Краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Панков Владимир Владимирович

• Панков Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Панков Владимир Владимирович

Введение

Глава 1 Априорные оценки решений краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка

Глава 2 Существование и единственность решения краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка

Глава 3 Априорные оценки решений краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка, имеющей противоположный знак

Глава 4 Существование и единственность решения краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка, имеющей противоположный знак

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению одного класса краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, который можно отнести к так называемым «неклассическим» задачам математической физики, т.е. к задачам, которые нельзя однозначно классифицировать как задачи эллиптического, параболического или гиперболического типа.

Актуальность исследований краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений обусловлена возможностью использовать их при моделировании различных стационарных процессов с вырождением - процессов, в которых граница области, где процесс происходит, значительно влияет на то, что происходит вблизи нее, что влечёт изменение как типа уравнения, так и его порядка на границе области.

Физические процессы, которые можно отнести к классу процессов с вырождением:

1. Стационарные процессы конвекции-диффузии в неоднородной анизотропной среде (для соответствующих уравнений характерно стремление коэффициента диффузии к нулю при приближении к границе).

2. Процесс фильтрации идеальных баротропных газов в неоднородных анизотропных пористых средах (см. [18]).

3. Процесс фильтрации двухфазной жидкости (см. [48], [25]), например, процесс вытеснения нефти водой из пористых сред [48].

4. Процесс распространения примесей в жидкокристаллических растворах, находящихся во внешнем электрическом поле (см. [45]).

Помимо вышеперечисленного, вырождающимися эллиптическими уравнениями являются уравнения, возникающие при расчетах линейного стационарного магнитного осесимметричного поля в неоднородной анизотропной среде (см. [47]), а также обобщение сингулярно возмущенных уравнений конвекции-диффузии (см. [49]).

Ь(и) = ут + —- + а— + Ь— + си = 0, с <

Степень разработанности темы исследования. Исследования вырождающихся эллиптических уравнений имеют долгую историю становления и развития.

В работе [2] М.В. Келдыш провёл фундаментальное исследование краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с вырождением вида

д2и д2и ди , ди —^ + —^ + а— + Ь— ду дх ду дх

Уравнения задавались в области, ограниченной отрезком (0; 1) оси х и гладкой кривой Г, опирающейся на отрезок (0; 1) и расположенной в полуплоскости (у < 0). Впоследствии в работах О.А. Олейник (например, [1]) эти результаты были углублены и обобщены.

Важные результаты в теории эллиптических систем были получены А.В. Бицадзе [35]. Другие важные результаты, полученные А.В. Бицадзе и А.А. Самарским, касались эллиптических краевых задач [36], нормальной разрешимости таких задач [37].

Эллиптические уравнения с вырождением второго порядка изучались в работах С.Г. Михлина [7] и М.И. Вишика [4]. В качестве примера, М.И. Вишик рассматривал основные краевые задачи для уравнения

п д ди п ди

Ы = £ — (ал (х)--) + £ Ь (х)— + с( х)и = И( х)

1,к=1 дх1 дхк 1=1 дх1

х = (,...,хп), которое является эллиптическим в точках х с хй > 0 и

параболическим (с произвольным рангом соответствующей квадратичной формы) в точках х0 с х°п = 0, в области О, расположенной в хй > 0 и имеющей часть границы Го в плоскости хй = 0. Вишик доказал теоремы о разрешимости и единственности решения этих краевых задач, установил некоторые их спектральные свойства (полуограниченность, дискретность, конечнократность спектра, функциональную структуру обратного оператора).

Помимо вышеупомянутых результатов, М.И. Вишиком и С.Г. Михлиным были впервые получены обобщенные решения краевых задач для эллиптических уравнений с вырождением второго порядка.

Метод М.И. Вишика для изучения уравнений второго порядка с вырождением послужил основой работ М.М. Смирнова [3], О.А. Олейник, Е.В. Радкевича [8]. Основополагающие результаты по исследованию асимптотических свойств решений линейных и нелинейных уравнений и систем эллиптического и параболического типа были получены в работах В.А. Кондратьева [9], [10], В.А. Кондратьева, Е.М. Ландиса [11], Ю.В. Егорова,

B.А. Кондратьева, О.А. Олейник [12]. С помощью теоремы об асимптотической эквивалентности двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений удалось достичь одного из самых значимых результатов - изучить поведение решения нелинейного параболического уравнения второго порядка, удовлетворяющего краевым условиям Неймана на границе ограниченной липшицевой области, при t ^

Для исследования линейных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой О.А. Олейник в работе [13] применила метод «эллиптической регуляризации», который также применили Дж. Кон и Л. Ниренберг [14] при изучении эллиптико-параболических уравнений второго порядка. В работах [15], [16] В.П. Глушко установил коэрцитивную разрешимость общих краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка с вырождением в специальных весовых пространствах типа пространств

C.Л. Соболева.

Некоторые классы вырождающихся эллиптических уравнений допускают решение вариационными методами. Некоторые из таких классов изучались И.А. Киприяновым [31], им же исследовались вырождающиеся эллиптические операторы, в том числе высшего порядка с «сильным» вырождением [32], и приложения известного неравенства Гординга для таких операторов к анализу вырождающихся эллиптических уравнений ([33, 34]).

Много научных работ посвящены задачам Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений. Например, в работе [17] В.А. Рукавишников и А.Г. Ереклинцев рассматривали задачу Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области, а случай несогласованного вырождения исходных данных изучался В.А. Рукавишниковым в работе [19]. Другим примером может послужить статья [18], где С.Н. Антонцевым и С.И. Шмаревым рассматривалась задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области.

В работах А.В. Глушака исследовались разрешимость задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в секторе на плоскости [39], а также разрешимость задачи Коши для вырожденного эллиптико-параболического уравнения [38].

В работах [50] и [52] было установлено, что вырождающемуся эллиптическому уравнению соответствует вырожденное или особое оптимальное управление.

Исследования связи характера вырождения эллиптических систем с их классификацией проводились А.Я. Янушаускасом [40], им же изучались эллиптические уравнения, порядок которых вырождается [41]. В работе [42] А.Я. Янушаускасом было установлено, что для некоторых классов эллиптических уравнений сильное вырождение порядка и типа уравнения приводит к тому, что решения такого уравнения выражаются функциями, допускающими наличие существенно особых точек на многообразиях вырождения, т.е. что в окрестности этих многообразий решения обладают некоторыми чертами поведения решений параболических уравнений.

Широкий спектр работ посвящен изучению вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Так, в работе [15] В.П. Глушко показал, что общие краевые задачи для некоторых классов эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области, коэрцитивны в специальных пространствах И™, а в работе [16] им же были получены оценки решений эллиптических уравнений, вырождающихся

по границе заданной области. Стоит также отметить труды С.А. Исхокова [22], С.З. Левендорского [23], Х. Леопольда [24]. В частности, работа [22] была посвящена исследованию однозначной разрешимости одной вариационной задачи для эллиптического уравнения с «нестепенным» вырождением и зависимости гладкости ее решения от гладкости коэффициентов дифференциального оператора в правой части уравнения. «Степенное» вырождение изучалось М.И. Вишиком и В.В. Грушиным в работах [5], [6], вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка, в том числе их связь с псевдодифференциальными операторами, рассматривались в трудах А.Д. Баева ([26] - [28]).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка»

Целью работы является:

Получение априорных оценок и доказательство теорем существования и единственности решений краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных.

Задачи исследования. В настоящей диссертационной работе решались следующие задачи:

1. Получить априорные оценки решений двух классов краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных. Отличие этих классов заключается в знаке перед невырожденной производной произвольного нечетного порядка.

2. Доказать теоремы о существовании и единственности решений для этих классов краевых задач.

Научная новизна. Работа является естественным развитием трудов В.П. Глушко, А.Д. Баева и С.С. Бунеева, в которых рассматривались эллиптические уравнения высокого порядка, вырождающиеся на границе в уравнение первого ([20]) и третьего ([55]) порядков по одной из переменных соответственно. Результаты упомянутых работ были расширены до случая вырождения таких уравнений на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Применение полученных результатов позволяет исследовать более общий класс вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка и, соответственно, более широкий круг математических моделей процессов с вырождением.

Методология и методы исследования. Исследование основывалось на известных методах теории вырождающихся эллиптических уравнений, теории операторов, теории интегральных уравнений. Также в работе применялись метод продолжения по параметру, метод повышения гладкости, весовые производные, специальные весовые пространства типа пространств С.Л. Соболева, специальное интегральное преобразование ¥а, введенное в [28].

Положения, выносимые на защиту:

1. Получены априорные оценки решений одного класса краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных.

2. Доказана теорема о существовании и единственности решений для этого класса краевых задач.

3. Получены априорные оценки решений другого класса краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных. В этом классе задач невырожденная производная произвольного нечетного порядка имеет противоположный знак.

4. Доказана теорема о существовании и единственности решений для класса краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных, где невырожденная производная нечетного порядка имеет противоположный знак.

Степень достоверности результатов исследования, проведенного в настоящей работе, обусловлена корректностью доказательств математических утверждений и согласованностью с полученными ранее результатами.

Доказательства базировались на известных, надежных и хорошо изученных методах исследований вырождающихся эллиптических уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на различных научных конференциях, среди которых:

1. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014» (28 января 2014 г.) (см. [56]).

2. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXVI» - Современные методы теории краевых задач (3-9 мая 2015 г.) (см. [57]).

3. Международная конференция Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (26 января - 1 февраля 2017 г.) (см. [58]).

4. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018» (25-31 января 2018 г.) (см. [60]).

5. Международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2018» (3-8 мая 2018 г.) (см. [61]).

6. Международная конференция Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (28 января - 2 февраля 2019 г.) (см. [63]).

7. Международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2019» (3-8 мая 2019 г.) (см. [64, 65]).

8. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXXI» - Современные методы теории краевых задач (3-9 мая 2020 г.) (см. [67-70]).

Помимо этого, результаты публиковались в следующих изданиях:

1. Доклады Академии наук, т. 475, № 5, 2017 г. (см. [59]).

2. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, № 4, 2018 г. (см. [62])

3. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, № 3, 2019 г. (см. [66])

4. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, № 2, 2021 г. (см. [71])

5. Журнал «Прикладная математика & Физика» Белгородского государственного национального исследовательского университета, т. 54, № 1, 2022 г. (см. [72])

В совместно опубликованных работах А.Д. Баеву принадлежит постановка задач, в диссертацию включены результаты, полученные автором лично.

ГЛАВА 1 АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С невырожденной ПРОИЗВОДНОЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим уравнение

А ( Щ, , д,) V ( х, X ) = F ( х, X) (1.1)

заданное в полосе

М* = {(х,?):хеМпЧ, 0<?<</} (1.2)

Здесь

А(Ох,Ва г,д,) V = Ь2т (Щ,Ва г)V + Ъ(-\)кд, (1.3)

£>«,)= I агр1Г>14,аТ^ С,1т(Ч,2м) = 0, (1.4)

|г|+У<2 т

Щ = ¡Ад\ дТ:...дХ-1 (1.5)

х А- Х2 л<п—\ 4 '

Щ и (X) - так называемая весовая производная функции и (X):

1 3

Баи(X) = -0)дX(О)и(X)), д, = — (1.6)

I дХ

= 7=1,2,... (1.7)

- специальная весовая функция, которая будет определена далее, С -

множество комплексных чисел.

На границах полосы М^ задаются следующие условия - на границе Х = 0 :

— > л / Я1

В,(Щ)VI» = I = О(х\ , = и,к-- О8)

\т\<т

ЪТ].еС, G(x) = (G1(x),...,G¿_1(x)),

а на границе X = d:

V =дМ ,=... = дГ-V ,= 0 (1.9)

X и=Л X и=Й \ /

Получение априорных оценок решения этой задачи будет производиться в специальных пространствах с весом, которые задаются с помощью применения интегральных преобразований Фурье ^ и Fa.

Интегральное преобразование Fa («весовое» преобразование Фурье) было введено в работе А.Д. Баева и В.П. Глушко [28] и задается на функциях м(/)еС0°°(М+) в следующем виде:

Faiumv) = 7u(t) ■ expffyf-^l .

0 I •! a(p)) a)

В этой формуле 77 e M, ait) - «весовая» функция со свойствами:

t е Ш+, а(+0) = а(Щ = 0, a(t) > 0 при t> 0, a(t) = const при t > d, d > 0. Существует связь между преобразованием F и преобразованием Фурье

Fx^

Fa[u (t )](tf) = FT^[Ua(T)], где

dp

d

Ua (T) = 7^(0 U(t )| t=v-i{T) , T = (P(t) = "J

a(P)

Можно задать преобразование Fa 1, обратное к Fa, следующим способом:

f-ыт)=-т^= f~1t T[ wrn

at)

T=V(t)

где F ^ - обратное преобразование Фурье.

TJ^>T

Для преобразования Fa справедлив аналог равенства Парсеваля:

что позволяет расширить Ра до непрерывного преобразования из Ь2(Ж) в Ь2(Ш+), а также рассмотреть ^ на некоторых классах обобщенных функций в дополнение к функциям из £2(М+).

t

Определение 1.1.

Н 2т (1^), 5 >0, 5 еЖ - пространство функций у{х,() еХ2(К^), для

2k-1

которых конечна норма

V 2m =

II 11« ,а,-

2 к-1

' (2к-1) * ]

2 т

X р-1 Р-1 х а

1=0

1 ( 2 т

(1 + |#|2 + ||)51 *- 2к-lJ FaFx_t[д :v( X, Г)]

Здесь

(2к -1) *' 2т

— целая часть числа

(2к -1)* 2т

Если 5 е N таково, что —— е Ъ, то норма из определения 1.1 и норма

2т

V 2 т =

II II*, а,-

2 к-1

\\+1 + 2т 1 1 7 2 к-1

ВД, д[V

Ь2{Щ)

эквивалентны.

Через будем обозначать пространство С.Л. Соболева. Введем

дополнительные пространства Н 2т (М^ ),Н (м" 1), где

я,а,-,р ^ ' ^ '

2к-\

Определение 1.2.

Я .... (К*) (* > 0, р > 0 — целые числа) — пространство функций

2т

*,а,-, р

2к-1

е Ь2 (м* ), для которых конечна норма

V 2 т =

II II* ,а,-, р

2к-1

(2к-1) *

2т

X

I=0

(1 + XI)ррД

1 \ * -*тт-1 21 2к-1

(1 + 1^ +112 )

• FаFx^[дltv ( X, [ )]

(1.10)

Определение 1.3.

Н; р (м-1 ), .v, р е м, - пространство функций и (х) е £2(ми_1), для которых конечна норма

*,а

1

(1 + |x|) PF\ x [(1 + \\)'F^[u]]|

Il2(Rb4)

Сформулируем дополнительные условия:

Условие 1.1.

Для любых е М" выполняется неравенство

Re (bL2m (\,7) )> с (l + \\2 +Н2 )m, где с = const, с > 0 и не зависит от .

Условие 1.2.

Для некоторого числа s > 2m + max(m. ) функция a(t) принадлежит

i< j <k-1

C [0,d] , причем a(0) =a'(0) = 0, a(t) > 0 при t > 0.

Условие 1.3.

^ bTJ\ Ф 0, j = 1,2,...,k -1 для любых \

\z\<mj

£ .

in-1

Сформулируем 2 теоремы об априорных оценках решений задачи (1.1), (1.8), (1.9) (см., например, [71, 72]). Теорема 1.1. (см. [60, 61]).

Пусть s > max \ 2m, max

1 1<j<k-1

m. +

2m(j -1)

2k -1

+

m

2k -1

- целое число,

m > 2k -1 - целое число, и выполнены условия 1.1 - 1.3. Тогда для любого решения у(х, ¿) е Н 2т (М^) задачи (1.1), (1.8), (1.9) справедлива априорная оценка

'2k-1

v 2m < c

II lis,a,-

2k-1

И

k-1

2m + ^ B v

'2k-1 j=1

2m( j-1) m

2k-1 2k-1 J

(111)

где c = const, c > 0 и не зависит от v. Здесь ||-|L - норма в пространстве Соболева-

Слободецкого ЯДМ""1).

Теорема 1.2. (см. [62]).

Пусть s > max < 2m, max

1 \<j<k-\

r

m. +

V

2m(j -1) 2k -1

+

m

2k -1

,m > 2k -1, p > 0 - целые

числа, а также выполнены условия 1.1 - 1.3, тогда для любого решения

у{х,{) е Н 2т (Ж^ ) задачи (1.1), (1.8), (1.9) справедлива априорная оценка

-,р

2к-\

f

V 2m < С

II lis ,a,-, p

2k-1

k-1

V

lUvll 2m + XB,v|

II lls-2m,a,-, p ¿—i\\ j It=0

2k-1 j=1

2m( j-1) m

s-m,--——---, p

J 2 k-1 2k-1 У

(1.12)

где c = const, c > 0 и не зависит от v.

Для доказательства этих теорем преобразуем задачу (1.1), (1.8), (1.9) с помощью преобразования Фурье ^. Обозначим

u(£ t) = F^[v], f (£ t) = F ], g (£) = F^[G\,

тогда (1.1) преобразуется следующим образом:

L2 m (Dx, Da t) v(x, t) + b(-1)k 82 k-1v(x, t) = F (x, t) | Fx^

F^[ L2 m ( Dx, Dat t) V( x, t)] + b(-1)*F^[8,2k-1v( x, t)] = Fx^[ F (x, t)] X atjFx^[DTxDJa,tV(x,t)] + b(-1)k8lk-1Fx^[v(x,t)] = f(£t)

|||+j <2m

X aT]?DJ^[v(x,t)] + b(-1)k8^4^t) = f(£t)

|x|+j<2m

X aJxDitu({,t) + b(-1)k8lk-1u({,t) = f(Z,t), где ? = ^^Х2-^1

X|+j<2m

Bj (Dx )v будет преобразована следующим образом:

F^EBj(Dx)v^ = F^,[Gj(x)] = gj(x), j = 1,...,k -1

X VW D8', v],=o = X bJx V « (£, t )|,=o = gj (Я

| xl<mj I xl<mj

(1.9) превратится в

u , = 8t u ,=.

It=d t It=d

.. = 8m-1 u = 0

t It=d

Если ввести обозначения:

4* (I, ^) = ^ , в ] |) = £ ¿Ц,

||+]<2т

исходная задача (1.1), (1.8), (1.9) приобретает вид

4т (I )и(|, г) + К(-1/ д2 k-1и (|,г) = / (|, г),

в¡(И и (|,г )| г=0 = = 1,..., £ -1,

и , = д и , = •

1г=^ г \г=й

= дт-1 и = о

г \г=й

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Далее будет исследоваться именно задача (1.13) - (1.15). Теорема 1.1 вытекает из теоремы 1.3, которая является аналогом теоремы 1.1 для задачи (1.13) - (1.15).

Дополнительно введем еще одно пространство. Определение 1.4.

> 0,5 е Z - пространство функций и (?), для которых конечна

следующая норма, зависящая от параметра £ £ И" 1:

и 2т |

I 11«, а,-,

2 k-1 1

I

2т

k+-1 <«

2 k-1

К

-1

(1+п2)1 Ч[д> ]

12 {о-4)

Теорема 1.3.

Пусть « > тах \ 2т, тах

1 1<1^-1

г

т. +

2т(]~ 1)"

У

V

+

т

2k -1

- целое число, т > 2k -1 -

£ .

)Л-1

и выполнены

2k -1 у

целое число. Пусть 0;й?) для любых £

условия 1.1 - 1.3, тогда для любого решения иг) задачи (1.13) - (1.15), принадлежащего при всех ^£МЙ_1 пространству Н{0;г/), справедлива априорная оценка

II ||2 /

\\Щ 2т |г| < С

I 11«,а,-,||

2k-1м

2

«-2т, а

^ +1-: (1)

2k-1м 1=1 У '

2 т т

«-т,--1--

■' 2k-1 2k-1

(116)

с константой с > 0 , не зависящей от £ е М" 1 ,u,f,g.

Для доказательства теоремы 1.3 потребуются несколько вспомогательных понятий и утверждений, в частности, интегральное преобразование Fa, свойства

весовых производных и несколько лемм.

Преобразование F и весовые производные обладают несколькими полезными свойствами.

Свойство 1.

+Х,

Vu(t), w(t) е L2(0,d): J Fa[u](r)Fa[w](r) dr = 2n(u, w),

(u, w) - скалярное произведение в L2 (0, d).

Свойство 2.

Если u(t) е Cs [0, d] и имеют место равенства

u(d) = 81 u(d) =... = 8s~lu(d) = 0, (1.17)

то выполняются:

FJ DJu ](,) = , Fa[u ](,), j = 0,..., s

Свойство 3.

Если u(t) eCs[0,d], w(t) е Cs[0,d] и для них выполняются (1.17), то

справедливо равенство:

1 _ 1

(DJ u(t), w(t)) = — J ,Fj[u](,)Fa[w](r^r = — (ilJFj[u](v\Fj[w](,))

Отметим, что C™ (0, d) плотно в H 2m .

s,a,-

2 k-1

В качестве примера весовой функции a(t), удовлетворяющей всем необходимым условиям (включая свойство 2), можно привести функцию a0 (t), которая строится с использованием известной функции «шапочка» и леммы 1 § 5 из [30].

Функция «шапочка» имеет вид

we(x ) =

' s2 Л

cs exp

0, Ixl >s

2 I |2 v * - N J

, x < s

Здесь сЕ выбирается так, чтобы |^ (х)dx = 1, т.е. сееп | exp(-1/ (1 2))= 1. Лемма 1 § 5 из [30] звучит так:

для любой области С с М" и любого числа е > 0 существует функция обладающая свойствами:

0 х) < 1, Т]( х ) = 1 при х е Ое, ?]( х ) = 0

при х £ 03е .

В доказательстве этой леммы указывается, что искомая функция получается в результате применения операции свертки к функциям х( х) и м?е( х), где функция

х( х) - характеристическая функция множества 02е. Таким образом,

ч(х ) = |х( У) ™е(х - У) ^.

Искомую весовую функцию а0 (г) определим с помощью этой леммы -

примем G = ( d, +да), s = d, тогда

a0(t) =

jj(t), t e[0, d] 1, t > d ''

где ?](г) = |х(У)^з (х - У)dy, х(х) - характеристическая функция множества а0 (г) удовлетворяет всем необходимым условиям:

(d 5, —,—d

V 3 3

2

aQ (t) = 0 при t ^ 0 +, aQ (t) возрастает от 0 до 1 при изменении t от 0 до — d ,

a0 (t) = 1 (const) при t > d, a0 (t) - бесконечно дифференцируемая функция.

В теории банаховых пространств известно неравенство Эрлинга-Ниренберга [44], которое в простейшем случае имеет вид

<

<

8 su

<s

l-s

8 lu

+ sl s||u|| + cs lull

(119)

0 < ^ < I, £> 0, Ц-Ц - норма в пространстве (I), I - произвольный интервал вещественной оси. Если I = ( 0, +да) или I = (-», +ю), то слагаемое £/-х||и|| может быть отброшено.

В работе возникает необходимость в неравенствах, подобных неравенствам Эрлинга-Ниренберга, связывающих весовые производные. Сформулируем их в виде леммы, аналогичной лемме 1.1 из [55]. Отличие от леммы 1.1 из [55] заключается в требовании принадлежности функции и (I) другому пространству.

Лемма 1.1. (см. [62]).

Пусть и(?) е С™(0,й), тогда для любого е> 0, у = 0,...,^ -1 справедливо неравенство

dJ , u

2 < s2(s-j)

dIm

+ (cs"2 j +s2 (j ))| Mil2

(1.20)

c = const > 0

Здесь и в дальнейшем через Ц-Ц обозначается норма в пространстве Ь2 (0; d).

Сформулируем важное следствие из леммы 1.1, аналогичное следствию 1. 1 из [55]. Отличие от следствия 1.1 из [55] заключается в требовании принадлежности функции u (t) другому весовому пространству.

Следствие 1.1. (см. [62]).

Пусть u (t) е Hsj,^ (0; d), тогда Vs> 0, j = 0,1,...,2m -1, %

> n—1

справедливо неравенство

,a\2m~j

(l + |%|2 )

Djt

2 < s2(2m-j)

D>

+ c

(s)(12 fl

Hull

(1.21)

c(s) = c(s 2j + s2{2m j)), c = const > 0 и не зависит от u, %. В общем случае неравенство имеет вид:

(1+1%2 гj

Dj <s

2( s-j )

Dsat

+ c

(s)(1 + %2 )s

2

u , j = 0,1,...,s -1.

c(s) = c(s 2j + s2(s j)), c = const > 0

Доказательство.

е 2

По лемме 1.1 выполняется неравенство (1.20). Возьмем е2 = —« = 2т .

1+11'

Подставим выражение для е2 и значение « в (1.20):

' \ 2 т-] С

паи

<

V1 + 11 у

2т

Вали

+

-

+

1+11J и+11

\( 2т-])\

и

(2\ 2т-]

1 + || ) , получим:

(1+112 г

<е1

2(2т-])

Т~\2 т Ва,и

+

/ 9 \ 2т

се1-2] (1 + ||2)

2(2т- )

и

(1.22)

Рассмотрим выражение в скобках из правой части неравенства:

с

с е1-2] (1 + ||2 )2 т +е

2(2т-])

(1 + 112 )2 т

се~2' +е

2(2 т-])

(1 + 112)

< (1 +1#|2)2™ (се;21 + е,212™"-0) < р = тах{с,1}| < Подставим полученный результат в (1.22):

<

(1+112 )2

В] и

2(2 т-])

вати

+ с[еГ2] +82{2т-])

)(1+|2 )2т|

и

Число £ произвольно, поэтому при замене £1 на £, с на с получим:

V 2т-] ■ 9 _ __ _ 9 / _ _ _ ..о\ 2т

(1+12)

В] и

< е

2(2т-])

В2а>

+ с (е"2] + е2(2т-])

)(1+112)'

и

что и требовалось доказать. Следствие 1.1 доказано. Лемма 1.2. (см. [62]).

Пусть выполнены условия 1.1 и 1.2, т > 2k -1, k > 2, тогда для любой функции и(г) е Н 2т,а,^2т (0; d) справедлива оценка

I (1+1 Г

1=0

ва^ и

< с (II А(1 Ваг г, дг ) и ( г )||

+

2

2

+(l + 42 У (Х^- 7 Re (d2k-2- Ju (0 )öju (0))-1 öf -1u (0 )[

V J=0

1

\\

/у

(1.23)

с константой с > 0, не зависящей от 4, и. Доказательство.

Для начала заметим, что С2т [0; й] плотно в Н2т,а,^ (0; й), поэтому

неравенство (1.23) достаточно доказать для функций из С2т [0; й].

Умножив скалярно в Ьг (0,й) обе части уравнения (1.13) на функцию Ьи(,), получим:

(Л(4, Ба,,, а ,) и, Ьи) = (4„ (4, Ба,, )и, Ьи) + Ь(-1)к (а 2к-1и, Ьи) = (/, Ьи) Возьмем вещественные части левой и правой части этого равенства: Яе ( Л (4, , д,) и, Ьи ) = Яе (4„ (4, )и, Ьи ) + +(-1)' Яе ( Ь(д2 к-1и, Ьи)) = Яе (/, Ьи )

При этом в пространстве (0, й):

(1.24)

GM, М

\\L2(0,d) 'II \\L2(0,d)

yj(u,u), т.е. (u,u) =

u

следовательно, мнимые части можно не рассматривать.

Применим условие 1.1 и свойства весового преобразования Фурье к скалярному произведению (Ь2гп(4, Ба {)и, Ьи). Сначала применим свойство 1:

(4 т (4, Б,, )и, Ьи) = ±- ( ^ [Ь'т (4, Б,, )и](л), ЬК Шл)) (1.25)

Здесь:

F [¿2m (4, ^,t >](Я) = F

Применим свойство 2:

X j J(i)

г|+J<2 m

(я) = X [DJш

||+j<2 m

X a^FJDJ,tu(t)](я) = X ^Я^Мя) = Fa[u](я) X =

||+J<2m ||+J<2m ||+J<2 m

= F> ](Я) ¿2 m (4, Я)

Подставим полученное выражение для Fa[ L2m(4, Dat )u ](я) в (1.25), получим:

2

¿Т ( Ка[£т (I, Ваг )и ](?), **>](?) ) = ^(¿2т Л *>](?), **>](?)) = = ^^ ^т!,?)Ка[и](^)ЬКО[«^^ = К |_+ГАтО?,?)!К>](л)|^ =

= К £( Яе ¿2 т |,л) + * 1т ¿2 т |,л) )| К,[и](^)| =

Ь £ Яе ¿2 т |,Л)| Ка[и ](^)|2 dV + -К-£ 1т ¿2т |,Л)| КЖл)2

Отсюда по условию 1.1 получаем:

Яе(¿2т(I,Ваг)и,Ки) = КГГ¿2т(|,л)|К,[и](л)|^л >

> сК^ (1 + 12 +^2)тКа[и](^)Г dл

По формуле бинома Ньютона:

(1 +1|2 + л2)т = у(|) = 1 +1|2 = (у(|) + л2)т =

= 1 сту(|)т-У] >

1=0

сЬ

а > 1

\т-]

тт

>1у!)т-^2 =1(1 + ||2) л

1=0

2]

1=0

Обозначим с = —, тогда воспользуемся оценкой (1.27) в (1.26): 2 к

к^ь^^им) > Г 12] \FMmUv=

°° 7=0

1=0 1=0 По свойствам весового преобразования Фурье:

(1.26)

(1.27)

ЗД1+И2Г КмМГ=¿д*+кГ)

7=0 7=0

=¿1(1+Г (^л в^мшрж^т)=2^1(1+||2Р {в^в^и)

7=0

Обозначим ^ = 2я"с, тогда получим:

т , .

Яе( ¿2т (|, Ва,г )и, Ки) > с 1(1 + |)

1=0

\т-1

а

(1.28)

1=0

ч2к-1

Перейдем к рассмотрению слагаемого (-1) Ке(Ь(д; и,Ьи)) в (1.24). Будем

его исследовать с помощью метода интегрирования по частям.

й й й

Ь(д2к-1и, Ьи) = Ь|д2к-1и(, )Ьи (, у = ЬЬ |д?к-1и(, )и(, = |Ь|2 |д,2к-1и (, )и(, (1.29)

2

0 0 0 Рассмотрим отдельно интеграл в правой части равенства.

с1

Гд2к-1и(,)иДО, = и и(,) = д2к-2и(,)и(,)а - Г д2к-2и(,)ди(,у (1.30)

1 д2к-1и(,)й, = Уу 0 *

у й

0 0

По условию теоремы 1.3 т > 2к -1, поэтому

д2к-2-1и(й )д;й(й) = 0, / = 0,...,2к - 2, т.к. 2к - 2 < т-1, а значит, д\и (й) = 0 по краевым условиям (1.15). Отсюда

д2к-2и (, )и(,) = д2к~2и(й )и (й) - д2к-2и (0)и(0) = -д2к-2и (0)и (0). Подставим эту формулу в (1.30):

|д2к-1м(, )й(№, = -д2к-2м(0)й(0) - |д2к-2м(, )д = -д2 к-2и(0)й(0) -0 0

_^ й _ _

-д2к~ъи(, )д и(, )| + |д? к-3и(, )д2 и(, у = -д2 к-2и(0)и (0) +

00

___ у _

+д2к-3и(0)ди(0) -... + |дк-1и(0)|2 - дк~2и(0)д>(0) -... -1и(,)д]к-1и(,у,

0

Это равенство можно переписать так:

л _ л _ 2 к-2 _

|д?2к)и(, у, = и (, )д2 к-1и(, у, + £ (-^д^и (0)д \и (0)

О О ¿=0

Заметим, что это равенство эквивалентно такому равенству:

й _ й _ 2к-2 _

|д?2к-1и (, )и(, уа = -|д,2к_1и(, )и (, у, + £ (-1)1+1д2к-2-1и (0)д> (0) 0 0 ¿=0

Отсюда:

у _ 1 2 к-2 _

Яе |д2к-1и(, )и (, у, =1 £ (-1)г+1д;!к-2-ги(0)д;и(0)

0 2 ¿=0

Преобразуем сумму в правой части равенства:

2 к-2

£ (-1У+1д?к-2-и (0)д> (0) =

¿=0

= £ ((-1)'+1 д2к~2~'и (0)д ¡^(0) + (-1)2к-1-г д;и(0)д2к-2-гй(0))

к-2

+

+(-1)к-1+1 дк и(0)дк и(0) =

(-1)2к-1-' = (-1)2 к (-1)-'-1 = 1

2к

у-г-1

(-1)

¿+1

= (-1)

¿+1

= £ (-1)'+1 (д?к-2-ги(0)д;и (0) + ди^д^и (0)) + (-1)к |д к-1и(0)

¿=0

к-2 / _ __ч

= £(-1)'+1 (д2k"2"ги(0)д;и(0) + д^^и(0)д¡и(0)) + (-1)к дк-1и(0)

¿=0 ^ '

= £££(-1)г+12Яе (д,2к~2-и(0)3й<0)) + (-1)к |д к-1и(0)|2

¿=0

Финализируя оценку для (-1)к Яе (Ь (д,2 к-1и, Ьи)) , получим:

у _

(-1)к Яе (Ь (д,2к - 1и, Ьи )) = (-1)к|Ь| 2Яе |д,2к - 1и(, )и(, у =

0

1 к-2 _ 2

= (-1)к |Ь|2т(£(-1)+12Яе(д2к-2~1и(0)д\и(0)) + (-1)к |дк-1и(0)| ) =

2 1=0

к-2

= |Ь|2 £>£(-1)к+г+1 Яе (д2к-2- и (0)д, и(0)) + И-1 д к-1и(0) = 0 2

Подставим оценки (1.28) и (1.31) в (1.24):

т ,

Яе(/, Ьи) > С1 £(1 +

т~]

Б,, и

+

+| Ь |2 £(-1)к+г+1Яе (д2к-2- и(0)д,и(0))+ И- |дк-1и (0)

¿=0 2

т ,

1 £ (1+

у=0

2\ т~ У

к-2

N2

д к-1и (0)

<

< Яе(/, Ьи) - |Ь|2 £ (-1)к+г+1 Яе (^-^(0^(0))

¿=0

(1.31)

2

2

2

2

2

2

Отметим, что:

Re( f, bu) = Re(b( f, u)) = Re b Re( f, u) < < Re b^/ Re2( f, u) + Im2( f, u) = Re b |( f, u)| Далее потребуется неравенство:

(1+\\2 )m l(/,«)| < 1

Действительно:

,u)| <-l1Л г + s (1 +

2\2mii 1.2

У f ii

л/s

1+

\2

u

> 0,s > 0

s/II2 - 27sS+

u +s(1 +

(1

2m

u > 0

f|I2 + s(1 + \\2 Hull2 > 2(1 + "l2

u >

_ i1+ \) /ни>(1+

>(1 + \\2 )m |(f, u )|

Умножим левую и правую часть неравенства (1.32) на (1 + \\2)m:

mi 1 i2\2m-j 2 1 I l2\m Ibl2

c 1(1 +ыЧ nJ" 1/11

j=0

Dl И

(1

д kt u(0)

k-2

(1.34)

< (1 + \ )m Re(f, bu) - |b|2 (1 + \\)m X ("1)k+"1 Re (df-2-U (0)д>(0)) Заметим, что

(1 + \2 )m Re(f,bu) = (1 + \\2 )m Reb • Re(f, u) < Re b • (1 + \\2 )m \(f, u)| Воспользуемся неравенствами (1.33) и (1.34):

< Re b

m , \

1X (1+\\)

j=0 (

di, u

2+(1 v- -

|b|!

jdf-1u (0)

<

2m - Л

f\I2 +s(1 + \\21 IIu

Vs

k-2

+ |b|2 (1 + \\2 )m К-1Г Re (d 2k-2-iu(0)d iu(0))

i=0

Разделим левую и правую часть неравенства на |b|2:

Яе Ь (1

< „ ,2

|Ь| '

-11/11 + 8 \8

(1+\2)

2т11 и

+

-(1+\)" 1 а к-1а(0)|2 <

(1+\2)" ^(-1)'+,яе (а2к "2"'«(0)а ;т)

(2 \т 1

1 + \\ ) — дк~1и(0)

в правую часть неравенства и

вынесем (1 + \\2) как общий множитель:

С-Х(Ч\'

\Ь\ j=0V

2т-у

2 Яе Ь (1

|Ь|2

+ 8

1

2\2тц ||2^

и

+

+(1+\\2 )т 1)к+' Яе (а2к—2—и (0)а;и(0)) -1 |э'-1и(0)

у ' V1=0 2

Выбирая 8 достаточно малым, получаем требуемую оценку. Лемма 1.2 доказана.

Лемма 1.3. (см. [62]).

При выполнении условий леммы 1.2 для любой функции и(/) ей 2т (0; У)

2т ' 2к—1

и для любого 8 > 0 верна оценка

<8

В ти

+

а 2к—1и

+

+ С (8)П| А ^ , а; ) и| 2 +(1 + \ 2 )

2т 2 и

(1.35)

Доказательство.

Обе части равенства (1.13) умножим скалярно на а02тВат(и , а затем перейдем к их вещественным частям:

(4т Оа ( )и;), 0,2тВ2ти ) + Ь(—1)к (а?к—1и(\,;), ^„О ) =

= (/;), 00,2тВти ) Яе ( ¿2т Ва )и, 00,2 тВ2ти ) + (-1)к Яе ( Ь (а?к—1и, ^„О )) =

V , , , / V V ' ' П (1.36)

= Яе ( /, а^Вти ) Рассмотрим первое слагаемое в левой части равенства.

2

2

2

(¿2тВаг)и,«0,2«В&и)= I ат]?В^щао,2тВ%и

по свойствам

скал. произведения

I «г^ 1 ( Ваи «0,2 тВ2атги ) = «0,2 т«0,2 т|0

| г |+1<2т

Ват и

2

+

+1 г (Ва.и, «0,2тВа;:и)=

| г |+1<2т, |г|>1

а,

0,2т

Ват и

+ I ^^^^| (Ва,г и , «0 , 2тВати)

| | |+1<2т |т|>

Перейдем к вещественным частям:

Яе(¿2т (|, Ваг )и, ^т^и ) =

а,

0,2т

Т\2т Вати

+ Яе I а^^г (Ва,ги,«0^2)

М+1<2т

Подставим последнюю формулу в (1.36), получим:

(1.37)

0,2т

Ва>

+ Яе

I Ваи, «0,2тВати)

| г |+1<2 т,

V М* ,

+

+(-1)k Яе (Ь (д^и, «0,2тВа^и)) = Яе (/, ^т^и) + (-1)k Яе (Ь (д?k-1и, «0,2 тВаа )) =

^2 т

аги

= Яе (/, ^тО)- Яе

I Г (^и, «о^и )

| г |+1<2 т,

V |И ,

<

<К I, ^тО ) +

I « .^Ви,В2>)

а,г 0,2т а,г

| г |+1<2т,

Заметим, что по неравенству (1.34) при т = 0:

(I, «о^и )|

<

0,2т

Г г, 1 \

2 1м ^и2

Ва>

+ — е у

Оценим

I г (Ваи, «о^ати)

| г |+1<2 т,

П^1

(1.38)

с помощью неравенства (1.39):

2

2

У а В] м,пп 1пи)

/ 1 % у а ,х ' 0,2 п а )

||+j <2 п, |%>1

по свойствам скал. произведения

У aгj^Diи а0,2пПа

т\+j<2n, |>1

2п_

а л

и

<

а

0,2п

г\2п

2 1

+ —

е

У

г|+j<2п, 1%>1

м

Теперь оценим

У

%|+У<2 п, |>1

У

%+j<2 п, %1>1

2 п-1 2 п-j 2 п—1 2 п—]

У У а%^ < У

j=0 %|=1 j=0 %|=1

(1.40)

Для получения необходимой оценки потребуется следующее утверждение.

Утверждение 1.1.

-мультииндекс, ^еМ"

Доказательство.

Докажем утверждение при п = 2.

# = (#„£),/? = (А, А).А £ 2, А € г,А > о,р2 > о

1^ = (й2 +£2)"2', И =

А +Й

А

Й1+Й2 2

|^2Р2| V (¿2 + ^22)"

Возведем обе части в квадрат:

^¿ЗД V + Й2У'+А

Пусть а = ¿2, Ь = Й, тогда неравенство будет выглядеть так: аЙ1ЬЙ2 V (а + Ь)А+Й2, а > 0, Ь > 0 По формуле бинома Ньютона:

А+Й2

/ , ЧЙ + А Х-' ¿7 А +р2—к

(а + Ь)Й1 Й2 = У С^+р а Ь , каждое слагаемое неотрицательно.

к=0

При к = Д слагаемое будет выглядеть так: СД^^а? Ь? , С> 1

следовательно,

Д +?2

(а + Ь)?+? = 2 С?+?:акЬ?-к + С?+Аа?Ь? >а?Ь? ^'И!?

к=0,к

Общий случай размерности п доказывается аналогично. Утверждение 1.1 доказано.

Продолжим исследование (1.40).

2 т-7

I а„ I

к1=1

2т-]

2т-]

< I \аТ] I < |по утверждению 1.1| < I \ат\ ||

т=1

к=1

В правой части неравенства многочлен, поэтому его можно ограничить сверху следующим образом:

2т-7

IЫI'

М=1

<

с, = тах

7 1<|г|<2 т-7

а

'7

2т-7 2т-7

< С,11Т= С I СП||' <С7 (1 + ||)

2т-7

'1=1

I=1

Подставим эту оценку в (1.40):

I

'+7<2т, '>1

2 т-1

<! С7 (1 + ||)

7=0

2т-]

<

с = тах с,

)

)

2 т-1

< СI (1 + ||)

7=0

2 т-

Далее потребуется несколько дополнительных утверждений.

Утверждение 1.2.

Г \2

I п \

Iх < с!х2

V ¿=1 У г=1 Доказательство.

п = 1: ^2 < ^2 п = 2:

(х^ I х2) х^ I 2х1Х2 I х2 —

() — 2 х2 I > 0 2 х^х2 х^ I х2

< 2(х21 х22)

^ I \

п = I:

Iх < СI^

V г=1 у г=1

Г

п = / +1:

Г/+1 л2

X

V ¿=1 у

Г /

I1 < I

2

X + X,

/+1

V ¿=1

Г / \2

X

V ¿=1 у

Г / \

IX + 2 I

X

V ¿=1 у

%/+1 + %/+1 =

пользуемся приемом из п = 2

( / Л 2 / ( / Л 2

= 2 [&] + 2 XI+12 = 2 + X/+12

V ¿=1 у V V ¿=1 у у

<

< 2

{ / \ 2 , „ 2 /+1

V ¿=1 у

Г I Л м

2 , „ 2

<&2 + х/+12 < с = тах{с,1} = 2с ^хг2 + х/+12 = 2с^хг2 = с^

V ¿=1

1+1

х;

¿=1

¿=1

Утверждение 1.2 доказано. Утверждение 1.3.

(1+|лр-') < «и) (1+1 )2 """]

Доказательство.

(1 + \{\)2'2"-) = ((1 +1|)2 )2^ = (1 + 21| +1|2)2'' < |по утверждению 1.2| <

<( 2 (1 + |\2 ))2-' = 2-' (1 + |\2 р'

Утверждение 1.3 доказано.

Воспользуемся последним неравенством и утверждениями 1.2 и 1.3 для

, 2т-]

оценки квадрата нормы

I а ГО]

и

|н|+]<2т,

НР1

I аТ\&а;

Н+]<2т,

Н>1

. 2 т—1

7=0

2(2 т-])

и

<

2 т—1

« I (1 + ||)2т—]

V ]=0

О] и

<

. 2т—1

<

с = с2стахс(у)

<с2с^с{т+\ф

7=0

2т—1

1\2т~)

<

(1.41)

]=0

Таким образом, получаем оценку для

I ат!Н(Оа,и, ао,2тОти)

Н|+]<2 т,

НИ

2

2

У аТ]й{а^Щи)

||+j<2п,

<

а

0,2 п

2 1

+ —

е

<

а

0,2п

П2>

V

е j =0

У а,/?0/

м

||+./<2 п

<

(1.42)

2 п—/

Л

2

а ,х

У

Воспользуемся следствием 1.1 для оценки суммы в правой части (1.42):

У (1+й)

j=0

2\2п—а

<

< У (е2(2 п—j) j=0 ^

2п—1

+с3 (е-2 j +е2(2 п—j)

) (12)

2 пЧ\21<

Уе12(2 п—-■) + (1 + й2)

2\2п II ||2

2 п—1

м с

1 = 0

У (е.

—2а + е 2(2п—■)

j=0

Подставим эту оценку в (1.42):

У аТ]й(п,м,а0,2пП>)

||+а <2 п, ||>1

<

а

с + —

е

2п—1

0,2п

2 п—1

+

ОГI ^2(2и~7)+^+1А2)2и 1НГ с1 I ^ + *

—2а _1_ с- 2(2п—а)

а=0

7=0

Л Л

/У

< (1.43)

<

а

0,2п

2т—1

2т—1

2

е а=0

"2 У , „ 2(2т-])

+

+е

Vе а=0

)(1+й2)

2п|М||2

Примем е достаточно малым (е произвольно по следствию 1.1) -пусть |е|< 1.

2 п—1 2п «I

У е12<2п—а> = Уе12а а

1=0 1=1 1=1

|2 1

ел < 1, поэтому мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической

« е

прогрессией, следовательно, Уе21 =—1—. Таким образом,

а=1 1 — е1

2 п—1

Уе

а=0

2

2(2п—а) <

1 — е12

2 2 £ £

Выберем бх так, чтобы —1—- = —. Решая это уравнение, получим:

\-81 С

£1 =

£

с + е

причем £ < 1, тогда

с

£

2т-1

]=0

= С 4(£)

е1^е2/(с+е2)

(1.44)

Подставляем выражение для £ в (1.43):

I аг]\Т( ^ а0,2 т°2ати )

<

а,

0,2 т

£

||+] <2 я

НИ

2т Оали

<

+ £

2т Оали

+ С

.(£)(1 + || )

2\2 т II II2

а

0,2т

2£

Т\2 т

°али

+ С4(£)(1 + || )

2\2 т || ||2

4 "и

Таким образом, получены оценки:

2 т—1

I (1 + 1 )

]=0

2 2т—]

<£

2т

+ С2(£)(1 + || )

2 2т 2

и

(1.45)

I аТ\Н(а^ти)

Н|+] <2т, |Н|>1

<

а

0,2т

2£

о1ти

+ С4(£)(1 + ||2)2т||и||2 ) (1.46)

Подставим оценки (1.39), (1.46) в (1.38), получим:

а,

0,2 т

О2а>

+ (— 1/ Яе (Ь —1и, а0,2 ОУ ))<

<

а

0,2т

3£

О

2 + 1||/\|2 + С4(£)(1 + ||2)

2\2т N ||2

и

<

< С5(£) = тах]-,С4(£)[ Итак, получаем оценку:

<

а,

0,2т

3£

О2>

+ С

2^2т||и||2

а,

0,2 т

г\2 т

+ (-1)е Яе (Ь (а 0е-1и, а0,2тО> ))<

<

а

0,2т

3£

+ С

+ (1 + || )

2\2т N .||2

и

2

2

2

2

2

Теперь необходимо оценить слагаемое (—1)к Яе (Ь (д^ 1и, а02тВ2апи)) в левой части неравенства (1.47):

(—1)к Яе (Ь (д 2к—1м, а0,2 пПааи)) = (—1)к Яе (Ьа,л я (д ]к~1и, в,)) = = (—1)к Яе ( ьо^ ) Яе (д?к—1и, В>)

(1.48)

Рассмотрим множитель Яе (д^ 1и, В^и) - будем перекидывать операторы д.

в правую часть скалярного произведения:

ж Ж

(д2к—1и, вапи)=/а,2 к—1и(? пи ($ у=|д , (д2к—2и ^) )вапи«у

0

0

интегрируя по частям:

и=вапи (о

йл> = д,(д,2 к—2и (0 ) иг

д2к—2и (0В> (0 — \д2к—2и(1)д1

п •>

д2к—2и (и пи (и)—д2к—2и (0) вааи (0)—(д2к—2и, д ваи)

Отметим, что д)к 2и(Ж)В2пи(У) = 0 по краевым условиям (1.15)

\2 п

ал

1=0

(п > 2к — 1, п — 1 > 2к — 2), д]к 2и (0)в2апи (0) = 0 (по свойствам весовых производных: В^и^) = у/а^д, (ТОов^и)| = (О^ва^и)

а а(0) = 0). Получаем:

(д2к—1 гл2п \ (д2к-2 -л тл2п \

(д и> ва ,, ) = "(д 2 и'д Ва,, )

Далее понадобится коммутатор операторов д( и Ва{:

(149)

I ,(д,,в ,)и = дltВptu-Вp д1и

р,1 \ г' а} г а,г а,г г

(1.50)

Для коммутатора I 1 верны формулы:

р—1 I

1р1 (д,, Ва) и = УУс]к (г )ва, д

а=0 к=0

зк

где с . (г) е С8 р+11 [0, Ж] и зависит от а(г) и ее производных до порядка р — 1 +1

"ак

I р—1

1р,1 (д,, Ва ) и = УУ С/к (г )д кв,

к=0 а=0

и

и

0

i p-i

IpJ (a, Da ^) u = ХХВ t (cjk (t )u (t))

k=0 j=0

Из формулы (1.50) получаем:

ар>=я2т а и+12т,1 (а, Я,) и (1.51)

Подставим последнюю формулу в (1.49):

(а2е _ 1и, о>)=—(е2е-2и, ята и+/2тД (а, я ^ и)=

= —(а,2*" Ч и )—(а,2*"2u, /2тД , яа,,)и) Перейдем к рассмотрению (а,2 е—2и, О2 т а, и):

(1.52)

(a? k-2u, d^ u) = Ja? k-2u (t)Djat u (t)dt = Ja, (af-3u (t) y^u u (t)dt

k-2u

't ' a ,t~t"

0 0

d

интегрируем по частям

= a?k-3u(,)D2amta,u(t) - Ja?k-3u(t)d2ja,u(t)dt =

n J

0

= a 2k-3u (d) в1™ atu (d) - a ?k-3u (0)D2m a ,u(0) - (a? k-3u, a tD2z a tu)

Первые два слагаемых равны 0: первое - по краевым условиям (1.15), второе - по свойствам весовых производных.

Снова применим формулу (1.51), получим:

(a?k-2u, d2^ atu) = -(a? k-3u, (a tDlmt )atu) = = -(a ?k-3u, D2am a t a tu+12тЛ (at, Da, )atu) = = -(a? k-3u, D2am a?u) - (a?k-3u, i? тЛ (a t, Da, )a tu)

Подставим полученный результат в (1.52):

(a?k-iu, D2amu) = (a?k-3u, D2am a?u)- (a?k-2u, 12тЛ (at, Da,) u)+ +(a?k-3u, 12m,i (at, Dat )atu)

Повторяя подобные преобразования (k -1) раз, получим:

k-i

(a?k-iu, D2amtu) = (-i)k-i (a ku, Dm ak-iu)+X (-i)j (af-j i2mA(at, Da, )aj-iu)

j=i

Обозначим K =(a?k"i_ju,I2mj(a,,Dt)aj-iu) и перейдем к вещественным частям в последнем равенстве:

к—1

Яе [д2к—1и, вапи) = (—1)к—1 Яе (д>, В2а: дк—1и) + У (—1)1 Яе К (1.53)

а=1

Рассмотрим слагаемое (-1)к_1Яе (дки, В2а пд к" 1и), а именно скалярное

произведение. Будем перекидывать операторы весового дифференцирования в

левую часть скалярного произведения.

а _ а

(д ки, в^д^и) = / д ки (г) вапд к-1и(г а = / д ки(г ^Од ^Л/0<t)вап-1д к—1и (г) у =

0 0 1

1 1 -

— /

1 12

/дки(г д г {аГ)вап-1дк—1и (г) )аг =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панков Владимир Владимирович, 2023 год

Список литературы

1. Олейник, O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / O.A. Олейник // Доклады Академии наук. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 885-887.

2. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Доклады Академии наук. - 1951. -Т. 77, № 2. - С. 181-183.

3. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

4. Вишик, М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик // Математический сб. - 1954. Т. 35 (77), вып. 33. - С. 513-568.

5. Вишик, М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик, В.В. Грушин // Математический сб. -1969. - Т. 80 (112), вып. 4. - С. 455-491.

6. Вишик, М.И. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдодифференциальные операторы / М.И. Вишик, В.В. Грушин // Успехи математических наук. - 1970. - Т. 25, вып. 4. - С. 29-56.

7. Михлин, С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С.Г. Михлин // Вестн. Ленинградского гос. ун-та. 1954. - № 8. - С. 19-48.

8. Олейник, O.A. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О.А. Олейник, Е.В. Радкевич // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М., 1971. - Вып. Математический анализ. - С. 5-93.

9. Кондратьев, В.А. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях / В.А. Кондратьев // Труды конференции им. И.Г. Петровского. М., 2006. -Вып. 25. - С. 98-111.

10. Кондратьев, В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности / В.А. Кондратьев // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 2. - С. 246-255.

11. Кондратьев, В.А. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка / В.А. Кондратьев, Е.М. Ландис // Математический сб. 1988. - Т. 135 (177), № 3. - С. 346-360.

12. Егоров, Ю.В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев, O.A. Олейник // Математический сб. 1998. -Т. 189, № 3. - С. 45-68.

13. Олейник, O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой / O.A. Олейник // Математический сб. 1966. -Т. 69 (111), вып. 1. - С. 111-140.

14. Кон, Д. Некоэрцитивные краевые задачи / Д. Кон, JI. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы: сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

15. Глушко, В.П. Коэрцитивность в L2 общих граничных задач для

вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Глушко // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, вып. 3. - С. 87-88.

16. Глушко, В.П. Оценки в L2 и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка / В.П. Глушко // Труды Московского математического общества. 1970. - Т. 23. - С. 113-178.

17. Рукавишников, В.А. О коэрцитивности обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников, А.Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. -2005. - Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

18. Антонцев, С.Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С.Н. Антонцев, С.И. Шмарев // Сибирский математический журн. 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

19. Рукавишников, В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных /

B.А. Рукавишников // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. -

C. 402-408.

20. Глушко, В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 47 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 1048-79.

21. Глушко, В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. - Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1972. - 193 с.

22. Исхоков, С.А. О гладкости решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением / С.А. Исхоков // Докл. Академии наук. 2001. -Т. 378, № 3. - С. 306-309.

23. Левендорский, С.З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе / С.З. Левендорский // Математический сб. 1980. - Т. 111 (153), вып. 4. - С. 483-501.

24. Леопольд, Х.Г. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с невырождающейся второй производной / Х.Г. Леопольд. Новосибирск, 1981. - 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.08.81, № 426981.

25. Бочаров, О.Б. Численное исследование гидрофизических процессов при сохранении различных неизотермических моделей фильтрации двухфазной жидкости / О.Б. Бочаров, И.Г. Телегин // Теплофизика и аэромеханика. -2005. - Т. 12, № 4. - С. 457-467.

26. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Докл. Академии наук. - 1982: Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

27. Баев, А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев // Докл. Академии наук. 2008. - Т. 422, № 6. - С. 727-728.

28. Баев, А.Д. Корректная разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев, В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 61 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 536-79.

29. Лионс, Ж. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

30. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. 4-е изд. - M: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 512 с.

31. Киприянов, И.А. О вариационном методе решения одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / И.А. Киприянов // Доклады Академии наук. - 1963. - Т. 152, № 1. - С. 35-38.

32. Киприянов, И.А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов. I / И.А. Киприянов // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 11. - C. 2066-2077.

33. Киприянов, И.А. О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов / И.А. Киприянов // Доклады Академии наук. - 1968. - Т. 181, № 4. - С. 792-794.

34. Киприянов, И.А. О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов и его приложениях / И.А. Киприянов // Тр. МИАН СССР. -1969. - Т. 105. - С. 77-88.

35. Бицадзе, А.В. Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка / А.В. Бицадзе // Доклады Академии наук. - 1957. - T. 112, № 6. - С. 983-986.

36. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Доклады Академии наук. -1969. - T. 185, № 4. - С. 739-740.

37. Бицадзе, А.В. Нормально разрешимые эллиптические краевые задачи / А.В. Бицадзе // Доклады Академии наук. - 1965. - Т. 164, № 6. - С. 1218-1220.

38. Глушак, А.В. О вырожденном эллиптико-параболическом уравнении в неограниченной области / А.В. Глушак // Сиб. матем. журн. - 1975. - Т. 16, № 4. - С. 691-699.

39. Глушак, А.В. Разрешимость задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в секторе на плоскости / А.В. Глушак // Доклады Академии наук. - 1975. - Т. 223, № 5. - С. 1048-1051.

40. Янушаускас, А.И. Об одном типе вырождения эллиптических систем // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 1. - С. 152-160.

41. Янушаускас, А.И. Некоторые граничные задачи для эллиптических уравнений, порядок которых вырождается / А.И. Янушаускас // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, № 6. - С. 1035-1042.

42. Янушаускас, А.И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений / А.И. Янушаускас // Сиб. матем. журн. - 1974. - Т. 15, № 6. - С. 1394-1405.

43. Глушко, В.П. Об одном критерии существования свертки обобщенных функций / В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1982. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.82, № 5721-82.

44. Глушко, В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи / В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 23, ВИНИТИ. -М., 1985. - С. 125-218.

45. Крукиер, Л.А. Распространение примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле / Л.А. Крукиер, Т.С. Мартынова // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16, № 1. -С. 3-11.

46. Задворнов, О.А. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием / О.А. Задворнов // Изв. вузов. Математика, 2003. - № 1 (488). - С. 45-52.

47. Урев, М.В. Сходимость метода конечных элементов для осесимметричной задачи магнитостатики / М.В. Урев // Сибирский журн. вычислительной математики - 2006. - Т. 9, № 1. - С. 81-108.

48. Монахов, В.Н. Сопряжение основных математических моделей фильтрации двухфазных жидкостей / В.Н. Монахов // Математическое моделирование, 2002. - Т. 14, № 10. - С. 109-115.

49. Шишкин, Г.И. Метод повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии / Г.И. Шишкин // Сибирский журн. вычислительной математики. 2006. -Т. 9, № 1. - С. 81-108.

50. Габасов, Р.Ф. Особые оптимальные управления / Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кирилова. М.: Наука, 1973. - 256 с.

51. Жермоленко, В.Н. Особые множества и динамические свойства билинейных систем управления / В.Н. Жермоленко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005. - Т. 11, № 8. - С. 105-117.

52. Шкляева, Е.В. Оптимальное управление фильтрацией жидкости / Е.В. Шкляева // Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тез. докл. конф., Новосибирск, 29-31 окт. 2002 г. - Новосибирск, 2002. - С. 63.

53. Свиридюк, Г.А. Неклассические модели математической физики / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 14. - С. 7-18.

54. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Доклады Академии наук. - 1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

55. Бунеев, С.С. Некоторые краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка: диссертация канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.С. Бунеев; Елец. гос. ун-т им. И.А. Бунина; науч. рук. А.Д. Баев. - Защищена 01.03.2016. - Елец, 2015. - 152 с.

56. Баев, А.Д. Об оценках решений одной краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе области / А.Д. Баев, В.В. Панков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014: материалы международной конференции, Воронеж, 28 января 2014 года / под редакцией В.А. Костина; Воронежский государственный университет. - Воронеж: ООО "Издательство "Научная книга", 2014. - С. 58-62.

57. Баев, А.Д. Об априорных оценках решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / А.Д. Баев, В.В. Панков // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXVI», Воронеж, 03-09 мая 2015 года. -Воронеж: Воронежский государственный университет, 2015. - С. 36-39.

58. Баев, А.Д. Об априорных оценках решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / А.Д. Баев, В.В. Панков // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 26 января - 01 февраля 2017 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2017. - С. 31-34.

59. Баев, А.Д. О существовании решений одного класса краевых задач в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев, В.В. Панков // Доклады Академии наук. - 2017. - Т. 475. - № 5. - С. 487-489. - DOI 10.7868/S0869565217230013. (On the existence of solutions to a class of boundary value problems in a strip for high-order degenerate elliptic equations / A.D. Baev, V.V. Pankov // Doklady Mathematics. - 2017. - Vol. 96. - No 1. - P. 365-367. - DOI 10.1134/S1064562417040214.)

60. Баев, А.Д. Об оценке решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / А.Д. Баев, В.В. Панков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018: Материалы Международной конференции, Воронеж, 25-31 января 2018 года / Под

редакцией В.А. Костина. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", 2018. - С. 143-147.

61. Панков, В.В. Априорная оценка решений краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков // Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2018: материалы международной научной конференции, Воронеж, 03-08 мая 2018 года. -Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет, 2018. - С. 272-274.

62. Панков, В.В. Об априорной оценке решений краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков, А.Д. Баев, В.Д. Харченко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2018. - № 4. - С. 161-171.

63. Панков, В.В. Априорная оценка решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа", Воронеж, 28 января - 02 февраля 2019 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2019. - С. 199-203.

64. Панков, В.В. О существовании решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков // Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2019: Материалы международной научной конференции, Воронеж, 03-08 мая 2019 года. -Воронеж: Автономная некоммерческая организация по оказанию издательских и полиграфических услуг "НАУКА-ЮНИПРЕСС", 2019. -С. 167-170.

65. Панков, В.В. Априорные оценки решения вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков // Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2019: Материалы международной научной конференции, Воронеж, 03-08 мая 2019 года. -Воронеж: Автономная некоммерческая организация по оказанию

издательских и полиграфических услуг "НАУКА-ЮНИПРЕСС", 2019. -С. 203-206.

66. Панков, В.В. О существовании и единственности решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков, А.Д. Баев, Н.А. Бабайцева // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2019. - № 3. -С. 79-92.

67. Панков, В.В. О существовании решения одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая 2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. -С. 158-161.

68. Панков, В.В. О корректности одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая 2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. -С. 154-157.

69. Панков, В.В. Об априорной оценке решений одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая

2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. -С. 161-164.

70. Панков, В.В. Оценки решения одного вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая 2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. - С. 165-168.

71. Панков, В.В. Об априорной оценке решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка /

B.В. Панков // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2021. - № 2. - С. 90-101.

72. Панков, В.В. О разрешимости одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков,

C.А. Шабров // Прикладная математика & Физика. - 2022. - Т. 54. - № 1. -С. 5-14. - БОТ 10.52575/2687-0959-2022-54-1-5-14.