Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Иванов, Александр Александрович

• Иванов, Александр Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Александр Александрович

Введение

1 Основные определения и конструкции

2 Мультипликативная структура алгебры когомологий над полем характеристики 2 при нечетных натуральных параметрах

2.1 Формулировка основного результата.

2.2 Аддитивная структура алгебры когомологий.

2.2.1 Дифференциал б1 и вычисление НН4то+1(Я). . . . Г:.

2.2.2 Дифференциал б2 и вычисление НН4т+2(Я).\

2.2.3 Дифференциал <53 и вычисление НН4то+3(Д) и НН4т+4(Я).

2.3 Образующие и соотношения.

2.3.1 Случай с = 0.

2.3.2 Случай с ф 0.

3 Аддитивная структура алгебры когомологий над полем характеристики не

3.1 Формулировка основного результата.

3.2 Вычисление аддитивной структуры

3.2.1 Дифференциал с!)1 и вычисление НН4т+1(Д).

3.2.2 Дифференциал д2 и вычисление НН4т+2(Д).

3.2.3 Дифференциал 53 и вычисление НН4т+3(Д) и НН4т+4(Д)

4 Мультипликативная структура алгебры когомологий над полем характеристики

4.1 Формулировка основного результата.

4.2 Образующие и соотношения.

4.2.1 к и s кратны 3.

4.2.2 к кратно 3, s не кратно 3.

4.2.3 к не кратно 3, s кратно 3.

4.2.4 к и s не кратны 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа»

Когомологии Хохшильда - важнейший инвариант ассоциативной алгебры. Однако его вычисление - довольно трудная задача. Поскольку ассоциативные алгебры играют ключевую роль во множестве дисциплин, то и когомологии Хохшильда оказываются важнейшими объектами для изучения как в теории представлений ассоциативных алгебр, так и в теории центральных простых алгебр, алгебраической геометрии, некоммутативной геометрии, гомотопической теории деформаций, струнной топологии и функциональном анализе. Данная работа находится на стыке гомологической алгебры и теории представлений конечномерных алгебр, поэтому в дальнейшем мы сконцентрируемся на обзоре результатов, полученных преимущественно в этих направлениях.

С точки зрения теории ассоциативных алгебр когомологии Хохшильда алгебры параметризуют инфинитезимальные деформации этой алгебры, при этом п-коцикл соответствует деформации структуры ассоциативной алгебры в структуру Лп-алгебры в смысле теории Д^-алгебр. С другой стороны, когомологии Хохшильда инвариантны относительно производной эквивалентности и, следовательно, относительно Морита-эквивалентности алгебр, вследствие чего они играют значительную роль в классификационных задачах теории представлений ассоциативных алгебр.

В работе вычисляются когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа семейства ](2В)\ (в обозначениях из [24]) над алгебраически замкнутым полем.

Алгебры кватернионного типа получили свое название вследствие того, что этот класс включает в себя все ручные блоки с обобщенной кватерни-онной группой дефекта. Напомним, что если К - поле характеристики р, а 6? - конечная группа, то (двусторонне) неразложимое прямое слагаемое В групповой алгебры КС называется блоком КС; группой дефекта блока В называется минимальная подгруппа Р группы С, такая что любой В-модуль М изоморфен прямому слагаемому \¥ ®кр КС для некоторого КР-модуля . Наконец, конечномерная алгебра В называется ручной, если она бесконечного типа представления и для любого (1^-1 существует конечное число КЩ-В-бимодулей Мг, таких что все, кроме конечного числа, неразложимые В-модули размерности с? изоморфны N Мг для некоторого простого К[£]-модуля N. То есть, говоря нестрого, в каждой размерности ё, почти все неразложимые Б-модули образуют конечный набор однопараметрических семейств.

Алгебры кватернионного, а также диэдрального и полудиэдрального типов возникли как естественные обобщения ручных групповых блоков, которые, собственно, все содержатся в этих семействах над полем характеристики 2. Алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов имеют ручной тип представления (см. [24, 39]). Они были определены и классифицированы с точностью до Морита-эквивалентности Карин Эрдманн в [24]. В работе [39] Т. Хольм предъявил список, содержащий представителей всех классов производной эквивалентности из списка К. Эрдманн. Однако эти классификации не полны, поскольку не известно, лежат ли различные представители в различных классах эквивалентности.

В работах [38, 39] Т. Хольм показал, что всякая алгебра кватернионного типа из серии С^(2А)к(с) производно эквивалентна некоторой алгебре из серии С2(2В)1(к, в, а, с) при некоторых значениях натуральных параметров к, в и параметров а, с из поля К. Таким образом, вычисление когомоло-гий Хохшильда алгебры С^(2В)1 решает и аналогичную задачу для алгебр типа (2(2А).

Одним из следствий вычисления когомологий Хохшильда алгебр семейства (213)1 явилось уточнение классификации Т. Хольма [39], а значит, и классификации К. Эрдманн [24]. В следствии 3 получено, что некоторые из алгебр из списков К. Эрдманн и Т. Хольма действительно не производно-эквивалентны.

Литература по вычислению когомологий Хохшильда довольно обширна. Для коммутативной конечной группы С в работе Т. Хольма [37], а также в работе К. Сибильса и А. Золотарь [20] доказано, что НН*(К[С]) с± Я*(в) ®к К[С\. В статье К. Эрдманн и Т. Хольма [27] алгебра НН*(Я) описана для случая, когда Я - полуцепная (¿Г-алгебра. В работе П. Берга и К. Эрдманн [19] вычислены когомологии Хохшильда некоторых алгебр, являющихся полными квантовыми пересечениями.

Алгебра когомологий Хохшильда для так называемой алгебры Лю~ Шульца вычислена в статье А.И. Генералова и Н.Ю. Косовской [6]. В работах М.А. Пустовых (Качаловой) [16, 17] полностью описана мультипликативная структура алгебры когомологий Хохшильда так называемой алгебры Мёбиуса, в связи с этим вычислением, можно еще упомянуть работу К. Эрдманн, Т. Хольма и Н. Снэшелл [28], где были получены некоторые частичные результаты. Также имеются частичные результаты для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, полученные Т. Хольмом [40]. В цикле статей Ю.В. Волкова и А.И. Генералова [2, 3, 4] вычислены когомологии Хохшильда самоинъек-тивных алгебр конечного типа представления, имеющих древесный тип £)п. В [18] Д. Бенсон и К. Эрдманн вычислили когомологии Хохшильда некоторых алгебр Гекке. Когомологии Хохшильда препроективных алгебр исследовались в работах К. Эрдманн, Н. Снэшелл [25, 26], П. Этингофа, Ц.-Х. Оу [31, 32] и В. Кроули-Бове, П. Этингофа и В. Гинзбурга [21]. Необходимо также упомянуть, что Т. Хаями вычислил кольцо когомологий Хохшильда алгебры, являющейся порядком в групповой алгебре обобщенной группы кватернионов в [35, 36]. Здесь же следует отметить, близкую по теме работу М. Суды и К. Санады [45]. Кроме того, Н. Снэшелл и Р. Тайлефер в [44] вычислили кольцо когомологий Хохшильда одной серии специальных бирядных алгебр по модулю нильпотентных элементов.

В главе 1 настоящей работы приводятся необходимые определения и описание центра для алгебр из рассматриваемого семейства, принадлежащее К. Эрдманн [24]. Как известно центр алгебры - это ее нулевые кого-мологии Хохшильда.

В главе 2 вычисляются сначала аддитивная структура - см. предложение 2, - а потом мультипликативная структура - см. теорему 1, - алгебры НН*(Д) для алгебр Q(2B)\(k, s, а, с) при нечетных значениях натуральных параметров к и s над полем характеристики 2. Здесь необходимо упомянуть целую серию публикаций, в которых исследуются когомологии Хохшильда алгебр из классификации К. Эрдманн [24]. В работах А.И. Генералова [7, 9] алгебра когомологий Хохшильда описана для одной из серий локальных алгебр кватернионного типа и для двухвершинных алгебр ква-тернионного типа серии Q(2B)\ с малыми параметрами, соответственно. Далее, в [5, 11] А.И. Генералов вычислил алгебру когомологий Хохшильда алгебр диэдрального типа семейства D(3/С) и одной локальной алгебры диэдрального типа. Наконец, в недавних статьях А.И. Генералова [10, 12] описаны алгебры когомологий Хохшильда для локальных и для групповых алгебр полудиэдр ал ьного типа. Аналогичные результаты для алгебр уже не ручного, а конечного типа представления были получены С. Зиге-лем и С. Уизерспун в статье [43], где вычислены когомологии Хохшильда циклического блока. Возвращаясь к предположению о нечетности параметров /с, 5 в условии теоремы 1, отметим, что мультипликативная структура алгебры когомологий Хохшильда алгебр семейства (¿(2В)1(к, в, а, с), когда хотя бы один натуральный параметр - четный, вычислена А.И. Генераловым и С.О. Ивановым в работе [8].

В главе 3 приведено полное описание аддитивной структуры алгебры когомологий семейства С^)(2В)1(к, й, а, с) при любых значениях параметров над произвольным алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2. Естественным образом выделились два случая: первый, когда характеристика основного поля равна 3, и второй, когда характеристика не равна 2 и 3. Ответ содержится в двух теоремах 4 и 5, соответственно. Теорема 2 главы 3 и и теоремы 4, 5 главы 4 частично дополняют аналогичный результат Т. Хольма [40], где он вычисляет аддитивную структуру алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального, полудиэдраль-ного и кватернионного типов с одним или тремя простыми модулями и для некоторых серий алгебр полудиэдрального типа с двумя вершинами над полем характеристики 2. Довольно неожиданным оказалось утверждение теоремы 5, где аддитивная структура алгебры когомологий зависит от того, делятся ли значения некоторой целочисленной квадратичной формы на характеристику основного поля при подстановке в нее натуральных параметров к, в алгебры (¿(2В)1(к,8,а,с). Также аддитивная структура алгебры когомологий Хохшильда для алгебр ручного типа представлений исследована в работе К. Эрдманн и С. Шролл [30], а именно, в ней вычислены размерности групп когомологий Хохшильда для некоторых ручных алгебр Гекке.

Наконец, в главе 4, в теореме 7 приводится полное вычисление мультипликативной структуры алгебры когомологий Хохшильда алгебр серии С^(2В)1(к1 з,а,с) при любых значениях параметров над алгебраически замкнутым полем характеристики 3. Похожую задачу, правда для алгебры конечного типа представлений, решили над полем характеристики 3 С. Зи-гель и С. Уизерспун, описав в [42] алгебру когомологий Хохшильда для групповой алгебры симметрической группы 53 над полем Ез. Также они в этой работе описали когомологии Хохшильда для знакопеременной группы А4 и для диэдральных 2-групп над полем F2.

Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работы А.И. Генералова [5]. Когомологии считываются с 4-периодической минимальной А-проективной резольвенты модуля Л, построенной в соавторстве с А.И. Генераловым и С.О. Ивановым (см. [8]). В работе К. Эрд-манн и А. Сковроньски [29] такая резольвента описана для представителей классов производной эквивалентности алгебр кватернионного типа, за исключением некоторых алгебр с малыми параметрами. Но для алгебр с двумя вершинами описание дифференциалов резольвенты из [29] содержит некоторые неточности. Однако в случае характеристики основного поля, отличной от 2, резольвенты из [8] и [29] совпадают.

С использованием построенной в [8] резольвенты выделяется (конечное) множество образующих для алгебры НН*(Й) и находятся соотношения, которым удовлетворяют эти образующие. Основным фактом, необходимым для вычисления мультипликативной структуры, является совпадение произведения в НН*(Д) и произведения по Йонеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, выполняется стандартным образом посредством введения лексикографического порядка и нормальной формы. В качестве примера применения такой техники для завершения вычисления алгебры когомологий можно привести классическую статью В.И. Арнольда [1].

Анализируя технику вычисления когомологий, отметим, что Т. Хаями в [36] также вычисляет произведения используя резольвенту, однако она у него не минимальная. Затем, вычисляя мультипликативную структуру, он также использует представление умножения в когомологиях через произведение по Йонеде. Доказательство достаточности соотношений он опускает. К. Эрдманн и С. Шролл в [30] для вычисления аддитивной структуры, иначе говоря размерностей групп когомологий, используют минимальную проективную резольвенту. В статье [25] К. Эрдманн и Н. Снэ-шелл вычисляют аддитивную структуру алгебры когомологий Хохшильда препроективных алгебр типа Ап и, частично, типа Оп. В своих вычислениях они используют минимальную проективную резольвенту, построенную А. Скофильдом [41]. Затем в статье [26] они с помощью той же резольвенты вычисляют мультипликативную структуру алгебр когомологий для рассмотренных в предыдущей статье семейств препроективных алгебр, снова используя представление -—-произведения по Йонеде. В работах П. Этин-гофа и Ц.-Х. Оу [31, 32] исследуются не изученные ранее препроективные алгебры типов и Еп и также используется резольвента, построенная А. Скофилдом [41]. В статье П. Этингофа и В. Гинзбурга [21], во многом продолжающей работы [25, 26], акцент сделан на аддитивной и на лиевской структуре когомологий Хохшильда препроективных алгебр, умножение в когомологиях в рассматриваемом ими случае устроено довольно просто и легко вычисляется из общих соображений. Н. Снэшелл и Р. Тайлефер в [44] строят минимальную проективную резольвенту и вычисляют аддитивную структуру, но мультипликативную структуру алгебры когомологий Хох-шильда они вычисляют по модулю нильпотентных элементов.

Необходимо отметить, что мультипликативная структура алгебр когомологий Хохшильда, вычисленных в [7, 5, 10] и работах их продолжающих, и, в частности, в настоящей работе, отличается сравнительно высокой сложностью, кроме того, довольно замысловатое устройство соответствующих минимальных резольвент влечет комбинаторную трудность вычислений ^-произведения в когомологиях Хохшильда по Йонеде.

Все результаты, представленные в работе, опубликованы в 2007-2011 гг. в [8, 13, 14].

В настоящей работе пункты и утверждения в разделах глав нумеруются независимо. Например, пункт 2.3.1 - это первый пункт третьего раздела второй главы, предложение 2.3.1 - это первое предложение третьего раздела второй главы. Кроме того, в работе используется сквозная нумерация основных результатов второй, третьей и четвертой глав. Все основные утверждения, а также важные замечания, собраны в разделах 2.1, 3.1, 4.1 и нумеруются арабскими цифрами по порядку.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Александру Ивановичу Генералову за постановку задачи, полезные обсуждения и многолетнее обучение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Александр Александрович, 2011 год

1. Арнольд В. И., Кольцо когомологий группы крашеных кос. Математические Заметки, т. 5, № 2 (1969), 227-231.

2. Волков Ю. В., Генералов А. И., Когомологии Хохшильда самоинзек-тивных алгебр древесного типа Dn. I, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 343 (2007), 121—182.

3. Волков Ю. В., Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. II, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 365 (2009), 63—121.

4. Волков Ю. В., Генералов А. И., Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn. III, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 386 (2011), 100-128.

5. Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, I: серия D(3K) в характеристике 2, Алгебра и анализ, т. 16 (2004), вып. 6, 53- 122.

6. Генералов А. И., Косовская Н. Ю., Когомологии Хохшильда алгебр Лю-Шульца, Алгебра и анализ, т. 18 (2006), вып. 4, 39-82.

7. Генералов А. И., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I: обобщенные группы кватернионов, Алгебра и анализ, т. 18 (2006), вып. 1, 55-107.

8. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа. II. Серия Q(2B)\ в характеристике 2, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 349 (2007), 53-134.

9. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр кватернионного типа. III. Алгебры с малым параметром, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 356 (2008), 46-84.

10. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр полудиэдрального типа. I. Групповые алгебры полудиэдралъных групп, Алгебра и анализ, т. 21, вып 2 (2009), 1-51.

11. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр диэдралъного типа. II. Локальные алгебры, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 375 (2010), 92-129.

12. Генералов А. И., Когомологии Хохшилъда алгебр полудиэдрального типа, II. Локальные алгебры, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 386 (2011), 144-202.

13. Иванов А. А., Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа: серия С2(2В)\(к, й, а, с) в характеристике не 2, Вестник СПбГУ, Серия 1, Вып. 1 (2010), 63-72.

14. Иванов А. А., Когомологии Хохшилъда алгебр кватернионного типа: серия С^{2В)\ в характеристике 3, Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 152-178.

15. Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, М., 1960.

16. Качалова М. А., Когомологии Хохшилъда алгебры Мёбиуса, Зап. науч. семии. ПОМИ, т. 330 (2006), 173-200.

17. Пустовых М. А., Кольцо когомологии, Хохшильда алгебры Мёбиуса, Зап. науч. семин. ПОМИ, т. 388 (2011), 210-246.

18. Benson D., Erdmann K., Hochschild cohomology of Hecke algebras, J. Algebra 336 (2011), 391-394.

19. Bergh P., Erdmann K., Homology and cohomology of quantum complete intersections, Algebra Number Theory 2 (2008), no. 5, 501-522.

20. Cibils C., Solotar A., Hochschild cohomology algebra of abelian groups, Arch. Math., v. 68 (1997), 17-21.

21. Crawley-Boevey W., Etingof P., Ginzburg V., Noncommutative Geometry and Quiver algebras, Adv. Math. 209 (2007), 274-336.

22. Drozd Yu. A., Tame and wild matrix problems, in: Repr.Theory, II, Lect. Notes Math. 832, 242-258, Springer, 1980.

23. Eilenberg S., MacLane S., Cohomology theory in abstract groups, I, Ann. Math., v. 48 (1947), 51-78.

24. Erdmann K., Blocks of tame representation type and related algebras, Lecture Notes in Math., v. 1428. Berlin; Heidelberg. 1990.

25. Erdmann K., Snashall N., On Hochschild cohomology of preprojective algebras. I, J. Algebra 205 (2) (1998) 391-412.

26. Erdmann K., Snashall N., On Hochschild cohomology of preprojective algebras II, J. Algebra 205 (2) (1998) 413-434.

27. Erdmann K., Holm Th., Twisted bimodules and Hochschild cohomology for self-injective algebras of class An, Forum Math., v. 11 (1999), 177-201.

28. Erdmann K., Holm Th., Snashall N., Twisted bimodules and Hochschildcohomology for self-injective algebras of class An, II, Algebras and Repr.Theory, v. 5 (2002), 457-482.

29. Erdmann K., Skowroriski A., The stable Calabi-Yau dimension of tame symmetric algebras. — J.Math. Soc. Japan, v. 58 (2006), No. 1, 97-128.

30. Erdmann K., Schroll S., On the Hochschild cohomology of tame Hecke Algebras, Archiv der Mathematik Volume 94, Number 2 (2010), 117-127.

31. Etingof P., Eu Ch.-H., Hochschild and cyclic homology of preprojective algebras of ADE quivers, Moscow Mathematical Journal, Volume 7, Number 4 (2007), 601-612.

32. Eu Ch.-H., The product in the Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of Dynkin quivers, J. Algebra, Volume 320, Issue 4 (2008), 14771530.

33. Gerstenhaber M., The cohomology structure of an associative ring, Ann. Math., v. 78 (1963), 267-288.

34. Hayami T., Hochschild Cohomology Ring of an Order of a Simple Component of the Rational Group Ring of the Generalized Quaternion Group, Commun. Algebra, v. 36, Issue 7 (2008), 2785-2803.

35. Hayami T. Hochschild cohomology ring of an order of a quaternionalgebra, Cohomology Theory of Finite Groups and Related Topics, RIMS Kokyuroku, 1581 (2008), 6-13.

36. Holm Th., The Hochschild cohomology ring of a modular group algebra: the commutative case. Commun. Algebra, v. 24 (1996), 1957-1969.

37. Holm Th., Derived equivalent tame blocks, J. Algebra, v. 194 (1997), 178200.

38. Holm Th., Derived equivalence classification of algebras of dihedral, semidihedral, and quaternion type, J. Algebra, v. 211 (1999), 159-205.

39. Holm Th., Hochschild cohomology of tame blocks, J. Algebra, v. 271 (2002),

40. Schofield A., Wild algebras with periodic Auslander-Reiten translate, to appear.

41. Siegel S. F., Witherspoon S. J., The Hochschild cohomology ring of a group algebra, Proc. London Math. Soc., v. 79 (1999), 131-157.

42. Siegel S. F., Witherspoon S. J., The Hochschild Cohomology Ring of a Cyclic Block, Proc. Amer. Math. Soc., v. 128, No. 5 (2000), 1263-1268.

43. Snashall N., Taillefer R., The Hochschild cohomology of a class of special biserial algebras, Journal of Algebra and Its Applications, v. 9, Issue: 1 (2010), 73-122.

44. Suda M., Sanada K., Periodic projective resolutions and Hochschild cohomology for basic hereditary orders, J. Algebra, v. 305 (2006), 48-67.798.826.