Краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Панков Владимир Владимирович

• Панков Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Панков Владимир Владимирович

Введение

Глава 1 Априорные оценки решений краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка

Глава 2 Существование и единственность решения краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка

Глава 3 Априорные оценки решений краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка, имеющей противоположный знак

Глава 4 Существование и единственность решения краевой задачи с невырожденной производной произвольного нечетного порядка, имеющей противоположный знак

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению одного класса краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений, который можно отнести к так называемым «неклассическим» задачам математической физики, т.е. к задачам, которые нельзя однозначно классифицировать как задачи эллиптического, параболического или гиперболического типа.

Актуальность исследований краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений обусловлена возможностью использовать их при моделировании различных стационарных процессов с вырождением - процессов, в которых граница области, где процесс происходит, значительно влияет на то, что происходит вблизи нее, что влечёт изменение как типа уравнения, так и его порядка на границе области.

Физические процессы, которые можно отнести к классу процессов с вырождением:

1. Стационарные процессы конвекции-диффузии в неоднородной анизотропной среде (для соответствующих уравнений характерно стремление коэффициента диффузии к нулю при приближении к границе).

2. Процесс фильтрации идеальных баротропных газов в неоднородных анизотропных пористых средах (см. [18]).

3. Процесс фильтрации двухфазной жидкости (см. [48], [25]), например, процесс вытеснения нефти водой из пористых сред [48].

4. Процесс распространения примесей в жидкокристаллических растворах, находящихся во внешнем электрическом поле (см. [45]).

Помимо вышеперечисленного, вырождающимися эллиптическими уравнениями являются уравнения, возникающие при расчетах линейного стационарного магнитного осесимметричного поля в неоднородной анизотропной среде (см. [47]), а также обобщение сингулярно возмущенных уравнений конвекции-диффузии (см. [49]).

Степень разработанности темы исследования. Исследования вырождающихся эллиптических уравнений имеют долгую историю становления и развития.

В работе [2] М.В. Келдыш провёл фундаментальное исследование краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с вырождением вида

т, ч m d2ы d 2u du du _ , _

L(u) = ym—- + —r + a— + b— + cu = 0, c <

dy dx dy dx

Уравнения задавались в области, ограниченной отрезком (0; 1) оси x и гладкой кривой Г, опирающейся на отрезок (0; 1) и расположенной в полуплоскости (y < 0). Впоследствии в работах О.А. Олейник (например, [1]) эти результаты были углублены и обобщены.

Важные результаты в теории эллиптических систем были получены А.В. Бицадзе [35]. Другие важные результаты, полученные А.В. Бицадзе и А.А. Самарским, касались эллиптических краевых задач [36], нормальной разрешимости таких задач [37].

Эллиптические уравнения с вырождением второго порядка изучались в работах С.Г. Михлина [7] и М.И. Вишика [4]. В качестве примера, М.И. Вишик рассматривал основные краевые задачи для уравнения

n d du n du

Lu=X—(ak(x)^)+X(x)t"+c( x)u=h( x)

dx i dxk dxt

x = (xx,...,xn), которое является эллиптическим в точках x с xH > 0 и параболическим (с произвольным рангом соответствующей квадратичной формы) в точках x0 с x° = 0, в области D, расположенной в xn > 0 и имеющей часть границы Го в плоскости xH = 0. Вишик доказал теоремы о разрешимости и единственности решения этих краевых задач, установил некоторые их спектральные свойства (полуограниченность, дискретность, конечнократность спектра, функциональную структуру обратного оператора).

Помимо вышеупомянутых результатов, М.И. Вишиком и С.Г. Михлиным были впервые получены обобщенные решения краевых задач для эллиптических уравнений с вырождением второго порядка.

Метод М.И. Вишика для изучения уравнений второго порядка с вырождением послужил основой работ М.М. Смирнова [3], О.А. Олейник, Е.В. Радкевича [8]. Основополагающие результаты по исследованию асимптотических свойств решений линейных и нелинейных уравнений и систем эллиптического и параболического типа были получены в работах В.А. Кондратьева [9], [10], В.А. Кондратьева, Е.М. Ландиса [11], Ю.В. Егорова,

B.А. Кондратьева, О.А. Олейник [12]. С помощью теоремы об асимптотической эквивалентности двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений удалось достичь одного из самых значимых результатов - изучить поведение решения нелинейного параболического уравнения второго порядка, удовлетворяющего краевым условиям Неймана на границе ограниченной липшицевой области, при t ^

Для исследования линейных уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой О.А. Олейник в работе [13] применила метод «эллиптической регуляризации», который также применили Дж. Кон и Л. Ниренберг [14] при изучении эллиптико-параболических уравнений второго порядка. В работах [15], [16] В.П. Глушко установил коэрцитивную разрешимость общих краевых задач для уравнений эллиптического типа второго порядка с вырождением в специальных весовых пространствах типа пространств

C.Л. Соболева.

Некоторые классы вырождающихся эллиптических уравнений допускают решение вариационными методами. Некоторые из таких классов изучались И.А. Киприяновым [31], им же исследовались вырождающиеся эллиптические операторы, в том числе высшего порядка с «сильным» вырождением [32], и приложения известного неравенства Гординга для таких операторов к анализу вырождающихся эллиптических уравнений ([33, 34]).

Много научных работ посвящены задачам Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений. Например, в работе [17] В.А. Рукавишников и А.Г. Ереклинцев рассматривали задачу Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области, а случай несогласованного вырождения исходных данных изучался В.А. Рукавишниковым в работе [19]. Другим примером может послужить статья [18], где С.Н. Антонцевым и С.И. Шмаревым рассматривалась задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области.

В работах А.В. Глушака исследовались разрешимость задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в секторе на плоскости [39], а также разрешимость задачи Коши для вырожденного эллиптико-параболического уравнения [38].

В работах [50] и [52] было установлено, что вырождающемуся эллиптическому уравнению соответствует вырожденное или особое оптимальное управление.

Исследования связи характера вырождения эллиптических систем с их классификацией проводились А.Я. Янушаускасом [40], им же изучались эллиптические уравнения, порядок которых вырождается [41]. В работе [42] А.Я. Янушаускасом было установлено, что для некоторых классов эллиптических уравнений сильное вырождение порядка и типа уравнения приводит к тому, что решения такого уравнения выражаются функциями, допускающими наличие существенно особых точек на многообразиях вырождения, т.е. что в окрестности этих многообразий решения обладают некоторыми чертами поведения решений параболических уравнений.

Широкий спектр работ посвящен изучению вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Так, в работе [15] В.П. Глушко показал, что общие краевые задачи для некоторых классов эллиптических уравнений, вырождающихся

на границе области, коэрцитивны в специальных пространствах нт , а в работе [16]

им же были получены оценки решений эллиптических уравнений, вырождающихся по границе заданной области. Стоит также отметить труды С.А. Исхокова [22], С.З. Левендорского [23], Х. Леопольда [24]. В частности, работа [22] была посвящена исследованию однозначной разрешимости одной вариационной задачи для эллиптического уравнения с «нестепенным» вырождением и зависимости гладкости ее решения от гладкости коэффициентов дифференциального оператора в правой части уравнения. «Степенное» вырождение изучалось М.И. Вишиком и В.В. Грушиным в работах [5], [6], вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка, в том числе их связь с псевдодифференциальными операторами, рассматривались в трудах А.Д. Баева ([26] - [28]).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка»

Целью работы является:

Получение априорных оценок и доказательство теорем существования и единственности решений краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных.

Задачи исследования. В настоящей диссертационной работе решались следующие задачи:

1. Получить априорные оценки решений двух классов краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных. Отличие этих классов заключается в знаке перед невырожденной производной произвольного нечетного порядка.

2. Доказать теоремы о существовании и единственности решений для этих классов краевых задач.

Научная новизна. Работа является естественным развитием трудов В.П. Глушко, А.Д. Баева и С.С. Бунеева, в которых рассматривались эллиптические уравнения высокого порядка, вырождающиеся на границе в уравнение первого ([20]) и третьего ([55]) порядков по одной из переменных соответственно. Результаты упомянутых работ были расширены до случая вырождения таких

уравнений на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных.

В работе было проведено обобщение методов исследования двух классов краевых задач в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка, которые применялись в работе [55]. Например, шаги доказательств утверждений из главы 1 были тщательно систематизированы для их эффективного переиспользования в доказательствах утверждений из главы 3.

Одной из основных сложностей, возникших в работе, явилось получение в главах 1 и 3 оценок смешанных производных Б2ат~д1 д\ы . В отличие от работы [55],

где требовалось оценить лишь 2 нормы этих производных, в данной работе таких норм значительно больше вследствие произвольности порядка невырожденной производной в исследуемых уравнениях. Оценивание этих норм потребовало многократного применения коммутатора операторов весового и обычного дифференцирования, где порядок обычной производной фиксирован и равен 1. Все это сделало доказательства достаточно громоздкими и сложными.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Применение полученных результатов позволяет исследовать более общий класс вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка и, соответственно, более широкий круг математических моделей процессов с вырождением. Помимо этого, результаты были внедрены в учебный процесс кафедры математического анализа математического факультета ФГБОУ ВО «ВГУ» при изучении дисциплины «Дополнительные главы математического анализа», читаемой студентам по направлению подготовки 01.05.01 Фундаментальная математика и механика.

Методология и методы исследования. Исследование основывалось на известных методах теории вырождающихся эллиптических уравнений, теории операторов, теории интегральных уравнений. Также в работе применялись метод продолжения по параметру, метод повышения гладкости, весовые производные,

специальные весовые пространства типа пространств С.Л. Соболева, специальное интегральное преобразование Га, используемое в [26].

Положения, выносимые на защиту:

1. Получены априорные оценки решений одного класса краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных.

2. Доказана теорема о существовании и единственности решений для этого класса краевых задач.

3. Получены априорные оценки решений другого класса краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных. В этом классе задач невырожденная производная произвольного нечетного порядка имеет противоположный знак.

4. Доказана теорема о существовании и единственности решений для класса краевых задач в полосе для эллиптических уравнений высокого порядка, вырождающихся на границе в уравнение произвольного нечетного порядка по одной из переменных, где невырожденная производная нечетного порядка имеет противоположный знак.

Степень достоверности результатов исследования, проведенного в настоящей работе, обусловлена корректностью доказательств математических утверждений и согласованностью с полученными ранее результатами. Доказательства базировались на известных, надежных и хорошо изученных методах исследований вырождающихся эллиптических уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на различных научных конференциях, среди которых:

1. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014» (28 января 2014 г.) (см. [56]).

2. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXVI» - Современные методы теории краевых задач (3-9 мая 2015 г.) (см. [57]).

3. Международная конференция Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (26 января - 1 февраля 2017 г.) (см. [58]).

4. Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018» (25-31 января 2018 г.) (см. [60]).

5. Международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2018» (3-8 мая 2018 г.) (см. [61]).

6. Международная конференция Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (28 января - 2 февраля 2019 г.) (см. [63]).

7. Международная научная конференция «Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2019» (3-8 мая 2019 г.) (см. [64, 65]).

8. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXXI» - Современные методы теории краевых задач (3-9 мая 2020 г.) (см. [67-70]).

9. Международная конференция Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (28 января - 2 февраля 2021 г.)

10. Международная конференция Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXXIII» - Современные методы теории краевых задач (3-9 мая 2022 г.)

Помимо этого, результаты публиковались в следующих изданиях:

1. Доклады Академии наук, т. 475, № 5, 2017 г. (см. [59]).

2. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, № 4, 2018 г. (см. [62])

3. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, № 3, 2019 г. (см. [66])

4. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, № 2, 2021 г. (см. [71])

5. Журнал «Прикладная математика & Физика» Белгородского государственного национального исследовательского университета, т. 54, № 1, 2022 г. (см. [72])

В совместно опубликованных работах А.Д. Баеву принадлежит постановка задач, в диссертацию включены результаты, полученные автором лично.

ГЛАВА 1 АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С невырожденной ПРОИЗВОДНОЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим уравнение

А ( Д, Д,,, д,) V ( х, t ) = F ( х, ,) (1.1)

заданное в полосе

М» ={(^):хеГ"1,0<?<(/} (1.2)

Здесь

А(О,,а,)V = ^ (О,()V + ¿(-1)*д2к~\, (1.3)

X = (1.4)

О' = ¿'д'1дтх2 ...д'"-1 (1.5)

х Х1 Х2 х^_1

Па и (,) - так называемая весовая производная функции и (,):

1 3

Ба,и(,) = тОй(4аГ)и(,)), д, = - (1.6)

I д?

0>(0 = 0,(0^(0), , = 1,2,... (1.7) - специальная весовая функция, которая будет определена далее, С -множество комплексных чисел.

На границах полосы Щ задаются следующие условия - на границе ^ = 0:

В, (О Н= = I КДдЦ=о = (хХ, = и. * _1 (1.8)

ЬТ]еС, С(х) = (С1(х),...,Ск_1(х)),

а на границе , = ,:

VI = д, VI,=... = дГ VI, = 0 (I.9)

Получение априорных оценок решения этой задачи будет производиться в специальных пространствах с весом, которые задаются с помощью применения интегральных преобразований Фурье ^^ и ^.

В работе А.Д. Баева [26] применялось интегральное преобразование ^

(«весовое» преобразование Фурье). Оно задается на функциях м^)еС0°°(1+) в следующем виде:

/ а

Ра[иШп) =\u(t) -expI j

ар

\

at

0 V t Уг J J

y[â(t) '

а(р)

В этой формуле г] е Ж, a{t) - «весовая» функция со свойствами:

t g М+, «(+0) = а'(+0) = 0, a(t) > 0 при t > 0, a(t)=const при t > а, а > 0. Существует связь между преобразованием F и преобразованием Фурье

Fx—

Fa[u(t)Ш = F—[Ua(T)] , ГДе

а

(j) = 4a(t)u(t)|t=^(r), * = v(t) = -J ар

a(P)

Можно задать преобразование Fa , обратное к F, следующим способом:

Fa xrnt )=-т^= F-_— T[wm

yja(t )

Т=ф( t )

где F* - обратное преобразование Фурье.

j—>т

Для преобразования ^ справедлив аналог равенства Парсеваля:

ш\\ ^ = +),

что позволяет расширить до непрерывного преобразования из Л2(К) в Ь2(Ш+), а также рассмотреть Fa на некоторых классах обобщенных функций в дополнение к функциям из £2(М+).

Определение 1.1.

Н 2м ^ - 0> ^ е ^ - пространство функций еХ2(Ж^), для

«,а,

2* _1

которых конечна норма

11« ,а,

2 *-1

Т (2* _1)« ]

2 т J

I F-l ]-1 а

1=0

(1+и2+м2)

1 ( 2 т ,

—I «--/

21 2*—1

F F

а

дХ х,,)

¿2(4)

Здесь

(2* — 1)«' 2т

- целая часть числа

(2к _ 1)« 2т

Если £ е N таково, что —— е Z, то норма из определения 1.1 и норма

2т

V 2 т =

II 11«, а,-

2* _1

I

2т

г + ,+-1<«

1 2* _1

охоа,, а

2

эквивалентны.

Через яДк" будем обозначать пространство С.Л. Соболева. Введем дополнительные пространства Н 2т (ж^), Н8р ), где р > 0, р е Z.

2т

«,а,-, р

2* _1

Определение 1.2.

н (г,) (5>0 , р > 0 - целые числа) - пространство функций

2т

«,а,-, р

2* _Г

для которых конечна норма

V 2т

II 11« ,а,-, р

2k_1

(2* _1)«' 2т

I

1=0

(1 + |х|)

1 ( 2 т

21 2* _1

(1+1^2+н2)

■]а]х^[д \V (х,,)]

(1.10)

Определение 1.3.

Нз р (Мй 1), я, р е М, - пространство функций и (х) е Ь2{Ж" , для которых конечна норма

1

т

1

u

s, p

(! + 1 x|) "Ft x [(1+ f )SFx^[u ]

Сформулируем дополнительные условия:

Условие 1.1.

Для любых £ R" выполняется неравенство

Re (ЪЬ2т fn) )> с (l + 2 +Н2 )m,

где с = const, с > 0 и не зависит от (f ,n).

Условие 1.2.

Для некоторого числа s > 2т + max (m ) функция а(t) принадлежит

1 < j <k-i j

C-1[0,d] , причем а(0) =а'(0) = 0, a(t) > 0 при t > 0.

Условие 1.3.

^ bTjf Ф 0, j = 1,2,...,k -1 для любых f

r|<m ■

Сформулируем 2 теоремы об априорных оценках решений задачи (1.1), (1.8), (1.9) (см., например, [71, 72]). Теорема 1.1. (см. [60, 61]).

г

Пусть s > max < 2m, max

1 i<j<k-i

2m( j -1) m +———-j 2k -1

+

m

2k -1

- целое число,

ш>2к -1 - целое число, и выполнены условия 1.1 - 1.3. Тогда для любого решения

v( x, t) е H

2т V d '2к-\

/) задачи (1.1), (1.8), (1.9) справедлива априорная оценка

v

s,a,

2m 2k-1

<c

k-1

lUvll 2m +y\\B.V

II lls-2m,a,- ¿-^ j

2k-1 j=1

t=0

2m( j-1) m 2k- 2k-1

(111)

где с = const, с > 0 и не зависит от v. Здесь • s - норма в пространстве Соболева

Слободецкого HS(W

1

п

s ,а

Теорема 1.2. (см. [62]).

Пусть s > max < 2m, max

1 i< j <k-i

2m(j -1)

m +——--

j 2k -1

+

m

2k -1

>, m > 2k -1, p > 0 - целые

числа, а также выполнены условия 1.1 - 1.3, тогда для любого решения еЯ 2т I) задачи (1.1), (1.8), (1.9) справедлива априорная оценка

С ГУ - п ^ '

s,a,-, p

2k-1

f

V

2m

s ,a,-, p

2k-1

< С

k-1

2m + /B. ',-,p ¿—¡\\ j

V

lUvll 2m + I IIB.V

II lls-2m,a,-, p j

2k-1 j=1

t=0

2m( j-1) m s-m,--——1--, p

J 2 k-1 2k-1 у

(1.12)

где c = const, c > 0 и не зависит от v.

Для доказательства этих теорем преобразуем задачу (1.1), (1.8), (1.9) с помощью преобразования Фурье Fx^. Обозначим

u(f, t) = Fx^[v], f (f, t) = F^[ F ], g (f) = FM,[G],

тогда (1.1) преобразуется следующим образом:

Lm (Dx, Da,)V(x, t) + b(-1)k afk-1v(x, t) = F(x, t) | F^ Fx^f [ L2 m ( Dx, Da,t) v( x, t)] + b( -1)* F^ [a? *-1v( x, t)] = F^ [ F ( x, t)]

I jx^[DDtV(x,t)] + b(-1)ka2k-1Fx^f[v(x,t)] = f(f,t)

||+j<2 m

I aTjfTDJaJFx^[v(x,t)] + b(-1)ka2k-1u(f,t) = f(f,t)

||+j<2 m

I atj?jf,t) + b(-1)ka2k-1u(f,t) = f(f,t), где f = fffff

||+j<2m

Bj(Dx)v будет преобразована следующим образом:

F^, [Bj (Dx )v^Q = F^ [Gj (x)] = gj (x), j = 1,..., k -1

IbF^Da v]|,=o = I j 1 t)|,=O = gj(f)

| |<mj | |<mj

(1.9) превратится в

u =3u , =.

It=d i lt=d

.. = am_1 U , = о

t \t=d

Если ввести обозначения:

L2m(£DaJ) = X , Bj(£) =^bTJ?di,

||+y<2 m

исходная задача (1.1), (1.8), (1.9) приобретает вид

L2m (£ Da, )u(£ t) + b(-1)^ 82kM{, t) = f (£ t), BJ (£) u (£ t )| t=0 = gj (Ш = 1,..., к -1,

u =8u , =.

It=d t \t=d

.. = 8m-1 U = 0

t lt=d

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Далее будет исследоваться именно задача (1.13) - (1.15). Теорема 1.1 вытекает из теоремы 1.3, которая является аналогом теоремы 1.1 для задачи (1.13) - (1.15).

Дополнительно введем еще одно пространство. Определение 1.4.

Я1,а,^(0;й),5,>0,5е2 - пространство функций для которых

конечна следующая норма, зависящая от параметра £ <= М"1:

U 2m |

I Hs,a,-,

2k-11

X

2m

к+-j<s

2k-1

F

-1 a

(1 + +V2)1

F

8Ju

L2 (0;d)

Теорема 1.3.

Пусть s > max «2m, max

1 1< j<k-1

f

2m(J-1)

m. +-—--

J 2k -1

+

m

2k -1

- целое число, m >2k-1

) fl—1

целое число. Пусть /(¿¡V)еН*-2т,а,^^(0;с1) для любых ^еМ"1 и выполнены

условия 1.1 - 1.3, тогда для любого решения задачи (1.13) - (1.15),

принадлежащего при всех ^<еМи1 пространству 0;<^), справедлива

априорная оценка

II II2 ^

u 2m lfrl < c

II lls,a,-,f|

2k—1 ' '

i h i 2m . m Л

k 1 / _ ч s—m .--j--

1 k—1 / i\s—m,--

2 I ч I (-12 \ j

2m , и +

s—2m,a,-,

2 k—1 1 ' j=1

( i s_m__i__

i+f) j2i—12k—1 ki

(1.16)

с константой с > 0 , не зависящей от ^el" 1,и ,/,g.

Для доказательства теоремы 1.3 потребуются несколько вспомогательных понятий и утверждений, в частности, интегральное преобразование Fa, свойства

весовых производных и несколько лемм.

Преобразование F и весовые производные обладают несколькими полезными свойствами.

Свойство 1.

+то

Vu(t), w(t) е L2(0, d): J Fa[u]{q)Fa[w]{rj) d^ = 2ж(и, w),

—то

(u, w) - скалярное произведение в L2 (0, d).

Свойство 2.

Если и (t) е С [0, d ] и имеют место равенства

u(d) = dt u(d) =... = öS—1u(d) = 0, (1.17)

то выполняются:

Fa[ DjuM = l]Fa[u m, j = 0,..., s

Свойство 3.

Если u(t) eCs[0, d ], w(t) eCs[0, d ] и для них выполняются (1.17), то

справедливо равенство:

1 +то _ 1

(Diu(t),w(t)) = — J rfFa&mFa[w](n)dl = — ( jaMfa),Fa[w]{^))

—то

Отметим, что Сто (0, d) плотно в H ,, .

s ,a,-

2 k —1

В качестве примера весовой функции a(t), удовлетворяющей всем необходимым условиям (включая свойство 2), можно привести функцию a0 (t),

которая строится с использованием известной функции «шапочка» и леммы 1 § 5 из [30].

Функция «шапочка» имеет вид

w.

(- )=

сг exp

0, Ы >£

2 I |2 v * - \Х\ У

, N

(1.18)

Здесь с£ выбирается так, чтобы |^ (х)йх = 1, т.е. се£п | exp(-1 / (1 -))= 1.

и1

Лемма 1 § 5 из [30] звучит так:

для любой области и любого числа £ > О существует функция

77 е С°° (М"), обладающая свойствами: 0 < 7/(х) < 1, т](х) = \ при хев£, г/[х) = 0 при х ^ О3£.

В доказательстве этой леммы указывается, что искомая функция получается в результате применения операции свертки к функциям х(х) и №е(х), где функция

х(х) - характеристическая функция множества О2^. Таким образом,

л(х ) = \х( У) х - У) йУ.

Искомую весовую функцию а0 (г) определим с помощью этой леммы -

примем О = ( й, +гс>), £ = й, тогда

a0(t) =

r(t), t е[0,d] 1, t > d

где т](г) = §%(у)^з (х - у)йу, х(х) - характеристическая функция множества

й 5 Л

—,—й I. а0(г) удовлетворяет всем необходимым условиям:

33 J

2

а0 (г) = 0 при г ^ 0 +, а0 (г) возрастает от 0 до 1 при изменении г от 0 до — й,

а0 (t) = 1 (const) при t > d, а0 (t) - бесконечно дифференцируемая функция.

<

В теории банаховых пространств известно неравенство Эрлинга-Ниренберга

[44], которое в простейшем случае имеет вид

a t

<S

l-s

at

l-s

+ S \\U\\ + cS \\U\\,

(1.19)

0 < s < l, s> 0.

- норма в пространстве L2 (I), i - произвольный интервал

вещественной оси. Если I = (0, +<») или I = (_да, , то слагаемое Sl-s и может быть отброшено.

В работе возникает необходимость в неравенствах, подобных неравенствам Эрлинга-Ниренберга, связывающих весовые производные. Сформулируем их в виде леммы, аналогичной лемме 1.1 из [55]. Отличие от леммы 1.1 из [55] заключается в требовании принадлежности функции и (t) другому пространству.

Лемма 1.1. (см. [62]).

Пусть u(t) е Сю(0,d), тогда для любого s > 0, j = 0,...,s -1 справедливо неравенство

\Dj,u||2 <s2(s-jDSu\\2 + (CS"2j +S2(s-j))|U||2, (1.20)

c = const > 0

Здесь и в дальнейшем через • обозначается норма в пространстве L (0; d).

Сформулируем важное следствие из леммы 1.1, аналогичное следствию 1. 1 из [55]. Отличие от следствия 1.1 из [55] заключается в требовании принадлежности функции u(t) другому весовому пространству.

Следствие 1.1. (см. [62]).

Пусть м(г)б//5А|-(0;4 тогда Vs>0, j = 0,l,...,2m-l,

п—1

справедливо неравенство

2\2m-j

(12)

Dju

<S

2(2 m-j )

Dm

+ c

(S)(12 )2m|

u

(1.21)

c(s) = c(s 2j + s2(2m j)), c = const > 0 и не зависит от u, g. В общем случае неравенство имеет вид:

(1+\\2 Г

О, <е

2(* --)

О*

+ с (

(е)(1 + \\2 )*||и|| 2,- = 0,1,..., ^ -1

с (г) = с(е~2- + е2(*--)), с = соп*г > 0

Доказательство.

По лемме 1.1 выполняется неравенство (1.20). Возьмем е2 =

2 _ е1

1 + \\ ■

-, * = 2т .

Подставим выражение для е2 и значение * в (1.20):

<

Г 9 \2т-]

е?

V1 + \\2 у

Т\2т

°а,ги

+

V-

+

1+\\ I V1+\\

N (2т-/)Л

и

(2\2т--

1 + \\ ) , получим:

\2т--1 + \ 2 )

О г

<е

2(2т--)

О

+

/ 0 \ 2т

се,-2- (1) +е,2

2(2т- )

и

(1.22)

Рассмотрим выражение в скобках из правой части неравенства:

се;2] + е

2(2т--)

1-2- (1 + \ )т + е12<2т--) =(1 + \) р '(1 + \)

< (1 +|2 )2" (с£,"2/ + е,212'"--") < \с = тах {с,1}| <

<

Подставим полученный результат в (1.22):

2\2т-]

(12)

О-и

< 2(2 т--)

+ с(гГ1"2/ + £2(2т~Л

)(1+\2 )2т|

и

Число £ произвольно, поэтому при замене ех на £, с на с получим:

(12)

2\2т-1 ,. 2

О,

< е

2(2т--)

2т °а,ги

I _ I 2 - . 2(2т-])

+ с( е - +е -)

НЮ2 т

I м2

и ,

что и требовалось доказать. Следствие 1.1 доказано. Лемма 1.2. (см. [62]).

Пусть выполнены условия 1.1 и 1.2, т > 2к -1, к > 2, тогда для любой функции и (г) е Н 2т,а,^ ( 0; й ) справедлива оценка

2

т ,

Ъ (1

]=0Ч

2 \ 2т-]

< С (IА 0, ва1, д,) и (г )||

+

+(1 + 102Г [ЕЙ)'-]Ке (д?"(°)д',и (0))-1 дк-1и (0 )

V ]=0 2

л л

с константой с > 0, не зависящей от 0, и . Доказательство.

Для начала заметим, что С2т [0; й] плотно в Н2т,а,^т- (0; с1), поэтому неравенство (1.23) достаточно доказать для функций из С2 т [0; й].

Умножив скалярно в 4 (0, й) обе части уравнения (1.13) на функцию Ьи (,), получим:

(А 0, Ба,, д,) и, Ьи) = (4?т (0, Ва )и, Ьи) + Ь(-1)к (д ?к-1и, Ьи) = (/, Ьи) Возьмем вещественные части левой и правой части этого равенства: Яе ( А(0 Д,,, д,) и, Ьи ) = Яе ( ¿^ (0, Ва1 )и, Ьи ) + +(-1)к Яе (Ь(д ?к-1и, Ьи)) = Яе (/, Ьи)

При этом в пространстве 4 (0,й):

(1.24)

кс 77

11г,2 (о,¿о 'II 111,2(о,^)

^(и,и), т.е. (и,и)

и) = и

следовательно, мнимые части можно не рассматривать.

Применим условие 1.1 и свойства весового преобразования Фурье

к скалярному произведению (42т(0, Ба,и, Ьи). Сначала применим свойство 1:

(4т (0, До>, Ьи) = 1- ((0, Ба>]^), Ь^Д«](т)) (1.25)

Здесь:

4?т (0, В^Кт) = ^

Применим свойство 2:

Ъ ]](,)

г|+]<2т

(т) = Ъ ах£¥а[Б]иШт1)

||+]<2т

2

2

2

Ъ )](т) = Ъ а]?т]^[и](т) = Fа[u](т) Ъ а0Т] =

||+]<2т ||+]<2т ||+] <2т

= К[и ](Т) ¿2 т 0,Т

Подставим полученное выражение для ^а[ ¿2т0, Ба,,)и](т) в (1.25), получим:

¿т (^[¿2 т (0, Баг )и](т), Ь^Ди](т)) = ¿2 т 0, Т) ^[и](т), Ь^,[и](т)) = = ^ Г ¿2 т 0,Т) Ра[и]Тт)ЬГа[и]Тт)йт = Ь Г К[и](т)\йт = = Ь ^ Яе ¿2 т (0,Т) + 11т ¿2 т ^ )| Ра МТ^Т =

= Ь £ Яе ¿2т 0,Т)| ^а[и](т)|2 йт + ^ ¡~ 1т ¿2 т 0,Т)| ^[и](т)|2т

Отсюда по условию 1.1 получаем:

Яе(4 т (0, В а,, )и, Ьи) = Ь £ Яе ¿2т 0,Т)| ^а[и](т)|2йт > - СЬ £ (1+02+т2)тН>](т)|2 йт

По формуле бинома Ньютона:

(1 + 0|2 + т2)т = <р(0) = 1 + 0|2 = Ш) + т2)т =

= Ъ СУ0У-Т >

]=0

сЪ

С > 1

т т/ О \ т-]

>Ъ^(!)т-'Т2' = Ъ(1 + 0 ) Т2]

=0 =0

(1.26)

(1.27)

Обозначим с = —, тогда воспользуемся оценкой (1.27) в (1.26): 2тг

Яе(Ь2т(^Оа;)иМ) > + 0|Т Л2] КШЛ)\2 ¿Л =

°° 7=0

~ / 9 \ т~] /• +оо I 2 ~ -т / г)\т~]

7=0 ™ 7=0

По свойствам весового преобразования Фурье:

~ I 9 \ 2 ~ -т / 9 \ 7

+ Н ||^ЛМ](77)|| =с£ 1 + 01

7=0 7=0

Ш / Ч УУ2_J Ш / Ч УУ2_J

7=0 7=0

Обозначим сх = 2 л с, тогда получим:

т , .

Яе^(\,Оа,г)и,Ьи) > с1 Х(1 + \| )

-=0

О ,ги

Перейдем к рассмотрению слагаемого (-УИ-е^д^ 1и, Ьи)) в (1.24). Будем

его исследовать с помощью метода интегрирования по частям.

й й й Ь(д 2к-1и, Ьи) = Ь |д 2к-1и (г )Ъйг)йг = ьЬjд 2к-1и(г )Ыг)йг = |Ь|2 |д ]к-1и(г )Ыг)йг (1.29)

(1.28)

Рассмотрим отдельно интеграл в правой части равенства.

й _

|д,2к-1и (г )и(г )йг =

и = и(г)

д2к-1и(г )йг = йу

=д

2к-2и(г )и(г) - Гд,2к-2и(г )д, и (г )йг (1.30) 0 ^

По условию теоремы 1.3 т>2к -1, поэтому

д2к-2-ги (й )д;и(й) = 0, г = 0,...,2к - 2,

т.к. 2к- 2 < т-1, а значит, д]и(й) = 0 по краевым условиям (1.15). Отсюда

д2к-2и(г )и(г) = д,2 к-2и(й )и(й) - д,2 к-2и(0)и (0) = -д,2к-2и(0)и(0)

12 к-2

2 к-2, г

2к-2

Подставим эту формулу в (1.30):

а а

|д2к-1и(г МОйг = -д2к-2и (0)и(0) - |д2к-2и(г )д, и(г)йг = -д2 к"2и(0)й(0) -

0 0 _ ^ й _ _

-д2к -3и(г )д и(г) + Гд 2к-3и(г )д2 и (г )йг = -д? к-2и (0)и(0) + 0

0

_ _ й _

+д2к-3и(0)ди(0) -... + |дк-1и(0)|2 - дк-2и(0)дки(0) -... - \и(г)д2к-1и(г)йг

Это равенство можно переписать так:

2 к-2

|д,2к-1и (г )и(г )йг = и (г )д2к-1и(г )йг + £ (-^д,2 к-2-ги(0)д>(0)

0 0 г=0

Заметим, что это равенство эквивалентно такому равенству:

0

0

0

й

0

2к-2

|д2к-1и(г )и (г )йг = -|д 2^~1и{г)и (г)йг + X (-1)г+1д ^и (0)3^0)

0 0 г=0

Отсюда:

й _ 1 2 к-2 _

Яе ] д^ЧгМгй = - X (- 1)г+1д 2к ~2_1и(0)д1 и(0)

0 2 1=0

Преобразуем сумму в правой части равенства:

2 к-2

X (-1)г+1д;2k "2"ги (0)д\и (0) = 1=0

= XXX ((-1)г+1 д2 к"2"ги(0)д;и(0) + (-1)2 к"1"1 д ;и(0)д2к-2"ги(0))

к-2

+

+(-1)к-1+1 д к-1и (0)дк-1и (0) =

к-1

(-1)2к-1"1 = (-1)2к (-1)-1-1 = 1

2к

(-1)

1+1

=(-1)

г+1

X (-1)г+1 {д^-^иф^и (0) + ди^д2'-2'1 и(0)) + (-1)к |д к-1и(0)

1=0

к-2 / _ _

X (-1)1+1 (д2к "2"1и(0)д;и (0)+д2к-2-1и (0)д

.•л >

+(-1)к д к-1и(0)

= Х(_1)+12Ке (д^ "2_1и (0)д;и(0)) + (-1)к |д к-1и(0)

к-2

1=0

Финализируя оценку для (-1)кЯе (Ь (д^ 1и, Ьи)), получим:

й _

(-1)к Яе (Ь (д,2к" 1и, Ьи )) = (-1)к|Ь| 2Яе ^д,2 к" 1и(г )и(г )йг =

0

1 к-2 _ 2

= (-1)к |Ь|^^(-1)1+12Ке(д,2к"2"1и(0)д;и(0)) + (-1)к |дк-1и(0)| )

2 1=0

к-2

|Ь|2 Х>](-1)к+1+1 Яе (д2к-2"1и (0)дги(0)) + И-1 д к-1и(0)

1=0 2

Подставим оценки (1.28) и (1.31) в (1.24):

Яе(/, Ьи) > с X (1 + \\2 Г-

-=0

О- г ги

+

+| Ь|2 ]-:(-1)к+1+1 Яе (дг2к-2-1и (0)д \и (0)) + И-1 дк-1и (0)

1=0 2

(1.31)

2

2

2

2

2

с, + \\2)

- =0

2\ т" -

О- ,и

+

Ь2

\дк-1и (0)

<

к-2 _

< Яе(/, Ьи) - |Ь|2 X (-1)к+1+1 Яе (даk-2-1u(0)д;u(0))

1=0

Отметим, что:

Яе( /, Ьи) = Яе(Ь( /, и)) = Яе Ь Яе( /, и) < < Яе Ьу/Яе2( /, и) + 1т2 (/, и) = Яе Ь |( /, и) Далее потребуется неравенство:

(1 + \2)" |( /, и)\ < /| Г + е(1 + \\2)

2\2от|| ||2

Действительно:

V

г II/II -е+

л2

и

> 0,е > 0

е

е Л Г - 2Тее +

2 т

1 ^(1

и +е(1 +

2т

и > 0

1,1 "|2 + е(1 + \2)2"И2 >2(1 +

и >(1 +

и >

1 +

и

)1

Умножим левую и правую часть неравенства (1.32) на (1 + \\2)п

< XX (1г

-=0

оа и

(

+(1+

Ь21 д?-1и(0)

<

к-2

(1.33)

(1.34)

< (1 +1\)т Яе(/, Ьи) - |Ь|2 (1 +1\)т X>;(-1)k+1+1 Яе (д;2k-2-1u(0)д;u(0)) Заметим, что

(1 + \\2 )т Яе(/,Ьи) = (1 + \\2 )т ЯеЬ • Яе(/, и) < ЯеЬ • (1 + \\2 )т |(/, и)| Воспользуемся неравенствами (1.33) и (1.34):

с X (1Г-

-=0

оа, и

2+(1+-,2,

|Ь|2

д к( -1и(0)

<

< Яе Ь

+ е(1 + \\2 )2тИ2 ] + |Ь|2 (1 + \\2 )т :^(-1)к+1 Яе (д 2к-2-1и(0)д;и(0))

Разделим левую и правую часть неравенства на |Ь|2

С Ъ <■+0' Г

+

(1 + |02)" 1 дк-1и(0)

<

<

Яе Ь (1

Ы'

(\ 2т Л / \ т к 2 ,

1 + |02) И2 +(1 + 02) Ъ(-!)к+гЯе(д2к-2-и(0)д,и(0))

' ) Х ' 1=0

(2 \т 1

1 + |0 ) — д^-1и(0) вынесем (1 + 02) как общий множитель:

в правую часть неравенства и

/-» т / \

ЬтЪ (1+0)

2\2т~]

Ки

2 ЯеЬ( 1

<

Ы2

(т1 Г+£(12 ^^^^^^^^

+

+(1 +102 )т (Ъи)'* Яе (д2к-2-ги (0)д,и(0)) -1 дк-1и(0)

У ' Vг=0 2

Выбирая £ достаточно малым, получаем требуемую оценку. Лемма 1.2 доказана.

Лемма 1.3. (см. [62]).

При выполнении условий леммы 1.2 для любой функции и({) еН 1т (0;<:/)

2т 2ЬА

и для любого £ > 0 верна оценка

г\2т

<£

2т

+

Д2к-1 д и

1

+

+С (£)(|| А (0, Б а,,, д, ) и\\2 +(1 + 0 2 )

2т 2 и

(1.35)

Доказательство.

Обе части равенства (1.13) умножим скалярно на ^¿„РОти, а затем перейдем к их вещественным частям:

( ¿2т (0, Ра, Х0 ,), а0,2тБа> ) + (д?-1и0,, ), ) =

=( / (0,,), а^вати)

2

2

2

Яе (¿2т Оа ,г )и, а^ОЦи) + (-1)к Яе (Ь (д?-1и, а^ОЦи )) =

= Яе (/, а^ОЦи) Рассмотрим первое слагаемое в левой части равенства.

(1.36)

/ \ ( ¿2т (\Оа,г )и, а0ЛтО1 У )= X ОИ «Ь^И

-<2 т

по свойствам

скал. произведения

М+-<2

+ X а\{В-иа0ЛтО1ти) =

||+-<2т,

Н>1

X ( и а0,2 т^и ) = а0,2 та0,2 т\

+ X а\{ О

+

2т Оали

а,ги,а0,2т

Ц<2п

II

О>)

Перейдем к вещественным частям:

Яе (¿2т (\, Оа,г)и, а0,2тОти) =

|О,2тН12 +Яе X аТ\Т(о-и а0г2яР2и)

2

а0,2т

(1.37)

||+-<2т ||>1

Подставим последнюю формулу в (1.36), получим:

а,

0,2т

Д2!>

+ Яе

X аг-\г(Оаи а0,2тО>)

||+-<2т,

V н>1 ,

+

+(-1)к Яе (Ь (д2к-1и, а0,2 )) = Яе (/, а0,2тОв>) О>|2 + (-1)к Яе (Ь (д2к-1и, а,Лпр1ти )) =

2

а0,2 т

= Яе (/, а0,2 тОти)- Яе

X а \Т(DJ и,аП9 О2)

/ / I у а ,г ' 0,2 т а ,г у ||+-< 2 т,

V М* ,

<

(1.38)

2

<

аП9 О2ти

0,2т ,г

+

X а,-{'[°а.

и,аП9 о2ти

г 0,2т ,г

||+-< 2 и ||>1

Заметим, что по неравенству (1.34) при т = 0:

(/, а^и)

<

а,

0,2т

т\2т Ват«

2 1 + 1 /

£ У

(1.39)

Оценим

X аТ^(Д,«, ао,2„£>> )

г|+7 < 2 т,

Н>1

X аГ70г(Б,«,ао,2тД2>)

г|+7 <2т,

Н>1

с помощью неравенства (1.39):

по свойствам скал. произведения

X а 1тБ}и,аП7 Б2т'

/ 1 т а,г ' 0,2т а,, |+7 <2

V I

и

Т1+7<2т,

II

<

а

0,2т

тл2т

2 1

+ —

£

X а

и

г|+7<2т, |т|>1

2

Теперь оценим

X а^В,,«

г|+7<2 т,

Н>1

X ^ГВ,«

т|+7<2т, 1|>1

2т-1 2 т-7 2 т—1 2т—7

X X ат <1 а:,«

7=0 |т|=1 7=0 1=1

(1.40)

Для получения необходимой оценки потребуется следующее утверждение.

Утверждение 1.1.

0Р|<|0Р ,Р - мультииндекс, п

Доказательство.

Докажем утверждение при п = 2.

0 = (£,£),/? = (Д, Д), Д е г, Д е г, Д > 0, Д > 0

Р +Р2

(^ + 2 , |0Р| = |01Р10

Р+Р2

01Р02Р1 V (012 +022) 2 Возведем обе части в квадрат: V(íl2 + £2)р+р

Пусть а = \, Ь = \, тогда неравенство будет выглядеть так:

айЬй V (а + Ь)й+й2,а > 0,Ь > 0 По формуле бинома Ньютона:

Й1+Й2

(а + Ь)й'й = X акЬ"

каждое слагаемое неотрицательно.

к=0

При к = Д слагаемое будет выглядеть так: Сй+рай Ьй, 1.

следовательно,

й +Й2

(а + Ь)й *й = X Сй+йакЬй'п- + Сй+ЙайЬй >айЬй ^#й|<\\'й

к=0,к

Общий случай размерности п доказывается аналогично. Утверждение 1.1 доказано.

Продолжим исследование (1.40).

2т--

X -

|=1

2т-- 2т--

< X К; ! < |по утверждению 1.1| < X Кл\\\

||=1

||=1

В правой части неравенства многочлен, поэтому его можно ограничить сверху следующим образом:

2т--

X г^л \

<

||=1

с. = тах

- 1<||<2т--

а.

2т--

2т--

< с- X = '-X СП- \\' <с- (1 + )

2т--

||=1

I=1

Подставим эту оценку в (1.40):

X

г|+-<2 т, ||>1

2т-1

<

X с-(1 + \)

2т--

<

-=0

с = тах с

з

2т-1

< с X (1 + \ )2

=0

Оа ,ги

Далее потребуется несколько дополнительных утверждений.

Утверждение 1.2.

/ Л 2

( п \ п

(^сх 1 < с2>,2

V ¿=1 У ¿=1 Доказательство.

п = 1: х12 < х12

n — 2:

(x^ i x^) x-^ i 2 x^ x^ i x 2

(x^ X2) — x^ 2x^x^ i x^ 0 2 ^x^x^ «x^ i x2

< 2(x2+ x22)

n — l:

/ 1 \2

Sx < cS x2

V 2=1 У 2=1

n — l + 1:

f I+i V

,X

V 2—1 У

^ l

2

S x < S x + xi+i = S x + 2 S

V 2—i

l2

l

x,.

xl+l + xl+1 —

пользуемся приемом из n — 2

у v 2—l у v 2—i у 2

l

^ l N 2 Л

— 21 S x I + 2xl+i2 — 2 I Sx I + xl+i2

2—i

2—i

<

f l \ ( 1 Л 1+1

< 2 CS x2 2 + x+l2 < с = max{c,l} = 2c Zx2+x+i2 = c2X

V 2—l У V 2—l У 2—l 2=1

Утверждение 1.2 доказано. Утверждение 1.3.

(i+|#2"- j) < c (j) (i+lil2 )2m- j

Доказательство.

(i+|^)2(2 m-j)—((i+|^)2 )2m-j—(i+2 m

2\2т-]

+ ) < |по утверждению 1.2| <

<( 2 (1 +

2\ \2 m-j 9 2 II _ ^2m-j

l +

2m-j

Утверждение 1.3 доказано.

Воспользуемся последним неравенством и утверждениями 1.2 и 1.3 для

оценки квадрата нормы

S aJTDL<

||+j<2m,

НИ

u

S

u

||+j<2 m,

НИ

<

2 m—l

2

с S (i+lfl)2m-j

v j—0

D>

<

2

2

, 2т—1

<с2с£ 0 + |£|)

7=0

2(2 т-])

. 2т—1

<

с = с2стахс(у)

<с2сХФ')(1 + |^|)

7=0

2 т—1

2\2т—7

<

7=0

2\2m-j

Таким образом, получаем оценку для

X А2,И «0,2Лти )

||+7< 2 т,

Н>1

X «0,2„О)

| % |+7<2т,

м>

< «,

0,2т

О

21 + —

8

<

/

«0,2 т 8 V О

2 с

V

2т—1

X «.^^и

| % |+7<2т,

2

<

(1.42)

+-Е(1+1Ф

2\2т-у

8 7=0

\

2

В] и

2,г

/

Воспользуемся следствием 1.1 для оценки суммы в правой части (1.42):

2т-1

X (1+11)

7=0

2 2т-

2

<

2т-1

< £(8

7=0 У

2т-1

2(2т-7)

2т

В2,И

+ с3 (е~27 +82(2т-7)

)(1 + ||2)2тУ1 2 <

2 т—1

д2>|| X 82(2 т-7'+(1+II 2)2т И2 X (^+82(2 - >)

7=0 7=0

Подставим эту оценку в (1.42):

X 1% (£>2и а^тРаИ)

| % |+7<2 т, |%|>1

<

«

с +—

8

2т—1

0,2т

2т—1

О

+

в>\ I +а+\Ф2т 1НГ I ^ + 8

-27 _!_ с- 2(2т—7)

7= 0

7= 0

Л\

//

< (1.43)

<

«

0,2т

о

2т—1

2т—1

2 + £Х82(2и"7)

8 7=0

"27 I с- 2(2т—7)

+

+8

V8 7=0

)(1+||2)

2т|И||2

пусть

Примем 8 достаточно малым (^ произвольно по следствию 1.1) -< 1

2т —1

2т

Х^12,2т—7 >=1е7 <Ее."

7=0 7=1 7=1

|2 7

ел < 1, поэтому мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической

^ е2

прогрессией, следовательно, Ее27 =—^г. Таким образом,

7=1 1 — е1

2т—1 „ 2

. 2(2т—7) < е1

Ее,2

7=0

1 — е2

„ 2 „2 £, £

Выберем £1 так, чтобы —1— = —. Решая это уравнение, получим:

\-£х с

£

с + £

, причем е < 1, тогда

2т—1

е 7=0

£1=^£2/(С+Е2)

= С 4 (е)

(1.44)

Подставляем выражение для е1 в (1.43):

Е Н а0,2т^т )

|||+7 <2 т, ]г|>1

<

<

а

0,2 т

е

Д2атн

+ е

+

С4(е)(1 + )

2\2т |1 II2

Н

а

0,2т

2е

^2т

+ С4(е)(1 + |)

2\2т II II2

и

Таким образом, получены оценки:

2т—1

1(1 + |2)

7=0

2 2т—

Д,Н

< е

2т

+ С2(е)(1 + ||2)

2 2т 2

Н

(1.45)

Е аТ]!Т(а0,2Дти)

||+7<2т, ||>1

<

а

0,2т

(2е||Д>||2 + С4(е)(1 + ||2)2тНГ) (1.46)

Подставим оценки (1.39), (1.46) в (1.38), получим:

а,

0,2т

Т\2 т

+ (-1/ Яе (ь (а?к-1и, «0,2т^2^и ))<

<

а

0,2т

38

Т\2т

2+1||/\ I2+С4(8)(1 + ||2)

8

2^2т|| II2

И

<

<

1

с5(8) = тах,с4(8) \ ^ [8 ]

Итак, получаем оценку:

<

а

0,2т

38

гл2т

Вали

+ С

+

(1 + || 2)2т\\и\\2))

а

0,2т

г\2т В2Ли

+ (-1/ Яе (ь (а,2 к-1и, «0,2 тв>))

<

<

0,2т

38

т\2т

Ваги

+ С5(8)

+

(1 + ||)

2\2т N II2

И

(1.47)

Теперь необходимо оценить слагаемое (-1) Яе (Ь (а2

И, «0 2т^а г

и)) в левой

части неравенства (1.47):

(-1/ Яе (ь (а2к-1И, «0,2 Л2и )) = (-1)к Яе (ь«0,2и (а 2к-1«, ва;« ))= = (-1/ Яе (ь^) Яе (а2к-1И, в^и )

(1.48)

Рассмотрим множитель Яе (а^ 1и, в2™«) - будем перекидывать операторы а,

в правую часть скалярного произведения:

(аГ1«,В2ти) = -1и(г)в2^«(гс = |аг (аГ2«(г)в«(гс

интегрируя по частям:

и=вати (г) с¡V = а,(а,2 к-2и (г)) Сг

а2к-2и (г) вати (г) - \а2к-2и(г ^ва™« (г )Сг

п •>

= а2к-2и(й) вати (й) - а2к - 2и (0) в2™« (0) - (а2к-2«, а вати)

Отметим, что 82к 2и(С)ват«(С) = 0 по краевым условиям (1.15)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панков Владимир Владимирович, 2024 год

Список литературы

1. Олейник, O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / O.A. Олейник // Доклады Академии наук. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 885-887.

2. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Доклады Академии наук. - 1951. -Т. 77, № 2. - С. 181-183.

3. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

4. Вишик, М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик // Математический сб. - 1954. Т. 35 (77), вып. 33. - С. 513-568.

5. Вишик, М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик, В.В. Грушин // Математический сб. -1969. - Т. 80 (112), вып. 4. - С. 455-491.

6. Вишик, М.И. Вырождающиеся эллиптические дифференциальные и псевдодифференциальные операторы / М.И. Вишик, В.В. Грушин // Успехи математических наук. - 1970. - Т. 25, вып. 4. - С. 29-56.

7. Михлин, С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С.Г. Михлин // Вестн. Ленинградского гос. ун-та. 1954. - № 8. - С. 19-48.

8. Олейник, O.A. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О.А. Олейник, Е.В. Радкевич // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М., 1971. - Вып. Математический анализ. - С. 5-93.

9. Кондратьев, В.А. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях / В.А. Кондратьев // Труды конференции им. И.Г. Петровского. М., 2006. -Вып. 25. - С. 98-111.

10. Кондратьев, В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности / В.А. Кондратьев // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 2. - С. 246-255.

11. Кондратьев, В.А. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка / В.А. Кондратьев, Е.М. Ландис // Математический сб. 1988. - Т. 135 (177), № 3. - С. 346-360.

12. Егоров, Ю.В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев, O.A. Олейник // Математический сб. 1998. -Т. 189, № 3. - С. 45-68.

13. Олейник, O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой / O.A. Олейник // Математический сб. 1966. -Т. 69 (111), вып. 1. - С. 111-140.

14. Кон, Д. Некоэрцитивные краевые задачи / Д. Кон, JI. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы: сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

15. Глушко, В.П. Коэрцитивность в £2 общих граничных задач для

вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Глушко // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, вып. 3. - С. 87-88.

16. Глушко, В.П. Оценки в £2 и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка / В.П. Глушко // Труды Московского математического общества. 1970. - Т. 23. - С. 113-178.

17. Рукавишников, В.А. О коэрцитивности обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников, А.Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. -2005. - Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

18. Антонцев, С.Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С.Н. Антонцев, С.И. Шмарев // Сибирский математический журн. 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

19. Рукавишников, В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных /

B.А. Рукавишников // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. -

C. 402-408.

20. Глушко, В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 47 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 1048-79.

21. Глушко, В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. - Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 1972. - 193 с.

22. Исхоков, С.А. О гладкости решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением / С.А. Исхоков // Докл. Академии наук. 2001. -Т. 378, № 3. - С. 306-309.

23. Левендорский, С.З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе / С.З. Левендорский // Математический сб. 1980. - Т. 111 (153), вып. 4. - С. 483-501.

24. Леопольд, Х.Г. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с невырождающейся второй производной / Х.Г. Леопольд. Новосибирск, 1981. - 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.08.81, № 426981.

25. Бочаров, О.Б. Численное исследование гидрофизических процессов при сохранении различных неизотермических моделей фильтрации двухфазной жидкости / О.Б. Бочаров, И.Г. Телегин // Теплофизика и аэромеханика. -2005. - Т. 12, № 4. - С. 457-467.

26. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Докл. Академии наук. - 1982: Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

27. Баев, А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев // Докл. Академии наук. 2008. - Т. 422, № 6. - С. 727-728.

28. Баев, А.Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений: монография / А.Д. Баев; Федеральное агентство по образованию, Гос. образовательное учреждение высш. проф. образования "Воронежский гос. ун-т". - Воронеж: ИПЦ Воронежского гос. ун-та, 2008. -239 с.

29. Лионс, Ж. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 371 с.

30. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. 4-е изд. - M: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 512 с.

31. Киприянов, И.А. О вариационном методе решения одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / И.А. Киприянов // Доклады Академии наук. - 1963. - Т. 152, № 1. - С. 35-38.

32. Киприянов, И.А. Об одном классе сингулярных эллиптических операторов. I / И.А. Киприянов // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 11. - C. 2066-2077.

33. Киприянов, И.А. О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов / И.А. Киприянов // Доклады Академии наук. - 1968. - Т. 181, №2 4. - С. 792-794.

34. Киприянов, И.А. О неравенстве Гординга для вырождающихся эллиптических операторов и его приложениях / И.А. Киприянов // Тр. МИАН СССР. -1969. - Т. 105. - С. 77-88.

35. Бицадзе, А.В. Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка / А.В. Бицадзе // Доклады Академии наук. - 1957. - T. 112, № 6. - С. 983-986.

36. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Доклады Академии наук. -1969. - T. 185, № 4. - С. 739-740.

37. Бицадзе, А.В. Нормально разрешимые эллиптические краевые задачи / А.В. Бицадзе // Доклады Академии наук. - 1965. - Т. 164, № 6. - С. 1218-1220.

38. Глушак, А.В. О вырожденном эллиптико-параболическом уравнении в неограниченной области / А.В. Глушак // Сиб. матем. журн. - 1975. - Т. 16, № 4. - С. 691-699.

39. Глушак, А.В. Разрешимость задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения в секторе на плоскости / А.В. Глушак // Доклады Академии наук. - 1975. - Т. 223, № 5. - С. 1048-1051.

40. Янушаускас, А.И. Об одном типе вырождения эллиптических систем // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 1. - С. 152-160.

41. Янушаускас, А.И. Некоторые граничные задачи для эллиптических уравнений, порядок которых вырождается / А.И. Янушаускас // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, № 6. - С. 1035-1042.

42. Янушаускас, А.И. К теории вырождающихся эллиптических уравнений / А.И. Янушаускас // Сиб. матем. журн. - 1974. - Т. 15, № 6. - С. 1394-1405.

43. Глушко, В.П. Об одном критерии существования свертки обобщенных функций / В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1982. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.82, № 5721-82.

44. Глушко, В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи / В.П. Глушко, Ю.Б. Савченко // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 23, ВИНИТИ. - М., 1985. - С. 125-218.

45. Крукиер, Л.А. Распространение примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле / Л.А. Крукиер, Т.С. Мартынова // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16, № 1. -С. 3-11.

46. Задворнов, О.А. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием / О.А. Задворнов // Изв. вузов. Математика, 2003. - № 1 (488). - С. 45-52.

47. Урев, М.В. Сходимость метода конечных элементов для осесимметричной задачи магнитостатики / М.В. Урев // Сибирский журн. вычислительной математики - 2006. - Т. 9, № 1. - С. 81-108.

48. Монахов, В.Н. Сопряжение основных математических моделей фильтрации двухфазных жидкостей / В.Н. Монахов // Математическое моделирование, 2002. - Т. 14, № 10. - С. 109-115.

49. Шишкин, Г.И. Метод повышенной точности для квазилинейного сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии / Г.И. Шишкин // Сибирский журн. вычислительной математики. 2006. -Т. 9, № 1. - С. 81-108.

50. Габасов, Р.Ф. Особые оптимальные управления / Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кирилова. М.: Наука, 1973. - 256 с.

51. Жермоленко, В.Н. Особые множества и динамические свойства билинейных систем управления / В.Н. Жермоленко // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005. - Т. 11, № 8. - С. 105-117.

52. Шкляева, Е.В. Оптимальное управление фильтрацией жидкости / Е.В. Шкляева // Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: тез. докл. конф., Новосибирск, 29-31 окт. 2002 г. - Новосибирск, 2002. - С. 63.

53. Свиридюк, Г.А. Неклассические модели математической физики / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. - Челябинск, 2012. - № 14. - С. 7-18.

54. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Доклады Академии наук. - 1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

55. Бунеев, С.С. Некоторые краевые задачи в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка: диссертация канд. физ. -мат. наук: 01.01.02 / С.С. Бунеев; Елец. гос. ун-т им. И.А. Бунина; науч. рук. А.Д. Баев. - Защищена 01.03.2016. - Елец, 2015. - 152 с.

56. Баев, А.Д. Об оценках решений одной краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе области / А.Д. Баев, В.В. Панков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2014: материалы международной конференции, Воронеж, 28 января 2014 года / под редакцией В.А. Костина; Воронежский государственный университет. - Воронеж: ООО "Издательство "Научная книга", 2014. - С. 58-62.

57. Баев, А.Д. Об априорных оценках решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / А.Д. Баев, В.В. Панков // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа «ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXVI», Воронеж, 03-09 мая 2015 года. -Воронеж: Воронежский государственный университет, 2015. - С. 36-39.

58. Баев, А.Д. Об априорных оценках решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / А.Д. Баев, В.В. Панков // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 26 января - 01 февраля 2017 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2017. - С. 31-34.

59. Баев, А.Д. О существовании решений одного класса краевых задач в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев, В.В. Панков // Доклады Академии наук. - 2017. - Т. 475. - № 5. - С. 487-489. - DOI 10.7868/S0869565217230013. (On the existence of solutions to a class of boundary value problems in a strip for high-order degenerate elliptic equations / A.D. Baev, V.V. Pankov // Doklady Mathematics. - 2017. - Vol. 96. - No 1. - P. 365-367. - DOI 10.1134/S1064562417040214.)

60. Баев, А.Д. Об оценке решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / А.Д. Баев, В.В. Панков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2018: Материалы Международной конференции, Воронеж, 25-31 января 2018 года / Под

редакцией В.А. Костина. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", 2018. - С. 143-147.

61. Панков, В.В. Априорная оценка решений краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков // Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2018: материалы международной научной конференции, Воронеж, 03-08 мая 2018 года. -Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет, 2018. - С. 272-274.

62. Панков, В.В. Об априорной оценке решений краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков, А.Д. Баев, В.Д. Харченко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2018. - № 4. - С. 161-171.

63. Панков, В.В. Априорная оценка решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа", Воронеж, 28 января - 02 февраля 2019 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2019. - С. 199-203.

64. Панков, В.В. О существовании решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков // Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2019: Материалы международной научной конференции, Воронеж, 03-08 мая 2019 года. -Воронеж: Автономная некоммерческая организация по оказанию издательских и полиграфических услуг "НАУКА-ЮНИПРЕСС", 2019. -С. 167-170.

65. Панков, В.В. Априорные оценки решения вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков // Современные методы и проблемы математической гидродинамики - 2019: Материалы международной научной конференции, Воронеж, 03-08 мая 2019 года. -Воронеж: Автономная некоммерческая организация по оказанию

издательских и полиграфических услуг "НАУКА-ЮНИПРЕСС", 2019. -С. 203-206.

66. Панков, В.В. О существовании и единственности решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков, А.Д. Баев, Н.А. Бабайцева // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2019. - № 3. -С. 79-92.

67. Панков, В.В. О существовании решения одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая 2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. -С. 158-161.

68. Панков, В.В. О корректности одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая 2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. -С. 154-157.

69. Панков, В.В. Об априорной оценке решений одной краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая

2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. -С. 161-164.

70. Панков, В.В. Оценки решения одного вырождающегося эллиптического уравнения / В.В. Панков, А.Д. Баев // Современные методы теории краевых задач: Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ — XXXI. Посвящается памяти Юлия Витальевича Покорного (80-летию со дня рождения), Воронеж, 03-09 мая 2020 года. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2020. - С. 165-168.

71. Панков, В.В. Об априорной оценке решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка /

B.В. Панков // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2021. - № 2. - С. 90-101.

72. Панков, В.В. О разрешимости одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / В.В. Панков,

C.А. Шабров // Прикладная математика & Физика. - 2022. - Т. 54. - № 1. -С. 5-14. - БОТ 10.52575/2687-0959-2022-54-1-5-14.