Краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Абашкин, Антон Александрович

• Абашкин, Антон Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абашкин, Антон Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Краевая задача в прямоугольной области

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение формального решения

1.3 Существование решения задачи

1.4 Единственность решения задачи

1.5 Задачи типа Е

ГЛАВА 2. Краевые1 задачи в неограниченных областях

2.1 Постановка задачи типа Дирихле в бесконечной полуполосе

2.2 Построение формального решения задачи типа Дирихле

2.3 Существование решения задачи типа Дирихле

2.4 Единственность решения задачи типа Дирихле

2.5 Задачи типа Е в бесконечной полунолосе

2.6 Постановка задачи о скачке

2.7 Получение формального решения задачи о скачке

2.8 Существование решения задачи о скачке

2.9 Единственность решения задачи о скачке

2.10 Постановка задачи N0

2.11 Построение формального решения

2.12 Существование решения задачи N0

2.13 Единственность решения задачи N0

ГЛАВА 3. Нелокальные краевые задачи в вертикальной нолунолосе

3.1 Весовая задача типа Неймана при А < 0, ¿и = 0. Постановка задачи

3.2 Единственность задачи N

3.3 Существование решения задачи N

3.4 Весовые задачи типа Дирихле при А > 0. // = 0. Постановка задач

3.5 Построение формального решения задач М1 и М2. Единственность решения задачи М2

3.6 Существование решения задач М1 и М2

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Предметом настоящей работы является изучение различных краевых задач в прямоугольной области, вертикальной полосе, полуполосе и в первом квадранте для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

тт\ 2и 2р , .

Н11ри = ихх + иуу-{--ихЛ--иу + ли = 0, (1)

х у

где /л, р, Л - некоторые действительные числа, на которые в дальнейшем будут наложены необходимые ограничения.

Данное уравнение является уравнением с сингулярными коэффициентами.

Ввиду наличия многочисленных приложений, в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными значительное место занимают исследования вырождающихся уравнений, особый класс которых и составляют уравнения с сингулярными коэффициентами.

В частности, уравнение (1) имеет важное прикладное значение для изучения осесимметрических волновых процессов. Например, если перевести обычное уравнение Гельмгольца Аи + к2и = 0 в Я3 в цилиндрические координаты, то получим уравнение

1 1 ,2

+ игг + -иг + — и^и + к, и = 0.

Если искать не зависящие от <р (то есть осесимметрические) решения данного уравнения, то придем к частному случаю уравнения (1).

Кроме того, уравнение (1) при /х = 0, р = |,Л<0 описывает распространение радиоактивной эманации в атмосфере, при этом и(х,у) является концентрацией радиоактивной эманации, а Л - постоянной распада

й-

Двуосесимметрическое уравнение Гельмгольца (2// = га — 1, 2р — п — 1) появляется, если искать монохроматические решения

и(х,у,Ь) = и{х,у)е±гХЬ волнового оператора Даламбера Д£/ — ии

в пространстве с координатами (#1, ...,хт,у1, временной координатой 1 и частными расстояниями х2 — х\ + ... + х^, у2 = у2 + ... + у2 [63, с. 203].

Уравнение (1) связано с уравнением смешанного типа

Ьаи33 + аРии + Хи = 0, (2)

а именно, если в области эллиптичности привести уравнение (2) к канонической форме, то получим уравнение (I). Многие работы (например [13], [35], [50], [55]) посвящены краевым задачам для уравнения (2) в области эллиптичности, следовательно, результаты данных работ распространяются на соответствующие краевые задачи для уравнения (1).

В случае /3, Л = 0, а = 1 уравнение (1) является уравнением Трикоми, которое имеет важное прикладное значение для газодинамики ([13]).

Таким образом, актуальность изучения краевых задач для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (1) обусловлена как его востребованностью в приложениях, так и его связью с классическими уравнениями математической физики и уравнениями смешанного типа.

Степень разработанности проблемы. Уравнение (1) было предметом многочисленных исследований, в частности, в монографии Р1.Р. СШэег1;'а [63] было построено интегральное представление решений уравнения (1) при А > 0 через аналитические функции и найдена формула обращения такого представления через ряды.

Для двух частных случаев уравнения (1), когда ц = 0, р > 0 и когда А = 0, р > 0, в статье О.И. Маричева [30] построены более удобные для использования формулы обращения представления, найденного СПЬег1;'ом.

В статье А. Хасанова [64] для уравнения (1) при А < 0 был построен ряд фундаментальных решений в первом квадранте.

Много публикаций посвящено краевым задачам для различных частных случаев уравнения (1). В 1952 году М.Б. Капилевичем в работе [23] была решена задача Дирихле в области хп > 0 для уравнения

А и + — их — Ь2и = 0, а < 1,

•Ьп

где А - оператор Лапласа в Мп. Позже М.Б. Капилевичем было выполнено еще несколько работ в русле данной тематики ([21], [22]).

С 1958 года разработка теории краевых задач для различных уравнений с особенностями первого порядка в коэффициентах при младших производных активно велась математиками самарской школы. Начало исследованиям положила статья С.П. Пулькина [44], где были изучены две краевые задачи для уравнения

р 1 /оЧ иХх + иуу + -их — 0, р > (3)

X £

В первой задаче требуется найти решение уравнения (3), ограниченное вблизи отрезка :г = 0,— Ь < у < Ь к имеющее заданные значения на кривой Го с концами в точках (0,6) и (0, —6). Во второй задаче необходимо

найти функцию и(х,у), ограниченную вблизи отрезка х = 0, 0 < у < Ь, удовлетворяющую уравнению (3) и следующим условиям иу(х: 0) = ф(х), и |г — гДе Г - кривая, соединяющая точки (0,6) и (1,0). Была

доказана однозначная разрешимость данных задач. Отметим также работы С.П. Пулькина [15], [45], выполненные в данном направлении. Задачи типа Е в первом квадранте и вертикальной полуполосе для уравнения (3) были изучены М.В. Коржавиной в публикациях [20], [27]. В статье [42] В.А. Носовым для уравнения

2 — 2д

^хх 4" Иуу 4"~ Их 11у — I)

ж у

была решена задача типа Е для четверти круга. В серии работ

В.Ф. Волкодавовым и В.А. Носовым для уравнения смешанного типа, в

области 0 < у < х принимающего вид

Р Я

ихх + иуу 4- -их + -щ = 0, (4)

х у

были изучены краевые задачи с условиями Дирихле [11] или Неймана [12] на прямой у — х.

В публикации [7] О.В. Бочкаревой для уравнения (4) в области, ограниченной отрезками координатных осей и гладкой кривой Г, была решена задача с условиями

и{х,у) |г = /(*), \1ту2риу(х,у) = и(0,у) = <р(у).

у-> о

А.Д. Бочкаревым в той же области в серии работ [1], [5] для уравнения

Р

ихх + иуу + -их + с(х,у)и = 0, 0<р<1, с(х,у) < 0

X

исследованы задачи с условиями

|г = (¿(в) в статье [5],

о п

и(х,у)|г = ^(й) в статье [4],

м(0, у) = т(у), иу(х: 0) = 1у{х).

И.А. Макаровым в публикациях [32], [34] были доказаны теоремы единственности для задач типа Э, N и Е в области, ограниченной отрезками координатных осей и гладкой кривой Г, для уравнения

2д 2р . . .

ихх + иуу 4--их 4--иу 4- с{х, у)и = 0, с(:г, у) < 0.

х у

Им же в статьях [31],[33] решены некоторые краевые задачи для уравнения

В русле данной тематики также выполнены работы других самарских математиков: Г.Н. Гудковой [16], [17], В.В. Азовского [1], Р.В. Макушиной

[39], Л.Е. Востровой [14].

Далее отметим исследования O.A. Маричева для уравнения (1) при Л > О, приведенные в статье [78], где автором строятся решения сингулярных задач типа Неймана и Дирихле в полуплоскости у > 0, квадранте х > 0, у > 0 и задачи Дирихле в полукруге {х2 + у2 < а2, у > 0} для случая Л = 0.

Единственность решения краевой задачи в области, ограниченной осями координат и гладкой кривой Г, для уравнения (1) при Л < 0 с условиями

и(0,у) = т(у), lim у2риу(х,у) = v(x), и(х, у)\г = y(s)

0

доказана в публикации М.С. Салахитдинова, А. Хасанова [54] с использованием формулы Грина. Также в данной статье найдено решение описанной выше краевой задачи, если Г является четвертью окружности. В статье Е.В. Шимковича [58] для уравнения

к

i^xx ~Ь "Чу» Uy — (J У

исследованы краевые задачи в бесконечной полу по л осе, которые, в зависимости от значения параметра уравнения, являются задачами Дирихле и Неймана или весовыми задачами типа Дирихле и Неймана, доказана их однозначная разрешимость. Для другого частного случая уравнения (1)

^хх "I- ^уу "I- ^у к U —— 0

У

в публикации И.Н. Александрович [2] рассмотрены краевые задачи в четверти плоскости и в бесконечной полуполосе, условия которой на части границы имеют вид условий задачи Дирихле, на другой части - задачи Неймана. В работах М.Е. Лернера, O.A. Репина [29] и Е.И. Моисеева

[40] изучена нелокальная краевая задача в бесконечной полуполосе для уравнения

ихх + иуу + — иу - Х2и = 0, У

с условиями

их(0,у) = 0, и(0,у) =и(1,у), lim и{х,у) = 0,

у—»+00

lim y2p~lu{x, у) = (р(х), при р > i у-у о 2

lim —-= ip{x), при P =

y—*o ту 2

u(x,0) = ip(x), при P<^,

доказана ее однозначная разрешимость.

Для того же уравнения в статье М.Е. Лернера и O.A. Репина [30] доказана однозначная разрешимость и найдены формулы для решения задачи Дирихле в первом квадранте.

Вопросам теории краевых задач для частных случаев уравнения (1) посвящены и работы Н.Б. Плещинского [43], Н. Раджабова [46], К.Б. Сабитова [51], P.C. Хайруллина [56].

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим также работы зарубежных авторов: А. Altin [59]-[61], A.J. Fryant [62], А. Huber [65], C.Y. Lo [66], P.A. McCoy [67], R.J. Weinacht [68].

Подробный разбор некоторых краевых задач для уравнения (1) при А > 0 можно найти в монографии О.И. Маричева, A.A. Килбаса, O.A. Репина [38].

Отличительной особенностью большинства упомянутых публикаций является то, что для уравнения (3) и его частных случаев для обеспечения однозначной разрешимости приходится задавать либо краевые условия с весами на линиях сингулярности х = 0 или у = 0, либо условие ограниченности решения вблизи прямых х = 0 или у = 0 (задачи типа Е).

Цели диссертационной работы:

1) Отыскание вариантов корректно поставленных краевых задач для уравнения (1) и его частных случаев.

2) Построение решений данных задач в виде рядов и интегралов.

Методы исследования. В диссертации используются:

1) метод Фурье;

2) метод интегральных преобразований;

3) аппарат специальных функций;

4) спектральный метод;

5) принцип максимума для эллиптических уравнений.

Научная новизна. В диссертационной работе исследованы краевые задачи в прямоугольнике, полуполосе и полосе, которые ранее не ставились для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца, при этом на параметры уравнения (1) ц, р и А в некоторых задачах накладываются минимальные требования, что отличает данную работу от большинства предшествовавших.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они вносят определенный вклад в теорию

уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами и могут быть использованы при дальнейшей разработке как теории краевых задач для уравнения (1), так и для уравнений, его обобщающих, а также для развития теории краевых задач в областях с границей, содержащей участки линий вырождения.

Апробация работы.

Материалы данной диссертации опубликованы в работах [09] - [78].

Результаты диссертационной работы докладывались на:

1) I всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, 2010 г.;

2) конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, 2011 г.;

3) Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2011

г.;

4) Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, 2011 г.;

5) Третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2012 г.;

6) семинаре кафедры высшей математики Самарского Государственного Архитектурно-Строительного Университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. К.Б. Сабитов) 2011, 2012 гг.;

7) семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского Государственного Университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. Л.С. Пулькина), 2011, 2012 гг.;

8) семинаре кафедры функционального анализа и его применений ВМК МГУ (научный руководитель - академик РАН Е.И. Моисеев), 2013 г.;

9) семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета, 2013 г.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 20 параграфов, заключения и списка литературы из 76 наименований. Общий объем диссертации 107 страниц.

Краткое содержание работы.

Первая глава настоящей работы посвящена рассмотрению краевой задачи типа Дирихле для уравнения (1) в прямоугольной области, вид условий которой на линиях сингулярности х = 0 и у — 0 зависит от значения параметров /¿и р. Такие задачи ещё не изучались для уравнения столь общего вида, когда на коэффициенты ц и р не наложено никаких требований, а на

коэффициент Л наложено лишь одно условие А < q, где д - конкретное число, определение которого дано в формулировке теоремы 1.

В первом параграфе приведены условия данной краевой задачи.

Во втором параграфе строится формальное решение задачи. Для этого искомая функция представлена в виде суммы двух функций, каждая из которых найдена методом разделения переменных. Собственные функции одной из получающихся при этом задач составляют полную ортогональную с весом систему функций, разложение по которой называется рядом Фурье-Бесселя. Применение данного разложения и помогает выразить искомую функцию в виде ряда.

В третьем параграфе установлено существование решения задачи, для этого доказана равномерная сходимость соответствующих рядов.

В четвертом параграфе приведена теорема единственности решения рассматриваемой задачи. Доказательство теоремы основывается на представлении решения в виде произведения двух функций, при этом одна из функций выбирается таким образом, чтобы другая функция удовлетворяла уравнению, на которое распространяется принцип максимума для эллиптических уравнений.

Задача типа Е для уравнения (1) при р, /1 > граничные условия которой не определены на линии вырождения у = 0 или х = 0, а лишь потребована ограниченность решения на такой линии, рассмотрена в пятом параграфе. Теорема существования и единственности решения данной задачи является следствием однозначной разрешимости задачи, изученной в первых четырех параграфах.

Исследование подобных задач началось с известной статьи М.В. Келдыша [24]. Для частных случаев уравнения (1) задачи типа Е в ограниченных областях различного вида ставились и изучались в работах [34], [42], [44].

Для столь общего случая уравнения (1), когда на параметры уравнения наложены минимальные требования, такая задача была поставлена и исследована впервые.

Во второй главе рассматриваются:

1) краевая задача типа Дирихле в бесконечной полуполосе;

2) задачи типа Е в бесконечной полуполосе;

3) задача о скачке в бесконечной полосе;

4) задача в первом квадранте, условия которой на части границы имеют вид условий типа Дирихле, на другой части границы - типа Неймана.

В первом параграфе для уравнения (1) поставлена краевая задача, вид условий которой на линиях сингулярности х = 0 и у = 0 зависит от значения параметров ц и р. Так, при р < \ на отрезке оси ОХ задается

Щ1 Ш-

значение искомой функции, а при р > | - значение искомой функции с весом. Аналогичным образом вид условия на оси ОУ зависит от параметра ¡1. Также в задаче требуется, чтобы на бесконечности решение имело не более чем степенной характер.

Отметим, что для частного случая /2, Л = 0, уравнения (1) однозначная разрешимость подобной задачи доказана в статье [58]. Для уравнения такого общего вида данная задача рассмотрена впервые.

Во втором параграфе формальное решение поставленной задачи ищется в виде суммы двух функций, для первой из которых граничное условие, заданное на отрезке оси ОХ, является однородным, а для второй -однородными являются граничные условия на полуоси оси ОУ и на прямой х = а.

Первая функция отыскивается в виде интеграла, представляющего собой преобразование Ханкеля некоторой функции. С использованием обратного преобразования вычисляются неизвестные функции, входящие в данный интеграл.

Метод нахождения второй функции совпадает с методом, изложенным во втором параграфе главы I.

Существование решения получено в третьем параграфе через доказательство равномерной сходимости соответствующих рядов.

Единственность решения рассматриваемой задачи установлена в четвертом параграфе методом, подобным изложенному в четвертом параграфе первой главы.

В пятом параграфе поставлены три задачи типа Е, в данных задачах на линии х = 0 и (или) у = 0 потребована ограниченность решения, на остальных участках границы вид условий такой же, как в задаче поставленной в первом параграфе.

Доказывается, что решением указанных задач является решение задачи типа Дирихле, в которой некоторые граничные функции положены равными нулю, откуда следует существование и единственность рассматриваемых задач типа Е.

Для частного случая уравнения (1) при р = О, Л = 0 задачи типа Е в неограниченных областях, в том числе в полуполосе, были исследованы в статьях [26], [27]. Для общего же случая уравнения (1) в полуполосе задача типа Е исследована впервые.

В шестом параграфе поставлена задача о скачке в вертикальной полосе. В данной задаче необходимо найти функцию и(х, у), равную нулю на правой границе полосы, на левой границе, в зависимости от значения параметра /х, либо сама искомая функция равна нулю, либо равно нулю произведение

искомой функции и веса. Также функция и(х,у) должна удовлетворять условию специального вида на отрезке прямой у = 0.

Подобная задача для частного случая уравнения (1) р, ц = 0, Л > 0 изучена Н.Б. Плещинским в работе [4-3].

В седьмом параграфе формальное решение задачи о скачке ищется с помощью результатов второй главы и свойств оператора

Существование решения в восьмом параграфе получено путем доказательства равномерной сходимости соответствующих рядов.

В девятом параграфе установлена единственность решения задачи о скачке при А < 0. Для этого вопрос о единственности решения задачи о скачке сведен к вопросу о единственности решения двух вспомогательных задач. Одна из данных задач является задачей типа Дирихле, единственность ее решения получена в четвертом параграфе. Вторая задача представляет собой задачу типа доказательство единственности решения для нее основывается на методе, использованном в работе [58]. Рассматривается функция у)±и(х, у), где (¿(х, у) - конкретная функция, г - сколь угодно малое положительное число. Доказывается, что е(д(х, у)±и(х, у) > 0, из чего следует, что и(х, у) = 0.

Десятый параграф посвящен постановке краевой задачи для уравнения (1) при р > А < 0 в первом квадранте. Условия данной задачи на линии х = 0, а также на части линии у = 0 при х > а, имеют вид условий типа Неймана, а на отрезке у = 0, 0 < х < а - типа Дирихле. Подобная задача, но при р — 0, ¡1 = исследована в работе (1).

Формальное решение описанной задачи найдено в одиннадцатом параграфе при помощи преобразования Ханкеля.

Существование решения задачи в первом квадранте получено в двенадцатом параграфе через доказательство равномерной сходимости соответствующих интегралов.

Единственность решения поставленной задачи установлена в тринадцатом параграфе методом, описанном в девятом параграфе.

Третья глава посвящена исследованию двух нелокальных задач в вертикальной полуполосе для уравнения (1) при ц = 0.

В первой задаче требуется при А < 0 найти функцию, такую, что ее значения на прямых х = 0 и х = 1 совпадают и значение производной по нормали на прямой х = 0 равно нулю, также производная по нормали от искомой функции на отрезке прямой у = 0 должна быть заданной функцией с весом, который зависит от значения параметра р.

Постановка задачи содержится в первом параграфе.

Во втором параграфе решение ищется путем разложения в

биортогональный ряд по одному специальному базису Рисса. Данный метод позаимствован из работ [40] и [41].

В силу свойства полноты базиса Рисса получаем единственность решения задачи.

Равномерная сходимость соответствующих рядов влечет за собой существование решения рассматриваемой задачи. Доказательство равномерной сходимости и теорема существования решения находятся в третьем параграфе.

В четвертом параграфе приведены условия второй из рассматриваемых в данной главе задач. На правой и левой стороне полуполосы они имеют тот же вид, что и условия предыдущей задачи, а на отрезке оси ОХ задано условие типа Дирихле с весом, вид которого зависит от значения параметра р.

В пятом параграфе решение ищется методом разложения в биортогональный ряд того же вида, однако полученная формула для решения содержит произвольные постоянные, поэтому решение такой краевой задачи неединственно. Если условия рассматриваемой задачи дополнить еще одним условием специального вида, которое описано в первом параграфе данной главы, то в таком случае решение будет единственно.

Существование решения задач исследуемых в этой главе доказывается в шестом параграфе путем установления равномерной сходимости соответствующих рядов.

Задача с весовым условием типа Дирихле при А < 0, подобная задачам, изложенным в третьей главе, была изучена в публикациях [29] и [40].

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Теоремы существования и единственности решения следующих краевых задач:

- задач типа Дирихле с весовыми условиями на линиях сингулярности х = 0 и у = 0 для уравнения (1) в прямоугольной области и в вертикальной полуполосе;

- задач типа Е для уравнения (1) в прямоугольной области и в вертикальной полуполосе;

- задачи о скачке в вертикальной полосе для уравнения (1);

- задачи для уравнения (1) при р > А < 0 в первом квадранте, в которой 1) на полупрямой х = 0, у > 0 произведение производной по нормали искомой функции и весовой функции должно быть равно нулю, 2) на отрезке у = 0,0<х<а произведение искомой функции и весовой функции должно иметь заданные значения, 3) на полупрямой у = 0, х > а произведение производной по нормали искомой функции и весовой функции должно быть равно заданным значениям;

- нелокальной задачи в вертикальной полуполосе с весовым условием на производную по нормали от искомой функции на отрезке г/ = 0,0<:г<1 для уравнения (1) при ц = О, Л < 0.

2) Доказательство существования и неединственности решения нелокальной задачи в вертикальной полуполосе с весовым условием на искомую функцию для уравнения (1) при ¡1 = 0, Л > 0.

3) Нахождение дополнительного условия, обеспечивающего единственность решения нелокальной задачи из пункта 2).

В заключение автор хочет выразить огромную благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Репину Олегу Александровичу за постановку задач и постоянное внимание к исследованию, а также доктору физико-математических наук, профессору Сабитову Камилю Басировичу и доктору физико-математических наук, профессору Пулькиной Людмиле Степановне за ценные замечания.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Абашкин, Антон Александрович

Заключение

Выполненные в данной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты:

1) Для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца исследованы краевые задачи в прямоугольной области и в вертикальной полуполосе с весовым условиями типа Дирихле. Установлена однозначная разрешимость таких задач.

2) Показано, что из единственности и существования решения задач типа Дирихле в прямоугольнике и вертикальной полосе следует однозначная разрешимость задач типа Е в соответствющих областях.

3) Поставлена задача, обобщающая задачу о скачке для уравнения Гельмгольца на случай обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца. Найдены условия существования решения. Установлена единственность решения.

4) Поставлена задача, аналогичная рассмотренной в работе И.Н. Александрович [2], но для других значений параметров уравнения. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.

5) Методом разложения в биортогональный ряд найдены решения двух нелокальных краевых задач в бесконечной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца. Доказаны теоремы существования и единственности решения этих задач.

Методы и результаты работы могут быть использованы при исследованиях в теории уравнений в частных производных, а также при решении конкретных задач математической физики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абашкин, Антон Александрович, 2013 год

Список использованных источников

1. Азовский В. В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости // Волжский математический сборник. 1971. Вып.9. С.3-7.

2. Александрович И. Н. О решении краевых задач для уравнения Гельмгольца // Сборник трудов научной конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе"Канев. 1974. С. 7886

3. Бахристова А. А., Сабитова Ю. К. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе / / Труды стерлитамакского филиала АН РБ. Стерлитамак, 2009. С.103-110.

4. Бочкарев А. Д. О решении одной задачи для эллиптического уравнения с особенностью первого порядка на части границы области // Волжский математический сборник. 1968. Вып.6. С.20-25.

5. Бочкарев А. Д. Решение задачи N для эллиптического уравнения с особенностью первого порядка на части границы области // Волжский математический сборник. 1970. Вып.11. С.9-12.

6. Бочкарев А. Д. Решение задачи Та для одного уравнения сиешанного типа с сингулярным коэффициентом // Волжский математический сборник. 1970. Вып.11. С.13-18.

7. Бочкарева О. В. Решение задачи N для одного уравнения эллиптического типа // Волжский математический сборник. 1973. Вып. 15. С.18-33.

8. Валитов И. Р. Решение нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной научной конференции " Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы". 2003. С.100-110

9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. // М.: Издательство иностранной литературы. 1949 - 798 с.

10.Волкодавов В. Ф. О единственности решения задачи ТЫ для одного уравнения смешанного типа // Волжский математический сборник. 1970. Вып.11. С.55-65.

11.Волкодавов В. Ф., Носов В. А. Решение задачи Та для одного уравнения смешанного типа в неограниченной области специального вида // Волжский математический сборник. 1971. Вып.9. С.32-38.

12.Волкодавов В. Ф., Носов В. А. Решение задачи для одного уравнения смешанного типа в неограниченной области специального вида // Волжский математический сборник. 1973. Вып.15. С.34-41.

13.Вольферсдорф Л. О сингулярной эллиптической задаче Неймана для уравнения Трикоми // Известия ВУЗов. Математика. 1962. №1. С.14-19.

14.Вострова Л.Е. Смешанная задача для уравнения ихх + иуу + ^их = О // Волжский математический сборник. 1969. Вып.7. С.17-20.

1Ъ.Вострова Л. Е., Пулькин С. П. Сингулярная задача с нормальной производной // Волжский математический сборник. 1966. Вып.5. С.49-57.

1 б.Гудкова Г. Н. О единственности решения задачи Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Волжский математический сборник. 1973. Вып. 15. С.58-63.

17.Гудкова Г.Н. О существовании решения задачи Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Волжский математический сборник. 1973. Вып. 15. С.50-57.

18.Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление // М.: Физматгиз. 1961. - 524 с.

19 .Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики // М.: Издательствово иностранной литературы. 1950. - 456 с.

20.Зорич В. А. Математический анализ. Часть 2. // М.: МЦНМО. 2002. -787 с.

21. Капилевич М.В. К теоремам о среднем для решений сингулярных эллиптических дифференциальных уравнений / / Известия ВУЗов. Математика. 1960. №6. С.114-125.

22.Капилевич М. Б. О связи преобразований Пуассона, Вейерштрасса и Сонина // Волжский математический сборник. 1968. Вып.6. С.75-85.

23.Капилевич М. Б. об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Математический сборник. 1952. №1. С.11-38.

24.Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Доклады АН СССР. 1951 Т. 77 №2. С.181-183

25.Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций // М.: Наука. 1971.- 288 с.

26.Коржавина М. В. Решение сингулярной задачи ИЕ для уравнения Бг в случае четверти плоскости // Волжский математический сборник. 1971 Вып.9. С.68-73.

27.Коржавина М. В. Решение сингулярной задачи ЫЕ для уравнения ихх + иуу + хих ~ 0 в случае неограниченной области // Волжский математический сборник. 1969 Вып.7. С.45-56.

28.Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения // СПб.: Лань. 2010,- 368 с.

29.Лернер М. Е., Репин О. А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / / Дифференциальные уравненя. 2001. Т.37. №11 С.1562-1564.

30.Лернер М.Е., Репин O.A. О задаче Дирихле для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в первом квадранте / / Вестник Самарского Технического Университета. 1998. №6. С.5-8.

31.Макаров И. А. О существовании и единственности решения краевых задач для двух уравнений смешанного типа // Волжский математический сборник. 1971. Вып.8. С.146-151.

32.Макаров И. А. Решение задачи Коши, Коши-Гурса и задачи N для уравнения с двумя линиями вырождения // Волжский математический сборник. 1966. Вып.5. С. 198-210.

33.Макаров И. А. Решение краевых задач для уравнения с разрывными коэффициентами в неограниченных областях // Волжский математический сборник. 1971. Вып.8. С.138-145.

34.Макаров H.A. Теоремы единственности решения задач D, Е и типа N // Волжский математический сборник. 1968. Вып.6. С.142-144.

35.Макаров И. А., Пулькин С. П. О существовании и единственности некоторых краевых задач для уравнения с двумя линиями вырождения // Волжский математический сборник. 1970. Вып. 11. С.91-97.

36.Маричев О. И. Интегральное представление решений обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца и формулы его обращения // Дифференциальные уравнения. 1978. Т.14 С.1824-1831.

37.Маричев О. И. Сингулярные краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Докл. АН СССР. 1976. Т.230 №3. С.523-526.

38. Маричев О. И., Килбас A.A., Репин O.A. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами // Самара: СГЭУ. 2008,- 275 с.

39.Маркушина Р. В. Решение краевой задачи для эллиптического уравнения с особенностью первого порядка на линии вырождения типа // Волжский математический сборник. 1968. Вып.6. С. 153-158.

40.Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравненя. 2001. Т.37, №11. С.1565-1567

41. Моисеев E.H. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. №8. С.1094-1100

42.Носов В. А. Решение двух сингулярных задач для одного уравнения эллиптического типа // Волжжский матеатический сборник. 1971. Вып.8. С.160-167.

43.Плещинский Н. Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи дифракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах // Препринт ПМФ-03-02. Казань: Казан, матем. об-во, 2003.- 30 с.

Ы.Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения uxx ± uyy + ^их = 0 // Уч. зап. Куйбышевского пед. ин-та, 1958. Вып.21. С.3-54.

45. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Гиллерстеда // Известия ВУЗов. Математика. 1960. №6. G.214-225.

46. Раджабов Н. О некоторых интегральных представленияхдля уравнения типа Гельмгольца с сингулярной линией // ДАН Тадж. ССР. 1971. 14. №8. С. 5-9.

47.Репин O.A. Краевая задача с оператором М.Сайго для уравнения смешанного типа, эллиптического в вертикальной полуполосе / / Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, Из-во института математики, 1998. С.63-78.

48.Рузиев М.Х. Задача Дирихле в вертикальной полуполосе для вырождающегося эллиптического уравнения // Материалы конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения". 2007. С.268-269.

49. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Доклады Академии Наук. 2007. Т.413. №1. С.23-26.

50. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Математика. 1999. №11. С.70-80.

51.Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом спектральным методом // Известия вузов. Математика, 2004, № 2, С. 64-71.

52.Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г. Об однозначной разрешимости нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения спектральным методом // Труды международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы". 2003. С.213-219.

53. Сабитова Ю.К. Нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области // Труды стерлитамакского филиала АН РБ. Стерлитамак, 2009. С.94-102.

54 .Салахитдинов М.С., Хасанов А. Об одной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца // Доклады АМАН. 2011. С.109-116.

55.Франкль Ф.И. К теории уравнения yzxx + zyy = 0 // Изв. АН СССР, сер. матем. 1946. т. 10, №2. С.135-166.

Ьб.Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для одного уравнения с сингулярными коэффициентами // Известия вузов. Математика. 1996. №3. С. 75-84.

57.Хийирбеков Т. Э. Решение сингулярных задач Е и NE для одного уравнения эллиптического вида // Волжский математический сборник. 1973. Вып. 15. С.114-123.

58.Шимкович Е. В. О весовых краевых задачах для вырождающегося уравнения эллиптического типа в полуполосе // Литовский математический сборник. 1990. №30. С. 185-196

59.Altin A. Solutions of type rm for a class of singular equations // Inteerna-tional Journal of Mathematical Science. 1982. T.5, №3. C.613-619.

60.Altin A. Some expansion formulas for a class os singular equations // Proceedings of American Mathematical Society. 1982. №1. C.42-46.

61 .Altin A., Eutiquio Y. Some properties of solutions of a class of singular par-titial differential equations // Bulletin of the Institute of Mathematics Academic Sinica. 1983. T.ll, №1. C.81-87.

62.Fryant A.J. Growth and cjmplete sequences of generalized bi-axially symmetric potentials // Journal of differential equations. 1979. T.31, №2. C.155-164

63.Gilbert R. Function theoretic methods in partial differential equations. // New-York.: Academic press. 1969. - 311 c.

64.Hasanov A. Fundamental solutions of generalized bi-axially symmetric Helmholz equation // Complex Variables and Elliptic Equations, 2007. T.52, №8. C.673-683.

Q5.Huber A. On the uniquenes of generalized axisymmetric potentials // Ann. Math., 1954. T.60. C.351-358.

66.Lo C. Y Boundary value problems of generalized axially symmetric Helmholz Equation // Portugalie Mathematica. 1977. T.36, №3-4. C.279-289.

67.McCoy P. A. Polynomial approximation and growth of generalized axisymmetric potentials // Canadian Journal of Mathematics. 1979. T.31, №1. C.49-59.

68.Weinacht ft. J. Some properties of generalized axially symmeyric Helmholz potentials // SIAM J. Math. Anal. 1974. T.5. C. 147-152.

69. Абашкин А. А. Об однозначной разрешимости одной краевой задачи для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Труды восьмой Всероссийской конференции с межународным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". 2011. С.8-9.

70. Абашкин А. А. О задаче со скачком для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / / Материалы третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения". Самара. 2012. С.17-18.

71.Абашкин А. А. Об одной весовой краевой задаче для в бесконечной полуполосе для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Известия вузов. Математика. 2013. №6. С.3-12

72.Абашкин А. А. О задаче типа Дирихле в бесконечной полуполосе для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Ведомости БелГУ, 2012, №11. С.5-14.

73.Абашкин А. А. Об одной задаче в бесконечной полосе для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестник СамГУ. 2012. №9. С.5-13.

74. Абашкин А. А. Об одной задаче для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца в бесконечной полуполосе // Вестник СамГТУ. 2012. №1. С.39-45.

75. Абашкин А. А. Об одной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца // Доклады АМАН. 2011. № С.15-20.

76.Абашкин А. А. Об одной краевой задаче в прямоугольнике для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Материалы международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 2011. С.4.

77. Абашкин А. А. Об одной нелокальной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестник СамГТУ, 2011. №3. С.26-34.

78.Абашкин А. А. Однозначная разрешимость нелокальной задачи для осесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестник СамГУ, 2011. №2. С.5-14.