Начально-краевая задача для вырождающихся параболических уравнений в классах типа Харди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Капицына Татьяна Владимировна

• Капицына Татьяна Владимировна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Капицына Татьяна Владимировна

Введение

Глава 1 О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звёздных областях

1.1 Постановка задачи в звёздных областях

1.2 Класс Щ. Аналог теоремы Литтлвуда-Пэли

1.3 Смешанная задача в классе Щ

1.4 Аналог теоремы Рисса в классе Щ

Глава 2 Первая смешанная задача в для вырождающихся параболических уравнений в областях

с ляпуновской границей

2.1 Постановка задачи. Аналог теоремы Литтлвуда-Пэли

2.2 Класс Смешанная краевая задача

2.3 Аналог теоремы Рисса в классе Н2

Глава 3 Первая смешанная задача в Ьр, р > 1, для

вырождающихся параболических уравнений в областях с ляпуновской границей

3.1 Класс Нр

3.2 Смешанная задача в классе Нр

Глава 4 О разрешимости первой смешанной задачи для параболических уравнений со слабым вырождением типа Келдыша

4.1 Постановка задачи

4.2 Смешанная задача

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Начально-краевая задача для вырождающихся параболических уравнений в классах типа Харди»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Исследование поведения решений дифференциальных уравнений в частных производных и краевых задач для таких уравнений в окрестности границы рассматриваемой области является одним из важнейших и давно изучаемых разделов качественной теории. В настоящей диссертации рассматривается круг вопросов, связанных с изучением граничных значений решений вырождающихся на боковой границе цилиндрической области параболических уравнений второго порядка.

Одной из первых работ в этом направлении является классическая работа П. Фату [51], в которой, в частности, доказано, что аналитическая и ограниченная в единичном круге функция имеет п.в. на границе некасательные предельные значения. Дальнейшее развитие этот результат получил в работах А.Островского [63], Р. Неванлинна [62], Ф.Рисса [64], И.И.Привалова [43], Дж.Литтлвуда и Р. Пэли [57, 58], Н.Н.Лузина [59], Дж. Марцинкевича и А. Зигмунда [60], Г. Кёте [56], B.C. Владимирова [4] и др.

Наиболее близкими к рассматриваемому в диссертации кругу вопросов являются теоремы Ф.Рисса, Дж.Литтлвуда и Р. Пэли, в которых даются критерии существования предельных значений в Lp аналитических в единичном круге функций. Теорема Ф.Рисса утверждает, что необходимым и достаточным условием существования граничных значений в Lpjp > 0, является принадлежность функции к соответствующему классу Харди. Критерий Дж. Литтлвуда и Р. Пэли при р = 2 выглядит следующим образом: для того, чтобы аналитическая в единичном круге функция имела предел в L2 на границе необходимо и достаточно, чтобы квадрат модуля производной этой функции был интегрируем по кругу с весом, равным расстоянию до

границы. Работа Дж. Марцинкевича и А. Зигмунда позволяет дать критерий существования предела в Ьр на границе в терминах интеграла площадей Лузина.

Теоремы Ф. Рисса (с р > 1), Дж.Литтлвуда и Р. Пэли, которые, как нетрудно видеть, справедливы и для гармонически-вещественных частей соответствующих аналитических функций, не носят исключительно двумерного характера. Они переносятся и на случай гармонических функций многих переменных, и на решения однородного эллиптического уравнения 2-го порядка с достаточно гладкими коэффициентами в областях с достаточно гладкой границей; обзор результатов в этом направлении можно найти в книге М.Стейна [45], в работе В.Г. Мазьи [25]. Условия существования граничных значений в смысле обобщенных функций решений весьма общих однородных эллиптических уравнений были получены в работах Р. Си ли [65, 66], В.И.Горбачук и М.Л. Горбачука [6] и др. Достаточно подробный обзор результатов в этом направлении можно найти, например, в книге В.И.Горбачук и М.Л. Горбачука [7].

Вопрос о поведении вблизи границы области решений эллиптических уравнений тесно связан с исследованием разрешимости задачи Дирихле. Эту задачу можно, например, сформулировать следующим образом: из множества всех решений рассматриваемого уравнения выделить те решения уравнения, которые являются решениями задачи Дирихле в соответствующем смысле. Так, И.И.Приваловым была предложена постановка задачи Дирихле, в которой выполнение граничного условия требовалось в следующем смысле: для п.в. точек границы существует предел решения по всем некасательным направлениям и он совпадает со значениями заданной граничной функции. Для измеримых ограниченных граничных функций существует ограниченное

решение такой задачи Дирихле и пространство Ьж является классом единственности (для областей с негладкой границей ситуация более сложная). Естественно также рассматривать задачу Дирихле, в которой принятие граничного условия понимается в смысле Ьр, р > 1. Это позволяет расширить множество допустимых граничных функций. В случае двух переменных так определенная задача Дирихле (р = 2) для эллиптического уравнения 2-го порядка с гладкими коэффициентами (рассматривалось классическое решение уравнения) была исследована в работе Г. Чиммино [49]. И. Нечасом [61] было показано, что оператор, ставящий в соответствие граничной функции решение задачи Дирихле для однородного эллиптического уравнения 2-го порядка (как оператор из Ь2 в £2), допускает расширение на все Ь2. Конечно, рассматривая удовлетворение граничного условия в более слабом смысле и даже в смысле обобщенных функций, мы тем самым расширяем множество допустимых граничных функций, но такие ослабления автоматически увеличивают ограничения на другие данные задачи. Утверждения типа теоремы Рисса и Литтлвуда-Пэли дают описание множества всех решений эллиптического уравнения, каждый элемент которого является решением задачи Дирихле с некоторой граничной функцией, в терминах внутренних свойств самого решения.

В работах В.П. Михайлова [28, 29] было установлено, что условие Рисса и условие Литтлвуда-Пэли являются необходимыми и достаточными для существования предела в Ь2 на границе области для решения общего неоднородного эллиптического уравнения 2-го порядка с правой частью, принадлежащей определенному пространству, в произвольной ограниченной области, граница которой принадлежит классу С2 и был исследован вопрос об однозначной разрешимости задачи Дирихле для такого уравнения, когда

граничное условие понимается в смысле сходимости решения к граничной функции в Ь2 . Отметим, что ограничение на граничную поверхность области (принадлежность ее классу С2) является существенным в этих работах, так как только в этом случае существует необходимое для доказательства взаимно-однозначное соответствие между точками граничной поверхности и близкой ей «параллельной» поверхности. В работе Я.А. Ройтберга [44] теорема Рисса была распространена при р = 2 на решение эллиптического уравнения высокого порядка при некоторых ограничениях на правую часть уравнения. Обобщение результатов В.П.Михайлова на случай Ьр: р > 1, при более слабых ограничениях на правую часть эллиптического уравнения 2-го порядка было получено в работах А.К. Гущина [12], В.П. Михайлова [28], И.М. Петрушко [39].

В работе И.М. Петрушко [38] было показано, что приведенные утверждения остаются справедливы и для областей с ляпуновской границей. Во всех этих результатах выделяется некоторое ортогональное к границе направление и утверждается непрерывность решения как функции по специальной переменной со значениями в Ь2 по этому направлению. В работах А.К.Гущина и В.П.Михайлова [13], А.К.Гущина [8], В.Ж.Думаняна [14] были получены условия, при которых решение обладают свойством, аналогичным непрерывности вплоть до границы по совокупности переменных. Достаточно полный обзор результатов в этом направлении приведен в работе А.К.Гущина [11].

Изучение поведения вблизи характеристической плоскости решений однородных параболических уравнений в полупространстве (и в полосе), связанного с получение интегральных представлений таких решений, и установление теорем типа теоремы Фату проводились в работах Д. Уиддера [68],

Ф.Геринга [53], В.А.Кондратьева и С.Д. Эйдельмана [19], В.И.Горбачук и M.JI. Горбачука [6]. Обзор результатов в этом направлении можно найти в книге В.И.Горбачук и M.JI. Горбачука [7] и в работе Ж. Шабровского [50]. Отметим также цикл работ В.А.Кондратьева и С.Д. Эйдельмана [9, 18, 20], посвященный изучению свойств положительных решений дифференциальных уравнений в частных производных вблизи нехарактеристической гладкой поверхности, в котором, в частности, устанавливается суммируемость такого решения области, примыкающей к этой поверхности.

Степень разработанности темы исследования. Разрешимостью краевых задач для эллиптических уравнении, вырождающихся на границе области, посвящено большое число работ. Отметим, например, работы С.А.Чаплыгина [48], Ф.Трикоми [67, 47], С. Геллерстедта [54, 55], А.В.Бицадзе [1], посвященные разрешимости задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений 1-го рода с двумя независимыми переменными. М.В.Келдышем [16, 17] впервые отмечено, что постановка задачи Дирихле для вырождающихся на границе области эллиптических уравнении 2-го рода с двумя независимыми переменными вообще говоря зависит от младших коэффициентов. Обобщения этих результатов были получены М.И. Вишиком [2, 3], С.Г. Михлиным [30, 31], O.A. Олейник и Е.В. Радкевич [34], Л.Д.Кудрявцевым [22, 23], А.В.Бицадзе [1], С.М.Никольским [32, 33], С. А. Терсеновым [46], В.Н.Враговым [5] и др. Г. Фикера [52] для общего эллиптико-параболического уравнения 2-го порядка предложил простое условие для определения, когда нужно задавать краевое условие, а когда нет. Им же доказано существование обобщенного из Lp решения этой задачи. O.A. Олейник доказала единственность такого решения из Lp, р ^ 2, и исследовала его внутреннюю гладкость. Наиболее

полный результаты в этом направлении имеется в работе О.А. Олейник и Е.В.Радкевич [35]. Наиболее близкими к результатам диссертации являются работы И.М.Петрушко [41, 42], в которых рассматриваются вопросы разрешимости смешанной задачи для вырождающихся на границе области параболических уравнений в цилиндрических областях с боковой границей класса С2.

Цели и задачи диссертации. Изучение граничных значений решений вырождающихся параболических уравнений второго порядка в звёздных областях и в областях с ляпуновской границей; исследование первой смешанной задачи для вырождающихся уравнений, включая параболические уравнения со слабым вырождением типа Келдыша.

Научная новизна. Новизна полученных автором результатов состоит в том, что для решений параболических уравнений, вырождающихся на границе цилиндрической области с боковой ляпуновской границей, установлены необходимые и достаточные условия существования граничных значений в Ь2 на боковой границе и начальных условий в ¿2 с весом на ее нижнем основании. Определены условия на коэффициенты уравнений, при которых решение однозначно восстанавливается по своим граничным значениям. Впервые установлены критерии существования граничных значений в Ьр решений параболических уравнений 2-го порядка, вырождающихся на границе области, являющиеся аналогами теорем Рисса и Литтлвуда-Пэли. Установлено существование предельных значений в решений первой краевой задачи для параболических уравнений со слабым вырождением типа Келдыша на той части границы, где не задается граничное условие.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при получении

различных задач математической физики.

Внедрение результатов диссертационной работы в научно-исследовательский процесс кафедры высшей математики НИУ «МЭИ» подтверждено письмом председателю диссертационного совета БелГУ.22.01 за подписью проректора НИУ «МЭИ» от 04.09.2023 г.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа и математической физики, априорных оценок в соболевских пространствах.

Положения, выносимые на защиту.

• Установлен аналог теоремы Рисса для решений вырождающихся параболических уравнений в классе Н2 в строго звёздных областях.

• Получено необходимое и достаточное условие типа Литтлвуда-Пэли принадлежности классу Нр решений вырождающихся параболических уравнений.

• Доказана однозначная разрешимость начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в классе Нр для областей с ляпуновской границей.

• Доказана теорема — аналог теоремы типа Литтлвуда-Пэли для решений параболических уравнений со слабым вырождением типа Келдыша.

Степень достоверности и апробация результатов исследования. Основные результаты исследования четко сформулированы и математически строго доказаны.

Результаты диссертационной работы были представлены на международных и всероссийских конференциях:

— XXIX международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-29» (Саратов, 2016);

— XVII международная конференция «Электромеханика, электротехнологии, электротехнические материалы и компоненты» (Алушта, 2018);

— Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа» (Воронеж, 2019);

— VI Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, 2021);

— XXVIII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2022);

— Международная конференция «Уравнения в частных производных и смежные проблемы» (Белгород, 2022).

Публикации. Основные материалы и результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах [69]-[76], из них 6 статей в журналах, входящих в перечень ВАК, и 2 статьи в журналах, входящих в единую базу данных научной литературы Scopus.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 114 страницах, включает список литературы из 76 наименований.

Каждая глава делится на разделы. В каждой главе принята своя нумерация формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая — на номер формулы в пределах главы и раздела.

Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников из приложенного в конце диссертации списка.

Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов и математические определения понятий выделены наклонным шрифтом.

Согласно своему значению в тексте, их формулировки предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание, записанными жирным шрифтом. Нумерация этих структурных единиц текста аналогична нумерации формул. Первая цифра указывает на номер главы, вторая — номер утверждения в пределах главы. Ссылки на утверждения даются полностью, вне зависимости от того, в какой главе они находятся.

Рассмотрим цилиндрическую область Q = Q х (О, Т), где Q есть строго звёздная область с границей dQ £ С1+х, 0 < Л < 1. Не умаляя общности, можно считать, что начало координат содержится в Q, и область Q строго звёздна относительно начала координат. Для краткости такую область будем называть просто звёздной. В этом случае границу dQ области Q можно задать уравнением

\х\ = F(x),

где F(x) — положительная однородная функция нулевой степени. Область Q при этом задается неравенством

П = {\х\ < F{x)}.

Обозначим через Щ, 0 < ö ^ öo, подобласть области Ü:

^ = < (1 — ö)F(x)}

с границами дЩ = {|ж| = (1 — ö)F(x)} и наряду с расстоянием г{х) = = min \х — у\, х G £1, будем рассматривать расстояние

удовлетворяющее для всех х £ Q неравенствам

72 г{х) ^ г\{х) ^ 72г(ж),

с постоянной 72 > 0.

В области введем решение р(х) задачи

Др=-1, р|ап=0. (0.0)

Как известно [64], функция р{х) принадлежит С1+Л(Г2) и существует такая постоянная 71 > 0, что для всех х £ выполняются неравенства:

7i < р{х) < 7т(ж).

В цилиндрической области Q = Q х (0,Т) рассмотрим уравнение

Q п п

— - ^{al3{x,t)uXi)Xj + ^2at(x,t)uXi + a{x,t)u = f{x,t) (0.1)

i,j=1 г=1

с коэффициентами aij,ai £ C^Q), i, j = 1, • • •, п, a £ C(Q) и правой частью / £ ^2,ioc(Q), это уравнение будем предполагать параболическим в Q, т.е. для любой точки ж G i] существует такая непрерывная положительная функция 7(ж), что для всех £ = (£ь ..., £n) £ Rn

п

hj=1

Уравнение, вообще говоря, вырождающееся, т.е. j(x) —>■ 0 при ж —>• . Однако будем предполагать, что существует такая постоянная 70 > 0, что

для всех £ х (О, Т)

7° ^ ^ (7°) \

%3 =1

где ^(жо) — вектор внешней по отношению к О, единичной нормали к поверхности дО. в точке Хо.

Сразу отметим, что решение уравнения (0.1) в виду ограничений на коэффициенты уравнения и правую часть /(х,£) принадлежит пространству И/22'11ос((5) , что позволяет ввести понятие обобщенного ЭД^Ьс^) решения уравнения (0.1) для любых финитных по х функций.

Функцию и(х^) Е М/21'1°ос((5) называют обобщенным решением уравнения (0.1), если для всех финитных в функций т](х^) Е И-^1^)

д

-ищ + '"';./"./• //.,•; + + аиг1

%3=1

¿=1

<1хЖ = j ¡г]йх(Ы. (0.2) Я

Будем говорить, что функция г](х^) финитна по х в } если существует область , строго лежащая в О,, такая, что т](х,£) = 0 вне

Пусть функция и(х^), определенная в является обобщенным решением уравнения (0.1). Тогда в силу ограничений на его коэффициенты для любой функции т]{х^) Е И^ (Я) и финитной по х, для любого /3 Е (0, ¿о Т' Е (^Т1) в имеет место равенство

J и(х, Т')т](х, Т')с1х — J и(х, (3)г}(х, (3)<1х+ п п

Т'

+

/3 п

-ищ + ^ ",• //,•; + ^ сцих.г) + ащ

Ь3=1

=

г

¡3 tt

fr] dxdt.

(0.3)

что позволяет получить следующую лемму

Лемма 0.1. Пусть и{х^) — обобщенное решение из И/21'1°ос((5) уравнения (0.1), правая часть которого £ ^((5) • Тогда для любых

6,(3 £ (0, 60) и для любого Т' £ (^Т1) справедливо равенство

- I u2(x,Tr)ps(x)dx — - I и2(х, (3)ps{x)dx+

№

т>

+

1

г

j j S atjUXiuXjp5{x)dxdt - ^

/3 Щ iJ=1 /3 дЩ iJ=1

E

Px' Px ' \ о

dij I и dsdt-

Vp

T'

T<

/f* IV ^ rt /» ' V

/ ^{aijpxjx^dxdt - - / / ^ (агр^(ж))ж.и2бШ+

/3 Щ iJ=1 /3 Щ t=1

/3 Q*s

rj~\! r£!

+ J J au2ps(x)dxdt = J J fups(x)dxdt.

¡3 Щ ¡3 Щ

Введем обозначения:

М1ф{и) =

max

T>

[3 dill

u2dsdt + / u2{x, (5)p§{x)dx

Q*

Для любой функции u(x,t) G M^'ioci^) функция непрерывна

no 5 G (0,£o/2). Будем говорить, что функция u(x,t) принадлежит классу Щ , если

sup Mg о{и) < оо.

<5е(о,г0/2)

/Зе(0,<50/2)

Сформулируем теорему характеризующую этот класс. Теорема 0.1. Для того чтобы обобщенное из И/21'1°ос((5) решение и(х, £) уравнения (0.1) принадлежало классу Щ, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло неравенству

т<

п л П

J J У^ ajjUXiuXjr(x)dxdt + J и2(х, T')r(x)dx < оо. (0.4)

ß ü iJ=1 ü

Заметим, что принадлежность решения классу Н| равносильно выполнению условия Рисса, а выполнение неравенства (0.4) равносильно выполнению условия Литтлвуда-Пэли. Поэтому выполнение одного из этих условий влечет за собой выполнение другого. (Условие Рисса описывает поведение решения вблизи границы области, а условие Литтлвуда-Пэли дает глобальную оценку решения внутри области.)

Далее введем понятия граничного и начального условий, использующее свойство звёздности области Q .

Будем говорить, что функция u(x,t) G W^^Q) принимает граничное значение

u\dQx(o,T)= Ч> (0-5)

в смысле L2 , если

т'

lim / / [и{{ 1 - ö)x, t) - <р(х, t)]2 dxdt = 0. (0.6)

J J

/3^+0 ß 9Q

Пусть щ(х) G L2(i^,r) пространству L2 с весом г(х). Будем также говорить, что принадлежащая W^'kxXQ) функция u(x,t) удовлетворяет начальному условию

u\t=Q= щ{х) (0.7)

в смысле L2 с весом г, если

lim / [и(х, (3) — щ{х)] r(x)dxdt = 0. (0.8)

<5^+0, J /з^+о m

Принадлежащая W^^Q) функция u(x,t) называется обобщенным из

л,о

W2\oc{Q) решением первой смешанной задачи (0.1), (0.5), (0.7) с f{x,t) G G L/2(Q), если она удовлетворяет интегральному тождеству (0.2) для всех финитных в Q функций f](x,t) G W^Q) и удовлетворяет граничному и начальному условиям (0.5), (0.7) в смысле равенств (0.6), (0.8).

Теорема 0.2. При любых tp G L2(dQ х (0, Т)); щ{х) G г) и любой f(x,t) G L/2(Q) первая смешанная задача (0.1), (0.5), (0.7) имеет обобщенное решение из }oc(Q) . Это решение единственное и для него справедлива оценка

т

/л ть „ п

/ У^ (iijUXiuXjr{x)dxdt + / u2(x,T)r(x)dx+

+ max

0 Q Q

T

2 , IL./™ e\ 112

и\\ь2(дп1х(о,т)) + \\и(х> $)\\ь2(п,г) + J J и (x,t)r(x)dxdt ^

о п

^ (||/Щ2(д,г2) + 1М1|2(Шх(0,т)) + 11мо|||2(п,г)) •

Введем следующую теорему, показывающую, что фактически теорема 0.2 описывает решение в классе Щ .

Теорема 0.3. Пусть функция и{х^) является обобщенным решением из И12,'\ос(0>) (/ ^ ^{Я)) уравнения (0.1) с коэффициентами, удовлетво-

ряющими следующему дополнительному условию: существует такое число 72 > О, что для всех (x,t) G Q и £ G Rn выполняется неравенство

п h3=1

с показателем 0 < т < 2.

Тогда если u(x,t) принадлежит классу Щ, то она имеет предел в Ь2 на границе dil х (О, Т) и имеет предел при t —>■ 0 в L2 с весом г(х), т.е. существуют такие функции ip(x,t) G L2(dil х (0,Т)) и Мо(^) G L2(Q,r), что выполняются равенства (0.5) и (0.7).

Введем другое понятие принятия граничного условия.

Напомним, что вместо расстояния г(х) от точки х G до границы dQ также используется решение р(х) задачи Дирихле (0.0) в области Q, которое уже встречалось в лемме 0.1. Хорошо известно [26], что эта функция принадлежит классу С1+Л(Г2) и эквивалентна расстоянию г{х). Кроме того, в силу леммы Жиро [27]

Я п

< 0. (0.9)

др dv

ЭП

В дальнейшем удобно предполагать, что функция р продолжена нечетным образом за границу области дО. на все пространство Мп с сохранением класса С1.

Для достаточно малых 6 > 0 рассмотрим семейство подобластей = = {х £ Г2, р(х) > , которые в силу эквивалентности р(х) ~ г(х) сходятся к О, при 6 —>• 0. При этом граница совпадает с поверхностью уровня р = 5. Зафиксируем точку х° £ дО, с нормалью и0 = ь>{х°) и рассмотрим в окрестности этой точки замкнутой области О, локальную систему координат

у = (г/1,..., уп) = (ууп) с началом в точке х° , в которой ось уп направлена вдоль нормали и0. Функцию (р(х) — 6) в этих локальных координатах обозначим Я(6,у',уп). Тогда

д

Л7>

[р{х) - 6}

_ дВ_

,о дуп

< 0.

(<5,0,0)

Следовательно, по теореме о неявной функции существуют такие положительные числа 5о,го, <§о и функция ср(6,у') Е С1+Л([0, <5о] х {\у'\ ^ то}), по модулю не превосходящая <§о , что

В{х0) = ПП{{\у'\^го}х{\уп\^зо})

является замкнутой областью, в которой при 0 ^ 6 ^ ^о уравнение 11(6, ууп) = 0 запишется в форме уп = (р(6, у'). Уменьшая при необходимости параметры го и 6о, можем таким образом считать, что при 0 ^ 6 ^ (^о пересечение В(х°) П представляет собой поверхность Г^ж0), которая описывается уравнением уп = (р(6,у'), \у'\ ^ Го- При 6 = 0 символ нуль в обозначениях опускаем: = и Го(£) = Г(£).

В локальной системе координат отображение (у<р(0, у')) —>■ (у', (р(6, у')) осуществляет диффеоморфизм Г(ж°) —>■ Г<5(а?°) класса С1+х. В исходной системе координат его обозначим

х^х6, х £ Г(х°). (0.10)

Геометрически это отображение представляет собой проектирование вдоль направления и0 поверхности Г(х°) на Г^(а?0).

Будем говорить, что функция u(x,t) G W^^Q) принадлежит классу Н2,если функция

Т'

Ms(u) ~ J J u2dsdt + J и2(х, 6)p(x)dx

<5 dilg ilg

ограничена no 5 G (0, Sq/2] .

Сформулируем теорему, устанавливающую условия существования граничных и начальных значений обобщенного из W^'ioci^) решения.

Теорема 0.4. Для того, чтобы обобщенное из Wl^oc(Q) решение u(x,t) уравнения (0.1) принадлежало классу Н2, необходимо и достаточно выполнения условия

т<

J и2(х, T')r(x)dx + J J ^^ aijUXiuXjr(x) dxdt < oo. il 0 il lj=l

По определению функция u(x,t) G принимает граничное

значение (0.5) в смысле Ь2, если для любой точки хо G dQ и Т' G в обозначениях (0.10) существует предел

Т<

JimQ J J \u(xs,t) — Lp(x,t)\2 dsdt = 0. (0-11)

<5 Г(ж°)

Будем также говорить, что принадлежащая W^^JyQ) функция и(х, t) удовлетворяет начальному условию (0.7), где щ(х) G L2(Q,r) в смысле Ь2 с весом г(х), если

JimQ J \и(х, 5) — uo(x)\2r(x)dx = 0. (0.12)

Sis

Теорема 0.5. При любых р> е Ь2(д{1 х (0,Т)); щ(х) Е Ь2(Г2,г) и / £ -^2(Я,г2) первая смешанная задача имеет обобщенное из И/21'1°ос((5) решение. Это решение единственно и для него справедлива оценка

тах

¿е(0А]

\и\\2Ь2(дПвх(6,Т)) + \\и(х1 й)\\%

2 (П,Г)

+

Т/

Т

+ у У ^^ а^ихмхт{х)(1х(И + J j и2{х,1)г{х)(1х(И ^ о п о п

2 2 ц2

1/11ь2(д,г2) + 1М1ь2(Шх(о,т)) + \\и°\\ып,7

Теорема 0.6. Если обобщенное из И/21'1°ос((5) решение уравнения (0.1) принадлежит классу Н2, то оно имеет предел в Ь2 на границе д£1 х (О, Т) и имеет предел при £ —>• 0 в Ь2 с весом г(х), т.е. существуют такие функции £ Ь2(д{1 х (О, Т)) и и(х) Е Ь2(£1,г), что выполняются равенств а (0.5) и (0.7).

Далее, введем обозначение:

Мд(и) =

тах

Т'

/3 дП,

\и\Рй,8(И+ / \и(х, ц)\Р{р — [1,)с1х

а,

Далее, будем говорить, что функция и{х^) принадлежит классу Нр, если функция М§{и) ограничена на (0,^/2] , т.е. если

вир М§ < оо. ге(о,г0/2]

Теорема 0.7. Для того чтобы обобщенное из И^р\ос(Я) решение и(х, £) уравнения (0.1) принадлежало классу Нр необходимо и достаточно, чтобы

оно удовлетворяло неравенству

Т'

л Л п

j \и(х,Т')\рг(х)<1х + j J ^^ а^ихмх^и\р 2г(х)с1хсИ < оо. п б п

Функция и{х^) Е иЛ°ос(<2) принимает граничное значение (0.5)

в

смысле с правой частью ср Е Ьр(дО. х (0,Т)), если для любой точки Х{) Е и Т' Е [^Т1) в обозначениях (0.10) существует аналогичный (0.6) предел

т'

! \и(х5^) - ^{х^)\р(1,з(И = 0. (0.13)

<5 Г(ж°)

Аналогично, принадлежащая И/р1'1°ос((5) функция и{х^) удовлетворяет начальному условию (0.7) с начальной функцией щ(х) Е Ьр(£1,г) в смысле Ьр с весом г(х), если

J \и{х,5) — щ{х)\рг{х)(1х = 0. (0-14)

Принадлежащая И^\ос{Я) функция и{х^) называется обобщенным решением первой смешанной задачи (0.1), (0.5), (0.7) с правой частью /(х, £) Е Е Ьр^(0) П ЬРу\ociQ), если удовлетворяет интегральному тождеству (0.2) для всех финитных в функций г](х, ¿) Е И^1^), 1/р+1/д = 1, и удовлетворяет граничному и начальному условиям (0.5), (0.7) в смысле равенств (0.13), (0.14).

При этом правая часть уравнения (0.1) принадлежит Ьрд(<5), где — банахово пространство, полученное пополнением множества С°°((5) по норме

\/\\ьрА((3) — \\/\\ьр(П6ох(0,Т)) + j м||/1ир(шмх(0,т))Ф-+

о

1 /р

+

|/(ж, ц)\рг(х)с1х

а

Теорема 0.8 При любых р> Е Ьр{дО. х (0,Т));

П Ьр^\ос{С}) первая смешанная задача (0.1), (0.5), (0.7) имеет обобщенное из И^\ос{0) решение. Это решение единственно и для него справедлива оценка

Т'

^тах [\\и\\1р{дпыт) + Ых^)\\1р^г)) +

Т'

+ J у ^^ \и\р 2г{х)(1х(И + J у ^

(5 П 0 П

||/

+

\Ьр(дПвх(0,Т))

+ М^п.г)) '

Рассмотрим разрешимость первой смешанной задачи для параболических уравнений со слабым вырождением типа Келдыша в цилиндрических областях, боковая граница которых принадлежит классу С2 .

Пусть О — ограниченная область в Т{п , расположенная в полупространстве хп О. Часть границы Го области лежит в гиперплоскости хп = 0, остальную часть границы обозначим через Г1: Г1 = дО П {хп > 0} , Го и иГх = дО. Будем предполагать, что граница дО области О — (п —1) -мерная замкнутая поверхность без края класса С2. При произвольном 6 Е (0,<5о] для любой х Е дО существует единственная точка х§ поверхности дО$,

отстоящая от точки х на расстояние, равное 5:

х§ = х — 5и(х),

где 1у(х) = {у\, • • •, ^п) — вектор внешней по отношению к области О, единичной нормали к дО. в точке х.

Рассмотрим в цилиндре = х (О , Т) линейное параболическое уравнение второго порядка:

ди (п~^ \ п

~ + Хпи^пхп^ + ^агиХг + аи = / (0.15)

с коэффициентами а^ = а^ Е О1^), г,] = 1,2,...,п — 1, сц Е О1^), г = 1, 2,..., п, а Е С (и) и постоянной т, 0 < т < 1.

Будем предполагать уравнение (0.15) параболическим, т.е. для всех точек (ж, £) Е х (0, Т) существует такая постоянная гу§ > 0, что для всех £ е Яп-1

п—1

Ф(ж,*,0 = ^ + ^ 7(5|£|2.

%3=1

На границе х (0,Т) уравнение (0.15) вырождается.

Будем также предполагать, что существует такая постоянная 70, что для любого 6 Е (0, 60] и для всех хо Е Г, £ Е (0,Т)

-^-+ ипЫ > 70-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Капицына Татьяна Владимировна, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа / А. В.Бицадзе. — М.: Изд-во АН, 1959. - 164 с.

2. Впшпк, М. И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик // Доклады АН СССР.

- 1953. - Т. 93, № 1. - С. 9-12.

3. Вишик, М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М. И. Вишик // Мат. сб. — 1954. — Т. 35, № 3.

- С. 513-568.

4. Владимиров, B.C. О построении оболочек голоморфности для областей специального вида и их применения / В. С. Владимиров // Труды МИАН СССР. - 1961. - Т. 60. - С. 101-114.

5. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1989. — 216 с.

6. Горбачук, В. И. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений / В. И. Горбачук, М. JI. Горбачук // Мат. сб. — 1977. - Т. 102, № 1. - С. 124-150.

7. Горбачук, В. И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук, М. JI. Горбачук. — Киев: Наукова Думка, 1984.

- 283 с.

8. Гущин, А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка / А.К.Гущин // Мат. сб. — 1998. — Т. 189, № 7. - С. 53-90.

9. Гущин, А. К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из Ьр / А. К. Гущин // Мат. сб. — 2012. — Т. 203, № 1. - С. 3-30.

10. Гущин, А. К. О существовании граничных значений в Ь2 решений эллиптического уравнения / А. К. Гущин // Тр. МИАН. — 2019. — № 306.

- С. 56-74.

11. Гущин, А. К. О граничных значениях решений эллиптических уравнений / А.К.Гущин // Мат. сб. - 2019. - Т. 210, № 12. - С. 67-97.

12. Гущин, А. К. О граничных значениях в Ьр, р > 1, решений эллиптических уравнений / А. К. Гущин, В. П. Михайлов // Мат. сб. - 1979. - Т. 108, № 1.

- С. 3-21.

13. Гущин, А. К. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения / А. К. Гущин, В. П. Михайлов // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 6. - С. 787-810.

14. Думанян, В. Ж. О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка / В. Ж. Думанян // Мат. сб. — 2011. Т. 202, № 7. - С. 75-94.

15. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. В 2-х томах / А.Зигмунд. — М.: Мир, 1965. - 1152 с.

16. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В.Келдыш // Докл. АН. — 1951. — Т. 77, № 2. - С. 181-183.

17. Келдыш, М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле / М. В. Келдыш // УМН. - 1941. - № 8. - С. 171-231.

18. Кондратьев, В. А. О суммируемости положительных решений дифференциальных уравнений с частными производными произвольного порядка в окрестности характеристического многообразия / В. А. Кондратьев, С. Д. Эйдельман // Мат. сб. - 1976. - Т. 99, № 4. - С. 582-593.

19. Кондратьев, В. А. О принадлежности решений квазиэллиптических уравнений пространству Ьр / В. А. Кондратьев, С. Д. Эйдельман // Матем. заметки. - 1977. - Т. 21, № 4. - С. 519-524.

20. Кондратьев, В. А. О неотрицательных решениях переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными / В.А.Кондратьев, С. Д. Эйдельман // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 237, № 3. - С. 513-516.

21. Кондратьев, В. А. О положительных решениях квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка / В. А. Кондратьев, С. Д. Эйдельман // Докл. РАН. - 1994. - Т. 334, № 4. - С. 427-428.

22. Кудрявцев, Л. Д. О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / Л. Д. Кудрявцев // Докл. РАН СССР. - 1956. - Т. 108, № 1. - С. 16-19.

23. Кудрявцев, JI. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методам эллиптических уравнений / Л.Д.Кудрявцев. - М.: изд-во АН СССР, 1959. - 182 с.

24. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

25. Мазья, В. Г. О вырождающейся задаче с косой производной / В. Г. Мазья // Мат. сб. - 1972. - Т. 87. - С. 417-454.

26. Миранда, К. Уравнения с частными производными из эллиптического типа / К. Миранда. - М.: ИЛ, 1957. - 256 с.

27. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П.Михайлов. - М.: Наука, 1976. - 392 с.

28. Михайлов, В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей / В. П. Михайлов // Мат. сб. — 1976. — Т. 101, № 2. - С. 163-188.

29. Михайлов, В. П. О существовании предельных значений бигармонической функции на границе области / В.П.Михайлов // Докл. АН. — 2004. — Т. 395, № 4. - С. 452-454.

30. Михлин, С. Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям / С. Г. Михлин // Докл. АН СССР. - 1953. - Т. 91, № 4. - С. 723-726.

31. Михлин, С. Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С. Г. Михлин // Вестник Ленин, ун-та. - 1954. - Т. 3, № 8. - С. 19-48.

32. Никольский, С. М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границу / С. М. Никольский / / Труды МИ АН. — 1979. - № 150. - С. 212-238.

33. Никольский, С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — 2-е изд-е. — М.: Наука, 1977. — 456 с.

34. Олейник, О. А. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О. А. Олейник, Е. В.Радкевич // Итоги науки. Сер.: Математика. Матем. анализ. — 1969. — С. 7-252.

35. Олейник, О. А. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными / O.A. Олейник, Е. В.Радкевич // Мат. сб. — 1973. Т. 90, № 4. - С. 592-606.

36. Петрушко, И.М. О граничных значениях решений параболических уравнений / И.М. Петрушко // Мат. сб. - 1977. - Т. 103. - С. 404-429.

37. Петрушко, И. М. О граничных и начальных значениях решений параболических уравнений / И.М. Петрушко // Мат. сб. — 1978. — Т. 106, № 3. — С. 409-439.

38. Петрушко, И. М. О граничных значениях в Lp, р > 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей / И. М. Петрушко // Мат. сб. - 1983. - Т. 120, № 4. - С. 569-588.

39. Петрушко, И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, р > 1, решений параболических уравнений / И. М. Петрушко // Мат. сб. — 1984. — Т. 125, № 4. - С. 489-521.

40. Петрушко, И. М. О граничных значениях, вырождающихся на границе области эллиптических уравнений / И. М. Петрушко // Мат. сб. — 1988. - Т. 136, № 2. - С. 241-259.

41. Петрушко, И.М. О существовании граничных значений для решений вырождающихся уравнений эллиптического типа / И.М. Петрушко // Мат. сб. - 1999. - Т. 190, № 7. - С. 41-72.

42. Петрушко, И. М. О смешанной задаче Е для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка / И.М. Петрушко // Матем. заметки СВФУ. - 2019. - Т. 26, № 3. - С. 57-70.

43. Привалов, И. И. Интеграл СаисЬу / И. И. Привалов. — Саратов: Совграфия 13 отд-ние, 1919. — 94 с.

44. Ройтберг, Я. А. О существовании предельных значений обобщенных решений эллиптических уравнений на границе области / Я. А. Ройтберг // Сибир. матем. жури. - 1979. - Т. 20, № 2. - С. 386-396.

45. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. - М.: Мир, 1973. - 342 с.

46. Терсенов, С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе / С. А. Терсенов. — Новосибирск: Изд-во ИГУ, 1973. — 144 с.

47. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа / Ф.Трикоми. — М.: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

48. Чаплыгин, С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений / С.А.Чаплыгин. — М.: Гостехиздат, 1950. — 102 с.

49. Cimmino, G. Nuovo tipo di condizioni al contorno e nuovo metodo di trattazione per il problema generalizzato di Dirichlet / G. Cimmino // Rend, del Circ. Matem. di Palermo. - 1937-1938. - № 61. - P. 177-221. Reprinted, P. 257-300.

50. Chabrowski, J. Representation theorems for parabolic systems / J. Chab-rowski // J. Austral Math. Soc. - 1982. - Vol. 32, № 2. -P. 246-288.

51. Fatou, P. Séries trigonométriques et séries de Taylor / P. Fat ou // Acta Math. - 1906. - № 30. - P. 335-400.

52. Fichera, G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order / G. Fichera // Boundary Problems in Differential Equation. Madison: The University of Wisconsin Press. — 1960. — P. 97-120.

53. Gehring, F. On solutions of the equation of heat conduction / F. Gehring // Michigan J. - 1958. - Vol. 5, № 2. - P. 191-202.

54. Gellerstedt, S. Sur un problème aus limites pour lequation y2szxx + zyy = 0 / S. Gellerstedt // Arkiv Mat., Ast. Och Fysik. - 1935. - Iss. 10, 25A.

55. Gellerstedt, S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux deribees partielles du second ordre de tipe mixte / S. Gellerstedt. — These ... doct. mathematics. Uppsala, 1935.

56. Kothe, G. Die Randverteilungen analytischer Funktionen / G. Kothe // Math. Zeitschrlft. - 1952. - Vol. 57. - P. 13-33.

57. Littlewood, J. Theorems on Fourier series and power series. II / J. Littlewood, R.Paley // Proc. Lond. Math. Soc. II Ser. - 1936. - Vol. 42. - P. 52-89.

58. Littlewood, J. Theorems on Fourier series and power series. III. / J. Littlewood, R.Paley // Proc. Lond. Math. Soc. II Ser. - 1937. - Vol. 43. - P. 105-126.

59. Luzin, N. N. Sur une properiete des fonctions a carre sommable / N. N. Luzin // Bulletin of Calcutta Math. Soc. - 1930. - Vol. 20. - P. 139-154.

60. Marcinkiewicz, J. Theorem of Lusin / J. Marcinkiewicz, A. Zygmund // Duke Math. - 1938. - Vol. 4. - P. 473-485.

61. Necas, J. On the solutions of second order elliptic partial differential equations with unbounded Dirichlet integral / J. Necas // Czech. Math. J. — 1960. — Vol. 10, № 2. - P. 283-298.

62. Nevanlinna, R. Uber eine Klasse meromorpher Funktionen / R. Nevanlinna // Math. Ann. - 1924. - P. 145-154.

63. Ostrowski, A. Uber die Bedeutung der Jensenschen Formel fur einige Fragen der Komplexen Funktionentheorie / A. Ostrowski // Acta litt. ac. scient. regiae univ. hung. Francisco-Josephinae. — 1923. — Vol. 1, f. 2. — P. 1-8.

64. Riesz, F. Uber die Randwerteeiner analyschen Funktion / F. Riesz // Math. Z. - 1923. - Vol. 18. - P. 87-95.

65. Seleey, R. Syngular integrals and boundary value problems / R. Seleey // Amer. J. Math. - 1966. - Vol. 88, № 4. - P. 781-809.

66. Seleey, R. Topics in pseudo-differential operators / R. Seleey // CIME Conf. on Pseudo-Differential Operators 1968, Edizioni Cremonese, Roma. — 1969. — P. 169-305.

67. Tricomi, F. Atti Accad. Naz. Lincei Rend / F. Tricomi // CI. Sei. Fiz. Mat. Nat. - 1923. - Vol. 5, № 14. - R 133-247.

68. Widder, D.V. Positive Temperatures on an Infinite Rod / D.V.Widder // Trans. Amer. Math. Soc. - 1944. - Vol. 55, № 1. - P. 85-95.

69. Капицына, Т. В. О первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений / Т. В. Капицына, И.М.Петрушко // Сб. «Неклассические уравнения матем. физики», Новосибирск. — 2005. — С. 207-218.

70. Капицына, Т. В. О первой смешанной задаче в Lp, р > 1 для параболических уравнений, вырождающихся на границе области с ляпуновской границей / Т. В. Капицына, H. М. Петрушко // Сб. «Неклассические уравнения матем. физики», Новосибирск. — 2010. — С. 186-191.

71. Капицына, Т. В. О первой смешанной задаче в Lp: р > 1 для вырождающихся параболических уравнений / Т. В. Капицына, И.М.Петрушко // Вестник МЭИ. - 2011. - № 6. - С. 143-154.

72. Капицына, Т. В. О разрешимости первой смешанной задачи для параболических уравнений со слабым вырождением типа Трикоми / Т. В. Капицына, И. М. Петрушко // Матем. заметки СВФУ. - 2011. - Т. 18, № 2. - С. 154-162.

73. Капицына, Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях / Т. В. Капицына // Матем. заметки СВФУ. - 2018. - Т. 25, № 4. -С. 15-33.

74. Капицына Т. В. On the existence of boundary and initial values for solutions of degenerate parabolic equations in the Lyapunov boundary domains (O существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в областях с ляпуновской границей) / Т. В. Капицына // Mathematical Notes of NEFU. - 2020. - Vol. 27, no. 2. -P. 21-38. (Матем. заметки СВФУ. - 2020. - Т. 27, № 2. - С. 21-38.)

75. Капицына, Т. В. Пространство Нр решений вырождающихся параболических уравнений / Т. В. Капицына // Прикладная математика & Физика. - 2022. - Т. 54, № 1. — С. 33-39.

76. Капицына Т. В. On the first mixed problem for degenerate parabolic equations in stellar domains with Lyapunov boundary in Banach spaces (О первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях с ляпуновской границей в банаховых пространствах) / И. М. Петрушко, Т. В. Капицына, М. И. Петрушко // Mathematical Notes of NEFU. - 2023. - Vol. 30, no. 1. - P. 21-39. (Матем. заметки СВФУ. -2023. - Т. 30, № 1. - С. 21-39.)