Комбинированный алгоритм двустороннего приближения к экстремуму функционала энергии в задачах нелинейной гетерогенной упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Минеева, Наталья Валерьевна

• Минеева, Наталья Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Минеева, Наталья Валерьевна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ И ВАРИАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Вариационные уравнения и вариационные принципы.

1.2. Формулировка вариационной задачи и прямые вариационные методы расчета.

1.3. Двойственные вариационные принципы и двусторонние оценки энергии.

1.4. Двойственные принципы в механике гетерогенно-сопротивляющихся сред.

1.4.1. Модель гетерогенно-упругой среды.

1.4.2. Основные определяющие соотношения модели.

1.4.3. Двойственные формулировки и энергетические принципы для гетерогенно-упругих сред.

1.5. Выводы по главе.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА РАЗМОРАЖИВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ И МЕТОДА ГИПЕРОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

2.1. Постановка плоской задачи теории упругости.

2.2. Математические основы метода размораживания дифференциальных связей.

2.2.1. Применение метода размораживания дифференциальных связей к условию совместности.

2.2.2. Применение метода размораживания дифференциальных связей к уравнениям равновесия.

2.3. Математические основы метода гиперокружностей.

2.4. Решение задачи деформирования тела собственным весом с использованием метода размораживания дифференциальных связей и метода гиперокружностей.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Метод размораживания дифференциальных связей.

2.4.3. Метод гиперокружностей.

2.4.4. Сравнение с решением в пакете MSC.Nastran.

2.5. Выводы по главе.

3. РАЗРАБОТКА КОМБИНИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ДВУСТОРОННЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ К НИЖНЕЙ ГРАНИ ФУНКЦИОНАЛА И ПРОГРАММ ДЛЯ ЕГО ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ.

3.1. Исследование связи между оценками, получаемыми двумя методами

3.2. Комбинирование методов размораживания дифференциальных связей и гиперокружностей при расчете разномодульного тела.

3.2.1. Получение верхней оценки методом размораживания дифференциальных связей.

3.2.2. Получение нижней оценки методом гиперокружностей.

3.2.3. Сопоставление верхней и нижней оценок.

3.3. Программная реализация комбинированного алгоритма.

3.3.1. Программа для ЭВМ «Применение метода размораживания дифференциальных связей для расчета оценок энергии линейной и нелинейной гетерогенной упругих сред».

3.3.2. Программа для ЭВМ «Применение метода гиперокружностей для расчета оценок энергии линейной и нелинейной гетерогенной упругих сред».

3.4. Выводы по главе.

4. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА И ПРОГРАММ В ЗАДАЧЕ РАСЧЕТА ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО

БОКОВЫМ СТОРОНАМ ДЛИННОЙ БАЛКИ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Решение задачи для случая линейного закона упругости.

4.2.1. Применение к задаче метода размораживания дифференциальных связей.

4.2.2. Применение к задаче метода гиперокружностей.

4.2.3. Сравнение решения, полученного с помощью комбинированного алгоритма, с решением в пакете MSC.Nastran.

4.3. Решение задачи для случая разномодульного закона упругости.

4.3.1. Получение верхней оценки методом размораживания дифференциальных связей.

4.3.2. Получение нижней оценки методом гиперокружностей.

4.3.3. Сопоставление верхней и нижней оценок.

4.4. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинированный алгоритм двустороннего приближения к экстремуму функционала энергии в задачах нелинейной гетерогенной упругости»

Модели физически нелинейных гетерогенно-упругих (разномодульных) изотропных сред находят эффективное применение, например, для учета влияния повреждений и микронарушений на деформационные характеристики твердых тел, при исследовании устойчивости пространственных тел, в механике разрушения, сейсмологии, геологии, геофизике, машиностроении, строительстве. К настоящему времени разработано несколько вариантов модели разномодульной среды, основанных на различных подходах к построению потенциала напряжений. Определяющие уравнения связи напряжений и деформаций в общем случае, в отличие от классической упругости, негладкие и существенно нелинейные. Поэтому получение точного аналитического решения задач в рамках данной модели не представляется возможным, как правило, их приходится решать приближенно. Для этих целей обычно используются численные методы на основе конечного элемента. При этом возникает вопрос оценки точности численного решения, который особенно остро стоит при решении существенно нелинейных задач с разрывными решениями, где необходима апостериорная оценка погрешности. Получение такой оценки бывает связано с двусторонним приближением к точной нижней грани функционала задачи.

В данной работе рассмотрены вариационные постановки задачи как линейной, так и нелинейной гетерогенной упругости, основанные на принципах Лагранжа и Кастильяно. При этом использовалась модель гетерогенно-упругой среды, построенная в работах А.И. Олейникова, В.П. Мясникова. Вариационный подход позволяет, по сравнению с постановкой задачи в дифференциальных уравнениях, расширить класс получаемых решений за счет эффективного описания разрывных полей.

Проанализированы различные подходы к двусторонней оценке минимума интегрального функционала энергии, основанные на теории двойственности, в том числе методы гиперокружностей (Prager W., Synge J.L.) и размораживания дифференциальных связей (Мосолов П.П., Мясников В.П.). Однако, применение классического двойственного метода в гетерогенной упругости может оказаться крайне затруднительным ввиду того, что обращение определяющих соотношений носит неявный характер. Поэтому разработка алгоритма, позволяющего получать двусторонние оценки точной нижней грани функционала, не обращаясь к двойственной вариационной формулировке, представляется весьма перспективной и актуальной задачей.

Цель диссертационной работы: разработка и реализация алгоритма получения двусторонних оценок нижней грани функционала Лагранжа при решении задач нелинейной гетерогенной (разномодульной) упругости.

Задачи исследования:

- доказать теоремы о двусторонних оценках экстремумов функционалов Лагранжа и Кастильяно комбинированным методом гиперокружностей и размораживания дифференциальных связей;

- протестировать комбинированный алгоритм при решении задач линейной упругости;

- разработать программное обеспечение, реализующее данный алгоритм, и применить его к решению задачи нелинейной гетерогенной упругости.

- теоремы о двусторонних оценках экстремумов функционалов энергии, получаемых одновременным применением методов гиперокружностей и размораживания дифференциальных связей;

- комбинированный алгоритм двустороннего приближения к нижней грани функционала энергии, дающий апостериорную оценку погрешности решения;

- программы, реализующие комбинированный алгоритм решения задач для нелинейных гетерогенно-упругих сред.

Практическая ценность работы. Разработанный алгоритм и программы позволяют решать задачи физически нелинейной гетерогенной упругости с одновременным получением апостериорной оценки погрешности решения.

Достоверность полученных численных решений подтверждается прямым сравнением с решением для линейного случая по методу конечных элементов в пакете MSC.Nastran (лицензионное свидетельство ЕС4681 между MSC. Software GmbH и ГОУВПО «КнАГТУ» от 01.09.02).

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Теоремы о двусторонних оценках экстремумов функционалов Лагранжа и Кастильяно комбинированным методом гиперокружностей и размораживания дифференциальных связей.

2. Комбинированный алгоритм двустороннего приближения к нижней грани функционала энергии, позволяющий получать двусторонние оценки в рамках прямой постановки задачи физически нелинейной упругости.

3. Разработка программного обеспечения, реализующего данный алгоритм.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Десятая юбилейная международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (г. Переславль-Залесский, 1999г.), 32-я научно-техническая конференция аспирантов и студентов (г. Комсомольск-на-Амуре, 2002 г.), XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2006г.), Всероссийская конференция «Деформирование и разрушение структукно-неоднородных сред и конструкций» (г. Новосибирск, 2006г.), XV Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2007г.), семинарах по математическому моделированию Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (2004-2007 г.).

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 7 научных работах, получены 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 115 страниц, включая 23 рисунка и 21 таблицу. Список литературы содержит 75 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Минеева, Наталья Валерьевна

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, получены 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ:

1. Олейников А.И., Кузьмин А.О., Минеева Н.В. Пакет МГЭ и двусторонние оценки энергии и мощности при деформировании упругих и пластических сред // Тезисы докладов Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам, Переславль-Залесский, 7-12 июня 1999г.- М.:МГИУ, 1999. С. 166-167.

2. Минеева Н.В.,Олейников А.И. Методы гиперокружности и размораживания дифференциальных связей для двусторонней оценки энергии упругой среды // Научно-техническое творчество аспирантов и студентов: Материалы 32-й научно-технической конференции аспирантов и студентов (Комсомольск-на-Амуре, 15-30 апреля 2002 г.): В 2 ч. 4.1: / Редкол.: А.И. Евстигнеев (отв. ред) и др. -Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2003. С. 129-130.

3. Минеева Н.В.,Олейников А.И. Комбинированный алгоритм двустороннего приближения к нижней грани функционала в задачах нелинейной гетерогенной упругости // Вестник Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»: Вып. 5: В 3 ч. 4.1: Сб. научн. тр. / Редкол.: Ю.Г. Кабалдин (отв. ред) и др. - Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2005. С. 38-42.

4. Минеева Н.В. Применение методов гиперокружностей и размораживания дифференциальных связей в задачах линейной и тензорно-линейной упругости // XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2006. С. 141.

5. Минеева Н.В., Олейников А.И. Метод двустороннего приближения в нелинейной гетерогенной упругости // Деформирование и разрушение структукно-неоднородных сред и конструкций: тез. док. Всеросс. конф. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. С. 86.

6. Минеева Н.В., Олейников А.И. Расчет разномодульных тел с помощью комбинированного алгоритма двустороннего приближения к нижней грани функционала // Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации" №4, 2006. С. 59-67.

7. Минеева Н.В., Олейников А.И. Комбинированный алгоритм получения двусторонних оценок энергии в нелинейной гетерогенной упругости // Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС2007), 25-31 мая 2007г.-М.:Вузовская книга, 2007. С. 381-382.

8. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006613151. Применение метода гиперокружностей для расчета оценок энергии линейной и нелинейной гетерогенной упругих сред / Минеева Н.В. (Россия). - Заявка №2006612382; Заявл. 07.07.2006; Зарегистр. 06.09.2006

9. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007610101. Применение метода размораживания дифференциальных связей для расчета оценок энергии линейной и нелинейной гетерогенной упругих сред / Минеева Н.В. (Россия). -Заявка №2006613742; Заявл. 07.11.2006; Зарегистр. 09.01.2007

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Актуальной задачей вычислительной механики является дальнейшая разработка эффективных методов установления апостериорных оценок погрешности, особенно при использовании моделей гетерогенно-упругой среды. В данной диссертации представлен один из подходов к решению указанной проблемы с помощью комбинированного алгоритма двустороннего приближения к экстремуму функционала. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказаны теоремы о двусторонних оценках экстремумов функционалов Лагранжа и Кастильяно комбинированным методом гиперокружностей и размораживания дифференциальных связей.

2. На основании данных теорем построен комбинированный алгоритм двустороннего приближения к нижней грани функционала энергии, позволяющий получать двусторонние оценки в рамках прямой постановки задачи физически нелинейной упругости.

3. Разработано программное обеспечение, реализующее данный алгоритм (получены свидетельства об официальной регистрации программ №2006613151, №2007610101).

4. Разработанные программы апробированы и применены к решению задач деформирования нелинейного гетерогенно-упругого тела. Результаты расчетов подтвердили эффективность алгоритма для решения нелинейных задач с одновременным получением апостериорной оценки погрешности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Минеева, Наталья Валерьевна, 2007 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Айнола Л.Я. Вариационные задачи в нелинейной теории упругих оболочек. // ПММ. 1957. - Т .21. -№ 3.

3. Айнола Л.Я. О возможности формулировки вариационной задачи в нелинейной теории упругих оболочек. // Тр. Таллинского политехнического института. 1957. - Сер. А. - № 104.

4. Бердичевский В.Л. Об одном вариационном принципе. // ДАН СССР. -1974.-Т. 215.-№6.-С. 1329-1332.

5. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.

6. Болотин В.В. Вопросы общей теории упругой устойчивости. // ПММ. -1965.-Т.20.-№ 5.

7. Бурштейн Л.С. Диаграммы растяжения и сжатия песчанника // ФТПРПИ. 1964. - № 1. - С. 24-29.

8. Бурштейн Л.С. Статические и динамические испытания горных пород. -М.: Недра, 1970.-176 с.

9. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542 с.

10. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.-336 с.

11. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Анализ напряженно-деформированного состояния горных пород на основе разномодульной модели сплошной среды // Математическое моделирование. 1999. - Т. 11. - №1. - С. 39-44.

12. Гасшов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Применение разномодульной модели сплошной среды к анализу поведения горных пород под действием больших напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2000. -№ 2. -С. 86-92.

13. Гловииски Р., Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Численные исследования вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 574 с.

14. Голъдман А.Я., Фрейдин А.Б. Влияние гидростатического давления на деформирование АБС пластика при сдвиге // Механика композитных материалов. - 1989. - № 1. - С. 23-28.

15. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат, 1979.-304 с.

16. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1985.-383 с.

17. Ильичев В.Я., Владимирова В.Л., Телегон А.И. Температурная зависимость модуля Юнга и прочности некоторых углепластиков до 4,2 К. // Механика композитных материалов. 1981. -№ 4. - С. 723-725.

18. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.-479 с.

19. Калиниченко В.И., Кощий А.Ф., Ропавка А.И. Численные решения задач теплопроводности. -X.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1987.

20. Каталог механических свойств горных пород при широкой вариации видов напряженного состояния и скорости деформирования. JL: ВНИМИ, 1976.- 171 с.21 .Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.

21. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А. Деформационные свойства серого чугуна при плоском напряженном состоянии в условиях низких температур // Проблемы прочности. 1970. - № 7. - С. 9-13.

22. Ковалъчук Б.И., Лебедев А.А., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и конструкций. Киев: Наукова думка, 1987.-280 с.

23. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. М.: Углетехиздат, 1947. - 180 с.

24. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1. М.: Гостехиздат, 1951.-476 с.

25. Кусков Н.И. Некоторые результаты исследования физико -механических свойств углей // Труды ВНИМИ. 1964. - 53. - С. 40-48.

26. Лавери Д. Итерационное решение квазилинейных эллиптических систем с апостериорными оценками погрешности // Тр. семинара «Методы вычисл. и прикл. математики». Новосибирск, 1979. - Вып. 5. -С. 60-81.

27. Ломакин Е.В., Работное Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 6 -С. 29-34.

28. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. -М.: Наука, 1975.-478 с.

29. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-520 с.

30. Люстерник Л.А., Шнирелъман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: ГНТИ, 1930. - 68 с.

31. Ляховский В.А. Применение разномодульной модели к анализу напряженно-деформированного состояния горных пород // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. - № 2. - С. 89-94.

32. Ляховский В.А., Мясников В.П. О поведении упругой среды с микронарушениями // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. - № 10. -С. 71-75.

33. Ляховский В.А., Мясников В.П. Разномодульность, анизотропия и отражающие границы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. - № 11.-С. 697-73.

34. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. -536 с.

35. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

36. Мешков Е.В., Кулик В.К, Упитис З.Г., Нилов А.С. Деформирование ортогонально армированных органопластиков при одноосном растяжении и сжатии // Механика композитных материалов. 1987. - № 4.-С. 609-615.

37. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. M.-JL: Гостехиздат, 1952. - 250 с.

38. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

39. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

40. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязко-пластических сред. -М.: МГУ, 1971. 114 с.

41. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. -М.: Наука, 1981.-208 с.

42. Мясников В.П. Геофизические модели сплошных сред // Материалы пятого Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механ. 1981. - С. 263-264.

43. Мясников В.П., Олейников А.И. Уравнения теории упругости и усоловие текучести для линейно дилатирующих сред // ФТПРПИ. -1984.-№6.-С. 14-19.

44. Мясников В.П., Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляющейся среды // Докл. АН СССР. -1992.-Т. 322.-С. 57-60.

45. Олейников А.И. Уравнения теории упругости и условия разрушения для разномодульных материалов // ФТПРПИ. 1986. -№ 1. - С. 12-19.

46. Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разномодульной среды. // ПММ. 1993. - Т. 57. - № 5. - С.153 -159.

47. Олейников А.И. Модели гетерогенно-сопротивляющихся изотропных сред: Диссертация д-ра физ.-мат. наук. Владивосток, 1994. - 259 с.

48. Олейников А.И. Определяющие соотношения для упругих изотропных сред // Пробл. мех. сплош. среды: Матер, междунар. науч.-техн. конф, Комсомольск на - Амуре, 15-19 сент. 1997. - 1998. - С. 63-67.

49. Понтрягин Я.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. -284 с.

50. Прагер В. Вариационные принципы линейной статической теории упругости при разрывных смещениях, деформациях и напряжениях. // В сб. переводов «Механика». 1969. - №5.

51. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Уч. пособие для вузов. 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1988. - 712 с.

52. Рейсснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругости. -В кн.: Проблемы механики сплошной среды. (К 70-летию акад. Н.И. Мусхелишвили). М.: Изд-во АН СССР, 1961.

53. Решение вариационных неравенств в механике / Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. М.: Мир, 1986. - 270 с.

54. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 469 с.

55. Слезингер И.Н. О вариационных теоремах нелинейной теории упругости. // Бюллетень Ясского политехнического института. 1959. -Т. V (IX).

56. Ставрогин А.Н., Зарецкий-Феоктистов Г. Г., Танов Г.Н. О статистических и динамических упругих модулях горных пород присложном осесимметричном напряженном состоянии // ФТПРПИ. 1984. -№ 5.-С. 9-17.

57. Темам Р. Математические задачи теории пластичности: Пер. с фр. М.: Наука, 1991.-288 с.

58. Тканные конструкционные композиты. -М.: Мир, 1991. 432 с.

59. Цабулис У.А., Грузиньш КВ., Зелтинъш В.Я., Зелтиня Д.П., Жмудь Н.П., Алкснис А.Ф. Исследование физико механических свойств изоциануратуретановых пенопластов при различных температурах // Механика композитных материалов. - 1988. - № 6. - С. 1110-1124.

60. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. -М.: Мир, 1979. -400 с.

61. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению в теории оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 414 с.

62. Arthurs A.M. Complementary variational principles. Oxford: Clarendon Press, 1980.-150 p.

63. Bauschinger J. Ueber die Quercontraction und Dilatation bei der Jangenausdehming und Zugemmenduckung prismatischer Korper // Civilingenieur. 1879. -T. 25. - S. 81-124.

64. Brady B.T. A Mechanical Equation of State for Brittle Rock // Intern. J. of Rock and Miming Sci. 1970. - V. 7. - № 4. p. 385-421.

65. Gajewski H., Groger K. Konjugierte Operatoren und a-posteriori-Fehlerabschatzungen // Math. Nachr. 1976. -73. - P. 315-333.

66. Grover S. F., Munro W., Chalmers B. The moduli of aluminum alloys in tension and compression // J. Inst. Metals. 1948. - V. 74. - P. 310-314.

67. Hodgkinson E. On the transverse strain, and strength of materials // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1824. -Second ser. 4.-P. 225-289.

68. Hodgkinson E. Theoretical and experimental researches to ascertain the strength and best forms of iron beams // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1831. - Second ser. 5. - P. 407-544.

69. Ни Hay-Chang. On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity. // Acta sei. sinica. 1955. - V. 4. - № 1.

70. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities. // Comm. Pure. Appl. Math.-V. XX.-P. 493-519.

71. Medry G.A. A nonlinear elastic model for isotropic material with different behavior in tension and compression // ASME J. of Eng. Mater, and Techn. -1982.-V. 104.-P. 22-27.

72. Noble В., Sewell M.J. On dual extremum principles in applied mathematics. // J. Inst. Math. Applies. 1972. - V. 9. - № 2. - P. 123-193.

73. Prager W., Synge J.L. Approximations in Elasticity based on the concept of function space. // Quart. Appl. Math. 1947. - V. 5. - № 3. - P. 1-21.

74. Synge J.L. The hypercicle in mathematical physics. Cambridge Univ. Press, 1957.-71 p.