Некоторые задачи разработки и идентификации нелинейных моделей поведения материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Могильников, Евгений Владиславович

• Могильников, Евгений Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Могильников, Евгений Владиславович

ВВЕДЕНИЕ.

1. РАЗРАБОТКА ОБЩЕЙ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО

ПОВЕДЕНИЯ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.

1.1. Группа симметрии изотропной среды.

1.2. Представление функции упругой энергии в виде ряда по системе ортогональных функций.

1.3. Инвариантность функции энергии относительно группы симметрий изотропной среды.

1.4. Общие уравнения для анализа моделей нелинейного поведения.

1.5. Выводы по главе.

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УСТОЙЧИВОСТЬ

ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕДЕНИЯ.

2.1. Условия единственности решения задач.

2.2. Условия выпуклости функции энергии.

2.3. Условия устойчивости.

2.4. Выводы по главе.

3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО

ПОВЕДЕНИЯ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.

3.1. Методика определения материальных констант по значениям тензоров напряжений и деформаций из опытов на одноосное растяжение-сжатие.

3.2. Методика расчета материальных констант для тензорно-линейной модели по значениям секущих модулей и модуля сдвига.

3.3. Методика расчета материальных констант для тензорно-линейной модели по секущим модулям и коэффициентам.

3.4. Представлениеупруеогоквадратичного потенциала в виде ряда по компонентам тензора напряжений.

3.5. Влияние членов ряда на нелинейное поведение.

3.6. Выводы по главе.

4. АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ПОВЕДЕНИЯ.

4.1. Общие положения.

4.2. Программное и математическое обеспечение системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи разработки и идентификации нелинейных моделей поведения материалов»

В настоящее время использование математических методов в научных исследованиях носит широкий и разносторонний характер. В первую очередь это связано с теми преимуществами, которые дает применение математических моделей, а именно: уменьшение времени разработок, наглядность представления исследуемых объектов и, в конечном счете - большой экономический эффект. К тому же в последние годы большим стимулом к внедрению математического моделирования стало развитие новых информационных технологий, связанное с увеличением быстродействия компьютеров и с появлением специализированного математического программного обеспечения. Сегодня компьютерная база имеет уровень развития, который позволяет проводить моделирование достаточно сложных объектов и явлений, используя как приближенные методы вычислений, например, методы конечных и граничных элементов, и аналитические, например, разложение в ряды Фурье с использованием возможностей символьных вычислений математических пакетов Matlab и Mathcad.

В настоящее время расширяется круг практических областей, связанных с исследованиями в области механики микронеоднородных материалов, таких, например, как моделирование и контроль состояния особо сложного оборудования, геологической среды, сейсмически активных районов и т.д. Микронеоднородные материалы характеризуются тем, что характер их поведения зависит от вида напряженно-деформированного состояния, поэтому их называют гетерогенно-сопротивляющимися. Соответствующие модели механического поведения таких материалов могут найти и находят применение в сейсмологии, геологии и геофизике, машиностроении, строительстве; математические методы вывода определяющих соотношений для данных материалов могут иметь общее значение в теории сплошных сред. Поэтому решение проблемы описания деформирования материалов с микронеоднодностью структуры имеет важное научное и практическое значение.

Технологическая революция в производстве и синтезе материалов с неоднородной структурой, широкое их применение в различных областях современной человеческой деятельности привели к тому, что в последнее время среди актуальных задач математического моделирования в механике сплошной среды на первый план вышли проблемы разработки математического обеспечения аналитического вывода определяющих соотношений для новых микронеоднородных материалов, идентификации разрабатываемых математических моделей, с учетом решения проблем устойчивости и единственности решения краевых задач.

В настоящее время выполнено достаточно большое количество экспериментальных работ по исследованию механических свойств материалов, обладающих гетерогенной сопротивляемостью. При одноосном нагружении, производимом вдоль одного и того же направления, древесина, чугуны, бе-риллиевая медь, сплавы алюминия, горные породы, графиты, углепластик, эпоксиамин, эластомер, пенопласта, тканые композиты и многие другие материалы с микронарушениями имеют несимметричные диаграммы деформирования при растяжении и сжатии, что и показано в работах Писаренко Г.С., Ковальчука Б.И., Лебедева А.А., Строкова В.И., Барабанова В.Н., Уманско-го С.Э., Кузнецова Г.Н., Ставрогина А.Н., Протосени А.Г., Hodgkinson Е., Richards J.T., Graver S. F., Munro W. и др. авторов [9, 10, 21, 35, 39- 41, 44, 45, 61, 79, 103, 100, 108, 111, 116, 117, 119-121, 124, 129, 130, 133]. При малых напряжениях эти диаграммы слабо нелинейны, обратимы и плавно, почти без излома, переходят одна в другую. Если же аппроксимировать их прямыми, то секущие модули при растяжении и сжатии могут существенно различаться между собой. В отдельных случаях эта разномодульность, а также существенное различие соответствующих коэффициентов Пуассона объясняется влиянием микротрещиноватости, микронарушениями адгезионных связей, микровыпучиваниями волокон.

Согласно современным представлениям система микронарушений гранита пористостью около 1% при отсутствии внешних нагрузок содержит межзеренные границы, микротрещины и поры [137]. Благодаря такой структуре любое, даже достаточно малое, нагружение вызывает изменения в системе микронарушений гранита, которые выражаются, прежде всего, в закрытии межзеренных трещин. При давлениях больших, чем 200 . 300 МПа все эти трещины являются уже полностью закрытыми. Но при снижении давления эти трещины снова приоткрываются. Такие изменения в структуре горной породы при нагружении и разгрузке обуславливают нелинейность начального участка диаграмм чистого сжатия, приведенных в [137], на которых показана слабая нелинейность диаграмм и упругий гистерезис. Причем наличие гистерезиса также обусловлено определенными изменениями свойств контакта берегов трещин при деформировании, а именно, сдерживанием силами трения проскальзывания берегов трещин на начальных этапах разгрузки.

Замечательно, что уже этот простейший опыт вполне определенно указывает на одну чрезвычайно любопытную особенность нелинейности, вызываемой изменениями в системе микронарушений материала при деформировании. Эта особенность состоит в существенной зависимости степени данной нелинейности от знака деформации. Действительно, кривые продольной деформации сжатия являются выпуклыми к горизонтальной оси деформаций, а кривые поперечной деформации растяжения, наоборот, выпуклы к вертикальной оси напряжений. Эта особенность рассматриваемой нелинейности проявляется и при чистом растяжении-сжатии песчаника, диаграммы нагрузки и разгрузки которого приведены в [10]. Там же пунктирными прямыми показана линейная аппроксимация этих диаграмм. Такая кусочно-линейная аппроксимация может хорошо аппроксимировать как ветви нагрузки, так и разгрузки. Для песчаника секущий модуль упругости Е~ при деформации сжатия s~ = -0,002 равен 2,0-104МПа и коэффициент поперечной деформации v~ = 0,1, а секущий модуль упругости Е+ при деформации растяжения s = 0,0001 равен 1,7-104МПа и v+ = 0,07. Таким образом, различие в секущих модулях чистого растяжения и сжатия песчаника составляет около 16%.

В полемических работах [29, 30], направленных на дискредитацию билинейного закона модели Амбарцумяна-Хачатряна, получены данные о несущественном для расчетов на прочность и жесткость различии (в пределах 2 . 3%) касательных в нуле модулей чистого растяжения и сжатия для капрона, фторопласта - 4, полистирола, метилметакрилата, серого чугуна, оргстекла, стеклопластика, полимербетона и стали.

Однако даже такое малое различие в модулях может приводить к нетривиальным нелинейно-акустическим и другим физическим эффектам [56]. Кроме того, стоит отметить, что допустимость билинейного закона упругости, как, впрочем, и закона Гука, тесно связана с допустимостью линейной аппроксимации начальных участков экспериментальных диаграмм, которые, как известно, с увеличением точности измерений, вообще являются нелинейными. Поэтому решающим аргументом при оценке модели является учет или неучет ею главных особенностей рассматриваемого нелинейного поведения. В этой связи закон Гука не учитывает, а билинейный закон может учесть главную особенность нелинейности упругого поведения материалов с микронарушениями при чистом растяжении-сжатии, а именно, различие нели-нейностей при сжатии и растяжении.

Различная степень нелинейности начальных участков, очевидно, должна отражаться в расхождении диаграмм зависимости интенсивности напряжений т от интенсивности деформаций у (отсутствие единой кривой), а также диаграмм зависимости среднего напряжения ст от объемной деформации s.

Действительно, в экспериментах на двуосное пропорциональное на-гружение чугуна в условиях плоского напряженного состояния [39, 48] и на трехосное осесимметричное пропорциональное нагружение песчаника, угля, каменной соли и других горных пород [38, 96-98, 135] обнаруживается такое расхождение диаграмм т - у и с - е при малых напряжениях с образованием веера кривых, полученных при разных коэффициентах пропорциональности. Значение секущих модулей сдвига и объема зависит от отношения а/т. При чистом сдвиге наблюдается изменение объема и неравенство параметров JIo-де: |ха Ф .

В экспериментах на трехосное осесимметричное нагружение горных пород [101, 123], чугуна [18] также наблюдается расхождение диаграмм т - у и сг - в. В экспериментах на трехосное неравнокомпонентное нагружение горных пород [1, 68, 127, 128] наблюдается систематическое отклонение параметров Лоде, нарушение пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций, зависимость секущих модулей от . При кручении чугуна, горных пород отмечается возникновение осевых деформаций сплошных и трубчатых образцов - явления Вертгейма-Пойнтинга-Кельвина [13, 68].

Таким образом, из приведенных экспериментальных данных можно сделать вывод, что система микронарушений, имеющаяся в материале, вообще говоря, по-разному реагирует на разные типы нагрузки, что приводит к нарушения пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций, зависимости секущих модулей от параметров а / т и , и свидетельствует о гетерогенной сопротивляемости материалов с микронарушениями. В результате нелинейности, вызванные изменениями в структуре при разных типах нагружения, являются различными. Таким образом, проведенные экспериментальные исследования подчеркивают необходимость разработки новых подходов вывода определяющих соотношений микронеоднородных материалов, позволяющих учесть указанные особенности их поведения.

Одним из наиболее разработанных подходов построения моделей микронеоднородных материалов является основанный на классической модели теории упругости. Влияние микротрещиноватости на упругое поведение материалов с трещинами предлагалось учитывать, вычисляя некоторые эффективные значения модуля упругости и коэффициента Пуассона по значению их для ненарушенной части материала, ширины раскрытия трещины, площади контактов берегов трещин, расстояния между трещинами, их ориентировки и распределения [37, 85, 86, 134]. Однако, оставаясь в рамках классической модели упругости, нельзя учесть нелинейное влияние микронарушений, проявляющееся в расхождении диаграмм деформирования при разных видах нагружения, которое может быть определяющим. Такое же заключение можно сделать относительно привлечения методов гомогенизации к получению эффективных модулей микронарушенных материалов, в которых в качестве эквивалентной гомогенной среды выступает линейно-упругое тело [5, 21, 43, 89, 90, 110, 115, 139], а также о методе введения тензорного параметра повреждаемости [11] в классический упругий потенциал [118].

Специфически нелинейное влияние микронарушений проявляется в различии секущих модулей. Известны несколько вариантов, основанных на обобщении классической модели теории упругости, разработанных для изотропных материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Основные результаты в этой области получены в работах С.А. Амбарцумяна, А.А. Хачатряна, Г.В. Бригадирова, JI.A. Толоконникова, Н.М. Матченко, В.М. Панферова, И.Ю. Цвелодуба, Ю.Н. Работнова, Е.В. Ломакина, Д.А. Гаврилова, Г.В. Туровцева, А.А. Золочевского, М.С. Саркисяна, В.П. Маслова, П.П. Мосолова, А.А. Трещева, Z. Wesolowski, R.M. Jones, Z. Rigbi, J.G. Ashoka.

В работах С.А. Амбарцумяна, А.А. Хачатряна [2-4] предложен следующий подход: в классическую модель в качестве податливостей вводится множитель, значение которого определяется знаком напряжения, при котором он стоит ak-M(<j,-a J (0.1) где М = v+ / Е+ = v /Е - в силу симметрии матрицы коэффициентов упругости, a v+, v, Е - соответственно коэффициенты Пуассона и модули упругости при чистом растяжении и сжатии, к, l,m= 1, 2, 3, кф1фт.

К сожалению, это совершенно очевидное обобщение закона Гука неинвариантно относительно группы вращений, несовместимо с изотропией среды [131], не удовлетворяет условиям допустимых разрывов модулей [138]. Аналогичные выводы можно сделать относительно модели [122], где в соотношения (0.1) были введены весовые коэффициенты, зависящие от соотношений абсолютных величин главных напряжений, а также об аналогичной (0.1) модели [138].

В модели [8] значение податливостей определяется знаком среднего напряжения. При этом на поверхности о = 0 испытывают скачок одновременно модуль сдвига и объема, что не допустимо для изотропной среды [138].

Подход, основанный на использовании симметрии материальной среды для вывода явного вида определяющих соотношений предлагается в работах [7, 19, 49, 62, 87, 114]. Эти работы используют в качестве основной модели обобщенный закон Гука для описания поведения анизотропных материалов. Основные результаты в этой области получены в работах П. Бехтерева, С.Г. Лехницкого, И.В. Гольденблата, К.Ф. Черных, Я. Рыхлевского и др. авторов.

В работе [87] предлагается новый метод описания упругой анизотропии, основанный на понятии собственного упругого состояния. Дается иная

4 =

-~-sign<jk + ~sign(~ и трактовка обобщенного закона Гука с математической и физической точек зрения. Другой вариант построения тензорно-линейной модели анизотропных сред дан в [19]. Пользуясь положением о существовании потенциалов деформации, выведены основные соотношения для анизотропных сред. Сюда же можно отнести и работу [62], в которой рассмотрены решения уравнений Ламе для анизотропного тела, связанные с решениями канонических эллиптических систем первого порядка.

Наиболее полное исследование анизотропии с учетом симметрии среды на основе обобщенного закона Гука выполнено в монографии [114]. Приведены соображения симметрии, интервалы ограничения упругих констант для положительности функции энергии. Исследована линейная и нелинейная упругость сжимаемых и несжимаемых анизотропных материалов, рассмотрены приложения теории к решению задач.

Рассмотрению свойств упругих анизотропных тел, испытывающих упругие деформации и подчиняющихся обобщенному закону Гука, посвящена работа [49]. Фактически она представляет собранный воедино накопленный к тому времени материал по решению задач упругости анизотропных тел.

Работа [7] посвящена исследованию обобщенного закона Гука. Данная работа, по мнению К.Ф. Черных является ". наиболее полным и интересным исследованием . возможно более тесных границ изменения элементов положительно-определенной матрицы .". Применительно к закону Гука это означает, что в этой работе получены необходимые и достаточные условия единственности решения задач теории упругости.

Использование этих подходов [7, 19, 49, 62, 87, 114], несмотря на их достаточную проработку, невозможно, об этом говорилось и ранее, по причине того, что закон Гука не может учесть различие нелинейностей упругого поведения материалов с микронарушениями при сжатии и растяжении, проявляющееся, прежде всего в различии секущих модулей.

Другим подходом является введение в классическую модель некоторых функций, явный вид которых может определяться из некоторых экспериментов, например, в работах [57, 104, 106, 112] предложено расхождение диаграмм т - у описывать произвольной функциональной зависимостью модуля сдвига от . В работе [78] расхождение диаграмм предлагалось описывать произвольной функциональной зависимостью модуля сдвига от параметра s / у, а объемного модуля - от отношения е /1 е |.

В работах [ 14, 52] это расхождение предлагается описывать одной произвольной функцией от параметра а/т или от s/y, которая специальным образом вводится в классический упругий потенциал изотропного тела

Ф = - [1 + С(а / х)][А + В(а/т)2 т2

Аналогично этому потенциал анизотропного разномодульного тела предлагается в форме [51]

Этот подход к построению моделей сплошной среды [14, 51, 52, 57, 78, 104, 106, 112] нельзя считать достаточно развитым, поскольку форма материальных функций остается неизвестна.

В работе [55] построена общая теория решения уравнения движения изотропной среды, имеющей разные модули при чистом сжатии и растяжении. В работе [22] построена термомеханическая модель упругопластиче-ского материала с дефектами структуры, основанная на общем подходе построения решений, содержащих особенности на множествах, отождествляемых с местом локализации дефектов в материале, размерности меньшей, чем размерность пространства. В качестве внутренних термодинамических переменных предлагается брать тензорные величины, соответствующие типу дефекта. Рассмотрены две неевклидовы модели сплошной среды: одна с набором переменных для внутренней энергии, состоящим из энтропии, неевклидовых дисторсий и тензора кручения (дефекты - дислокации), другая - с набором из энтропии, тензора внутренней деформации и тензора Римана (дефекты - дисклинации). Продолжением данной работы является [64], где рассматривается класс моделей упругопластических материалов с дефектами на основе предположения об афиннометрической геометрической структуре внутренних взаимодействий между частицами сплошной среды. В этом случае внутренняя энергия материалов с дефектами рассматривается как функция энтропии и тензорных геометрических характеристик внутренних взаимодействий. В этих работах предполагается, что внутренняя энергия и дис-сипативный потенциал заданы, показано, что классические упругопластиче-ские модели являются предельными для рассматриваемых.

В работах [53, 63, 67, 72] предложен потенциал напряжений в виде неаналитической в нуле функции

V = ~ ^кк^пп + ^ij - ^kk^ij^ij > (°-2) который описывает различие модулей чистого растяжения и сжатия и их зависимость от параметра \ = e/^'s^s^ , удовлетворяет условиям на допустимые разрывы [138] и совместим с изотропией твердого тела. Третий член в (0.2) является поправкой к классическому потенциалу, учитывающей появление локальных нарушений условий прилипания частиц среды при несжи-мающих напряжениях [53].

Другой подход к построению моделей сплошной среды состоит в представлении связи между тензорами напряжений и деформаций в виде полиномиального ряда по компонентам тензоров напряжений, деформаций, или их инвариантов [46, 54, 58, 59, 65, 70, 71, 94]. Основные результаты в этой области получены в работах Л.И. Седова, Л.А. Толоконникова, В.П. Мясникова, А.И. Олейникова, Н.М. Матченко, А.А. Трещева, А.Ж. Лангздыныпа, В.П. Тамужа и др. авторов. Например, в работе [94] построена модель упругой среды, потенциал которой в предположении о малости деформаций дается в виде разложения в ряд Тейлора по компонентам тензора деформации и в простейшем случае совпадает с классическим обобщенным законом Гука. Однако, как известно, ряд Тейлора является наилучшим приближением в окрестности нуля, а вдали от него может сильно расходиться с реальными значениями, к тому эта модель не позволяет учесть наличие микронарушений в материале.

Развитием обобщенного закона Гука является работа [46]. Авторы предлагают связь между тензорами деформаций и напряжений ст;/ представить в виде разложения функции г у [а у) в полиномиальный ряд с использованием тензоров упругости высших порядков. Однако большое количество экспериментов, необходимых для определения упругих постоянных, и, фактически, выполнение гипотезы "единой кривой" затрудняет использование данного подхода к явлению разномодульности.

В работах [58, 59] предложены достаточно общие выражения потенциала разносопротивляющихся упругих материалов в виде степенных полиномов от модуля вектора полного напряжения на октаэдрических площадках, фазы напряжений и угла между нормалью к октаэдрической площадке и направлением вектора полного напряжения. Получено явное выражение для потенциала разносопротивляющегося изотропного тела, в который входят, соответственно, пять и восемь материальных констант для квазилинейных и нелинейных соотношений. К числу недостатков этих моделей можно отнести недостаточную проработку методики определения материальных констант, а также условий единственности и устойчивости.

Разложение тензора напряжений по базису тензора деформаций (нулевого тензора, девиатора тензора деформации и специальным образом введенного тензора SE) представлено в работе [54]. С применением такого разложения получен нелинейный закон упругости, учитывающий ненулевую фазу подобия девиаторов. Однако полученные соотношения имеют общий математический характер и зависят от обобщенных модулей упругости, вид которых явно не задан.

Одним из подходов к описанию разномодульности изотропной среды является разложение упругого потенциала в ряд Фурье по компонентам тензора деформаций [65, 70, 71] с учетом симметрии среды, которое является, в отличие от разложения в ряд Тейлора, наилучшим в среднем на промежутке. Определяющие соотношения включают пять материальных констант, определяемых из опытов на одноосное растяжение-сжатие и чистый сдвиг, возможно опустить некоторые члены для уменьшения числа упругих постоянных. Данная модель позволяет учесть наличие микротрещин и включений, а также описать явление дилатансии [15]. К числу положительных характеристик модели можно отнести тот факт, что она учитывает симметрию материала. Анализ основных свойств данной модели дан в [16]. Этот подход является развитием работ [53, 63, 67, 72], базируется на простом и ясном математическом аппарате теорий рядов и симметрии. Однако сложность вывода определяющих соотношений в этом подходе приводит к неправомерным ошибкам, которые были допущены в работе [70] при разложении в ряд Фурье, начиная с шестого слагаемого.

Существует ряд других подходов к разработке моделей упругих сред. Попытка только численного исследования поведения анизотропных и изотропных тел на основе одних и тех же численных алгоритмов сделана в [42]. В этой работе плоская задача теории упругости для изотропного тела приводится к задаче для анизотропного путем введения в бигармонический оператор дополнительных слагаемых, так, чтобы полученный обобщенный бигармонический оператор не имел кратных корней. Решение при этом представляется через функции обобщенных комплексных переменных.

Работы [31-34] основаны на выводе явного вида определяющих уравнений модели изотропной разномодульной среды на основе гипотезы о зависимости упругого потенциала от эквивалентного "трансформированного" напряжения. Полученные уравнения нельзя считать достаточно обоснованными, поскольку они содержат три материальные константы для изотропного тела и не переходят в классические при уменьшении разницы между модулями чистого растяжения и сжатия.

В работе [91] предложен явный вид упругого потенциала, значения коэффициентов которого определяются знаками среднего напряжения и угла вида напряженного состояния. При решении задач это требует знания вида распределения напряжений в теле, который, вообще говоря, априорно неизвестен. Такой же вывод справедлив и по отношению к модели [136].

Физическая модель деформируемого твердого тела на основе ваканси-онной модели кубического монокристалла путем введения аксиом статики, динамики, взаимодействия, дальности порядка и деформации разработана в [83]. Получены изотермические модули упругого сжатия Кт, сдвига GT изотропного твердого тела для их дальнейшего использования опять же в законе Гука.

Как видно из приведенного обзора, все подходы к разработке математических моделей гетерогенно-сопротивляющихся сред можно условно разделить на следующие: классический (основанный на обобщенном законе Гука), разложение в ряды (Тейлора и Фурье, представление в виде полиномов), введение некоторых материальных функций в классическую модель, и ряд других второстепенных, общее количество моделей перевалило за два десятка. Таким образом, существует проблема выбора из всего многообразия моделей той, которая позволяет учитывать нелинейные особенности поведения материалов в требуемом приближении.

Важными вопросами, возникающими при разработке моделей, являются вопросы единственности решения задач и устойчивости, в малом и большом, обсуждаемые многими авторами, например, [24, 84, 107]. Единственность позволяет судить о корректности принятой модели, а «. Устойчивость обеспечивает хорошую классификацию, поскольку эксперимент показывает, что материалы в той степени, в которой их свойства могут быть идеализированы как не зависящие от времени при изотермических условиях, являются устойчивыми в большей части, если не во всем диапазоне их работы. .»1. Вопрос идентификации разрабатываемых моделей гетерогенно-сопротивляющихся сред, заключающийся в определении неизвестных материальных функций или констант, входящих в определяющие соотношения и построении сравнительных диаграмм деформирования материалов, в свою очередь, тесно связан с устойчивостью, поскольку позволяет поставить соответствие между реальным материалом и его математической моделью.

Условия единственности для классической модели, полученные на основе требования положительной определенности соответствующей квадратичной формы показаны в работах [7, 114].

Для моделей [58, 59] неизвестные константы предлагается определять из опытов на одноосное растяжение и сжатие, с использованием результатов более сложного эксперимента, отличного от упомянутых. Эти эксперименты, как отмечают и авторы, проведены только лишь для небольшого класса раз-номодульных материалов, что существенно ограничивает применение указанных моделей и оставляет открытым вопрос их адекватности. Там же даны условия устойчивости моделей в малом, проверку которых предлагается проводить параллельно процессу вычисления материальных констант, причем эти условия даны только в общем виде.

1 См. Друккер Д. О постулате устойчивости материала в механике сплошной среды // Механика. Период, сб. пер. иностр. ст. - 1964. -№. З.-С. 118.

Для модели [52] условия единственности и устойчивости рассмотрены в работах [6, 50, 51, 105]. В [6, 51] также рассмотрены необходимые эксперименты для определения неизвестных материальных функций модели. Однако вывод условий единственности в [51, 105] сделан неверно и противоречит основным положениям работ [24, 113], алгоритмы определения материальных функций модели являются достаточно сложными для использования их на практике.

Условия единственности в малом модели [71] рассмотрены в [66]. При известных материальных константах предлагается выполнять проверку условий единственности, эквивалентных условиям неотрицательной определенности соответствующих квадратичных форм. Математическая постановка задачи определения материальных констант дана в [71], ее реализация приведена в [66]. Однако полученные условия единственности являются достаточно общими и сложны для практического использования.

Вопросы определения неизвестных постоянных модели [46] рассмотрены в [46, 60, 108], при этом большое количество экспериментов существенно ограничивают область применения данной модели. Для модели [33] вопросы определения материальных констант, единственности и устойчивости поднимались в работах [31-34]. Несмотря на то, что получены общие неравенства условий устойчивости и единственности в малом, вытекающие из постулата Друккера, в этих работах не даны явные ограничения на материальные константы, гарантирующие единственность решения и устойчивость материала даже в малом.

Таким образом, из анализа источников следует, что для большинства работ, посвященных разработке и исследованию моделей нелинейного поведения условия единственности и устойчивости имеют либо слишком общий характер, либо проверку выполнения этих условий рекомендуется проводить параллельно с вычислением необходимых материальных констант или функций. Поэтому можно сделать вывод, что существует проблема отсутствия в литературе простых и явных ограничений на материальные функции или константы, гарантирующих единственность и устойчивость, то есть на сегодняшний день полного исследования этих вопросов не проведено ни для одной модели, кроме классической. Методики определения материальных функций или констант для большинства моделей также имеют недостаточную проработку, то есть не подтверждена их адекватность [80] и способность предсказывать нелинейное поведение микронарушенных материалов, поэтому возникает проблема идентификации разрабатываемых моделей по результатам стандартных испытаний.

Из вышеизложенного обзора можно сделать следующие выводы:

1. Результаты экспериментов свидетельствуют о том, что для многих новых легких сплавов, материалов, а также для микронеоднородных, микронарушенных материалов, горных пород характерны гетерогенная сопротивляемость, нелинейность поведения уже при малых деформациях.

2. Использование классических моделей упругости при решении задач упругости таких материалов в общем случае неправомерно и может давать неверные или неточные результаты; даже разработанные модели изотропных сред обладают рядом существенных недостатков, таких, например, как недостаточное количество экспериментальных данных для определения материальных констант, отсутствие в явном виде материальных функций.

3. На текущий момент в литературе отсутствуют ограничения на материальные функции или константы, гарантирующие единственность решения краевых задач и устойчивость данных материалов в большом.

4. Наиболее универсальным и перспективным подходом является метод разложения потенциала напряжений в ряд по компонентам тензора деформаций. Этот подход объединяет в себе классический (обобщенный закон Гука), учитывающий симметрию среды и "разномодульный", учитывающий наличие микротрещин и различных дефектов структуры. Однако сложность вычисления базисных функций, равенств коэффициентов ряда при наложении требования инвариантности относительно группы симметрий на сегодняшний день позволили получить всего лишь первые пять членов разложения и исследовать проблемы единственности и устойчивости только в общем виде.

Таким образом, из обзора экспериментальных и теоретических исследований, посвященных определению и учету влияния микронарушений на упругое поведение изотропных материалов, следует актуальность следующих вопросов:

1) разработка автоматизированного вывода в явном виде моделей нелинейного поведения упругих сред;

2) определение условий единственности решения краевых задач, устойчивости материала в малом и большом для разрабатываемых моделей, в том числе с использованием возможностей аналитического вывода математического программного обеспечения;

3) идентификации разрабатываемых моделей гетерогенно-сопротивляющихся сред. Разработка вариантов установочных экспериментов на основе стандартных испытаний, методик определения и расчета значений материальных констант моделей на основе комплексного использования возможностей символьных вычислений математического программного обеспечения и проведения численных расчетов.

Данная работа посвящена решению этих вопросов, что и обуславливает актуальность тематики исследования. Цели работы:

- решение задачи построения феноменологических моделей нелинейно-упругого поведения микронеоднородных материалов;

- проведение идентификации полученных моделей;

- математическое обоснование применения полученных моделей при решении задач - доказательство теорем единственности и устойчивости.

Задачи исследования.

1. С использованием средств автоматизации вывода разработать феноменологическую модель нелинейного поведения упругих сред представлением функции энергии в виде ряда по системе ортогональных функций.

2. Вывести условия единственности решения задач и устойчивости в малом и большом для простейшей модели нелинейного поведения.

3. Провести идентификацию полученных моделей нелинейного поведения изотропных сред, разработать варианты установочных экспериментов на основе стандартных испытаний, методики определения материальных констант и провести расчеты.

4. Для универсализации и автоматизации процессов разработки и исследования моделей нелинейного поведения разработать автоматизированную систему научных исследований.

Методы исследования. Методологически работа построена на базе общих принципов ковариантности, термодинамики и макродетерминизма. Для решения поставленных задач использованы методы теории представления групп, выпуклого анализа, теории упругости, тензорного анализа, теории матриц, вычислительной математики. Проводилось прямое сравнение расчетных и экспериментальных диаграмм деформирования для идентификации математических моделей.

Научная значимость работы заключается в следующем:

- предложена феноменологическая модель нелинейно-упругого поведения микронеоднородных материалов путем общего представления функции энергии в виде ряда по системе ортогональных базисных функций, в качестве которых берутся базисные функции группы вращений ^-мерного пространства.

- впервые даны условия устойчивости и единственности решения краевых задач в малом и большом для простейшей модели нелинейного поведения рассматриваемых сред в виде простых ограничений на материальные константы.

- предложены методики расчета материальных констант простейших моделей гетерогенно-сопротивляющихся сред.

- для системного решения поставленной научной задачи автором создана автоматизированная система научных исследований «САВПАМ», позволяющая проводить аналитический вывод моделей и ставить вычислительные эксперименты.

Практическая ценность диссертации определяется чрезвычайно широким представлением материалов с микронеоднородностью структуры в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Полученные определяющие соотношения могут быть непосредственно использованы для теоретического анализа расчетов и прогнозирования технологических и природных физико-механических процессов в материалах и конструкциях, в том числе и с использованием разработанной автоматизированной системы научных исследований «САВПАМ». Результаты работы вошли в отчеты НИР по грантам РФФИ (код проекта 98-01 -00478) и Минобразования РФ (шифр гранта 97-0-4.3-120).

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Решение задачи построения феноменологической модели нелинейно-упругого поведения микронеоднородных материалов путем общего представления функции энергии в виде ряда по системе ортогональных базисных функций на основе использования возможностей компьютерного аналитического вывода.

2. Доказательство теоремы единственности и устойчивости для данных моделей сред, ограничения на материальные константы модели X, \х, v в виде системы неравенств, при выполнении которой гарантированы единственность решения краевых задач и устойчивость материала.

3. Разработанные методики расчета материальных констант моделей нелинейного поведения изотропных сред, варианты установочного эксперимента, анализ влияния членов разложения на точность прогнозирования нелинейного поведения материалов.

4. Разработанная и апробированная автоматизированная система научных исследований «САВПАМ», интегрирующая в себе возможности аналитического вывода и численного исследования моделей нелинейного поведения в требуемом приближении (свидетельство об официальной регистрации программ № 2001610236).

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены и докладывались на международных научных конференциях "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)" (г. Красноярск, 1999 г.), «Математические методы в технике и технологиях» (г. Санкт-Петербург, 2000 г.), «The Far-eastern school-seminar on mathematical modeling and numerical analysis» (г.Находка, 1999г.), «Синергетика. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» (г. Комсомольск-на-Амуре, 2000 г.), семинарах по математическому моделированию кафедры Высшей математики КнАГТУ (1998 - 2000 гг.), Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (2001 г.), методических семинарах кафедры информатики и дискретной математики КГПУ (2000 - 2001 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 научных работ, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ, список приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 139 страницах машинописного текста, иллюстрирована 29 рисунками и 7 таблицами, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 139 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Могильников, Евгений Владиславович

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Oleinikov A.I., Mogilnikov E.V. Determination and research of the form of potential equations for isotrope and anisotrope heterogenic-resistant envi-roment // The Far-eastern school-seminar on mathematical modeling and numerical analysis. - Russia. Nakhodka. 1999. August 27 - September 3. -Khabarovsk: 1999. - P. 161.

2. Олейников А.И., Могильников E.B. Некоторые методы решения задачи разложения упругого потенциала II Тез. докл. междун. конф. "Математические модели и методы их исследования", 18-24 августа 1999. -Красноярск: КГУ, 1999. - С. 164-165.

3. Олейников А.И., Могильников Е.В. Разработка моделей гетерогенно-сопротивляющихся сред в виде разложения потенциала напряжений в ряд Фурье // Труды междунар. науч. конф. «Синергетика 2000. Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях». Комсомольск-на-Амуре, 20-24 сентября 2000 г. - Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000.-С. 118-122.

4. Олейников А.И., Могильников Е.В. О формах внутренней энергии при конечной деформации, алгоритмах определения материальных кон

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время расширяется круг практических областей, связанных с исследованиями в области механики микронеоднородных материалов. Соответствующие модели механического поведения таких материалов находят применение в машиностроении, сейсмологии, геологии и геофизике, строительстве и других отраслях, поэтому решение проблемы описания деформирования материалов с микронеоднородностью структуры имеет важное научное и практическое значение.

В диссертации рассмотрен один из подходов к разработке моделей нелинейного поведения изотропных сред, упругий потенциал в котором дается в виде ряда по системе ортогональных функций, являющихся базисом представления соответствующей группы симметрий.

В работе получены следующие новые результаты:

1. Решена задача построения феноменологической модели нелинейно-упругого поведения микронеоднородных материалов путем общего представления функции энергии в виде ряда по системе ортогональных базисных функций на основе использования возможностей компьютерного аналитического вывода.

2. Доказаны теоремы единственности и устойчивости для данных моделей сред, получены ограничения на материальные константы модели X, ц, v в виде системы неравенств, при выполнении которой гарантированы единственность решения краевых задач и устойчивость материала.

3. Проанализированы возможные варианты установочного эксперимента, для которых разработаны методики расчета материальных констант моделей нелинейного поведения изотропных сред, проведен анализ влияния членов разложения на точность прогнозирования нелинейного поведения материалов, построены сравнительные диаграммы нелинейного поведения для графитов и чугуна.

4. Разработана и апробирована автоматизированная система научных исследований «САВПАМ», интегрирующая в себе возможности аналитического вывода и численного исследования моделей нелинейного поведения в требуемом приближении (свидетельство об официальной регистрации программ № 2001610236).

По теме диссертации опубликовано 5 научных работ, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Могильников, Евгений Владиславович, 2001 год

1. Алексеев А.Д., Ревва В.Н., Рязанцев Н.А. Разрушение горных пород в объ-емном поле сжимающих напряжений. К.: Наукова думка, 1989. 168 с.

2. Амбарцумян С.А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982.320 с.

3. Амбарцумян С.А. Уравнения плоской задачи разносопротивляющейся илиразномодульной теории упругости // Изв. АН Арм. ССР. Механика. -1966.-Т. 19,-№2.-С. 33-46.

4. Амбарцумян С.А., Хачатрян А.А. Основные уравнения теории упругостидля материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Инж. журн. МТТ. 1966. - № 2. - С. 44-53.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодическихсредах. М.: Наука, 1984. -352 с.

6. Березин А.В. Влияние повреждений на деформационные и прочностныехарактеристики твердых тел. М.: Наука, 1990. - 135 с.

7. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука: В 2 ч.- JL: Литограф, изд. автора, 1925.

8. Бригадиров Г.В., Матченко Н.М. Вариант построения основных соотношений разномодульной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. -№5.-С. 100-109.

9. Бурштейн JI.C. Диаграммы растяжения и сжатия песчаника // ФТПРПИ1964. № 1.-С. 24-29.

10. Бурштейн JI.C. Статические и динамические испытания горных пород. -М.: Недра, 1970.- 176 с.

11. Вакуленко А.А., Качанов M.JI. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - № 4. - С. 159-166.

12. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. -М.: Наука, 1965.-588 с.

13. Гавриленков С.В., Леонов М.Я. Исследование деформаций при полухрупком разрушении // Пластичность и хрупкость. — Фрунзе: Илим, 1967. -С. 56-86.

14. Гаврилов Д.А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела // Пробл. прочности. 1979. - № 9. -С. 10-12.

15. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Анализ напряженно-деформированного состояния горных пород на основе разно-модульной модели сплошной среды // Математическое моделирование. -1999.-Т. 11. № 1.-С. 39-44.

16. Гасилов В.А., Головин М.В., Мясников В.П., Пергамент А.Х. Применение разномодульной модели сплошной среды к анализу поведения горных пород под действием больших напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2000. -№ 2. - С. 86-92.

17. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группа Лоренца, их применения. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1958.-368 с.

18. Головенко B.C., Мидуков В.З., Седоков Л.М. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии // Пробл. прочности. 1973. - № 1. - С. 56-58.

19. Гольденблат И.В. Теория малых упруго-пластических деформаций анизотропных сред // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1955. - № 2. - С. 60-67.

20. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1969. - 336 с.

21. Гольдман А.Я., Фрейдин А.Б. Влияние гидростатического давления на деформирование АБС-пластика при сдвиге // Механика композитных материалов. 1989. - № 1. - С. 23-28.

22. Григолюк Э.И., Фильштинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. -М.: Наука, 1970.-556 с.

23. Гузев М.А., Мясников В.П. Термомеханическая модель упругопластиче-ското материала с дефектами структуры // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 4. -С. 156-171.

24. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. / Пер. с англ. A.M. Гутерман. -М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948. 260 с.

25. Друккер Д. О постулате устойчивости материала в механике сплошной среды // Механика. Период, сб. пер. иностр. ст. 1964. - №. 3. - С. 115128.

26. Дубов П.Д., Франк-Каменецкий В.А., Шафрановский И.И. Классическая и обобщенная симметрия в морфологии реальных кристаллов. Уч. пос. Л.: ЛГУ, 1988.-80 с.

27. Желудев И.С. Симметрия и ее приложения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 304 с.

28. Жуков A.M. К вопросу опытного определения механических свойств материалов // В кн. «Механические и физико-химические свойства материалов». Вып. 1.-М.:ВНИЦМВ, 1991.-С. 12-25.

29. Жуков A.M. Модули упругости материалов при растяжении и сжатии //ЖПМТФ. 1985.-№4.-С. 128-131.

30. Жуков A.M. Сопротивление некоторых материалов чистому растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 4. - С. 197-202.

31. Золочевский А.А. К тензорной связи в теории упругости и пластичности анизотропных композитных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Механика композитных материалов. 1985. - № 1. -С. 53-58.

32. Золочевский А.А. Напряженно-деформированное состояние в анизотропных оболочках из разномодульных композитных материалов // Механика композитных материалов. 1986. - № 1. - С. 166-168.

33. Золочевский А.А. Определяющие уравнения и некоторые задачи разно-модульной теории упругости анизотропных материалов // ЖПМТФ. -1984.-№ 4.-С. 131-138.

34. Золочевский А.А. Определяющие уравнения нелинейного деформирования с тремя инвариантами напряженного состояния // Прикл. механика. -1990. Т. 26. - № 3. - С. 74-80.

35. Ильичев В .Я., Владимирова B.JL, Телегон А.И. Температурная зависимость модуля Юнга и прочности некоторых углепластиков до 4,2 К. // Механика композитных материалов. 1981. -№ 4. — С. 723-725.

36. Капустянский С.М. Анизотропия геоматериалов // Итоги науки и техн. Механ. деф. тв. тела. 1986.-Т. 18.-С. 53-113.

37. Каталог механических свойств горных пород при широкой вариации видов напряженного состояния и скорости деформирования. Л.: ВНИМИ, 1976. - 171 с.

38. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А. Деформационные свойства серого чугуна при плоском напряженном состоянии в условиях низких температур //Пробл. прочности . 1970. -№> 7. - С. 9-13.

39. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и конструкций. Киев: Наукова думка, 1987. -280 с.

40. Кончиков В.В., Гурьев В.В. Упругие и прочностные свойства пенопласта с искривленными ячейками // Механика композитных материалов. 1983. -№ 1.-С. 3-6.

41. Космодамианский А.С., Нескородев Н.М. Связь уравнений плоской теории упругости для анизотропного и изотропного тел // ПММ. 1998. -№2.-С. 344-346.

42. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

43. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. М.: Углетехиздат, 1947.- 180 с.

44. Кусков Н.И. Некоторые результаты исследования физико-механических свойств углей // Труды ВНИМИ. 1964. - 53. - С. 40-48.

45. Лангздыньш А.Ж., Тамуж В.П. Тензоры упругости высших порядков //' Механика полимеров. 1965. - Т. 6. № 40-48. - С. 40-48.

46. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. / Пер. с англ. М.З.Кайнера. / Под ред. А.М.Лопшица. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит-ры, 1961. - 524 с.

47. Лебедев А.А., Ковальчук Б.И., Ламашевский В.П. О коэффициенте поперечной деформации углеродистой стали и серого чугуна при нормальной и низкой температурах // Пробл. прочности. 1991. - № 3. - С. 51-56.

48. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд-е 2-е. М.: Наука, 1977.-416 с.

49. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 2.1. С. 42-45.

50. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел.-М.: МГУ, 1980. Препринт № 159.-64 с.

51. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 6. -С. 29-34.

52. Ляховский В.А., Мясников В.П. О поведении упругой среды с микронарушениями // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. - № 10. - С. 71-75.

53. Мальков В.М. О формах связи тензоров напряжений и деформаций в нелинейно-упругом материале // ПММ. 1998. - Т. 62. Вып. 4. - С. 643-649.

54. Маслов В.П., Мосолов П.П. Общая теория решений уравнений движения разномодульной упругой среды // ПММ. 1985. - Т. 49. - № 3. - С. 419437.

55. Матвеев В.В., Бовсуновский А.П. Некоторые аспекты колебаний упругого тела с «дышащей» несплошностью материала // Проблемы прочности. -2000. № 5.-С. 44-60.

56. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журн. МТТ. -1968.-№ 6.-С. 108-110.

57. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещёв А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 1. - С. 73-78.

58. Матченко Н.М., Толоконников Л.А., Трещёв А.А. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2. Нелинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1999. - № 4. - С. 87-95.

59. Мелбардис Ю.Г., Крегерс А.Ф. Определение параметров некоторых видов физически нелинейных анизотропных материалов // Механика композитных материалов. 1988. -№ 6. - С. 984-994.

60. Мешков Е.В., Кулик В.И., Упитис З.Т., Нилов А.С. Деформирование ортогонально армированных органопластиков при одноосном растяжении и сжатии // Механика композитных материалов. 1987. - № 4. - С. 609-615.

61. Митин С.П. Об одной математической модели анизотропной теории упругости // Вестник Новгородского гос. ун-та. Сер. Естеств. и техн. наук. -1995,-№5.-С. 89-91.

62. Мясников В.П. Геофизические модели сплошных сред // Пятый Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механ. -М.: Наука, 1981. С. 263-264.

63. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель дефектной структуры упругопластической сплошной среды // ПМТФ. 1999. - Т. 40. - № 2. -С. 163-173.

64. Мясников В.П., Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляющейся среды // ДАН СССР. 1992. -Т. 322. № 1.с. 57-60.

65. Мясников В.П., Олейников А.И. Основы механики гетерогенно-сопротивляющихся сред. — М.: , 2000. 200 с.

66. Мясников В.П., Олейников А.И. Уравнения теории упругости и условие текучести для линейно дилатирующих сред // ФТПРПИ. 1984. - № 6. -С. 14-19.

67. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел: В 2-х т. Т.1. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. - 647 е.; Т.2. - М.: Мир, 1969. - 863 с.

68. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1991. -432 с.

69. Олейников А.И. Об описании деформирования гетерогенно-сопротивляющихся материалов // Докл. РАН. 1998. - Т. 361. - № 6. -С. 773-774.

70. Олейников А.И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разномодульной среды // ПММ. 1993. - Т. 57. Вып. 5. - С. 153159.

71. Олейников А.И. Уравнение теории упругости и условие разрушения для разномодульных материалов // ФТПРПИ. 1986. - № 1. - С. 12-19.

72. Олейников А.И., Могильников Е.В. Некоторые методы решения задачи разложения упругого потенциала // Тез. докл. междун. конф. "Математические модели и методы их исследования", 18-24 августа 1999. Красноярск: КГУ, 1999.-С. 164-165.

73. Олейников А. И., Могильников Е. В. О единственности решения задач и устойчивости материала нелинейной гетерогенной упругости // ДАН. РАН. 2001. (в печати).

74. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. М.: Компьютер Пресс, 1998.-384 с.

75. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для твердых тел с разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение//Докл. АН СССР. 1968.-Т. 180.-№ 1.-С. 41-44.

76. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. -416 с.

77. Победря Б.Е. Модели механики сплошной среды // Изв. РАН. МТТ. -2000. -№3.~ С. 47-59.

78. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.-314 с.

79. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997.-350 с.

80. Протасов И.Д. Уравнения состояния с параметрами и модули упругости изотропного твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 1997. - № 2. - С. 5-13.

81. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Уч. пособие для вузов. 2-е изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -712 с.

82. Ризниченко Ю.В. О сейсмической квазианизотропии // Изв. АН СССР. Сер. географ. 1949. - Т. 13.-№6.-С. 518-544.

83. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных пород. -М.: Недра, 1975.-233 с.

84. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. 1984. - Т. 48. Вып. 3. - С. 420435.

85. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопласти-ческих сред. -М.: Наука. Физматлит, 1997. 208 с.

86. Салганник Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. 1973. - № 4. - С. 149-158.

87. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.-472 с.

88. Саркисян М.С. О соотношениях теории упругости изотропных тел, материал которых по-разному сопротивляется растяжению и сжатию // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. -№ 5. - С. 87-94.

89. Саркисян Н.Е. Анизотропия статической и динамической деформативно-сти стеклопластиков типа СВАМ // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1971. -Т. 24. №3,-С. 61-73.

90. Свид. о регистр, программы для ЭВМ. Программа для ЭВМ «Diagramm» / А.И. Олейников, Е.В. Могильников (Россия). №2001610236; Заявл. 4.12.2000; Зарегистр. 5.04.2001.

91. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. - 568 с.

92. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. III. Ч. 2. М.: Наука, 1974. -672 с.

93. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Механика деформирования и разрушения горных пород. М.: Недра, 1992. - 224 с.

94. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. М.: Недра, 1979.-301 с.

95. Ставрогин А.Н., Тарасов Б.Г., Ширкес О.А., Певзнер Е.Д. Прочность и деформация горных пород в допредельной и запредельной областях // ФТПРПИ. 1981. - № 6. - С. 3-11.

96. Строков В.И., Барабанов В.Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния // Заводская лаборатория. 1974. - № 9. - С. 1141-1144.

97. Тарасов Б.Г. Прочностные, упругие и деформационные свойства горных пород как функция структурных особенностей материала // ФТПРПИ. -1992,-№2.-С. 30-39.

98. Титтел Э., Хадсон К., Стюарт Дж. М. NT Workstation 4. Сертификационный экзамен экстерном (экзамен 70-073) - Спб.: ЗАО «Издательство «Питер», 1999. - 480 с.

99. Тканные конструкционные композиты. М.: Мир, 1991. - 432 с.

100. Толоконников Л.А. Вариант разномодульной теории упругости // Механ. полимеров. 1968. - № 2. - С. 36-38.

101. Трещев А.А., Воронова С.А. О единственности решения задач теории упругости разносопротивляющихся сред. Тула, 1987. - 11 с. Деп. В ВИНИТИ 23.03.87, № 2040-В87.

102. Туровцев Г.В. О построении определяющих уравнений для изотропных упругих сред с усложненными свойствами // ДСС. СО АН СССР. 1981. -№ 53.-С. 132-143.

103. Турсунов Б.С. О свойствах потенциала напряжений упругих тел // ПММ. 1970.-Т. 34. Вып. 1.-С. 15-22.

104. Удрис А.О., Упитис З.Т. Экспериментальное исследование упругих и прочностных свойств эпоксидного связующего ЭДТ-10 в условиях сложного напряженного состояния // Механика композитных материалов. -1988. № 6.-С. 972-978.

105. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. -М.: Физматгиз, 1963. 516 с.

106. Хорошун С.П. Осреднение упругих характеристик горной породы // Изв. РАН. Физика Земли. 1993. -№ 3. - С. 21-35.

107. Цабулис У.А., Грузинып И.В., Зелтиньш В.Я., Зелтиня Д.П., Жмудь Н.П., Алкснис А.Ф. Исследование физико-механических свойств изоциа-нуратуретановых пенопластов при разных температурах // Механика композитных материалов. 1988. — № 6. -С. 1110-1124.

108. Цвел оду б И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов//ДСС. СО АН СССР. 1977. -№ 32. -С. 123-131.

109. Цвелодуб Ю.И. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов. Новосибирск: НГУ, 1991. - 200 с.

110. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -192 с.

111. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.-400 с.

112. Bauschinger J. Ueber die Quercontraction und Dilatation bei der Jangenaus-dehming und Zugemmenduckung prismatischer Korper // Civilingenieur. -1879.-T. 25.-S. 81-124.

113. Brady В.Т. A Mechanical Equation of State for Brittle Rock // Intern. J. of Rock and Mining Sci. 1970. -V. 7. -№ 4. - P. 385-421.

114. Dragon A., Mroz Z.A. A continuum model for plastic brittle behaviour of rock and concrete//Int.J. Engng.Sci. - 1979. -V. 17. - P. 121-137.

115. Grover S. F., Munro W, Chalmers B. The moduli of aluminum alloys in tension and compression // J.Inst. Metals. 1948. - Y. 74. - P. 310-314.

116. Hodgkinson E. On the transverse strain, and strength of materials // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1824. Second ser. 4.-P. 225-289.

117. Hodgkinson E. Theoretical and experimental researches to ascertain the strength and best forms of iron beams // Memoirs of the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1831. - Second ser. 5. - P. 407-544.

118. Jones B.M. Stress-strain relations for materials with different moduli in tension and compression // AIAA Journ. 1977. - V. 15. - № 1. - P. 51-53.

119. Karman T. Festigkeitsversuche unter allseitigem // Zeit. des Vereins deutscher Ingenieure.- 1911.-T. 55.-S. 1749-1757.

120. Medri G. A nonlinear elastic model for isotropic material with different behavior in tension and compression // ASME. J. of Eng. Mater, and Techn. -1982,-V. 104.-P. 22-27.

121. Microsoft Office для Windows 95. 6 книг в 1. /Пер. с англ. Галкиной Е.В. -М.: Восточная Книжная Компания, 1997. 608 с.

122. Microsoft Windows NT Workstation. Версия 4.0. (Практическое пособие). М.: ЭКОМ, 1997.-288 с.

123. Mogi К. Fracture and Flow of Rocks under High Triaxual Compression //J. Geophys. Res. 1971.-V. 76.-№5.-P. 1255-1269.

124. Mogi K. On the pressure dependence of strength of rocks and the Coulomb fracture criterion // Tectonophysics. 1974. - V. 21. - P. 273-285.

125. Novak R.S., Bert C.W. Theoretical and Experimental Bases for More Precise Elastic Properties of Epoxy // J. of Composite Materials. 1968. - V. 2. -P. 506-508.

126. Richards J.T.On evalution of several static and dynamic methods for determining elastic moduli //ASTM. Symp. on the Determin. of Elastic Constants. Spec. Techn. Publ. 1952. - № 129.

127. Rigbi Z. Some thoughts concerning the existence or otherwise of an isotropic bimodulus material // J. of Eng. Mater, and Techn. 1980. - V. 102. - P. 383384.

128. Seldin E.J. Stress-strain properties of polycristalline graphites in tension and compression at room temperatures // Carbon. 1966. - Y.4. - № 2. - P. 297302.

129. Simmons J., Todd T. Boldridge W.S. Toward a quantitative relationship between elastic properties and craks in low porosity rocks // Amer.J. Sci. 1975. -V. 275.-№3.-P. 318-345.

130. Swanson S.R., Brown W.S. The influence of state of stress on the stress-strain behavior of rocks // J. of Basic Engineering. Trans, of the ASME. 1972. -March. - P. 238-242.

131. Vijayakumar K., Ashoka J.G. A bilinear constitutive model for isotropic bimodulus materials // J. of Eng. Mater, and Techn. 1990. -V. 112. - P. 372379.

132. Walsh J.B. Static deformation of rock // J. of the Engineering Mech Div., ASCE. 1980. - V. 106. -№ EM5. - P. 1005-1019.139

133. Wesolowski Z. Elastic material with different elastic constants in two region of variability of deformation //Arch. Mech. Stosow. 1969. - V. 21. - № 4. -P. 449-468.

134. Willis J.R. The overall elastic response of composite materials // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1983. - V. 50. - № 4b. - P. 1202 -1209.