Норма передаточной матрицы управляемой системы с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Сумачева, Виктория Александровна

• Сумачева, Виктория Александровна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Сумачева, Виктория Александровна

Оглавление

Обозначения и сокращения

Введение

1 Системы линейных уравнений запаздывающего типа

1.1 Общие сведения

1.2 Передаточная матрица

1.3 Норма передаточной матрицы

2 Вычисление нормы передаточной матрицы систем запаздывающего типа

2.1 Системы без запаздываний

2.2 Матрицы Ляпунова

2.2.1 Вычисление матриц Ляпунова

2.3 Вычисление нормы передаточной матрицы

2.4 Пример

3 Построение управления, уменьшающего Ич норму передаточной матрицы

3.1 Постановка задачи

3.2 Системы без запаздываний

у

3.3 Алгоритм уменьшения нормы передаточной матрицы

3.4 Анализ замкнутой системы

3.5 Пример

4 Системы линейных уравнений нейтрального типа

4.1 Общие сведения

4.2 Матрицы Ляпунова

5 Вычисление нормы передаточной матрицы систем нейтрального типа

5.1 Вычисление %2 нормы передаточной матрицы

5.2 Вычисление матриц Ляпунова

Заключение

Литература

Приложение

Обозначения и сокращения

• К" — вещественное множество размерности п,

• ]КПХШ — пространство вещественных матриц размерности п на т,

• е^ — ]-й стандартный базисный вектор пространства Мп, ] = 1,

• РС ([—т/г, 0],МП) — пространство кусочно-непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [—т/г, 0],

• РС1 ([—т/г, 0], Мп) — пространство кусочно-неирерывно-дифференцируемых функций, определенных на отрезке [—т/г, 0],

• С1 ([—т/г, 0],КП) — пространство непрерывно-дифференцируемых функций, определенных на отрезке [—т/г, 0],

• Р(в) — преобразование Лапласа от функции /(¿),

• г — мнимая единица, г2 = —1,

• Ке(й) — вещественная часть комплексного числа в,

• ||ж|| — евклидова норма вектора х £

• ||<р||л — равномерная норма ||<р||л = Бир

0€[-тЛ,О]

• И^Иг — норма передаточной матрицы С(в),

• $'{1 + 0) — правосторонняя производная функции /(¿) в точке t,

• f'(t — 0) — левосторонняя производная функции /(£) в точке t,

• I — единичная матрица,

• 0пхп ~ нулевая квадратная матрица размерности п на п,

• det (А) — определитель матрицы А,

• vec (Л) — векторизация матрицы А,

• А® В — кронекеровское произведение матриц А и В,

• Ат — транспонированная матрица,

• А* — сопряженная матрица,

• А-1 — обратная матрица,

• TV (Л) — след матрицы А,

• а (Л) — максимальное сингулярное число матрицы Л,

• ó(t) — дельта-функция Дирака,

• о(е) — бесконечно малое относительно е, ^-У 0,

• x(t, <р) — решение системы, соответствующее начальной функции

• xt((p) — отрезок траектории x(t, <р), xt(<p) : в —> x(t + 0, ф), 9 6 [—mh, 0],

• x(t) — производная функции x(t),

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Норма передаточной матрицы управляемой системы с запаздыванием»

Введение

Теория динамических систем играет важную роль в современной науке и технике, так как является универсальным способом описания окружающих нас объектов и явлений. Ее изучение важно не только для многочисленных практических задач и приложений, но и для понимания процессов, протекающих в мире.

Одним из наиболее часто используемых видов описания динамических систем являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Возникшие из задач механики, они получили широкое применение не только в физике, но и в биологии, медицине и естествознании. Однако не все процессы могут быть корректно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. В любых сложных системах, где обмен между частями происходит с конечной скоростью, возникают запаздывания. Обычно они достаточно малы, чтобы не принимать их во внимание. Однако возможны случаи, когда даже малое запаздывание приводит к качественному изменению процесса. Впервые запаздывания появились в задачах, связанных с передачей и обработкой информации, характерных, например, для управления удаленными объектами. Они возникают не только в технике, но и в биологии (в описании численности популяций) и в некоторых моделях экономики.

Практическая необходимость привела к созданию нового класса динамических систем, описывающих состояние объекта на основе ранее известной информации о нем. Такие системы получили название дифференциально-

разностных или систсм с последействием. Запаздывание может возникать как в управляющем или входном сигналах, так и в состоянии системы, являясь неотъемлемой частью объекта.

Часто в приложениях используются методы компенсации запаздывания, позволяющие «избавиться» от запаздывания и вернуться к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако эти методы чувствительны к величине запаздывания и имеет узкую область применения. Природа дифференциально-разностных уравнений такова, что они имеют бесконечномерный характер и прямое перенесение средств и методов классической теории на них невозможно. Необходимо создание теории, учитывающей особенности подобных систсм.

Вместо прямого сведения задач с запаздыванием к классическим системам были предприняты попытки распространения основных результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений на случай систем с запаздываниями с учетом их природы. Одной из таких теорий стал метод Ляпунова, позволяющий оценить устойчивость системы с помощью вспомогательной функции, названной функцией Ляпунова. Его основным преимущество является широкая применимость, так как от исследуемой системы не требуется ни линейность, ни стационарность. Первые шаги в этом направлении были предприняты Б. С. Разумихиным и Н. Н. Красовским, предложившим две различные модификации метода Ляпунова. Разумихин предложил использовать классические функции Ляпунова, расширив их применение на системы с запаздываниями введением дополнительного условия [46]. Однако полученный им результат не является обратимым, служит только достаточным, но не необходимым, условием устойчивости и, таким образом, не всегда может быть использован для анализа систем.

Красовский предложил учесть бесконечномерную природу систем с запаздываниями и рассматривть вместо функций Ляпунова функционалы, получившие название функционалов Ляпунова-Красовского [5, 6]. На этой осно-

ве им были получены необходимые и достаточные условия устойчивости систем, а также оценки области притяжения. Развитие теория получила в работе Ю. М. Репина, поставившего задачу построения функционалов для линейных систем [13]. Им было показано, что нахождение квадратичного функционала с заданной производной сводится к поиску вспомогательных матричных функций, для определения которых необходимо решить систему дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Эта идея получила развитие в работах R. Datko [23], J. Louisell [41], E.F. Infante, W.B. Castelan [30], W. Huang [29], В. Л. Харитонов [32, 33, 34], А. П. Жабко [36] и другие.

Было показано, что для задания функционала достаточно определить лишь одну матричную функцию, получившую название матрицы Ляпунова. Показано, что метод се вычисления сводится к решению матричного дифференциально-разностного уравнения с особыми граничными условиями, являющегося аналогом матричного уравнения Ляпунова в классическом случае. В ряде случаев задача может быть сведена к нахождению решения граничной задачи для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [25].

Это позволило использовать теорию функционалов Ляпунова-Красовского в практических задачах, выведя ее за пределы исключительно теоретических исследований.

В классической теории матрицы Ляпунова позволяют не только проверить устойчивость системы, оценить характеристики переходных процессов. Они возникают и в теории оптимального управления, при синтезе V.2 оптимального управления.

T-Í2 норма передаточной матрицы системы является количественной оценкой влияния внешних воздействий на выходной сигнал системы. В качестве входного сигнала часто рассматривают внешние возмущающие воздействия, такие как порывы ветра или волнение в задачах стабилизации движения летательных аппаратов или морских объектов. Такие возмущения могут отрицательно

сказываться на качсствс управления, поэтому важной задачей является построение управления, минимизирующего их влияние на выходной сигнал. Уровень подавления оценивается с помощью Ич нормы передаточной матрицы, которая в данной задаче выступает критерием оптимальности.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений нахождение %2 нормы передаточной матрицы сводится к решению вспомогательного матричного уравнения Ляпунова со специально выбранной правой частью. Решение же задачи управления дает метод последовательных приближений Зубова [1], основанный на решении серии матричных уравнений Ляпунова специального вида.

Задача вычисления нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием на основе теории матриц Ляпунова впервые была поставлена группой бельгийских математиков [31]. Ими было получено явное выражение для П2 нормы передаточной матрицы системы, не содержащей запаздываний во входном и выходном сигналах.

Целью настоящего исследования является разработка метода вычисления %2 нормы передаточной матрицы системы, содержащей несколько запаздываний в состоянии, входном и выходном сигналах, а также построение управления, уменьшающего %2 норму передаточной матрицы системы запаздывающего типа. С использованием теории Ляпунова-Красовского для систем с запаздыванием были получены явные формулы для вычисления Н2 нормы передаточной матрицы систем запаздывающего и нейтрального типов, в которые, помимо коэффициентов исходных систем, входят матрицы Ляпунова.

Работа состоит из пяти глав и приложения. В первой главе вводится понятие системы запаздывающего типа, являющейся основным предметом исследования, вспомогательные определения, а также понятие передаточной матрицы системы и ее нормы.

Вторая глава посвящена проблеме вычисления нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа. В первом параграфе приводится ме-

тод решения аналогичной задачи для системы без запаздываний с использованием матриц Ляпунова. Во втором параграфе вводятся основные понятия теории Ляпунова-Красовского для систем запаздывающего типа: определение функционалов и матриц Ляпунова, а также процедура их построения. В третьем параграфе представлен основной результат главы: явная формула для вычисления "Нг нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа. Процесс построения нормы проиллюстрирован в четвертом параграфе на примере системы управления расходом топлива газотурбинного двигателя.

В третьей главе в систему запаздывающего типа вводится управляющее воздействие и ставится задача построения управления, уменьшающего Ич норму передаточной матрицы системы. Первый параграф целиком посвящен постановке задачи, во втором дан обзор решения аналогичной задачи для системы, не содержащей запаздываний. В третьем параграфе представлен алгоритм построения искомого управления на основе теории Ляпунова-Красовского. Четвертый параграф посвящен анализу системы, замкнутой найденным управлением, в том числе вычислению значения Н2 нормы ее передаточной матрицы. Более подробно процесс описан в пятом параграфе на знакомом примере из второй главы, в который было введено управление.

В четвертой главе вводится новый тип систем с запаздываниями — системы нейтрального типа. Первый параграф содержит основные сведения о системах, второй посвящен теории Ляпунова-Красовского: в нем вводится понятия функционалов и матриц Ляпунова-Красовского, а также приводятся необходимые для применения данной теории доказательства.

В пятой главе рассматривается задача, аналогичная поставленной во второй главе: вычисление %2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа. В первом параграфе выводится общее выражения для нормы, а во втором дается описание метода построения матриц Ляпунова, необходимых для полного определения значения нормы.

Реализация результатов методов, описанных в пятой главе, представлена

и

в приложении. Она содержит программный код в среде MATLAB, позволяющий вычислить %2 норму передаточной матрицы системы нейтрального типа.

Результаты работы докладывались на научных конференциях: XLII, XLIII, XLIV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПб-ГУ (Санкт-Петербург, 2011-2013), «International Student Olympiad on Automatic Control» (Санкт-Петербург, 2011) и «Всероссийское совещание по проблемам управления» (Москва, 2014).

Основные результаты опубликованы в сборниках конференций, указанных выше [17, 18, 19, 52, 16], а также в журналах, входящих в список ВАК [14, 15, 50].

На защиту выносятся следующие положения:

• метод вычисления %2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа, содержащей произвольное количество запаздываний — теорема 4;

• алгоритм построения управления, уменьшающего %2 норму передаточной матрицы системы запаздывающего типа — теорема 6;

• метод вычисления нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа, содержащей произвольное количество запаздываний — теорема 8.

Глава 1

Системы линейных уравнений запаздывающего

типа

В этой главе приведем общие сведения о линейных системах с запаздываниями, основные определения и понятия, которые будут использоваться в дальнейшем, а также понятие передаточной матрицы системы и ее нормы.

1.1 Общие сведения

Рассмотрим линейную стационарную систему с несколькими кратными запаздываниями

т. т

x(t) = YsAjxit-jty + Y^BMt- jh), (1.1)

j= о j= о

m

y(t) = (1.2)

j=о

где h > 0 - положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) G Mn, w(t) E M}, y(t) G Ms являются текущим состоянием системы, входным и выходным сигналами, w(t) - ограниченная кусочно-непрерывная функция, Ло,..., Ат, В0,..., Вт, Cq, ..., Ст — вещественные матрицы соответствующих размерностей.

Для того, чтобы определить решение системы (1.1), необходимо задать начальную функцию <р € PC ([—mh, 0],Rn). Соответствующее ей решение x(t, (р) должно удовлетворять начальному условию

x(t, ip) = <p(t), t € [—mh, 0].

Если выбор начальной функции не существенен, решение будем обозначать x(t).

Для системы с запаздывающих аргументом состоянием будет являться не точка траектории x(t, <р), а ее сегмент Xt((f), заданный на отрезке [i — mh, i],

xt(<p) : в -у x(t + 9,<p), e<E[-mh, 0].

Для краткости состояние системы также будем обозначать xt-

В работе будут исследоваться вопросы управления и устойчивости исходной системы, поэтому необходимо ввести следующие определения.

Определение 1. Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют 7 > 1 и а > 0 такие, что все решения x(t,ip) системы при w(t) = 0 удовлетворяют оценке

Здесь и далее норма векторов евклидова, норма матриц индуцированная ею, а норму функций определим как

И1л= sup .

6s[—mh,0]

Определение 2. Характеристической функцией системы (1.1) называется функция комплексного переменного

/ т

f(s) =det lsI-J2e~ShAk \ к=0

Корни характеристической функции называются характеристическими числами системы, а множество

л = | № = о}

спектром системы.

Для экспоненциально устойчивых систем верно, что их спектр лежит в открытой левой комплексной полуплоскости

Ихфо) < 0,в0 е А.

Это свойство можно использовать для исследования устойчивости системы.

Для дальнейшего исследования введем понятие фундаментальной матрицы системы, тесно связанное с аналогичным понятием для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение 3. [22] Фундаментальной матрицей системы (1.1) называется матричнозначная функция удовлетворяющая уравнению

т

= г^о, (1.3)

3=0

и начальными условиям

К(0) = 1, К(в) = 0ПХП, в< 0.

Условие экспоненциальной устойчивости системы можно выразить в терминах фундаментальной матрицы.

Лемма 1. [22] Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существуют 7 > 1 и а > 0 такие, что

11^(011 < 1е~а\ г^о.

С помощью фундаментальной матрицы можно записать решение системы.

Лемма 2. ¡22] Для заданной начальной функции (р е РС ({—тЬ,0],Шп) справедливо

т о

т 1

+ X / - - М СII > 0. (1.4)

Но

Данное выраэ/сение носит название формулы Коши.

1.2 Передаточная матрица

Понятие передаточной матрицы тесно связано с понятием преобразования Лапласа.

Определение 4. [8] Образом Лапласа функции /(£) называется функция комплексного переменного

00

Н*) = / /(*)е-*сй.

о

Для того чтобы преобразование Лапласа существовало, достаточно, чтобы функция /(£) была абсолютно суммируема и удовлетворяла условию

3£>0, р^О: ||/(011 < Ьерг Ш ^ О,

то есть возрастала не быстрее показательной функции.

Выберем нулевую начальную функцию (р(9) = 0 £ Мп, в € [—/г, 0] и обозначим через х(Ь) соответствующее решение системы (1.1) при произвольном входном сигнале Отвечающий этому решению выходной сигнал обозначим через у(£). Преобразование Лапласа функций ги(£), у(£), ж(£) и К(Ь) обозначим

-----/V /Ч

через У (я), Х(в) и К(в) соответственно. Данные функции удовлетворяют

условиям существования преобразования, так как ги(£) ограничена, а система экспоненциально устойчива.

С их помощью можно сформулировать определение передаточной матрицы, связывающей преобразования Лапласа входного и выходного сигналов.

Определение 5. [8] Передаточной матрицей системы (1.1)-(1.2) называется матричнозначная функция комплексного переменного С (г), удовлетворяющая соотношению

?(г) =

С передаточной матрицей также связано понятие импульсной характеристики - ее аналога во временной области.

Определение 6. [8] Прообраз Лапласа #(£) передаточной матрицы системы называется импульсной передаточной матрицей системы (1.1)-(1.2).

Одним из свойств импульсной характеристики является то, что она может быть выражена через выходной сигнал исходной системы.

Система (1.1)-(1.2) будет иметь выходной сигнал вида 2/^(£) = j = 1,...,/, где е^ - базис пространства Мг (1 - размерность входного сигнала), в каждом из следующих случаев:

• входной сигнал имеет вид = э — 1,...,/, а начальные данные нулевые;

• входной сигнал нулевой, а начальная функция имеет специальный вид

... гВ,е М, £ = 0,

1.3 Норма передаточной матрицы

Так как передаточная матрица связывает входной и выходной сигналы, численной мерой их зависимости принято считать норму передаточной матрицы. Введем определение следующих норм.

Определение 7. [54] %2 нормой передаточной матрицы системы (1.1)-(1.2) называется

оо

1т* = :Ь / ЪФЫОЫ)*».

—оо

Теорема Парсеваля позволяет выразить % норму во временной области через импульсную характеристику.

Лемма 3. [54] %2 норма передаточной матрицы системы (1.1)-(1.2)

равна

оо

\\G\\l = I Tr(HT(t)H(t)) dt.

о

Определение 8. [54] нормой передаточной матрицы системы (1.1)-(1.2) называется

||G||00 = supa(G(ia;)).

и

В качестве входного сигнала в системе часто рассматривают внешние возмущающие воздействия, а норма передаточной матрицы является показателем того, насколько система усиливает или ослабляет этот входной сигнал, поэтому в задачах управления норма выступает в качестве критерия оптимальности.

Выбор нормы обусловлен видом входного сигнала. Если входной сигнал принадлежит пространству L2, то есть является функцией, суммируемой с квадратом, задача сводится к минимизации Tíoo нормы передаточной функции замкнутой системы. В этом случае норма определяет реакцию системы на наибольшее возмущение. Ноо оптимизацию используют в задачах управления подвижными объектами в условиях морского волнения или ветра.

Если же входной сигнал принадлежит пространству Loo, то есть является ограниченным, ставится задача Н2 оптимального управления. Например, если система испытывает влияние аддитивного шума (при передаче информации или измерении физических параметров), И.2 норма представляет собой среднее усиление системой входного сигнала.

Таким образом, в случаях, когда система испытывает внешние возмущения, возникают задачи построения управления, которое обеспечивало бы как можно меньшее влияния внешнего сигнала на характеристики системы и ее выходной сигнал, то есть уменьшало бы норму передаточной матрицы.

Глава 2

Вычисление щ нормы передаточной матрицы систем запаздывающего типа

В данной главе поставим задачу нахождения явной формулы для вычисления Ti.2 нормы передаточной матрицы системы, введенной в предыдущей главе

тп тп

x{t) = -J^Bjwit-jh), (2.1)

j=о 3=о

m

vit) = (2.2)

j=о

Для этого воспользуемся хорошо изученной для систем с запаздываниями теорией матриц Ляпунова.

Будем предполагать, что система при w(t) =0 экспоненциально устойчива.

2.1 Системы без запаздываний

Перед тем как перейти непосредственно к решению поставленной задачи, опишем здесь метод решения аналогичной задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему

x(t) = Ax(t) + Bw{t), (2.3)

y(t) = Cx(t), (2.4)

где матрица А устойчива, функция w(t) ограничена.

Введенные в предыдущей главе определения передаточной матрицы и импульсной характеристики справедливы и для этой системы и могут быть записаны следующим образом.

Лемма 4. Передаточная матрица системы (2.3)-(2-4) имеет вид

а

G(s) — С (si — А)-1 В.

Лемма 5. Импульсная передаточная матрица системы (2.3)-(2-4) имеет вид

CeAtB, t ^ О,

(2.5)

t < 0.

Матрица eAt является фундаментальной матрицей системы (2.3).

Данные понятия позволяют сформулировать следующее выражение для "Нг нормы.

Теорема 1. [54] T-Í2 норма передаточной матрицы системы (2.3)-(2-4) вычисляется по формуле

||G||ÍS= Тг (ВТЬ0В) , (2.6)

где матрица Lq может быть найдена из уравнения Ляпунова

ATL0 + L0A + СТС = 0.

Доказательство. Так как в дальнейшем мы будем пользоваться похожим методом, приведем доказательство этого утверждения.

%2 норма передаточной матрицы может быть выражена через импульсную характеристику

оо оо

\\GWl = I Тг (НТ(1)Н(1)) Л = У Тг (ВтеАПСтСемВ) & = Тг (ВТЬ0В) , о о

где матрица

оо

ь0 = I еАТ*СтСем М о

матрица Ляпунова системы (2.3), которая также может быть найдена как решение системы

АТЬ0 + и А + СТС = 0.

□

Так как формула (2.6) включает в себя только коэффициенты исходной системы, вычисление %2 нормы системы сводится к нахождению матрицы Ляпунова, ассоциированной с матрицей СТС.

2.2 Матрицы Ляпунова

В теории дифференциальных уравнений для вычисления И2 нормы передаточной матрицы используется теория матриц Ляпунова, которая имеет распространение на системы с запаздываниями. Так как для решения поставленной задачи мы будем использовать аналогичный подход, дадим здесь описание и основные определения этого метода.

Определение 9. Матрицей Ляпунова, ассоциированной с произвольной квадратной матрицей \¥, для системы (2.1) называется непрерывная по т матрица и (г, удовлетворяющая следующим свойствам:

• динамическое свойство

, 1 —= т > О

тп

(2.7)

з=о

• свойство симметрии

и(-т, И0 = С/Г(г, г > 0,

(2.8)

• алгебраическое свойство

тп

^ [л]и{зК ю + и{-зК ЩАз] = -ж

(2.9)

3=0

Данное определение удобно использовать для вычисления матриц Ляпунова, а также для анализа некоторых свойств. Однако существует другое (явное) выражение, связывающее матрицу Ляпунова с фундаментальным решением системы.

Лемма 6. Для экспоненциально устойчивой системы (2.1) матрица Ляпунова, ассоциированная с матрицей IV, существует, единственна и может быть представлена в виде несобственного интеграла

В общем случае это не так: матрица Ляпунова может не существовать, если интеграл (2.10) не сходится, или определяться из соотношений (2.7)-(2.9) не единственным образом.

Матрицу Ляпунова используют для определения функционала Ляпунова-Красовского, играющего ключевую роль в исследовании устойчивости системы. Лемма 7. Если система (2.1) экпоненциально устойчива, то производ-

оо

(2.10)

о

ная билинейного функционала

о

т

щ(<р, -Ф) = ¥>г(0)С/(0, \УЩО) + </>г(0) £ / - в, УУ)А&{0) М

3=1 {и

3=1-зъ.

о

т р 3=1

пг тп „ . „ .

+ ^(01 ] и{(з-к)Н + 01-в2,\¥)Ак'ф{е2)с1в2 \ ¿в, (2.11)

3=1 к=1 -и \ II /

о /о

= -хт(ь)]¥у(1), t > О.

на решениях системы (2.1) при ги = 0 удовлетворяет равенству

сИ

Доказательства данных лемм аналогичны представленным в [34], где рассмотрен случай, когда матрица является симметрической. В данной работе нам потребуется более общий случай произвольной матрицы \У. Доказательства будут представлены в последующих главах, где будет рассмотрен более общий случай.

2.2.1 Вычисление матриц Ляпунова

Так как в случае экспоненциально устойчивой системы матрица Ляпунова при заданной существует и единственна, свойства (2.7)-(2.9) можно использовать для ее вычисления.

Введем на промежутке т € [О, Щ вспомогательные матрицы

ЯДт) = и(т + ¿Л, ИО, 3 = ~гп,..., ш - 1, (2.12)

где т, напомним, количество запаздываний системы (2.1), и общую матрицу размерности п х 2тп

г(т) = (ят_1 (г)... г0(т) ... я_т(г)).

Введем операцию векторизации матрицы, усс(Л). Так будем называть вектор, состоящий из столбцов матрицы А = (а\,..., ап), записанных друг под другом

vec (Л) =

'«Л

\°п /

Утверждение 1. [39] Для произвольных матриц согласованных размерностей А,В,Х верно

ьес (АХВ) = (ВТ ® А) ьес(Х), где операция ® обозначает прямое (Кронекеровское) произведение

ииА Ъ21А ••• Ь2п1А^

ВТ ®А =

Ь12А Ъ22А ••• Ъ2п2А

\Ь\пЛ Ь2пА ••• ЪппА^

В дальнейшем будем пользоваться операцией А х В — (Вт <8> Л). Введем векторизацию матрицы Z(r)

z(t) = vec (Z(t)) .

Полученный вектор будет иметь длину 2mn2.

С его помощью систему (2.7) можно переписать в векторной форме. Лемма 8. Вектор z(r) удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений

z' = Rz, (2.13)

где матрица Я имеет вид ( 1х Ао • •

Я =

I х Дгс-1 / х А

ТВ

Огсхп X О

пхп л "пхп

Опхп ^ Опхп

—АЕг, х I

I хАо -А? XI

1х Аг -А1х1

1х А.

т

Опхп. X О

пхп л ипхп

V

/

Опхп Опхп " ' ' Х I 1 Х ^

Доказательство. Продифференцируем матрицы (2.12). Согласно опреде-

лению

При з = 0,..., та — 1 аргумент т + зк ^ 0, поэтому можем применить динамическое свойство (2.7)

■и(т + зК Ю = и(т + и - ЮМ = I]

к=О /г=0

Таким образом, получаем соотношение

Л

—г^ = 2з-кАк, 3 = 0, • • •, та - 1.

*;=0

При з = — ш,..., — 1 воспользуемся свойством симметрии (2.8)

т

~Щт + ¿Л, Ж) =

—£/(-т - ¿Л, Жг)

Так как —т — ¿И ^ 0, можем применить динамическое свойство

, т

—и(-т - ЗК \УТ) = ?7(-г — (к — з)К Игт)Ак.

Тогда

йт

к=0

Щ-т - зК Жт)

и{-т-{з+к)К\¥т)Ак

1к=0

тп

Таким образом

с?

= к, з = -т,...,-1.

к=О

Применяя векторизацию к полученным соотношениям, получаем искомую систему (2.13).

□

Решение системы (2.13) находится по формуле Коши

г(т) = еКтг{0). (2.14)

Для его определения необходимо найти начальный вектор ¿(0). Лемма 9. Начальный вектор г(0) удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений

(М + МеК1г)г{0) = (-гиТ, 0,..., 0)т. (2.15)

Здесь из = иес(у/), а матрицы М и N имеют вид

/

М =

Опхп 1x1

пхп

пхп

у Опхп

Опхп Ро

ОпХП 0пхп

Рщ—1 Рт

••• оп хп Опхп

\

1x1 0п хп О „ хп Оп хп

Опхп 1X1 ■ • • 0 пхп О пхп

О п у п. О

пхп "пхп

1x1 Опхга

/

ДГ =

Ят Ят-1 • ' • Яо О пхп

Опхп I X I • • • 0пхп 0пхп

о,

о,

пхп "пхп

Опхп Опхп

^пхп Опхп

-1x1 О

пхп

О

пхп

-1x1 ••

0.

пхп "ПХП

0Г

\

пхп

"пхп

Опхп

Опхп

•• —1x1

где

т

3=О к—О

т

7=0

Доказательство. По определению (2.12)

^-(0) = з = -ш + 1,..., т - 1,

что верно и для векторизаций матриц

уес (0) = уее (^+1) (/г), = —т,...,т — 2. Из алгебраического свойства (2.9) следует, что

т т

52 Я0(0)^- + X) №-1(0) + Я-1(0)Л*+1) + . • •

¿=0 &=0

т т

+ МЕ^-т(о) + г-т(о)Ак+т) + 52 (А1гт-г{К) + гт^{К)Ак.т) +...

&=0 &=0

т т

++адль-о+52Л^О(Л) = -ж,

А;=0 ¿=0

откуда для векторизаций матриц

Р0 уес (Яо) (0) + Р1 уес (г.г) (0) + ... + Рт уес {г_т) (0)

+ Ят уес (/г) + ... + Ях уес (г{) (/г) + д0 vec (£0) (Л) = -ги.

Объединяя, получаем

Мг(0) + Мг(Л) = (-™т, 0,..., 0)т.

По формуле Коши (2.14) г{К) = ел/г^(0), откуда получаем искомую систему (2.15).

□

В итоге приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Вектор z(t) на промежутке [0, /г] может быть найден с помощью формулы

z(t) = eRr (М + NeRh)(-wT, 0,..., 0)т. (2.16)

Доказательство. Непосредственно вытекает из предыдущих лемм. □

Выражение (2.16) полностью определяет значение функции Ляпунова U(г, W) на промежутке [—mh, mh]

Чтобы найти U(г, W) в последующих промежутках, воспользуемся системой (2.7) и методом интегрирования по шагам.

Например, при т е [mh, (m+l)h] функции U(t — h, W),... ,U(t — mh, W) являются известными, и динамическое свойство (2.7) принимает вид неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, m

—и{г, = U(T - 3h> = U(T, W)Aq + F(T).

T j=О

Находя решение системы по формуле Коши

\ mh /

получаем U(t, W) на промежутке г € [mh, (m + 1 )h].

Аналогично можно продолжить решение на любой интервал.

2.3 Вычисление % нормы передаточной

матрицы

Для вычисления нормы передаточной матрицы системы (2.1)-(2.2) воспользуемся методом, аналогичным описанному в начале главы для систем обык-

новенных дифференциальных уравнений. Для этого нам потребуется импульсная характеристика системы, определяемая с помощью передаточной матрицы. Лемма 10. Передаточная матрица системы (2.1)-(2.2) имеет вид

ад = (X с^) * («) (Е ' (2Л?)

где, напомним, К(з) — преобразование Лапласа от фундаментальной матрицы системы.

Доказательство. Применим преобразование Лапласа к системе (2.1)-(2.2) при нулевом начальном условии, получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сумачева, Виктория Александровна, 2015 год

Литература

1. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

2. Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1958. № 6. С. 86-95.

3. Кокунин Ю.В., Сумачев A.M., Сумачева В. А. Методы компенсации запаздывания в системе автоматического управления агрегатом дозирования топлива двигателя ТВ7-117В // Климовские чтения-2014: перспективные направления развития авиадвигателестроения: Сборник докладов международной научно-технической конференции. СПб.: Скифия-принт, 2014. С 2838.

4. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., Наука, 1981. 448 с.

5. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., Государственное изд. физ.-мат. литературы, 1959. 211 с.

6. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

7. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. Вып. 1. С. 39-51.

8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 749 с.

9. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. M.-JL: ГИТТЛ, 1950. 472 с.

10. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1949. Т. 4, вып. 5. С. 99-141.

11. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / под ред. Л.Э. Эльсгольца. М.: Издательство иностранной литературы, 1961. 248 с.

12. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 4. С. 500-512.

13. Репин М. Ю. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. С. 564-566.

14. Сумачева В. А. норма передаточной функции уравнения нейтрального типа // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. Вып. 4. С. 118-124.

15. Сумачева В. А. О минимизации T-Li нормы передаточной матрицы для систем запаздывающего типа // Вестник С-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 1. С. 128137.

16. Сумачева В. А. Построение управления, уменьшающего %2 норму передаточной матрицы системы с запаздывающим аргументом // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2014. С. 1406-1415.

17. Сумачева В. А. Вычисление нормы передаточной функции уравнения с запаздываниями с помощью функций Ляпунова // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 68-73.

18. Сумачева В. А. %2 норма передаточной функции скалярного уравнения нейтрального типа с запаздывающим аргументом // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Еремина, Н. В. Смирнова. Спб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 43-48.

19. Сумачева В. А. Системы нейтрального типа: норма передаточной матрицы // Процессы управления и устойчивость: Труды 44-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н. В. Смирнова, Т.Е.Смирновой. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2013. С. 59-64.

20. Эльсголъц Л. Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. Вып. 4(62). С. 95-112.

21. Эльсголъц JI. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., Наука, 1971. 296 с.

22. Bellman R., Cooke К. Differential-Difference Equations. Academic Press, New York/London, 1963. 462 p.

23. Datko R. An algorithm for computing Liapunov functionals for some differential-difference equations // Ordinary Differential Equations / Ed. by L.Weiss. New York. 1972. P. 387-398.

24. Fridman E. New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems // Systems & Control Letters. 2001. Vol. 43(4). P. 309319.

25. Garcia-Lozano H., Kharitonov V. L. Lyapunov matrices for time delay systems with commensurate delays // 2nd Symposium on System, Structure and Control. Oaxaca, Mexico. 2004. P. 102-106.

26. Gu K., Kharitonov V.L., Chen J. Stability of time-delay systems. Birkhauser, Boston, 2003. 353 p.

27. Gu K., Niculescu S.-I., Chen J. On stability crossing curves for general systems with two delays // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2005. Vol. 311(1). P. 231-253.

28. Hale J. K. Theory of functional differential equations. Springer, New York, 1977. 365 p.

29. Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay system // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. Vol. 142(1). P. 83-94.

30. Infante E.F., Castelan W.B. A Liapunov functional for a matrix difference-differential equation // Journal of Differential Equations. 1978. Vol. 29(3). P. 439-451.

31. Jarlebring E., Vanbiervliet J., Michiels W. Characterizing and computing the

norm of time-delay systems by solving the delay Lyapunov equation // IEEE Transactions on Automatic Control. 2011. Vol. 56(4). P. 814-825.

32. Kharitonov V. L. Lyapunov functional and matrices // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34. P. 13-20.

33. Kharitonov V. L. On the uniqueness of Lyapunov matrices for a time-delay system // Systems k Control Letters. 2012. Vol. 61(3). P. 397-402.

34. Kharitonov V. L. Time-delay systems. Lyapunov functional and matrices. Birkhauser, Basel, 2013. 327 p.

35. Kharitonov V. L., Plischke E. Lyapunov matrices for time-delay systems // Systems k Control Letters. 2006. Vol. 55(9). P. 697-706.

36. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39(1). P. 1520.

37. Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. 648 p.

38. Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems. Birkháuser, Boston, 2009. 466 p.

39. Lancaster P. Theory of Matrices. Academic Press, New York/London, 1969. 326 p.

40. Li H., Gu K. Discretized Lyapunov-Krasovskii functional for coupled differential-difference equations with multiple delay channels // Automatica. 2010. Vol. 46(5). P. 902-909.

41. Louisell J. A matrix method for determining the imaginary axis eigenvalues of a delay system // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. Vol. 46(12). P. 2008-2012.

42. Malek-Zavarei M., Jamshidi M. Time-delay systems: analysis, optimization and applications. Systems and Control Series. Vol. 9. North-Holland, Amsterdam, 1987. 504 p.

43. Michiels W., Niculescu S.-I. Stability, Control, and Computation for time-delay systems. An eigenvalue-based approach. SIAM, Philadelphia, 2014. 435 p.

44. Moelja A., Meinsma G. T-Li control of preview systems // Automatica. 2006. Vol. 42 (6). P. 945-952.

45. Niculescu S.-I. Delay effects on stability: a robust control approach. Springer, Heidelberg, 2001. 383 p.

46. Razumikhin B. S. Application of Liapunov's method to problems in the stability of systems with a delay // Automation and Remote Control. 1960. Vol. 21. R 515-520.

47. Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 1667-1694.

48. Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Wiley, New York, 1989. 151 p.

49. Sipahi R., Vyhidal T., Niculescu S.-I., Pepe P. (eds.) Time Delay Systems: Methods, Applications and New Trends. Springer, Heidelberg, 2012. 442 p.

50. Sumacheva V. A., Kharitonov V. L. Computation of the T^-norm of the transfer matrix of a neutral type system // Differential Equations. 2014. Vol. 50. No. 13. P. 1752-1759.

51. Sumacheva V. A. The %2 norm of a transfer function of a scalar time-delay equation // Preprints of 14th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, 2011. P. 105-107.

52. Vanbiervliet J., Michiels W., Vandewalle S. Smooth stabilization and optimal

design // Proceedings of the 2009 IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, 2009.

53. Velazquez-Velazquez J. E., Kharitonov V L. Lyapunov-Krasovskii functional for scalar neutral type time delay equations // System k, Control Letters. 2009. Vol. 58. P. 17-25.

54. Zhou K., Doyle J. C., Glover K. Robust and Optimal Control. New York, Engelwood Cliffs: Prentice Hall, 1996. 586 p.

Приложение. Программный код вычисления нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа в среде Ма11аЬ

n=input('Введите размерность системы п: '); m=input('Введите количество запаздываний т: '); h=input('Введите величину запаздывания h: ');

A=zeros(n,n,m+l); D=zeros(n,n,m+l); B=zeros(n,n,m+1); C=zeros(n,n,m+1);

for i=l:m+l

AC:,:,i)=input(['A_' num2str(i-l) ': ']);

end

D(:,:,l)=eye(n,n); for i=2:m+l

D(:,:,i)=input(['D_' num2str(i-l) ': ']);

end

for i=l:m+l

B(:,:,i)=input(['B_' num2str(i-1) ': ']);

end

for i=l:m+l

C(:,:,i)=input(['C_' num2str(i-1) ']);

end

W0=zeros(n,n); for k=0:m

W0=W0+C(:,:,k+l)'*C(:,:,k+l);

end

W=zeros(n,n,m); for p=l:m

for k=0:m-p

for l=k+p:m

WС :, :, l-k)=W( :, : Д-к)+С(: , : ,k+l) '*C(: , : ,1+1);

end

end

end

U0=mlap(A,D,WO,h,n,m); U=zeros(n,n,3*m+l,m); for i=l:m

U(:,:,:,i)=mlap(A,D,W(:,:,i),h,n,m);

end

nor=0; for j=0:m

for r=0:m

nor=nor+trace(B(:,:,j+1)'*U0(:,:,(m-l)*(j-r)+m+l)*.

B(:,:,r+1));

end

end

for j=0:m

for r=0:m

for p=l:m

nor=nor+2*trace(B(:,:,j+1)'*...

U(:,:,(m-l)*(j-r+p)+m+l,p)*B(:,:,r+l));

end

end

end

nor=sqrt(nor)

function u=mlap(A,D,W,h,n,m)

u=zeros(n,n,3*m+l); P0=zeros(n"2); Q0=zeros(n~2); for j=0:m

Q0=Q0+kr(A(:,:,j+1)',D(:,:,j+1)); P0=P0+kr(D(:,:,j+1)',A(:,:,j+1));

end

P=zeros(n"2,n"2,m); Q=zeros(n"'2,n"2,m) ; for 1=0:m

for k=0:m if l>k

PC:,: ,l-k)=P(:, : Д-к)+кг(А(: , : ,k+l) ' ,D(: , : ,1+1))+. . . kr(D(:,:,k+l)'}A( :, :,1+1)); elseif k>l

Q(:,:,k-l)=Q(:,:,k-l)+kr(A(:,:,k+l)',D(:,:,1+1))+... kr(D(:,:,k+l)',A(:,:,1+1));

end

end

end

M= [zeros(n"2,(m-1)*n~2) PO P(:,:);eye((2*m-l)*n~2) ... zeros((2*m-l)*n~2,n~2)]; N=[Q0 zeros(n"2,(m-l)*n~2)]; for i=l:m

N=[Q(:, :,i) N] ;

end

N= [N; zeros((2*m-1)*n"2,n~2) -eye((2*m-l)*n~2)];

for i=l:m+l

AAO(:,:,i)=kr(eye(n),A(:,:,i)); AA1(:,:,i)=-kr(A(:,:,m-i+2)',eye(n));

end

for i=l:m+l

DD0(:,:,i)=kr(eye(n),D(:,:,i)); DD1(:,:,i)=kr(D(:,:,m-i+2)',eye(n));

end

R0= [] ; Rl= □ ; for 1=1:m

Rl=[Rl;zeros(n~2,ir2*(i-l)) AAO(:,:) zeros(n~2,(m-i)*n~2)] ;

end

for i=l:m

Rl=[Rl;zeros(n~2,n~2*(i-l)) AA1(:,:) zeros(n"2,(m-i)*n~2)];

end

for i=l:m

R0=[RO; zeros(n"2,n~2*(i-1)) DDO(:,:) zeros(n~2,(m-i)*n~2)];

end

for i=l:m

R0=[RO; zeros(n"2,n~2*(i-1)) DDI(:,:) zeros(n~2,(m-i)*n~2)];

end

s=0; dt=0.001*h; for i=0:dt: h s=s+l;

z(:,s)=expm(R0~(-l)*Rl*i)*(M+N*expm(R0~(-1)*Rl*h))~(-1)*. .. [-W(:); zeros((2*m-l)*n~2,1)];

end

for i=l:2*m

Z( :,:,2*m-i+l)=z(l+(i-l)*n~2:n~2+(i-l)*n~2,:);

end

for i=l:n

for j=l:n

U(j,i,:,:)=Z((i-l)*n+j,:,:);

end

end

Ul=zeros(n,n,s,2*m); for k=2: s

Ul(:,:,k,:)=(U(:,:,k,:)-U(:,:,k-l,:))/dt;

end

for l=2*m+l:3*m II=zeros(n,n); IIl=zeros(n,n); II2=zeros(n,n); j=0;

for i=0:dt:h

F=zeros(n,n); for k=l:m

F=F+U(:,:,j,l-k)*A(:,:,k+l)-Ul(:,:,l-k)*D(:,:,k+l);

end 111=112;

II2=expm(-A(:,:,l)*i)*F*dt; II=II+(II2+IIl)/2;

U(:,:,j,l)=expm(A(:,:,l)*i)*(U(:,:,s,1-1)+II) ; for k=2: s

Ul(:,:,k,l)=(U(:,:,k,l)-U(:,:,k-l,l))/dt;

end

end

end

u(:,:,1:3*m)=U(:,:,l,l:3*m) ; u(:,:,3*m+l)=U(:,:,s,3*m);