 576 с.

110. Меркли Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. - 240 с.

111. Jackiw R., Polychronakos А.Р. Fluid dynamical profiles and constants of motion from rf-branes//Commun. Math. Phys. 1999. - v. 207. - p. 107. hep-th/9902024.

112. Jackiw R., Nair V.P., Pi S.-Y., Polychronakos A.P. Perfect fluid theory and its exten-sions//J. Phys. A. 2004. - v. 37. - p. R327. hep-ph/0407101.

113. Vilenkin A. Effect of small-scale structure on the dynamics of cosmic strings//Phys. Rev. D. 1990. - v. 41. - p. 3038.

114. Сухомлин Н.Б., Шаповалов B.H. Теория разделения переменных в уравнениях математической физнки//Изв. вузов. Физика. 1995. - т. 38. - с. 128.

115. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. - 736 с.

116. Silenko A. Ya. Quantum-mechanical expressions for the current electric dipole and quadrupole moments and the current electrostatic contact interaction//Russ. Phys. J. -1995. v. 38. - p. 385.

117. Isgur N. Interpreting the neutron's electric form factor: Rest frame charge distribution or Foldy term?//Phys. Rev. Lett. 1999. - v. 83. - p. 272. hep-ph/9812243.

118. Leimvcber D.B., Thomas A.W., Young R.D. Cliiral symmetry and the intrinsic structure of the nuclcon//Phys. Rev. Lett. 2001. - v. 86. - p. 5011. hep-ph/0101211.

119. Kelly J.J. Nuclcon charge and magnetization densities from Sachs form factors//Phys. Rev. C. 2002. - v. 66. - p. 065203. hep-ph/0204239.

120. Il'icheva T.P., Maksimenko N.V., Shul'ga S.G. On the neutron-charge radius in a quark model//Russ. Phys. J. 2005. - v. 48. - p. 1210.

121. Carroll S.M. Lecture notes on general relativity//gr-qc/9712019.

122. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.; Физматлит, 2001. - 536 с.

123. Wilson K.G. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo prob-lem//Rev. Mod. Phys. 1975. - v. 47. - p. 773.

124. Ma Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. - 297 с.

125. Фрадкин Е.С. К вопросу о реакции собственного поля заряженной части-цы//ЖЭТФ. 1950. - т. 20. - с. 211.

126. Bailey I., Israel W. Lagrangian dynamics of spinning particles and polarized media in general relativity//Cominun. Math. Phys. 1975. - v. 42. - p. 65.

127. Tauber G.E. Canonical formalism and equations of motion for a spinning particle in general relativity//Int. J. Theor. Phys. 1988. - v. 27. - p. 335.

128. Barut A.O. Electrodynamics and classical theory of fields and particles. New York: Dover publications, 19C4. - 235 p.

129. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S., Zhukova I.N. Radiation of relativistic dipoles. I//Russ. Phys. J. 1993. - v. 36. - p. 148.

130. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S., Zhukova I.N. Radiation by relativistic dipoles. II//Russ. Phys. J. 1993. - v. 36. - p. 247.

131. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S. Radiation by relativistic dipoles. III//Russ. Phys. J.- 1994. v. 37. - p. 49.

132. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S. Radiation by relativistic dipoles. IV//Russ. Phys. J.- 1995. v. 38. - p. 155.

133. Bordovitsyn V.A., Gushchina V.S. Radiation by relativistic dipoles. V//Russ. Phys. J.- 1995. v. 38. - p. 293.

134. Bohm D., Weinstein M. The self-oscillations of a charged particle//Phys. Rev. 1948.- v. 74. p. 1789.

135. Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in hydrodynamics. New York: Springer, 1998. - 374 p.

136. Taub A.H. General relativistic variational principle for perfect fluids//Phys. Rev. 1954.- v. 94. p. 1468.

137. Schutz B.F. Jr. Perfect fluids in general relativity: Velocity potentials and a variational principle//Phys. Rev. D. 1970. - v. 2. - p. 2762.

138. Brown D. Action functional for relativistic perfect fluids//Class. Quant. Grav. 1993.- v. 10. p. 1579. gr-qc/9304026.

139. Haji'cek P., Kijowski J. Lagrangian and hainiltonian formalism for discontinuous fluid and gravitational field//Phys. Rev. D. 1998. - v. 57. - p. 914.; ibid. - 2000. - v. 61. - p. 129901(E) (erratum), gr-qc/9707020.

140. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений; -М.: Физматлит, 1962. 1100 с.

141. Владимиров B.C. Обощенные функции в математической физике. М.: Физматлит, 1976. - 280 с.