Корреляционные эффекты в узкозонных сверхпроводниках с электрон-фононным взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Даниленко, Алексей Викторович

• Даниленко, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Даниленко, Алексей Викторович

Оглавление

1 Неадиабатические поправки к электронной квазичастичной собственной энергии

1.1 Введение

1.2 Модель

1.3 Применение метода Мигдала для вычисления неадибатических поправок

1.4 Другие приближения

1.4.1 Приближение Костура-Митровича

1.4.2 Оценки Ц. Гримальди, Е. Каппеллути, Л. Пиетронеро и С. Штресслера

1.4.3 Градиентно-инвариантный самосогласованный метод Такады

1.4.4 Обобщение ГИСС метода Ф. Козенцей, Л. Де Цезаре

и М. Фуско Жирардом

1.5 Неадиабатические поправки и нарушение аналитических свойств собственной энергии

1.6 Выводы

2 Нормальное и сверхпроводящее состояние в присутствии электрон-фононного и примесного рассеяния вперед

2.1 Введение

2.2 Уравнения Элиашберга для электрон-фононного и примесного рассеяния вперед

2.3 Нормальное состояние в присутствии только рассеивающих вперед примесей

2.4 Нормальное состояние в присутствии электрон-фононного рассеяния вперед

2.4.1 Приближение Мигдала

2.4.2 Учет вершинных поправок

2.4.3 Плотность состояний и сопротивление

2.5 Сверхпроводимость, обусловленная электрон-фононным рассеянием вперед, в присутствии рассеивающих вперед

примесей

2.5.1 Тс в случае электрон-фононного рассеяния вперед в

чистом пределе

2.5.2 Тс в случае электрон-фононного (электрон-бозонного) и примесного рассеяния вперед

2.5.3 Тс в случае электрон-фононного рассеяния вперед с изотропно рассеивающими примесями

2.5.4 Тс для спаривания типа БКШ с з-симметрией в присутствии рассеивающих вперед примесей

2.6 Заключение

3 Вершинные поправки к лондоновской глубине проникновения в квазидвумерных сверхпроводниках

3.1 Введение

3.2 Случай (в + ^-симметрии взаимодействия и параметра порядка

3.3 Обобщение на случай (в + с1 + д +

3.4 Случай (с£ + /)-симметрии взаимодействия

3.5 Заключение

4 Заключение 86 Приложение А 89 Приложение В

Приложение С

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корреляционные эффекты в узкозонных сверхпроводниках с электрон-фононным взаимодействием»

Введение

Механизм спаривания в высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП) до сих пор, спустя двенадцать лет после их открытия [1], остается неизвестным. Однако существуют экспериментальные доказательства того, что электрон-фононное взаимодействие вместе с сильными электронными корреляциями играют решающую роль в нормальном и сверхпроводящем состоянии [2, 90]. Туннельная и контактная спектроскопия показывают явные фононные черты в проводимости и вместе с оптическими инфракрасными измерениями и измерениями комбинационного рассеяния поддерживают электрон-фононный механизм в качестве механизма спаривания в ВТСП оксидах. Многочисленные эксперименты показывают, что почти все фононы дают вклад в спаривание и электрон-фононное взаимодействие достаточно велико, чтобы дать Тс ~ 100К.

Три десятилетия назад для низкотемпературных сверхпроводников Мигдалом и Элиашбергом была построена теория, дающая хорошее согласие с экспериментом. В ее основе лежит теорема Мигдала [33], переформулированная Элиашбергом для сверхпроводящего состояния [3]. В оригинальной работе [33] на основе методов квантовой теории поля Мигдал предложил метод, который позволил в нормальном состоянии рассматривать взаимодействие между электронами и колебаниями решетки без допущения, что взаимодействие мало, поскольку в теории существует малый параметр, а именно отношение характерного фононного масштаба энергии Qph. к электронному Ер, который обеспечивает быструю сходимость рядов теории возмущения. Физический смысл этой теоремы заключается в том, что при вомущении электрон-ионной си

стемы электроны из-за маленькой массы восстанавливают электронейтральность быстрее, чем относительно более тяжелые и медленые ионы. Таким образом, электроны "адиабатически" следуют за смещением ионов. С этой точки зрения, вершинные поправки - это математический метод учета неадиабатичности.

В некоторых недавно открытых материалах, которые, как считается, являются электрон-фононными сверхпроводниками, отношение фононных энергий к электронным не является более малым. Такими веществами, например, служат Bai-^K^BiOs с Тс = 30К [39, 40] и допированные органические молекулы Сбо (фуллерены) [41, 4, 42, 43],

которые имеют относительно высокие критические температуры. Например, фуллерит ШэзСбо, который является молекулярным кристаллом, состоящим из слабовзаимодействующих фуллеренов, имеет множество фононных мод [41, 4], из которых внутримолекулярные высокочастотные 0.2еУ), а также среднечастотные 0.05еУ) колебания привлекают больше внимания, чем низкочастотные межмолекулярные фононы в основном потому, что, как считается, сверхпроводимость с критической температурой Тс до 33 К, наблюдаемая в металлическом допированном Сбо, определяется именно этими внутримолекулярными фононами. Это предположение о механизме сверхпроводимости основано на грубых оценках Тс в обычной теории сверхпроводимости Мигдала-Элиашберга. Однако эта теория неприменима для таких материалов, поскольку может нарушаться теорема Мигдала из-за того, что зона проводимости в Сбо, допированном щелочными металлами, имеет ширину только 0.25еУ, и, таким образом, сравнима с энергией высокочастотных внутримолекулярных фононов. Туннельные измерения в ВТСП оксиде Bi2Sr2CaCu208 [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] показывают выраженные фононные пики до 80meV, которые также сравнимы с шириной зоны W ~ 300meV.

Это обстоятельство обуславливает необходим

ость создания теории, которая включала бы эффекты неадиабатических (так называемых вершинных) поправок, которые малы в обычном формализме Мигдала-Элиашберга. Физически такие поправки возникают за счет электронных корреляций и могут проявляться в различных эффектах.

Таким образом, систематический учет диаграмм, которыми пренебрегают в теории Мигдала, является необходимым в связи с открытием новых материалов, в которых мигдаловский параметр i}ph/W (отношение фононых энергий к электронным) не мал. Основой подхода служит включение следующего наиболее важного класса диаграмм в теории возмущения, в добавление к обычным диаграммам теории Мигдала (где нет графиков с пересекающимися фононными линиями). Такая теория возмущения справедлива, когда параметр разложения AQph/W, где А - константа электрон-фононного взаимодействия, является промежуточным, так что можно пренебречь членами более высоких порядков, однако в то же время достаточно велик, чтобы эффекты неадиабатических поправок в первых порядках были важны.

Существует множество проблем, связанных с электронными

корреляциями. Данная работа посвящена трем из них:

• влияние неадиабатических эффектов на электронную собственную энергию в нормальном состоянии;

• модель рассеяния на малые импульсы ("рассеяния вперед") в нормальном и сверхпроводящем состоянии;

• вершинные поправки к лондоновской глубине проникновения магнитного поля в сверхпроводник Хь для квазидвумерных анизотропных сверхпроводников.

Диссертация содержит введение, три главы, заключение, приложения и список литературы.

В первой главе исследуются неадиабатические поправки к электронной собственной энергии в нормальном состоянии. Так как природа вершинных поправок связана с межэлектронными корреляциями, то сильно скоррелированные электронные системы могут привести к поляронным (биполяронным) связанным состояниям. Включение неадиабатических поправок в рассмотрение помогает выяснить природу перехода от ферми-жидкостного описания к поляронному. До настоящего времени для такого перехода разные работы [27, 28] давали оценки \VLphjW ~ 0.1 10. Например, авторы [27] считают, что в рамках классической теории электрон-фононного взаимодействия в металлах при сильной связи Л > 1 учет конечной ширины зоны приводит к ее поляронному коллапсу, а перенормированная электрон-фононным взаимодействием ширина зоны оказывается меньше характерных фононных частот и взаимодействие становится существенно неадиабатическим. А в работе [28] утверждается, что переход от сверхпроводимости со слабой связью БКШ к биполяронной сверхпроводимости с сильной связью происходит при А ~ 1 независимо от адиабатического параметра. При этом поляронный коллапс зоны является следствием нарушения трансляционной симметрии и не связан с вершинными поправками. В Главе для простоты рассматривается модель ферми-жидкости с обычным фрёлиховским гамильтонианом [35] и эйнштейновским спектром фононов. Предполагается, что плотность состояний является константой. При этом химический потенциал равен нулю, что соответствует наполовину заполненной зоне. Считается, что

мало. Последовательно рассматривается вклад неадиабатических эффектов в электронную собственную энергию Е в первых порядках по Л с учетом вершинных поправок и поправок из-за конечности ширины зоны.

Сравнены несколько методов вычисления вершинной функции и ее вклада в собственную энергию, и получены выражения для перенормировки электрон-фононного взаимодействия А. Показано, что результаты, которые следуют из приближений [91], а также [30, 31, 47], дают правильную оценку для порядка и знака неадиабатических поправок в собственную энергию. Аналитические результаты сравниваются с численными.

Показано, что град иентно-инвариантный самосогласованный (ГИСС) метод [24] и его обобщение [44] дают для собственной энергии Е завышенный и заниженный результаты соответственно. Это связано с тем, что основной вклад в Е вносит область дур и' ~ в

которой поправка к вершинной функции Г ~ \QphfW. Это означает, что в тождестве Уорда нельзя пренебрегать векторным членом, как предлагалось в работе [24].

В рамках стандартного (мигдаловского) подхода в низшем приближении оценены значения параметров, при которых вклады векторного и скалярного членов оказываются одного порядка. Нужно также быть осторожным в выборе решения тождества Уорда, чтобы не недооценить скалярный член [44] и, таким образом, не получить заниженную оценку для перенормировки межэлектронного взаимодействия.

Показано, что в первом порядке по А корреляции уменьшают фактор перенормировки Z, т.е. существует тенденция, которая может привести к неустойчивости. При \ilphfW > 1 возможно появление особенностей у 2 в верхней полуплоскости комплексной частоты, что может быть связано с переходом в поляронное состояние. Для А = 3 это происходит при Г2р/,,/И,г = 0.22. Если = 0.1 еУ, то условие стабильности приводит к]¥> 0.45 еУ.

Во второй главе исследуется модель, рассматривающая рассеяние на малые импульсы. Предполагается, что матричный элемент электрон-фононного взаимодействия перенормируется вершинной функцией 7(5) (вследствие электронных корреляций) и, таким образом, квадрат матричного элемента электрон-фононного взаимодействия имеет заметные пики при 5 = 0 и может быть аппроксимирован дельта-

функцией, т.е. | gSCr(<í) |2~| 9o{<í) |2 Этот предельный случай

для эффектов, связанных с дальнодействующими силами, выделяет основную физику явления и является хорошим приближением всякий раз, когда длина R эффективного взаимодействия удовлетворяет условию R кр1, т.е. <7с(~ 1/-R) -С кр. Кроме того, это значительно упрощает структуру уравнений Элиашберга, делая элементарным интегрирование в ^-пространстве. Показано следующее. Предполагая, что спаривание обусловлено электрон-фононным рассеянием вперед, критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние для чистых систем Тс0 линейно зависит от константы электрон-фононного (или другого бозонного) взаимодействия А в мигдаловском приближении. Получено выражение для фактора перенормировки с учетом вершинных поправок во втором порядке по константе электрон-фононного взаимодействия. Найдена плотность состояния iV(a>); показано, что в нормальном состоянии она имеет характерный вид "псевдощели", т.е. провала в плотности состояний. Эта особенность проявляется в действительной части оптической проводимости Rea в виде структур при частотах порядка фононных. На основе численных расчетов показано, что сопротивление как функция температуры оказывается линейным до низких температур Т ~ Í7/30 в отличие от обычной дебаевской модели [14], где линейный ход сопротивления существует при температуре, выше Т > 9d/5.

В пределе слабой связи изотопический эффект мал, т.е. а -С 1 при Тсо <С О. Примеси с выраженным рассеянием вперед значительно меняют аналитические свойства квазичастичной функции Грина и вершинные поправки экранируют борновское рассеяние на единичной примеси. Они могут дать а -Л 1/2 в грязном пределе. Примеси с выраженным рассеянием вперед одинаково влияют на s- and d-симметрию электрон-фононного взаимодействия с рассеянием вперед, в обоих случаях ослабляя его. Немагнитные изотропно рассеивающие примеси ослабляют спаривание для s-симметрии электрон-фононного спаривания с рассеянием вперед и разрушают сверхпроводящее состояние для d-симметрии. Рассеивающие вперед примеси не влияют на обычное спаривание БКШ с s-симметрией. Таким образом, можно сделать вывод о том, что вершинные поправки особенно важны для спаривания, обусловленного электрон-фононным рассеянием вперед, т.к. в отсутствие интегрирования по импульсам в собственной энергии, в теории нет малого параметра, каким является Xlod/Ef в теории

Мигдала. Эти поправки могут увеличить Тс. как утверждалось в [30, 31, 32]. Однако, как показано в главе 2, критическая температура Тс для электрон-фононного рассеяния вперед в мигдаловском приближении линейна по константе электрон-фононного взаимодействия А вопреки экспоненциальной зависимости, используемой в [30, 31, 32].

В третьей главе самосогласованно учитываются вершинные поправки к лондоновской глубине проникновения магнитного поля в сверхпроводник в квазидвумерной модели с электрон-фононным (или, вообще говоря, электрон-бозонным, например, экситонным, парамагнонным) анизотропным взаимодействием. Подробно

рассматривается модель (в + а?)-симметрии параметра порядка. Модельные параметры (Д, электрон-фононное взаимодействие ]¥, фактор перенормировки 2 и т.д.) считаются зависящими от полярного угла (р в (х, у) плоскости /^-пространства. Для случая произвольной зависимости взаимодействия от частот показывается, что вершинные поправки дают тождественно нулевой вклад в лондоновскую глубину проникновения. Этот результат также обобщается на более общий случай высоких симметрий с четными номерами, т.е. в, с1, д.... Для случая (с1 4- /)-симметрии в электрон-фононном взаимодействии и ¿-спаривания в параметре порядка вершинные поправки для лондоновской глубины будут ненулевыми. Рассмотрена модель с БКШ зависимостью электрон-фононного взаимодействия от частот. Показано, что вершинные поправки увеличивают статическую функцию электромагнитного отклика и, таким образом, уменьшают лондоновскую глубину. Они дают для лондоновской глубины проникновения линейный вклад по Т, таким образом, не меняя асимптотику при Т —>• 0 в отличие от случая акустического спектра фононов в й-спаривании [119].

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы.

Результаты диссертации опубликованы в работах [124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131].

1 Неадиабатические поправки к

электронной квазичастичной

собственной энергии

1.1 Введение

Неадиабатические поправки играют важную роль в коллективных возбуждениях [13, 15, 16, 17, 18] и сдвигах фононных частот [19]; их нужно учитывать при нахождении поляризационного оператора [20, 15, 16, 17, 18, 21], проводимости а [22] и, наконец, электронной собственной энергии [23, 24, 25, 26, 29, 30, 31, 32].

Из-за малой по сравнению с ионами массы, электроны восстанавливают электронейтральность гораздо быстрее, чем смещаются ионы. Т.е. электроны адиабатически следуют за перемещением ионов. Математически таким процессам соответствует учет неадиабатических (вершинных) поправок.

Физически это связано с тем, что при больших скоростях электронов они из-за дальнодействующего кулоновского взаимодействия, чтобы сохранить электронейтральность, обязаны следовать за "медленными" ионами. Узкие зоны и сильное электрон-фононное взаимодействие сравнивают порядки времен релаксации. Возникает вопрос: это приводит к увеличению или ослаблению межэлектронного взаимодействия (и в результате Тс)?

Можно выделить два вида неадиабатических поправок для собственной энергии: 1) вершинные, связанные с высшими поправками теории возмущений, из-за того, что Г ф 1 даже при бесконечной ширине зоны —оо < е < +оо [20, 23, 24, 25] и 2) из-за конечности ширины зоны -Ш < £ < \¥ [29, 30, 31, 32, 24, 25]. Традиционно считалось, что такие поправки малы, так как мал мигдаловский параметр \QphfW [33, 34, 20, 23, 35]. Однако в последнее время появились вещества (например, фуллерены и высокотемпературные сверхпроводники), где.Ц/, - Ш [36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43]. Таким образом, нарушается теорема Мигдала о малости вершинных поправок [33, 34, 35]. Это даёт повод не только обсуждать такие поправки, но даже рассматривать антиадиабатический предел Ор/г > Ж [26]. Существуют противоречивые результаты о влиянии неадиабатических поправок на Тс. Например, Такада [24] получил некоторое увеличение Тс

для малых параметров Ы^/Ер (см. Рис. 1). Даже более значительное увеличение было получено в работах [31] (см. Рис. 2). В то же время, в [91], а также в [44] получено уменьшение Тс за счет вершинных поправок (см. Рис. 3 и 4 соответственно). Однако и при малом \QphfW делаются противоречивые выводы о важности этих поправок (авторы [33, 34, 45] считают их незначительными, а [30, 31, 32, 24, 25, 26, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130] - наоборот).

Таким образом, основной целью данной главы является исследование неадиабатических поправок к электронной собственной энергии в нормальном состоянии. Это поможет выяснить, в какую сторону (увеличения или уменьшения) изменяется эффективное межэлектронное взаимодействие и что именно надо учитывать, рассматривая аналогичные поправки в сверхпроводящем состоянии.

Кроме того, так как природа вершинных поправок связана с межэлектронными корреляциями, то сильно скоррелированные электронные системы могут привести к поляронным (биполяронным) состояниям. Мы полагаем, что учёт неадиабатических поправок поможет выяснить природу перехода от ферми-жидкостного описания к поляронному. До настоящего времени для такого перехода разные данные [27, 28] дают оценки АЦ,/г/И/Г ~ 0.1 -г- 10. Например, авторы [27] считают, что в рамках классической теории электрон-фононного взаимодействия в металлах при сильной связи А > 1 учет конечной ширины зоны приводит к ее поляронному коллапсу, а перенормировання электрон-фононным взаимодействием ширина зоны оказывается меньше характерных фононных частот и взаимодействие становится существенно неадиабатическим. А в работе [28] утверждается, что переход от сверхпроводимости со слабой связью БКШ к биполяронной сверхпроводимости с сильной связью происходит при А ~ 1 независимо от адиабатического параметра. При этом поляронный коллапс зоны является следствием нарушения трансляционной симметрии и не связан с вершинными поправками.

Один из методов, учёта неадиабатических поправок, который можно условно назвать мигдаловским, основан на решении уравнения Бете-Салпитера для вершинной функции [33, 20, 23]. В низшем приближении первая поправка к единичной вершине определяется диаграммой на Рис. 5. Далее с полученной вершинной функцией находится собственная энергия Е (см. Рис. 6)

Этот традиционный метод не даёт возможности аналитически

П ./Ер

оп г

Рис. 1: Вычисленные результаты Тс в ~ единицах Ер как функция фононной энергии 0.р!1/Ер. Кулоновские параметры равны: цс = 0.1, /1Р1 — 1, ир1/Ер = 4. Сплошная и штриховая линии относятся к результатам с и без вершинных поправок, соответственно. А штрихпунктирная и пунктирная - соответствуют формуле МакМилана с ц* = 0.1 и 0.0734 [24] .

8

и

Рис. 2: Критическая температура Тс в единицах фононной энергии и0 как функция мигдаловского параметра m = ш^/Ер с импульсом обрезания Qc — q/2kp для А = 0.5. Предел m -» 0 соответствует случаю Мигдала-Элиашберга. [31]

Рис. 3: Относительное изменение критической температуры с включением вершинных поправок низких порядков, сравненное с температурой Т^, рассчитанной из обычных уравнений Элиашберга для различных спектральных функцих а2Г(0.). Линии (1) и (2) - для эйнштейновской модели с 0,е = ЮтпеУ и А = 0.5, /¿* = 0.0, Т^ = 4.75К для кривой (1) и А = 1.0,ц* = 0.0, Т^ = 13.28-К" для кривой (2). Для этих двух кривых ис = О.е- Кривая (3) - для спектральной функции РЬ: А = 1.55, ¡л* = 0.136, = 11.1 теУ,ТсЕ = 7.19К. Для этого графика шс = £1тах- Кривые (4) и (5) - для спектральных функций с А = 1.0,// = 0.0, Т^ = 15'ЗК. Для функции (4) и>с = и, и для'функции (5) ис — ш1п [91] .

К(Тс)т

Рис. 4: Зависимость критической температуры Тс как функция параметра Костура-Митровича К(Тс)т для различных Ли т = ис/Ер. Пунктирная линия дает аналитический предел Тс, когда Л 0, т.е. учитываются только эффекты конечной ширины зоны без вершинных поправок [44] .

Рис. 5: Уравнение для вершинной функции Г(2) в методе Мигдала. Выходящие линии показаны для наглядности и в определение Г не входят.

q

2(1 иг

1сип-1ыи, к- q

г (1ип, - а)

Рис. 6: Уравнение для собственной энергии Е. Волнистой линией обозначена голая фононная функция Грина В0, двумя линиями -электронная функция Грина С, а заштрихованным треугольником -вершинная функция Г.

учесть диаграммы высокого порядка из-за сложности интегрирования по импульсам. В некоторых работах [31, 32] предлагается ввести импульс обрезания дс. что значительно увеличивает вершинные поправки и приводит к росту Тс. При вычислении 2 мы выясним роль такого предположения, сравнивая с традиционным способом интегрирования по импульсам [20]. В последнее время Такадой был предложен другой метод [24, 25, 26], названный им градиентно-инвариантным самосогласованным (ГИСС). В нём на основе тождества У орда [20] вершинная функция выбирается в виде функционала от собственной энергии, которая предполагается не зависящей от импульсов. В таком приближении и Г не зависит от импульсов, что значительно упрощает расчёты. Однако при этом пренебрегается векторным членом в тождестве У орда. Недавно появилась еще одна работа [44], в которой не пренебрегается векторным членом и которая претендует на улучшение ГИСС метода за счет включения в рассмотрение зависимости вершинной функции от импульсов.

Поэтому, сравнивая эти методы с мигдаловским, мы обсуждаем также, справедливость таких приближений. Фактически для собственной энергии учитываются все диаграммы до второго порядка включительно (см. Рис. 7). При этом параметр считается малым.

Основные результаты состоят в том, что

1. сравнены несколько методов вычисления вершинной функции и ее вклада в собственную энергию, и получены выражения для перенормировки электрон-фононного взаимодействия;

1 q

а

'1и„, к - q

(Ъ)

1ию q

^«л q

к - % к^-я

к-д

Рис. 7: (а), (Ь), (с). Диаграммы, которые фактически учитываются при нахождении собственной энергии Е. Прямой линией обозначена голая электронная функция Грина С(0), волнистой линией - фононная функция Грина Б^Шу).

показано, что во втором порядке по Л взаимодействие уменьшает эффективное взаимодействие и фактор перенормировки;

2. оценены параметры, при которых сравниваются вклады векторного и скалярного членов в тождестве Уорда, и, таким образом, найдены границы применимости ГИСС метода;

3. показано, что для собственной энергии ГИСС метод [24] и его обобщение [44] дают при q ~ pF соответственно завышенные и заниженные оценки вершинных поправок для собственной энергии по параметру XQph/W;

4. при Лflph/W > 1 возможно появление особенностей у фактора перенормировки Z в верхней полуплоскости, что можно отнести к переходу в поляронное состояние. Для А = 3 это происходит при Qph/W = 0.22. Если Qph = 0.1 eV, то нестабильность возможна при W < 0.45 eV, т.е. при очень узких зонах.

1.2 Модель

В главе для простоты рассматривается модель ферми-жидкости с обычным фрёлиховским гамильтонианом [35]

H = Hel + HL + Hep, (1.1)

где

Не1 = ^еАска (1.2)

ка

описывает невзаимодействующие электронные квазичастицы, которые являются квазистационарными состояниями задачи идеально твердой решетки с зонными электронами плюс кулоновское взаимодействие. Решеточный гамильтониан Hl описывает невзаимодействующие фононы, чьи энергии берутся из эксперимента:

Hl = Y; hujQ(aQaQ + J)- (L3)

Q г

Наконец, взаимодействие Нер имеет вид

Hep = + Q\VaV\k)uQa4+Qck, (1.4)

kQ

где смещение

(1.5)

а а<2г - оператор уничтожения фонона с энергией и;дг, волновым вектором С5 в зоне г и поляризационным вектором е^. Матричный элемент содержит оператор который рассеивает электроны с атома,

смещенного на бесконечно малую величину.

Теория линейного отклика показывает, что этот оператор равен е~1\71/0, где V0 - электрон-ионный потенциал, и б-1 -оператор экранирования. Только в пределе слабого рассеяния можно ожидать, что V0 является градиентом заэкранированного потенциала (градиент и оператор экранирования не коммутируют за исключением однородной среды; таким образом, к обозначению нельзя относиться буквально). Суть гамильтониана Фрелиха состоит в том, что кулоновское взаимодействие уже перенормировало вк, и а кулоновское и электрон-фононное взаимодействие вместе

перенормировли шс}. Этот гамильтониан используется, чтобы построить электронную собственную энергию Е. Его нельзя использовать, чтобы построить П, поскольку и>д Уже является наблюдаемым перенормированным спектром.

Тогда без учета вершинных поправок электронная собственная энергия на Рис. 6 равна

где шп = (2п + 1)7гТ. Свойства электрон-фононной системы следуют из этой формулы и уравнения Дайсона

Аналогичные уравнения в сверхпроводящем состоянии составляют теорию Элиашберга.

Е(к,гшп) = -Т^,(к\ЧаУ\к')Вар(к - к',

(1.6)

к',и

х(к'\7рУ\к)С{к',гшп-гши),

С 1(к,ги)п) — С01(к,шп) - Т,(к,шп).

(1.7)

Первым шагом в оценке уравнения (1.6) является введение спектрального представления для фононной функции Грина:

/■+00

Dap(Q,icou)= dílB^iQ^W^-Ü)-1-(itüv + íl)-1}, (1.8)

J О

ши = 2wkT. Тогда

Z{k,iion) dfl-—-(^2 + Q2)G(k,ttvn-tuju), (1.9)

где

a2F(k, к', Ü) = N(0)(k\VaV\k')Bap(k - k', tt){k'\VpV\k). (1.10)

Электрон-фононную спектральную функцию a2F удобно усреднить по поверхности Ферми:

а2р{й) = (1.П)

где N(0) = Y,k${ek) - плотность состояний на поверхности Ферми. Электрон-фононная спектральная функция a2F является усредненной мерой эффективности рассеяния электронов. Затем

W • ^ rr,^ г .jNje') r ^a2F(ek,ek,,n) 20

xG(ek<,iujn - ÍL0U).

В этой Главе можно пренебречь зависимостью Е от е из-за следующих аргументов [35]:

1. Ti(e,iu}n) рассматривается при — шр, < е — ер < (¿d-

2. Поскольку Í2 < сои, т.е. только значения и>„ в области \iov| < и>р> вносят существенный вклад в (1.12).

3. Таким образом, G(e',iuin — ши) входит в (1.12) только при малых значениях \и>п — и)Л.

4. Тогда G(e', iion — iojy) сильно меняется, когда е' находится в области ±о>£), и уменьшается при больших |е'|.

5. N(e')a2F(6k, е^, Г2) не зависит сильно от в этой области.

6. Таким образом, a2F(ek, может быть заменена на a2F(Q), и N(б') заменено на N(0).

Следовательно

г оо 2Г2 Г°°

Е {гсо^^ТТ dOa2F(i})——— de'G(e', icon - iuu). (1.13)

V h + J-oo

Следует отметить, что такое приближение не выполняется для рассеяния вперед, в котором нет интегрирования по энергиям. Для него надо исходить из уравнения (1.9) (см. Главу 2).

Мы используем эйнштейновский спектр фононов, который соответствует a2FE(£l) = |AQp/j<5(f2 — Цл), где Qph - не зависящая от импульса фононная частота, а А - величина электрон-фононного взаимодействия, которая считается постоянной. Предполагается, что плотность состояний является константой N(0) при — W < £ < W, где 2W = 2PfVf ~ ширина зоны. При этом химический потенциал равен нулю, что соответствует наполовину заполненной зоне. Считается, что А ~ 1, a VLph/W - мало.

Мы интересуемся квазичастичной собственной энергией Е на мнимой оси, которая определяется диаграммой на Рис. 6. Фононная функция Грина D0(ico„) — —Q2h(u;2 + О,2^"1, а электронная функция Грина

G(iun,p) = (icon - £р— Е(шп,р))~1, £р- электронный спектр.

—*

Считая, что И{штк) слабо зависит от к, мы положим \к\ = Pf — const, и, таким образом, Е = Е(шп). Тогда с учетом вершинных поправок диаграмме на Рис. 6 будет соответствовать выражение [35]

г 2Q

Е (гип)= dna2FE(il)Tj2

-Ш1 + 02 N(0)

х ^ С(гсоп - к - д)Г(шп, шп - ф. (1-14)

ч

Различным методам будет отвечать разный выбор вершинной функции, и об этом речь пойдет ниже. В дальнейшем мы получим

1

результаты для Т = 0, и переменные поменяются следующим образом: шп —со, Юр —> и/, оставаясь на мнимой оси.

1.3 Применение метода Мигдала для вычисления неадибатических поправок

В методе, который можно условно назвать мигдаловским, рассматривается первая поправка к единичной вершинной функции Г^1). Эта поправка изображена на Рис. 5. Она оценивалась во многих работах [33, 34, 23], а сейчас приобрела особенное значение [29, 30, 31, 32], так как оказалось, что параметр \QphfW может быть не очень малым. Диаграмма на Рис. 5 соответствует выражению

г(2 )с ■ ■ Л ^v-Wjo a2FE(Q)2n

{гШп>- = т 511J Ш^Щ

xG^(icon - ico„i,p — q')G^\icon — ши' — iuv,p — q' — q). (1.15)

Считая \p — q'\ ~ Pf и раскладывая £(p-q'-q) ~ £(p—q')—qvF cosd, получим при T = 0: Из (1.15) имеем

- = i- J +[ d^N{0) J de

N(0)

0 v 7 -oo -W

If, 1 1 1

X0 / drl 2 , r>2"-:---:-~-i-' Т0ГДа (1Л6

2 J щ + iV гш — iuji — £ ilu — iu)\ — га/ — e + Vpqrj

42)

M

1 f1 1

(iuj, iu - iujq) = A- / drj

4 J-i —im' 4

x{l:

1 + im + —

n

1

m

m о

+ ln

1 — im

1 + im

1 — im -

+ In

im

+ Qv

1 + im — im'

im + im'

QV + A

0 ' m.

mo

1 + im — im' + Qn +

mo

(1.17)

где т = т' = <Э = то =

Определим динамическую и статическую вершинную функцию

Г^ = Г(д = 0,а/->0,о;);

Г3 = Т(д 0,о/ = 0,о;). (1.18)

У нас из (1.17):

1

17 = Гм(? = 0, о/ —> 0, о; = 0) = Л[1 - -г—щ]. (1.19)

V1 + тг)

1

Г? = Гм{д-> 0, и' = 0, и) — 0) = -А—ж. (1.20)

1 + п

Видно, что

ГГ - = Л. (1.21)

При < |о/| ~ Г2р/г

Г® (ги;,ш> — га/, д)

ПрЬ со со — со' со

= А-(агйап —--аг^ап ——--аг^ап ^—

со' Прк IV + 0,рк

00-со' Е^(ш) - Е«(га; - га;')

+ arctan ———) =--^-—^-(1.22)

+ гсо' > V у

что соответствует тождеству Уорда (1.57) и выбору функционала [25]. График функции Г® при нескольких параметрах изображен на Рис. 8. При ур\(}\ » \оо'\

Т{2){1со,1со - ш~ \VLphlqvp ~ А^/Ж, (1.23)

то есть выполняется теорема Мигдала [33, 34].

Поскольку в (1.17) 1п[(1 — гт + ътп' — С^г] + /(1 + гт — гт■! + ф?7 + медленно меняющаяся функция (5, которая домножается на фактор

Рис. 8: График вершинной функции Гна мацубаровскойчастоте ш при Л = 1,йрк/1¥ = 0.1, и = 0, д/рР = 0; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8. Сплошная линия - численный результат (1.17), пунктирная - аналитический (1.24).

1/{—гт! + С^г]) при т' ~ 1, то (см. Рис. 7) разложим в последнем члене (1.17) 1п до первого порядка по С}. Тогда (см. Рис. 8)

Г® (го;, ico — ico', q) = Х—^ arctan —-(arctan --arctan Ш W

qvF со' {lph í lph

СО LO — со'

Л #(1+ arctan ^f)

Это приближение хорошо согласуется с численным расчетом (см. Рис. 8) и дает те же значения в статическом и динамическом пределе (1.19,1.20).

Собственная энергия состоит из трех членов:

Е = 5Я + £<2)+Е<2). (1.25)

Член первого порядка равен:

+оо оо +оо —W +оо

Е^НЧ = I düJij dÜa2FE(íl)(—)( J - I - j)de

—oo 0 —oo — oo W

1 +r° 2Q 1

xImGM(£)Wl+¿¿)- / dco'^¿-~,-A-t-. (1.26)

2tt J co'¿ + \ l¿ ico — ico' — uoi

—oo

Тогда (см. Приложение А)

ico) = -iXüph arctan —--h i\üph arctan ———-, (1-27)

ílph W + ílph

что соответствует результатам [20, 30, 31, 32].

Выражение для вершинной поправки Е^ получится, если подставить в (1.14) G = С(0) и Г = Г(2) из (1.24).

Окончательно имеем (см. Приложение А)

= + (1-28)

Ü2

Е= гА2-^<(т,ш0), где (1.29)

1 л

,„ / Ч 1 [ ау

с^(т,т0) =- — / агс^ап

2тх J у

—оо

у2 + 1 т0(т-у)

т т — у (агс^ап т — агс!лп(т — у) — аг^ап —-- + агс!,ап --)

то + то

2 1 4

(2агс1ап---г/т01п(——^ + 1)). (1.30)

ут0 2 у2гщ

о2

Е<2>ЬМ = где (1.31)

1 9 Г+ОО

с1у(т, то) = — —-т0(1 + т0) / с1т'

¿7Г J-оо

1

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Даниленко, Алексей Викторович

4 Заключение

В заключение сформулируем основные результаты работы.

• Последовательно рассмотрен вклад неадиабатических эффектов в электронную собственную энергию в первых порядках по константе электрон-фононного взаимодействия взаимодействия А. Учитывались вершинные поправки и поправки из-за конечности ширины зоны. Сравнены несколько методов вычисления вершинной функции и ее вклада в собственную энергию, и получены выражения для перенормировки электрон-фононного взаимодействия Л. Результаты, которые следуют из приближения [91], а также [30, 31, 47], дают правильную оценку для порядка и знака вклада неадиабатических поправок в собственную энергию. Аналитические результаты сравнивались с численными оценками.

Показано, что ГИСС метод [24] и его обобщение [44] дают для собственной энергии завышенный и заниженный результаты соответственно. Это связано с тем, что основной вклад в Е вносит область дур и/, в которой Г ~ \QphfW. Это означает, что в тождестве Уорда нельзя пренебрегать векторным членом, как предлагает Такада [24]. В рамках стандартного (мигдаловского) подхода в низшем приближении оценены значения параметров, при которых вклады векторного и скалярного членов оказываются одного порядка. Нужно также быть осторожным в выборе решения тождества Уорда, чтобы не недооценить скалярный член [44].

Показано, что во втором порядке по Л корреляции уменьшают И. При ЛПр/г/И^ > 1 возможно появление особенностей у фактора перенормировки 2 в верхней полуплоскости комплексной частоты, что может быть связано с переходом в поляронное состояние. Для А = 3 это происходит при Г^/И^ = 0.22. Если Г2р/1 = 0.1 еУ, то неустойчивость возможна при \¥ < 0.45 еУ, т.е. в системах с очень узкими зонами.

• Поскольку электрон-фононное взаимодействие может быть перенормировано сильными электронными корреляциями, так что выделено рассеяние вперед, а рассеяние назад подавлено, рассмотрена модель, учитывающая рассеяние на малые импульсы. Предполагая, что спаривание обусловлено электрон-фононным электрон-бозонным) рассеянием на малые импульсы, показано, что критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние для чистых систем Тс0 линейно зависит от константы электрон-фононного взаимодействия А. Получено выражение для фактора перенормировки с учетом вершинных поправок в первом порядке по константе электрон-фононного взаимодействия. Найдена плотность состояния N(u>) при различных температурах. Показано, что в нормальном состоянии она имеет характерный вид "псевдощели", т.е. провала в плотности состояний, закрывающегося при температурах порядка фононной энергии. Это связано со структурами в Rea, которые видны при частотах порядка фононных. Сопротивление как функция температуры является линейной до температур порядка Т ~ Q/30, в отличие от модели Дебая [14], где линейность сохраняется до Т ~ Г2/5.

Показано, что в пределе слабой связи изотопический эффект мал, т.е. а <С 1 при Тс0 <С £2. Примеси с выраженным рассеянием вперед значительно меняют аналитические свойства квазичастичной гриновской функции и вершинные поправки экранируют борновское рассеяние на единичной примеси. Такие примеси дают а —1/2 в грязном пределе (IV Тс).

Примеси с выраженным рассеянием вперед одинаково влияют на s- and (¿-симметрию электрон-фононного взаимодействия с рассеянием вперед, в обоих случаях ослабляя его. Нормальные изотропно рассеивающие примеси ослабляют спаривание для s-симметрии электрон-фононного взаимодействия с рассеянием вперед и разрушают сверхпроводящее состояние для (¿-симметрии. Рассеивающие вперед примеси не влияют на обычное спаривание БКШ с s-симметрией.

• Рассмотрена лондоновская глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник XL в квазидвумерной модели при самосогласованном учете вершинных поправок. В случае (s + (¿)-симметрии параметра порядка при произвольной зависимости взаимодействия от частот показывается, что вершинные поправки дают тождественно нулевой вклад в лондоновскую глубину проникновения. Этот результат также обобщается на более общий случай высоких симметрий с четными номерами, т.е. s, d, д. во взаимодействии и в параметре порядка.

Для случая (d + /)-симметрии в межэлектронном взаимодействии и d-спаривания в параметре порядка вершинные поправки для лондоновской глубины оказываются ненулевыми. Показано, что вершинные поправки увеличивают статический поляризационный оператор и, таким образом, уменьшают лондоновскую глубину. При этом они не меняют линейную асимптотику XL при Т —У 0.

В заключение я хочу поблагодарить Ю. С. Бараша, В. JI. Гинзбурга, М. Л. Кулича, Е. А. Лаптева, В. В. Лосякова, Е. Г. Максимова, М. Прёля, А. А. Свидзинского, И. Томеса и В. Удовенко за помощь и полезные советы, а также Н. Шополя за гостеприимство в Институте Теоретической Физики Тюбингенского Университета. Особенно хочется отметить роль моего научного руководителя Олега Владимировича Долгова. Работа была поддержана Международным Соросовским Фондом, INTAS, Российским Фондом Фундаментальных Исследований (РФФИ), Стипендией Ландау Исследовательского Центра Юлиха, а также Немецкой Службой Академических Обменов (DAAD)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Даниленко, Алексей Викторович, 1999 год

Список литературы

[1] J. G. Bednorz, К. A. Miiller, Z. Phys. B, 64, 189 (1986)

[2] M. L. Kulic, Interplay of electron-phonon interaction and stron correlations: the way to high-Tc-superconductivity, Preprint, Bayreuth (1998)

[3] Г. M. Элиашберг, ЖЭТФ, 38, 966 (1960) [G. M. Eliashberg, Sov. Phys. JETP, 11, 696 (I960)]

[4] A. F. Hebard, Phys. Today 45, No 11, 26 (1992)

[5] S. I. Vedeneev, A. G. M. Jensen, P. Samuely, V. A. Stepanov, A. A. Tsvetkov and P. Wyder, Phys. Rev. B, 49, 9823 (1994)

[6] S. I. Vedeneev, A. G. M. Jensen and P. Wyder, Physica В 218, 213 (1996)

[7] D. Shimada, Y. Shiina, A. Mottate, Y. Ohyagi and N. Tsuda, Phys. Rev. B, 51, 16495 (1995)

[8] N. Miyakawa, A. Nakamura, Y. Fujino, T. Kaneko, D. Shimada, Y. Shiina and N. Tsuda, Physica С 282-287, 1519 (1997)

[9] N. Miyakawa, Y. Shiina, T. Kaneko, and N. Tsuda, J. Phys. Soc. Jpn, 62, 2445 (1993)

[10] N. Miyakawa, Y. Shiina, T. Kido, and N. Tsuda, J. Phys. Soc. Jpn, 58, 383 (1989)

[11] R. S. Gonnelli, F. Asdente and D. Andoreone, Phys. Rev. B, 49, 1480 (1994)

[12] M. Grabowski and L. J. Sham, Phys. Rev. B, 29, 6132 (1984)

[13] T. Tsuneto, Phys. Rev. 118, 1029 (1960)

[14] Ch. Kittel, Introduction to solid state physics, John Miley & Sons, Inc. N. Y. (1986)

[15] В. Г. Вакс, В. M. Галицкий, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 41, 1655 (1961)

[16] А. И. Ларкин, ЖЭТФ 46, 2188 (1964)

[17] А. Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, Наука, Москва (1965)

[18] Н. Monien and A. Zawadowski, Phys. Rev. В 41, 8798 (1990)

[19] R. Zeyher and G. Zwicknagl, Z. Phys. В 78, 175 (1990)

[20] S. Engelsberg and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 131, 993 (1963)

[21] K. Itai, Phys. Rev. В 45, 707 (1992)

[22] Т. Holstein, Ann. Phys. (New York) 8, 325 (1959)

[23] D. J. Scalapino, in Superconductivity, Ed. by D. R. Parks, Dekker N. Y. (1969), vol. 1, p. 449,

[24] Y. Takada, J. Phys. Chem. Solids 54, 1779 (1993)

[25] Y. Takada, Techn. Rep. of ISSP, Ser. A, No. 2732, September 1993

[26] Y. Takada, J. Superconductivity 8, No. 4 (1995)

[27] А. С. Александров, В. H. Гребенев, Е. А. Мазур, Письма в ЖЭТФ 45, вып. 7, 357 (1987)

[28] A. S. Alexandrov, V. V. Kabanov, Phys. Rev. В 54, 3655 (1996)

[29] P. Benedetti, С. Grimaldi, L. Pietronero, and G. Varelogiannis, Euro-phys. Lett. 28, 351 (1994)

[30] L. Pietronero, S. Strassler, and C. Grimaldi, Phys. Rev. В 52, 10516 (1995)

[31] С. Grimaldi, L. Pietronero, and S. Strassler, Phys. Rev. В 52, 10531 (1995)

[32] С. Grimaldi, L. Pietronero, and S. Strassler, Phys. Rev. Lett. 75, 1158 (1995)

[33] А. Б. Мигдал, ЖЭТФ, 34, 1438 (1958)

[34] А. А. Абрикосов, JI. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, ГИФМЛ, Москва (1962)

[35] Р. В. Allen and В. Mitrovic, in Solid State Physics, Ed. by H. Ehrenreich, F. Seitz and D. Turnbull, Academic N. Y. (1982), vol. 37, p. 1

[36] Y. J. Uemura et al, Phys. Rev. Lett. 66, 2665 (1991)

[37] N. M. Plakida, High Temperature Superconductivity: Experiment and Theory Springer Verlag, Berlin (1995)

[38] O. Gunnarson, Rev. Mod. Phys. 69, 575 (1997)

[39] L. F. Mattheiss, E. M. Gyorgy, and D. W. Johnson, Jr., Phys. Rev. В 37, 3745 (1988)

[40] R. J. Cava et al, Nature (London), 322, 814 (1988)

[41] A. F. Hebard et al, Nature (London), 350, 600 (1991)

[42] K. Holczer et al, Science 252, 1154 (1991)

[43] M. J. Rosseinsky et al, Phys. Rev. Lett. 66, 2830 (1991)

[44] F. Cosenza, L. De Cesare, and M. Fusco Girard, Phys. Rev. В 59, 3349 (1999)

[45] Д. А. Киржниц, в кн. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости, под ред. В. J1. Гинзбурга и Д. А. Киржница, Наука, Москва (1977), гл. 2, с. 57

[46] Е. Cappelluti, С. Grimaldi and L. Pietronero, Preprint cond-mat/9801232

[47] C. Grimaldi, E. Cappelluti, and L. Pietronero, Europhys. Lett., 42, 667 (1998)

[48] Y. Nambu, Phys. Rev. 117, 648 (1960)

[49] Kei-Ichi Kondo, International Journal of Modern Physics A, 7, No. 29, 7239 (1992)

[50] О. V. Dolgov, V. V. Losyakov, Physics Letters A 190, 189 (1994)

[51] P. Miller, J. K. Freericks, and E. J. Nicol, Phys. Rev. B, 58, 14498 (1998)

[52] J. K. Freericks, E. J. Nicol, A. Y. Liu, A. A. Quong, Phys. Rev. B, 55, 11651 (1997)

[53 [54 [55 [56

[57 [58 [59

[60 [61 [62

[63 [64 [65 [66 [67 [68 [69

[70 [71

A. P. Kampf, Physics Reports 249, 219 (1994)

P. Monthoux and D. Pines, Phys. Rev. Lett. 69, 961 (1992);

P. Monthoux and D. Pines, Phys. Rev. B 47, 6069 (1993);

R. J. Radtke, K. Levin, H. B. Schüttler and M. R. Norman, Phys. Rev. B 48, 15957 (1993);

P. Monthoux and D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett. 72, 1874 (1994);

S. Lenck, J. P. Carbotte and R. C. Dynes, Phys. Rev. B 49, 9111 (1994)

S. V. Shulga, 0. V. Dolgov, E. G. Maksimov, Physica C 178, 266 (1991)

V. L. Ginzburg, E. G. Maksimov, Physica C 230-240, 193 (1994)

0. V. Dolgov, S. V. Shulga, Jour. of Supercond. 8, 611 (1995)

S. I. Vedeneev, P. Samuely, S. V. Meshkov, G. M. Eliashberg, A. G. M. Jansen, P. Wyder, Physica C 198, 47 (1992)

Ivan Bozovic and J. N. Eckstein, Physica C 235-240, 178 (1994)

M. Kulic and R. Zeyher, Phys. Rev. B 49, 4395 (1994);

M. Kulic and R. Zeyher, Physica C 199-200, 358 (1994);

M. Kulic and R. Zeyher, Physica C 235-240, 2151 (1994);

M. Kulic and R. Zeyher, Phys. Rev. B 53, 2850 (1996);

M. Kulic and R. Zeyher, Phys. Rev. B 54, 8985 (1996)

J. Zielinski, M. Mierzejewski, P. Entel, R. Grabovski, J. Supercond. 8, 135 (1995);

M. Mierzejewski, J. Zielinski, Phys. Rev. B 52, 3079 (1995) M. Grilli and C. Castellani, Phys. Rev. B 50, 16880 (1994)

[72] J. Keller, C. E. Leal, F. Forsthofer, Physica C 206-207, 739 (1995)

[73] A. A. Abrikosov, Physica C 244, 243 (1995);

[74] J. Ruvalds et al., Phys. Rev. B 51, 3797 (1995)

[75] M. Weger et al., J. Low Temp. Phys. 95, 131 (1994);

[76] G. Santi et al., J. of Supercond. 8, 215 (1995)

[77] P. W. Anderson, p. 217 in The Hubbard Model: Its Physics and Mathematical Physics, Eds. D. Baeriswyl et al., Plenum Press, New York 1995;

[78] G. Baskaran, p.237 in The Hubbard Model: Its Physics and Mathematical Physics, Eds. D. Baeriswyl et al, Plenum Press, New York 1995;

[79] G. Varelogiannis and E. N. Economou, preprint cond-mat/9705085 9 May 1997;

[80] G. Varelogiannis, L. Pietronero, Phys. Rev. B 52, R15573 (1995);

[81] G. Varelogiannis et al., Phys. Rev. B 54, R6877 (1996);

[82] V. A. Khodel, V. R. Shaginyan, JETP Lett. 51, 553 (1990);

[83] P. Nozieres, J. Phys. I 2, 443 (1992);

[84] J. Dukelsky, V. A. Khodel, P. Schuck, V. R. Shaginyan, Z. Phys. B 102, 245 (1997)

[85] V. N. Kostur, B. Mitrovic, Phys. Rev. B 50, 12774 (1994);

[86] V. N. Kostur, B. Mitrovic, Phys. Rev. B 51, 6064 (1995)

[87] A. I. Lichtenstein, M. L. Kulic, Physica C 245, 186 (1995);

[88] T. Dahm, C. T. Rieck, L. Tewordt and S. Wermbter, Physica C 233, 179 (1994)

[89] O. V. Danylenko, O. V. Dolgov, M. L. Kulic, V. Oudovenko, in preparation

[90] M. L. Kulic, О. V. Dolgov, cond-mat/9902232; in High-Temperature Superconductivity ed. by S. E. Barnes (1999) (in press)

[91] V. N. Kostur, Bozidar Mitrovic, Phys. Rev B, 50, 12774 (1994)

[92] Дж. Шриффер, Теория сверхпроводимости, Наука, Москва (1970) [J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Benjumin, New York, (1964)]

[93] P. W. Anderson, J. Phys. Chem. Solids, 11, 26 (1959)

[94] B. Mühlschlegel, Z. Phys. 155, 313 (1959)

[95] J. Annett, N. Goldenfeld, and S. R. Renn, Phys. Rev. В 43, 2778 (1991)

[96] J. Annett, N. Goldenfeld, and S. R. Renn, in Physical Properties of High Temperature Superconductors II, edited by D. M. Ginsberg, World Scientific, Singapore, 1990

[97] F. Gross, B. S. Chandrasekar, D. Einzel, К. Andres, P. J. Hirschfeld, H. R. Ott, J. Benes, Z. Fisk, and J. L. Smith, Z. Phys. В 64, 175 (1986)

[98] P. J. Hirschfeld and N. Goldenfeld, Phys. Rev. В 48, 4219 (1993) "

[99] W. N. Hardy, D. A. Bonn, D. C. Morgan, R. Liang, and K. Zhang, Phys. Rev. Lett. 70, 3999 (1993)

[100] H. Srikanth, B. A. Willemsen, Т. Jacobs, S. Sridhar, A. Erb, E. Walker, and R. Flükinger, Phys. Rev. В 55, R14 733 (1997)

[101] D. A. Bonn, S. Kamal, K. Zhang, R. Liang, D. J. Baar, E. Klein, and W. N. Hardy, Phys. Rev. В 50, 4051 (1994)

[102] R. A. Klemm, International Journal of Modern Physics B, (in press) (1998)

[103] D. H. Wu et al, Phys. Rev. Lett. 70, 85 (1993)

[104] D. A. Bonn et al, J. Phys. Chem. Solids 56, 1941 (1995)

[105] Q. P. Li, В. E. C. Koltenbah, and R. Joynt, Phys. Rev. В 48, 437 (1993)

1061 D. A. Wollmann, D. J. van Harlingen, W. C. Lee, D. M. Ginsberg, and A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett. 71, 2134 (1993);

107] D. A. Wollmann, D. J. van Harlingen, W. C. Lee, D. M. Ginsberg, and A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett. 74, 797 (1995) ;

1081 A. G. Sun, L. M. Paulius, D. A. Gajewski, M. B. Maple, and R. C. Dynes, Phys. Rev. B 50, 3266 (1994)

1091 D. A. Brawner and H. R. Ott, Phys. Rev. B 50, 6530 (1994)

1101 M. B. Walker, Phys. Rev. B 53, 5835 (1996)

1111 M. B. Walker and J. Luetter-Strathmann, Phys. Rev. B 54, 588 (1996)

1121 G. Preosti and M. Palumbo, Phys. Rev. B 55, 8430 (1997)

1131 C. O'Donovan and J. P. Carbotte, Phys. Rev. B 52, 4568 (1995)

1141 K. Zhang, D. A. Bonn, S. Kamal, R. Liang, D. J. Baar, W. N. Hardy, D. Basov, and T. Timusk, Phys. Rev. Lett. 73, 2484 (1994)

1151 D. N. Basov, R. Liang, D. A. Bonn, W. N. Hardy, B. Dabrowski, M. Qhijada, D. B. Tanner, J. P. Rice, D. M. Ginsberg, and T. Timusk, Phys. Rev. Lett. 74, 598 (1995)

116] R. Modre, I. Schiirrer, and E. Schachinger, Phys. Rev. B, 57, 5496 (1998)

117] N. Schopohl, O. V. Dolgov, Phys. Rev. Lett. 80 No.20, 4761 (1998)

1181 G. V. Klimovich, A. V. Rylyakov, G. M. Eliashberg, JETP Lett. 53 No. 7 (1991)

119] G. M. Eliashberg, G. V. Klimovich, A. V. Rylyakov, Journal of Superconductivity 4 No. 5 (1991)

1201 S. B. Nam, Phys. Rev, 156, 470 (1967)

1211 P. B. Allen, Phys. Rev. B 13, 1416 (1976)

1221 E. G. Maksimov, A. E. Karakozov, Solid State Communications, 107, No. 7, 353 (1998)

[123] A. J. Millis, S. M. Girvin, L. B. Ioffe, A. I. Larkin, cond-mat/9709222

[124] А. В. Даниленко, О. В. Долгов, Неадиабатические поправки к электронной квазичастичной собственной энергии, ФИАН им. П. Н. Лебедева, Препринт N 13 (1996)

[125] О. V. Danylenko, О. V. Dolgov, V. V. Losyakov, Non-Adiabatic Corrections to the Quasiparticle Self-Energy, Proceedings of the 21st International Conference on Low Temperature Physics, Prague, August 1996, Czechoslovak Journal of Physics, 46, 925 (1996), Suppl. S2

[126] А. В. Даниленко, О. В. Долгов, В. В. Лосяков, Неадиабатические поправки к электронной квазичастичной собственной энергии, Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11-12, 70 (1996)

[127] А. В. Даниленко, О. В. Долгов, В. В. Лосяков, Неадиабатические поправки к электронной квазичастичной собственной энергии, Труды XXXIX научной конференции МФТИ, Долгопрудный, ноябрь 1996

[128] О. V. Danylenko, О. V. Dolgov, V. V. Losyakov, The Ward identity and nonadiabatic corrections to the quasiparticle self-energy; Preprint cond-mat/9703042; Physics Letters A, Vol. 230, No. 1-2, 79 (1997)

[129] О. V. Danylenko, О. V. Dolgov, M. L. Kulic and V. Oudovenko, Normal and superconducting state in the presence of forward electron-phonon and impurity scattering, Preprint cond-mat/9710234; The European Physical Journal В (December 1998) (in press)

[130] О. V. Dolgov, О. V. Danylenko, M. L. Kulic and V. Oudovenko, Forward electron-phonon scattering in normal and superconducting states, Preprint cond-mat/9804081; International Journal of Modern Physics B, 12 No. 29&31, 3083 (1998)

[131] А. В. Даниленко, О. В. Долгов, Вершинные поправки к лондоновской глубине проникновения в квазидвумерных сверхпроводниках ФИАН им. П. Н. Лебедева, Препринт N 17 (1999)